Giáo trình Nhóm và biểu diễn

J.L. Alperin with Rowen B.Bell
NHÓM VÀ BIỂU DIỄN
Người dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường
Hiệu đính: TS. Lê Minh Hà
Springger
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1. Các kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1. Nhắc lại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Tự đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Tác động nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2. Nhóm tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4. Cấu trúc cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5. Nhóm con parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6. Nhóm tuyến tính đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3. Cấu trúc địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1. Định lí Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2. p-nhóm hữu hạn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3. Định lí Schur-Zhassenhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4. Cấu trúc chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10. Chuỗi hợp thành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
11. Nhóm giải được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5. Đại số nửa đơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
12. Môđun và biểu diễn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
13. Lý thuyết Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6. Biểu diễn nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
14. Đặc trưng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
15. Bảng đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
16. Cảm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Danh mục từ khóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4 MỤC LỤC
Chỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Chỉ mục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
1 Các kiến thức cơ bản về lý thuyết nhóm
Trong chương này, chúng ta xem lại các khái niệm cơ bản của lí thuyết nhóm
và giới thiệu các công cụ mà chúng ta sẽ sử dụng trong các chương còn lại. Phần 1
chủ yếu bao gồm các lập luận mà chúng ta giả sử rằng người đọc đã quen thuộc từ
một nghiên cứu trước đó về lí thuyết nhóm, do vậy hầu hết các chứng minh trong
chương này được lược bỏ. Trong Phần 2, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm quan
trọng, ví dụ như tự đẳng cấu nhóm và tích nửa trực tiếp, những khái niệm mà có
thể chưa được nhắc đến trong khóa học đầu tiên về lí thuyết nhóm. Phần 3 đề cập
đến lí thuyết tác động nhóm, ở đây chúng tôi trình bày cả những ứng dụng cơ bản
và kết quả mang tính chất kỹ thuật cần thiết cho các chương sau.
1. Nhắc lại
Ta nhớ lại rằng, một nhóm bao gồm một tập không rỗng G và một phép toán
hai ngôi trên G, thường kí hiệu theo lối nhân, thỏa mãn những tính chất sau:
• Phép toán hai ngôi có tính kết hợp: (xy)z = x(yz) với mọi x, y, z ∈ G.
• Tồn tại duy nhất phần tử 1 ∈ G, gọi là phần tử đơn vị của G, sao cho x1 = x
và 1x = x với mọi x ∈ G.
• Với mọi x ∈ G có duy nhất một phần tử x−1 ∈ G, gọi là phần tử nghịch đảo
của x, với tính chất xx−1 = 1 và x−1x = 1.
Tính chất kết hợp cho phép chúng ta dễ dàng định nghĩa tích của một số hữu
hạn bất kỳ các phần tử của một nhóm. Trật tự các phần tử trong một tích là
rất quan trọng, chẳng hạn nếu x, y là hai phần tử của nhóm G thì không nhất
thiết phải có xy = yx. Trong trường hợp đẳng thức này xảy ra thì ta nói rằng x
và y giao hoán. Thông thường, ta định nghĩa giao hoán tử của x và y là phần tử
[x, y] = xyx−1y−1, khi đó x và y giao hoán nếu và chỉ nếu [x, y] = 1. (Nhiều tác
giả định nghĩa [x, y] = x−1y−1xy.) Chúng ta nói rằng G là một nhóm abel nếu tất
cả các cặp phần tử của G đều giao hoán, trong trường hợp này thứ tự các phần tử
trong một tích là không qua trọng; trái lại, chúng ta nói rằng G là không abel. Phép
toán trên một nhóm abel thường được viết theo lối cộng, có nghĩa là tích của các
phần tử x và y được viết thành x+ y thay vì xy, nghịch đảo của x được kí hiệu bởi
−x, và phần tử đơn vị kí hiệu là 0.
Nếu x là một phân tử của một nhóm G thì với n ∈ N chúng ta sử dụng xn (tương
6 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
ứng, x−n) để chỉ tích x · · · x (tương ứng, x−1 · · · x−1) gồm n số hạng. Chúng ta
cũng định nghĩa x0 = 1. (Trong một nhóm abel mà được viết theo lối cộng, chúng
ta viết nx thay vì xn với n ∈ Z.) Dễ dàng thấy rằng các công thức thông thường
cho các lũy thừa cũng được thỏa mãn. Chúng ta nói rằng x có cấp hữu hạn nếu tồn
tại n ∈ N sao cho xn = 1. Nếu x có cấp hữu hạn thì chúng ta định nghĩa cấp của x
là số nguyên dương nhỏ nhất n mà xn = 1. Rõ ràng là, x có cấp n nếu và chỉ nếu
1, x, x2, ..., xn−1 là các phần tử phân biệt của G và xn = 1.
Một nhóm G được gọi là hữu hạn nếu nó có một số hữu hạn các phân tử, trái
lại nó là vô hạn. Chúng ta định nghĩa cấp của một nhóm hữu hạn, kí hiệu là |G|, là
số các phần tử của G; chúng ta cũng có thể sử dụng |S| cho bản số của một tập hữu
hạn S bất kỳ. Mọi phần tử của một nhóm hữu hạn đều có cấp hữu hạn và tồn tại
các nhóm vô hạn cũng có tính chất này; các nhóm như vậy được gọi là tuần hoàn.
