Bài giảng Xử lý ảnh - Chương 16: Khôi phục ảnh

 312 
Ch­¬ng 16 
KHÔI PHỤC ẢNH 
16.1. GIỚI THIỆU 
Trong lịch sử, lĩnh vực hoạt động rộng lớn của xử lý ảnh số đã dành hết cho việc 
khôi phục ảnh. Công việc này bao gồm cả nghiên cứu phát triển thuật giải lẫn 
chương trình, xử lý ảnh có mục đích. Nhiều đóng góp đáng chú ý trong xử lý ảnh số 
đã được thực hiện trước kia cũng như sau này. 
Dựa vào khôi phục ảnh, chúng ta muốn loại bỏ hay làm giảm những suy giảm gặp 
phải trong khi thu nhận ảnh số. Sự suy giảm bao gồm sự mờ do hệ thống quang học, 
di chuyển đối tượng và cả nhiễu từ điện tử hay nguồn quang trắc. Trong khi khôi 
phục ảnh có thể được định nghĩa bao gồm nhiều kỹ thuật đã đề cập trong Phần 1, ta 
coi nó là biểu hiện của lớp các thao tác bị hạn chế nhiều hơn. 
Tiêu chí cho việc khôi phục ảnh là mang lại một ảnh tương đối giống ảnh ban đầu 
khi ảnh số thu được bị suy giảm. Mỗi phần tử trong chuỗi thu nhận ảnh (thấu kính, 
film, bộ số hoá,...) đều có thể tạo ra suy giảm. Khôi phục từng phần ảnh bị mất chất 
lượng có thể thoả mãn một khía cạnh thẩm mỹ nào đó, tuỳ thuộc vào từng ứng dụng 
cụ thể. Một ví dụ cho trường hợp sau là các nhiệm vụ thu thập ảnh mặt trăng và hành 
tinh trong chương trình không gian. 
Trong chương này, chúng ta xem xét một vài phương pháp tiếp cận khôi phục 
ảnh. Ta cũng xem xét các bài toán nhận biết hệ thống và mô phỏng nhiễu. Đối với 
những tin tức chi tiết về các đối tượng, độc giả nên tham khảo tài liệu hay nghiên cứu 
về lĩnh vực này. 
16.1.1. Tiếp cận và mô phỏng 
Tiến trình khôi phục ảnh bị suy giảm có thể tiếp cận theo một trong hai cách cơ 
bản. Nếu không biết nhiều về ảnh, ta có thể cố gắng để mô phỏng và mô tả đặc điểm 
các nguồn suy giảm (mờ và nhiễu) và thực hiện quá trình loại bỏ và giảm bớt ảnh 
hưởng của chúng. Đây là cách tiếp cận ước đoán, vì ta thử ước đoán ảnh như thế nào 
trước khi bị suy giảm thông qua xử lý các đặc tính liên quan còn lại. 
Nói cách khác, rất nhiều nhận thức trước đây về ảnh đã có sẵn, có thể thành công 
hơn để phát triển mô hình toán học của ảnh ban đầu và điều chỉnh mô hình ảnh quan 
sát. Một ví dụ cho trường hợp này, giả sử rằng ảnh đã biết chỉ chứa các đối tượng 
hình tròn có kích thước cố định (các vì sao, các hạt, các tế bào,). Ở đây, công việc 
là sự phát hiện, vì chỉ một vài thông số của ảnh ban đầu là chưa biết (số lượng, vị trí, 
biên độ,). 
Việc tiếp cận bài toán khôi phục ảnh cũng thể hiện ở một vài lựa chọn khác. Thứ 
nhất, việc phát triển có thể sử dụng các phép toán rời rạc hay liên tục. Thứ hai, việc 
phát triển có thể thực hiện trong miền không gian hay miền tần số. Cuối cùng, trong 
khi việc thực hiện phải là số (digitally) thì khôi phục có thể thực hiện trong miền 
không gian (qua tích chập) hay miền tần số (qua phép nhân). 
Thật may mắn, bây giờ ta đã xác định đượ tập điều kiện mà, nếu được bảo toàn, 
làm cho các phương pháp tiếp cận khác nhau đều cần thiết ngang nhau. Vì thế, chúng 
 313 
ta có thể sử dụng bất cứ cách tiếp cận nào phù hợp với yêu cầu và ràng buộc của ta 
nhất, miễn là chúng ta quan tâm đến những giả thiết cơ bản. 
Thường thường, có hai hay nhiều cách tiếp cận đều dẫn đến cùng một kỹ thuật 
khôi phục. Các phương pháp tiến hành tốt trong thực tiễn là cơ sở cho bài toán này. 
Một trong số chúng luôn luôn có vẻ như chờ đợi ta cuối hành trình, không quan tâm 
đến hướng ta xuất phát hay loại bản đồ và la bàn mà ta sử dụng. 
Trong chương này, chúng ta xem xét một vài kỹ thuật khôi phục ảnh quan trọng. 
Chúng ta bắt đầu bằng cách tiếp cận trong miền tần số liên tục theo thứ tự phát triển 
và ứng dụng của chúng đối với ảnh số. Sau đó ta sẽ nghiên cứu trong miền không 
gian rời rạc để thống nhất các kết quả có trước thành cơ cấu chung. Tiếp theo, chúng 
ta sẽ xem xét khía cạnh thực tiễn của việc xử lý mờ biến thiên và nhiễu không cố 
định. Sau khi xác định các tham số suy giảm ta tiến hành khôi phục ảnh. 
