Bài giảng Toán học sơ cấp - Phần I: Mệnh đề - Nguyễn Viết Đông

1Phần I.Mệnh đề
Biên soạn : TS.Nguyễn Viết Đông
1
Tài liệu tham khảo
• Toán rời rạc, GS.TS. Nguyễn Hữu Anh
• Michael P.Frank „s slides
• Nguyễn Viết Hưng „s slides
• Toán rời rạc, TS. Trần Ngọc Hội
2
Mệnh đề và chân trị
• Khái niệm về mệnh đề:
Mệnh đề toán học là khái niệm cơ bản của toán
học không được định nghĩa mà chỉ được mô tả.
Mệnh đề toán học(gọi tắt là mệnh đề) là một
khẳng định có giá trị chân lý xác định(đúng
hoặc sai, nhưng không thể vừa đúng vừa sai).
3
Mệnh đề và chân trị
• Ví dụ: 
– “Số 123 chia hết cho 3” là 1 mệnh đề đúng
– “Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của nước Việt
Nam” là một mệnh đề sai.
– “Bạn có khỏe không ? ” không phải là một mệnh
đề toán học vì đây là một câu hỏi không thể phản
ánh một điều đúng hay một điều sai
4
2Mệnh đề và chân trị
• Kiểm tra xem các khẳng định sau có là mệnh
đề không? Nếu có, đó là mệnh đề đúng hay 
sai?
– Môn Toán rời rạc là môn bắt buộc chung cho
ngành Tin học.
– 97 là số nguyên tố.
– N là số nguyên tố.
5
Mệnh đề và chân trị
• Ký hiệu mệnh đề : 
Người ta thường dùng các ký hiệu : P, Q, R, 
• Chú ý: Mệnh đề phức hợp là mệnh đề được
xây dựng từ các mệnh đề khác nhờ liên kết
chúng lại bằng các liên từ(và, hay, nếuthì) 
hoặc trạng từ “không”
– Ví dụ : Nếu trời tốt thì tôi đi dạo.
6
Mệnh đề và chân trị
• Chân trị của mệnh đề: 
Một mệnh đề chỉ có thể đúng hoặc sai, không thể
đồng thời vừa đúng vừa sai. Khi mệnh đề P đúng
ta nói P có chân trị đúng, ngược lại ta nói P có
chân trị sai. 
Chân trị đúng và chân trị sai sẽ được ký hiệu lần lượt
là 1hay Đ(đúng),T(true) và 0 hay S(sai),F(false)
7
Phép tính mệnh đề
• Mục đích của phép tính mệnh đề:
Nghiên cứu chân trị của một mệnh đề phức hợp từ
chân trị của các mệnh đề đơn giản hơn và các phép
nối những mệnh đề này biểu hiện qua liên từ hoặc
trạng từ “không”
8
3Some Popular Boolean 
Operators
Formal Name Nickname Arity Symbol
Negation operator NOT Unary ¬
Conjunction operator AND Binary 
Disjunction operator OR Binary 
Exclusive-OR operator XOR Binary 
Implication operator IMPLIES Binary 
Biconditional operator IFF Binary ↔
Phép tính mệnh đề
Phủ định của mệnh đề
The unary negation operator “¬” (NOT) 
transforms a prop. into its logical negation.
E.g. If p = “I have brown hair.”
then ¬p = “I do not have brown hair.”
Phép tính mệnh đề
11
Phép tính mệnh đề
p p
T F
F T
4Phép tính mệnh đề
• Phép nối liền(phép hội; phép giao): 
Mệnh đề nối liền của hai mệnh đề P, Q được kí hiệu
bởi P  Q (đọc là “P và Q”), là mệnh đề được định
bởi : 
P  Q đúng khi và chỉ khi P và Q đồng thời đúng
13
Phép tính mệnh đề
• Ví dụ: Mệnh đề “Hôm nay, cô ấy đẹp và thông
minh ” chỉ được xem là mệnh đề đúng khi cả
hai điều kiện “cô ấy đẹp” và “cô ấy thông
minh” đều xảy ra. Ngược lại, chỉ 1 trong 2 
điều kiện trên sai thì mệnh đề trên sẽ sai.
14
• Meänh ñeà “Hoâm nay, An giuùp meï lau nhaø vaø 
röûa cheùn” chæ ñuùng khi hoâm nay An giuùp meï 
caû hai coâng vieäc lau nhaø vaø röûa cheùn. Ngöôïc 
laïi, neáu hoâm nay An chæ giuùp meï moät trong 
hai coâng vieäc treân, hoaëc khoâng giuùp meï caû 
hai thì meänh ñeà treân sai.
Phép tính mệnh đề
15
The Conjunction Operator
The binary conjunction operator “” (AND)
combines two propositions to form 
their logical conjunction.
E.g. If p=“I will have salad for lunch.” and q=“I
will have steak for dinner.”, then pq=“I will have
salad for lunch and I will have steak for dinner.”
Remember: “” points up like an “A”, and it means “ND”
ND
16
5• Note that a
conjunction
p1  p2    pn
of n propositions
will have 2n rows
in its truth table.
• Also: ¬ and  operations together are suffi-
cient to express any Boolean truth table!
Conjunction Truth Table
p q pq
F F F
F T F
T F F
T T T
Operand columns
17
Phép tính mệnh đề
18
Phép tính mệnh đề
• Phép nối rời(phép tuyển; phép hợp)
Mệnh đề nối rời của hai mệnh đề P, Q được kí hiệu
bởi P  Q (đọc là “P hay Q”), là mệnh đề được định
bởi : 
P  Q sai khi và chỉ khi P và Q đồng thời sai
19
Phép tính mệnh đề
• Ví dụ: Mệnh đề “Tôi đang chơi bóng đá hay 
bóng rổ”.
Mệnh đề này chỉ sai khi tôi vừa không đang chơi
bóng đá cũng như vừa không đang chơi bóng rổ.
Ngược lại, tôi chơi bóng đá hay đang chơi bóng rổ
hay đang chơi cả hai thì mệnh đề trên đúng.
20
6The Disjunction Operator
The binary disjunction operator “” (OR) 
combines two propositions to form their 
logical disjunction.
p=“My car has a bad engine.”
q=“My car has a bad carburetor.”
pq=“Either my car has a bad engine, or
my car has a bad carburetor.”
After the downward-
pointing “axe” of “”
splits the wood, you
can take 1 piece OR 
the other, or both.

