Giáo trình Dao động kĩ thuật (Phần 1)

 1
BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI 
TRƯỜNG ĐH GTVT TP HCM 
KHOA CƠ KHÍ 
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc 
-----o0o----- 
DAO ĐỘNG KĨ THUẬT 
(Dành cho sinh viên các khối cơ khí) 
 Người lập: GV-Kỹ sư Thái Văn Nông 
 TS Nguyễn Văn Nhanh 
HCM - 2012 
 2
LỜI NÓI ĐẦU 
Dao động là một hiện tượng phổ biến trong tự nhiên và trong kỹ thuật. Các 
máy, các phương tiện giao thông vận tải, các tòa nhà cao tầng, những cây cầu... đó 
là các hệ dao động. Dao động là một quá trình trong đó một đại lượng vật lý (hóa 
học, sinh học...) thay đổi theo thời gian mà có một đặc điểm nào đó lặp lại ít nhất 
1 lần. 
Các đại lượng dao động có thể là các vị trí, vận tốc, gia tốc, năng lượng của 
vật, dòng điện, điện thế, ứng suất, âm thanh. v. vHiện tượng dao động xảy ra và 
cũng được nghiên cứu để ứng dụng (nếu có lợi) hoặc hạn chế (nếu có hại) trong 
rất nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác nhau. 
Môn “Dao động kĩ thuật” giúp cho sinh viên nắm được những kiến thức cơ 
bản về lý thuyết dao động, các dạng dao động tuyến tính hệ 1 bậc, 2 bậc hoặc n 
bậc tự do và các phương pháp tính toán, ứng dụng trong kỹ thuật. 
 3
MỤC LỤC 
LỜI NÓI ĐẦU .......................................................................................................................... 2 
MỤC LỤC ................................................................................................................................ 3 
Chương 1 - NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG VỀ DAO ĐỘNG ........................................................ 5 
I. KHÁI NIỆM CHUNG......................................................................................................... 5 
1. DAO ĐỘNG VÀ DAO ĐỘNG CƠ ......................................................................... 5 
2. QUY LUẬT DAO ĐỘNG ....................................................................................... 7 
3. CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CHO DAO ĐỘNG CƠ HỌC ........................... 10 
II. CÁC CÁCH BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG .......................................................................... 11 
III. TỔNG HỢP VÀ PHÂN TÍCH CÁC DAO ĐỘNG.......................................................... 13 
1. DAO ĐỘNG CÙNG PHA ..................................................................................... 13 
2. CÁC DAO ĐỘNG CÙNG TẦN SỐ ...................................................................... 14 
3. CÁC DAO ĐỘNG KHÁC PHA ............................................................................ 16 
IV. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 1 ............................................................................ 19 
Chương 2- DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO ........................................................... 22 
I. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO...................... 22 
1. MÔ HÌNH ............................................................................................................. 22 
2. CÁC YẾU TỐ CẤU THÀNH MÔ HÌNH .............................................................. 23 
3. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ............................................................................ 32 
II. DAO ĐỘNG TỰ DO KHÔNG CÓ LỰC CẢN .............................................................. 35 
1. MÔ HÌNH ............................................................................................................. 35 
2. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ............................................................................ 35 
3. DẠNG DAO ĐỘNG VÀ CÁC THÔNG SỐ DAO ĐỘNG ..................................... 36 
III. DAO ĐỘNG TỰ DO CÓ LỰC CẢN CỦA HỆ 1 BẬC TỰ DO ..................................... 41 
1. TRƯỜNG HỢP TRONG HỆ CÓ SỨC CẢN MA SÁT KHÔ ................................. 41 
2. TRƯỜNG HỢP TRONG HỆ CÓ SỨC CẢN NHỚT............................................... 45 
IV. ẢNH HƯỞNG CỦA LỰC CẢN ĐẾN BIÊN ĐỘ VÀ TẦN SỐ DAO ĐỘNG TỰ DO .... 49 
1. ẢNH HƯỞNG CỦA LỰC CẢN ĐẾN BIÊN ĐỘ DAO ĐỘNG ............................. 49 
2. ẢNH HƯỞNG CỦA LỰC CẢN ĐẾN TẦN SỐ DAO ĐỘNG ............................... 52 
V. DAO DỘNG CƯỠNG BỨC CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO .......................................... 53 
1. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG.................................................... 53 
2. DẠNG VÀ CÁC THÔNG SỐ CỦA DAO ĐỘNG ................................................. 54 
VI. HỆ SÔ KHUYẾCH ĐẠI BIÊN ĐỘ VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH THƯỜNG GẶP VỀ DAO 
ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO .............................................................. 56 
1. MÔ HÌNH 1 .......................................................................................................... 57 
2. MÔ HÌNH 2 .......................................................................................................... 58 
3. MÔ HÌNH 3 .......................................................................................................... 65 
4. MÔ HÌNH 4 ........................................................................................................... 71 
VII. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC KHI CÓ SỨC CẢN MA SÁT KHÔ ................................. 76 
1. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG.................................................... 76 
2. DẠNG VÀ THÔNG SỐ CỦA DAO ĐỘNG .......................................................... 77 
VIII. CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG II ................................................................................ 79 
Chương 3 - DAO ĐỘNG CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO ....................................................... 83 
I. MÔ HÌNH CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ 
HỆ DAO ĐỘNG ..................................................................................................................... 83 
 4
1. MÔ HÌNH ............................................................................................................. 83 
2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ HỆ DAO ĐỘNG ........................................ 84 
II. DAO ĐỘNG TỰ DO CỦA HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO .................................................. 90 
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG TỰ DO VÀ CÁCH GIẢI .............................. 90 
2. VÍ DỤ.................................................................................................................... 91 
III. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC CỦA HỆ NHIỂU BẬC TỰ DO ......................................... 95 
1. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG .................................................... 95 
2. DẠNG VÀ CÁC THÔNG SỐ CỦA DAO ĐỘNG ................................................. 96 
3. CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ............................................................................ 100 
IV. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 3 .......................................................................... 106 
PHỤ LỤC ............................................................................................................................. 108 
Bảng 1 - BẢNG THỨ NGUYÊN MỘT SỐ ĐẠI LƯỢNG .................................................. 108 
Bảng 2 - NHỮNG BỘI SỐ VÀ ƯỚC SỐ CỦA ĐƠN VỊ ĐO ............................................. 109 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................................... 110 
 5
Chương 1 - NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG VỀ DAO ĐỘNG 
I. KHÁI NIỆM CHUNG 
1. DAO ĐỘNG VÀ DAO ĐỘNG CƠ 
a) Định nghĩa 
Trong cuộc sống cũng như trong kỹ thuật, chúng ta thường gặp các đại 
lượng có giá trị biến đổi theo thời gian, lặp đi lặp lại xung quanh một vị trí cân 
bằng. Ta nói các đại lượng đó dao động. 
Các đại lượng dao động có thể là các vị trí, vận tốc, gia tốc, năng lượng của 
vật, dòng điện, điện thế, ứng suất, âm thanh..v..vHiện tượng dao động xảy ra và 
củng được nghiên cứu để ứng dụng (nếu có lợi) hoặc hạn chế (nếu có hại ) trong 
rất nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác nhau. Nhưng ở đây do hạn chế về nội dung và 
thời lượng củng như mục đích của giáo trình chúng ta chỉ quan tâm nghiên cứu 
dao động cơ đó là sự thay đổi vị trí của các vật (biểu hiện qua các chuyển vị) xung 
quanh vị trí cân bằng. 
- Nếu vật dao động tịnh tiến theo các trục thì chúng có chuyển vị đường, 
- Nếu vật lắc qua lắc lại xung quanh các trục thì chúng có chuyển vị góc. 
Vậy, Dao động là một quá trình, trong đó một đại lượng vật lý thay đổi 
theo thời gian, mà có một đặc điểm nào đó lặp lại ít nhất một lần. 
Hoặc Dao động là sự thay đổi vị trí của các vật xung quanh vị trí cân 
bằng. 
Trong kỹ thuật, dao động vừa có hại vừa có lợi. Lợi khi dao động được sử 
dụng để tối ưu hóa một số kỹ thuật như: dầm, kĩ thuật rung Hại khi dao động 
làm giảm độ bền của máy, gây ra hiện tượng mỏi của vật liệu, dẫn tới phá hủy, 
ảnh hưởng đến tuổi thọ của các công trình. 
Ví dụ dao động của con lắc (hình 1-1) có chuyển vị góc xung quanh trục đi 
qua điểm treo A còn dao động của một vật nặng treo trên lò xo có chuyển vị 
đường dọc theo trục đứng Z. 
 6
a) Dao động góc của con lắc 
b) Dao động đường của vật nặng 
c) Dầm chịu uốn 
d) Thanh đàn hổi chịu kéo nén 
Hình 1.1 – Các ví dụ về dạng dao động 
b) Phân loại dao động: 
* Căn cứ vào cơ cấu gây nên dao động: 
- Dao động tự do; 
- Dao động cưỡng bức; 
- Dao động tham số; 
- Tự dao động; 
- Dao động hỗn độn; 
- Dao động ngẫu nhiên. 
* Căn cứ vào số bậc tự do: 
- Dao động của hệ một bậc tự do; 
- Dao động của hệ nhiều bậc tự do; 
- Dao động của hệ vô hạn bậc tự do. 
 7
* Căn cứ vào phương trình chuyển động: 
- Dao động tuyến tính; 
- Dao động phi tuyến. 
* Căn cứ vào dạng chuyển động: 
- Dao động dọc; 
- Dao động xoắn; 
- Dao động uốn. 
2. QUY LUẬT DAO ĐỘNG 
Dao động có thể xảy ra theo nhiều quy luật khác nhau, nhưng ta thường gặp 
nhất là các quy luật sau đây: 
a. Dao động theo quy luật tuần hoàn: 
 q(t + T) = q(t) (1-1) 
Có nghĩa là cứ sau một thời gian T nhất định giá trị của q lại trở về trị số củ. 
Thời gian T nhỏ nhất (tính bằng giây) gọi là chu kỳ của dao động. 
Hình 1.2: Dao dộng theo quy luật tuần hoàn 
b. Dao động họ hình sin: là dao động xảy ra theo quy luật ; 
 q(t) = A(t)cos(t)t + B(t)sin(t)t (a) (1-2) 
 q(t) = qo(t)cos[(t)t + (t)] (b) 
trong đó: 
A, B, qo , , là những đại lượng biến đổi chậm theo thời gian. 
- A là giá trị lớn nhất của q đạt được trong một chu kỳ gọi là biên độ. 
-  gọi là tần số vòng, nó là số dao động thực hiện được trong 2 [s],  đo 
bằng Hectz ký hiệu là [Hz]=[1/s]=[s-1], 
 8
 gọi là pha ban đầu hay góc lệch pha đo bằng [rad]. 
Chu kỳ của dao động họ hình sin là chu kỳ của hàm số sin 