16.2. CÁC BỘ LỌC KHÔI PHỤC ẢNH KINH ĐIỂN 
Trong phần này, chúng ta sử dụng hệ thống trong Hình 16-1 để mô phỏng sự suy 
giảm và khôi phục ảnh. Ảnh f(x,y) được làm mờ bằng phép toán tuyến tính h(x,y) và 
nhiễu n(x,y) được thêm vào để tạo thành ảnh suy giảm w(x,y). Ảnh này được nhân 
chập với bộ lọc khôi phục g(x,y) để cho ảnh khôi phục f^(x,y). 
Hình 16-1 Mô hình khôi phục ảnh liên tục 
Lý thuyết hệ thống tuyến tính đã được sử dụng để thiết kế các bộ lọc điện tử trong 
nhiều năm trước khi xử lý ảnh trở nên phổ biến. Nó được ứng dụng rộng rãi trong 
quang học, xử lý tín hiệu số và các lĩnh vực khác. Ví dụ, giải chập được biết đến 
trong thiết kế bộ lọc điện tử và phân tích chuỗi thời gian. Thậm chí ước lượng sai số 
bình phương trung bình (MSE) tối thiểu được Norbert Wienner trình bày vào năm 
1948. Vì thế, nhiều kỹ thuật ứng dụng trong khôi phục ảnh là sự tổng hợp từ các 
phương pháp một chiều đã sử dụng trong xử lý tín hiệu tương tự và tín hiệu số. Thậm 
chí khi trở thành đặc trưng, các kỹ thuật mới đã được trình bày, chúng tập trung vào 
cách tiếp cận miền tần số kinh điển 
16.2.1. Giải chập (Deconvolution) 
Vào giữa thập niên 60, giải chập (lọc ngược) đã bắt đầu được ứng dụng rộng rãi 
để khôi phục ảnh số. Nathan đã sử dụng giải chập hai chiều để khôi phục ảnh từ các 
nhiệm vụ thám hiểm hành tinh Ranger, Surveyor và Mariner. Vì phổ tín hiệu thường 
tắt dần nhanh hơn nhiễu ở cùng tần số, nên các thành phần tần số cao thường bị 
nhiễu tác động. Phương pháp tiếp cận của Nathan đã hạn chế hàm truyền đạt giải 
chập xuống một giá trị tối đa nào đó (Hình 16-2). 
Trong suốt chu kỳ lấy mẫu, Harris đã giải chập vệt mờ do sự hỗn loạn của bầu khí 
quyển trong ảnh thiên văn sử dụng một mô hình phân tích đối với PSF và 
McGlamery đã giải chập sự hỗn loạn khía quyển sử dụng một PSF xác định qua thực 
nghiệm. Do đó, giải chập đã trở thành kỹ thuật tiêu chuẩn cho vấn đề khôi phục ảnh. 
+
),( yxf
),( yxh ),( yxg
),( yxn
),( yxw ),(^ yxf
 314 
Hình 16-3 minh hoạ sự cải tiến có thể có trên ảnh khi kỹ thuật này được thực hiện 
cẩn thận. 
Hình 16-2 Giải chập 
HÌNH 16-3 
Hình 16-3 Giải chập ảnh Surveyor: (a)trước; (b) sau 
16.2.2. Giải chập Wienner 
Trong đa số các ảnh, các điểm ảnh liền kề rất tương quan với nhau, trong khi các 
mức xám của các điểm ảnh riêng biệt chỉ tương quan lỏng lẻo. Từ đó, chúng ta có thể 
chứng tỏ rằng hàm tự tương quan của ảnh đặc thù nói chung là suy giảm nhiều so với 
ban đầu. Vì phổ năng lượng của ảnh là biến đổi Fourier (thực và chẵn) hàm tự tương 
quan của nó nên chúng ta có thể chứng tỏ được rằng phổ năng lượng của một ảnh nói 
chung suy giảm theo tần số. 
Các nguồn nhiễu đặc trưng có phổ năng lượng bằng phẳng hoặc suy giảm theo tần 
số chậm hơn so với phổ năng lượng của ảnh. Vì thế, trạng thái mong muốn là sao cho 
1 1
15
h h
hh
(a) §¸p øng lý thuyÕt (b) §¸p øng thùc tÕ
(c) §¸p øng ®¶o (d) §¸p øng ®· hiÖu chØnh
0
0.2
1
 315 
phổ tín hiệu ở tần số thấp còn nhiễu chiếm các tần số cao. Bởi vì kích thước bộ lọc 
giải chập thường tăng theo tần số nên bộ lọc sẽ tăng cường nhiễu tần số cao. Những 
cố gắng vận dung giải chập bài toán nhiễu bằng các phương pháp đặc biệt và trực 
quan. 
Helstrom đã chấp nhận thủ tục ước lượng sai số bình phương trung bình và đã 
trình bày bộ lọc giải chập Wienner, có hàm truyền đạt hai chiều 
),(),(),(
),(),(
),( 2
*
vuPvuPvuH
vuPvuH
vuG
nf
f
 (1) 
và có thể viết lại như sau: 
),(/),(),(
),(),( 2
*
vuPvuPvuH
vuHvuG
fn 
 (2) 
trong đó Pf và Pn là phổ năng lượng của tín hiệu và nhiễu. Bộ lọc này được trình 
bày trong chương 11 cho trường hợp một chiều. 
