Giới hạn Banach và ứng dụng trong lý thuyết phương trình sai phân

 62 
TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI Số - 62 (04/2020) 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY (ISSN: 1859-316X) JMST 
GIỚI HẠN BANACH VÀ ỨNG DỤNG 
TRONG LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 
BANACH LIMIT AND APPLICATIONS IN DIFFERENCE EQUATION THEORY 
HOÀNG VĂN HÙNG 
Khoa Cơ sở Cơ bản, Trường Đại học Hàng hải Việt Nam 
Email liên hệ: hunghvkhcb@vimaru.edu.vn 
1. Mở đầu 
Trong bài báo này ký hiệu N chỉ tập hợp các số 
nguyên dương, R chỉ tập hợp các số thực, )(N  chỉ 
không gian Banach các dãy số thực bị chặn với chuẩn 
supremum: 
 Nx nxn :sup 
nếu: )(,...),...,, ( 2 Nx 
 n1 xxx , 
ký hiệu c chỉ không gian con đóng các dãy số thực 
hội tụ của )(N  . 
Định nghĩa 1: Một phiếm hàm tuyến tính liên tục 
RN  )(:  được gọi là một giới hạn Banach 
trên )(N  nếu  có các tính chất sau: 
i) Nếu cxxx n1 ,...),...,, ( 2x 
thì: n
n
x
  lim)(x ; 
ii) Nếu )(,...),...,, ( 2 Nx 
 n1 xxx 
thì: 
nn xx suplim)(inflim  x ; 
iii) 1  ; 
iv) Nếu )()(: NN S là toán tử dịch 
trái, nghĩa là: )(,...),...,, ( 2 Nx 
  n1 xxx , 
,...),,...,,()( 21 nyyyS yx 
trong đó:  nxy nn (1 N ), 
thì: )()( xx   S 
với mọi )(,...),...,, ( 2 Nx 
 n1 xxx . 
Chú ý: Tồn tại nhiều phiếm hàm tuyến tính  
thỏa mãn Định nghĩa 1. 
Sự tồn tại của giới hạn Banach được chứng 
minh dựa trên Định lý Hahn-Banach về thác triển 
phiếm hàm tuyến tính liên tục (xem [1] [6] [8]).Trong 
không gian định chuẩn thực Định lý này được phát 
biểu như sau: 
Định lý Hahn - Banach: Cho X là một không gian 
định chuẩn thực và Y là một không gian định chuẩn 
con của X, :f Y R là một phiếm hàm tuyến tính 
liên tục trên Y với chuẩn f . Khi đó tồn tại một 
phiếm hàm tuyến tính liên tục F : X R có tính 
chất sau: 
)()( yfyF với mọi y Y, fF . 
Tóm tắt 
Tác giả sử dụng khái niệm giới hạn Banach để 
chứng minh một số khẳng định trong lý thuyết các 
phương trình sai phân tuyến tính, đưa ra một số ví 
dụ áp dụng các khẳng định này. 
Từ khóa: Giới hạn Banach, không gian Banach 
các dãy số thực bị chặn, phiếm hàm tuyến tính liên 
tục trên một không gian định chuẩn, Định lý 
Hahn-Banach, phương trình sai phân tuyến tính, 
nghiệm bị chặn của một phương trình sai phân. 
Abstract 
Using the concept of Banach limit the author 
proved some assertions in the theory of linear 
difference equations. Some examples are shown as 
an application of the proved assertions. 
Keywords: Banach limit, Banach space of 
bounded real sequences, continuous linear 
functional over a normed space, Hahn-Banach 
Theorem, linear difference equation, bounded 
solution of a difference equation. 
63 
TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI Số - 62 (04/2020) 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY (ISSN: 1859-316X) JMST 
(Phiếm hàm F được gọi là một thác triển của 
phiếm hàm f từ không gian con Y ra toàn bộ không 
gian X với chuẩn được bảo toàn). 
Các nghiên cứu sâu hơn về tính chất của giới hạn 
Banach cùng các ứng dụng của khái niệm này trong 
nghiên cứu các ideal toán tử được công bố trong [2-5] 
và các tài liệu tham khảo được trích dẫn ở đó. Lý 
thuyết các phương trình sai phân có liên hệ chặt chẽ 
với lý thuyết dãy, và vì vậy các khái niệm tổng quát 
về giới hạn dãy như khái niệm giới hạn Banach phải 
tìm được các ứng dụng trong lý thuyết này. Tuy nhiên, 
cho đến thời điểm hiện tại tác giả bài báo này chưa 
phát hiện thấy các công bố liên quan đến ứng dụng 
khái niệm giới hạn Banach trong lý thuyết phương 
trình sai phân. 
Tương tự như trong lý thuyết các phương trình vi 
phân, trong lý thuyết phương trình sai phân, ngoài 
việc tìm nghiệm của các phương trình đã cho người ta 
còn quan tâm đến các tính chất của nghiệm, chẳng hạn 
tính bị chặn, tính hội tụ hoặc ổn định của các nghiệm. 
Việc nghiên cứu tính chất của nghiệm nhiều khi là mối 
quan tâm hàng đầu của các nhà nghiên cứu, bởi lẽ biểu 
thức tường minh của nghiệm trong đa số các trường 
hợp là không thể tìm được. 
Trong bài báo này, tác giả nghiên cứu tính chất bị 
chặn của nghiệm đối với một lớp các phương trình sai 
phân tuyến tính hệ số hằng cấp tùy ý. Kết quả chính 
của bài báo được trình bày dưới đây và được chứng 
minh dựa trên khái niệm giới hạn Banach. 
2. Kết quả chính 
Định nghĩa 2: Một nghiệm bị chặn của phương 
trình sai phân cấp k trên N dạng: 
0),,...,( nxxF nkn (1) 
là một phần tử )(,...),...,, ( 2 Nx 
 n1 xxx 
làm cho phương trình (1) trở thành đồng nhất thức với 
mọi N n . 
Định nghĩa 3: Nếu :T X X là một ánh xạ 
từ tập hợp X vào chính nó và k là số nguyên 2 thì 
ta ký hiệu hợp lặp của T với chính nó k lần 
 
