Giáo trình Cơ ứng dụng (Phần 1)

 2 
Học phần I: CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI 
Chương 1 
CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC PHẲNG 
Trong chương này lần lượt giải bài toán cân bằng trong các trường 
hợp: 
- Bài toán một vật không có ma sát; 
- Bài toán hệ vật không có ma sát: 
- Bài toán có ma sát. 
1.1. BÀI TOÁN MỘT VẬT KHÔNG CÓ MA SÁT 
Vấn đề cần lưu ý: 
I. Lực hoạt động và phản lực liên kết 
- Lực hoạt động có quy luật xác định, hoặc 
tập trung hoặc phân bố. Hệ lực phân bố thường 
được thay bằng lực tập trung Q đi qua trọng 
tâm của biểu đồ phân bố: Hệ lực phân bố hình 
chữ nhật (hình 1.1a) 
Q = ql 
q - cường độ lực phân bố (N/m) 
l độ dài của biểu đồ phân bố (m). Phản lực 
liên kết do vật gây liên kết đặt vào vật khảo sát. 
Phản lực liên kết phụ thuộc vào dạng của 
liên kết. 
a. Liên kết tựa 
Vật khảo sát tựa vào vật gây liên kết tại một mặt, một điểm hay con 
lăn (hình 1.2) 
 3 
Phản lực pháp tuyến 
 →
 N hướng từ vật gây liên kết vào vật khảo 
b. Liên kết dây 
Vật khảo sát nối với vật gây liên kết bởi dây, đai, xích (hình 1.3). 
Ta tưởng tượng khi cắt dây, sức căng
 →
 T nằm dọc dây và làm căng 
đoạn dây nối với vật khảo sát. 
c. Liên kết thanh 
Vật khảo sát nối với vật gây liên kết bởi những thanh (thẳng hay 
cong) thoả mãn điều kiện: 
- Trọng lượng thanh không đáng kể. 
- Không có lực tác dụng trên thanh. 
- Thanh chịu liên kết hai đầu. Với ba điều kiện đó thanh chỉ chịu kéo 
hoặc nén (hình 1.4) 
Tưởng tượng cắt thanh, lực kéo (nén) 
 →
 S nằm dọc theo đường thẳng 
 4 
nối hai đầu thanh, chiều của 
 →
 S được giả thiết nếu tính ra S > 0 thì chiều 
giả thiết là đúng, S < 0 thì chiều giả thiết sai. 
d. Liên kết bản lề, ổ trục 
Vật khảo sát nối với vật gây liên kết bởi bản lề hoặc ổ trục. 
Phản lực liên kết gồm hai lực vuông góc trong mặt phẳng vuông góc 
với trục, chiều của hai lực được giả thiết. Nếu tính được thành phần lực 
nào đó là dương thì thành phần đó đã được giả thiết đúng. Thí dụ, tính 
được XA >0; YA < 0 thì 
 →
 XA giả thiết đúng, 
 →
 YA giả thiết sai (hình 1.5). 
e. Liên kết bản lề cầu, ổ chặn (cối) 
Vật khảo sát liên kết với vật gây liên kết bởi bản lề cầu A như ở 
(hình 1.6a) hoặc ổ chặn (cối) A (hình 1.6b) 
Phản lực liên kết gồm ba phần lực tương ứng vuông góc, chiểu giả 
thiết 
 →
 XA; 
 →
 YA; 
 →
 ZA 
 Chú ý: Nếu các lực hoạt động nằm trong một mặt phẳng thì các phản 
 5 
lực liên kết cũng chỉ có các thành phần nằm trong mặt phẳng đó. 
f. Liên kết ngàm: Vật khảo sát liên kết với cột gây liên kết bới ngàm 
(gắn cứng) (hình 1.7) 
Phản lực liên kết gồm hai thành phần lực vuông góc, chiều được giả 
thiết và một ngẫu lực có momen M, chiều được giả thiết. 
g. Liên kết rãnh trượt. 
Khi rãnh trượt có độ dài l, ta có thể coi là liên kết tựa tại hai điểm 
hoặc liên kết nhàm có một lực
 →
 N và một ngẫu lực M (hình 1.8) 
II. Chiếu lực lên hai trục. Mômen của lực đối với một điểm 
 6 
 Công thức chiếu lực lên hai trục vuông góc (hình 1.9) 
Fx = ± Fcosα 
Fy = ± Fsinα 
Nếu 
 →
 F ⊥ Ox, hình chiếu Fx = 0 
Nếu 
 →
 F //OX, hình chiếu Fx = ± F 
(lấy dấu (+) hoặc (-) tuỳ thuộc vào 
 →
 F thuận hoặc ngược chiều trục) 
Lấy momen của lực 
 →
 F đối với điểm O có hai cách (hình 1.10) áp dụng 
định nghĩa: m0 (
 →
 F) = ±dF 
Lấy dấu + (-) khi lực quay ngược (thuận) chiều kim đồng hồ quanh 
O Phân tích lực ra các thành phần thích hợp (hình 1.10) 
thí dụ: 
 →
 F = 
 →
 F1 + 
 →
 F2 
III. Các dạng phương trình cân bằng (PTCB) 
Đối với hệ lực phẳng tổng quát, ta có thể dùng một trong ba dạng 
PTCB sau: 
Dạng 1: 
Trong đó (1) và (2): Tổng hình chiếu các lực lên hai trục vuông góc; 
 (3): tổng mômen các lực đối với điểm 0 tuỳ ý. 
Dạng 2: 
Trong đó: đoạn AB không vuông góc với trục x. 