Hình 16-4 Vấn đề nhiễu trong giải chập 
Slepian đã mở rộng giải chập Wienner để giải thích PSF suy biến (ví dụ do nhiễu 
loạn khí quyển). Sau đó, Pratt và Habibi đã phát triển công cụ để tăng hiệu quả tính 
toán của giải chập Wienner. 
 s
ss
s s
Hµm tù t­¬ng quan Phæ n¨ng l­îng nhiÔu
Phæ n¨ng l­îng Tû lÖ tÝn hiÖu/nhiÔu (SNR)
Phæ biªn ®é Bé läc gi¶i chËp
)(fR )(sPn
)(sPf
)(
)(
sP
sP
n
f
)(sF
)(
1
sH
 316 
Giải chập Wienner tạo ra một phương pháp tối ưu cho việc thực hiện hàm truyền 
đạt giải chập trong sự hiện diện của nhiễu, nhưng nó bị vướng mắc với ba vấn đề hạn 
chế tính hiệu quả của nó. Thứ nhất, tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình (MSE) 
của sự tối ưu không đặc biết tốt nếu ảnh đang được khôi phục trong mắt người. Vấn 
đề là ở chỗ tiêu chuẩn MSE xử lý mọi sai số như nhau, bất chấp vị trí của chúng 
trong ảnh, trong khi mắt phải chịu đựng các sai số trong vùng tối và vùng gradient 
cao nhiều hơn các hệ thống khác. rong việc tối thiểu hoá sai số bình phương trung 
bình, bộ lọc Wienner cũng có xu hướng làm trơn ảnh nhiều hơn những gì mà mắt ưa 
thích. 
Thứ hai, giải chập Wienner cổ điển không thể vận dụng PSF có biến làm mờ 
thuộc không gian. Điều này xuất hiện với sự hôn mê, chứng loạn thị, sự uốn cong 
của trường thể hiện và với vệt mờ di chuyển trong khi quay. 
Cuối cùng, kỹ thuật không thể vận dụng cho các trường hợp phổ biến của tín hiệu 
và nhiễu dừng. Đa số các ảnh là không dừng, có các khu vực bằng phẳng rộng phân 
biệt bởi sự chuyển tiếp dễ nhận thấy (biên). Hơn nữa, một vài nguồn nhiễu quan 
trọng tuỳ thuộc rất nhiều vào mức xám cục bộ. Trong hai phần tiếp theo, ta sẽ xem 
xét những cách thức thực hiện và cải tiến giải chập Wienner. 
16.2.3. Cân bằng phổ năng lượng 
Canon đã chứng minh bộ lọc khôi phục phổ năng lượng của ảnh bị suy giảm thành 
biên độ ban đầu là 
2/1
2 ),(),(),(
),(
),(
vuPvuPvuH
vuP
vuG
nf
f (3) 
Giống như bộ lọc Wienner, bộ lọc cân bằng phổ năng lượng (Power Spectrum 
Equalization-PSE) này không có pha (thực và chẵn). Nó thích hợp cho các hàm làm 
mờ không pha hay pha được xác định bởi các phương pháp khác. 
Điểm tương đồng giữa bộ lọc PSE (biểu thức (3)) và bộ lọc giải chập Wienner 
(biểu thức (1)) là quá rõ ràng. Cả hai bộ lọc đều giảm xuống còn giải chập trực tiếp 
trong tình trạng không nhiễu và cả hai cắt hoàn toàn trong tình trạng không có tín 
hiệu. Tuy nhiên, bộ lọc PSE không cắt tại các vị trí 0 trong hàm truyền đạt làm mờ 
F(u, v). 
Khả năng khôi phục ảnh của bộ lọc PSE rất tốt và trong vài trường hợp bộ lọc 
PSE có thể được ưa thích hơn giải chập Wienner. Đôi khi bộ lọc PSE còn được gọi là 
bộ lọc đồng hình (homomorphic filter). 
16.2.4. Các bộ lọc trung bình hình học 
Xét hàm truyền đạt bộ lọc khôi phục được cho bởi 

1
2
*
2
*
),(/),(),(
),(
),(
),(),(
vuPvuPvuH
vuH
vuH
vuHvuG
fn
 (4) 
trong đó và  là các hằng số thực dương. Bộ lọc này là sự khái quát của các bộ 
lọc đã đề cập trước đây. Hàm truyền đạt được tham số hoá theo và . Chú ý, nếu 
= 1 thì biểu thức (4) rút gọn thành bộ lọc giải chập. Hơn nữa, nếu = 1/2 và  = 1, 
thì nó sẽ trở thành bộ lọc PSE trong biểu thức (3). 
 317 
Cần lưu ý thêm rằng, nếu = 1/2 thì biểu thức (4) sẽ xác định bộ lọc trung bình 
hình học giữa giải chập bình thường và giải chập Wienner. Vì thế biểu thức (3) còn 
có một tên gọi nữa là bộ lọc trung bình hình học. Tuy nhiên, thực tế thì tên gọi này 
thường dùng cho bộ lọc tổng quát hơn trong biểu thức (4). 
Nếu trong biểu thức (4), = 0 thì nó trở thành bộ lọc tham số Wienner 
),(/),(),(
),(),( 2
*
vuPvuPvuH
vuHvuG
fn
 (5) 
Nếu  = 1 biểu thức này sẽ trở thành bộ lọc giải chập Wienner của biểu thức (2), 
ngược lại  = 0 sẽ rút gọn thành giải chập trực tiếp. Nói chung,  có thể được chọn để 
có được bộ lọc làm trơn kiểu Wienner mong muốn. 
