Bài giảng Toán cao cấp C - Nguyễn Viết Trí

UBND TỈNH QUẢNG NGÃI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG
------ ------
BÀI GIẢNG
TOÁN CAO CẤP C
NGƯỜI BIÊN SOẠN: NGUYỄN VIẾT TRÍ
ĐƠN VỊ: KHOA CƠ BẢN
QuảngNgãi, tháng 04 - 2016i, t - 
GIỚI THIỆU HỌC PHẦN
Toán cao cấp C là chương trình Toán dành cho sinh viên khối ngành kinh tế.
Nội dung của toán cao cấp C gồm 2 phần: Giải tích và Đại số. Phần giải tích gồm
những kiến thức cơ bản hàm số, giới hạn và liên tục, đạo hàm và vi phân, nguyên
hàm và tích phân của hàm một biến số. Các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến
số thực. Phương trình vi phân. Phần đại số gồm ma trận, định thức, hệ phương
tuyến tính. Đặc biệt là các ứng dụng các nội dung nêu trên trong chuyên ngành kinh
tế
Tập bài giảng này được biên soạn theo chương trình qui định năm 2014 của
Trường Đại học Phạm Văn Đồng cho khối ngành kinh tế theo học chế tín chỉ. 
Chương trình có 7 chương ứng với 3 tín chỉ (45 tiết lên lớp, 90 tiết tự học).
Chương I: Hàm số, giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến
Sinh viên cần nắm chắc các khái niệm cơ bản về hàm số, các hàm số thường
dùng trong ngành kinh tế, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục, 
Chương II: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến
Sinh viên nắm chắc khái niệm, cách tính và ý nghĩa đạo hàm, vi phân các cấp
của hàm số. Áp dụng của đạo hàm vi phân trong chuyên ngành kinh tế 
Chương III: Tích phân của hàm số một biến 
Sinh viên nắm vững định nghĩa, các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác
định của các hàm số (Hàm hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm vô tỷ...). Nắm và biết khai
thác các ứng dụng của tích phân trong ngành kinh tế và cuối cùng nắm được tích
phân suy rộng
Chương IV: Hàm số nhiều biến số
Sinh viên nắm vững các khái niệm cơ bản về hàm nhiều biến số, các vấn đề về
tính liên tục, vi phân, cực trị, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số nhiều biến
số. Áp dụng trong kinh tế.
Chương V: Phương trình vi phân 
 Sinh viên nắm vững định nghĩa, cách giải phương trình vi phân cấp 1, 2 thường
gặp. 
Chương VI: Định thức - Ma trận
 Sinh viên nắm được định nghĩa, tính chất, cách tính định thức, các phép toán và
tìm hạng của ma trận
Chương VII: Hệ phương trình tuyến tính
 Sinh viên nắm được khái niệm hệ phương trình tuyến tính, điều kiện tồn tại
nghiệm và các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính. Các mô hình tuyến
tính trong phân tích kinh tế, ...
Trong mỗi chương sau việc trình bày lý thuyết đều có nêu lên các thí dụ để
minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý hoặc thuật toán để giúp sinh viên dễ dàng
trong tiếp thu bài học, cũng như tự học. Cuối chương có các câu hỏi và bài tập
luyện tập, giúp sinh viên nắm chắc hơn lý thuyết và kiểm tra mức độ tiếp thu bài
học. Sinh viên cần trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ bài tập sau mỗi chương.
Để học tốt học phần này, sinh viên cần chú ý những vấn đề sau: 
2
+ Thu thập đầy đủ các tài liệu tham khảo.
- Tài liệu bắt buộc:
[1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông, Giáo trình toán
cao cấp B và C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM.
[2] Lê Đình Thúy, Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Kinh tế Quốc dân
- Tài liệu tham khảo:
[3] Đỗ Công Khanh, Toán cao cấp 1, ĐHQG Tp HCM.
[4] Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác (2003), Bài tập toán cao cấp tập II ,
NXBGD.
+ Nắm vững lịch trình giảng dạy, nghiên cứu nắm những kiến thức cốt lõi của bài
giảng trước khi lên lớp học.
+ Khi kết thúc mỗi chương sinh viên phải hoàn thành các bài tập do giảng viên yêu
cầu của chương đó vào tuần tiếp theo, cuối mỗi phần lớn có các bài tập tổng hợp.