Meaning is like “and/or” in English.
21
• Note that pq means
that p is true, or q is
true, or both are true!
• So, this operation is
also called inclusive or,
because it includes the
possibility that both p and q are true.
• “¬” and “” together are also universal.
Disjunction Truth Table
p q pq
F F F
F T T
T F T
T T T
Note
difference
from AND
22
Phép tính mệnh đề
23
Phép tính mệnh đề
• Chú ý : 
Cần phân biệt “hay” và “hoặc”.
Đưa ra phép toán để thể hiện trường
hợp loại trừ
Ký hiệu : , 
P Q sai P và Q đồng thời cùng
đúng hoặc cùng sai.


7The Exclusive Or Operator
The binary exclusive-or operator “” (XOR) 
combines two propositions to form their 
logical “exclusive or” (exjunction?).
p = “I will earn an A in this course,”
q = “I will drop this course,”
p  q = “I will either earn an A for this course, or 
I will drop it (but not both!)”
25
• Note that pq means
that p is true, or q is
true, but not both!
• This operation is
called exclusive or,
because it excludes the
possibility that both p and q are true.
• “¬” and “” together are not universal.
Exclusive-Or Truth Table
p q pq
F F F
F T T
T F T
T T F Note
difference
from OR.
26
Phép tính mệnh đề
• Phép kéo theo:
Mệnh đề P kéo theo Q của hai mệnh đề P và Q, kí
hiệu bởi P Q(đọc là “P kéo theo Q” hay “Nếu P
thì Q” hay “P là điều kiện đủ của Q” hay “Q là điều
kiện cần của P”) là mệnh đề được định bởi: 
P Q sai khi và chỉ khi P đúng mà Q sai .
27
Phép tính mệnh đề
• Ví dụ: Xét mệnh đề sau : 
“Nếu tôi đẹp trai thì tôi có nhiều bạn gái”
Ta có các trường hợp sau:
• Tôi đẹp trai và có nhiều bạn gái : Mệnh đề rõ ràng đúng
• Tôi đẹp trai và không có nhiều bạn gái : Mệnh đề rõ
ràng sai
• Tôi không đẹp trai mà vẫn có nhiều bạn gái : Mệnh đề
vẫn đúng
• Tôi không đẹp trai và không có nhiều bạn gái : Mệnh đề
vẫn đúng
28
8Phép tính mệnh đề
• Meänh ñeà “Chieàu nay, neáu raûnh toâi seõ gheù 
thaêm baïn” chæ sai khi chieàu nay toâi raûnh 
nhöng toâi khoâng gheù thaêm baïn. 
• Ngöôïc laïi, neáu chieàu nay toâi baän thì duø toâi coù 
gheù thaêm baïn hay khoâng, meänh ñeà treân vaãn 
ñuùng. Ngoaøi ra, taát nhieân neáu chieàu nay toâi 
coù gheù thaêm baïn thì meänh ñeà treân ñuùng (duø 
toâi coù raûnh hay khoâng!).
29
The Implication Operator
The implication p q states that p implies q.
I.e., If p is true, then q is true; but if p is not true, 
then q could be either true or false.
E.g., let p = “You study hard.”
q = “You will get a good grade.”
p q = “If you study hard, then you will get a 
good grade.” (else, it could go either way)
antecedent
consequent
30
Implication Truth Table
• p q is false only when
p is true but q is not true.
• p q does not say
that p causes q!
• p q does not require
that p or q are ever true!
• E.g. “(1=0) pigs can fly” is TRUE!
p q p q 
F F T 
F T T 
T F F 
T T T 
The 
only
False
case!
31
Examples of Implications
• “If this lecture ends, then the sun will rise 
tomorrow.” True or False?
• “If Tuesday is a day of the week, then I am 
a penguin.” True or False?
• “If 1+1=6, then Bush is president.” 
True or False?