Biểu thức (4) trình bày một lớp các bộ lọc khôi phục rất phổ biến thường dùng 
trong các hàm làm mờ tuyến tính, bất biến không gian và nhiễu cộng không tương 
quan. Andrews và Hunt đã nghiên cứu khả năng khôi phục của bộ lọc trong biểu thức 
(4) dưới các điều kiện hơi mờ và nhiễu vừa phải. Chúng chứng tỏ rằng, dưới những 
điều kiện này, giải chập trực tiếp ít mong muốn nhất và giải chập Wienner tạo ra hiệu 
quả lọc thông thấp khắt khe hơn mà mắt người mong muốn. Bộ lọc tham số Wienner 
 < 1 và bộ lọc trung bình hình học cùng một ràng buộc có vẻ như tạo ra các kết quả 
dễ chịu hơn. 
16.3. SỰ KHÔI PHỤC ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 
Andrews và Hunt đã đề xuất một phương pháp tiếp cận bài toán khôi phục ảnh 
dựa trên cơ sở đại số tuyến tính. Tiếp cận này có thể lôi cuốn những người thích 
dùng đại số ma trận hơn phép tính tích phân và toán học rời rạc để phân tích các hàm 
liên tục. Nó đưa ra một sự trình bày thống nhất về các bộ lọc khôi phục, kể cả những 
bộ lọc đã đề cập trước đây và nó mang lại những hiểu biết về khía cạnh bằng số của 
bài toán khôi phục ảnh. 
Bởi vì kích thước các vec tơ và cả các ma trận nên phương pháp tiếp cận đại số 
tuyến tính có thể không mang lại hiệu quả. Thay vào đó, một kỹ thuật khôi phục phát 
triển theo phương pháp tiếp cận này có thể được thực hiện hiệu quả hơn bằng 
phương pháp khác. 
16.3.1. Mô hình khôi phục rời rạc 
Hình 16-5 trình bày một mô hình mad ta sẽ sử dụng trong việc phát triển các kỹ 
thuật khôi phục không gian rời rạc. Hàng trên đỉnh biểu thị trạng thái mong muốn 
(nhưng không có khả năng), đó là một bộ số hoá lý tưởng hoạt động trên f(x, y), là 
hàm liên tục không sy biến biểu diễn cho cảnh vật lý tạo ra ảnh. Bộ số hoá này tạo ra 
một vec tơ cột f N2 1, đệm thêm và xếp chồng theo hàng, chứa ảnh số mong muốn. 
Khuôn dạng vec tơ cột này đối với việc lưu trữ ảmh số đã được đề cập trong phần 
9.3.4. 
Hàng thứ hai của mô hình mô phỏng điều sẽ xảy ra khi một ảnh được số hoá và 
được khôi phục. Hàm f(x, y) bị mờ bởi một phép toán tuyến tính h(x, y) và sau đó 
một ảnh nhiễu hai chiều n(x, y) được thêm vào, tạo thành g(x, y). Một bộ số hoá lý 
tưởng tạo ra một vec tơ cột g đệm thêm, sắp xếp theo hàng, chứa ảnh số N N quan 
sát được. Điều này tuỳ thuộc vào phép toán khôi phục tạo ra

f , xấp xỉ với kết quả 
mong muốn, f. 
 318 
Hàm mờ là tuyến tính, nhưng nó có thể là bất biến dịc hoặc không. Nếu nó là bất 
biến dịch thì nó chẳng qua là tích chập của f(x, y) với PSF h(x, y). Nếu thực tế có 
nhiều hơn một toán tử làm mờ trong chuỗi mô phỏng, thì các toán tử này được giả 
định là kết hợp với nhau thành h(x, y). Cũng như vậy, nhiều nguồn nhiễu được giả 
thiết là kết hợp thành một nguồn n(x, y). Mô hình này vẫn chưa hoàn thiện, vì nó 
không tính đến nhiễu phi tuyến và nhiễu phụ thuộc tín hiệu. 
Hàng thứ ba của hình cho thấy mô hình mà chúng ta phân tích ở đây. Một bộ số 
hoá lý tưởng tạo ra f, như trước, nhưng điều này tuỳ thuộc vào phép toàn tuyến tính 
rời rác H. Một ảnh nhiễu rời rạc, mã hoá theo vec tơ cột n, được thêm vào để tạo ra 
ảnh quan sát g, cũng có dạng vec tơ. Một phép toán khôi phục rời rạc lại tạo ra ước 
lượng 

f . 
Khuôn dạng của vec tơ ảnh quan sát bây giờ có thể được biểu diễn dưới dạng đầy 
đủ như sau 
 g = Hf + n (6) 
trong đó g, f và n là các vec tơ cột N2 1 và H là ma trận N2 N2. Nếu hàm mờ là 
bất biến dịch thì H là ma trận khối vòng tròn. Ngoài ra, các ảnh số mà ta quan tâm 
đều là N N sau khi đệm thêm các giá trị 0 cần thiết. 
Lưu ý rằng bây giờ, bằng các phép toán rời rạc, chúng ta đang mô phỏng các suy 
biến nhận được trước khi ảnh được chuyển đổi sang dạng số. Mô phỏng này có hai 
nhánh. Đầu tiên, ta có thể tạo các ví dụ mô phỏng rất ấn tượng bằng mô hình này, vì 
ta có thể thiết kế quá trình suy biến và thực hiện nó chính xác. Sự khôi phục trở 
thành một bài tập bằn ... D 
Sự phân tích giá trị đơn lẻ (singular-value decomposition-SVD; xem phần 13.6.4) 
biểu diễn một ma trận M M có hạng R như là một tổng R ma trận M M có hạng 1. 
