Khảo sát tính chất số cơ sở bất biến của đại số đường đi Leavitt trên một số lớp đồ thị hữu hạn

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH 
TẠP CHÍ KHOA HỌC 
HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION 
JOURNAL OF SCIENCE 
ISSN: 
1859-3100 
KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ 
Tập 15, Số 6 (2018): 89-96 
NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY 
Vol. 15, No. 6 (2018): 89-96 
 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website:  
89 
KHẢO SÁT TÍNH CHẤT SỐ CƠ SỞ BẤT BIẾN CỦA ĐẠI SỐ 
ĐƯỜNG ĐI LEAVITT TRÊN MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ HỮU HẠN 
Ngô Tấn Phúc*, Vũ Nhân Khánh 
Khoa Sư phạm Toán - Tin – Trường Đại học Đồng Tháp 
Ngày nhận bài: 18-11-2017 ngày nhận bài sửa: 20-5-2018; ngày duyệt đăng: 19-6-2018 
TÓM TẮT 
Trong bài viết này, chúng tôi thiết lập một tiêu chuẩn để đại số đường đi Leavitt của đồ thị 
Cayley và đồ thị chia cảm sinh từ các nhóm hữu hạn có tính chất số cơ sở bất biến. 
Từ khóa: đại số đường đi Leavitt, đồ thị Cayley, đồ thị chia, tính chất số cơ sở bất biến. 
ABSTRACT 
Investigation in the invariant basic number property 
of Leavitt path algebras of some classes of finite graphs 
In this paper, we give a criteria for Leavitt path algebras of Cayley and divisibility graphs 
arising from finite groups having invariant basic number. 
Keywords: Leavitt path algebra, cayley graph, divisibility graph, invariant basic number. 
1. Giới thiệu 
Khái niệm Đại số đường đi Leavitt của một đồ thị có hướng với hệ số trên một 
trường của Abrams - Aranda Pino [1] và Ara - Moreno - Pardo [2] đưa ra năm 2005 là một 
lĩnh vực nghiên cứu sử dụng các kết quả, ý tưởng và phương pháp của cả giải tích, đại số 
hiện đại cũng như cổ điển. Để hiểu sâu hơn về động cơ, lịch sử nghiên cứu và thành tựu 
của đại số đường đi Leavitt, chúng ta có thể tham khảo bài viết tổng quát của Abrams [3] 
và các tài liệu tham khảo trong đó. 
Trong chuyên ngành Đại số kết hợp người ta thường tìm hiểu tính chất của các lớp 
vành thông qua những điều kiện hạn chế trên các môđun xạ ảnh. Một trong những điều 
kiện như vậy là tính chất số cơ sở bất biến. Một vành được gọi là có tính chất số cơ sở bất 
biến nếu hai cơ sở bất kì của một môđun tự do hữu hạn sinh trên vành đó đều có cùng số 
phần tử. Có nhiều lớp vành có tính chất số cơ sở bất biến chẳng hạn như các trường, vành 
giao hoán, vành Noether. Tuy nhiên, việc kiểm tra một lớp vành cho trước có tính chất số 
cơ sở bất biến hay không là không dễ. 
Gần đây, một số tác giả đã sử dụng phương pháp tổ hợp để nghiên cứu tính chất này 
cho các lớp vành thông qua việc xét tính chất số cơ sở bất biến cho các đại số đường đi 
Leavitt. Cụ thể, họ quan tâm vấn đề 
*
 Email: ntphuc@dthu.edu.vn 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 6 (2018): 89-96 
90 
Vấn đề: Tìm một tiêu chuẩn thuần túy đồ thị trên E để cho đại số đường đi Leavitt 
 KL E thỏa tính chất số cơ sở bất biến. 