Tuy nhiên, có các nhóm vô hạn mà ở đó phần tử đơn vị là phần tử duy nhất có cấp
hữu hạn; các nhóm như vậy được gọi là không xoắn.
Một tập con H của G được gọi là một nhóm con của G nếu nó tạo thành một
nhóm với phép tính hai ngôi trên G được hạn chế trên H. Tương tự vậy, H ⊆ G là
một nhóm con nếu và chỉ nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
• Phần tử đơn vị 1 của G nằm trong H.
• Nếu x, y ∈ G thì tích xy trong G cũng ∈ H.
• Nếu x ∈ H thì nghịch đảo của nó x−1 ∈ H.
Rõ ràng, G là một nhóm con của chính nó. Tập {1} cũng là một nhóm con của G;
nó được gọi là nhóm con tầm thường, và để đơn giản hóa chúng ta kí hiệu nó bởi 1.
Mọi nhóm con của một nhóm hữu hạn là hữu hạn; tuy nhiên, một nhóm vô hạn luôn
luôn có cả các nhóm con hữu hạn và vô hạn, đó lần lượt là nhóm con tầm thường
của nó và chính nó. Tương tự vậy mọi nhóm con của một nhóm abel là abel, nhưng
một nhóm không abel luôn luôn có cả các nhóm con abel và không abel. Nếu H là
một nhóm con của G thì chúng ta viết H 6 G; nếu H được chứa thực sự trong G
thì chúng ta gọi H là nhóm con thực sự của G, và chúng ta có thể viết H < G. (Sự
khác biệt về kí hiệu này là chung nhưng không phổ biến.) Nếu K 6 H và H 6 G
thì hiển nhiên K 6 H.
Mệnh đề 1. Nếu H và K là các nhóm con của một nhóm G thì giao của chúng
H ∩ K cũng vậy. Tổng quát hơn, giao của một tập bất kì các nhóm con của một
nhóm cũng là một nhóm con của nhóm đó.
Định lí dưới đây đưa ra thông tin quan trọng về bản chất của các nhóm con của
một nhóm hữu hạn.
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
1. NHẮC LẠI 7
Định lý Lagrange. Cho G là một nhóm hữu hạn và H 6 G. Khi đó |H| chia hết
|G|.
Nếu X là một tập con của một nhóm G thì chúng ta định nghĩa là giao
của tất cả các nhóm con của G chứa X. Theo Mệnh đề 1, X là một nhóm con của
G, mà chúng ta gọi là nhóm con của G sinh bởi X. Chúng ta thấy rằng là
nhóm con nhỏ nhất của G mà chứa X, theo nghĩa nó được chứa trong một nhóm
con như thế bất kì; do vậy nếu X 6 G thì = X. Nếu X = {x} thì chúng
ta viết thay vì ; tương tự thế, nếu X = {x1, ..., xn} thì chúng ta viết
 thay cho .
Mệnh đề 2. Cho X là một tập con của một nhóm G. Khi đó chứa đơn vị
và tất cả các tích dạng xε11 · · · xεrr , ở đó r ∈ N, xi ∈ X và εi = ±1 với mọi i.
Một nhóm G được gọi là xyclic nếu G = với g ∈ G; phần tử g được gọi là
một phần tử sinh của G. Ví dụ, nếu G là một nhóm cấp n có một phần tử g cấp
n thì G = và g, ..., gn−1, gn = 1 là các phần tử phân biệt của G. Theo Mệnh
đề 2, = {gn|n ∈ Z} và do đó từ tính chất của lũy thừa suy ra các nhóm xyclic
là abel; tuy nhiên chúng ta thường viết các nhóm xyclic theo lối nhân thay vì lối
cộng. Nếu g có cấp n thì = {1, g, ..., gn−1}, và do đó | | = n. Nếu g
không có cấp hữu hạn thì là một nhóm abel vô hạn không xoắn. Hai nhóm
xyclic hữu hạn bất kì có cùng một cấp là "tương đương" theo nghĩa sẽ được chính
xác hóa trong phần này, và hai nhóm xyclic vô hạn bất kì cũng tương đương với
cùng nghĩa như vậy. Nhóm xyclic vô hạn chính tắc là Z, tập các số nguyên với phép
cộng, trong khi nhóm xyclic chính tắc cấp n là Z/nZ, tập các lớp còn lại của các số
nguyên với phép cộng modulo n.
Giả sử rằng G là một nhóm hữu hạn và g ∈ G có cấp n. Ta có là một
nhóm con của G có cấp n, vì thế theo định lý Sylow ta có n chia hết |G|. Do vậy,
cấp của một phần tử của một nhóm hữu hạn chia hết cấp của nhóm đó. Vì thế, nếu
|G| bằng một số nguyên tố p nào đó thì cấp của mọi phần tử của G phải là một ước
không tầm thường của p, từ đó G là xyclic với mọi phần tử khác đơn vị đều là một
phần tử sinh.
