Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 5: Lý thuyết mẫu - Phạm Trí Cao

ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019
1
1
PHẦN 2: 
THỐNG KÊ
Bản 2019 có một số điều chỉnh cho THỐNG NHẤT với
sách THỐNG KÊ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ VÀ
KINH DOANH. Tác giả ANDERSON & SWEENEY &
WILLIAMS. Nhà xuất bản HỒNG ĐỨC 2016.
Khoa Toán-Thống kê, trường đại học Kinh tế TP.HCM
biên dịch.
2
CHƯƠNG 5: 
LÝ THUYẾT MẪU
3
1. MẪU VÀ PHƯƠNG PHÁP MẪU
Giả sử ta cần nghiên cứu một tập hợp có rất nhiều
phần tử, vì một số lý do mà ta không thể khảo sát toàn
bộ tập lớn này (khảo sát tất cả các phần tử), nhưng ta
lại muốn có kết quả trên tập lớn. Ta có thể giải quyết
như sau: từ tập hợp lớn lấy ra một tập hợp nhỏ hơn để
nghiên cứu, ta thu được kết quả trên tập nhỏ, từ kết
quả trên tập nhỏ ta suy ra kết quả cho tập lớn. Phương
pháp làm việc như vậy gọi là phương pháp mẫu. Tập
lớn gọi là tổng thể hay đám đông, số phần tử của tập
lớn gọi là kích thước tổng thể/đám đông, ký hiệu là N.
Tập nhỏ gọi là mẫu, số phần tử của mẫu gọi là kích
thước mẫu hay cỡ mẫu, ký hiệu n. 4
Một số lý do không thể nghiên cứu toàn bộ tổng thể:
 Giới hạn về thời gian, tài chính
Thí dụ muốn khảo sát xem chiều cao trung bình của
thanh niên Việt Nam hiện nay có tăng lên so với trước
đây không, ta phải đo chiều cao của toàn bộ thanh niên
Việt nam (giả sử xấp xỉ N= 40 triệu người), điều này
tuy làm được nhưng rõ ràng tốn nhiều thời gian, tiền
bạc, công sức.
Ta có thể khảo sát khoảng 1 triệu thanh niên và từ
chiều cao trung bình của n= 1 triệu người này, ta suy ra
chiều cao trung bình của toàn bộ thanh niên VN.
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019
2
Một số lý do không thể nghiên cứu toàn bộ tổng thể:
 Phá vỡ tổng thể nghiên cứu.
Thí dụ ta cất vào kho N= 10000 hộp sản phẩm, muốn
biết tỷ lệ hộp hư trong kho sau 1 thời gian bảo quản.
Ta phải kiểm tra từng hộp để xác định số hộp hư M=
300, thì tỷ lệ hộp hư trong kho là M/N.
Một sản phẩm sau khi được kiểm tra thì bị mất phẩm
chất, khi ta kiểm tra xong cả kho thì cũng “tiêu” luôn
cái kho!
Ta có thể lấy ngẫu nhiên n= 100 hộp ra kiểm tra, giả
sử có m= 9 hộp hư. Từ tỷ lệ hộp hư 9% ta suy ra tỷ lệ
hộp hư của cả kho. 5 6
Một số lý do không thể nghiên cứu toàn bộ tổng thể:
 Không xác định được chính xác tổng thể.
Thí dụ muốn khảo sát xem tỷ lệ những người bị
nhiễm HIV qua đường tiêm chích ma túy là bao nhiêu
phần trăm. Trong tình huống này thì tổng thể chính là
những người bị nhiễm HIV, nhưng ta không thể xác
định chính xác tất cả những người bị nhiễm HIV vì chỉ
có những người tự nguyện đến trung tâm xét nghiệm,
bệnh viện thì mới biết được, còn những người không
đi xét nghiệm thì không biết được.
Do đó ta chỉ biết một phần của tổng thể, là những
người đã đi xét nghiệm. Ngoài ra số người bị nhiễm
mới HIV và bị chết do HIV có thể thay đổi từng giây
nên số phần tử của tổng thể thay đổi từng giây.
7
 Muốn từ kết quả của mẫu suy ra kết quả cho tổng thể tốt thì
mẫu phải đại diện được cho tổng thể, muốn vậy thì mẫu phải
được lấy một cách ngẫu nhiên. Trong phạm vi bài giảng này
không đề cập đến kỹ thuật lấy mẫu (mẫu giản đơn, mẫu hệ
thống, mẫu chùm, mẫu phân tổ, mẫu nhiều cấp ).
 Có 3 cách lấy mẫu thông dụng:

