Một cải tiến của phương pháp Timoshenko áp dụng phân tích ổn định thanh thẳng chịu nén đúng tâm

KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 60 (3/2018) 10
BÀI BÁO KHOA H
C 
MỘT CẢI TIẾN CỦA PHƯƠNG PHÁP TIMOSHENKO 
ÁP DỤNG PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH THANH THẲNG CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM 
Nguyễn Hùng Tuấn1, Lê Xuân Huỳnh2, Đỗ Phương Hà1 
Tóm tắt : Bài báo trình bày một cải tiến của phương pháp Timoshenko để xác định lực tới hạn của 
thanh thẳng chịu nén đúng tâm. Thuật toán đề xuất được xây dựng trên cơ sở kết hợp giữa tiêu 
chuẩn kinh điển (tiêu chuẩn bình phương tối thiểu) và các phương pháp Sức bền vật liệu xác định 
hàm chuyển vị của thanh qua các vòng lặp, với ý nghĩa một - một trong quan hệ giữa lực tới hạn và 
đường đàn hồi. Các kết quả tính toán bước đầu cho thấy thuật toán đề xuất đưa đến nghiệm chính 
xác hơn phương pháp xấp xỉ liên tiếp và các phương pháp gần đúng khác. 
Từ khóa : lực tới hạn, ổn định đàn hồi, tiêu chuẩn bình phương tối thiểu, phương pháp xấp xỉ liên 
tiếp, phương pháp tải trọng giả tạo. 
1. ĐẶT VẦN ĐỀ1 
Để giải bài toán mất ổn định loại một về 
dạng cân bằng trong trạng thái biến dạng, có thể 
sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, trên cơ 
sở các tiêu chí về sự cân bằng ổn định, như tiêu 
chí dạng tĩnh học, tiêu chí dạng năng lượng, tiêu 
chí dạng động lực học (Lều Thọ Trình, nnk 
2006). Trong các phương pháp này, các phương 
pháp gần đúng đóng vai trò quan trọng do thực 
tế, việc giải các phương trình vi phân để xác 
định nghiệm chính xác thường gặp nhiều khó 
khăn hoặc thậm chí không thực hiện được. Tuy 
nhiên, nhược điểm của một số phương pháp gần 
đúng thường được sử dụng, như phương pháp 
Rayleigh-Ritz, phương pháp áp dụng trực tiếp 
nguyên lý Lejune-Dirichlet, phương pháp 
Bubnov-Galerkin (Lều Thọ Trình, nnk 2006), là 
giá trị lực tới hạn thu được phụ thuộc rất nhiều 
vào hàm xấp xỉ (đường đàn hồi) được lựa chọn. 
Nếu hàm xấp xỉ được lựa chọn hợp lý, gần sát 
với đường đàn hồi thực, kết quả tính toán lực tới 
hạn thu được sẽ sát với thực tế. Ngược lại, nếu 
hàm xấp xỉ lựa chọn không sát với đường đàn 
hồi thực, kết quả tính toán lực tới hạn sẽ có sai 
lệch lớn so với thực tế. Điểm khó khăn ở đây là 
hàm xấp xỉ được lựa chọn chỉ căn cứ vào việc 
1
 Bộ môn Sức bền - Kết cấu, Trường Đại học Thủy lợi 
2 
 Bộ môn Cơ học kết cấu, Trường Đại học Xây dựng 
thỏa mãn các điều kiện biên, trong đó chủ yếu là 
điều kiện biên về chuyển vị. Để khắc phục vấn 
đề trên, Timoshenko và Gere (Timoshenko, et al 
1961) đã đề xuất phương pháp xấp xỉ liên tiếp 
(sucessive aproximations method) để xác định 
lực tới hạn. Trong phương pháp này, trên cơ sở 
hàm xấp xỉ được lựa chọn, mô men uốn của 
thanh được xác định là hàm số của lực tới hạn 
Pth. Sau khi biết mô men uốn, ta có thể xác định 
chuyển vị của thanh theo các phương pháp Sức 
bền vật liệu (SBVL), như phương pháp tải trọng 
giả tạo, hoặc phương pháp tích phân bất định. 