Nếu X và Y là các tập con của một nhóm G thì chúng ta định nghĩa tích của
X và Y trong G là XY = {xy|x ∈ X, y ∈ Y } ⊆ G. Chúng ta có thể mở rộng khái
niệm này cho số hữu hạn bất kì các tập con của G. Chúng ta cũng có thể định nghĩa
nghịch đảo của X ⊆ G bởi X−1 = {x−1|x ∈ X} ⊆ G. Nếu H là một tập con của G
thì H 6 G nếu và chỉ nếu HH = H và H−1 = H.
Mệnh đề 3. Cho H và K là các nhóm con của một nhóm G. Khi đó HK là một
nhóm con của G nếu và chỉ nếu HK = KH.
8 CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT NHÓM
Nhận thấy rằng, nếu H và K là các nhóm con của G thì tích của chúng HK
chứa cả H và K; hơn nữa, nếu K 6 H thì HK = H. (Các tính chất này không thỏa
mãn nếu H và K là các tập con bất kì của G.) Nếu G là abel thì HK = KH với
các nhóm con H và K bất kì của G, và do đó tích của hai nhóm con bất kì của một
nhóm abel là một nhóm con.
Bây giờ chúng ta có thể mô tả cấu trúc nhóm con của các nhóm xyclic vô hạn.
Định lí 4. Cho G = là một nhóm xyclic cấp n. Khi đó:
(i) Với mọi ước d của n, tồn tại đúng một nhóm con của G cấp d, đó là < g
n
d >.
(ii) Nếu d và e là cac ước của n thì giao của các nhóm con cấp d và e là nhóm
con cấp gcd(d, e).
(iii) Nếu d và e là các ước của n thì tích của các nhóm con cấp d và e là nhóm con
cấp lcm(d, e).
Nếu H 6 G thì chúng ta viết xH thay vì {x}H, tập xH được gọi là một lớp kề
trái của H trong G. Tương tự, chúng ta viết Hx thay vì H{x}, và chúng ta gọi Hx
là một lớp kề trái của H trong G. Trong cuốn sách này chúng ta sẽ dùng các lớp kề
trái, và do vậy từ bây giờ trở đi từ "lớp kề" sẽ được hiểu như là "lớp kề trái". Cách
sử dụng lớp kề trái thay cho lớp kề phải của chúng ta không phải là bản chất, vì
bất kỳ một phát biểu nào đúng cho lớp kề trái đều đúng cho lớp kề phải. Nhiều giáo
trình về lý thuyết nhóm sử dụng lớp kề phải thay cho lớp kề trái. Tồn tại một tương
ứng song ánh giữa các lớp kề trái và phải của H trong G, biến một lớp kề trái xH
thành nghịch đảo của nó (xH−1) = Hx−1.
Cho H là một nhóm con của G. Hai lớp kề bất kỳ của H trong G hoặc là bằng
hoặc là rời nhau, với các lớp kề xH và yH là bằng nhau nếu và chỉ nếu y−1x ∈ H.
Do đó, một phần tử x ∈ G nằm chính xác trong một lớp kề của H, đó là xH. Với
mọi x ∈ G, tồn tại một tương ứng song ánh giữa H và xH; một sự tương ứng như
vậy biến h ∈ H thành xh. Chúng ta định nghĩa chỉ số của H trong G, được ký hiệu
bởi |G : H|, là số các lớp kề của H trong G. (Nếu tồn tại một số vô hạn các lớp kề
của H trong G thì chúng ta có thể định nghĩa |G : H| là bản số của nó mà không
làm thay đổi giá trị của bất kỳ định đề nào được đưa ra dưới đây, bởi chúng ta có
thể định nghĩa lại G như là bản số |G : 1|.) Các lớp kề của H trong G chia G thành
|G : H| tập rời nhau với bản số |H| và do đó |G| = |G : H||H|. (Điều này chứng
minh cho định lý Lagrange; tuy nhiên, ta có thể chứng minh định lý Lagrange mà
không cần sử dụng đến các lớp kề mà bằng cách sử dụng một lập luận tính toán
đơn giản.) Thực tế, tất cả các nhóm con của một nhóm hữu hạn có chỉ số hữu hạn,
trong khi các nhóm con của một nhóm vô hạn có thể có chỉ số vô hạn hoặc hữu hạn.
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
1. NHẮC LẠI 9
Chúng ta ký hiệu tập các lớp kề (hoặc không gian lớp kề) của H trong G bởi G/H.
Bây giờ, chúng ta có thể đưa ra một mô tả hoàn chỉnh về các nhóm con của các
nhóm xyclic vô hạn. Chúng tôi mời độc giả phát biểu lại Định lí 4 theo cách sao cho
sự tương ứng giữa Định lí 4 và 5 được rõ ràng hơn.
Định lí 5. Cho G = là một nhóm xyclic vô hạn. Khi đó:
1. Với mỗi d ∈ N, có chính xác một nhóm con của G chỉ số d, . Hơn nữa,
mọi nhóm con không tầm thường của G đều có chỉ số hữu hạn.
2. Cho d, e ∈ N. Khi đó giao của các nhóm con chỉ số d và e là nhóm con chỉ số
lcm(d, e).