 2
 T 
Như vậy sau một chu kỳ, do A(t), (t), (t) biến đổi đại lượng dao động họ 
hình sin không trở về trị số củ nữa. 
 Dao động họ hình sin chỉ có biên độ biến đổi theo thời gian gọi là dao 
động họ hình sin biến biên. Loại dao động này có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật. 
Ví dụ dao động có biên độ giảm theo hàm số e jt gọi là dao động tắt dần 
xảy ra khi dập tắt các dao động bằng giảm chấn ( hình 1-3), dao động có biên độ 
biến đổi theo hàm số sin được sử dụng nhiều trong kỷ thuật điện và vô tuyến điện. 
Hình 1.3: Dao động họ hình sin 
a -Dao động tắt dần (biến biên) b-Dao động tần số thay đổi (biến tần) 
Dao động họ hình sin chỉ có tần số biến đổi theo thời gian gọi là dao động 
họ hình sin biến tần. Loại dao động này cũng được ứng dụng nhiều trong kỹ thuật 
điện và vô tuyến. 
a. Dao động điều hoà: là dao động họ hình sin có A, , đều là hằng số, 
quy luật của nó là: 
q(t) = A.cos t + B. sint (a) (1-3) 
 = qo .cos(t + ) (b) 
 Dao động điều hoà là dao động họ hình sin nhưng cũng có các tính 
chất của dao động tuần hoàn vì sau một chu kỳ nó lại trở về trị số cũ. 
 9
+ chu kỳ của dao động điều hoà là 

 2
 T [s] (1-4) 
+ số nghịch đảo của chu kỳ gọi là tần số, kí hiệu là f và tính bằng hectz: 
T
f
1
 (1-5) 
+ Như vậy tần số vòng : 
 = 2 f [Hz] (1-6) 
Là số dao động thực hiện được trong thời gian 2 giây. 
+ qo là giá trị lớn nhất mà đại lượng q có thể đạt được trong một chu kỳ: 
qo = 22 BA (1-7) 
ứng với khi cos(t + ) = 1 gọi là biên độ của dao động . 
+ (t + ) [rad] gọi là pha của dao động . (1-8) 
+ [rad] gọi là pha ban đầu hay góc lệch pha. (1-9) 
Tất cả các thông số trên của dao động điều hoà đều là hằng số theo thời 
gian. Hình 1-4 biểu diễn quy luật dao động điều hoà (1-3) trên toạ độ q(t) ta cũng 
thấy được ý nghĩa của các thông số nói trên. 
Hình 1.4 : Dao động điều hoà 
Dao động điều hoà cũng là loại dao động được nghiên cứu nhiều nhất, bởi 
vì một dao động theo quy luật tuần hoàn q(t) bất kỳ có thể phân tích thành tổng 
của các dao động điều hoà theo công thức Fourier: 
 10
q(t) = A + 
 1n
(An cosnt + Bn sinnt) (1-10) 
Do hạn chế về nội dung và thời gian trong giáo trình này chúng ta cũng chỉ 
có thể đi sâu nghiên cứu các dao động họ hình sin và dao động điều hoà mà thôi. 
3. CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CHO DAO ĐỘNG CƠ HỌC 
3.1. Chu kỳ dao động T[s] – là khoảng thời gian ngắn nhất để vật thực hiện 
được một dao động toàn phần hay là khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái dao 
động được lặp lại như cũ. 
Nếu trong khoảng thời gian t, vật thực hiện được N dao động thì ta có chu kỳ 
N
t
T
 [s] 
3.2. Tần số dao động f [Hz] là số lần dao động trong một đơn vị thời gian 
(tức là 1 giây). Nó là đại lượng nghịch đảo của chu kỳ dao động. 
T
f
1
 [Hz] 
3.3. Tần số vòng (gốc)  [rad/s] là số dao động mà vật thực hiện được 
trong thời gian 2 giây. 
f
T
 2
2
 [rad/s] 
3.4. Ly độ, vận tốc và gia tốc của vật 
- Ly độ của vật dao động: )cos(0  tqq [m, cm, mm] 
- Vận tốc của vật dao động : )sin(0
'  tqqV [m/s, cm/s, mm/s] 
- Gia tốc của vật dao động : qtqVqa 220
''' )cos(   [m/s2, cm/s2, 
mm/s2] 
3.5. Năng lượng trong dao động 
Định luật bảo toàn năng lượng: Trong quá trình dao động thì động năng 
và thế năng có sự biến đổi qua lại, động năng tăng thì thế năng giảm và ngược 
lại, nhưng tổng của chúng là cơ năng (tức năng lượng toàn phần) luôn được 
 11
bảo toàn. 
constWWW tđ 
Trong đó : W - cơ năng toàn phần; 
đW - động năng; 
tW - thế năng. 
Ví dụ một vật dao động điều hòa có PTDĐ như sau )cos(0  tqq 
Động năng )(sin)(sin
2
1
2
1 222
0
22   tWtqmmVWđ 
Thế năng )(cos)(cos
2
1
2
1 222
0
222   tWtqmqmWt 
Cộng 2 vế của 2 phương trình trên ta được: 
constqmWWW tđ 
2
0
2
2
1
 