Cân bằng giữa giá trị chuyển vị giả thiết (theo 
hàm xấp xỉ) với giá trị chuyển vị nhận được 
theo phương pháp SBVL, tại một vị trí cố định 
trên thanh sẽ được phương trình xác định lực tới 
hạn Pth. Quá trình này được lặp lại cho đến khi 
có sự sai lệch không đáng kể giữa chuyển vị giả 
thiết và chuyển vị tính toán, khi đó sẽ xác định 
lực tới hạn Pth gần sát với thực tế. Nhược điểm 
của phương pháp này là việc cân bằng chuyển vị 
tại các vị trí khác nhau trên thanh sẽ cho các giá 
trị lực tới hạn Pth khác nhau, và việc cân bằng 
chuyển vị này lại tạo thêm một "điều kiện biên" 
phụ về chuyển vị đối với hàm xấp xỉ. Để nâng 
cao độ chính xác trong việc xác định lực tới hạn 
Pth, trên cơ sở phương pháp xấp xỉ liên tiếp, bài 
báo này đề xuất một thuật toán lặp cải tiến xác 
định lực tới hạn của thanh thẳng chịu nén đúng 
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 60 (3/2018) 11
tâm. Trong thuật toán đề xuất, lực tới hạn tại 
mỗi vòng lặp được xác định theo tiêu chuẩn 
kinh điển (N.D.Anh, et al 2017), từ lực tới hạn 
này sẽ đưa ra hàm chuyển vị cho vòng lặp sau 
theo phương pháp SBVL (Phạm Ngọc Khánh, 
nnk 2006). Các ví dụ minh họa với các hàm xấp 
xỉ lựa chọn khác nhau chứng tỏ hiệu quả cải tiến 
của thuật toán đề xuất so với kết quả theo 
phương pháp xấp xỉ liên tiếp (Timoshenko, et al 
1961), và một số phương pháp gần đúng khác 
(Lều Thọ Trình, nnk 2006). 
2. XÂY DỰNG THUẬT TOÁN LẶP CẢI 
TIẾN PHƯƠNG PHÁP TIMOSHENKO 
Trên cơ sở nhận xét quan hệ một - một giữa 
đường đàn hồi và lực tới hạn Pth, nghĩa là nếu sử 
dụng cùng một phương pháp, một đường đàn 
hồi chỉ cho một giá trị lực tới hạn Pth và ngược 
lại. Thuật toán đề xuất sẽ sử dụng một đường 
đàn hồi để đưa ra một giá trị lực tới hạn Pth, sau 
đó với giá trị Pth này sẽ xác định được một 
đường đàn hồi khác. Để xác định đường đàn hồi 
này, ta có thể sử dụng bất kỳ phương pháp 
SBVL nào, như phương pháp tải trọng giả tạo, 
hoặc phương pháp thông số ban đầu. Quá trình 
lặp được thực hiện cho đến khi giá trị lực tới 
hạn Pth của hai vòng lặp liên tiếp có sai lệch 
không đáng kể. Để xác định lực tới hạn Pth trên 
cơ sở đường đàn hồi giả thiết, thuật toán đề xuất 
sử dụng tiêu chuẩn kinh điển (N.D.Anh, et al 
2017). Sau đây, sẽ trình bày cơ sở toán học của 
tiêu chuẩn kinh điển và thuật toán lặp cải tiến. 