3. Cho d, e ∈ N. Khi đó tích của các nhóm con chỉ số d và e là nhóm con chỉ số
gcd(d, e).
Kết quả dưới đây khái quát hóa định lí Lagrange và được xem như là "phép
phân tích thành nhân tử của các chỉ số".
Định lí 6. Nếu K 6 H 6 G thì |G : K| = |G : H||H : K|.
Cho H là một nhóm con của một nhóm G và cho I là một tập chỉ số tương ứng
song ánh với tập các lớp kề của H trong G. Một tập con T = {ti|i ∈ I} được gọi
là lớp ngang (trái) của H (hoặc một tập các biểu diễn lớp kề (trái) của H trong G)
nếu các tập tiH là các lớp kề của H trong G sao cho không có một lớp nào bị lược
bỏ hoặc bị lặp lại.
Cho N là một nhóm con của một nhóm G. Ta nói rằng N là nhóm con chuẩn
tắc của G (hay N là chuẩn tắc trong G) nếu xN = Nx với mọi x ∈ G, hay tương
đương với xNx−1 ⊆ N với mọi x ∈ G. Nếu G là abel thì mọi nhóm con của G đều là
chuẩn tắc. Các nhóm con 1 và G luôn là chuẩn tắc trong G; nếu G chỉ có hai nhóm
con chuẩn tắc này thì ta nói G là đơn. Chẳng hạn, một nhóm xyclic cấp nguyên tố
là đơn. (Một nhóm chỉ có duy nhất một phần tử thông thường không được coi là
đơn.) Nếu N là chuẩn tắc trong G thì chúng ta viết N E G; nếu N là nhóm con
thức sự của vừa là chuẩn tắc trong G thì ta viết N C G. (Lưu ý rằng, nhiều tác giả
không phân biệt điều này và chỉ viết N C G để kí hiệu N là chuẩn tắc trong G.)
Nếu N E G và K  ... 1. Do đó χi là một
đặc trưng ảo của G. Với mọi 2 ≤ j ≤ s và 1 ≤ k ≤ t, ta có
1 hj yk
ϕGi nϕi(1) ϕi(hj) 0
ϕi(1)ϕ
G
i nϕi(1) ϕi(1) 0
ϕi(1)χ1 ϕi(1) ϕi(1) ϕi(1)
χi ϕi(1) ϕi(hj) ϕi(1)
Do đó, theo tính trực giao dòng, ta có
162 CHƯƠNG 6. BIỂU DIỄN NHÓM
(χi, χi) =
1
|G|
∑
g∈G
|χi(g)|2 = 1|G| (
∑
g∈N
|χi(g)|2 +
∑
x∈X
∑
16=g∈Gx
|χi(g)|2)
=
1
|G|(nϕi(1)
2 + n
∑
16=h∈H
|χi(h)|2)
=
1
|H|
∑
h∈H
|ϕ(h)|2 = (ϕi, ϕi) = 1.
Tiếp tục, theo Hệ quả 15.2, hoặc χi hoặc −χi là đặc trưng bất khả qui của G. Mặt
khác, χi(1) > 0, ta suy ra nó là χi, không phải −χi, và đó là một đặc trưng thực sự.
Giả sử χ là đặc trưng
∑s
i=1 χi(1)χi của G. Từ định lý trực giao cột, ta suy ra
χ(h) =
∑s
t=1 ϕi(1)ϕi(h) = 0 với mọi 1 6= h ∈ H. Với mọi y ∈ N , từ Hệ quả 14.2, suy
ra χ(y) =
∑s
i=1 ϕi(1)
2 = |H|. Đến đây, ta suy ra χ(g) = |H| nếu g ∈ N và χ(g) = 0
nếu g ∈ G − N . Do đó N = {g ∈ G | χ(g) = χ(1)}. Như vậy, theo phần (vi) của
Mệnh đề 14.4, N E G. (Điều này là có cơ sở, ta biết rằng đặc trưng χ này thực tế
là nâng tới G của đặc trưng chính qui của G/N .) .
(Phương pháp chúng ta vừa dùng để chứng minh là một ví dụ về phương phápđặc
trưng đặc biệt ; xem [15,Chương 7].)
Một nhóm Frobenius là một nhóm G có một nhóm con H sao cho H∩gHg−1 = 1
với mọi g ∈ G − H. Chúng ta gọi H là phần bù Frobenius của G. Nếu G là một
nhóm Frobenius với phần bù Frobenius H thì tác động của G trên G/H là truyền
dẫn và trung thành. Hơn nữa, nếu 1 6= g ∈ G giữ cố định cả xH và yH thì ta
có g ∈ xHx−1 ∩ yHy−1. Điều này suy ra H ∩ (y−1x)H(y−1x)−1 6= 1, và do đó
xH = yH. Như vậy, mọi nhóm Frobenius hữu hạn G thỏa mãn giả thiết của định lý
Frobenius và do đó có một nhóm con chuẩn tắc N . Nhóm con này được gọi là hạt
nhân Frobenius của G.Từ H là cái ổn định của H ∈ G/H dưới tác động của G và
từ các phần tử của N bởi định nghĩa không giữ cố định phần tử nào của G/H, ta
phải có N ∩H = 1. Hơn nữa, như đã lập luận trong đoạn thứ nhất của chứng minh
của định lý Frobenius, ta có |N ||H| = |G|. Do đó G = N oH.