II. CÁC CÁCH BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG 
Chúng ta có thể biểu diễn dao động bằng phương trình đại số như phương 
trình (1-3) hay bằng đồ thị như hình 1.2, 1. 3, 1.4 đã giới thiệu. 
Qua đó tính toán được các đặc trưng cơ bản của chúng như biên độ, tần số, 
góc lệch pha theo các công thức nêu trên. 
Ở đây chúng ta làm quen với các phương pháp biểu diễn dao động bằng số 
phức và véctơ quay là những phương pháp hay dùng để nghiên cứu dao động sau 
này. 
Nếu chúng ta cộng thêm vào vế phải của phương trình biểu diễn dao động 
điều hoà (1-3) một lượng phức tương ứng là j.qo sin(t + ), thì vế phải của nó sẽ 
trở thành một số phức : 
q(t) = qo cos(t + ) + j qo sin(t + ) (a) (1-11) 
 = qo e
j(t+ ) = qo e
jt .ej 
Với j là đơn vị ảo : j2 = -1. 
Biểu diễn trên mặt phẳng số q sẽ là một véctơ có độ dài A = qo và làm với 
 12
trục thực góc (t + ) (Hình 1.5), ta ký hiệu bằng chữ q có gạch ngang ở dưới q. 
Khi cho véctơ này quay với vận tốc góc  quanh g ... nh 3-29), có khối lượng bộ phận công tác M = 0,5 tấn 
đặt trên đế máy có khối lượng m1 =120 kg thông qua 9 lò xo mỗi cái có độ cứng c 
= 20 kN/m. Máy được gây rung bằng hai khối lượng lệch tâm nằm trong bộ phận 
công tác quay ngược chiều nhau mỗi cái có khối lượng m0 = 80 kg, bán kính tay 
quay r = 5cm và vòng quay n = 120 vòng/phút. 
Tính lực nén lớn nhất của đầm khi làm việc và tính vòng quay để xảy ra cộng 
hưởng dao động . 
Hình 2.29- Mô hình máy đầm dất 
 Giải : 
Bài toán thuộc mô hình dao động kích thích bởi lực ly tâm. 
Ta tính được : 
- Khối lượng dao động M = 0,5 tấn = 500kg 
- Độ cứng tổng của các lò xo C = 9.20.103 = 180000N/m 
 64
- Tần số vòng dao động kích thích 14
30
120.
30
.  s
n
- Lực ly tâm kích thích dao động là: 
F0 = 2m0.
2.r = 2.80.(4. )2. 0,05 = 1262 N 
Phương trình dao động là: 
trmtFCZZM   cos...2cos. 200 
Chia cả hai vế cho M ta được : 
tr
M
m
Z
M
C
Z  cos...
2 20 
Hay viết dưới dạng (2-82a). 
tr
M
m
ZZ 

 cos...
2
..
2
02
2
02
02
2
02 
 
Trong đó biên độ của dao động kích thích và: 
m
M
m
rZkt 016,0500
80.2
.05,0
2
.2 
Tần số dao động tự do: 
1
0 97,18500
180000 s
M
C
 
Tỉ số các tần số vòng: 
662,0
97,18
4
0


 
Vì trong hệ không có giảm chấn ( D=0) nên hệ số khuyếch đại biên độ dao động 
2: 
78,0662,0.
662,01
1
.
1
1
. 2
2
2
2
2
212 
 