2.1. Cơ sở toán học tiêu chuẩn kinh điển 
Hình 1. Các đặc trưng thống kê của e(x) 
Xét một hàm số e(x) trên đoạn [a,b] (Hình 
1), ta có 2 đặc trưng thống kê của e(x): 
- Giá trị trung bình của e(x) 
( ) ( ) e
b
a ab
dxxe
ab
e Ω
−
=∫
−
=
1)(1 (1) 
trong đó Ωe - diện tích hình giới hạn bởi hàm 
số e(x) và các đường thẳng y = 0 (trục hoành), 
x=a, x=b. 
- Phương sai đặc trưng cho độ phân tán của 
e(x) quanh giá trị trung bình của e(x) :
 ( ) 22222 )()( exeexee e −=−== σ (2) 
Giả sử e(x) là sai số của một kỹ thuật gần 
đúng phụ thuộc vào các tham số a1, a2,..,an. Để 
sai số là nhỏ nhất, ta cần giải bài toán tối ưu :




→−=
→
min),...,,,(),...,,,(
min),...,,,(
2
2121
22
2
21
nne
n
aaaxeaaaxe
aaaxe
σ
 (3) 
Giải (3) ta được a1, a2,...., an. 
Để giải (3), có thể gộp 2 hàm mục tiêu thành 
hàm mục tiêu mới như sau 
( ) min22222 →−+=+ eeeee βαβα
 (4) 
trong đó α+β = 1. 
Hàm mục tiêu trong công thức (3) có dạng 
tương tự như cách giải bài toán tối ưu đa mục 
tiêu theo phương pháp trọng số (Kim, et al 
2005). Giá trị α được xác định theo mức độ 
quan trọng tương đối giữa hai hàm mục tiêu 
2
e
 và 2e . 
Từ công thức (4), khi cho α = β = 1/2 ta 
được : 
( ) min
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 222222 →=−+=+ eeeeee
 (5.a) 
hay min2 →e (5.b) 
Nhận thấy (5.b) chính là tiêu chuẩn kinh điển 
(N.D.Anh, et al 2017), hay thường gọi là tiêu 
chuẩn bình phương tối thiểu được sử dụng trong 
lý thuyết xác suất và thống kê toán học (Nguyễn 
Cao Văn, nnk 2012). Tiêu chuẩn kinh điển cũng 
đã được sử dụng trong tính toán lực tới hạn của 
)(xe )(xe
a b0 x
y
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 60 (3/2018) 12
thanh thẳng chịu nén đúng tâm, và cho kết 
quả tốt so với các phương pháp gần đúng 
khác (Nguyễn Hùng Tuấn, 2017). 
2.2. Thuật toán lặp cải tiến phương 
pháp Timoshenko 
Để làm rõ cải tiến của thuật toán lặp đề 
xuất với phương pháp xấp xỉ liên tiếp, sau 
đây sẽ phân tích ví dụ xác định lực tới hạn 
của thanh hai đầu khớp, thể hiện trên Hình 2. 
Hình 2. Ổn định thanh thẳng hai đầu khớp chịu nén đúng tâm 
a. Đường đàn hồi giả thiết b. Dầm giả tạo 
Theo phương pháp dầm giả tạo, ta có 
dz
EI
zlzyP
l
R
l
th
∫
−
=
0
1
1
))((1
 (6) 
11
0
1
12 )(
)()( dzzz
EI
zyP
zRzy
z
th
−∫−= (7) 
trong đó y1(z) - đường đàn hồi giả thiết 
 R1 - phản lực trong dầm giả tạo, 
trường hợp này chính là góc xoay tại A. 
Để xác định lực tới hạn Pth trong vòng lặp 
đầu tiên, trong phương pháp xấp xỉ liên tiếp, 
Timoshenko và Gere đã đề xuất cân bằng y1(z) 
và y2(z) xác định theo (7) tại một vị trí cố định, 
cụ thể chọn tại giữa dầm z = l/2. Đối với vòng 
lặp thứ i, phương trình để xác định lực tới hạn : 
ithlzi
lz
z iith
lz
l iith Pzydzzz
EI
zyP
dz
EI
zlzyP
,2/
2/
11
0
,
2/0
, )()()())((
2
1
⇒=





−∫−





∫
−
=
==
 (8) 
Với giá trị lực tới hạn vừa tìm được, thay vào 
(7) ta được đường đàn hồi y2(z) là đường đàn 
hồi giả thiết cho vòng lặp tiếp theo. Quá trình 
này lặp lại cho đến khi đường đàn hồi giữa 2 
vòng lặp yi(z) và yi+1(z) chênh lệch nhau không 
đáng kể. 