Một số kết quả tốt nhất gần đây nhằm giải quyết vấn đề trên có thể kể đến như: 
Abrams - Nam - Phuc [4] và một cách độc lập, Ara - Li - Lledo - Wu [5] đã nghiên cứu 
tính chất số phần tử sinh không bị chặn (một tính chất mạnh hơn tính chất số cơ sở bất 
biến) và đưa ra một tiêu chuẩn thuần túy đồ thị trên E để đại số đường đi Leavitt KL E 
có tính chất số phần tử sinh không bị chặn; Nam - Phuc [6] và một cách độc lập, Kanuni - 
Ozaydin [7] đã thiết lập được một tiểu chuẩn về tính chất số cơ sở bất biến cho đại số 
đường đi Leavitt ( )KL E thông qua ma trận liên thuộc của đồ thị E . Trong [6], các tác giả 
cũng đã tìm một điều kiện thuần túy đồ thị trên E để đại số đường đi Leavitt KL E có 
tính chất số cơ sở bất biến và sau đó áp dụng vào một số lớp đồ thị cụ thể. 
Tính đến thời điểm hiện tại vấn đề nêu trên vẫn còn là một vấn đề mở mang tính thời 
sự. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ tiếp tục các công việc trong [6] nhằm khảo sát tính chất 
số cơ sở bất biến của đại số đường đi Leavitt của một số lớp đồ thị hữu hạn. Đối tượng mà 
chúng tôi hướng đến là lớp đồ thị được cảm sinh từ lý thuyết nhóm. 
Để thuận tiện cho người đọc, chúng tôi sẽ giới thiệu ngắn gọn các kiến thức chuẩn bị 
trong phần 2. Phần 3 là nội dung chính của bài viết; trong phần 3, chúng tôi khảo sát lớp đồ 
thị Cayley và đồ thị chia cảm sinh từ các nhóm hữu hạn, sau đó chúng tôi xét tính số cơ sở 
bất biến của đại số đường đi Leavitt của các lớp đồ thị này. 
2. Vành thỏa tính chất số cơ sở bất biến 
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu về tính chất số cơ sở bất biến cho vành, khái 
niệm đồ thị có hướng và đại số đường đi Leavitt. Các kết quả trong phần này chủ yếu được 
tham khảo từ [1], [4], [8]. 
 nh n h . ([8], Definition 1.3). 
Một vành R được gọi là thỏa mãn tính chất số cơ sở bất biến nếu m nR R (xem như 
các R -môđun phải) kéo theo m n . 
Cho R là một vành và ,m n . Khi đó, m nR R nếu và chỉ nếu tồn tại các phần tử 
,ijx jiy trong R sao cho: 
 , 1, ; , 1,iv vk ik hu uj hjx y i k m x y h j n    ( là kí hiệu Kronecker). 
Điều đó dẫn đến nhận xét sau 
Nhận Một vành R thỏa mãn tính chất số cơ sở bất biến khi và chỉ khi với mọi 
 m nA M R và với mọi ( )n m RB M , nếu mAB I và nBA I thì m n . 
Nhận xét 2.2 giúp ta có thể định nghĩa tính chất số cơ sở bất biến thông qua các R -
môđun trái. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM N ô Tấn Phúc và tgk 
91 
V 
(i) Mọi trường đều là các vành thỏa tính chất số cơ sở bất biến; 
(ii) Mọi vành Noether phải đều thỏa tính chất số cơ sở bất biến (suy ra từ [8], 
Proposition 1.13). 
Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về đồ thị có hướng và đại số đường đi 
Leavitt. 
Một đồ thị có hướng là bộ 0 1( , , , )E E E s r bao gồm tập đỉnh 0E và tập cạnh 1E , 
cùng với hai ánh xạ 1 0, :s r E E . Các đỉnh ( )s e và ( )r e lần lượt được gọi là điểm đầu 
và điểm cuối của cạnh e . Ta nói ( )s e là đỉnh phát ra cạnh e . Một đồ thị E được gọi là 
hữu hạn nếu cả hai tập 0E và 1E là hữu hạn. Một đỉnh v mà 1( )s v  được gọi là một 
ngọn; một đỉnh v mà 1( )r v  được gọi là một gốc; v được gọi là đỉnh chính quy nếu 
10 | ( ) |s v . 
 nh n h 4. ([1], Definition 2.1). 
