Phân tích bài toán cơ nhiệt bằng phân tích đẳng hình học cho dạng kết cấu sử dụng vật liệu phân lớp chức năng

Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ, tập 20, số K3-2017 
53 
 
Tóm tắt— Mục đích của bài báo này là ứng dụng 
phương pháp đẳng hình học (IGA) để phân tích ứng 
xử cơ nhiệt cho kết cấu làm từ vật liệu phân lớp 
chức năng (FGM). Phương pháp đẳng hình học 
được xây dựng trên nền tảng hàm cơ sở NURBS với 
ưu điểm mô tả hình học chính xác cùng với việc xấp 
xỉ hàm bậc cao một cách hiệu quả. Vật liệu FGM là 
một dạng vật liệu composite tiên tiến có thuộc tính 
vật liệu theo đổi liên tục theo quy luật phân bố hàm 
mũ trên phương bề dày. Các kết quả thu được sẽ 
kiểm chứng với kết quả được công bố trước đó và 
kết quả từ phần mềm thương mại COMSOL. 
Từ khóa— FGM, IGA 
1 GIỚI THIỆU 
ật liệu phân lớp chức năng (Functionally 
Graded Materials – FGM) là vật liệu 
composite có vi cấu trúc không đồng nhất mà thay 
đổi liên tục về cơ tính giữa các lớp vật liệu. Vật 
liệu FGM được kết hợp từ kim loại và gốm nên nó 
có ưu điểm là kết hợp được cả tính dẻo của kim 
loại và tính cách nhiệt cách điện của gốm. FGM 
được sử dụng trong các ngành công nghiệp hiện 
đại như: hàng không vũ trụ, công nghệ hạt nhân, 
truyền thông, năng lượng,  Phân tích ứng xử cơ 
Bài báo đã nhận vào ngày 15 tháng 3 năm 2017, đã được 
phản biện chỉnh sửa vào ngày 01 tháng 11 năm 2017. 
Nguyễn Duy Khương, Trường Đại học Bách Khoa – 
ĐHQG-HCM, Việt Nam (e-mail: ndkhuong@ hcmut.edu.vn). 
Nguyễn Mạnh Tiến, Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-
HCM, Việt Nam (e-mail: nguyenmanhtien94@ gmail.com). 
Võ Trung Chiến, Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-
HCM, Việt Nam (e-mail: votrungchien94@ gmail.com). 
Nguyễn Xuân Hùng, Trường Đại học Công nghệ Tp.HCM, 
Việt Nam (e-mail: ngx.hung@hutech.edu.vn). 
Vũ Công Hòa, Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM, 
Việt Nam (e-mail: vuconghoa@ hcmut.edu.vn). 
nhiệt trong vật liệu FGM là vấn đề quan trọng vì 
vật liệu này thường làm việc trong môi trường áp 
lực và nhiệt độ cao. Hình 1 minh họa tấm FGM 
trong hệ tọa độ Đề-các (x, y, z). 
Hiện tại đã có nhiều nghiên cứu về phân tích 
bài toán Cơ nhiệt trong vật liệu FGM được công 
bố trên các tạp chí. Các phương pháp số được sử 
dụng cũng rất đa dạng như phương pháp phần tử 
hữu hạn (Finite Element Method – FEM), phương 
pháp không lưới (Meshless), lý thuyết cắt bậc 3 
(the third-order shear deformation theory). Các tác 
giả Afsar và Go sử dụng phương pháp phần tử 
hữu hạn (FEM) để phân tích bài toán cơ nhiệt cho 
mô hình đĩa tròn xoay được làm từ FGM [1]; 
nhóm tác giả Hosseini, Sladek, áp dụng phương 
pháp không lưới (MLPG) phân tích cơ nhiệt cho 