Có thể thấy, phương pháp xấp xỉ liên tiếp đã 
tìm một họ các đường đàn hồi thỏa mãn các 
điều kiện biên về chuyển vị và đi qua một điểm 
có giá trị độ võng định trước. Điều này sẽ tạo 
thêm một "điều kiện biên" phụ về chuyển vị. 
Ngoài ra, với điểm định trước được lựa chọn 
khác nhau, sẽ cho các giá trị khác nhau của lực 
tới hạn. Do đó, Timoshenko cũng đề xuất cách 
xác định khoảng giá trị biên trên và biên dưới 
của lực tới hạn trong mỗi vòng lặp, thông qua 
việc khảo sát tỷ số y2(z) và y1(z). 
Để khắc phục một số vấn đề nêu trên, thuật 
toán đề xuất cải tiến việc xác định lực tới hạn 
Pth ban đầu bằng tiêu chuẩn kinh điển, theo hàm 
chuyển vị giả thiết y1(z). Đối với vòng lặp thứ i, 
trong thuật toán đề xuất, biểu thức xác định lực 
tới hạn : 
)(
)().(
2
''
,
zy
zyzyEI
P
i
ii
ith −= (9) 
Từ (9) nhận thấy, việc xác định lực tới hạn 
Pth,i hoàn toàn chỉ phụ thuộc vào hàm chuyển vị 
yi(z), mà không phụ thuộc vào việc cân bằng 
chuyển vị giữa hàm chuyển vị yi(z) và yi+1(z) 
như phương pháp xấp xỉ liên tiếp. Nói cách 
khác, trong thuật toán đề xuất, các hàm chuyển 
vị yi(z) không nhất thiết phải là họ các đường 
cong đi qua một điểm đã định trước, được xác 
định theo hàm chuyển vị giả thiết ban đầu y1(z). 
 Sau khi xác định lực tới hạn Pth, tương tự 
như phương pháp xấp xỉ liên tiếp, sử dụng biểu 
A BEI Pth
y
l
z A B
EI
zyP
EI
M th )(. 11
=
z1
R1
y1(z)
l
dz1
1dzEI
M
z
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 60 (3/2018) 13
thức (7) để xác định biểu thức của đường đàn hồi 
y2(z). Quá trình này được lặp lại cho đến khi lực 
tới hạn Pth giữa hai vòng lặp liên tiếp chênh lệch 
nhau không đáng kể. Hình 3 thể hiện trình tự tính 
toán trong một vòng lặp đối với thuật toán đề 
xuất và phương pháp xấp xỉ liên tiếp. 
Trong thuật toán đề xuất, sử dụng tiêu chí sau 
để kết thúc quá trình lặp: 
εαα ≤−+ ii 1
 (10) 
trong đó )//( 2lEIP ithi =α , 
với ithP - lực tới hạn ở vòng lặp thứ i; 
ε - sai lệch cho phép, lấy bằng chữ số chắc 
(Doãn Tam Hòe, 2008) của αi . 
