Bài giảng Toán rời rạc 2 - Chương 4: Đồ thị Euler. Đồ thị Hamilton

ĐỒ THỊ EULER
ĐỒ THỊ HAMILTON
Toán rời rạc 2
Nội dung
• Đồ thị Euler
• Đồ thị Hamilton
2
Đồ thị Euler
Khái niệm đồ thị Euler (1/2)
• Định nghĩa.
– Chu trình đơn trong đồ thị G đi qua mỗi cạnh của đồ thị đúng 
một lần được gọi là chu trình Euler.
– Đường đi đơn trong G đi qua mỗi cạnh của nó đúng một lần 
được gọi là đường đi Euler.
– Đồ thị được gọi là đồ thị Euler nếu nó có chu trình Euler.
– Đồ thị có đường đi Euler được gọi là nửa Euler.
• Ví dụ 1:
4
Khái niệm đồ thị Euler (2/2)
• Ví dụ 2:
5
Điều kiện cần và đủ để đồ thị là Euler
• Đồ thị vô hướng
– Đồ thị vô hướng liên thông G= là đồ thị Euler 
khi và chỉ khi mọi đỉnh của G đều có bậc chẵn.
• Đồ thị có hướng
– Đồ thị có hướng liên thông yếu G= là đồ thị 
Euler khi và chỉ khi tất cả các đỉnh của nó đều có bán 
đỉnh bậc ra bằng bán đỉnh bậc vào (điều này làm cho 
đồ thị là liên thông mạnh)
6
Chứng minh đồ thị là Euler
• Với đồ thị vô hướng:
– Kiểm tra đồ thị có liên thông hay không?
• Kiểm tra DFS(u) = V hoặc BFS(u) = V l iên thông
– Kiểm tra bậc của tất cả cả đỉnh có phải số chẵn hay không? 
• Với ma trận kề, tổng các phần tử của hàng u�(cột u) là bậc của đỉnh u.
• Với đồ thị có hướng:
– Kiểm tra đồ thị có liên thông yếu hay không?
• Kiểm tra đồ thị vô hướng tương ứng là liên thông, hoặc
• Kiểm tra nếu tồn tại đỉnh u∈V để DFS(u)=V hoặc BFS(u)=V?
– Kiểm tra tất cả các đỉnh có thỏa mãn bán bậc ra bằng bán bậc 
vào hay không?
• Với ma trận kề, bán bậc ra của đỉnh u là deg+(u) là số các số 1 của hàng u, 
bán bậc vào của đỉnh u là deg-(u) là số các số 1 của cột u.
7
Ví dụ với đồ thị vô hướng
• Cho đồ thị vô hướng được biểu diễn dưới dạng ma 
trận kề như hình dưới. Chứng minh là đồ thị Euler .
8
• Vì BFS(1) = { 1, 2, 6, 3, 5, 
7, 4, 11, 8, 10, 12, 9, 13} = 
V. Do vậy, G liên thông.
• Ta lại có:
• deg(1) = deg(13) = 2.
• deg (2) = deg(3) = 4
• deg(4) = deg(5) = 4
• deg(6) = deg(7) = 4
• deg(8) = deg(9) = 4
• deg(10) = deg(11) =
• deg(12) = 4
Ví dụ với đồ thị có hướng
• Cho đồ thị có hướng được biểu diễn dưới dạng ma 
trận kề như hình dưới. Chứng minh là đồ thị Euler .
9
Thuật toán tìm chu trình Euler
10
Kiểm nghiệm thuật toán (1/3)
• Tìm chu trình 
Euler cho đồ 
thị vô hướng 
được biểu 
diễn dưới 
dạng ma trận 
kề như bên 
cạnh.
11
Kiểm nghiệm thuật toán (2/3)
12
Kiểm nghiệm thuật toán (3/3)
13
Cài đặt thuật toán
• Thủ tục Init(): đọc dữ liệu theo khuôn dạng biểu diễn ma 
trận kề. 
• Thủ tục Kiemtra(): Kiểm tra xem G có là Euler hay 
không. 
• Thủ tục EulerCycle (u) : Xây dựng chu trình Euler bắt 
đầu tại đỉnh u.
14
Xem code minh họa
Điều kiện cần và đủ để đồ thị là nửa Euler
• Với đồ thị vô hướng
– Đồ thị vô hướng liên thông G= là đồ thị nửa 
Euler khi và chỉ khi G có 0 hoặc 2 đỉnh bậc lẻ
• G có 2 đỉnh bậc lẻ: đường đi Euler xuất phát tại một đỉnh bậc 
lẻ và kết thúc tại đỉnh bậc lẻ còn lại
• G có 0 đỉnh bậc lẻ: G chính là đồ thị Euler.
• Đồ thị có hướng
– Đồ thị có hướng liên thông yếu G = là đồ thị 
nửa Euler khi và chỉ khi:
• Tồn tại đúng hai đỉnh u, v V sao cho
deg+(u) - deg-(u)= deg-(v) - deg+(v)=1.
• Các đỉnh s u, s v còn lại có deg+(s)=deg-(s).