 
Biên độ dao động cưỡng bức như mô hình 2: 
Z02= 2.Zkt2= 0,78.0,016 = 0,0125 m 
Lực nén lớn nhất của đầm lên mặt đất: 
 65
Pmax = (M + m1). G + Z02.C = ( 500+120).9,8 + 0,0125.180000 = 8326 N 
Từ điều kiện cộng hưởng dao động  = 0 97,18
30
.
n 
Ta tính được vòng quay tới hạn: 
pvn /24,181
30.97,18
3. MÔ HÌNH 3 
Kích thích động lực: 
Mô hình dao động tương tự như mô hình 1, nhưng trong trường hợp này vật 
bị kích thích bởi dao động điều hoà: 
 u = u.ejt (2-93) 
của giá đở lò xo và giảm chấn như hình 2.30. 
Hình 2.30-Mô hình 3 
Ta viết được phương trình dao động: 
0)()( uZCuZKZm  
Hay uKCuCZZKZm  (2-94) 
Với u = u.ejt 
 66
Ta tính được : 
tjeujuju   ..... 0 
Và vế phải của (2.94): 
)(
0
2
3
2
3
033
0
0
..41
.).21(
..1
.).(


 



  
 
tj
tj
tj
tj
euDC
euDjC
eu
C
K
jC
euKjCuKCu 
 (2-95) 
Trong đó: 
).2( 33 DarctgC
K
arctg 

 (2-96) 
Thay giá trị của vế phải vào (2-94) rồi chia cho m ta được: 
)(
0
2
3
2
3 ..41..
  tjeuD
m
C
Z
m
C
Z
m
K
Z  
Hay viết dưới dạng (2-82a): 
)(
0
2
3
2
3
2
03
2
033 ..41.2
  tjeuDZZZ  (2-82c) 
Thì biên độ dao động cưỡng bức : 
0
2
3
2
303 .41. uDZ t  (2-83c) 
Nếu coi : 
301 kt
in ZuZ (2-84c) 
Là biên độ của dao động kích thích, thì hệ số khuyếch đại biên độ dao động 3 : 
2
3
2
3
2
3
2
3
22
3
2
3
2
303
3
41.
4)1(
.41




D
D
D
u
Z
 (2-85c) 
ở đây: 
 67
)892(
2
)882(
2
)872(
)862(
13
1
03
3
3
03
03
3
c
M
K
cD
CM
K
D
c
M
C
c
A






Hình 2.31- Hệ số khuyếch đại biên độ 3 
Đồ thị 3 phụ thuộc 3 ứng với các trị số của D3 được vẽ trên hình (2.31) 
Bài toán ví dụ 3: viết phương trình dao động thẳng đứng của toa xe hình (2-32) 
chạy với tốc độ V= 50 km/h trên đường sắt bằng những thanh ray có độ dài L= 
12,5(m) biến dạng thành hình sóng có độ lồi lõm h = 20 (mm). Biết kối lượng trên 
lò xo là m= 15(tấn), hai trục bánh cách nhau một khoảng l =8,6 (m) , mỗi trục có 
hai lò xo độ cứng c= 300( kN/m) và 2 giảm chấn có hệ số cản k= 20 (kN/m). 
 68
Hình 2.32 
a-Toa xe một hệ lò xo; b-Mô hình đường sắt 
c- Mô hình toa xe không giảm chấn; d- Mô hình toa xe có giảm chấn 
Giải: 
Khi tính toán động lực học của các toa xe đường sắt, người ta thường mô 
hình hoá mặt đường sắt lát bằng những thanh ray bị biến dạng thành hình sóng 
biểu diễn bởi phương trình: 
L
Xh
Zbx
.2
cos
2
Trong đó: 
L là chiều dài một thanh ray, X là tọa độ dọc theo trục của đường. 
Nếu tốc độ đều, thay X=V.t, ta được: 
t
h
t
L
Vh
Z  cos
2
2
cos
2
Với: )(98,6
6,3
50
5,12
22
s
L
V
 
Nếu toa xe có giảm chấn thuỷ lực thì mô hình của nó như hình (2-32d). 
Trong đó: 
- Độ cứng lò xo trong mô hình bằng tổng độ cứng các lò xo của toa xe; 
C =  1c =4. 300 = 1200 (kN/m) 
- Hệ số cản của giảm chấn trong mô hình bằng tổng hệ số cản của các giảm chấn: 
 69
K =  1k =4. 20 =80 (kN.s/m) 
- Quỹ đạo chuyển động của bánh xe giống như hình dạng của mặt đường và chính 
chuyển động này – tương tự như dao động u đế lò xo trong mô hình 3 – sẽ kích 
thích bộ phận trên lò xo dao động. 
Tuy vậy bởi vì toa xe có 2 trục nên 
2
21 bb
bx
ZZ
Z
 nếu chuyển động của trục bánh 
thứ nhất là: tjbx e
h
Z  
2
 thì chuyển động của trục bánh thứ hai sẽ chậm sau một thời 
gian 
V
l
t : 
)(
22
 
 
 tjV
l
tj
bx e
h
e
h
Z 
Với )(15,2
5,12
56,8..
rad
L
l
 
Ta tính được: 
)()(
005473,015,2cos01,0
cos
22
)(21


  
 
tjtj
ee
e
hZZ
Z tjbbbx 
Khi đó phuơng trình dao động có dạng: 
0)()( bxbx ZZCZZKZm  
Hay bxbx ZKCZCZZKZm  
Chia cả hai vế phương trình cho m ta được: 
)(222
0
2
0 .cos2
412   tje
h
DZZZ 
Giống như phương trình dao động (2-82c) của mô hình 3. 
Trong đó: 
 70
radarctgDarctg
D
CM
K
D
s
M
C
435,0465,0)2(
465,078,0.298,0.22
298,0
15.12002
80
2
78,0
944,8
98,6
)(944,8
15
1200
0
1
0