3
MỤC LỤC
GIỚI THIỆU MÔN HỌC.............................................................................................2
Chương 1. HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC....................6
1.1. Hàm số.......................................................................................................6
1.3. Các hàm số đặc biệt......................................................................................8
1.4. Các hàm số sơ cấp cơ bản...........................................................................10
1.5. Giới hạn hàm số...........................................................................................11
1.6. Sự liên tục của hàm số.................................................................................19
Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN.................................24
2.1. Đạo hàm......................................................................................................24
2.2. Sự khả vi và vi phân hàm số........................................................................29
2.3. Các định lý về hàm số khả vi.......................................................................31
2.4. Ứng dụng của đạo hàm................................................................................37
Chương 3. TÍCH PHÂN........................................................................................46
3.1. Nguyên hàm và tích phân không xác định...................................................46
3.2. Các phương pháp cơ bản tính tích phân......................................................47
3.3. Tích phân các hàm số thường gặp...............................................................49
3.4. Tích phân xác định......................................................................................53
3.6. Ứng dụng của tích phân trong kinh tế...........................................................61
Chương 4. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ.................................................................68
4.1. Các khái niệm cơ bản..................................................................................68
4.2. Giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến..........................................69
4.3. Đạo hàm riêng.............................................................................................71
4.4. Sự khả vi và vi phân toàn phần....................................................................73
4.5. Cực trị của hàm số hai biến.........................................................................75
Chương 5. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN................................................................85
5.1. Các khái niệm cơ bản..................................................................................85
5.2. Phương trình vi phân cấp 1.........................................................................86
5.3. Phương trình vi phân cấp 2.........................................................................92
4
CHƯƠNG 6: MA TRẬN- ĐỊNH THỨC................................................................99
6.1. Ma trận.......................................................................................................99
6.2. Định thức....................................................................................................103
CHƯƠNG 7: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH............................................113
7.1 Hệ phương trình tuyến tính.........................................................................113
7.2 Các mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế...........................................117
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................126
5
 1. HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
1.1. Hàm số
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1 Cho tập X R
Hàm số một biến xác định trên tập X ( X R ) là một một quy tắc sao cho
ứng với mỗi giá trị của biến x thuộc X có duy nhất một giá trị thực của biến y.
Kí hiệu y = f(x)
· x được gọi là biến số độc lập, y được gọi là biến số phụ thuộc.
· X được gọi là miền xác định của hàm số, kí hiệu là Df .
Tập ( ) ; ( )Y f X y R x X y f x được gọi là tập giá trị của hàm số. 
Nếu 0x x X thì )( 00 xfy gọi là giá trị của hàm số tại 0x .
1.1.2. Các phương pháp cho hàm số
1.1.2.1 Phương pháp giải tích
Cho hàm số bởi một đẳng thức mà vế thứ nhất là giá trị y của hàm tại x, vế thứ
hai là một hoặc nhiều biểu thức giải tích đối với x. Tập xác định của hàm số là tập
các giá trị của đối số x để biểu thức có nghĩa
Thí dụ 1.2.1 a. Hàm số 24y x có tập xác định là tập những giá trị của x sao
cho 24 0 2 2x x 
sinx khi x
2
b. y 3x 4 khi x
2 2
cosx khi x
2
có tập xác định là R
1.1.2.2 Phương pháp bảng
Phương pháp giải tích thường được dùng trong những nghiên cứu lý thuyết,
nhưng nhiều khi nó không tiện lợi trong thực hành vì phải tính đủ mọi phép toán khi
tính giá trị của hàm số. Để tránh điều đó, người ta thường dùng phương pháp cho
theo bảng. Phương pháp này thường được dùng trong vật lý, kỹ thuật
Thí dụ 1.2.2 Người ta lập bảng giá trị các hàm số 2
1, , lg , , s inx, t anx,...y x x x
x
1.1.2.3 Phương pháp đồ thị
Tập 2( , ) , ( )G x y R x X y f x được gọi là đồ thị hàm số y = f(x) xác
định trên X và nó được biểu diễn bởi một đường trong mặt phẳng Oxy. Đồ thị của
hàm số cho ta có một hình ảnh hình học nhận biết dễ dàng nhiều tính chất của hàm
số đó. Vì thế, trong kinh tế và kỹ thuật người ta cho hàm số bằng cách cho đồ thị
của nó. Chẳng hạn đồ thị biểu biễn về chứng khoán, đồ thị biểu diễn điện áp của
6
lưới điện, đồ thị biểu diễn nhịp tim ... Nhược điểm của phương pháp cho hàm số
bằng đồ thị là không thật chính xác.
1.1.3. Các phép toán trên hàm số
1.1.3.1 Cộng trừ nhân chia hàm số
Định nghĩa 1.2.2 Cho hai hàm số f, g có tập xác định tương ứng là tập D và G. 
Khi đó f + g, f – g, f.g, 
f
g (
( ) 0 g x ) là hàm số xác định trên X D G  và
Thí dụ 1.2.3 Hàm số 1 3y x x là tổng của hàm số ( ) 1f x x và hàm
số 3 x có tập. xác định là    1, ,3 1,3  
1.1.3.2 Hàm số hợp
Định nghĩa 1.2.3 Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập X, nhận giá trị trên tập Y và
hàm z = g(y) xác định trên tập Y. Khi đó z cũng là hàm của x xác định trên tập X
 ( )z g f x .
z được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và g. Ký hiệu: g fo
 Vậy  0( ) ( ) ( )z x g f x g f x .