ống trụ rỗng làm từ vật liệu FGM dựa trên mô 
hình Green–Naghdi [2], nhóm tác giả A.H. 
Akbarzadeh, M. Abbasi, M.R. Eslami sử dụng lý 
thuyết cắt bậc 3 để phân tích bài toán cơ nhiệt cho 
tấm hình vuông FGM [3]. Đẳng hình học 
(Isogeometric Analysis- IGA) là một phương 
pháp tính toán hiện đại được giới thiệu bởi 
Hughes [4]. 
Phương pháp đẳng hình học là sự kết hợp giữa 
thiết kế với hỗ trợ máy tính (Computer Aided 
Phân tích bài toán cơ nhiệt bằng phân tích 
đẳng hình học cho dạng kết cấu sử dụng vật liệu 
phân lớp chức năng 
Nguyễn Duy Khương, Nguyễn Mạnh Tiến, Võ Trung Chiến, Nguyễn Xuân Hùng, Vũ Công Hòa 
V 
Hình 1. Mô hình hình học tấm FGM 
54 Science and Technology Development Journal, vol 20, no.K3- 2017 
Design-CAD) và phân tích phần tử hữu hạn 
(Finite Element Analysis-FEA). Phương pháp 
đẳng hình học (IGA) sử dụng hàm cơ sở Non-
Uniform Rational B-Splines (NURBS) để có được 
hình học chính xác. Nó sử dụng hàm cơ sở này 
cho cả mô hình hình học chính xác và xấp xỉ hữu 
hạn. Ngoài ra, IGA còn có lợi thế tăng hay giảm 
bậc của lưới rất hiệu quả và cùng với kỹ thuật 
chèn knot để có thể kiểm soát độ liên tục một cách 
linh hoạt. 
Bài báo này có bố cục như sau: phần tiếp theo 
mô tả chi tiết hơn về vật liệu phân lớp chức năng 
cùng và các phương trình sử dụng trong phân tích 
bài toán cơ nhiệt, kết quả số sẽ được thể hiện ở 
phần 3 và phần 4 sẽ là phần kết luận. 
2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 
2.1 Vật liệu phân lớp chức năng (FGM) 
Vật liệu phân lớp chức năng (FGM) là vật liệu 
composite mới được cấu tạo từ hai hay nhiều lớp 
vật liệu mà thuộc tính của vật liệu thay đổi liên 
tục theo kích thước của cấu trúc và tính chất của 
vật liệu. FGM có quy luật hàm số theo phương bề 
dày của cấu trúc lớp vật liệu. Ta có hàm biểu diễn 
tính chất vật liệu [3]. 
( ) ( ) ( )c m c mP z P P V z P (1) 
trong đó: ,
c m
P P là thuộc tính vật liệu của gốm 
và kim loại lần lượt ở mặt trên và mặt dưới. P có 
thể đại diện cho mô-đun đàn hồi, hệ số Possion, 
hệ số giãn nở nhiệt, hệ số dẫn nhiệt nhiệt  
Với ( )
c
V z là hàm vị trí theo bề dày tấm. 
1
( )
2
n
c
z
V z
h
 (2) 
trong đó: z là chiều sâu phân lớp vật liệu; h là 
chiều dày tấm; n là số mũ của hàm ( )
c
V z . 
2.2 Phương pháp đẳng hình học 
Để tìm hiểu hàm NURBS trước tiên ta sẽ tìm 
hiểu một số khái niệm hàm B-Spline vì hàm 
NURBS được xây dựng từ hàm B-Spline. 
2.2.1 Véctơ knot 
Véctơ knot là một tập số thực không giảm trong 
không gian tham số, được viết 
 1 2 1, ,..., n p    , trong đó i là knot 
thứ i , i là chỉ số của véctơ knot, 
1,2,..., 1,i n p p là bậc của B-Spline, n số 
hàm cơ sở sử dụng để xây dựng B-Spline. Hàm cơ 
sở B-Spline liên tục C trong khoảng knot [ i , 
1i