k
TT ... là kT và quy ước 
TxxTxxIdxT 10 ,)( với mọi x X. 
Nhận xét: Nếu )()(: NN S là toán 
tử dịch trái thì theo Định nghĩa 3, với mọi số nguyên 
không âm k ta có: 
,...),...,,( 21 knkk
k xxxS x 
với mọi )(,...),...,, ( 2 Nx 
 n1 xxx . 
Kết quả chính của bài báo này là định lý sau: 
Định lý 1: Xét phương trình sai phân tuyến tính 
cấp k 1 với hệ số hằng: 
)(...110 nrxaxaxa nkknkn (2) 
trong đó 
kaaa ,...,,0 10 là các hằng số thực, 
)(nr là một hàm số thực với tập xác định là tập số 
nguyên dương N. 
Đặt: 
 ),...)(),...,2(),1((,
0
nrrrraA
k
j
j 
Khi đó: 
a) Nếu r )(N  thì với mọi giới hạn 
Banach  trên )(N  , mọi nghiệm bị chặn (nếu 
có) ,...),...,, ( 2 n1 xxx x của phương trình (2) phải 
thỏa mãn: 
)()( rA   x (3) 
)(suplim)()(inflim nrAnr  x (4) 
b) Nếu r )(N  thì phương trình (2) không 
có nghiệm bị chặn; 
c) Nếu 0 A , r )(N  
và 0)(suplim nr (hoặc 0)(inflim nr ) 
thì phương trình (2) không có nghiệm bị chặn. Nói 
riêng, nếu 0 A , cr và 0)(lim 
nr
n
thì phương 
trình (2) không có nghiệm bị chặn. 
Chứng minh: 
a) Ký hiệu )()(: NN S là toán tử 
dịch trái. Với các ký hiệu đã đưa ra, phương trình (2) 
64 
TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI Số - 62 (04/2020) 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY (ISSN: 1859-316X) 
JMST 
có thể viết lại dưới dạng sau: 
 rSa
k
j
jk
j 
0
x (5) 
Nếu  là giới hạn Banach trên )(N  thì từ tính 
chất iv) của  ta suy ra )()( xx   mS 
với mọi số nguyên không âm m. 
Vì r )(N  và  là giới hạn Banach nên 
từ định nghĩa 1 và (5) ta có: 
)()()()()(
000
xxxx      
 AaSaSar
k
j
j
jk
k
j
j
k
j
jk
j
. 
Vậy (3) được chứng minh. Từ tính chất ii) trong 
Định nghĩa 1 của giới hạn Banach và (3) ta suy ra: 
)(suplim)()()(inflim nrArnr   x . 
Vậy bất đẳng thức (4) được chứng minh. 
b) Bởi vì toán tử dịch trái S tác động từ )(N  vào 
)(N  nên nếu x )(N  thì vế trái của (5) là phần 
tử thuộc )(N  . Do đó nếu r )(N  thì đẳng 
thức (5) không thể xảy ra. Nghĩa là phương trình (2) 
không thể có nghiệm bị chặn nếu r )(N  . 
c) Giả sử A=0, r )(N  và 0)(suplim nr . 
Nếu phương trình (2) có nghiệm bị chặn thì tồn tại 
)(,...),...,, ( 2 Nx 
 n1 xxx sao cho đẳng thức 
(5) đúng. Theo bất đẳng thức (4) của khẳng định a) ta 
suy ra: 
0)(suplim)(0  nrA x 
Mâu thuẫn. 
Vậy phương trình (2) không thể có nghiệm bị chặn. 
Tương tự, nếu A = 0, r )(N  và 0)(inflim nr 
thì lại sử dụng bất đẳng thức (4) ta suy ra phương trình 