Thí dụ 1.2.4 Cho hai hàm số xxf 2)( và ( )g x x . Khi đó:
 ( ) 2 2x xg f x g f x g o
 ( ) 2 xf g x f g x f x o
1.1.3.3 Hàm số ngược
Định nghĩa 1.2.4 Cho hàm số: :f X Y 
 ( )x y f x a
Nếu tồn tại hàm số : Y X 
( )y x y a sao cho ( )f x y 
thì hàm số được gọi là hàm số ngược của hàm số f. Ký hiệu: 1f .
Ta có: 1 1( ) ( )y f y f f x x .
Chú ý: Người ta thường viết lại hàm số ngược của hàm số ( )y f x là 1( )y f x 
thay cho hàm 1( )x f y . Đồ thị hai hàm số ngược nhau đối xứng nhau qua đường
phân giác thứ nhất.
Thí dụ 1.1.5 Hàm số y = 3x có hàm số ngược là 
3
xy 
1.3. Các hàm số đặc biệt
1.3.1 Hàm số đơn điệu
Định nghĩa 1.3.1 Hàm số ( )y f x được gọi là:
7
 - Tăng (hoặc giảm) trong khoảng ,a b nếu 1 2 1 2, ( , ) :x x a b x x thì
1 2( ) ( )f x f x ( hoặc 1 2( ) ( )f x f x ).
- Tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) trong khoảng ,a b nếu
1 2 1 2, ( , ) :x x a b x x thì 1 2( ) ( )f x f x (hoặc 1 2( ) ( )f x f x ).
Hàm tăng hoặc giảm được gọi là hàm số đơn điệu
Thí dụ 1.3.1 
- Hàm số 2y x là hàm giảm nghiêm ngặt trong các khoảng ,0 và tăng
nghiêm ngặt trong khoảng 0, 
- Hàm số 3y x là hàm tăng nghiêm ngặt trong khoảng , 
1.3.2. Hàm số bị chặn
Định nghĩa 1.3.2 Hàm số ( )f x được gọi là bị chặn trên (hoặc dưới) trong tập
D X (X là miền xác định), nếu tồn tại M R sao cho ta có: ( )f x M (hoặc
( )f x M ) với x D .
Hàm số ( )y f x được gọi là bị chặn trong tập D nếu nó vừa bị chặn trên, vừa
bị chặn dưới trong tập D. Nghĩa là tồn tại : 0M R M sao cho ( ) ;f x M x D  . 
Thí dụ 1.3.2 Hàm số s inxy là các hàm số bị chặn trong R vì sin 1;x x R  .
1.3.3. Hàm số chẵn lẻ
1.3.3.1 Định nghĩa 1.3.3 Cho hàm số ( )y f x xác định trên tập đối xứng D.
Hàm số ( )y f x được gọi là hàm số chẵn (hoặc hàm số lẻ) trên tập D nếu
Dx  luôn có: Dx và ( ) ( )f x f x ( ) ( )f x f x (hoặc ( ) ( )f x f x ).
Thí dụ 1.3.3 Hàm số 2y x là hàm số chẵn trên R. vì x R x R và
( ) ( )f x f x 
Hàm số 3y x là hàm số lẻ trên R vì x R x R và 
3( ) ( )f x x f x .
1.3.3.2 Tính chất 
- Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
- Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
1.3.4. Hàm số tuần hoàn
1.3.4.1 Định nghĩa 1.3.4 Cho hàm số ( )y f x xác định trên tập D. 
Hàm số ( )y f x được gọi là hàm số tuần hoàn trên [ ,D x D  
: 0L R L x L D sao cho ( ) ( )f x L f x ]
1.3.4.2 Chu kỳ của hàm tuần hoàn 
Định nghĩa 1.3.5 Giả sử ( )y f x là hàm số tuần hoàn trên tập D. Nếu tồn tại số
dương T nhỏ nhất sao cho: ( ) ( ); ;f x kT f x x D k Z   thì T được gọi là chu kỳ
của hàm tuần hoàn ( )y f x .
8
Thí dụ 1.3.4 Hàm số tany x là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T .
1.3.5. Một số hàm số thường dùng trong kinh tế
Trong thực tiễn ngành kinh tế người ta thường xét đến nhiều hàm số như hàm
cung, hàm cầu, hàm sản xuất, hàm tiêu dùng, hàm thu nhập, hàm lợi nhuận, ... 