) và liên tục 1pC trong knot riêng biệt. Một 
giá trị knot có thể xuất hiện nhiều hơn một lần và 
số lần giá trị knot xuất hiện trong knot vector 
được gọi là bội của knot đó. Cụ thể tại một knot 
có bội là k thì độ liện tục p kC . 
2.2.2 Hàm cơ sở 
Hàm cơ sở B-spline 
,
( )
i p
N  được định nghĩa 
công thức đệ quy Cox-de Boor bắt đầu với hằng 
số [5] 
1
,0
1
( )
0
i i
i
neu
N
cac truong hop conlai
  

 (3) 
Hàm cơ sở B-Spline được định nghĩa theo 
công thức đệ quy Cox-de Boor khi [5] 
, 1
, , 1 1, 1
, , 1 1
( ) ( ) ( )
i pi
i p i p i p
i p i i p i
N N N
  
  
   
 (4) 
2.2.3 Đường cong B-Spline và đường cong 
NURBS 
Đường cong B-Spline và NURBS bậc p lần 
lượt được biểu diễn như sau [5]. 
,
1
( ) ( )
n
B i p i
i
C N B 
  (5) 
1
n
p
N i i
i
C R B 
  (6) 
trong đó 
,i p
N là hàm cơ sở B-Spline với 1, 2,...,i n . 
i
B là các điểm điều khiển. 
p
i
R là hàm cơ sở NURBS. p
i
R được biễu diễn 
như sau [5] 
,
,
1
i p ip
i n
i p i
i
N w
R
N w




 (7) 
2.2.4 Khối B-Spline và Khối NURBS 
Khối B-Spline và NURBS lần lượt được biểu 
diễn như sau [5]. 
Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ, tập 20, số K3-2017 
55 
 , , , , ,
1 1 1
, ,
n m l
B i p j q k r i j k
i j k
S N M L B     
 
 (8) 
 , ,, , , ,
1 1 1
, , , ,
n m l
p q r
N i j k i j k
i j k
S R B     
  (9) 
trong đó 
 , , ,i p j q k rN M L   là ba hàm cơ sở B-Spline 
với 1,2,..., , 1,2,..., , 1,2,...,i n j m k l . 
, ,i j k
B là tọa độ các điểm điều khiển m n l . 
, ,
, ,
p q r
i j k
R là hàm cơ sở NURBS. , ,, ,
p q r
i j k
R được biễu 
diễn như sau [5] 
, , , , ,, ,
, ,
, , , , ,
1 1 1
, ,
i p j q k r i j kp q r
i j k n m l
i p j q k r i j k
i j k
N M L w
R
N M L w
  
  
  

 (10) 
2.2.5 Trường chuyển vị và trường nhiệt độ dựa 
trên xắp xỉ hàm NURBS 
IGA lấy ý tưởng chính từ FEM dùng phần tử 
đẳng tham số do đó biến sắp xỉ trong đẳng hình 
học được biểu diễn như. 
;u u t t (11) 
Khác với FEM IGA sử dụng hàm cơ sở NURBS 
để xây dựng hình học chính xác đồng thời sự 
dụng hàm cơ sở NURBS làm công cụ tính toán 
trực tiếp trên mô hình hình học chính xác. Trong 
IGA, trường chuyển vị và trường nhiệt độ lần lượt 
được biểu diễn theo [5] 
1
n
i i
i
u R u
  (12) 
1
n
i i
i
T R T
  (13) 
trong đó: 
i
R hàm cơ sở NURBS, ,i iu T lần lượt là 
chuyển vị và nhiệt độ tại điểm điều khiển i , n số 
lượng điểm điều khiển. 
2.3 Các phương trình sử dụng trong phân tích 
bài toán cơ nhiệt 
Trường nhiệt độ dưới sự ảnh hưởng của nhiệt 
độ, hệ số đối lưu và tải nhiệt được biểu diễn như 
sau [5] 
( )
phy
th
D
th
Hn
th
a C
trong
trong
q trong
h T T trong
  W 
  
 
 
 
 