• Đường đi Euler sẽ xuất phát tại đỉnh u và kết thúc tại đỉnh v.
15
Chứng minh đồ thị là nửa Euler
• Với đồ thị vô hướng:
– Chứng tỏ đồ thị đã cho liên thông
• Sử dụng hai thủ tục DFS() hoặc BFS()
– Có 0 hoặc 2 đỉnh bậc lẻ
• Sử dụng tính chất của các phương pháp biểu diễn đồ thị để tìm ra bậc của 
mỗi đỉnh.
• Với đồ thị có hướng:
– Chứng tỏ đồ thị đã cho liên thông yếu 
• Sử dụng hai thủ tục DFS() hoặc BFS() 
– Có hai đỉnh u,v ∈ V thỏa mãn
deg+(u) - deg-(u)= deg-(v) - deg+(v)=1
– Các đỉnh s u, s v còn lại có deg+(s) = deg-(s).
16
Ví dụ với đồ thị vô hướng
• Cho đồ thị vô hướng được biểu diễn dưới dạng ma 
trận kề như hình dưới. Chứng minh là đồ thị nửa Euler 
.
17
• Theo tính chất của ma trận 
kề, tổng các phần tử hàng u 
là bậc của đỉnh u. Vậy ta có: 
• deg(1) = deg(13) = 3 
• deg (2) = deg(3) = deg(11) = 4 
• deg(12) = deg(6) = deg(7) = 4 
• deg(8) = deg(9) = 4 
• deg(5) = deg(4) = deg(10) = 6 
• G liên thông và có 2 đỉnh 
bậc lẻ u=1 và u=13 nên G là 
nửa Euler.
Ví dụ với đồ thị có hướng
• Cho đồ thị có hướng được biểu diễn dưới dạng ma 
trận kề như hình dưới. Chứng minh là đồ thị nửa Euler 
.
18
Thuật toán tìm đường đi Euler (1/2)
• Thuật toán tìm đường đi Euler và chu trình Euler chỉ 
khác nhau duy nhất ở một điểm đó là đầu vào của thuật 
toán.
• Đối với thuật toán tìm chu trình Euler, đầu vào thuật toán 
là đỉnh u V bất kỳ.
• Đối với thuật toán tìm đường đi trình Euler, đầu vào 
thuật toán là đỉnh u V
– là đỉnh bậc lẻ đầu tiên trong đối với đồ thị vô hướng.
– là đỉnh u V có deg+ (u)-deg- (u)=1 đối với đồ thị có 
hướng, 
19
Thuật toán tìm đường đi Euler (2/2)
20
Kiểm nghiệm thuật toán (1/3)
• Tìm đường đi 
Euler trên đồ 
thị có hướng 
liên thông yếu 
được biểu diễn 
dưới dạng ma 
trận kề như hình 
bên.
21
• Khi đó, đỉnh u có deg+(u)-deg-(u)=1 là đỉnh 1.
Kiểm nghiệm thuật toán (2/3)
22
Kiểm nghiệm thuật toán (3/3)
23
Cài đặt thuật toán
• Thủ tục Init(): đọc dữ liệu theo khuôn dạng biểu diễn ma 
trận kề. 
• Thủ tục Kiemtra(): Kiểm tra xem G có là nửa Euler hay 
không. 
• Thủ tục EulerPath (u) : Xây dựng đường đi Euler bắt đầu 
tại đỉnh u (đỉnh bậc lẻ đầu tiên). 
24
Xem code minh họa
Đồ thị Hamilton
Định nghĩa đồ thị Hamilton
• Đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh đúng một lần 
được gọi là đường đi Hamilton.
• Chu trình bắt đầu tại một đỉnh v nào đó, qua tất cả các đỉnh còn lại 
mỗi đỉnh đúng một lần, sau đó quay trở lại v, được gọi là chu trình 
Hamilton.
• Đồ thị được gọi là đồ thị Hamilton nếu có chu trình Hamilton 
• Đồ thị được gọi là đồ thị nửa Hamilton nếu có đường đi Hamilton
26
Vài lưu ý
• Cho đến nay, chưa tìm ra được một tiêu 
chuẩn để nhận biết một đồ thị có phải là 
đồ thị Hamilton hay không.
• Cho đến nay, cũng vẫn chưa có thuật toán 
hiệu quả để kiểm tra một đồ thị có phải là 
đồ thị Hamilton hay không.
27
Thuật toán tìm tất cả các chu trình 
Hamilton (1/2)
• Thuật toán liệt kê tất cả chu trình Hamilton bắt đầu tại 
đỉnh k.
28
Thuật toán tìm tất cả các chu trình 
Hamilton (2/2)
• Khi đó, việc liệt kê chu trình Hamilton được thực hiện 
như sau:
29
Kiểm nghiệm thuật toán
• Với đồ thị G= bên trái sẽ cho ta cây tìm 
kiếm chu trình Hamilton bên phải
30
Cài đặt thuật toán
• Xem code minh họa
31
Bài tập
• Làm các bài tập từ 1 đến 7 trong Tài liệu giảng 
dạy môn Toán rời rạc 2.
32