Hình 3. Trình tự tính toán trong một vòng lặp 
3. VÍ DỤ MINH HỌA 
3.1.Ví dụ 1 
Xác định lực tới hạn của thanh thẳng, tiết 
diện không đổi, liên kết khớp hai đầu (Hình 2) 
với các hàm xấp xỉ được lựa chọn theo 3 
phương án sau : 
a) y1(z)= z.(l-z) 
b) y1(z) = z2.(l-z)2 
c) y1(z) = z4.(l-z)8 
Phương trình vi phân đường đàn hồi : 
0'' ),('' =+=⇒−= yEIyPPzey
EI
Py (11) 
1. Hàm xấp xỉ y1(z) = z.(l-z) 
a. Tính toán theo thuật toán đề xuất 
Kết quả tính toán theo thuật toán đề xuất, 
so sánh với phương pháp xấp xỉ liên tiếp qua 
các vòng lặp được thể hiện ở Bảng 1. 
Bảng 1. Kết quả tính toán lực tới hạn thanh thẳng, hai đầu liên kết khớp qua các vòng lặp 
với hàm xấp xỉ bậc 2 
Vòng 
lặp 
Lực tới hạn Pth theo thuật toán 
đề xuất 
Lực tới hạn Pth theo phương pháp xấp xỉ 
liên tiếp (Timoshenko, et al 1961) 
1 2
1 10
l
EIP
th = 2
1 6.9
l
EIP
th = 
2 2
2 8710.9
l
EIP
th = 2
2 8361.9
l
EIP
th = 
3 2
3 8696.9
l
EIP
th = - nghiệm chính xác 2
3 8657.9
l
EIP
th = 
4 2
4 8696.9
l
EIP
th = - nghiệm chính xác 2
4 8691.9
l
EIP
th = 
5 
2
5 8696.9
l
EIP
th = - nghiệm chính xác 
6 2
6 8696.9
l
EIP
th = - nghiệm chính xác 
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 60 (3/2018) 14
b. Tính toán theo các phương pháp xấp xỉ khác 
- Theo phương pháp áp dụng trực tiếp 
nguyên lý Lejune - Dirichlet và phương pháp 
Rayleigh-Ritz 
2, 12 l
EIP Rth = (12) 
- Theo phương pháp Bubnov - Galerkin 
2, 10 l
EIP Gth = (13) 
c. So sánh kết quả giữa các phương pháp 
Nghiệm chính xác 
22
2
,
8696.9
l
EI
l
EIP exth == pi (14) 
Theo Bảng 1, thuật toán lặp đề xuất và 
phương pháp xấp xỉ liên tiếp đều cho cùng kết 
quả : 
2,,, 8696.9 l
EIPPP exthTthprth === (15) 
Như vậy, thuật toán đề xuất và phương pháp 
xấp xỉ liên tiếp cho kết quả trùng với nghiệm 
chính xác, và có độ chính xác tốt hơn các 
phương pháp xấp xỉ khác. Tuy nhiên, thuật toán 
đề xuất hội tụ đến nghiệm chính xác nhanh hơn 
phương pháp xấp xỉ liên tiếp (qua 4 vòng lặp đã 
hội tụ đến nghiệm chính xác, so với 6 vòng lặp 
theo phương pháp xấp xỉ liên tiếp). 