 C1: Lấy ngẫu nhiên n phần tử: phân phối siêu bội

 C2: Lấy lần lượt n phần tử

 C3: Lấy có hoàn lại n phần tử: phân phối nhị thức
* Về mặt xác suất: c1 = c2
* Khi n << N thì c1 xấp xỉ c3
 Ta quy ước là mẫu được lấy theo cách có hoàn lại.
 Mẫu gồm có: mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể. Cần phân biệt
rõ mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể.
8
 Tổng thể được đặc trưng bởi dấu hiệu nghiên cứu X, là
một đại lượng ngẫu nhiên. Do đó khi nói về X tức là
nói về tổng thể.
 Mẫu ngẫu nhiên (có cỡ mẫu n) được ký hiệu
WX=(X1,,Xn) là một véctơ có n thành phần, mỗi thành
phần Xi là một ĐLNN. Các ĐLNN này độc lập nhau và
có cùng quy luật phân phối giống với X.
 Mẫu cụ thể (có cỡ mẫu n) được ký hiệu Wx= (x1,,xn) là
một véctơ có n thành phần, mỗi thành phần xi là một
giá trị (con số) cụ thể.
 Ứng với một mẫu ngẫu nhiên thì có nhiều mẫu cụ thể
tương ứng với kết quả của các phép thử ngẫu nhiên
khác nhau.
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019
3
9
VD1: Một kệ chứa 100 đĩa nhạc với giá như sau: 
Giá (ngàn đ) 20 25 30 34 40 
Số đĩa 35 10 25 17 13 
Xét tổng thể về mặt định lượng: 
Lấy ngẫu nhiên 1 đĩa nhạc trong kệ. 
Gọi X= giá của đĩa nhạc này. 
Ta thấy X có quy luật ppxs như sau: 
X 20 25 30 34 40 
P 0,35 0,10 0,25 0,17 0,13 
10
 VD1: (Xét tổng thể về mặt định lượng)
 Lấy ngẫu nhiên (có hoàn lại) 4 đĩa nhạc từ kệ.
Gọi Xi= giá của đĩa nhạc thứ i lấy được, i= 1,4
 Ta thấy các Xi độc lập và có cùng quy luật ppxs
giống như X.
 Lập WX= (X1,X2,X3,X4), gọi là mẫu ngẫu nhiên.
 VD1: (Xét tổng thể về mặt định lượng)
 Bây giờ ta xem giá cụ thể của từng đĩa lấy ra, thấy
như sau:
 Đĩa 1: giá 20 ngàn đ
 Đĩa 2: giá 30 ngàn đ
 Đĩa 3: giá 20 ngàn đ
 Đĩa 4: giá 40 ngàn đ
 Lập Wx= (x1,x2,x3,x4) = (20,30,20,40), gọi là mẫu
cụ thể.
11 12
VD1: Bây giờ ta xét tổng thể về mặt định tính: 
Đĩa có giá dưới 25 ngàn đ là đĩa “dỏm”. Lấy ngẫu 
nhiên 1 đĩa từ kệ. Gọi X= số đĩa dỏm lấy được. 
X 0 1 
P 0,65 0,35 
Lấy ngẫu nhiên (có hoàn lại) 4 đĩa nhạc từ kệ. 
Gọi Xi= số đĩa dỏm lấy được khi lấy 1 đĩa ở lần lấy 
thứ i, i= 1,4 
Các Xi độc lập và có cùng quy luật ppxs giống X. 
Lập WX= (X1,X2,X3,X4), gọi là mẫu ngẫu nhiên. 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019
4
 VD1: (xét tổng thể về mặt định tính)
 Bây giờ ta xem giá cụ thể của từng đĩa lấy ra, thấy 
như sau:
 Đĩa 1: giá 20 ngàn đ x1= 1
 Đĩa 2: giá 30 ngàn đ x1= 0
 Đĩa 3: giá 20 ngàn đ x1= 1
 Đĩa 4: giá 40 ngàn đ x1= 0
 Lập Wx= (x1,x2,x3,x4) = (1,0,1,0), gọi là mẫu cụ 
thể.
13 14
II. Các đặc trưng số cơ bản của tổng thể và mẫu:
 Ta xét tổng thể về mặt định lượng: Tổng thể được đặc
trưng bởi dấu hiệu nghiên cứu X, X là ĐLNN.
Ta có E(X)=µ là trung bình tổng thể. Var(X)=2 là
phương sai tổng thể, và  là độ lệch chuẩn của tổng thể.
 Ta xét tổng thể về mặt định tính: tổng thể có kích
thước N, trong đó có M phần tử có tính chất A quan
tâm. Ta có p= M/N gọi là tỷ lệ tổng thể.
 Tương tự, ta cũng có trung bình mẫu , phương sai
mẫu (đã hiệu chỉnh) s2, tỷ lệ mẫu f.
x
15
Các đặc trưng số cơ bản của mẫu (dạng ngẫu nhiên): 
 Định lượng: 
 Trung bình mẫu:  iXnX
1 
 Phương sai mẫu (chưa hiệu chỉnh): 1ˆ2 2( )S X X
i
 n 
 Phương sai mẫu (đã hiệu chỉnh): 12 2( )S X X
i
 n-1 
 Độ lệch chuẩn mẫu (chưa hiệu chỉnh): 2ˆˆ SS 
 Độ lệch chuẩn mẫu (đã hiệu chỉnh): 2SS 
 Ta có: 
1
ˆ
n
nSS 
 Sai số chuẩn mẫu (đã hiệu chỉnh): S
n
 16
Các đặc trưng số cơ bản của mẫu (dạng ngẫu nhiên): 
 Định tính: 
 Tỷ lệ mẫu: F = 
n
i
i
Xn
1
1 
 Với Xi có quy luật phân phối xác suất (không-một): 
Xi 0 1 
P q p 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019
5
17
Các đặc trưng số cơ bản của mẫu (dạng cụ thể): 
 Định lượng: 
 Trung bình mẫu:  ixnx
1 
 Phương sai mẫu (chưa hiệu chỉnh): 2)(12ˆ  xixns 
 Phương sai mẫu (đã hiệu chỉnh): 2)(
1
12  
 x
i
x
n
s 
 Độ lệch chuẩn mẫu (chưa hiệu chỉnh): 2ˆˆ ss 
 Độ lệch chuẩn mẫu (đã hiệu chỉnh): 2ss 
 Ta có: 
1
ˆ
n
nss 
 Sai số chuẩn mẫu (đã hiệu chỉnh): s
n
 18
Các đặc trưng số cơ bản của mẫu (dạng cụ thể): 
 Định tính: 
 Tỷ lệ mẫu: f = 
n
i
i
xn
1
1 
 Với xi chỉ có giá trị là 0 hoặc là 1. 
 Trong thực hành ta xác định tỷ lệ mẫu: 
f = m/n 
Với: 
n: cỡ mẫu 
m: số phần tử có tính chất A quan tâm trong mẫu 
19
Trong thực hành: Xác định trung bình mẫu, 
phương sai mẫu (đã hiệu chỉnh) như sau: 
xi ni 
x1 n1 
... ... 
xi ni 
 ... ... 
xk nk 
 n=n1+...+nk 
1
x n xi in
  ; 12 2 2( )
1
s n x n x
i in
 