 
 
q κ T
T T
T
κ
n
T
κ
n
 (14) 
Trong đó , , , , h
n
T T q  và 
a
T lần lượt là, ma 
trận dẫn nhiệt, véctơ gradient của nhiệt độ, Nhiệt 
độ trên biên Dirichlet, Tải nhiệt (HeatFlux), hệ số 
đối lưu và nhiệt độ trong môi trường đối lưu. 
Trường cơ học dưới sự ảnh hưởng của tải nhiệt 
độ được biểu diễn như sau: [6]. 
0
0
: ( )
1
( ( ) )
2
(T T )
phy
th
phy
T
phy
th
phy
el
D
el
N
trong
trong
trong
trong
trong
trong


  W 
 W
   W 
 W 
  
  
σ b
C ε ε
ε u u
ε I
u u
σ n t
 (15) 
trong đó 
0
, , , , , ,T ,
th
b C u    và tˆ lần lượt là 
tensor ứng suất, tải cơ áp đặt lên mô hình, tensor 
vật liệu, tensor biến dạng tổng, tensor biến dạng 
nhiệt, hệ số giãn nở nhiệt, nhiệt độ tham chiếu, 
chuyển vị trên biên Dirichlet, tải kéo trên biên 
Neumannn. 
Phương trình dạng yếu dùng phân tích bài toán 
trường cặp đôi cơ nhiệt được biểu diễn như sau: 
0
u ut u u u ut
t t t t
uK K F K u F K T
TK F K T F
 (16) 
trong đó: 
u
K là ma trận độ cứng phần tử. uK được biểu 
diễn như sau: 
u T
u u u
K B D B 
 (17) 
Với ,
u u
B D lần lượt ma trận gradient cơ của 
hàm cơ sở và ma trận các hằng số vật liệu đàn hồi 
(ma trận gradient cơ và ma trận hằng số vật liệu 
đàn hồi được mô tả rõ ở công thức 5.32 và công 
thức 5.71 tài liệu [5] trang 251 và trang 263). 
t
K là ma trận hệ số dẫn nhiệt phần tử. tK 
được biểu diễn như sau: 
56 Science and Technology Development Journal, vol 20, no.K3- 2017 
t T T
t t t t t
K B D B d N hN d
W 
 W  (19) 
Với , , ,
t t t
B D N h lần lượt là ma trận gradient 
nhiệt của các hàm cơ sở, ma trận các hằng số vật 
liệu nhiệt, ma trận hàm dạng của hàm cơ sở và hệ 
số đối lưu (tương tự như ma trận gradient cơ và 
ma trận hằng số vật liệu đàn hồi thì các ma trận 
gradient nhiệt của các hàm cơ sở, ma trận các 
hằng số vật liệu nhiệt, ma trận hàm dạng của hàm 
cơ sở cũng được mô tả rõ ở tài liệu [5]). 
ut
K là ma trận độ cứng phần tử cặp đôi cơ 
nhiệt. utK được biểu diễn như sau: 
ut T T
u
K B N
W
 (18) 
Với 
u
D ( [ 0 0 0]
T
x y z
 là véctơ 
giãn nở nhiệt). 
3 KẾT QỦA SỐ 
3.1 Bài toán cơ nhiệt cho tấm hình vuông FGM 
Để kiểm chứng tính chính xác của phương 
pháp, bài toán tấm hình vuông (a=b=0,6m, 
h=0,03m) làm từ vật liệu Ti–6Al–4V/ZrO2 được 
khảo sát. Tấm hình vuông có quy luật phân bố vật 
liệu theo phương bề dày z tuân theo hàm phân bố 
vật liệu (1) với số mũ n=2 và thông số vật liệu cho 
như bảng 1. Điều kiện biên bài toán bao gồm : đối 
với điều kiện biên cơ học tấm tựa đơn 4 mặt bên 
(SSSS) ; đối với điều kiện biên nhiệt : chịu tác 
động của tải nhiệt (heatflux) 6 210 W /
h
q m ở 
mặt trên và mặt dưới chịu tác động tải đối lưu 
4 2
10 W /
c
h m K tại nhiệt độ môi trường 
0
c
T K . 
BẢNG 1. 
THÔNG SỐ VẬT LIỆU TI-6AL-4V/ ZRO2 
Thông số 