2. Hàm xấp xỉ y1(z) = z2.(l-z)2 
a. Tính toán theo thuật toán đề xuất 
Thực hiện tính toán theo thuật toán đề xuất, 
qua 5 vòng lặp kết quả thu được 
2
4
,
5
,
8696.9
l
EIPP prthprth == (16) 
Thực hiện tính toán theo phương pháp xấp xỉ 
liên tiếp, qua 20 vòng lặp, kết quả thu được 
 2
20
,
7773.9
l
EIP Tth = (17.a) 
2
19
,
7765.9
l
EIP Tth = (17.b) 
b. Tính toán theo các phương pháp khác 
- Theo phương pháp áp dụng trực tiếp 
nguyên lý Lejune - Dirichlet và phương pháp 
Rayleigh-Ritz 
2, 42 l
EIP Rth = (18) 
- Theo phương pháp Bubnov - Galerkin 
2, 875.28 l
EIP Gth = (19) 
c. So sánh kết quả giữa các phương pháp 
Nhận thấy, qua 5 vòng lặp, thuật toán đề xuất 
cho kết quả 
2,, 8696.9 l
EIPP exthprth ==
 (20) 
Qua 20 vòng lặp, phương pháp xấp xỉ liên 
tiếp cho kết quả 
2, 7773.9 l
EIP Tth =
 (21) 
Các phương pháp khác, như phương pháp 
Bubnov-Galerkin, phương pháp áp dụng trực tiếp 
nguyên lý Lejune - Dirichlet và phương pháp 
Rayleigh-Ritz có độ sai lệch lớn so với nghiệm 
chính xác: sai lệch 192.57% đối với phương pháp 
Bubnov-Galerkin, sai lệch 325.55% đối với 
phương pháp áp dụng trực tiếp nguyên lý Lejune 
- Dirichlet và pháp Rayleigh-Ritz. Sở dĩ có sai 
lệch lớn như vậy là do hàm xấp xỉ của đường đàn 
hồi giả thiết sai lệch lớn so với đường đàn hồi 
thực tế. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp cải thiện 
được đáng kể sai lệch (sai lệch 0.94% so với 
nghiệm chính xác, qua 20 vòng lặp). Một lần 
nữa, thuật toán đề xuất lại cho kết quả trùng với 
kết quả nghiệm chính xác, đồng thời tốc độ hội tụ 
nhanh, mặc dù lực tới hạn ở vòng lặp đầu tiên 
của thuật toán đề xuất có sai lệch rất lớn với 
phương pháp xấp xỉ liên tiếp. 
3. Hàm xấp xỉ y1(z) = z4.(l-z)8 
a. Tính toán theo thuật toán đề xuất 
Kết quả tính toán theo thuật toán đề xuất, so 
sánh với phương pháp xấp xỉ liên tiếp qua các 
vòng lặp được thể hiện ở Bảng 2. 
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 60 (3/2018) 15
δ 
A BEI
P
z
y
l
Bảng 2. Kết quả tính toán lực tới hạn thanh thẳng, hai đầu liên kết khớp 
qua các vòng lặp với hàm xấp xỉ bậc 12 
Vòng 
lặp 
Lực tới hạn Pth theo thuật toán 
đề xuất 
Lực tới hạn Pth theo phương pháp xấp xỉ 
liên tiếp (Timoshenko, et al 1961) 
1 2
1 4286.31
l
EIP
th = 2
1 2645.9
l
EIP
th = 
2 2
2 8244.10
l
EIP
th = 2
2 8944.9
l
EIP
th = 
3 2
3 9270.9
l
EIP
th = 2
3 8763.9
l
EIP
th = 
4 2
4 8732.9
l
EIP
th = 2
4 8705.9
l
EIP
th = 
5 2
5 8698.9
l
EIP
th = 2
5 8697.9
l
EIP
th = 
6 2
6 8696.9
l
EIP
th = - nghiệm chính xác 2
6 8697.9
l
EIP
th = 
7 2
7 8696.9
l
EIP
th = - nghiệm chính xác 
b. Tính toán theo các phương pháp khác 
- Theo phương pháp áp dụng trực tiếp 
nguyên lý Lejune - Dirichlet và phương pháp 
Rayleigh-Ritz 
2, 5385.95 l
EIP Rth = (22) 
- Theo phương pháp Bubnov - Galerkin 
2, 4286.31 l
EIP Gth = (23) 
c. So sánh kết quả giữa các phương pháp 
Trong trường hợp này, hàm xấp xỉ được lựa 
chọn chỉ thỏa mãn các điều kiện biên về chuyển 
vị, đặc biệt không đảm bảo tính đối xứng của 
đường đàn hồi thực như hai trường hợp trước. 