Hơn nữa, mỗi ma trận như vậy là một tích ngoài của hai vec tơ riêng có trọng số, 
theo tổng, với các giá trị đơn của ma trận. Vì tích chập có tính cộng, kết quả trên có 
thể được thực hiện như là tổng của R ảnh, mỗi ảnh được nhân chập với một trong 
những ma trận trong số đó. 
Điều này có vẻ như là làm tăng chứ không phải giảm khối lượng tính toán trong 
quá trình trên. Mỗi sự chập, có thể được thực hiện như là một sự chập M 1 trên 
mỗi hàng của ảnh, tiếp theo là một sự chập 1 M trên mỗi hàng. Việc này đòi hỏi chỉ 
2MN2 phép nhân-cộng (chứ không phải là M2N2) với mỗi ma trận trong tổng số đó. 
Sự chập toàn bộ có thể dùng 2RMN2 phép toán, nhỏ hơn M2N2 nếu R < M/2. Nếu hạt 
nhân đối xứng vòng, thì những hàng dưới hàng trung tâm tương tự như những hàng 
trên, và hạng có thể không lớn hơn (M + 1)/2. Ngoài ra, những tích chập một chiều 
theo hàng và theo cột có thể được thực hiện bằng mạch phần cứng tốc độ cao trong 
nhiều hệ xử lý ảnh. 
Cho ví dụ bằng số, xem xét một hạt nhân tích chập 3 3 
121
232
121
F (83) 
Sự phân tích giá trị đơn đã được đơn giản hoá bởi vì hạt nhân là vuông và đối 
xứng. Các ma trận đơn vị (xem Phụ lục 3) là bằng nhau, ví dụ 
 343 
6106
101710
6106
FFVFFU tt (84) 
Chúng có các giá trị riêng 
0
14.0
86.28
3
2
1



 (85) 
và các vec tơ riêng 
707.0
0
707.0
542.0
643.0
542.0
454.0
766.0
454.0
332211 vuvuvu (86) 
U và V là các ma trận có hạng là 2, bởi vì một giá trị riêng là 0. Các giá trị đơn 
nằm trên đường chéo của 
 
000
0372.00
0037.5
FVU t (87) 
Và tổng SVD là 
 
 
2
1
,
j
t
jjjj vuF (88) 
Một áp dụng kết quả trên vào mục đích chập là ta có thể chập các hàng và các cột 
với u1, tiếp đến với u2, rồi cộng hai kết quả lại, sau khi đã nhân với hệ số hợp lý, để 
có kết quả mong muốn mà không có lỗi. 
Chú ý rằng giá trị đơn thứ hai nhỏ hơn giá trị thứ nhất. Vì vậy, ta có thể bỏ qua 
phần thứ hai trong tổng mà không sinh lỗi nhiều lắm trong xấp xỉ. Chỉ dùng phần thứ 
nhất, ta có 
  
11.187.111.1
87.115.387.1
11.187.111.1
111,1
tuuF (89) 
đó có thể là một xấp xỉ có thể chấp nhận được của nhân trong biểu thức (83). Phép 
toán này được thực hiện là trước hết chập u1 với hàng và sau đó với cột của ảnh (và 
ngược lại) 
Một ví dụ thứ hai mạnh hơn là nếu ta đổi phần tử trung tâm của F thành 4. Hạng 
của ma trận sẽ giảm xuống 1, bởi vì tất cả các hàng chỉ khác nhau về hệ số. Trong 
trường hợp đó 
 
408.0
816.0
408.0
000
000
0036
0
0
36
121
242
121
1uF vµ  (90) 
 344 
Tổng SVD bây giờ chỉ có một số hạng, 
  121
1
2
1
11,111,1111,1
   tt uuuuF (91) 
Vì vậy, phép phân tích giá trị đơn lẻ đã biến đổi hạt nhân 3 3 thành tích của hai 
vec tơ đồng dạng 3 1 và 1 3. Chúng có thể được nhân chập với các hàng và cột 
của ảnh một cách lần lượt, cần sáu (chứ không phải chín) phép nhân-cộng cho mỗi 
điểm ảnh. 
16.8.4.2. Phân tích SGK 
Dùng SVD kết hợp với phân tích hạt nhân sinh nhỏ (small generating kernel- 
SGK), ta có thể phân tích hạt nhân M M bất kỳ thành một tập các nhân nhỏ để có 
thể áp dụng tuần tự. Ví dụ, một hạt nhân M M có thể được phân tích thành (M - 
1)/2 nhân có kích thước 3 3 để thực hiện gần như cùng một tích chập. 
Như đã nói ở các phần trước, mỗi một ma trận trong tổng SVD là một tích ngoài 
của hai vectơ riêng M 1 [ví dụ, biểu thức(88)]. Những vectơ này, đến lượt chúng, 
có thể được mở rộng bằng một sự phân tích SGK như là một sự chập tuần tự đối với 
các hạt nhân 3 3. Theo cách này, sự chập R(M - 1) với các hạt nhân 3 1 là cần 
thiết để thực hiện sự chập với một ma trận M M có hạng R. 
 Giả sử một hạt nhân M M đã được phân tích thành một hoặc nhiều cặp 
vectơ M 1 bằng SGK, như đã được minh hoạ trước. Để mô tả kỹ thuật này, ta phân 
tích một hạt nhân 5 5 thành hai nhân thành phần 3 3. 