 




Phương trình này có nghiệm là: 
)(
2222
22
)(22
.cos
4)1(
41
cos
2
.cos
2
41
 
 





 
 
tj
tj
e
D
Dh
e
h
DZ
Thay số ta tính được : 
mmt
radarctg
D
arctg
)715,198,6cos(928,9
87,0
78,01
465,0
1
2
22



Nếu toa xe không có giảm chấn thuỷ kực thì mô hình của nó như hình 2-32c. 
Phương trình dao động của thân toa xe là: 
0)( bxZZCZm  
Hay )(cos
2
  tjbx e
h
CCZCZZm  
Chia cả hai vế cho m ta được phương trình dạng (2-82a) của mô hình 1 với K=0. 
)(2
01
2
01 cos2
  tje
h
ZZ 
Trong đó: cos
21
h
Zkt 
Phương trình này có nghiệm là: 
)(
01.
   tjeZZ 
Vì D=0: 
 71
)(97,13
)78,01(
1
15,2cos
2
20
)1(
1
cos
2 2201
mm
h
Z 


Và 00
1
2
2
 arctg
D
arctg


Như vậy dao động cưỡng bức của toa xe có dạng dao động điều hoà 
Z = 13,97.cos(4,18t – 2,15) (mm). 
4. MÔ HÌNH 4 
Kích thích thông qua lò xo được thể hiện trên hình 2-33. 
Hình 2.33- Mô hình 4 
Trong mô hình này vật thể có khối lượng m bị kích thích bởi dao động điều 
hoà: u= tjeu 0 của giá đở phía trên của lò xo độ cứng C. 
Ta viết được phương trình dao động : 
0)(1 uZCCZZKZm  
hay tjeuCZCCZKZm  .)( 011 (2-97) 
chia cả hai vế cho m đồng thời nhân và chia vế phải với (C + C1) ta được: 
tjeu
CC
C
m
CC
Z
m
CC
Z
m
K
Z 
 ... 0
1
11 
Hay viết dưới dạng (2-82a): 
 72
tjeu
CC
C
ZZZ 
 ...2 0
1
12
4
2
44   (2-82d) 
Biên độ dao động cưỡng bức là: 
0
1
1
104 .uCC
C
Z
  (2-83d) 
Nếu coi biên độ kích thích là: 
40
1
1
4 . kt
in Zu
CC
C
Z 
 (2-84d) 
thì hệ số khuyếch đại biên độ dao động 4 giống như 1: 
12
4
2
4
22
44
04
4
4)1(
1


 
DZ
Z
kt
 (2-85d) 
Ở đây : 
)982(
2
)882(
).(2
)872(
)862(
14
104
4
4
1
04
04
4
d
M
K
d
MCC
K
D
d
M
CC
d





Bài toán ví dụ 4: Xét mô hình dao động một bậc tự do của vật có khối lượng m = 
10kg vẽ ở hình 2.34b biết C = 250 N/m, K = 20 Ns/m. Hãy xác định quy luật dao 
động của điểm A, nếu biết lực kích thích tác dụng vào nó thay đổi theo quy luật F 
= F0.sint = 10.sin(2 t) N và C1 = 350 N/m. 
Hình 2.34 
 73
Giải: Mô hình này chính là mô hình 4 được đặt theo phương ngang. 
 Nếu cho lực tác dụng trực tiếp vào điểm B của vật (hình 2-34a), ta viết 
được phương trình giống như mô hình 1. 
 tFCXXKXm  sin0 
Nghiệm của phương trình này có dạng: 
X = X0sin( ) t . 
Thay vào ta được: 
193.20
30
.  S
n 
1
0 510
250 S
M
C
 
11
10.2
20
2
 S
m
K
12,0
5
1 
 SD

256,1
5
2


 
31,1
256.1.)2.0.(4)256.11(
1
4)1(
1
222222221


D
)(05226,0
250
10
31.1010 mC
F
X  
)(716,0
256.11
256.1.2.0.2
1
2
22
radarctg
D
arctg 