1.3.5.1 Hàm cung và hàm cầu
- Hàm cung là hàm biểu thị sự phụ thuộc của lượng hàng cung đối với một loại hàng
hóa vào giá cả của hàng hóa đó. Hàm cung có dạng: sQ S p 
Khi giá cả càng cao thì người bán càng thi nhau bán hàng, nên hàm cung là hàm
đồng biến
 - Hàm cầu là hàm biểu thị sự phụ thuộc của lượng hàng mua đối với một loại hàng
hóa vào giá cả của hàng hóa đó. Hàm cầu có dạng: dQ D p 
Khi giá cả càng cao thì người mua càng ít mua hàng, nên hàm cầu là hàm
nghịch biến
- Đồ thị hàm cung và hàm cầu (đường cung và đường cầu) cắt nhau tại một điểm
là điểm cân bằng thị trường: Điểm cân bằng thị trường là điểm ,Q p trong đó Q là
lượng hàng hóa cân bằng và p là giá cân bằng.
1.3.5.2 Hàm sản xuất ngắn hạn
Trong kinh tế “Ngắn hạn là khoảng thời gian mà ít nhất một trong các yếu tố
sản xuất không thể thay đổi. Dài hạn là khoảng thời gian mà tất cả các yếu tổ sản
xuất có thể thay đổi”.
Khi phân tích sản xuất, người ta thường quan tâm đến hai yếu tố sản xuất quan
trọng là vốn và lao động được ký hiệu tương ứng là K và L. Trong ngắn hạn K
không đổi, do đó hàm sản xuất ngắn hạn có dạng: Q f L 
1.3.5.3 Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận
Tổng doanh thu, tổng chi phí và tổng lợi nhuận của nhà sản xuất phụ thuộc vào
sản lượng hàng hóa. Khi phân tích sản xuất các nhà kinh tế học còn sử dụng các
hàm số:
 Hàm doanh thu là hàm số biểu thị sự phụ thuộc của tổng doanh thu (ký hiệu
là TR) vào sản lượng (ký hiệu là Q): TR TR Q 
Chẳng hạn, tổng doanh thu của nhà sản xuất cạnh tranh là hàm bậc nhất: .TR p Q 
 Hàm chi phí là hàm biểu diễn sự phụ thuộc của tổng chi phí sản xuất (ký hiệu
là TC) vào sản lượng (ký hiệu là Q): TC TC Q 
 Hàm lợi nhuận là hàm số biểu thị sự phụ thuộc của tổng lợi nhuận (ký hiệu là
 ) vào sản lượng (ký hiệu là Q): Q 
9
Hàm lợi nhuận có thể được xác định thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí
(Chưa tính thuế): ( ) ( )TR Q TC Q 
1.4. Các hàm số sơ cấp cơ bản
1.4.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.4.1 Các hàm số sau được gọi là hàm số sơ cấp cơ bản
+ y = C ( C là hằng số).
+ Hàm số luỹ thừa ,y x R .
+ Hàm số mũ ; (0 1)xy a a 
+ Hàm số lôgarit log ; (0 1)ay x a 
+ Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx.
+ Các hàm số lượng giác ngược: Có bốn hàm số ngược của các hàm số lượng
giác sau đây:
1.4.1.1 Hàm số y = arcsinx là hàm số ngược của y = sinx 
sin
arc sinx = y 
,
2 2
y x
y 
Hàm số y = arc sinx có tập xác định là [-1,1] và có miền giá trị là ,
2 2
1.4.1.2 Hàm số y = arccosx 
 
os
arc cosx = y 
0,
c y  ... 121
123113
212
2
4
dddddd
ddd
. 
Suy ra phương trình cuối của hệ (0x3 = 7) vô nghiệm. Vậy hệ đã cho vô nghiệm.
c) Giải hệ phương trình 
022
42463
22
321
4321
4321
xxx
xxxx
xxxx
. 
Ta có [A|B] = 
 
 
2
2
1
1
1
1
0
2
0
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
0
0
2
0
0
1
0
4
2
0
2
1
2
4
1
2
6
2
1
3
1
2113
212
'
3
dxoaddd
ddd
.
Suy ra x1 = 4 +2x2 - 2x4 , x3 = 2 - x4 . Vậy hệ có nghiệm (4 +2x2 - 2x4 , x2, 2 - x4 , x4) 
với x2 và x4 tùy ý.
7.1.4.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp ma trận nghịch 
đảo
Viết hệ phương trình dưới dạng ma trận AX = B. Nếu A là ma trận vuông khả
nghịch thì ta có X = A-1B.
Thí dụ 7.1.4 Giải hệ phương trình 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1
2 2 2
2 3
x x x
x x x
x x x
.
Đặt 
A = 
1 2 1
1 2 2
1 1 2
 , B = (1 2 3)T , X = (x1 x2 x3)T ta có AX = B. 
Vì A-1 = 
2 3 2
0 1 1
1 1 0
 nên X = A-1B = 
1
2
3
= 
2
1
1
. 
Vậy hệ có 1 nghiệm là x* = (2, -1. 1).