Giả sử G là nhóm Frobenius hữu hạn với hạt nhân Frobenius N và phần bù
Frobenius H. Xét ϕ : H → Aut(N) là đồng cấu liên hợp của G = N oH. Khi đó
ϕ(h)n = hnh−1 với mọi h ∈ H và n ∈ N . Nếu 1 6= h ∈ H thì
CG(h) ∩N = {n ∈ N | nh = hn} = {n ∈ N | h = n−1ϕ(h)(n)h}
= {n ∈ N | ϕ(h)(n) = n},
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
16. CẢM SINH 163
vì vậy CG(h) ∩N là tập các điểm cố định của ϕ(h) ∈ Aut(N). Tuy nhiên, nhắc lại
rằng trong chứng minh của định lý Frobenius, ta đã thấy rằng CG(h) = CH(h) 6 H.
Từ N ∩H = 1, ta có CG(h) ∩ N = 1. Do đó, với mọi 1 6= h ∈ H, ϕ(h) là một tự
đẳng cấu điểm bất động tự do của N , tức là nếu ϕ(h)(n) với n ∈ N thì ta phải có
n = 1. (Nói riêng, ϕ là đơn ánh.)
Ngược lại, giả sử N và H là các nhóm hữu hạn và ϕ : H → Aut(N) là một
đồng cấu với mọi ϕ(h) là điểm bất động tự do. Giả sử n ∈ N và h ∈ H ∩ nHn−1.
Khi đó h = nh′n−1 với h′ ∈ H, vì vậy nh′h−1 = hnh−1 = ϕ(h)(n) ∈ N và do đó
h′h−1 ∈ N ∩ H = 1. Như vậy h = h′ và từ ϕ(h) là điểm bất động tự do dẫn đến
n = 1 hoặc h = 1, và ta có n = ϕ(h)(n). Bây giờ, nếu g ∈ G−H thì g = nh với một
1 6= n ∈ N và một h ∈ H. Vì vậy, theo phần trên ta có H∩gHg−1 = H∩nHn−1 = 1.
Do đó N oϕ H là một nhóm Frobenius. Ví dụ, nếu p và q là các số nguyên tố khác
nhau thỏa mãn p ≡ 1 (mod q) thì ta thấy rằng mọi đơn cấu ϕ : Zq → Aut(Zp) là
điểm bất động-tự do, và do đó nhóm không aben duy nhất cấp pq là một nhóm
Frobenius.
Một định lý của Thompson chỉ ra rằng mọi nhóm hữu hạn có một tự đẳng cấu
bất động điểm tự do cấp nguyên tố là lũy linh. Kết quả này suy ra nhân Frobenius
của một nhóm Frobenius hữu hạn là lũy linh. (Xem sự thảo luận trong [10, Mục
1.6].) Kết quả này lần đầu tiên được đưa ra bởi Thompson trong luận án tiến sĩ
năm 1959 của ông. Luận án này được bảo vệ ở trường Đại học Chicago. Cả kết quả
lẫn chúng minh rất tự nhiên của ông, nhưng trước đó, nó đã xuất hiện lần đầu tiên
trong lý thuyết nhóm với một lập luận phức tạp trên hàng chục trang giấy. Kết quả
này cơ bản và quan trọng trong sự phát triển của lý thuyết nhóm hữu hạn trong
nhiều thập kỷ sau đó.
BÀI TẬP
Trong tất cả các bài tập dưới đây, G là một nhóm hữu hạn, H là một nhóm con của
G, F là một trường và tất cả các FG−môđun là hữu hạn sinh.
1. Giả sử V là một FH−môđun và W là một FG−môđun chứa V . Giả sử W
có tính chất là với mọi FG−môđun U và mọi ϕ ∈ HomFH(V,U), tồn tại duy
nhất đồng cấu FG−môđun từ W tới U mà là mở rộng U . (Trong trường hợp
này, ta nói rằng W là quan hệ H−tự do tương ứng với V ; so sánh với Bài tập
13.1-2.) Chứng minh rằng W ∼= IndGH V .
2. Giả sử W là một FG−môđun được sinh bởi một FH−môđun con V và giả sử
dimF W = |G : H|dimF V . Chứng minh rằng W ∼= IndGH V .
164 CHƯƠNG 6. BIỂU DIỄN NHÓM
3. Chứng minh rằng HomFG(U, IndGH V ) ∼= HomFH(ResGH U, V ) khi xem như các
F−không gian véctơ, với mọi FG−môđun U và FH−môđun V . (Gợi ý: Bước
đầu, chứng minh rằng nếu ϕ ∈ HomFH(ResGH U, V ) thì ánh xạ đưa u ∈ U
tới
∑
t∈T t ⊗ ϕ(t−1u), ở đó T là một lớp ngang của H trong G, nằm trong
HomFG(U, Ind
G
H V ).)
4. Chứng minh rằng nếu X là một G−tập truyền dẫn thì FX ∼= IndGGx F với mọi
x ∈ X.