Dạng 3: 
 7 
trong đó: A, B, C không thẳng hàng. 
Đối với hệ lực phẳng đồng quy hoặc song song, ta chỉ lập được hai 
PTCB. 
Bài tập giải sẵn: 
Thí dụ 1-1: 
Thanh OA trọng lượng không đáng kể, có liên kết và chịu lực như 
(hình 1.11) biết OB = 2BA, góc α = 300 
Tìm phản lực tại O và sức căng của dây. 
Bài giải 
1. Chọn vật khảo sát, đặt lực hoạt động và 
lực liên kết 
Xét OA: tại O - liên kết bản lề, tại B - 
liên kết dây 
Hệ lực cân bằng 
(
 →
 P,
 →
 T,
 →
 X0,
 →
 Y0) ≡ 0 -> 
Hệ lực phẳng tổng quát 
2. Phương trình cân bằng: 
3. Giải hệ phương trình 
Thí dụ 1-2: 
Cầu đồng chất AB trọng lượng 
 →
 P chịu lực 
 →
 Q và có liên kết như hình 
1.12), góc α = 300. Tìm phản lực tại A và B. 
 8 
Bài giải 
1. Chọn vật khảo sát, đặt lực hoạt động và lực liên kết: 
Xét cầu: tại A - liên kết bản lề, tại B - liên kết con lăn (tựa) 
Hệ lực cân bằng: 
(
 →
 P, 
 →
 Q, 
 →
 XA, 
 →
 YA,
 →
 NB) ≡ 0 -> Hệ lực phẳng tổng quát 
2. Phương trình cân bằng: 
3. Giải hệ phương trình: 
Thí dụ 1-3: 
Thanh AB trọng lượng không đáng kể, có liên kết và chịu lực như 
(hình 1.13). Cường độ lực phân bố là q (N/m) 
Tìm: 
- Phản lực tại B 
- Nội lực tại mặt cắt C, cách đầu A một đoạn Z 
Bài giải: 
 9 
I.Tin phản lực tại B 
1. Chọn vật khảo sát, đặt lực hoạt động và lực liên kết 
Xét AB: tại B - liên kết ngàm 
Hệ lực cân bằng: Khi thay hệ lực phân bố bởi lực tập trung 
 →
 Q đặt ở 
giữa thanh và Q = ql, ta có: 
(
 →
 Q,
 →
 XB,
 →
 YB, 
 →
 MB) ≡ 0 -> Hệ lực phẳng tổng quát 
2. Phương trình cân bằng: 
3. Giải hệ phương trình: 
II. Tìm nội lực tại mặt cắt C (hình 1.14) 
1. Chọn vật khảo sát, đặt lực hoạt động, và lực liên kết: 
Xét AC: Tại C - liên kết ngàm với CB 
Hệ lực cân bằng: Khi thay hệ lực phân bố trên đoạn AC bởi lực 
 →
 Ql, 
đặt ở giữa AC và Q1 = qZ1, ta có: 
 Hệ lực phẳng tổng quát 
2. Phương trình cân bằng: 
 10 
3. Giải hệ phương trình: 
1.2. Bài toán hệ vật không có ma sát 
Vấn đề cần chú ý: 
Lực liên kết các vật thuộc hệ 
Xét hệ gồm nhiều vật liên kết với nhau. Lực liên kết giữa các vật 
thuộc hệ, do đó khi tách vật tại liên kết nào đó ta phải đặt tại liên kết đó 
những cặp lực có cùng một đường tác dụng, cùng trị số, ngược chiều 
nhưng đặt trên hai vật khác nhau: 
- Tách vật tại liên kết tựa. (hình 1.15) 
- Tách vật tại liên kết dây. (hình 1.16) 
- Tách vật tại liên kết thanh. (hình 1.17) 
- Tách vật tại liên kết bản lề. (hình 1.18) 
- Tách vật tại liên kết ngàm. (hình 1.19) 
 11 
Bài tập giải sẵn : 
Thí dụ 1- 4: ( Phương pháp tách vật) 
Thanh đồng chất OA = 6a, trọng lượng 
 →
 P. 
Thanh đồng chất BC = 4a, trọng lượng 
 →
 P 
Lực 
 →
 Q thẳng đứng, đặt ở đầu A 
Tìm phản lực liên kết tại O, B, và C (hình 
1.20). 
Bài giải : 
1. Tách vật tại liên kết, đặt lực hoạt động và 
lực liên kết lên từng vật 
 12 
- Xét OA : 
Tại O - liên kết bản lề, tại B - liên kết 
tựa. 
Hệ lực 
-Xét CB : Tại C - liên kết ngàm, 
Tại B - liên kết tựa : 
Hệ lực 
2 Phương trình cân bằng (PTCB) : 
- PTCB của OA : 
3. Giải hệ phương trình : chú ý NB = N’B : 
Nhận xét : Nếu xét cả hệ như một vật rắn thì : 
khi đó mỗi PTCB đều chứa hai ẩn, do đó phương pháp xét cả hệ không 
thuận lợi. 
Thí dụ 1-5 : (Phương pháp xét cả hệ rồi tách vật) 
Cầu ABC gồm 2 phần giống nhau trọng lượng mỗi phần là P, phần 
 13 
cầu AB chịu lực 
 →
 Q, các kích thước được cho ở (hình 1.21). 