7.2 Các mô hình tuyêến tính trong phân tích kinh têế
7.2.1 Mô hình cân bằng thị trường
118
7.2.1.1 Thị trường một hàng hóa
Khi phân tích hoạt động của thị trường hàng hóa, các nhà kinh tế học sử dụng 
công cụ hàm cung và hàm cầu để biểu đạt sự phụ thuộc của lượng cung và lượng 
cầu vào giá hàng hóa. Dạng tuyến tính của hàm cung và hàm cầu như sau 
Hàm cung : 0 1.SQ a a p 
Hàm cầu : 0 1.dQ b b p 
Trong đó 0 1 0 1, , ,a a b b là các hằng số dương ; p là giá hàng hóa ; 
QS là lượng cung, tức là lượng hàng hóa mà người bán muốn bán ;
Qd là lượng cầu, tức là lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua
Thị trường cân bằng 0 1 0 1. .S dQ Q a a p b b p 
Giải phương trình này ta được :
Giá cân bằng 0 0
1 1
a bp
a b
Lượng cân bằng 1 0 0 1
1 1
. .
S d
a b a bQ Q Q
a b
7.2.1.2 Thị trường nhiều hàng hóa
a. Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan, giá của mặt hàng này có thể ảnh 
hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các mặt hàng khác. Hàm cung và hàm cầu 
tuyến tính của thị trường n hàng hóa liên quan có dạng sau :
0 1 2 2
0 1 1 2 2
. . ... .
. . ... .
si i i i in n
di i i i in n
Q a a p a p a p
Q b b p b p b p
Trong đó ,Si diQ Q và pi là lượng cung, lượng cầu và gía hàng hóa thứ i.
Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa được biểu diễn dưới dạng hệ phương trình 
tuyến tính
1,2,...,
Si diQ Q
i n
10 11 1 12 2 1 10 11 1 12 2 1
20 21 1 22 2 2 20 21 1 22 2 2
. . ... . . . ... .
. . ... . . . ... .
.....................................................................................
n n n n
n n n n
a a p a p a p b b p b p b p
a a p a p a p b b p b p b p
0 1 1 2 2 0 1 1 2 2
...............
. . ... . . . ... .n n n nn n n n n nn na a p a p a p b b p b p b p
119
10 11 1 12 2 1 10
20 21 1 22 2 2 20
0 1 1 2 2 0
. . ... .
. . ... .
(1)
......................................................
. . ... .
n n
n n
n n n nn n n
c c p c p c p c
c c p c p c p c
c c p c p c p c
Giải hệ phương trình (1) ta xác định được giá cân bằng của n hàng hóa, sau đó thay 
vào hàm cung (hoặc hàm cầu) ta xác định được lượng cân bằng
b. Thí dụ 7.2.1
Cho biết hàm cung và hàm cầu của thị trường ba loại hàng hóa
Hàng hóa 1: 1 1 2 1 1 2 33; 3 48S dQ p p Q p p p 
Hàng hóa 2: 2 2 2 35; 50S dQ p Q p 
Hàng hóa 3: 3 1 3 2 340; 5S dQ p Q p p 
Xác định giá cả và lượng cân bằng của mỗi mặt hàng ?
Giải
Thị trường cân bằng khi và chỉ khi
1 1
2 2
2 3
1 2 1 2 3
2 3
1 2 3
3 3 48
5 50
40 5
S d
S d
S d
Q Q
Q Q
Q Q
p p p p p
p p
p p p
1 2 3 1
2 3 2
31 2 3
2 2 45 10
45 20
2535
p p p p
p p p
pp p p
Suy ra lượng hàng cân bằng là: 
1 1 2 3 1
2 2 3 2
3 1 2 3 3
2 2 27 10
25 20
2550
Q p p p p
Q p p khi p
pQ p p p
7.2.2 Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô
1. Gọi Y là tổng thu nhập quốc dân và E là tổng mức chi tiêu kế hoạch của nền 
kinh tế. Trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng phương trình 
Y=E
120
Trong một nền kinh tế khép kín, tổng chi tiêu kế hoạch của toàn bộ nền kinh tế 
gồm các thành phần sau :
C : Tiêu dùng của các hộ gia đình
G : Chi tiêu của Nhà nước hay kế hoạch của chính phủ
I : Chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất
Ta giả sử rằng đầu tư theo kế hoạch là cố định I = I0 và chính sách tài khóa của 
chính phủ là cố định G = G0 , còn tiêu dùng của các hộ gia đình phụ thuộc vào thu 
nhập dưới dạng hàm bậc nhất 
C=a.Y+b , (0 1, 0)a b 
Hệ số a biểu diễn tỷ phần dành cho tiêu dùng khi có thêm $1 thu nhập, được gọi
là xu hướng tiêu dùng cận biên, còn b là mức tiêu dùng tự định, tức là mức chi tiêu 
khi không có thu nhập.
Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô có dạng là hệ phương trình tuyến tính
0 0 0 0Y C I G Y C I G
C aY b aY C b
Giải hệ phương trình này, ta xác định được mức thu nhập cân bằng và mức tiêu 
dùng cân bằng của nền kinh tế là :
0 0 0 0( ),
1 1
b I G b a I GY C
a a
Trên đây là mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô đơn giản nhất. Độ phức tạp của mô 
hình kinh tế se tăng lên, nếu ta tính đến các yếu tố khác, chẳng hạn như thuế, xuất 
nhập khẩu  Nếu ta tính thuế thu nhập thì hàng tiêu dùng sẽ thay đổi như sau
dC aY b 
Trong đó Yd là thu nhập sau thuế khả chi. Gọi thuế suất thu nhập là t ta có
 Yd=Y-tY=(1-t)Y
 C=a(1-t)+b
Mức thu nhập quốc dân và tiêu dùng cân bằng là :
0 0 0 0(1 )( ),
1 (1 ) 1 (1 )
b I G b a t I GY C
a t a t
2. Thí dụ 7.2.2
Nếu C= 200+0,75 , I0 = 300 , G0 = 400 ta xác định được mức thu nhập cân bằng
và mức tiêu dùng cân bằng ( tính theo triệu USD) là :
200 300 400 200 0,75(300 400)3600, 2900
1 0,75 1 0,75
Y C 
Nếu Nhà nước thu thuế thu nhập 20% (t = 20%) thì mức cân bằng như sau
121
200 300 400 200 0,75(1 0,2)(300 400)2250, 1550
1 0,75(1 0,2) 1 0,75(1 0,2)
Y C 
7.2.3 Mô hình I/O (Input/Output) của Lêontief
Mô hình I/O (Input/Output) của Lêontief (còn gọi là mô hình cân đối liên ngành)
đề cập đến việc xác định mức tổng cân đối đối với sản phẩm của mỗi ngành sản 
xuất trong tổng thể nền kinh tế.
Trong khuôn khổ của mô hình, khái niệm ngành được xem xét theo nghĩa thuần túy
sản xuất.
Các giả thiết được đặt ra như sau
1. Mỗi ngành sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa thuần nhất hoặc sản xuất 
một số sản phẩm phối hợp theo một tỷ lệ nhất định. Trong trường hợp thứ hai, ta coi
mỗi tổ hợp hàng hóa theo một tỷ lệ cố định đó là một mặt hàng.
2. Các yếu tố đầu vào của sản xuất trong phạm vi một ngành được sử dụng 
theo một tỷ lệ cố định (Công nghệ chưa thay đổi).
Trong một nền kinh tế hiện đại, việc sản xuất một loại sản phẩm phải sử 
dụng các loại hàng hóa khác nhau trong cơ cấu yếu tố sản xuất (chẳng hạn, việc sản 
xuất thép đòi hỏi phải sử dụng quặng sắt, điện, than,). Do đó tổng cân đối của 
một ngành bao gồm :
3. Cầu trung gian từ các phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho 
quá trình sản xuất.
4. Cầu cuối cùng từ các người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khấu,
bao gồm các hộ gia đình, nhà nước, các hãng xuất khấu, 
Xét một nền kinh tế có n ngành sản xuất, gọi qui ước là ngành 1, ngành 2, , 
ngành n. Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất, ta biểu diễn 
lượng cầu của tất cả của các loại hàng hóa ở dạng giá trị, tức là đo bằng tiền (với giá
thị trường ổn định).Tổng cầu về sản phẩm hàng hóa ngành i được tính theo công 
thức
1 2 ... (1)i i i in ix x x x b 
Trong đó :
 ix là tổng cân đối với hàng hóa của ngành i
 ikx là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho việc sản xuất 
(Cầu trung gian).
 ib là giá trị hàng hóa của ngành i cần cho tiêu dùng và xuất khẩu (Cầu cuối 
cùng).
Công thức trên có thể viết dưới dạng
122
1 2
1 2
1 2
...i i ini n i
n
x x xx x x x b
x x x
 Đặt , , 1,2,..., (2)ikik
k
xa i k n
x
Ta được hệ phương trình tuyến tính
1 11 1 12 2 1 1 11 1 12 2 1 1
2 21 1 22 2 2 2 21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
... (1 ) ...
... (1 ) ...
............................................... .......
...
n n n n
n n n n
n n n nn n n
x a x a x a x b a x a x a x b
x a x a x a x b a x a x a x b
x a x a x a x b
 1 1 2 2
(3)
..............................................................