SVD cho thấy rằng nhân trong hình 16-15 là một ma trận có hạng 1 và là tích 
ngoài của vectơ h = (1, 3, 4, 3, 1)t với chính nó. Giờ ta tìm cách phân tích hạt nhân h, 
5 1 thành các thành phần 3 1, f và g. 
Vì tích chập có tính liên hợp, nên 
 y = h*x = f*[g*x] nghĩa là h = f*g (92) 
Và, trong miềm tần số. 
 sGsFsH (93) 
Vậy nên, cần phải phân tích hàm truyền đạt H(u,v) thành hai hàm truyền đạt thích 
hợp với các chuỗi tích chập 3 3 . 
Từ cách định nghĩa của phép biến đổi Fourier một chiều, ta có thể viết 
 
1
0
2M
i
M
isj
iehsH
 (94) 
Với cách viết của biến đổi z, ta cho 
 M
sj
ez
 2
 (95) 
Và ta có thể viết biểu thức(94) như sau 
 443322110
1
0
  zhzhzhzhhzhzH
M
i
i
i (96) 
Phân tích thừa số h0 và z-4 tạo ra 
 345 
HÌNH 16-15 
Hình 16-15 Phân tích nhân sinh nhỏ 
0
4
0
32
0
23
0
144
0 h
hz
h
h
z
h
hz
h
hzzhzH (97) 
bên trong dấu ngoặc có dạng đa thức theo z 
Cũng dùng cách này cho f và g, ta có thể viết biểu thức (93) như sau 
0
2
0
122
0
0
2
0
122
0
0
4
0
32
0
23
0
144
0
g
gz
g
gzzg
f
fz
f
fzzfzGzF
h
hz
h
hz
h
hz
h
hzzhzH
 (98) 
Giản ước z-4 cả hai vế, và thay giá trị hi có được từ ví dụ trong hình 16-14, ta 
được 
   
0
2
0
12
0
2
0
12
00
234 1343
h
gz
h
gz
f
fz
f
fzgfzzzz (99) 
Đa thức vế trái có thể được phân tích thừa số thành tích của bốn số hạng có dạng 
(z - ri), trong đó mỗi ri là một trong bốn nghiệm (có thể là phức) của đa thức. 
 Nếu tồn tại nghiệm phức, chúng là thường là những cặp số phức liên hợp. 
(Trong ví dụ này, hai nghiệm đó là
2
35.0 j ). Sau đó các nghiệm được liên kết và 
nhân với nhau, tạo ra thừa số bậc bốn. 
Một vài gói phần mềm toán học bao gồm bộ xử lý ký hiệu có khả năng tìm 
nghiệm và đa thức thừa số. Vế trái của biểu thức (99) là tích bậc bốn, và ta có 
0
2
0
12
0
2
0
12
00
22 121
h
gz
h
gz
f
fz
f
fzgfzzzz (100) 
Từ đó ta có thể giải ra f = (1, 1, 1)t và g = (1, 2, 1)t. 
Chú ý rằng ta đã có một tuỳ chọn: ràng buộc là f0g0 = 1, và ta chọn f0 = g0 = 1. 
Hai hạt nhân 3 3 là fft và ggt. Kết quả của sự phân tích SGK này sẽ là 
121
242
121
111
111
111
13431
391293
91216124
391293
13431
 (101) 
 346 
Thường thì phân tích SGK không tái tạo lại được hạt nhân ban đầu mà không có 
sai số, nhưng chúng ta đã gặp may với ví dụ trên. Sai số, tuy nhiên, được tạo ra trong 
bước SVD, khi mà những thừa số trong tổng có các giá trị đơn nhỏ hơn được bỏ qua. 
Sai số không xảy ra trong khi phân tích thừa số ở biến đổi z. Vì vậy, ta phải kiểm 
soát được quá trình xấp xỉ bằng cách xác định số giá trị đơn lẻ. 
Sự đối xứng trong ma trận nhân có xu hướng tập trung biên độ vào một trong số ít 
các giá trị đơn. Điều chỉnh giữa độ chính xác và độ hiệu quả tính toán có thể được 
xác định bởi sự thực là sai số bình phương trung bình bằng với tổng của các giá trị 
đơn đã được bỏ đi. 
16.8.5. Ma trận lọc 
Các kỹ thuật khôi phục được phát triển theo cách tiếp cận của đại số tuyến tính có 
thể được thực hiện bằng cách nhân một vectơ N2 1 của ảnh xếp chồng theo hàng 
với một ma trận khôi phục N2 N2. Điều này dẫn đến việc chập ảnh với một nhân N 
 N riêng biệt cho mỗi một trong N2 điểm ảnh. Với ảnh có kích thước bình thường, 
việc thực hiện này có những giới hạn thực tế khó khăn. 
Nếu khôi phục là bất biến dịch, thì ma trận khôi phục sẽ là khối vòng tròn và có 
thể được chéo hoá bằng ma trận Fourier. Trong trường hợp đó, nó giảm xuống còn 
tương đương với việc khôi phục trong miền tần số thông thường. 
16.9. TÓM TẮT NHỮNG ĐIỂM QUAN TRỌNG 
1. Sự khôi phục bất biến theo không gian có thể hoàn thành bằng giải chập, giải 
chập Wiene, cân bằng phổ năng lượng (power spectrum equalization-PSE), 
hoặc bộ lọc trung bình hình học. 
2. Bộ lọc trung bình hình học (biểu thức(4)) bao gồm giải chập Winene và bộ lọc 
PSE trong trường hợp đặc biệt. 