5. Tính bảng cảm sinh-hạn chế của (A5, A4).
6. Tính bảng đặc trưng của nhóm không aben duy nhất cấp pq, ở đó p và q là
các số nguyên tố khác nhau và p ≡ 1 (mod q).
7. Giả sử G là một nhóm Frobenius có hạt nhân Frobenius N . Chứng minh rằng
các đặc trưng bất khả qui của G hoặc là cái nâng của các đặc trưng bất khả
qui của G/N hoặc được cảm sinh từ các đặc trưng bất khả qui không chính
qui của N . Khi nào thì sự cảm sinh tới G của hai đặc trưng bất khả không
cính qui phân biệt của N là bằng nhau?
BÀI TẬP MỞ RỘNG
Trong các bài tập này, ta hoàn thiện bảng đặc rưng của G = GL(2, q), ở đó q là
một lũy thừa của một số nguyên tố nào đó. Nhắc lại từ Mệnh đề 4.2 rằng ta có
|G| = q(q − 1)2(q + 1).
Việc đầu tiên của chúng ta là xác định các lớp liên hợp của G. Ở đây, ta phác
họa một cách tương đối thủ công, chỉ sử dụng một số kiến thức đại số tuyến tính.
(Có thể có một sự tiếp cận rộng hơn, chẳng hạn, sử dụng công thức nhân tử bất
biến của dạng chuẩn tắc hữu tỷ.) Ta ký hiệu mg(X) là đa thức tối tiểu của phần tử
g ∈ G. Công việc của chúng ta giải các bài tập dưới đây:
8. Chứng minh rằng các phần tử liên hợp của G có cùng đa thức tối tiểu.
Từ mg(X) là một nhân tử của đa thức đặc trưng của g, đó là đa thức bậc hai
det(XI−g), ta thấy rằng mg(X) hoặc tuyến tính hoặc là tích của hai nhân tử tuyến
tính giống hoặc không giống nhau, hoặc là bậc hai tối tiểu bất khả qui.
9. (tiếp theo) Chứng minh rằng nếu mg(X) = X − a với a ∈ F×q thì g = ( a 00 a ) ∈
Z(G).
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
16. CẢM SINH 165
10. (tiếp theo) Chứng min rằng nếu mg(X) = (X − a)2 với a ∈ F×q thì g liên hợp
với ( a 10 a ) và lớp liên hợp của g có cấp q2 − 1.
11. (tiếp theo) Chứng minh rằng nếu mg(X) = (X−a)(X−b) với các số a, b ∈ F×q
phân biệt thì g liên hợp với
(
a 0
0 b
)
và lớp liên hợp của g có cấp q2 + q.
12. (tiếp theo) Chứng minh rằng nếu r, s ∈ Fq sao cho X2− rX− s là bất khả qui
thì lớp liên hợp của ( 0 1s r ) có cấp q2 − q.
(Gợi ý cho Bài tập 10-12: Tính tâm và sử dụng Mệnh đề 3.13.)
13. (tiếp theo) Chứng minh rằng dưới đây là danh sách đầy đủ các lớp liên hợp
của G: q − 1 lớp 1 phần tử, được đánh số bởi các phần tử của F×q ; q − 1 lớp
chứa q2 − 1 phần tử trong mỗi lớp, được đánh số bởi các phần tử của F×q ;
(q − 1)(q − 2)/2 lớp chứa q2 + q phần tử trong mỗi lớp, được đánh số bởi các
cặp phần tử phân biệt không chú ý thứ tự của F×q và q(q−1)/2 lớp chứa q2−q
phần tử trong mỗi lớp, được đánh số bởi các đa thức bậc hai bất khả qui cực
tiểu với hệ số trong F×q .
Sau khi xác định được các lớp của G, ta trở lại với việc tìm các đặc trưng bất khả
qui. Nhắc lại rằng ta có một toàn cấu det : G → F×q . Hệ quả là ta có thể nâng các
đặc trưng của F×q thành đặc trưng của G như trong Bổ đề 15.6. Bây giờ, F×q là một
nhóm aben cấp q−1, do đó nó có q−1 đặc trưng tuyến tính, kí hiệu bởi τ1, . . . , τq−1.
(Thực tế, (xem [17,p.132]) ta có F×q ∼= Zq−1, và do đó ta có thể cố định một phần tử
sinh của F×q xác định hoàn toàn τi.) Với mỗi 1 ≤ i ≤ q − 1, đặt χi = τi ◦ det. Ta có
( a 00 a ) (
a 1
0 a )
(
a 0
0 b
)
( 0 1s r )
χi τi(a)
2 τi(a)
2 τi(a)
2τi(b)
2 τi(−s)
Các đặc trưng χi là tuyến tính và χ1 là đặc trưng chính qui của G.
Như trong Chương 2, giả sử B,U và T là các nhóm con của G bao gồm tất cả
các tam giác trên, tam giác đơn vị trên và tất cả các phần tử đường chéo của G. Ta
có T ∼= F×q × F×q , và do đó từ Ví dụ 15.2, ta thấy rằng các đặc trưng bất khả qui
của T có dạng τi × τj (sau khi có sự đồng nhất thích hợp). Bây giờ, theo Mệnh đề
5.1, ta có B = U o T . Vì vậy, ta có thể nâng mỗi đặc trưng τi × τj của T ∼= B/U
để nhận được một đặc trưng θij của B. Toàn cấu từ B lên T đưa ( x y0 z ) tới ( x 00 z ) và
hệ quả là ta có θij ( x y0 z ) = (τi× τj) ( x 00 z ) = τi(x)τj(z). Bây giờ, ta muốn xét các đặc
trưng cảm sinh θGij .