• “If the moon is made of green cheese, then I 
am richer than Bill Gates.” True or False?
32
9Phép tính mệnh đề
33
Phép tính mệnh đề
• Pheùp keùo theo hai chieàu: 
Mệnh đề P kéo theo Q và ngược lại của hai mệnhđề
P và Q, ký hiệu bởi P  Q (đọc là “P nếu và chỉ nếu
Q” hay P khi và chỉ khi Q” hay “P là điều kiện cần
và đủ của Q”), là mệnh đề xác định bởi: 
P  Q đúng khi và chỉ khi P và Q có cùng chân trị
34
Phép tính mệnh đề
35
Phép tính mệnh đề
36
10
The biconditional operator
The biconditional p  q states that p is true if and 
only if (IFF) q is true.
p = “Bush wins the 2004 election.”
q = “Bush will be president for all of 2005.”
p  q = “If, and only if, Bush wins the 2004 
election, Bush will be president for all of 2005.”
2004
I’m still
here!
2005
Biconditional Truth Table
• p  q means that p and q
have the same truth value.
• Note this truth table is the
exact opposite of ‟s!
– p  q means ¬(p  q)
• p  q does not imply
p and q are true, or cause each other.
p q p  q 
F F T 
F T F 
T F F 
T T T 
38
Boolean Operations Summary
• We have seen 1 unary operator and 5 binary 
operators . Their truth tables are below.
p q p pq pq pq p q pq
F F T F F F T T
F T T F T T T F
T F F F T T F F
T T F T T F T T
39
Some Alternative Notations
Name: not and or xor implies iff
Propositional logic:     
Boolean algebra: p pq + 
C/C++/Java (wordwise): ! && || != ==
C/C++/Java (bitwise): ~ & | ^
Logic gates:
11
Dạng mệnh đề
• Daïng meänh ñeà laø moät bieåu thöùc ñöôïc caáu taïo
töø:
- Caùc haèng meänh ñeà, töùc laø caùc meänh ñeà ñaõ xeùt ôû
trên.
- Caùc bieán meänh ñeà, töùc laø caùc bieán laáy giaù trò laø
caùc meänh ñeà, thoâng qua caùc pheùp toaùn meänh ñeà
ñaõ xeùt ôû muïc trên theo moät trình töï nhaát ñònh naøo
ñoù, thöôøng ñöôïc chæ roõ bôûi caùc daáu ngoặc.
41
Dạng mệnh đề
• Với E là một dạng mệnh đề các biến mệnh đề p, q, r 
ứng với mỗi giá trị cụ thể P, Q, R (là các mệnh đề) 
của p, q, r thì ta có duy nhất một mệnh đề E(P, Q, R). 
Ta viết E = E(p, q, r).
• Bảng chân trị là bảng ghi tất cả các trường hợp chân
trị có thể xảy ra đối với dạng mệnh đề E theo chân trị
của các biến mệnh đề p, q, r. Nếu có n biến, bảng này
sẽ có 2n dòng, chưa kể dòng tiêu đề.
42
Dạng mệnh đề
43
Tautologies and Contradictions
A tautology is a compound proposition that is 
true no matter what the truth values of its 
atomic propositions are!
Ex. p  p [What is its truth table?]
A contradiction is a compound proposition that 
is false no matter what! Ex. p  p [Truth 
table?]
Other compound props. are contingencies.
44
12
Logical Equivalence
Compound proposition p is logically equivalent 
to compound proposition q, written p q, IFF
the compound proposition pq is a tautology.
Compound propositions p and q are logically 
equivalent to each other IFF p and q contain 
the same truth values as each other in all rows 
of their truth tables.
45
Ex. Prove that pq (p  q).
p q pq p q p  q (p  q)
F F
F T
T F
T T
Proving Equivalence
via Truth Tables
F
T
T
T
T
T
T
T
T
T
F
F
F
F
F
F
F
F
T
T
46
Dạng mệnh đề