Mẫu dạng điểm 
* xi là giá trị thu thập 
được 
* ni là số lần xuất 
hiện của xi trong mẫu 
20
VD2: Điều tra năng suất lúa trên diện tích 100 
hecta trồng lúa của một vùng, ta thu được bảng số 
liệu sau: 
Năng suất (tạ / ha) 41 44 45 46 48 52 54 
Số ha có năng suất 
tương ứng 
10 20 30 15 10 10 5 
1) Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh, 
độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh 
2) Những thửa ruộng có năng suất từ 48 tạ trở lên 
là những thửa ruộng có năng suất cao. Tính tỷ lệ 
thửa ruộng có năng suất cao 
3) Tính trung bình mẫu, phương sai mẫu hiệu chỉnh 
của những thửa ruộng có năng suất cao 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019
6
21
Giải:
1) Ta lập bảng như sau 
xi ni nixi nixi2 
41 
44 
45 
46 
48 
52 
54 
10 
20 
30 
15 
10 
10 
5 
410 
880 
1350 
690 
480 
520 
270 
16.810 
38.720 
60.750 
31.740 
23.040 
27.040 
14.580 
Tổng n = 100 4600 212680 22
Lưu ý: Máy tính Casio fx-570VN Plus có chức năng tính
trung bình mẫu, độ lệch chuẩn mẫu (hiệu chỉnh).
Xem file hướng dẫn trên trang web của Phạm Trí Cao.
Trung bình mẫu của năng suất: 
1 4600
46
100
n xi in
x  tạ/ha 
Phương sai mẫu (đã h/chỉnh) của năng suất: 
 2 2 21 ( )
1 i i
s n x n x
n
  