Tuy vậy, thuật toán lặp đề xuất vẫn cho kết quả 
trùng với kết quả của nghiệm chính xác, mặc dù 
kết quả lực tới hạn ở vòng lặp đầu tiên có sai 
lệch rất lớn so với kết quả của nghiệm chính xác 
và kết quả ở vòng lặp đầu tiên của phương pháp 
xấp xỉ liên tiếp. 
3.2.Ví dụ 2 
Xác định lực tới hạn của thanh thẳng, tiết 
diện không đổi, đầu ngàm, đầu tự do (Hình 4) 
với các hàm xấp xỉ được lựa chọn theo 2 
phương án sau 
a) 4
4
1 .)( l
z
zy δ= b) 8
8
1 .)( l
z
zy δ= 
Hình 4. Ổn định thanh thẳng đầu ngàm, đầu tự 
do chịu nén đúng tâm 
 Phương trình vi phân đường đàn hồi 
( ) 0P '' ),('' =−+=⇒−= δδ yPyEIPzey
EI
Py
 (24) 
1. Hàm xấp xỉ 4
4
1 .)( l
z
zy δ= 
a. Tính toán theo thuật toán đề xuất 
Kết quả tính toán theo thuật toán đề xuất, so 
sánh với phương pháp xấp xỉ liên tiếp qua các 
vòng lặp được thể hiện ở Bảng 3. 
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 60 (3/2018) 16
Bảng 3. Lực tới hạn thanh thẳng, tiết diện không đổi, đầu ngàm, đầu tự do, tính theo thuật 
toán đề xuất và phương pháp xấp xỉ liên tiếp qua các vòng lặp 
Vòng 
lặp 
Lực tới hạn Pth theo thuật toán 
đề xuất 
Lực tới hạn Pth theo phương pháp xấp xỉ 
liên tiếp (Timoshenko, et al 1961) 
1 2
1 2143.3
l
EIP
th = 2
1 1429.2
l
EIP
th = 
2 2
2 4753.2
l
EIP
th = 2
2 4273.2
l
EIP
th = 
3 2
3 4675.2
l
EIP
th = 2
3 4627.2
l
EIP
th = 
4 2
4 4674.2
l
EIP
th = - nghiệm chính xác 2
4 4669.2
l
EIP
th = 
5 2
5 4674.2
l
EIP
th = - nghiệm chính xác 2
5 4673.2
l
EIP
th = 
6 2
6 4674.2
l
EIP
th = - nghiệm chính xác 
7 
2
7 4674.2
l
EIP
th = - nghiệm chính xác 
b. Tính toán theo các phương pháp khác 
- Theo phương pháp áp dụng trực tiếp 
nguyên lý Lejune - Dirichlet và phương pháp 
Rayleigh-Ritz 
2, 6.12 l
EIP Rth = (25) 
- Theo phương pháp Bubnov- Galerkin 
2, 2857.19 l
EIP Gth = (26) 
2. Hàm xấp xỉ 8
8
1 .)( l
z
zy δ=
a. Tính toán theo thuật toán đề xuất 
Thực hiện tính toán theo thuật toán đề xuất, 
qua 5 vòng lặp kết quả thu được 
2,
4
,
5
,
4674.2
l
EIPPP exthprthprth === (27)b 
Tính toán theo các phương pháp khác 
 - Thực hiện tính toán theo phương pháp xấp 
xỉ liên tiếp, qua 7 vòng lặp, kết quả thu được 
2,
6
,
7
,
4674.2
l
EIPPP exthTthTth === (28) 
- Theo phương pháp áp dụng trực tiếp 
nguyên lý Lejune - Dirichlet và phương pháp 
Rayleigh-Ritz 
 2, 5385.56 l
EIP Rth = (29) 
- Theo phương pháp Bubnov - Galerkin 
 2, 4.71 l
EIP Gth = 
 (30) 
3. So sánh kết quả giữa các phương pháp 
Nghiệm chính xác là 
22
2
,
4674.2
4 l
EI
l
EIP exth ==
pi
 (31) 
 Tương tự như các kết quả ví dụ 1, thuật 
toán đề xuất và phương pháp xấp xỉ liên tiếp hội 
tụ đến giá trị chính xác của lực tới hạn, mặc dù 
KHOA HC K THUT THuhoahoiY LI VÀ MÔI TRuchoaNG uhoahoiuhoahoiuhoahoi - S 60 (3/2018) 17
hàm xấp xỉ của đường đàn hồi ban đầu lựa chọn 
có sai lệch lớn so với đường đàn hồi thực. Trong 
đó, thuật toán đề xuất vẫn cho tốc độ hội tụ nhanh 
nhất, qua 5 vòng lặp so với 7 vòng lặp của phương 
pháp xấp xỉ liên tiếp. 