Cho một đồ thị trực tiếp 0 1( , , , )E E E s r và một trường bất kì K . Đại số đường đi 
Leavitt ( )KL E của đồ thị E với hệ tử trên K là một K -đại số sinh bởi các tập 
0E , 1E và 
* 1{ | }e e E , thỏa mãn các điều kiện sau với mọi 0,v w E và 1,e f E : 
(1) ,v wvw w ; 
(2) ( ) ( )s e e e er e và * * *( ) ( )r e e e e s e ; 
(3) 
*
, ( )e fe f r e ; 
(4) 
1
*
( )e s v
v ee
  với mọi đỉnh chính quy v . 
V 5. 
(i) Cho đồ thị 
Khi đó ( ) ( )K nL E M K . 
(ii) Cho đồ thị 
Khi đó 
1( ) [ , ]KL E K x x
  . 
(iii) Với mỗi số nguyên 2n gọi 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 6 (2018): 89-96 
92 
nR được gọi là bông hoa n cạnh; đó là một đồ thị đặc biệt trong đại số đường đi 
Leavitt vì ( ) (1, )K n KL R L n , trong đó (1, )KL n là đại số Leavitt kiểu (1, )n . 
Nhận 6. Cho 0 1( , )E E E là một đồ thị hữu hạn và K là một trường. Khi đó ta có 
(i) 
0
( ) ( )
v
K K
E
L E vL E
 . 
(ii) 
1 ( )
( ) ( ) ( )K K
e s v
vL E r e L E
 với mọi đỉnh chính quy 0v E . 
Chứng minh. (i) Trích từ [9], Lemma 2.1.9. 
(ii) Chứng minh được lấy ý tưởng từ [2], Theorem 3.5 như sau: Gọi 
1 *
1( ) { ,..., } ( )ns v e e n
 , xét đồng cấu 
1
1
: ( ) ( ) ( )
n
K i K
i
n
i
i
vL E r e L E
v e
 
 
và đồng cấu 
1
*
: ( ) ( ) ( )
( )
n
i K K
i
i i
r e L E vL E
r e e

 
Dễ dàng kiểm tra đó là các đồng cấu ngược của nhau và ta được điều phải chứng minh 
Với mỗi đồ thị hữu hạn 0 1( , )E E E , ta định nghĩa ma trận liên thuộc của E , kí 
hiệu EA , là ma trận xác định như sau: gọi 
0
1 2{ , ,..., }hE v v v , khi đó EA là ma trận vuông 
( )ij ha trong đó ija là số các cạnh nối từ iv đến jv . Trong [6], các tác giả đã chỉ ra một điều 
kiện cần và đủ dựa vào ma trận liên thuộc của đồ thị để đại số đường đi Leavitt của nó thỏa 
mãn tính chất số cơ sở bất biến. 
 nh 7. ([6], Theorem 2.5 và [7], Theorem 18). 
Cho E là một đồ thị hữu hạn có tập đỉnh là { |1 }iv i h và 1{ ,..., } ( )zv v z h là tập 
các đỉnh chính quy của E . Đặt 
1
0
( ), [1...1] ( )
0 0
k t
E h h
I
J M b M 
và [ ]
t
E EA J b là ma trận có được từ 
t
E EA J bằng cách thêm vào cột b . Cho K là một 
trường bất kì. Khi đó ( )KL E thỏa mãn tính chất số cơ sở bất biến khi và chỉ khi 
rank( ) rank([ ]).t tE E E EA J A J b 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM N ô Tấn Phúc và tgk 
93 
V 8. 
Với các lớp đại số đã giới thiệu trong Ví dụ 2.5, tính chất số cơ sở bất biến của chúng 
đã được xét trong [8]. Tuy nhiên, ta có thể dùng Định lí 2.7 để kiểm tra một cách dễ dàng 
hơn rằng: 
(i) ( )nM K mãn thỏa tính chất số cơ sở bất biến; 
(ii) 1[ , ]K x x cũng thỏa mãn tính chất số cơ sở bất biến; 
(iii) (1, )KL n không thỏa mãn tính chất số cơ sở bất biến. 