Tìm các phản lực liên kết tại A, B, C 
Bài giải : 
1) Tách vật tại liên kết, đặt lực hoạt động và lực liên kết tên từng vật : 
-Xét cả hệ : 
Tại A và C là liên kết bản lề : 
Hệ lực 
- Xét phần BC : 
Tại B và C là liên kết bản lề hệ 
lực 
Phương trình cân bằng : PTCB 
của cả hệ : 
PTCB của BC : 
Giải hệ phương trình : 
Nhận xét : Nếu dùng phương pháp tách vật thì phải xét phần Ab và 
phần BC. 
 14 
Khi đó mối PTCB của từng vật đều chứa 2 ẩn do đó phương pháp 
tách vật không thuận lợi. 
1.3. BÀI TOÁN CÓ MA SÁT 
Xét vật A tựa lên vật B. Nếu vật A có xu hướng trượt và lăn tương 
đối trên B, ngoài phản lực pháp tuyến N, vật A còn chịu lực ma sát trượt 
 →
 Fms Và ngẫu lực ma sát lăn 
 →
Mms. 
Nếu chỉ có su hướng trượt thì lực ma sát ngược 
với xu hướng trượt và có trị số bị chặn (hình 1.22): 
Fms = f.N 
f: hệ số ma sát trượt. Nếu đặt f = tgϕ thì q) gọi là 
góc ma sát. 
Nếu vật chỉ có su hướng lăn thì ngoài 
 →
 N và 
 →
 Fms vật 
Còn chịu ngẫu lực ma sát lăn ngược với xu hướng lăn 
và có trị số bị chặn (hình 1.23) 
Mms ≤ k.N 
 k: hệ Số ma sát lăm đơn vị là mét (m). 
Bài tập giải sẵn : 
Thí dụ 1-6 : ( Một vật có lực 
ma sát trượt) 
Thanh AB = 4a, trọng lượng và 
bề dày không đáng kể, nằm ngang 
trên 2 ổ đỡ. Lực kéo 
 →
 Q tạo với 
phương ngang một góc α. Hệ số ma 
sát tại 2 ổ đỡ là f ( Hình 1.24). 
Tin góc α để thanh không bị trượt đi dù Q rất lớn ( tự hãm). 
Bài giải : 
 15 
1. Chọn vật khảo sát, đặt lực hoạt động và lực liên kết. 
Xét AB : Tại C và D - liên kết tựa có ma sát ( căn cứ xu hướng 
chuyển động để đặt 
 →
 N1, 
 →
 N2 và các lực ma sát 
 →
 F1, 
 →
 F2 
Hệ lực 
2. Phương trình cân bằng : 
Điều kiện cân bằng giới hạn ( sắp trượt): 
3. Giải hệ phương trình : 
Muốn thanh cân bằng cần 
Thí dụ 1-7 : ( Hệ vật có lực ma sát trượt) 
Trục O có bán kính r và R, hệ số ma sát tại má hãm là f, tỉ số 
Tìm lực Q để hãm được trục. Bỏ qua bề dày má phanh (Hình 1.25). 
Bìa giải 
 16 
1. Tách vật tại liên kết, đặt lực hoạt động và lực liên kết lên từng vật 
Xét trục O : 
Tại O : Liên kết bản lề, tại B - liên kết tựa có ma sát. 
Hệ lực 
Xét đòn AC : 
Tại A - liên kết bản lề, tại B - liên kết tựa có ma sát 
 Hệ lực 
2. Phương trình cân bằng : 
PTCB của trục O : 
PTCB của AC : 
Điều kiện cân bằng giới hạn : F = fN 
3. Giải hệ phương trình : 
Muốn hãm được trục thì : 
 17 
Thí dụ 1-8 (Một vật có lực ma sát trượt và ma sát lăn) 
Đĩa đồng chất, bán kính R, trọng lượng P, chịu tác dụng lực Q đặt tại 
tâm O và nghiêng góc α, hệ số ma sát trượt là f, hệ số ma sát lăn là k 
(hình 1-26). 
Tìm trị số Q để đã cân bằng. 
Bài giải. 
1. Chọn vật khảo sát, đặt lực hoạt động và lực liên kết. 
Xét đĩa : 
Tại 1 : - liên kết tựa có ma sát trượt và ma sát 
lăn. 
Hệ lực 
2. Phương trình cân bằng : 
Điều kiện ma sát : 
F ≤ fN ; M ≤ kN 
3. Giải hệ phương trình : 
Khi thay vào điều kiện ma sát, ta được : 
Vì vậy điều kiện cân bằng của đã là Q ≤ min { Q1,Q2} 
Bài tập cho đáp số 
I. Hệ lực phẳng (một vật) 
1.1 Xe C mang vật nặng (hình bài 1.1) 
 18 
P1 = 40 kN chạy trên một dầm 
nằm ngang AB; dầm này đồng 
chất, trọng lượng P = 60kN, tựa 
trên hai ray A và 
B. Tính phản lực A và B theo tỷ số 
1.2 Trục nằm ngang trên hai ổ 
đỡ A, B mang ba đĩa có trọng 
lượng P1 = 3kN, P2 = 5kN, P3 = 
2kN. Kích thước ghi trên (hình bài 
1.2), trọng lượng của trục không 
đáng kể, tìm phản lực các ổ đỡ 
1.3. Dầm AB mắc vào tường 
nhờ bản lề A và được giữ ỡ vị trí nằm ngang 
nhờ thanh CD; thanh này có hai đầu là bản lề 
và nghiêng 600 với AB. Bỏ qua trọng lượng 
của dầm và thanh, biết AC = 2m, CB = 1 m. 
(hình bài 1.3) 
Tìm ứng lực của thanh CD và phản lực 
bản lề A khi đầu B đặt lực thẳng đứng P = 
10kN. 