1. Quy tắc thay thế thứ 1
Trong dạng mệnh đề E, nếu ta thay thế biểu thức
con F bởi một dạng mệnh đề tương đương logic
thì dạng mệnh đề thu được vẫn còn tương đương
logic với E.
2. Quy tắc thay thế thứ 2
Giả sử dạng mệnh đề E(p,q,r) là một hằng đúng. Nếu ta
thay thế những nơi p xuất hiện trong E bởi một F(p‟,q‟,r‟) 
thì dạng mệnh đề nhận được theo các biến q,r,p‟,q‟,r‟,
vẫn còn là 1 hằng đúng.
47
Dạng mệnh đề
Các luật logic : Với p, q, r là các biến mệnh
đề, 1 là một hằng đúng và 0 là một hằng sai, ta
có các tương đương logic sau đây:
1) Luật luỹ đẳng
p  p p
p  p p 
48
13
Dạng mệnh đề
49 50
51 52
14
53
Dạng mệnh đề
16) Luật rút gọn:
p q p 1
p (p q) p q
(p  q) q p q
p (p  q) 1
54
Equivalence Laws - Examples
• Identity: pT p pF p
• Domination: pT T pF F
• Idempotent: pp p pp p
• Double negation: p p
• Commutative: pq qp pq qp
• Associative: (pq)r p(qr)
(pq)r p(qr)
55
More Equivalence Laws
• Distributive: p(qr) (pq)(pr)
p(qr) (pq)(pr)
• De Morgan’s:
(pq) p  q
(pq) p  q
• Trivial tautology/contradiction:
p  p T p  p F
Augustus
De Morgan
(1806-1871)
15
Defining Operators via Equivalences
Using equivalences, we can define operators in 
terms of other operators.
• Exclusive or: pq (pq)(pq)
pq (pq)(qp)
• Implies: p q p  q
• Biconditional: pq (p q)  (q p)
pq (pq)
57
An Example Problem
• Check using a symbolic derivation whether 
(p  q) (p  r) p  q  r.
(p  q) (p  r) 
[Expand definition of ] (p  q)  (p  r)
[Defn. of ] (p  q)  ((p  r)  (p  r))
[DeMorgan’s Law]
 (p  q)  ((p  r)  (p  r))
 [associative law] cont.
58
Example Continued...
(p  q)  ((p  r)  (p  r)) [ commutes]
 (q  p)  ((p  r)  (p  r)) [ associative]
 q  (p  ((p  r)  (p  r))) [distrib.  over ]
 q  (((p  (p  r))  (p  (p  r)))
[assoc.] q  (((p  p)  r)  (p  (p  r)))
[trivail taut.] q  ((T  r)  (p  (p  r)))
[domination] q  (T  (p  (p  r)))
[identity] q  (p  (p  r)) cont.
59
End of Long Example
q  (p  (p  r))
[DeMorgan’s] q  (p  (p  r))
[Assoc.] q  ((p  p)  r)
[Idempotent] q  (p  r)
[Assoc.] (q  p)  r 
[Commut.] p  q  r 
Q.E.D. (quod erat demonstrandum)
(Which was to be shown.)
60
16
Dạng mệnh đề
• Để chứng minh một dạng mệnh đề là hằng
đúng, hằng sai, các dạng mệnh đề là tương
đương lôgic, dạng mệnh đề này là hệ quả
logic của dạng mệnh đề kia, ta có các cách sau:
- Lập bảng chân trị.
- Sử dụng phép thay thế.
61
Ví dụ
Cho p, q, r laø caùc bieán meänh ñeà. Chöùng minh 
raèng:
(p r)  (q r) (p q) r (1)
Chuùng ta có thể chöùng minh (1) baèng hai caùch.
Caùch 1: Laäp baûng chaân trò .
62
63
Qui tắc suy diễn
• Trong các chứng minh toán học, xuất phát từ một số
khẳng định đúng p, q, r(tiền đề), ta áp dụng các qui 
tắc suy diễn để suy ra chân lí của một mệnh đề h mà
ta gọi là kết luận.
• Nói cách khác, dùng các qui tắc suy diễn để chứng
minh:
( p  q  r  ) có hệ quả logic là h
.
64
17
Qui Tắc Suy Diễn
Ta thường mô hình hóa phép suy luận đó dưới dạng:
p 
q
r
.
:
___
h
65
Qui Tắc Suy Diễn
• QUI TẮC MODUS PONENS(Phƣơng pháp
khẳng định)
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:
Hoặc dưới dạng sơ đồ
 p q p q  
p q
p
q