3. Nhiễu thường làm hạn chế khả năng khôi phục ảnh, đặc biệt ở tần số phổ cao. 
4. Sự khôi phục có biến đổi toạ độ là hữu ích khi biết được các hàm mờ biến đổi 
theo không gian. 
5. Sự giao thoa có thể làm giảm ảnh hưởng của các hàm mờ biến đổi tức thời 
6. Hầu hết các ảnh thường là không dừng, nhưng với nhiều ảnh ta có thể giả thiết 
là chúng dừng một cách cục bộ. 
7. Ta có thể chia ảnh thành nhiều phần dựa vào tỷ số tín hiệu trên nhiễu (SNR) 
và khôi phục từng phần với những bộ lọc riêng. 
8. Bộ lọc kết hợp tuyến tính tạo ra đáp ứng xung biến đổi theo thời gian, trơn và 
có độ phức tạp tính toán nhỏ nhất. 
9. Các kỹ thuật siêu phân giải lợi dụng sự không tương hợp giữa phạm vi phổ và 
giới hạn băng thông để tái tạo lại phổ từ giới hạn nhiễu xạ. 
10. Hàm mờ có thể được xác định từ các đặc điểm của ảnh hoặc từ phổ ảnh suy 
giảm. 
11. Một hệ thống tuyến tính được nhận biết bằng đầu vào là một xung, một đường, 
một biên, một sóng hình sin, hay một tần số quét. 
12. Một hệ thống tuyến tính được nhận biết bằng sự tương quan chéo giữa một tín 
hiệu đầu vào là nhiễu ngẫu nhiên trắng với đầu ra của hệ thống. 
13. Nhiễu điện tử là trắng với một lược đồ Gauss. 
14. Nhiễu quang điện có thể được mô phỏng như nhiễu trắng và Gauss, với biên 
độ RMS bằng căn bậc hai của trung bình. 
 347 
15. Nhiễu hạt trên phim có thể được lập mô hình mang tính chất là trắng, Gauss, 
với biên độ RMS tỷ lệ với căn bậc ba của mật độ trung bình cục bộ. 
16. Việc cắt nhân tạo ra một nhân nhỏ mà xấp xỉ tốt nhất một hàm truyền đạt lớn 
theo nghĩa bình phương trung bình. 
17. Sự phân tích giá trị đơn có thể phân tích một nhân chập hai chiều thành một 
tập hợp các nhân một chiều. 
18. Kỹ thuật nhân sinh nhỏ (SGK) có thể phân tích nhân tử từ một ma trận nhân 
chập lớn thành một tập hợp nhân nhỏ hơn để có thể xử lý lần lượt. 
BÀI TẬP 
1. Giả sử bạn có hai kính hiển vi 100 , 1.2NA. Một cái giá rất đắt. Khi chúng 
được kiểm tra với ánh sáng lục( = 0.55m), sự biến thiên đen sang trắng trên 
một ảnh số hoá với các giá trị mức xám cho ở dưới. Khoảng cách điểm ảnh là 
0.10 micron tại vật mẫu. Hãy vẽ hàm tán xạ đường, hàm tán xạ biên, và MTF 
của mỗi vật thể và PSF có giới hạn nhiễu xạ và OTF của các thấu kính. Thấu 
kính nào giá $226 và thấu kính nào bán với giá $1834? Bạn có thấy sự không 
chính xác nào trong phương pháp đo trên tại tần số thấp không? Nếu có, thì tại 
sao ? 
Vật kính A 
[35 36 38 40 43 49 65 92 125 152 168 175 177 179 181 182] 
Vật kính B 
[25 27 29 33 40 53 73 99 128 154 175 188 185 198 201 203] 
2. Một tiệm cầm đồ có hai thấu kính camera cao cấp bán với giá rẻ bởi vì một cái 
có vết xước và một cái có lỗ hổng khí bên trong. Bạn mượn hai thấu kính và số 
hoá một biên xa khoảng f/4 bộ lọc xanh lơ ( = 0.55m) có khoảng cách điểm 
là 0.6 micron tại bộ cảm biến ảnh. Mức xám qua đường biên được cho dưới đây 
cho mỗi thấu kính. Vẽ hàm tán xạ đường hàm tán xạ biên và OTF của mỗi thấu 
kính và OTF và PSF có giới hạn nhiễu xạ. Có phải hai kính rẻ không? Nếu thế 
thì cái nào? Bạn mua cả hai chứ? 
Cái bị xước: 
[4 4 5 7 11 15 22 30 39 49 60 70 79 87 94 99 103 105 106 106 ] 
Cái bị rỗ khí: 
[82 82 82 82 81 77 70 61 51 42 35 31 30 30 30 30 30 30 30 30] 
3. Một đồng nghiệp mượn thấu kính hiển vi 1.0-NA, 63 đắt giá của bạn bởi vì 
cái tương tự của anh ta bị hỏng khi các con vật thí nghiệm bị sổng.Sau khi anh 
ta trả, bạn nghi ngờ không biết có phải anh ta trả cái hỏng của anh ta cho bạn 
hay không. Không muốn làm ầm lên trong phòng, bạn lặng lẽ quét một biên 
bằng tia đỏ ( = 0.65m) với khoảng cách điểm tai bộ cảm biến là 5.7 micron, 
cho ra hàm tán xạ biên ở dưới đây. Vẽ hàm tán xạ biên, hàm tán xạ đường và 
OTF của thấu kính và PSF và OTF có giới hạn nhiễu xạ cho thấu kính đó. Tiếp 
theo bạn làm gì? Đối đầu với anh đồng nghiệp nọ vì lỗi anh ta hay là cảm ơn đã 
trả thấu kính? 