(2) không thể có nghiệm bị chặn. 
Nếu A = 0, cr và 0)(lim 
nr
n
Thì 0)(suplim)(inflim nrnr . 
Vì vậy, chắc chắn phải xảy ra một trong hai khả 
năng 0)(suplim nr hoặc 0)(inflim nr , theo 
điều vừa chứng minh phương trình (2) không thể có 
nghiệm bị chặn. 
Hệ quả: Điều kiện cần để dãy tổng riêng của chuỗi 
số thực 
 1n
nu bị chặn là: 
nn uu suplim0inflim (6) 
Chứng minh: 
Đặt 
n
j
jn uS
1
ta có: 
11 nnn uSS 
Vậy dãy  
 1nn
S là một nghiệm của phương trình 
sai phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng 
)(1 nrxx nn với 1)( nunr . Ta có 
1,1 10 aa , 01110 aaA . Nếu 
dãy  
11
)(
nn
unr không bị chặn thì theo khẳng 
định b) của Định lý 1 dãy  
 1nn
S không thể bị chặn. 
Nếu dãy  
11
)(
nn
unr bị chặn và (6) không xảy 
ra thì phải xảy ra một trong hai bất đẳng thức sau: 
nunr inflim)(inflim0 
hoặc 0suplim)(suplim nunr 
Nhưng khi đó theo khẳng định c) của Định lý 1 
nghiệm  
 1nn
S không thể bị chặn. Vậy (6) là điều 
kiện cần cho tính bị chặn của dãy tổng riêng  
 1nn
S
của chuỗi 
 1n
nu . 
3. Ví dụ áp dụng 
Áp dụng Định lý 1 và hệ quả của nó ta có thể thu 
được một số khẳng định trong giải tích toán, đặc biệt 
là đối với lý thuyết chuỗi và lý thuyết các hàm số thực. 
65 
TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI Số - 62 (04/2020) 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY (ISSN: 1859-316X) JMST 
Ví dụ 1: Nếu chuỗi số thực 
 1n
nu 
có 0lim 
 n
n
u thì chuỗi phân kỳ. 
Chứng minh: 
Bởi vì 0lim 
 n
n
u thì không thể xảy ra bất 
đẳng thức (6). Vậy dãy tổng riêng của chuỗi 
 1n
nu
không bị chặn, do đó chuỗi 
 1n
nu phân kỳ. 
Ví dụ 2: 
Dãy tổng riêng của chuỗi số thực 
 1n
nu không bị 
chặn nếu xảy ra một trong hai bất đẳng thức sau: 
0)3sup(lim 1 nn uu 
hoặc 0)3inf(lim 1 nn uu . 
Chứng minh: 
Đặt 
n
j
jn uS
1
ta có: 
1212 332 nnnnn uuSSS . 
Vậy dãy  
 1nn
S là một nghiệm của phương trình 
sai phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng: 
)(32 12 nrxxx nnn 
với
12 3)( nn uunr . 
Ta có: 3,2,1 210 aaa 
,0321210 aaaA 
và xảy ra một trong hai bất đẳng thức sau: 
0)3sup(lim)(suplim 12 nn uunr hoặc 
0)3inf(lim)(inflim 12 nn uunr . 
Áp dụng khẳng định c) của Định lý 1 ta suy ra dãy 
tổng riêng  
 1nn
S không thể bị chặn. 
Ví dụ 3: 
Cho )(xf là hàm thực liên tục và bị chặn trên 
khoảng ),0[ . 
Khi đó, với mọi bộ số thực 
0 10, ,..., ka a a 
( 1)k thỏa mãn 0
0
 