1.4. Khung chữ nhật ABCD, trọng lượng 
không đáng kể, kích thước như (hình bài 
1.4), được đỡ bằng gối cố định A và gối 
di động D. Dọc cạnh BC, tác dụng lực P. 
Tìm phản lực tại A và D. 
1.5. Dầm AB = 4a chịu lực P và hệ 
lực phân bố đểu cường độ q như (hình 
bài 1.5). Tìm phản lực tại A và B 
 19 
1.6. Cầu đồng chất AB = 2a. 
trọng lượng P nằm ngang trên gối 
cố định A và di động B. Ở tầm cao h 
có lực gió Q. Xác định phản lực tại A 
và B (hình bài 1.6) 
1.7. Xác định phản lực ở ngàm 
của dầm nằm ngang, trọng lượng 
không đáng kể, chịu lực như (hình 
bài 1.7) 
II. Hệ lực phẳng (hệ vật) 
1.8 Cầu hai nhịp đồng chất. Nhịp 
AB = 80m, trọng lượng P = 1200kN, 
nhịp BC = 40m, trọng lượng Q = 
600kN nối với nhau bằng bản lề B và 
được đỡ nằm ngang nhở các gối cố 
định A, gối di động C và D, (BD = 
20m). Xác định phản lực các gối đỡ 
và lực tác dụng tương hỗ ở B (hình 
bài 1.8) 
1.9 Một đường dốc nghiêng góc 
300 gồm hai đoạn AB = 60m và BC 
= 20m nối với nhau bằng bản lề B và 
được giữ bởi gối cố định A (bản lề), 
hai cột CC và DD. Bỏ qua trọng 
lượng của dầm và các cột Trên đoạn 
AE có lực phân bu thẳng đứng cường 
độ lực phân bố là q = 20 kN/m. Tìm 
phản lực tại A, ứng lực các cột và lực 
tác dụng tương hỗ tại B. Cho AD = 
40m, AE = 70 m (hình bài 1.9) 
1.10 Trên đường nằm ngang có xe 
AB trọng lượng Q mang cần BC trọng 
lượng Q mang cần BC trọng lượng q, 
 20 
quay được quanh trục B và giữ được 
bởi dây ED, vòng qua đầu mút C là 
dây mang vật nặng P, có đầu kia 
buộc vào A. Cho AE = EB = BD = 
DC và cần BC nghiêng 600 với mặt 
đường. Tìm phản lực đặt vào hai 
bánh xe A1, B1 sức căng của dây ED 
và lục tác dụng tương hỗ tại bản lề B 
(hình bài 1.10). 
1.11 Trên nền nằm ngang đặt 
thang hai chân gối với nhau nhờ bản 
lề C và dây EP. Trọng lượng mỗi 
chân thang (đồng chất) là 120N. Tại 
D có người nặng 720N, kích thước 
ghi trên (hình bài 1.11). Tìm phản 
lực tại A, B và sức căng của dây. 
1.12 Giàn gồm các thanh như 
(hình bài 1.12) bỏ qua trọng lượng các thanh, 
tìm ứng lực của chúng khi vật nặng có trọng 
lượng P. 
1.13 Cho cơ cấu ép như hình bài 1.13 lực P 
làm quay đòn OBA, kéo thanh BC, đẩy pittông 
E ép vào vật G. Cho OB = 110 OA. Các góc ghi 
trên (hình bài 1.13). Ttìm lực nén vào G. Hướng 
dẫn: Quy hệ về ba vật: đòn OBA, nút C và 
pittông E. 
 21 
1.14 Hệ hai dầm AC và CB như (hình bài 1.14) ngẫu lực có momen 
M = 20 Nm, cường độ lực phân bố đều q = 10 N/m; a = 1m. Tìm phản 
lực tại A, B, D và nội lực tại C. 
1.15 Hai dầm AB và BC có liên kết và chịu lực như (hình bài 1.15) 
biết: 
P = 100N; lực phân bố q = 20 N/m. 
Tìm phản lực tại A, C và nội lực tại B. 
III.Hệ lực phẳng (có ma sát) 
1.16 Thanh đồng chất AB có trọng lượng P, tựa lên nền ngang, hệ số 
 22 
ma sát giữa thanh và nền là f. Thanh được giữ cân bằng ở vị trí nghiêng 
450 nhờ dây BC. Tìm góc nghiêng α của dây khi thanh ở trạng thái sắp 
trượt (hình bài 1.16). 
1.17 Giá đỡ AB trọng lượng không đáng kể, đầu A là ống trụ chiều 
dài b = 2 cm trượt dọc cột thẳng đứng không nhẵn với hệ số masát trượt 
là f = 0,1. Xác định khoảng cách a từ giữa trục của cột tới điểm treo vật P 
để giá đỡ cân bằng (hình bài 1.17) 
1.18 Trên mặt phẳng nghiêng một góc 300 với mặt nằm ngang có hai 
vật A và B, trọng lượng 200N và 400N nối với nhau bằng sợi dây. Biết 
hệ số ma sát giữa A và B với mặt nghiêng là fA = 0,5 và fB = 2/3. 