14. (tiếp theo) Chứng minh rằng
166 CHƯƠNG 6. BIỂU DIỄN NHÓM
( a 00 a ) (
a 1
0 a )
(
a 0
0 b
)
( 0 1s r )
θGij (q + 1)τi(a)τj(a) τi(a)τj(a) τi(a)τj(b) + τi(b)τj(a) 0
Chú ý rằng θGij = θGji.
15. (tiếp theo) Chứng minh rằng (θGij , θGji) = 1 + δij và (θGii , χi) = 1. Từ đó suy ra
θGii − χi là một đặc trưng bất khả qui của G với mỗi i và θGij là một đặc trưng
bất khả qui của G bất cứ khi nào i và j phân biệt.
Đến đây, ta đã xây dựng được q− 1 đặc trưng bất khả qui phân biệt bậc 1 (các χi),
q − 1 đặc trưng bất khả qui phân biệt bậc q (các θGii − χi) và (q − 1)(q − 2)/2 đặc
trưng bất khả qui phân biệt bậc q +1 (các θGij với i < j). Một phần bảng đặc trưng
của G là
( a 00 a ) (
a 1
0 a )
(
a 0
0 b
)
( 0 1s r )
χi τi(a)
2 τi(a)
2 τi(a)τi(b) τi(−s)
θGii − χi qτi(a)2 0 τi(a)τi(b) −τi(−s)
θGij (q + 1)τi(a)τj(a) τi(a)τj(a) τi(a)τj(b) + τi(b)τj(a) 0
Để hoàn thành bảng đặc trưng, sẽ là thuận tiện khi làm việc với một tập khác các
đại diện của các lớp liên hợp của các phần tử này mà đa thức tối tiểu là bậc hai
bất khả qui. (Chúng ta sẽ xem các lớp này như là các lớp “ cột thứ tư” do vị trí
của chúng trong phần bảng đặc trưng trên.) Theo Bài tập 4.4, G có một nhóm con
C đẳng cấu với F×
q2
, ở đó Fq2 là trường có q2 phần tử. Như nhận xét ở trên, ta có
C ∼= Zq2−1. Mọi nhóm con của G mà đẳng cấu với F×q2 là liên hợp với C, điều này là
đúng, măc dù ta không có điều kiện chứng minh ở đây. (Chứng minh điều này đòi
hỏi môt số kiến thức về lý thuyết trường, nhưng điểm cốt yếu ở đây là tất cả các
trường cấp q2 đều đẳng cấu, xem [19,Hệ quả XIV.2.7].) Ta cũng có kết quả C phải
chứa Z(G) ∼= F×q , và do đó ta sẽ xét F×q như một nhóm con của C.
16. (tiếp theo) Chứng minh rằng các phần tử của C − F×q có dạng một tập kép
các đại diện của các lớp cột thứ tư, với x ∈ C −F×q liên hợp với (nhưng không
bằng) xq. (Gợi ý: Lập luận rằng mỗi phần tử của G mà có đa thức tối tiểu là
bậc hai bất khả qui xác định một nhóm con của G đẳng cấu với F×
q2
.)
Bây giờ, ta lấy x ∈ C − F×q như đại diện lớp cột thứ tư bất kỳ. Ta có χi(x) =
τi(det x), (θ
G
ii − χi)(x) = −τi(det x) và θGij(x) = 0.
Giả sử β1, . . . , βq2−1 là các dặc trưng bất khả qui của C. (Bằng cách chọn một
phần tử sinh của C, ta có thể xác định các βi.) Ta sẽ xét các đặc trưng cảm sinh
βGk .
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
16. CẢM SINH 167
17. (tiếp theo) Chứng minh rằng
( a 00 a ) (
a 1
0 a )
(
a 0
0 b
)
x ∈ C − F×q
βGk (q
2 − q)βk(a) 0 0 βk(x) + βk(x)q
Để ý rằng (βqk)
G = βGk , ở đó β
q
k là đặc trưng tuyết tính của C xác định bởi
βqk(x) = βk(x)
q.
Không khó để chứng minh rằng tồn tại đúng q − 1 giá trị của k sao cho βqk = βk.
(Điều này suy ra, ví dụ, từ kết quả trong Ví dụ 15.1, các đặc trưng tuyến tính của
một nhóm xyclic cấp n lại là một nhóm xyclic cấp n.)
Chọn một k sao cho βqk 6= βk và giả sử ik là hạn chế của βk xuống F×q 6 C sao
cho hạn chế đó là τik. Giả sử ψk = (θG11 − χ1)θGik1 − θGik1 − βGk . Đây là một đặc trưng
ảo.