k
j
ja và số thực T > 0, luôn 
tồn tại một dãy số dương  
 1nn
x sao cho: 
n
n
xlim 
và 0))((lim
0
 
Tjkxfa n
k
j
j
n
. 
Chứng minh: 
Nếu với mọi số nguyên dương n luôn tìm được 
một số nxn sao cho: 
0))((
0
 
Tjkxfa n
k
j
j
 thì dãy  
 1nn
x 
chính là dãy cần tìm. 
Nếu điều này không xảy ra thì tồn tại một số 
nguyên dương m sao cho 0))((
0
 
Tjkxfa
k
j
j
với mọi mx . 
Vì ))((
0
Tjkxfa
k
j
j 
 liên tục trên ),[ m 
nên từ đó suy ra ))((
0
Tjkxfa
k
j
j 
phải giữ 
nguyên một dấu trên ),[ m . 
Để xác định ta xem 
0))((
0
 
Tjkxfa
k
j
j
 với 
mọi mx . Đặt )(sTfus với s nhận giá 
trị nguyên dương. Khi đó ta có: 
0))(())((
000
 jks
k
j
j
k
j
j
k
j
j uaTjksfaTjksTfa
với mọi 
T
m
s . 
66 
TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI Số - 62 (04/2020) 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY (ISSN: 1859-316X) 
JMST 
Do đó: 0inflim
0
 
k
j
jksjua . 
Nếu 0inflim
0
 
k
j
jksjua
 thì tồn tại một dãy 
  
 1nn
s sao cho: 
n
n
slim 
và 0lim
0
 
k
j
jksj
n n
ua . 
Vậy ta có: 
0))((lim
0
 
TjkTsfa n
k
j
j
n
. 
Như thế, dãy  
1nnn
Tsx là dãy cần tìm. 
Nếu 0inflim
0
 
k
j
jksjua
thì đặt 
k
j
jksjuasr
0
)( 
ta có: 0)(inflim sr . 
Do 
0
0
 
k
j
ja
, áp dụng khẳng định c) của Định lý 1 
ta suy ra phương trình sai phân 
)(
0
srza
k
j
jksj 
 (*) 
không thể có nghiệm bị chặn. Nhưng điều này dẫn tới 
mâu thuẫn, vì rõ ràng dãy  
1
)(
ss
sTfu là một 
nghiệm bị chặn của phương trình (*). Mâu thuẫn này 
chứng tỏ không thể xảy ra khả năng 
0inflim
0
 
k
j
jksjua
. Vậy khẳng định của mệnh đề 
được chứng minh. 
Mệnh đề phát biểu trong Ví dụ 3 là tổng quát hóa 
của bài toán dưới đây (xem [7] bài toán 752): 
Cho )(xf là hàm thực liên tục và bị chặn trên 
khoảng ),[ 0 x . Chứng minh rằng với mọi số thực 
T luôn tìm được một dãy số thực  
 1nn
x sao cho: 
n
n
xlim 
và 0)]()([lim 
nn
n
xfTxf . 
Thực vậy, nếu cần thay )(xf bởi hàm 
)()( 0xxfxg ta có thể xem 00 x . 
Nếu 0 T thì khẳng định của bài toán là tầm 
thường. 
Nếu 0 T thì do đẳng thức: 
0)]()([lim 
nn
n
xfTxf tương đương với 
đẳng thức 0)]()([lim 
nn
n
yfTyf với 
Txy nn nên ta có thể xét bài toán với giả thiết 
0 T . Như thế bài toán nêu trên là trường hợp riêng 
của mệnh đề phát biểu trong Ví dụ 3 với 
1,1,1 10 aak . 
Ví dụ 4: 
Nếu số thực 0 và bộ số thực 
)1(,...,,0 10 kaaa k thỏa mãn 0
0
 