ESF: [40 40 40 41 45 52 61 71 80 87 91 92 92 92] 
4. Một ông bạn đề nghị bán cho bạn một kính viễn vọng đắt giá 6inch, f/8, cái mà 
ông ta nói rằng rất it khi được sử dụng. Nhìn bên ngoài vỏ thì có vẻ trái ngược 
lại. Giá rẻ miễn là dụng cụ đó chưa hỏng. Bạn số hoá một ngôi sao xa xanh da 
trời (=450nm) vào một đêm trời trong với khoảng cách điểm là 0.3 giây cung 
và được những điểm cho ở dưới đây. Vẽ các PSF thực sự và có giới hạn nhiễu 
xạ cho kính viễn vọng này. Bạn có mua nó không?Tại sao? 
 348 
[123 123 123 123 124 127 130 132 133 132 130 127 124 123 123 123] 
5. Tìm đáp ứng xung rời rạc 8 điểm mà thực hiện tốt nhất hàm truyền đạt cho bởi 
vec tơ phổ 
F=[1.25 1.07 0.6 .09 -.25 -.29 -.1 .14 .25 .14 -.1 -.29 -.25 .09 0.6 1.07]t 
6. Tìm đáp ứng xung rời rạc 7 điểm mà thực hiện tốt nhất hàm truyền đạt cho bởi 
vectơ phổ 
F=[1.0 1.2 1.6 2.0 1.8 1.4 1.0 0.5 0 0.5 1.0 1.4 1.8 2.0 1.6 1.2]t 
7. Phân tích hạt nhân tích chập (hạng bằng 1) 5 5 thành một cặp hạt nhân 5 1. 
Phân tích tiếp cặp mới thành các cặp 3 1. Từ đó, tạo ra một cặp hạt nhân 
tương đương 3 3, như trong hình 16-15 
12321
24642
36963
24642
12321
8. Phân tích hạt nhân tích chập (hạng bằng 1) 5 5 thành một cặp hạt nhân 5 1. 
Phân tích tiếp cặp mới thành các cặp 3 1. Từ đó, tạo ra một cặp hạt nhân 
tương đương 3 3, như trong hình 16-15 
12621
241242
61236126
241242
12621
9. Phân tích hạt nhân tích chập (hạng bằng 1) 5 5 thành một cặp hạt nhân 5 1. 
Phân tích tiếp cặp mới thành các cặp 3 1. Từ đó, tạo ra một cặp hạt nhân 
tương đương 3 3, như trong hình 16-15 
11111
11411
441644
11411
11411
10. Phân tích hạt nhân tích chập (hạng là 1) 5 5 thành một cặp hạt nhân 5 1. 
Phân tích tiếp cặp mới thành các cặp 3 1. Từ đó, tạo ra một cặp hạt nhân 
tương đương 3 3, như trong hình 16-15 
14541
41620164
52020205
41620164
14541
DỰ ÁN 
 349 
1. Tạo một ảnh của bộ quét tần số ngang hoặc bộ quét tần số vòng. 
2. Tạo một ảnh có nhiễu trắng, không tương quan dùng bộ tạo số ngẫu nhiên để 
đặt giá trị pha cho phổ phức của nó. Tính hàm tự tương quan và phổ năng 
lượng của ảnh. 
3. Sử dụng các dự án 1 và 2 để xác định một hệ ảnh. Ước tính nhiễu trắng và mức 
RMS ở hệ đó. Thiết kế và kiểm tra một bộ lọc giải chập Wiene. 
4. Dùng ảnh của một biên để xác định MTF của thấu kính một kính viễn vọng, 
camera hay kính hiển vi. Ước tính phổ năng lượng của nhiễu từ một ảnh của 
mọt vùng phẳng. Thiết kế và kiểm tra một bộ lọc giải chập Wiene. 
5. Dùng ảnh của một điểm hay một biên để xác định MTF của thấu kính phân kì 
kính viễn vọng, camera hay kính hiển vi. Vẽ MTF và OTF có giới hạn nhiễu xạ 
trên cùng đồ thị. Thiết kế và thử bộ lọc giải chập 
6. Số hoá một ảnh tạo ra từ một camera, kính viễn vọng hay kính hiển vi sao cho 
nó hiển thị vết mờ của chuyển động theo một hướng. Dùng một ảnh của biên 
vuông góc với chiều chuyển động để xác định MTF của hệ ảnh với vết mờ. Vẽ 
hàm tán xạ đường và MTF của hệ ảnh. Vẽ OTF có giới hạn nhiễu xạ và sóánh 
nó với MTF. Thiết kế và kiểm tra một bộ lọc giải chập. 
7. Thiết kế một bộ lọc giải chập để giải chập ảnh hưởng của một thấu kính camera 
50mm, f/8 khi khoảng cách điểm tại bộ cảm biến ảnh là 25micron. Đặt giới hạn 
số gia của bộ lọc là 0.8. 
8. Thiết kế một bộ lọc chập để giải chập tác động của một thấu kính hiển vi 100 , 
1.2-NA với khoảng cách điểm tại bộ cảm biến ảnh là 15micron. Giả thiết ánh 
sáng lục không cố kết ( = 0.55 micron). Đặt giới hạn số gia của bộ lọc là 5.0.