Vật liệu 
Ti-6AL-4V ZrO2 
( )E Gpa 66,2 117 
 0,322 0,322 
(W / )k mK 18,1
 2,036 
6
(10 / )K 10,3 7,11 
Trong mục này, mô hình tấm hình vuông FGM 
với thuộc tính vật liệu thay đổi theo phương z, 
hàm vật liệu ( )
c
V r ứng với số mũ 2n được 
khảo sát. Kết quả chuyển vị theo phương z cho 
bài toán sử dụng lưới IGA bậc 4 có 12x12x1 phần 
tử được biểu diễn trong hình 2.a, đồ thị so sánh 
kết quả với lời giải từ bài báo [3] được biểu diễn ở 
hình 2.b. 
(a) 
(b) 
Hình 2. Kết quả chuyển vị theo phương z (a) và đồ thị so sánh 
chuyển vị theo phương z (b) 
Hình 3.a biểu diễn chuyển vị theo phương z 
trong tấm với thông số vật liệu thay đổi theo quy 
luật phân bố hàm mũ có n trong hàm Vc ứng với 
n = 0 (sứ); 0,5; 1; 5; 1010 (kim loại). 
Tương tự với mô hình hình học và điều kiện 
biên nhiệt ở bài toán trên, tấm FGM hình vuông 
ngàm 4 mặt bên (CCCC) được khảo sát. hình 3.b 
biểu diễn chuyển vị theo phương z trong tấm với 
số mũ thay đổi lần lượt n = 0 (sứ); 0,5; 1; 5; 1010 
(kim loại). 
(a) 
Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ, tập 20, số K3-2017 
57 
(b) 
Hình 3. ứng với hệ số mũ n khác nhau tại các điểm có tọa độ 
(x, 0.3, 0) SSSS (a) và CCCC (b) 
3.2 Bài toán ống trụ rỗng 3D FGM 
Xét bài toán ống trụ rỗng 3D FGM với mô hình 
hình học có bán kình ngoài 1
o
r m , bán kính 
trong 0,5
i
r m và bề dày 1h m . Thuộc tính vật 
liệu thay đổi theo phương hướng kính với quy luật 
hàm mũ. Quy luật thay đổi của các thông số vật 
liệu mô-đun đàn hồi, hệ số giãn nở nhiệt, hệ số 
dẫn nhiệt và hệ số Poisson lần lượt là 
0
n
E E r , 
0
n
r , 
0
n
k k r và v const với 2n , 
0
299,92E GPa ,
6
0
3, 24 10 K 
3
0
8,33 10 /k W mK
 và 0, 22v . Điều kiện 
biên bài toán bao gồm: thành trong chịu tác dụng 
nhiệt độ 500
i
T K và thành ngoài chịu tác dụng 
nhiệt độ 100
o
T K . 
Để chọn được mức lưới phù hợp cho bài toán, 
chúng tôi tiến hành khảo sát giá trị ứng suất von-
mises tại điểm có tọa độ x = 0,75 m, y = 0 m và 
z = 0 m ở các mức lưới có số bậc tự do khác nhau. 
Các kết quả thu được so sánh với lời giải xấp xỉ 
của phần mềm COMSOL dùng mô hình lưới có 
540239 bậc tự do và giá trị ứng suất von-Mises 
7
(0, 75;0;0) 6,1683279713580448 10
EQV
Pa . 
Hình 4 mô tả tốc độ hội tụ của lưới IGA bậc 2, 
bậc 3, bậc 4. Bảng 2 mô tả kết quả của ứng suất 
von-mises tại vị trí khảo sát với nhiều mô hình 
lưới khác nhau. Qua kết quả này có thể chỉ ra 
rằng, lưới bậc 4 cho tốc độ hội tụ tốt nhất vì với 
cùng một số lượng bậc tự do thì lời giải dùng lưới 
bậc 4 tốt hơn nhiều so với bậc 2 và 3. Vì thế, hàm 
xấp xỉ bậc 4 sẽ được dùng để phân tích bài toán 
cơ nhiệt của mô hình ống trụ rỗng 3D FGM. 
Hình 4. Tốc độ hội tụ ứng suất von-mises của các mô hình lưới 