Hệ hai vật có cân bằng không? Tìm sức căng T của dây và trị số các 
lực ma sát (hình bài 1.18) 
1.19 Lực nằm ngang P đặt vào nêm A làm cho nó có xu hướng trượt 
sang bên phải và đẩy nêm B trượt lên cao theo máng trượt nghiêng một 
góc α với mặt nằm ngang. Góc nghiêng của mặt tiếp xúc giữa hai nêm là 
β (hình bài 1.19). Tìm lực Q phải tác dụng dọc nêm B để có cân bằng 
 23 
trong các trường hợp sau: 
1. Khi bỏ qua ma sát. 
2. Khi giữa hai nêm có ma sát hệ số f và nêm B ở trạng thái sắp trượt lên 
cao. Tìm điều kiện xảy ra tự hãm của nêm B. 
1.20 Lực nằm ngang P đặt vào nêm A làm cho nó có xu hướng trượt 
sang phải và đẩy cần BCD trượt thẳng 
đứng lên cao, cần này được định 
hường bằng hai giá đỡ C và D. 
Biết góc nghiêng của nêm A là α1 
đoạn BC = CD, tìm lực Q phải nén 
xuống cần để cân bằng trong các 
trường hợp sau: 
1. Khi bỏ qua ma sát. 
2. Khi có m ...  động điều hoà 
thẳng đứng trên các lò xo với chu kỳ T = 
0,5 s. Khối lượng của hòm xe và trọng là 
10 tấn, của các bánh xe bằng 1 tấn. Xác 
định áp lực tổng hợp của các bánh xe lên 
các đường ray. 
5.3.7. Xác định áp lực lên nền của 
một máy bơm nước lúc bơm chạy không. 
Trọng lượng của phần cố định gồm vỏ D 
và móng R bằng P1 tay quay CA dài là a 
và có trọng lượng bằng P2. Trọng lượng 
của máng trượt B cùng với pittông là P3. 
Tay quay OA quay đều với vận tốc góc 
ω. Xem như các vật khảo sát đều là 
những vật đồng chất và có cấu tạo đối 
xứng như hình bài 5.3.7 
5.3.8. Một động cơ hơi nước nằm 
ngang trên mặt móng nhẵn trơn.Tay quay 
OA có chiều dài r quay đều với vận tốc 
góc ω. Thanh truyền dài bằng tay quay. 
Coi rằng khối lượng của các bộ phận 
chuyển động được thu gọn về thành hai 
khối lượng m1 và m2 tập trung ở đầu tay quay và ở trọng tâm của pittông. 
Khối lượng của vỏ động cơ là m3. Xác định chuyển động ngang của vỏ 
động cơ, cho biết ban đầu giường ở vị trí xa nhất về bên trái (hình bài 
5.3.8). 
Khi động cơ được gắn chặt vào móng máy bằng pittông, tìm áp lực 
 128 
của động cơ lên mặt móng và tìm lực cắt ngang pittông. Bỏ qua lực căng 
ban đầu của thương. 
III. Định lý momen động lượng 
5.3.9. Một đĩa tròn đồng chất có khối lượng m1 và có bán kính bằng 
r, quay quanh trục cố định AB với vận tốc góc ωo. Vào một thời điểm nào 
đó một chất điểm M có khối lượng m2 bắt đầu chuyển động từ tâm đĩa ra 
ngoài vành theo một đường bán kính với vận tốc không đổi u. Xác định 
vận tốc góc ω của đĩa (hàm theo thời gian) kể từ lúc chất điểm M chuyển 
động. Bỏ qua lực ma sát ở ổ trục quay. 
5.10. Một đá tròn đồng chất bán kính r khối lượng m1 nằm ngang và 
quay được quanh một trục thẳng đi qua tâm đĩa. Một chất điểm M nằm 
trên vành đĩa có khối lượng là m2 chuyển động theo vành đĩa với quy luật 
S=MoM= at
2
2
 . Xác định vận tốc góc, gia tốc góc của đã. Bỏ qua ma sát và 
biết ban đầu hệ đứng yên. 
5.3.11. ống nằm ngang CD quay quanh 
trục thẳng đứng AB. Trong ống có quả cầu 
khối lượng m nằm cách trục quay một khoảng 
MC = a. Tại thời điểm nào đó ống được truyền 
vận tốc góc cao Tìm vận tốc góc ω của ống tại 
thời điểm quả cầu vừa rời khỏi ống CD. Biết 
momen quán tính của ống đối với trục quay là 
J, chiều dài CD = L. Bỏ qua ma sát (hình bài 
5.3.11) 
5.3.12. Một mồm điện chịu tác dụng của 
một ngẫu lực tổng hợp (phát động và cản) có 
momen quay là M = a-bω), trong đó a,b là các hằng số dương, còn m là 
vận tốc góc môtơ. Momen quán tính của rôto đối với trục quay hình học 
là J. Tìm biểu thức vận tốc góc ω(t) trong quá trình mở máy từ trạng thái 
nghỉ. 
5.3.13. Để xác định momen quán tính của vật đối với trục AB qua 
khối tâm C của vật bằng hai thanh AD và BE gắn cứng vào vật, sao cho 
AB song song với DE và cùng nằm ngang. Cho vật dao động quay trục 
 129 
DE và do nửa chu kỳ T của dao động. 
Biết trọng lượng của vật là P, khoảng 
cách AD = BE = h. Bỏ qua trọng lượng 
của hai thanh treo và bỏ qua ma sát ở các 
khớp quay.Tính mômen quán tính của 
vật đối với trục AB (hình bài 5.3.13). 
5.3.14. Một vật rắn quay quanh trục 
cố định, khởi động từ trạng thái nghỉ, 
chịu tác dụng của momen quay không 
đổi M và của momen Mc = αω2, trong đó 
α là hằng số và ω) là vận tốc góc của vật. 
