Bài giảng Toán rời rạc - Chương 5: lý thuyết chuỗi

CHƯƠNG 5:
LÝ THUYẾT CHUỖI
Mục tiêu
- Định nghĩa sự hội tụ và phân kỳ của một chuỗi số vô
hạn.
- Xác định xem một chuỗi số là hội tụ hay phân kỳ.
Nội dung: Chuỗi số
- Các khái niệm chung
- Chuỗi số dương
- Chuỗi đan dấu
- Chuỗi có dấu bất kỳ
5.1 CHUỖI SỐ THỰC
5.1 Các khái niệm chung
Định nghĩa chuỗi số. Cho dãy số  ,  ∈ ℝ tức là,
, ,  , , 
Biểu thức có dạng
 +  +  + ⋯ +  + ⋯ 
Được gọi là một chuỗi số vô hạn (hay còn gọi tắt là chuỗi
số) và được ký hiệu là



 hoặc 
 gọi là số hạng tổng quát của chuỗi.
5.1: Ví dụ
Ví dụ 1: Chuỗi số
1
2
+
1
2
+
1
2
+ ⋯ +
1
2
+ ⋯
Được viết gọn lại thành

1
2


 hoặc 


 với  =
1
2
5.1: Ví dụ
Để xét sự hội tụ/phân kỳ của chuỗi số thì ta sẽ xét sự hội tụ/phân
kỳ của dãy tổng riêng phần! Quay trở lại ví dụ 1 ∑



 , nếu ta đặt:
 =  =


= 0.5
 =  +  =


+


=


= 0.75
 =  +  +  =


+


+


=


= 0.875
 =  +  +  +  =


+


+


+


=


= 0.9375
 =  +  +  +  +  =


+


+


+


+


=


= 0.9687 
 =


= 0.984375,  = 0.992188,  = 0.996094,  = 0.998047, 
0.5, 0.75, 0.875, 0.9375, 0.96, 0.98, 0.992, 0.996, 0.998 
5.1: Ví dụ
Ta nhận thấy rằng, nếu ta càng cộng nhiều số hạng vào, 
thì các tổng (riêng phần) càng gần 1. 
Thật vậy, nếu ta cộng một lượng đủ lớn các số hạng thì
tổng riêng phần sẽ gần như là 1. 
Do đó, ta thấy rằng sẽ hợp lý nếu ta nói chuỗi vô hạn này
có giá trị là 1 và ta viết

1
2


= 1
5.1: Tổng riêng phần
Tổng quát hóa ý tưởng trên, ta đặt
 =  
 =  +  
 =  +  +  
 =  +  +  +  
 ..
  =  +  +  +  + ⋯ +  =  


Dãy  được gọi là dãy tổng riêng phần của chuỗi
∑  (  có thể hội tụ hoặc không).
5.1: Tổng riêng phần
Dãy tổng riêng phần  có thể hội tụ hoặc không.
Trong trường hợp  hội tụ và có giới hạn là  ( <
∞), tức
lim
→
 = 
Thì ta nói rằng  chính là tổng của chuỗi ∑ 

 . 
5.1: Định nghĩa: Chuỗi hội tụ/phân kỳ
Định nghĩa: Gọi  là tổng riêng phần thứ  của chuỗi
∑ 

 , tức là
 =  +  +  +  + ⋯ +  =  


Nếu dãy  hội tụ và có giới hạn là  ( < ∞), tức 
lim
→
 = , thì ta nói rằng chuỗi ∑ 

 hội tụ và có
tổng là . Khi ấy ta viết
 


= 
Nếu dãy  phân kỳ thì ta nói chuỗi ∑ 

 phân kỳ.
5.1: Ví dụ
Xét lại Ví dụ 1: Chuỗi số ∑




Ta có tổng riêng phần thứ n là
 =
1
2
+
1
2
+
1
2
+ ⋯ +
1
2
= 1 −
1
2
Ta có
lim
→
 = lim
→
1−
1
2
= 1 − lim
→
1
2
= 1 − 0 = 1
Vậy ta kết luận chuỗi ∑



 hội tụ là có tổng là 1:

1
2


= 1
Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của chuỗi sau và tính tổng (nếu có).