3. Tính chất số cơ sở bất biến của đại số đường đi Leavitt trên một số đồ thị hữu 
hạn cảm sinh từ lí thuyết nhóm 
Trong phần này, chúng tôi khảo sát lớp đồ thị Cayley và đồ thị chia cảm sinh từ các 
nhóm hữu hạn. Tiếp theo, chúng tôi sẽ tiếp tục các công việc trong [6] bằng cách sử dụng 
Định lí 2.7 để xét tính số cơ sở bất biến của đại số đường đi Leavitt của các lớp đồ thị này. 
 nh n h . ([10], tr.1). 
Cho G là một nhóm và S là tập sinh của G . Ta gọi đồ thị Cayley của nhóm G ứng 
với tập sinh S , kí hiệu là 
S
GC , là đồ thị xác định như sau: tập đỉnh là tập các phần tử trong 
G và ta nói có một cạnh đi từ u đến v nếu tồn tại s S để u vs . 
V 
Xét ( 3)nG n và chọn tập sinh {1, },(1 )S j j n . Đồ thị Cayley của G ứng 
với tập sinh S trong trường hợp này kí hiệu là 
j
nC . Sau đây là hình vẽ của 
0 1
4 4,C C và 
2
4C . 
Trong [10], các tác giả đã khảo sát các đồ thị Cayley 
j
nC và phân loại đến đẳng cấu 
các đại số đường đi Leavitt của chúng. Tiếp theo, chúng tôi xét tính chất số cơ sở bất biến 
của đại số đường đi Leavitt của lớp đồ thị Cayley của nhóm hữu hạn. 
 nh 
Cho G là nhóm hữu hạn, S là tập sinh của G và K là một trường. Khi đó, 
( )SK GL C thỏa mãn tính chất số cơ sở bất biến khi và chỉ khi S là tập chỉ gồm một phần tử. 
Chứng minh. Giả sử ( )SK GL C thỏa mãn tính chất cơ sở bất biến và S là tập có 
ít nhất hai phần tử. Gọi lực lượng của G và S lần luợt là ,h k với 2 k h . Ta viết 
1{ ,..., }kS g g . Khi đó theo Nhận xét 2.6 với mỗi đỉnh g trong 
S
GC ta có 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 6 (2018): 89-96 
94 
1
1
1( )
( ) ( ) ( ) ( )
k
S S S
K G K G i K G
ie s g
gL C r e L C gg L C
    . 
Lưu ý rằng vì G là nhóm nên ta có 1
iG Gg
 (hay 
1( ) ( )i
g G g
S S
K K
G
G Gg ggL C L C
  ) 
với mọi 1,2,..,i k , do đó 
1
1( ) ( ( ))
k
S S S
K G i K G K G
g G g G i g G
gL C gg L C kgL C 
    . 
Như vậy, ( ) ( ) ( ) ( ).S S S SK G K G K G K G
g G g G
L C gL C kgL C kL C
    
Do đó, ( )SK GL C không thỏa mãn tính chất cơ sở bất biến. 
  Giả sử { }S a . Khi đó mỗi đỉnh của SGC đều phát ra duy nhất một cạnh đến 
đỉnh khác nên [ ]tE EA J b là ma trận có dạng như sau 
1
1 0 ... 0 0 1 1
1 1 ... 0 0 0 1
0 1 ... 0 0 0 1
[ ] .
. . . . . . .
0 0 ... 1 1 0 1
0 0 ... 0 1 1 1
t
E E
h h
A J b
Cộng các dòng vào dòng cuối, ta được 
1
1 0 ... 0 0 1 1
1 1 ... 0 0 0 1
0 1 ... 0 0 0 1
[ ] .
. . . . . . .
0 0 ... 1 1 0 1
0 0 ... 0 0 0
t
E E
h h
h
A J b
Suy ra 
rank( ) rank([ ]) 1 rank([ ]).t t tE E E E E EA J A J b A J b 
Theo Định lí 2.7, ( )
S
K GL C thỏa mãn tính chất số cơ sở bất biến. 