909,10246*100212680
1100
12 
s 
Độ lệch chuẩn mẫu (đã hiệu chỉnh): 
2 10,909 3,303s s 
23
2) Tỷ lệ mẫu là f = 25,0
100
51010 
3) Lập bảng sau 
xi ni ni.xi ni.xi2 
48 10 480 23040 
52 10 520 27040 
54 5 270 14580 
Tổng n = 25 1270 64660 
 8,50
25
1270 x 
 s2 = 6]2)8,50*(2564660[
125
1 
 24
VD3: Quan sát tuổi thọ của một số người ta có 
bảng số liệu sau : 
Tuổi (năm) Số người 
20 – 30 
30 – 40 
40 – 50 
50 – 60 
5 
14 
25 
6 
1) Tính trung bình mẫu x , phương sai mẫu s2. 
2) Những người sống dưới 40 tuổi là "chết 
trẻ". Tìm tỷ lệ người chết trẻ. 
Mẫu 
dạng 
khoảng 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019
7
25
Giải: 
Đưa về dạng điểm, lập bảng tính như VD2. 
xi ni 
25 
35 
45 
55 
5 
14 
25 
6 
1) n= 50 ; x = 41,40 ; s2= 68,4082 
2) Tỷ lệ mẫu f = (5+14)/ 50 = 0,38 
 VD4:
 Khảo sát 500.000 người ở một nước, người ta thấy có
75000 người có biểu hiện tâm thần.
 Tìm tỷ lệ mẫu của những người có biểu hiện tâm thần?
 Giải:
 Tỷ lệ mẫu f = 75000 / 500000 = 0,15
 VD5:
 Lô hàng có nhiều sản phẩm, các sản phẩm được đóng
vào từng hộp. Mỗi hộp có 10 sản phẩm.
 Lấy 20 hộp từ lô hàng thì thấy có 60 sản phẩm loại A.
 Tìm tỷ lệ mẫu của sản phẩm loại A?
 Giải:
 Tỷ lệ mẫu f= 60/ 20*10 = 60/ 200
26
 VD6:
 Máy tự động sản xuất ra sản phẩm, cứ 10 sản phẩm
đóng thành 1 hộp. Lấy ngẫu nhiên 100 hộp để kiểm
tra, ta có bảng số liệu sau:
 Xác định tỷ lệ mẫu của sản phẩm loại A?
 Giải:
 Tỷ lệ mẫu f = (1/1000).{7(5)+8(25)+9(30+10(40)}
= 0,905
27
Số sp loại A trong hộp 7 8 9 10
Số hộp 5 25 30 40
 VD 7: Bảng số liệu về chiều cao của một số người như sau:
 a) Những người có chiều cao trong khoảng từ 1,7m đến 1,8m là
những người có chiều cao mê ly. Xác định tỷ lệ người mê ly?
 b) Những người có chiều cao từ 1,5m trở xuống là những người
mi nhon. Xác định tỷ lệ người mi nhon?
 c) Những người có chiều cao từ 1,5m đến 1,8m là những người
có chiều cao lý tưởng. Xác định tỷ lệ người cao lý tưởng?
 Giải:
 a) Tỷ lệ mẫu f= 60/200
 b) f= 30/200
 c) f= 130/200
28
Chiều cao (m) 1,3-1,5 1,5-1,7 1,7-1,8 1,8-2,0
Số người 30 70 60 40
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019
8
29
VD8: Mẫu cụ thể 2 chiều 
Ta có bảng số liệu về 2 chỉ tiêu X, Y của 1 loại sản phẩm như sau: 
 Y 
X 
5 
10 
15 
20 
25 
2 2 1 
4 2 2 
6 4 6 3 1 
8 4 3 2 
1) Xác định các đặc trưng số của mẫu về chỉ tiêu X, chỉ tiêu Y? 
2) Sản phẩm có chỉ tiêu Y<= 15 và X<=6 gọi là sản phẩm loại A. 
Xác định tỷ lệ sản phẩm loại A của mẫu? 30
Giải: 
1) Ta có bảng tần số thực nghiệm 
của X và Y như sau: 
* Chỉ tiêu X: n = 30 , nxx = 178 
2n xx = 1156 , x = 178/30 = 5,9333 
sx2 = 1 1n [nxx
2 – n ( x )2 ] = 3,4441 
xi 2 4 6 8 yi 5 10 15 20 25 
ni 3 4 14 9 ni 2 7 12 6 3 
31
1) Chỉ tiêu Y: 
n = 30 , nyy = 455 , 2n yy = 7725 
y = 455/30 = 15,1667 
sy2 = 1 1n [nyy
2 – n ( y)2 ] = 28,4185 
2) Tỷ lệ sản phẩm loại A của mẫu: 
f= 17/30 = 0,5667 
III. PHÂN PHỐI CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU
32
Định lý: 
Tổng thể có quy luật phân phối X với: 
E(X)=  và var(X)= 2 
 Lấy mẫu có hoàn lại: 
E(X )=  và var(X )= 2/n 
 Lấy mẫu không hoàn lại: 
E(X )=  và 
2
var( ) .
1
N n
X
n N
 