4. KẾT LUẬN 
Trên cơ sở phương pháp xấp xỉ liên tiếp, bài 
báo đã đề xuất một thuật toán lặp cải tiến xác định 
lực tới hạn của thanh thẳng chịu nén đúng tâm, 
bằng cách kết hợp tiêu chuẩn kinh điển và xác 
định hàm chuyển vị theo các phương pháp của 
SBVL. Thông qua các ví dụ minh họa, với các 
hàm xấp xỉ được lựa chọn khác nhau, so sánh với 
phương pháp xấp xỉ liên tiếp và các phương pháp 
khác, nhận thấy thuật toán đề xuất làm tăng độ 
chính xác của kết quả tính toán, thậm chí có thể 
hội tụ đến nghiệm chính xác và tăng tốc độ hội tụ 
so với phương pháp xấp xỉ liên tiếp. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Doãn Tam Hòe (2008), Toán học tính toán, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội. 
Phạm Ngọc Khánh, Nguyễn Ngọc Oanh, Đoàn Văn Đào, Đỗ Khắc Phương, Nguyễn Công Thắng 
(2006), Sức bền vật liệu, Nhà xuất bản Từ điển Bách khoa, Hà Nội. 
Lều Thọ Trình, Đỗ Văn Bình (2006), Ổn định công trình, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật, Hà Nội. 
Nguyễn Hùng Tuấn (2017), "Một cách tiếp cận gần đúng giải bài toán ổn định thanh thẳng chịu 
nén đúng tâm", Hội nghị khoa học thường niên Trường Đại học Thủy lợi, Hà Nội. 
Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh, Ngô Văn Thứ (2012), Lý thuyết xác suất và thống kê toán, Nhà 
xuất bản Đại học kinh tế quốc dân. 
L.Y.Kim, O.L. de Weck (2005) ,"Adaptive weighted sum method for multiobjective optimization: a 
new method for Pareto front generation", Struct Multidisc Optim 29, pp. 149 - 158. 
N.D.Anh, N.Q.Hai, D.V.Hieu (2017), "The Equivalent Linearization Method with a Weighted 
Averaging for Analyzing of Nonlinear Vibrating Systems", Latin American Journal of Solids 
and Structures 14, pp. 1-18. 
Timoshenko & Gere (1961), Theory of elastic stability, McGraw-Hill (17th Printing 1985). 
Abstract: 
AN INNOVATION OF TIMOSHENKO METHOD TO APPLY FOR ANALYZING 
ELASTIC STABILITY OF A COMPRESSED BAR 
This paper presents an innovative of Timoshenko method for determining critical buckling load of a 
compressed bar. The idea of the proposed algorithm is based on combining the classic criterion 
(the least mean square error criterion) and the standard methods of strength of materials for 
determining the deflection functions by loops, which means one - one relation of critical load and 
the deflection. The first numerical results show that the proposed algorithm gives more accurate 
solutions than that of the sucessive aproximations method and the difference methods. 
Keywords: critical buckling load, elastic stability, the least mean square error criterion, the 
sucessive aproximations method, the conjugate-beam method. 
Ngày nhận bài: 29/11/2017 
Ngày chấp nhận đăng: 13/01/2018