Momen quán tính của vật đối với trục 
quay là J. Tìm luật biến thiên của vận tốc 
góc theo thời gian và tìm giá trị vận tốc 
góc giới hạn của vật. 
IV.Định lý biên thiên động năng 
5.3.15. Búa máy có khối lượng m = 
200kg đập 84 lần trong 1 phút. Hành 
trình của búa h = 0,35m. Hiệu suất của búa η = 0,7. Tìm công suất của 
động cơ để đảm bảo chế độ làm việc đều của 
búa. 
5.3.16. Trục động cơ được lắp vào bánh 
đai và nối với đòn AF nhờ dây như (hình bài 
5.3.16). Tìm công suất của động cơ khi nó 
quay n = 240 vg/ph và để đòn cân bằng người 
ta treo vật nặng P = 29,4N, khoảng cách l = 
50cm. 
5.3.17. Cho cơ cấu cuối như hình trên 
thình bài 5.3.17). Cần lắc OC quay quanh trục 
O kéo thanh AB chuyển động lên xuống theo 
máng trượt thẳng đứng K. Cần OC được coi là thanh đồng nhất có chiều 
dài bằng R và khối lượng m1. Con chạy A có khối lượng m2, thanh AB có 
khối lượng m3. Khoảng cách giữa trục O và máng trượt K bằng l. Xem 
 130 
con chạy A như một chất điểm, tìm 
biểu thức động năng của cơ cấu theo 
vận tốc góc và góc quay của tay quay. 
5.3.18. Cho cơ cấu hành tinh như 
(hình bài 5.3.18) các bánh I, II, III là 
các đĩa tròn đồng chất, cùng bán kính 
r, cùng khối lượng m. Tay quay OA 
được xem là một thanh đồng chất có 
khối lượng m1 Tìm biểu thức động 
năng của cơ cấu theo vận tốc góc của 
tay quay. 
5.3.19. Một vật nặng là P được 
treo vào đầu một sợi dây mềm, nhẹ, 
không dãn, rồi quấn dây vào trống 
hình trụ của một trục quay nằm ngang. 
Vật nặng rơi, kéo cả trống quay theo. 
Xác định vận tốc của vật nặng sau lúc 
nó rơi xuống được một độ cao h, ban 
đầu yên nghỉ. Trống có trọng lượng 
bằng Q và được coi là một khối trục 
tròn đồng chất. Bỏ qua ma sát. 
5.3.20. Một tời kéo gồm hai trống 
K1 và K2 có bán kính r1 và r2 ghép 
cứng với nhau và với trục quay nằm 
ngang O1O2. Có momen quán tính đối 
với trục đó bằng J1 và J2. Tác dụng 
vào tay quay của trục tời một ngẫu lực 
có momen M không đổi kẹo vật nặng 
D có trọng lượng P lên cao. Khi trống 
K2 quấn dây thì trống K1 thả dây. 
Bỏ qua ma sát và trọng lượng dây, 
cho biết ban đầu hệ đứng yên. 
Tìm vận tốc góc của tay quay A khi vật D được kéo lên một đoạn h 
 131 
(hình bài 5.3.20) 
5.3.21. Ngẫu lực có momen quay M 
không đổi tác dụng lên tang của một 
trục tời có bán kính bằng r và có trọng 
lượng P1. Quấn vào tang tời một sợi dây 
mềm nhẹ, không dãn rồi buộc đầu mút 
dây vào vật nặng A có trọng lượng P2 
để kéo nó lên theo mặt phẳng nghiêng, 
góc nghiêng so với mặt phẳng ngang là 
α. Hệ số ma sát trượt giữa vật nặng và 
mặt phẳng nghiêng là f. Tang tời được 
xem là một trục tròn đồng chất. 
Tìm biểu thức vận tốc góc của trục 
tời theo góc quay của nó. Tìm gia tốc 
góc (hình bài 5.3.21) 
5.3.22. Cơ cấu hành tinh như trên 
(hình bài 5.3.22) chuyển động trong 
mặt phẳng ngang. Bánh răng 3 cố định, 
các bánh răng động 1 và 2 được coi là 
những đã tròn đồng chất cùng bề dày và 
cùng vật liệu. Biết bánh răng 1 quay 
nhanh gấp 10 lần tay quay. Bỏ qua khối lượng của tay quay. Momen 
quán tính của bánh răng 1 đối với trục O1 là J1 Bánh răng 1 chịu tác dụng 
của ngẫu lực cản có momen là M1 không đổi. Tay quay chịu tác dụng của 
ngẫu lực phát động có momen quay M0 Cũng không đổi. Tìm gia tốc góc 
tay quay. 
5.3.23. Tay quay của một cơ cấu tay quay thanh truyền được coi là 
thanh đồng chất có chiều dài bằng r, có khối lượng m1 đang quay với vận 
tốc góc o). Con chạy có khối lượng m2, thanh truyền dài 1, coi rằng tỷ số 
r
l là bé. 
a. Bỏ qua khối lượng thanh truyền, tìm biểu thức động năng của cơ 
cấu theo vận tốc góc và góc quay của tay quay. 
 132 
b. Kể đến khối lượng của thanh truyền là m3, tính động năng của hệ ở 
vị trí tay quay OA vuông góc với đường trượt của con chạy. 