... (1 )n n nn n na x a x a x b
Hệ phương trình (3) có thể viết dưới dạng ma trận (E-A)X=B (4)
Trong đó 
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
A
a a a
 gọi là ma trận đầu vào hay ma trận hệ số kỹ thuật
Ma trân (E-A) được gọi là ma trận Lêontief
1
2
...
n
x
x
X
x
 gọi là ma trận tổng cầu
1
2
...
n
b
b
B
b
 gọi là ma trận cuối cùng và E là ma trận đơn vị cấp n
Chú ý : Ở dạng giá trị phần tử aik nằm trên dòng i cột k của ma trận A là tỷ phần chi 
phí của ngành k trả cho việc mua hàng hóa của ngành i tính trên đơn vị giá trị hàng 
hóa của ngành k (chi phí cho yếu tố đầu vào của sản xuất). Chẳng hạn aik=0,2 có 
nghĩa là để sản xuất ra $1 giá trị hàng hóa của mình (tính theo bình quân), ngành k 
phải mua $0,2 hàng hóa của ngành i.
Theo giả thiết thứ hai nêu ở trên thì các phần tử aik không đổi và gọi là hệ số chi phí 
cho yếu tố sản xuất hay hệ số kỹ thuật. Theo ý nghĩa nêu trên thì 0 1ika 
Phương trình (E-A)X = B (4) cho phép xác định mức tổng cầu đối với hàng hóa 
của tất cả các ngành sản xuất.
 1X E A B 
Điều này có ý nghĩa quan trọng đối với việc lập kế hoạch sản xuất, bảo đảm cho nền
kinh tế vận hành trôi chảy, tránh tình trạng dư thừa hoặc thiếu hụt hàng hóa.
123
Thí dụ 7.2.3 Quan hệ trao đổi của 3 ngành sản xuất và cầu hàng hóa được cho bởi bảng 
sau (Đơn vị triệu USD)
7.4.1 Ngành cung
ứng
7.4.2 Sản phẩm
(Output)
7.4.3 Ngành sử dụng sản phẩm (Inputs)
7.4.4 Cầu
cuối cùng7.4.6 1 7.4.7 2 7.4.8 2
7.4.10 1 7.4.11 20 7.4.12 60 7.4.13 10 7.4.14 50
7.4.15 2 7.4.16 50 7.4.17 10 7.4.18 80 7.4.19 10
7.4.20 3 7.4.21 40 7.4.22 30 7.4.23 20 7.4.24 40
Trên bảng số liệu trên, mỗi dòng đứng tên một ngành sản xuất (Ouput), mỗi cột ở 
giữa đứng tên một ngành với danh nghĩa là người mua sản phẩm (Inputs).
 Hãy tính tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành và lập ma trận hệ số kỹ thuật.
Giải
Tổng cầu hàng hóa của :
 Ngành 1 : 1 20 60 10 50 140x 
 Ngành 2 : 2 50 10 80 10 150x 
 Ngành 3 : 3 40 30 20 40 130x 
Ma trận hệ số kỹ thuật :
20 60 10
140 150 130 0,143 0,400 0,077
50 10 80 0,375 0,067 0,615
140 150 130
0,286 0,200 0,15440 30 20
140 150 130
A
Thí dụ 7.2.4 Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật trong một ngành kinh tế có 3 ngành 
sản xuất : ngành 1, ngành 2, ngành 3 là
0,2 0,3 0,2
0,4 0,1 0,2
0,1 0,3 0,2
A
a. Giải thích con số 0,4 trong ma trận A
b. Cho biết tỉ phần giá trị gia tăng (giá trị của lao động) hàng hóa của ngành
3 trong tổng giá trị sản phẩm của ngành đó
c. Cho biết mức cầu cuối s đối với các ngành 1,2,3 lần lượt là 10,5,6 (triệu 
USD), hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành
Giải 
a. Số 0,4 ở dòng 2 cột 1 của ma trận A có ý nghĩa là: để sản xuất $1 hàng 
hóa của mình, ngành 1 cần $0,4 hàng hóa của ngành 2 để sử dụng trong quá trình 
sản xuất.
b. Tỉ phần chi phí của ngành 3 là tổng các phần tử ở cột 3 của ma trận A:
124
 0,2 + 0,2 + 0,2 = 0,6
Vậy tỉ phần giá trị gia tăng trong tổng giá trị hàng hóa của ngành 3 là: 
 1– 0,4 = 0,6 hay 40%
c. Ta có ma trận Lêontief
1 0 0 0,2 0,3 0,2 0,8 0,3 0,2
0 1 0 0,4 0,1 0,2 0,4 0,9 0,2
0 0 1 0,1 0,3 0,2 0,1 0,3 0,8
E A
Theo phương pháp tìm ma trận nghịch đảo, ta tìm được
 1
0,66 0,30 0,24
1 0,34 0,62 0,24
0,384
0,21 0,27 0,60
E A 
Do đó ma trận tổng cầu là :
 1
0,66 0,30 0, 24 10 24,84
1 0,34 0,62 0, 24 5 20,68
0,384
0, 21 0,27 0,60 6 18,36
X E A B 
BÀI TẬP CHƯƠNG VII
Bài 1. Giải các phương trình ma trận sau:
2 1 1 2 2 1 1 3
1. 4.