•Nếu An học chăm thì An học tốt.
•Mà An học chăm
Suy ra An học tốt
•Hình vuông là hình bình hành
•Mà hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung 
điểm mỗi đường.
Suy ra hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại trung 
điểm mỗi đường
67
Qui Tắc Suy Diễn
• QUI TẮC TAM ĐOẠN LUẬN(Syllogism)
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:
Hoặc dưới dạng sơ đồ
 p q q r p r  
p q
q r
p r
 
18
•Hai tam giác vuông có cạnh huyền và 1 cặp góc nhọn
bằng nhau thì chúng ta có một cạnh bằng nhau kèm giữa
hai góc bằng nhau.
•Nếu hai tam giác có cạnh bằng nhau kèm giữa hai góc
bằng nhau thì chúng bằng nhau
Suy ra hai tam giác vuông có cạnh huyền và 1 cặp góc
nhọn bằng nhau thì bằng nhau.
•Một con ngựa rẻ là một con ngựa hiếm
•Cái gì hiếm thì đắt
Suy ra một con ngựa rẻ thì đắt ()
69
Qui Tắc Suy Diễn
• QUI TẮC MODUS TOLLENS
PHƢƠNG PHÁP PHỦ ĐỊNH
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:
Hoặc dưới dạng sơ đồ
 p q q p   
p q
q
p


• Xét chứng minh • Ta suy luận
p r
r s
t s
t u
u
p

 


p r
r s
s t
t u
u
p


Aristotle
(ca. 384-322 B.C.)
71
Qui Tắc Suy Diễn
• QUI TẮC TAM ĐOẠN LUẬN RỜI 
Qui tắc này được thể hiện bằng hằng đúng:
Ý nghĩa của qui tắc: nếu trong hai trường hợp có
thể xảy ra, chúng ta biết có một trường hợp sai thì
chắc chắn trường hợp còn lại sẽ đúng
 p q q p  p q p q  
19
Qui Tắc Suy Diễn
• QUI TẮC MÂU THUẪN
CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG
Ta có tương đương logic
• Để chứng minh vế trái là một hằng đúng ta chứng
minh nếu thêm phủ định của q vào các tiền đề thì
được một mâu thuẫn. 
 1 2 1 2... ... 0n np p p q p p p q       
VÍ DỤ
• Hãy chứng minh: • Cm bằng phản chứng.
p r
p q
q s
r s
 