5.4.PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN 
VÀ CƠ HỆ 
Vấn đề cần chú ý 
I. Vật rắn chuyển động tịnh tiến 
Phương trình vi phân chuyển động có dạng định lý chuyển động khối 
tâm (7) đã được xét ở. Chương 5, mục (5.3.1) 
II. Vật rắn quay quanh trục cố định 
Phương trình vi phân chuyển động có dạng 11 đã được xét ở định lý 
momen động lượng. Chương 5 (5.3.3) 
III. Vật rắn quay quanh trục cố định 
Phương trình vi phân chuyển động có dạng: 
 trong đó: Xc, Yc - tọa độ của khối tâm C; ϕs - góc định vị của tấm phẳng 
S đối với hệ trục tọa độ tịnh tiến cùng 
với khối tâm; M - khối lượng của tấm; 
Jc - momen quán tính của tấm đối 
với trục đi qua C và thẳng góc với mặt 
phẳng của tấm, 
Fek - ngoại lực thứ k; 
Sc = OC tọa độ cong của C; 
Vc - vận tốc của c; 
ρ - bán kính cong của quỹ đạo khối 
tâm C 
 133 
IV. Cơ hệ những chất điểm và vật rắn chuyển động 
Phương trình vi phân chuyển động có dạng phương trình Lagrange 
loại II: 
trong đó: S - số bậc tự do của hệ; 
T = T(qi, qi) - động năng của hệ được tính theo hệ tọa độ suy rộng qi 
và vận tốc suy rộng q; = dqi
dt 
; 
Qi - lực suy rộng, được tính theo các phương pháp ở (5.2); 
 ∂T∂qi - đạo hàm riêng của động năng theo tọa độ suy rộng qi, 
∂T
∂qi - đạo hàm riêng của động năng theo vận tốc suy rộng qi; 
 ddt (qi) đạo hàm theo thời gian của (qi). 
 Phạm vi ứng dụng 
1. Phương trình vi phân chuyển động song phẳng 
* Phương trình này dùng để giải cả bài toán thuận và ngược. 
a. Biết chuyển động của vật, xác định vectơ chính và momen chính 
các ngoại lực tạo dụng lên vật và do đó có thể xác định các lực liên b. 
Biết các lực tác dụng lên vật, xác định chuyển động của vật. Trường hợp 
đã biết quỹ đạo khối tâm C, ta áp dụng công thức dạng (12-2) 
2. Phương trình Lagrange II 
Phương trình này được áp dụng để thành lập phương trình vi phân 
chuyển động của cơ hệ. Khi giải các phương trình lập được (bằng 
phương pháp giải tích hoặc phương pháp số trên máy tính) ta sẽ được 
qi(t) với i = 1,2,....,S. Các qi(t) xác định chuyển động của hệ. 
Bài tập giải sẵn 
Thí dụ 5-3. Đĩa tròn có trọng lượng P, bán kính R, bán kính quán 
 134 
tính đối với trục qua C và vuông góc với đã 
là p. Hệ số ma sát trượt giữa đĩa và nền là f 
(hình 5.3). Tìm lực F để đĩa lăn không trượt. 
Bài giải. 
1. Phân tích chuyển động và lực: Điã chuyển 
động song phẳng. 
Lực tác dụng gồm: Trọng lực P, phản 
lực N, lực F nằm ngang, lực ma sát Fms. 
2. Lập phương trình vi phân chuyển động: 
Chọn trục tọa độ như hình 5.4. Quy ước chiều dương của góc quay ϕ 
là ngược chiều kim đồng hồ. 
Phương trình vi phân chuyển động có dạng. 
Ta có ba phương trình với năm đại lượng chưa biết là: Fms 
và N. Ta cần tìm một số liên hệ giữa các đại lượng này: 
Vì đĩa lăn không trượt nên điểm I là tâm vận tốc tức thời: 
Vc = Rω hoặc do đó : 
Vì yc = R = const nên 
Giải các phương trình (a), (b),(c) và chú ý tới các liên hệ (d) và (e) ta 
được : 
Điều kiện để đĩa lăn không trượt là: 
 135 
vậy lực F phải thỏa mãn điều kiện: 
Thí dụ 5-4. Thanh đồng chất AB = 2a có đầu A, B tựa vào tường 
nhẵn và nền nhẵn. Giữ thanh AB đứng yên tạo với nền một góc ϕ0 rồi thả 
ra cho nó chuyển động dưới tác dụng của trọng lực P. 
Tìm vận tốc góc và gia tốc góc theo góc nghiêng ϕ. Tìm phản lực tại 
A và B, suy ra giá trị của ϕ lúc đầu A rời khỏi tường (hình 5.5). 
Bài giải: 
1. Phân tích chuyển động và lực: Thanh 
AB chuyển động song phẳng. Các lực tác dụng 
gồm: trọng lực P, các phản lực liên kết NA, NB 
2. Lập phương trình vi phân chuyển động. 
Chọn hệ tọa độ như (hình thí dụ 5-2) Quy 
ước chiều dương của ϕ là ngược chiều kim 
đồng hồ. 
Phương trình vi phân chuyển động có 
dạng: 
Các liên hệ: Vì xc = acosϕ; yc = asinϕ nên 
Giải các phương trình trên với JC = 
1
3 Ma
2 ta được: 
 136 
Lấy tích phân biểu thức (f) với điều kiện đầu ta 
được: 
Đầu A rời tường khi NA = 0, tức là: 
vì cos ϕ ≠ 0 nên : 3 sinϕ - 2 sinϕ0 = 0 
 Vậy đầu A rời tường khi: sinϕ = 23 sinϕ0 
Sau khi thanh rời tường, từ (a) ta nhận được 
Suy ra hình chiếu của khối tâm chuyển động đều sau khi thanh rời 
tường. 