4 2 3 4 4 2 2 6
X X
     
Bài 2 Giải các hệ phương trình sau:
1. 
2 1 3 2 5
2 2 4 2. 2 3 1
4 4 2 2 3 11
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
3 8 20 31 45 26 16 0
3. 9 4 5 10 4. 30 65 48 0
15 4 10 29 45 52 32 0
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
2 3 1 3 5 7 12
3 2 4 3 5 7 0
5. 6.
2 3 6 5 7 3 4
2 3 4 7 3 5 16
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
125
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
2 2 2 3 4 5 13
2 0 2 2 3 4 10
7. 3 0 8. 2 2 2 3 11
4 2 2 2 2 2 6
5 5 2 2 2 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
 3
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
2 1 9 3 5 6 4
9. 2 1 10. 6 2 3 4 5
2 5 5 3 3 14 8
x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x
1 2 3 4 1 2 3 4 5
1 2 3 4 1 2 3 4 5
1 2 3 4 1 2 3 4 5
1 2 3 4 1 2 3 4 5
12 9 3 10 13 2 1
4 3 2 3 2 0
11. 12.
8 6 2 5 7 4 5 5 5 7 3
16 2 3 4 5. 3 3 3 3 4 2
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
Bài 3 Cho biết hàm cung và hàm cầu của thị trường hai hàng hóa
1 1 2 2 1 2
1 1 2 2
18 3 , 12 2
2 4 2 3
d d
s s
Q p p Q p p
Q p Q p
Hãy xác định giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng
Bài 4 Xét mô hình kinh tế vĩ mô:
0 0 1 1; 60 0,7 ; (1 )Y C I G C Y Y T Y 
Hãy xác định mức thu nhập quốc dân cân bằng, cho biết I0 = 90, G0 =140 (triệu 
dollar) và thuế xuất nhập t = 40%
ĐS: Y=500
Bài 5 Quan hệ trao đổi của 4 ngành sản xuất và cầu hàng hóa được cho bởi bảng 
sau (Đơn vị triệu USD)
Ngành cung
ứng sản phẩm
(Out put)
Ngành ứng dụng sản phẩm
(Out put)
Cầu
cuối
cùng
1 2 3 4
1 80 20 110 320 160
2 200 50 90 120 140
3 220 110 30 40 0
4 60 140 160 240 400
Hãy tính tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành và lập ma trận hệ số kỹ thuật 
(tính xấp xỉ đến 3 chữ số thập phân)
ĐS: x1= 600, x2 =600, x3 = 400, x4 = 1000.
0,133 0,033 0, 275 0,230
0,333 0,083 0, 225 0,120
0,367 0,183 0,075 0,040
0,100 0,233 0, 400 0,240
A
126
Bài 6 Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A và véc tơ cầu cuối cùng B, hãy xác định
mức tổng cầu và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu vào của sản
xuất đối với mỗi ngành.
1.
0,1 0,3 170
,
0,5 0,2 280
A B  
2.
0,2 0,3 0,2 150
0,4 0,1 0,3 200
0,3 0,5 0,2 210
A B
    
   
ĐS: a) x1 = 358,96; x2 = 591,21.
Chi phí đầu vào: c1 = 231,58; c2 = 295,61.
3.x1 = 879,50; x2 = 1023,85; x3 = 1232,22
Chi phí đầu vào: c1 = 791,55; c2 = 921,465; c3 = 862,554
Bài 7 Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A và véc tơ cầu cuối cùng B,hãy xác định
mức tổng cầu và tổng chi phí cho các hàng hóa được sử dụng làm đầu vào sản xuất
đối với mỗi ngành.
0,4 0,3 0,1 140
0,2 0,2 0,3 , 220
0,2 0,4 0, 2 180
A B
    
   
Tính mức tổng cầu mới khi cầu cuối cùng đối với ngành 1 tăng thêm 30, đối với
ngành 2 và 3 thi giảm đi tương ứng 15 và 35.
ĐS: x1 = 743,24; x2 = 756,76; x3 = 789,19
Chi phí đầu vào: c1 = 584,592; c2 = 681,084; c3 = 473,514
Tổng cầu mới: x1 = 767,79; x2 = 723,88; x3 = 735.14
127
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông (2005), Giáo trình
toán cao cấp B và C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM.
[2] Đỗ Công Khanh (2003), Toán cao cấp 1 , ĐHQG Tp HCM.
[3] Lê Đình Thúy, Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Kinh tế Quốc dân
[4] Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác Bài tập toán cao cấp tập II , NXBGD.
[5] Nguyễn Văn Khuê (1998), Bài tập, Toán cao cấp, NXN khoa học và kỹ thuật 
[6] Nguyễn Mạnh Quý (2007), Giáo trình phương trình vi phân, NXB ĐHSP.
[7] Lê Văn Hốt (2005), Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp, ĐH Kinh tế Tp HCM
128