1
( + 1)


Gợi ý: Phân tích
1
( + 1)
=
1

−
1
( + 1)
Rồi xét tổng riêng phần.
Định lý 5.2: Nếu chuỗi số ∑ 

 hội tụ thì
lim
→
 = 0
Chú ý:
- Nếu lim 
→
 ≠ 0 thì chuỗi số ∑ 

 phân kỳ. 
- Nếu lim 
→
 = 0 thì không suy ra được chuỗi số
∑ 

 hội tụ.
Ví dụ: Chứng minh rằng chuỗi ∑



 phân kỳ.
Ta nhận thấy rằng
lim
→

5 + 4
= lim
→
1
5 +
4

=
1
5 + 0
=
1
5
≠ 0
Suy ra chuỗi phân kỳ
Tính chất 5.1 (chuỗi hội tụ). Giả sử các chuỗi số



=  ;  = 


.
Khi đó
1.∑ (±

 ) = ∑ 

 ± ∑ 

 =  ± 
2.∑ (

 ) =  ∑ 

 = 
3.Chuỗi số ∑ 

 =  − ∑ 

 .Hơn nữa, ∑ 

 hội tụ
⟺∑ 

 hội tụ.
5.1.2 Chuỗi số dương
Định nghĩa. Chuỗi số



=  +  + ⋯ +  + ⋯
Được gọi là một chuỗi số dương nếu  > , ∀ ∈ ℕ .
Định lý 5.3. Chuỗi số dương hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng
riêng phần của nó bị chặn trên
 ≤  , ∀ ∈ ℕ
A Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương
1. Tiêu chuẩn so sánh 1
Cho 2 chuỗi số dương



  ; 


 ()
Giả sử  ≤ , ∀ ≥ ,  ∈ ℕ
∗
Khi đó: 
- Nếu chuỗi (b) hội tụ thì chuỗi (a) hội tụ.
- Nếu chuỗi (a) phân kỳ thì chuỗi (b) phân kỳ.
2. Tiêu chuẩn so sánh 2
Cho 2 chuỗi số dương



  ; 


 ()
Và
lim
→


= ,
Khi đó: 
- Nếu  <  < +∞ hai chuỗi (a) và (b) cùng hội tụ hoặc cùng
phân kỳ.
- Nếu  =  và chuỗi (b) hội tụ thì chuỗi (a) hội tụ. 
- Nếu  = +∞ và chuỗi (b) phân kỳ thì chuỗi (a) phân kỳ. 
3. Tiêu chuẩn D’Alembert
Cho chuỗi số dương



 (∗)
Và
lim
→


=  ,
Khi đó: 
- Nếu  <  ìchuỗi (*) hội tụ.
- Nếu  >  thì chuỗi (*) phân kỳ. 
4. Tiêu chuẩn Cauchy
Cho chuỗi số dương



 (∗)
Và
lim
→

 = ,
Khi đó: 
- Nếu C<  ìchuỗi (*) hội tụ.
- Nếu C>  thì chuỗi (*) phân kỳ. 
5. Tiêu chuẩn tích phân
Cho () dương, liên tục và đơn điệu giảm trên [, +∞ ) thỏa mãn
điều kiện   = , lim
→
  =  , thì chuỗi số



 (∗)
hội tụ khi và chỉ khi tích phân suy rộng hội tụ.
Và ngược lại.
( )d x
k
f x
Ví dụ 1 Xét sự hội tụ của chuỗi số

 + 
 + 


Ta có

 =
 + 
 + 

 →


< .
Theo tiêu chuẩn Cauchy, suy ra chuỗi đang xét hội tụ.
Ví dụ 2 Xét sự hội tụ của chuỗi số

!



Ta có
 =
  +  !
 +  
=
.  +  !
 +  ( + )
=
.!
 +  
.


=
.!
 +  
.

!
=

 +  
=   −

 + 



→ 

> . Theo tiêu chuẩn D’Alembert, suy ra chuỗi đang
xét phân kỳ.