cho bài toán ống trụ rỗng 3D FGM 
BẢNG 2. 
KẾT QUẢ ỨNG SUẤT VON-MISES TƯƠNG ỨNG VỚI TỪNG MÔ 
HÌNH LƯỚI TẠI ĐIỂM (0,75; 0; 0) 
Phương pháp Mật độ lưới Bậc tự do 
Ứng suất 
von-Mises 
Bậc 2 - IGA 1x1x1 1081 61841232,56 
 3x3x1 300 61697272,37 
 5x5x1 588 61691220,84 
 9x9x1 1452 61684001,83 
 12x12x1 2352 61683544,65 
Bậc 3 - IGA 1x1x1 256 61752353,39 
 3x3x1 576 61683919,06 
 5x5x1 1024 61683733,55 
 9x9x1 2304 61683386,25 
 12x12x1 3600 61683358,49 
Bậc 4 - IGA 1x1x1 500 61701831,93 
 3x3x1 980 61683864,14 
 5x5x1 1620 61683477,12 
 9x9x1 3380 61683387,61 
 12x12x1 5780 61683334,31 
Do bài toán đối xứng ở hình học, vật liệu và 
điều kiện biên nên chúng tôi sẽ khảo sát ở 1/4 mô 
hình. Hình 5.a mô tả kết quả phân bố nhiệt độ của 
bài toán và đồ thị so sánh kết quả phân bố nhiệt 
của IGA so với phần mềm thương mại COMSOL 
được thể hiện ở hình 5.b. Tương tự ở hình 6.a thể 
hiện kết quả ứng suất von-Mises của bài toán và 
hình 6.b biễu diễn đồ thị so sánh kết quả ứng suất 
von-mises với phần mềm thương mại COMSOL. 
(a) 
58 Science and Technology Development Journal, vol 20, no.K3- 2017 
(b) 
Hình 5. Kết quả phân bố nhiệt độ (a) và đồ thị so sánh phân 
bố nhiệt độ (b) của bài toán 
(a) 
(b) 
Hình 6. Kết quả ứng suất von-Mises (a) và đồ thị so sánh ứng 
suất von-Mises (b) của bài toán 
4 KẾT LUẬN 
Qua việc phân tích một số bài toán ở trên, ta có 
thể nhận thấy rằng phân tích đẳng hình học dựa 
vào hàm cơ sở NURBS là công cụ tính toán hiệu 
quả cho việc phân tích bài toán cơ nhiệt ba chiều. 
Phương pháp này cho phép xây dựng hình học 
chính xác, đồng thời có thể điều khiển lưới một 
cách dễ dàng bằng cách nâng bậc (nâng tính liên 
tục giữa các phần tử) cũng như tăng mật độ lưới 
để có được kết quả hội tụ nhanh nhất. Phân tích 
đẳng hình học sử dụng hàm xấp xỉ bậc cao và có 
tính liên tục bậc cao giữa các phần tử. Nhờ vào 
tính chất này mà ta có thể mô hình bài toán với số 
bậc tự do thấp nhưng vẫn đạt được lời giải hội tụ 
so với nghiệm tham khảo, được thể hiện ở hình 4. 
Điều này giúp ta giảm tài nguyên khi tính toán. Vì 
thế, IGA hứa hẹn được sử dụng hiệu quả để phân 
tích bài toán cơ nhiệt quá độ với mô hình vật liệu 
FGM và nhiều mô hình vật liệu có tính chất phức 
tạp khác, vốn những loại bài toán này đòi hỏi rất 
lớn về tài nguyên máy tính để lưu trữ kết quả thay 
đổi theo thời gian. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] A.M. Afsar, J. Go, "Finite element analysis of 
thermoelastic field in a rotating FGM circular disk", 
Applied Mathematical Modelling, no. 34, pp. 3309-
3320, 2014. 
[2] S.M. Hosseini, J. Sladek, V. Sladek, "Meshless local 
Petrov–Galerkin method for coupled thermoelasticity 
analysis of a functionally graded thick hollow cylinder", 