 Trường hợp lực kích thích đặt vào điểm A thong qua một lò xo BA có độ 
cứng C1 như hình 2.34b: 
 Giả sử qui luật chuyển động của điểm là : 
U = X0sin( ) t . 
Trong đó: u0 và  là những thông số chưa cần xác định. 
Do lực tác dụng tại A bằng lực đàn hồi của lò xo C1 ta có : 
 74
C1(X-u) = tF sin0 
C1{X0sin( ) t -X0sin( ) t } = tF sin0 
  tFtuXtuXC    coscos)sinsin(sin)coscos( 000001   
So sánh các hệ số của tsin và tcos ở 2 vế ta được: 
0001 )coscos( FuXC  
0)sinsin( 00  uX 
Từ 2 phương trình trên ta có: 
1
0
00 coscos C
F
Xu  (a) 
  sinsin 00 Xu (b) 
Chia (b) cho (a) ta được: 
1
0
0
0
cos
sin
C
F
X
X
tg
 
Hay: 
2643,1
350
10
716,0cos.052,0
716,0sin052,0
cos
sin
1
0
0
0 
 arctg
C
F
X
X
arctg
 
Bình phương cả 2 phương trình (a) và (b) rồi cộng từng vế với nhau: 
2
1
0
0
2
0
2
0 )cos()sin( C
F
XXu 
Từ đó : 
2
1
0
0
2
0 )cos()sin( C
F
XXu 
Thay số vào ta tính được: 
036,0)
350
10
716,0cos052,0()716,0sin052,0( 22 u 
Vậy qui luật dao động tại điểm A là: 
 75
 U =0.,036 sin (2 t – 1,256) m. 
Ta cũng có thể giải bài toán bằng phương pháp vec tơ hóa: 
Sau khi đã giải bài toán dao động ở bước 1 ta xác định được qui luậy chuyển 
động của vật khi không có lò xo C1 là : 
X = X0sin( )(0)
   tjeXt . 
 Biết lực tác dụng tại A bằng lực đàn hồi của lò xo C1 ta viết được : 
tjeFuXC  01 )( 
tjtjtj e
C
F
eueX    0)(0
)(
0
 
Tại thời điểm t=0: 
C
F
eueX jj 000 
  
Hay: 
C
F
eXeX jj 000 
  (*) 
Hình 2.35 
Hình 2.35 biểu diễn phương trình (*) từ đó ta xác định được u0 và  
Áp dụng công thức đối với véctơ tổng: 
C
F
vàeX j 00 
  
Ta có: 
 76
2
0
20
00 )sin()cos( XC
F
Xu 
C
F
X
X
tg
0
0
0
cos
sin
 
- Tóm lại chúng ta đã xét 4 mô hình , trong mô hình thứ i biên độ dao động cưỡng 
bức được tính là: 
tkti ZZ 
11 
Trong đó: 
tkt vàZ  lấy theo bảng sau: 
Mô 
Hình 
Biên độ 
kích 
thích ZKT 
Hệ sô khuyếch đại 
dao động t 
1 0 D  
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 
I 
C
F0 
2
1
2
1
22
1 4)1(
1
 D 
m
K
2
M
C 
Cm
K
2
01
 
II 
01
0
mm
m
r
 2
2
2
2
2
22
2 4)1(
1

 D 
)(2 0mm
K
0mm
C
)(2 0mmC
K
02
 
III u0 
2
3
2
3
22
3
2
3
2
3
4)1(
41


D
D
1 01 D1 1 
IV 
CC
C
u
 1
1
0 
2
4
2
4
22
4 4)1(
1
 D 
 1 
m
CC 1 )(2 1 CCm
K
04
 
VII. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC KHI CÓ SỨC CẢN MA SÁT KHÔ 
1. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG 
 Mô hình dao động cưỡng bức khi có sức cản ma sát khô như hình (2-36) 
tương tự như mô hình dao động tự do của nó ở hình (2-17) nhưng có thêm sự 
 77
tác dụng của lực kích thích diều hoà )cos(0 tF vào trọng tâm G. 
Hình 2.36- Mô hình dao động cưỡng bức khi có lực cản ma sát khô 
 Phương trình dao động của nó tương tự như phương trình dao động tự do 
(2-42) nhưng vế phải có thêm lực kích thích: 
)cos()sin( 0
2
0 

  tFZ
m
N
ZZ  (2-98) 
2. DẠNG VÀ THÔNG SỐ CỦA DAO ĐỘNG 
Nếu chúng ta giả thiết dao động cưỡng bức là một dao động điều hoà có tần 
số vòng bằng tần số vòng  của lực kích thích, lệch pha một góc với lực 
kích thích còn biên độ: 
2
0
0 1
1


C
F
ZZ tt (2-99) 
 Thì nghiệm tổng quát của phương trình trên trong nửa chu kỳ thứ nhất là: 
 )cos(
1
sincos
221

 
 t
Z
StCtCZ t (2-100) 
 Từ đó: 
)sin(
1
cossin
2020010

 
 t
Z
tCtCZ
 (2-101) 
 78
 Giả sử biết chuyển vị và vận tốc dao động tại thời điểm đầu và cuối của nửa 
chu kỳ thứ nhất: 
 Tại t = 0 thì 0ZZ và 0 Z (a) (2-102) 
 Tại t = 

 thì 0ZZ và 0 Z (b) 
 Khi đó: 
 