18. (tiếp theo) Chứng minh rằng
( a 00 a ) (
a 1
0 a )
(
a 0
0 b
)
x ∈ C − F×q
ψk (q − 1)τik(a) −τik(a) 0 −βk(x)− βk(x)q
19. (tiếp theo) Giả sử k thỏa mãn βqk 6= βk. Chứng minh (ψk, ψk) = 1. Từ đó suy
ra ta đã xây dựng được q(q − 1)/2 đặc trưng bất kả qui bậc q − 1.
Số các đặc trưng bất khả qui mà ta vừa xây dựng bằng với số các lớp liên hợp của
G. Vì vậy, theo Định lý 14.3, ta giải xong bài toán.
Chúng ta đã ghi chú trong Mục 14 rằng, trong trường hợp tổng quát, không có
một cách tự nhiên để kết hợp một lớp liên hợp của một nhóm với mỗi đặc trưng bất
khả qui của nó, mặc dù số các lớp liên hợp bằng với số các đặc trưng bất khả qui.
Tuy nhiên, ta có một tương ứng rất tự nhiên giữa các đặc trưng bất khả qui và các
lớp liên hợp của GL(2, q), như sau: Giả sử w là phần tử sin của F×q và x là phần tử
sinh của C. Gọi τ2 và β2 là các phần tử sinh của nhóm các đặc trưng của F×q và C
tương ứng và số các đặc trưng sao cho τi = τ i−12 với mỗi i và βk = β
k−1
k với mỗi k.
Khi đó ta có sự tương ứng giữa các đặc trưng bất khả qui và các lớp liên hợp dưới
đây
Đặc trưng Lớp
χi
(
ωi−1 0
0 ωi−1
)
θGii − χi
(
ωi−1 1
0 ωi−1
)
θGij
(
ωi−1 0
0 ωj−1
)
ψk x
k−1
Phụ lục: Tính nguyên đại số và đặc trưng
Chỉ mục
G-tập, 29
p-nhóm, 62
p-nhóm abel cơ bản, 41
p-nhóm con, 62
p-nhóm con Sylow, 62
p-nhóm con địa phương, 69
p-phần tử, 62
Ánh xạ chẻ, 28
Ánh xạ tự nhiên, 13
Đồng cấu
G-tập, 31
liên hợp, 23
nhóm, 12
tầm thường, 12
Đẳng cấu, 12
Đẳng cấu G-tập, 31
Đơn cấu, 12
Ảnh, 13
Bốn-nhóm Klein, 11
Cấp của một phần tử, 6
Cấp của nhóm, 6
Cấu trúc xích, 11
Cái ổn định, 31
Cái ổn định chung, 50
Cờ, 50
đầy đủ, 49
chính tắc, 49
Căn lũy đơn, 51
Chỉ số nhóm, 8
Chuyển vị, 11
Giao hoán tử, 5
Hạt nhân, 13
Hoán vị chẵn, 11
Hoán vị lẻ, 11
Lớp kề, 8
Lớp kề kép, 36
Lớp ngang, 9
Liên hợp của một phần tử, 10
Mở rộng chẻ được, 28
Mở rộng nhóm, 28
Ma trận
hoán vị, 42
lũy đơn, 50
tam giác đơn vị trên, 49
vô hướng, 57
Nhóm, 5
đối xứng, 10
đơn, 9
tự đẳng cấu trong, 17
abel, 5
bậc thang, 51
dihedral, 26
dihedral vô hạn, 26
hữu hạn, 6
lũy linh, 74
quaternion, 77
tự đẳng cấu, 17
tự đẳng cấu ngoài, 17
thương, 10
thay phiên, 11
tuần hoàn, 6
tuyến đặc biệt xạ ảnh, 58
tuyến tính đặc biệt, 56
tuyến tính tổng quát, 40
vô hạn, 6
Weyl, 48
xyclic, 7
Nhóm con, 6
đặc trưng, 19
chuẩn tắc, 9
sinh bởi, 7
Borel, 42, 48
Borel tiêu chuẩn, 42
Fitting, 78
Frattini, 78
giao hoán tử, 20
Hall, 78
nghiệm, 44
parabol, 51
Sylow, 62
tối đại, 33
tầm thường, 6
tự chuẩn tắc hóa, 39
thực sự, 6
Weyl, 42
170 CHỈ MỤC
Nhóm tuyến tính tổng quát xạ ảnh, 58
Phép co, 43
Phần bù của một nhóm con chuẩn tắc,
78
Phần bù Levi, 51
Phần tử đơn vị, 5
Phần tử lũy đẳng, 39
Quỹ đạo, 31
Số mũ của nhóm, 15
Sự phân tích thành các xích rời nhau, 11
Tích nửa trực tiếp, 23
Tích nửa trực tiếp ngoài, 24
Tích trực tiếp, 21
Tích trực tiếp trong, 22
Tác động nhóm, 29
trung thành, 30
Tâm của nhóm, 17
Tâm hóa, 35
Tự đồng cấu, 12
Tự đẳng cấu, 12
Tự đẳng cấu trong, 17
Toàn cấu, 12
Vành Burnside, 38
Dịch: ThS. Khuất Văn Thanh, ThS. Ngô Mạnh Tường. HĐ: TS. Lê Minh Hà
CHỈ MỤC 171