Engineering Analysis with Boundary Elements, no. 35, 
pp. 827–835, 2011. 
[3] A.H. Akbarzadeh, M. Abbasi, M.R. Eslami, "Coupled 
thermoelasticity of functionally graded plates based on 
the third-order shear deformation theory", Thin-Walled 
Structures, no. 53, pp. 141-155, 2012. 
[4] Hughes et al., "Isogeometric analysis: CAD, finite 
elements, NURBS, exact geometry and mesh 
refinement", Computer Methods in Applied Mechanics 
and Engineering, no. 194, pp. 4135-4195, 2005. 
[5] N. X. Hùng, “Phân Tích Đẳng Hình Học”, NXB 
ĐHQG-TPHCM, Vietnam, 2015, trang 251-263. 
[6] N. Zander, S. Kollmannsberger, M. Ruess, Z. Yosibash 
and E. Rank, "The Finite Cell Method for linear 
thermoelasticity", Computers and Mathematics with 
Applications, no. 64, p. 3527–3541, 2012. 
Nguyễn Duy Khương đã tốt nghiệp cao học 
ngành Cơ học Kỹ thuật tại Trường Đại học Bách 
Khoa – ĐHQG-HCM vào năm 2010. Là cán bộ 
giảng dạy tại trường Đại học Bách Khoa – 
ĐHQG-HCM từ năm 2011 đến nay. 
Nguyễn Mạnh Tiến được sinh ra tại Tây Ninh, 
Việt Nam năm 1994. Tốt nghiệp đại học chuyên 
nghành Cơ Kỹ Thuật tại Đại học Bách Khoa – 
ĐHQG-HCM năm 2017. 
Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ, tập 20, số K3-2017 
59 
Võ Trung Chiến sinh ra tại Khánh Hòa, Việt 
Nam năm 1994. Tốt nghiệp chuyên ngành Cơ Kỹ 
Thuật tại Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM năm 
2017. Lĩnh vực quan tâm nghiên cứu là tối ưu hóa 
và phân tích đẳng hình học. 
Nguyễn Xuân Hùng hiện giữ chức danh Phó 
Giáo sư vào năm 2013, tốt nghiệp Tiến sỹ ngành 
Cơ học Tính toán tại Đại học Liege (Bỉ), hiện là 
Giám đốc Trung tâm Nghiên cứu liên ngành thuộc 
Đại học Công nghệ Tp.HCM (HUTECH) và cũng 
là thành viên của Viện Khoa học phục hồi Sau đại 
học Đại học Y Đài Loan (Trung Quốc) đầu năm 
2015. 
Vũ Công Hòa đạt chức danh Phó Giáo sư vào 
năm 2016, hiện đang là Chủ nhiệm bộ môn Cơ Kỹ 
thuật, Khoa Khoa học Ứng dụng, Trường Đại học 
Bách Khoa – ĐHQG-HCM 
Abstract— The objective of this paper is apply isogeometric analysis (IGA) to analyze thermoelastic behavior of 
functionally graded material (FGM) structures. IGA is built on NURBS basis functions used to model exact 
geometries with higher-order approached functions. The FGM is a type of advanced composite material has material 
properties is continuous distributed variation through thickness direction. The results are verified with other 
numerical results and results from COMSOL commercial software. 
Index Terms— FGM, IGA 
Analyze thermo-mechanical problem by 
isogeometric analysis for structures used 
functionally graded material 
Nguyen Duy Khuong, Nguyen Manh Tien, Vo Trung Chien, Nguyen Xuan Hung, Vu Cong Hoa