Tiếp theo, chúng tôi xét tính chất số cơ sở bất biến cho đại số đường đi Leavitt của 
đồ thị chia của một nhóm hữu hạn. 
 nh n h . ([11], tr.1). 
Cho S là một vị nhóm giao hoán. Ta gọi đồ thị chia của vị nhóm S , kí hiệu là ( )d S , 
là đồ thị xác định như sau: tập đỉnh là tập các phần tử trong S và ta nói có một cạnh đi từ 
u đến v nếu u v và tồn tại s S để u vs . 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM N ô Tấn Phúc và tgk 
95 
V 
Cho S là nhóm có n phần tử. Ta kí hiệu ( )d S là nd . Khi đó 
 nh 
Cho S là nhóm hữu hạn có n phần tử và K là một trường. Khi đó, ( )K nL d thỏa 
mãn tính chất số cơ sở bất biến khi và chỉ khi 2n . 
Chứng minh. ( ) Với 1n và 2n thì [ ]tE EA J b tương ứng là các ma trận sau 
1 1 1
0 1 và 
1 1 1
Dễ thấy cả hai trường hợp trên đều có 
rank( ) rank([ ]).t tE E E EA J A J b 
Theo Định lí 2.7, ( )K nL d thỏa mãn tính chất số cơ sở bất biến. 
 Với 3n ta chứng minh ( )K nL d không thỏa mãn tính chất số cơ sở bất biến. 
Vì mỗi đỉnh của nd đều phát ra 1n cạnh đến tất cả các đỉnh còn lại trong nd nên 
[ ]E EA J là ma trận sau 
1 1 ... 1 1 1
1 1 ... 1 1 1
1 1 ... 1 1 1
[ ] .
. . . . . .
1 1 ... 1 1 1
1 1 ... 1 1 1
E E
n n
A J
Ta có 
1| | ( 2)( 2) 0.nE EA J n
Suy ra 
rank( ) rank([ ]) .t tE E E EA J A J b n 
Theo Định lí 2.7, ( )K nL d không thỏa mãn tính chất số cơ sở bất biến. 
 Tuyên bố về quyền lợi: Các tác giả xác nhận hoàn toàn không có xung đột về quyền lợi. 
 Lời cảm ơn: Bài báo được hỗ trợ bởi đề tài nghiên cứu khoa học sinh viên mã số 
SPD2017.02.36. 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 15, Số 6 (2018): 89-96 
96 
T I LI T AM ẢO 
[1] G.Abrams and G.Aranda Pino, “The Leavitt path algebra of a graph,” Journal of Algebra, 
293, pp.319 - 334, 2005. 
[2] P. Ara, M. A. Moreno, E. Pardo, “Nonstable K-theory for graph algebras,” Algebra 
Represent Theory, 10, pp.157-178, 2006. 
[3] G.Abrams, “Leavitt path algebras: the first decade,” Bulletin of Mathematical Sciences 5, 
pp.59-120, 2015. 
[4] G. Abrams, T. G. Nam and N. T. Phuc, “Leavitt path algebras having unbounded generating 
number,” Journal of Pure and Applied Algebra, 221, pp.1322-1343, 2017. 
[5] P. Ara, K. Li, F. Lledo and J. Wu, Amenability of coarse spaces and K-algebras, arXiv: 
1607.00328v1, 2016. 
[6] T. G. Nam and N. T. Phuc, A criterion for Leavitt path algebras having invariant basis 
number, arXiv:1603.09695, 2016. 
[7] M. Kanuni and M. Ozaydin, Cohn-Leavitt path algebras and the invariant basis number 
property, arXiv:1606.07998v1, 2016. 
[8] T. Y. Lam, Lectures on modules and rings, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1999. 
[9] I. Dangerfield, Leavitt path algebra (Thesis, Master of Science). University of Otago. 
Retrieved from  2011. 
[10] G. Abrams, G. A. Pino, “The Leavitt path algebras of generalized Cayley graphs,” 
Mediterranean Journal of Mathematics, 13, pp.1-27, 2016. 
[11] A. V Kelarev, “Directed graphs and combinatiorial properties of semigroups” Journal of 
Algebra, 251, pp.16-26, 2002.