Bài tập cho đáp số 
I. Phương trình vi phân chuyển động song phẳng 
5.4.1. Một bánh xe đồng nhất bán kính r lăn xuống không trượt theo 
đường dốc chính của một mặt phẳng nghiêng α so với phương ngang. Hệ 
số ma sát lăn giữa bánh xe và mặt phẳng nghiêng là k. Tìm điều kiện để 
bánh xe lăn xuống đều. 
5.4.2. Một con lăn đồng chất hình trụ tròn, có trọng lượng P bán kính 
r, được đặt trên mặt phẳng ngang, không nhẵn, 
có một sợi dây quấn vào tầng trong của con lăn 
với bán kính a. Bán kính quán tính của con lăn 
đối với trục của nó là ρ. Tác dụng lên đầu tự do 
của dây một lực F, nghiêng với mặt phẳng 
ngang một góc không đổi α. Tìm quy luật 
chuyển động của trục O của con lăn (hình bài 
5.4.2). 
5.4.3. Một trụ tròn đồng chất A, có khối lượng m, lăn xuống theo dây 
treo thẳng đứng quấn vào nó. Đầu B của dây được buộc chặt và khi trụ 
 137 
rơi không vận tốc đầu thì nhả dây quấn ra tìm vận tốc trục khối trụ khi nó 
đã rơi được một đoạn thẳng h và tìm lực căng của dây treo (hình bài 
5.4.3). 
5.4.4. Người ta quấn hai dây mềm vào một khối trụ đồng nhất và 
quấn dây đối xứng qua mặt phẳng trung bình song song với đáy: khối trụ 
nặng là P được đặt lên mặt phẳng nghiêng sao cho đường sinh của nó 
vuông góc với đường dốc chính và buộc cố định mút tự do của hai dây 
trên sao cho phần dây tự do song song với đường dốc chính của mặt 
phẳng nghiêng AB. Hệ số ma sát trượt giữa mặt trụ và mặt nghiêng là f. 
Giả thiết rằng trọng lực thắng lực cản do ma sát và khối trụ trượt xuống 
không vận tốc đầu. Tìm quy luật chuyển động sai của trục khối trụ và lực 
căng của mối dây. Cho rằng trong chuyển động đang xét dây quấn chưa 
bị nhả ra hết (hình bài 5.4.4). 
5.4.5. Một thanh đồng chất AB có trọng lượng P được treo vào điểm 
O nhờ hai dây có chiều dài bằng nhau và bằng độ dài của thanh. Xác định 
sức căng của một trong hai nhánh dây tại thời điểm nhánh kia bị đứt 
(hình bài 5.4.5). 
5.4.6 Một thanh mảnh đồng chất có 
chiều dài 21 và trọng lượng P nằm trên hai 
gối đỡ A và B. Trọng tâm C của thanh nằm 
cách đều hai gối đỡ: CA = CB = a. Áp lực 
tĩnh trên mỗi gối đỡ bằng P/2l (hình bài 
5.4.6). Tìm sự thay đổi áp lực trên gối đỡ A 
tại thời điểm khi gối đỡ B bị rơi tức thời. 
 138 
II Phương trình Lagrange loại II 
5.4.7. Con lắc gồm con chạy A có khối 
lượng m1 trượt trên nền ngang nhẵn và quả 
cầu nhỏ có khối lượng m2 được nối với con 
chạy bằng thanh AB cứng, nhẹ, dài l. Lập 
phương trình vi phân chuyển động của cả hệ 
(hình bài 5.4.7) 
5.4.8. Một ống trụ tròn rỗng, đồng chất 
có trọng lượng P, bán kính R và có thể quay 
quanh trục thẳng đứng. Trên mặt trong của 
ống trụ có xẻ một rãnh đinh ốc, bước của 
đường đinh ốc là h. Một viên bi nhỏ, chạy 
trong rãnh ấy dưới tác dụng của trọng lượng 
bản thân. Bỏ qua ma sát. Thành lập phương 
trình vi phân chuyển động của cơ hệ, cho biết ban đầu hệ đứng yên. Tìm 
phương trình chuyển động của cơ hệ. 
5.4.9. Một hình trụ khối lượng m, bán kính r 
lăn không trượt bên trong của một trụ rỗng, khối 
lượng M, bán kính R, trụ này có thể quay quanh 
trục nằm ngang O. Momen quán tính của các trụ 
đối với các trục của mình tương ứng bằng MR2 và 
mr2
2
. Thành lập phương trình vi phân chuyển động 
của hệ và tìm các tích phân (hình bài 5.4.9). 
5.4.10. Một đĩa đồng chất bán kính R, có khối 
lượng M, có thể quay quanh trục nằm ngang O. Một dây nhẹ không giãn 
AB, một đầu của nó treo vào vành đĩa tại A và đầu kia buộc vật có khối 
lượng m tại B. Thành lập phương trình vi phân chuyển động của hệ. Mô 
tả như (hình bài 5.4.1 0). 
5.4.11. Xác định chuyển động của cơ hệ gồm hai khối lượng m1 và 
m2 có thể trượt tịnh tiến dọc thanh nhẵn nằm ngang (Ox). Các khối lượng 
được nối với nhau nhờ một lò xo có độ cứng c. Khoảng cách giữa 2 khối 
tâm của hai khối lượng khi lò xo không làm việc là l. Trạng thái đầu của 
 139 
cơ hệ được xác định bằng giá trị của vận tốc và tọa độ khối tâm của hai 
vật khi t = 0: x1 = 0 ; x1 = u0; x2 = l; x2 = 0 (hình bài 5.4.11).