1
N n
N
 gọi là hệ số hiệu chỉnh 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019
9
33
Quy luật phân phối xác suất của đặc trưng mẫu NN: 
Định lượng: 
Ta có X  N(, 2) 
 )2,(~ nNX
 )1,0(~
/
N
n
X

 
 Do đó: ( ) (
/
)
/
( )b aP
n n
a X b   
 
 (| | ) 2
/
( )P X
n
  

 Nếu chưa biết 2, ta có: )1(~
/
 nT
nS
X  
)1(2~
2
2)1( nSn 

34
Quy luật phân phối xác suất của đặc trưng mẫu NN: 
Định tính: 
 iXnF
1 , với Xi có quy luật ppxs 0-1. 
pFE )( , n
pqF )var( 
Định lý: 
Nếu n lớn (p không quá gần 0 và 1) thì: 
),( n
pqpNF (0 ,1)
/
F p
N
pq n
35
VD9: Chiều cao thanh niên của vùng M là biến ngẫu nhiên 
phân phối chuẩn với = 165 cm, 2= 202 cm2 . 
1) Người ta đo ngẫu nhiên chiều cao của 100 thanh niên 
vùng đó. 
a) Xác suất để chiều cao trung bình của 100 thanh niên đó 
sẽ sai lệch so với chiều cao trung bình của thanh niên vùng 
M không vượt quá 1 cm là bao nhiêu? 
b) Khả năng chiều cao trung bình của 100 thanh niên trên 
lớn hơn 168 cm là bao nhiêu? 
2) Nếu muốn chiều cao trung bình đo được của 1 số thanh 
niên sai lệch so với chiều cao trung bình của tổng thể (của 
tất cả thanh niên vùng M) không vượt quá 3 cm với xác suất 
là 0,99 thì chúng ta phải tiến hành đo chiều cao của bao 
nhiêu thanh niên? 
36
Giải: 
1) X là chiều cao tb của 100 thanh niên khảo sát 
 là chiều cao tb của thanh niên toàn vùng M 
X~N(165, 202) X ~N(165, 202/ 100) = N(165, 22) 
a) 1(| | 1) 2 ( ) 2(0,1915) 0,383
2
P X   0 
b) 
168 165( 168) 0,5 ( )
2
0,5 (1,5) 0,5 0,4332 0,0668
P X 

ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019
10
37Làm tròn lên của 1 số thập phân là lấy phần
nguyên của số đó cộng thêm 1
Giải: 
2) X là chiều cao tb của n thanh niên cần khảo sát 
 là chiều cao tb của thanh niên toàn vùng M 
Tìm n sao cho: (| | 3) 0,99P X  
X~N(165, 202) X ~N(165, 202/ n) 
/
3(| | 3) 2 ( ) 0,99
20
3( ) 0,495 (2,58)
20
P X
n
n
 
 
 3
20
n= 2,58 n= 295,84 296 (làm tròn lên) 
 VD10:
Tỷ lệ dân ở tỉnh A tốt nghiệp THPT là 72%.
1) Lấy một mẫu ngẫu nhiên 30 người.
Tính xác suất để tỷ lệ mẫu sai lệch với tỷ lệ tổng thể
khơng quá 5%?
2) Tìm cỡ mẫu sao cho tỷ lệ mẫu nhỏ hơn 77% với xác
suất là 72,91%
38
39
HD: 
Gọi F là tỷ lệ mẫu 
1) Xem F cĩ phân phối chuẩn 
2(1 ) 0,72(1 0,72)~ ( , ) (0,72 ; ) (0,72;0,0820 )
30
p p
F N p N N
n
(| | 0,05) (| 0,72 | 0,05)
0,05
2 ( ) 2 (0,61) 2*0,2291 0,4582
0,082
P F p P F
 
40
2) Tìm n sao cho ( 0,77) 0,7291P F 
Với 20,72(1 0,72)~ (0,72; ) (0,72; 0,4490 / )F N N n
n
0,77 0,72
( 0,77) 0,5 ( ) 0,7291
0,4490 /
(0,1114 ) 0,2291 (0,61)
0,1114 0,61
5,4758 29,984 31
P F
n
n
n
n n

 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 5 17-02-2019
11
Mời ghé thăm trang web:
41

 https://sites.google.com/a/ueh.edu.vn/phamtricao/

 https://sites.google.com/site/phamtricao/