 
0
p r
p q
q s
r
s
 



74
Qui Tắc Suy Diễn
• CHỨNG MINH THEO TRƢỜNG HỢP 
Dựa trên hằng đúng:
• Ý nghĩa: nếu p suy ra r và q suy ra r thì p hay q 
cũng có thể suy ra r.
 p r q r p q r   
VÍ DỤ
• Chứng minh rằng:
 3 4 3n n 
20
Một số luật thêm
p Rule of Addition(Phép thêm)
 pq
pq Phép đơn giản nối liền
 p 
p
q
 pq Luật về phép nối lền
77
VÍ DỤ TỔNG HỢP
1. Nếu nghệ sĩ Trương Ba
không trình diễn hay số
vé bán ra ít hơn 100 thì
đêm diễn sẽ bi hủy bỏ và
ông bầu sẽ rất buồn.
2. Nếu đêm diễn bị hủy bỏ
thì tiềnvé phải trả lại cho
người xem.
3. Nhưng tiềnvé đã không
trả lại cho người xem. 
Vậy nghệ sỹ TB đã
trình diễn
• p:Nghệ sĩ Trương Ba đã trình
diễn.
• q:số vé bán ra ít hơn 100.
• r:đêm diễn bị hủy bỏ.
• s: ông bầu buồn.
• t:trả lại tiền vé cho người xem
p q r s
r t
t
p
  


78
Qui Tắc Suy Diễn
• PHẢN VÍ DỤ
Để chứng minh một phép suy luận là sai hay
không là một hằng đúng. Ta chỉ cần chỉ ra một
phản ví dụ.
1 2 ... np p p q   
VÍ DỤ
• Ông Minh nói rằng nếu
không được tăng lương thì
ông ta sẽ nghỉ việc. Mặt
khác, nếu ông ấy nghỉ việc
và vợ ông ấy bị mất việc thì
phải bán xe. Biết rằng nếu
vợ ông Minh hay đi làm trễ
thì trước sau gì cũng sẽ bị
mất việc và cuối cùng ông
Minh đã được tăng lương.
• Suy ra nếu ông Minh không
bán xe thì vợ ông ta đã
không đi làm trễ
• p:ông Minh được tăng
lương.
• q: ông Minh nghỉ việc.
• r: vợ ông Minh mất việc.
• s: gia đình phải bán xe.
• t: vợ ông hay đi làm trễ.
p q
q r s
t r
p
s t
 
 
 
s=0
t=1
p=1
q=0
r=1
80
21
Formal Proof Example
• Suppose we have the following premises:
“It is not sunny and it is cold.”
“Only if We will swim is it sunny.”
“If we do not swim, then we will canoe.”
“If we canoe, then we will be home early.”
• Given these premises, prove the theorem
“We will be home early” using inference rules.
81
Proof Example cont.
• Let us adopt the following abbreviations:
– sunny = “It is sunny”; cold = “It is cold”; 
swim = “We will swim”; canoe = “We will 
canoe”; early = “We will be home early”.
• Then, the premises can be written as:
(1) sunny  cold (2) swim sunny
(3) swim canoe (4) canoe early
82
Proof Example cont.
Step Proved by
1. sunny  cold Premise #1.
2. sunny Simplification of 1.
3. swim sunny Premise #2.
4. swim Modus tollens on 2,3.
5. swim canoe Premise #3.
6. canoe Modus ponens on 4,5.
7. canoe early Premise #4.
8. early Modus ponens on 6,7.
83
Qui Tắc Suy Diễn
• VD1
84
22
85
Qui Tắc Suy Diễn
• VD2
86
• Giải
Qui Tắc Suy Diễn
87
Qui Tắc Suy Diễn
88
23
Qui Tắc Suy Diễn
89
à
90