 

 00t và 

 t (c) 
 Thay điều kiện (a) vào phương trình (2-100) và (2-101) ta được : 

cos
1 210 
 t
Z
SCZ (e) 
0= 

 sin
1 220 
 t
Z
C (f) 
Thay điều kiện (b) vào phương trình (2-100) và (2-101) có lưu ý đến (c) ta được : 

 cos
1
sincos
2210 
 t
Z
SCCZ (g) 
0= 

 sin
1
cossin
22010 
 t
Z
CC (h) 
Cộng các phương trình (e) với (g) và (f) với (h) , ta được hệ sau: 
02sin)cos1( 20 SCC  (i) 
  0sin)cos1( 120  CC (k) 
Giải hệ phương trình này được: 
SC 1 
22

StgC 
Thay các giá trị 1C và 2C vào hệ phương trình (e); (f) ta được: 

cos
1 20 
 t
Z
Z 
 79


sin
12 2 
 tZStg 
Từ đó tính được biên độ: 
2
2
2
20
)
2
1
(
1
1 



tgSZZ t
 (2-103) 
Như vậy biên độ dao động cũng phụ thuộc tỉ số các tần số vòng. Khi tỷ số này tiến 
tới 1 có nghĩa là 0  do : 
lim
 



 4
2
1
lim
2
1 22
tgtg 
Nên: 22
20
)
4
(
1
1
 
S
ZZ t 
 (2-104) 
VIII. CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG II 
1- Đối với mỗi loại: 
- Dao động tự do không lực cản. 
- Dao động tự do có lực cản. 
- Dao động cưỡng bức. 
+ Cần nắm vững: 
 Mô Hình 
 Cách thành lập phương trình dao động. 
 Dạng nghiệm. 
 Công thức tính tần số, tần số vòng, chu kỳ biên độ, góc lệch pha. 
 80
Hình BT2.1 
2- Ảnh hưởng của lực cản đến biên độ và tần số của: 
- Dao động tự do. 
- Dao động cưỡng bức. 
Hình BT2.2 
3- Đối với các trường hợp dao động có thể gây nguy hiểm trong kỹ 
thuật là: 
 Cộng hưởng các dao động. 
 Dao động tự do không ổn định cần nắm vững hiện tượng, điều kiện 
xẩy ra để tìm cách khắc phục. 
Nắm vững các bài toán và mô hình thường gặp trong kỹ thuật và cách giải 
quyết các bài toán trên máy tính. 
4- Xác định mômen quán tính J của đĩa (hình BT2-1) đối với trục quay, 
 81
biết trục có chiều dài l=2 m. đường kính d = 0.5 cm, chu kỳ dao động tự do T = 
3,14 s, môđun trượt của thép G = 80.102 N/m2. 
5- Hai đĩa có momen quán tính J1, J2 được gắn chặt vào 2 đầu móc trục 
nằm ngang có độ cứng chống xoắn C (Hình BT2-2). Viết phương trình dao động 
và xác định qui luật dao động tương đối của hai đĩa. 
6- Mô hình cơ học của một máy bay hạ cánh bao gồm một khối lượng m 
đặt trên một lò xo có độ cứng C và một giảm chấn có hệ số cản K (hình BT2-3). 
Lực nâng khi hạ cánh cân bằng với trọng lượng, vận tốc hạ xuống V2 = 2 m/s. 
Sau khi hạ cánh máy bay bị hãm và lăn nhẹ trên đường băng. 
Hình BT2.3- Mô hình dao động của máy bay lúc hạ cánh. 
Viết phương trình dao động theo phương thẳng đứng của than máy bay u 
khi máy bay lăn trên đường bằng phẳng. Xác định tần số và gia tốc của dao động 
đó. 
Biết: m = 103 kg. C=3 kN/m, K = 2,74 kNs/m. 
7- Máy đo dao động (hình BT2.4), gồm một vật có khối lượng m = 0,1 
(kg) đặt trên một lò xo có độ cứng C = 0,05 N/m và một giảm chấn có hệ số cản k 
= 0,08 Ns/m. Tìm chuyển động mà máy ghi được khi gắn trên ổ trục của bánh xe 
tầu hỏa (bầu dầu) khi tàu chạy với vận tốc V = 50 km/h. Trên đường lồi lõm có 
qui luật 
5,12
2
cos01,00
X
Z
 82
Hình BT2.4 -Máy đo dao động 
Hình BT2.5 
8- Một bệ đúc có cấu kiện bê tong kiểu va dung (hình BT2.5), có trọng 
lượng trên lò xo ( cả vật đúc) P = 5 tấn đặt trên 4 lò xo mỗi cái có độ cứng C = 20 
kN/m được gây rung bằng cơ cấu lệch tâm có bán kính r = 5 mm và vòng quay n 
= 300 v/p. 
- Viết phương trình dao động và tính biên độ dao động cưỡng bức khi 
làm việc. 
- Tính vòng quay để vật đúc rung mạnh nhất.