k
j
ja
 thì 
phương trình hàm 
 )(1
0
xfa jk
k
j
j
 không có 
nghiệm trong lớp các hàm thực bị chặn được xác định 
trên tập số thực R. Ở đây, ký hiệu )1( mf m chỉ 
hợp lặp của ánh xạ :f R R được định nghĩa 
trong Định nghĩa 3. 
(Như vậy, từ khẳng định được phát biểu trong ví 
dụ 4 ta có thể kết luận rằng, chẳng hạn, phương trình 
hàm )(2019))((2020)))((( xfxffxfff 
không có nghiệm bị chặn trên R nếu 0 ). 
Chứng minh: 
Giả sử trái lại rằng tồn tại một hàm thực )(xf 
xác định và bị chặn trên toàn tập số thực R thỏa mãn: 
 )(1
0
xfa jk
k
j
j với mọi số thực x (7) 
67 
TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ HÀNG HẢI Số - 62 (04/2020) 
JOURNAL OF MARINE SCIENCE AND TECHNOLOGY (ISSN: 1859-316X) JMST 
Đặt: )0()(),0(,0 110
n
nn fufufuu 
với mọi 1 n . Thay trong (7) 1 nux ta được: 
 1 1
0
k
k j
j n
j
a f u 
  1 1
0
0
k
k j n
j
j
a f f 
  
0
0
k
k j n
j
j
a f 
  
Đẳng thức cuối cùng trong dãy đẳng thức trên 
đúng với mọi số nguyên dương n nên ta suy ra dãy 
  
 1nn
u là một nghiệm của phương trình sai phân cấp 
k hệ số hằng 
k
j
jknj xa
0
 . Do )(xf là hàm bị chặn 
trên R nên dãy  
1
)0(
n
n
n fu là một dãy bị chặn. 
Nhưng điều này dẫn đến mâu thuẫn, bởi vì theo khẳng 
định c) của Định lý 1, từ giả thiết 0
0
 
k
j
ja
 và 
0 , ta suy ra phương trình sai phân 
k
j
jknj xa
0
không thể có nghiệm bị chặn. Mâu thuẫn nhận được 
chứng minh khẳng định của Ví dụ 4. 
4. Kết luận 
Định lý 1 và các ví dụ áp dụng chứng tỏ khái niệm 
giới hạn Banach (như là một hệ quả của Định lý Hahn-
Banach) thực sự có ích trong việc nghiên cứu tính chất 
nghiệm của các phương trình sai phân cũng như các 
vấn đề của lý thuyết chuỗi, lý thuyết các hàm số thực. 
Các kết quả của bài báo là sản phẩm của đề tài 
nghiên cứu cấp Trường năm học 2019-2020: “Một số 
ứng dụng của Định lý Hahn-Banach và Định lý Helly 
trong giải tích lồi” . 
Tác giả chân thành cảm ơn các góp ý mang tính 
xây dựng của các phản biện ẩn danh và các chỉ dẫn về 
quy tắc của Ban biên tập tạp chí. Nhờ các góp ý và các 
chỉ dẫn này mà bài báo đã tốt lên rất nhiều cả về nội 
dung lẫn hình thức so với bản thảo lần đầu. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] S.Banach. Theorie des operations lineares. 
Monografje Matematyczne. Warsaw, 1932. 
[2] Chao You. Advances in almost convergence. 
Ann. Funct. Anal. Vol.3, No.1, pp.49-66, 2012. 
[3] E. M. Semenov, F.A. Sukochev. Invariant Banach 
limits and applications. Journal of Functional 
Analysis, Vol. 259, pp.1517-1541, 2010. 
[4] E. M. Semenov, F.A. Sukochev, A.S. Usachev. 
Geometric properties of the set of Banach limits. 
Izv. Ross. Akad. Nauk Ser. Mat. Vol.78, pp.177-
204, 2014. 
[5] L. Sucheston. Banach limits. Amer. Math. 
Monthly, Vol.74, pp.308-311, 1967. 
[6] Vittorino Pata, Fixed Point Theorems and 
Applications, Springer, 2019. 
[7] Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений 
по математическому анализу. Издательство 
“Наука”. Москва 1972. 
[8] К. Иосида. Функциональный анализ. 
Издательство “Мир”. Москва 1967. 
Ngày nhận bài: 07/01/2020 
Ngày nhận bản sửa: 06/02/2020 
Ngày duyệt đăng: 12/02/2020