Phân tích dao động riêng của tấm bằng vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2018. 12 (7): 9–19
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU RỖNG
THEO LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT
Lê Thanh Hảia,∗, Trần Minh Túb, Lê Xuân Huỳnhb
aKhoa Xây dựng, Trường Đại học Vinh, 182 đường Lê Duẩn, thành phố Vinh, tỉnh Nghệ An, Việt Nam
bKhoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng,
55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam
Nhận ngày 01/10/2018, Sửa xong 29/11/2018, Chấp nhận đăng 30/11/2018
Tóm tắt
Bài báo sử dụng lý thuyết cắt bậc nhất (FSDT) của Reissner-Mindlin để phân tích dao động riêng của tấm chữ
nhật làm bằng vật liệu rỗng. Do sự phân bố liên tục và không đều của các lỗ rỗng làm cho mô đun đàn hồi
và mật độ khối lượng của vật liệu biến đổi trơn theo tọa độ chiều dày tấm với hai dạng phân bố (đối xứng và
bất đối xứng). Hệ phương trình chuyển động của tấm được thiết lập theo nguyên lý Hamilton. Ảnh hưởng của
hệ số mật độ lỗ rỗng, dạng phân bố lỗ rống và các tham số kích thước hình học của tấm đến tần số dao động
riêng được khảo sát. Độ tin cậy của lời giải được kiểm chứng qua so sánh kết quả số với kết quả đã công bố cho
trường hợp tấm bằng vật liệu đẳng hướng.
Từ khoá: dao động riêng; tấm vật liệu rỗng; lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất.
VIBRATION ANALYSIS OF POROUS MATERIAL PLATE USING THE FIRST-ORDER SHEAR DEFOR-
MATION THEORY
Abstract
In this paper the first-order shear deformation theory (FSDT) is used to analyze the free vibration of the rect-
angular plate made of porous materials. The elasticity moduli and mass density of porous materials are as-
sumed to be graded in the thickness direction according to two different distribution types (symmetric and
un-symmetric). Based on the Hamilton’s principle, the equations of motion are derived. The effect of porosity
coeficient, varying porosity distributions, and geometrical parameters on natural frequencies are investigated.
To verify the reliability of the present solution, the comparisons between the obtained results and those available
in the literature are performed for isotropic plate, and very good agreement is observed.
Keywords: vibration analysis; porous material plate; fisrt shear deformation theory.
https://doi.org/10.31814/stce.nuce2018-12(7)-02 c© 2018 Trường Đại học Xây dựng (NUCE)
1. Giới thiệu
Vật liệu rỗng là loại vật liệu trong đó một thành phần ở dạng rắn, thành phần kia ở dạng lỗ rỗng
trong cấu trúc vật liệu. Các lỗ rỗng này phân bố liên tục với một quy luật nhất định nhằm đạt được
những tính chất cơ học mong muốn của người thiết kế. Do có trọng lượng nhẹ, các kết cấu bằng vật
liệu rỗng được sử dụng trong nhiều lĩnh vực công nghiệp: hàng không, chế tạo ô tô, tàu biển, xây dựng
dân dụng, . . . Tính chất hấp thụ năng lượng của vật liệu rỗng được sử dụng để giảm ồn, cách âm và
chế tạo những cấu kiện chịu được tải trọng động, tải trọng va chạm. Các nghiên cứu về ứng xử cơ học
∗Tác giả chính. Địa chỉ e-mail: haidhvinh@gmail.com (Hải, L. T.)
9
Hải, L. T. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
của các kết cấu bằng vật liệu rỗng luôn là đề tài thu hút sự quan tâm của các nhà khoa học trong và
ngoài nước thể hiện qua một số lượng lớn các công bố trong thời gian gần đây.
Magnucka-Blandzi [1] tính toán độ võng và lực tới hạn cho tấm tròn bằng vật liệu rỗng liên kết
khớp trên chu tuyến chịu tải nén đều trong mặt trung bình và tải trọng uốn đối xứng trục. Mojahedin
[2] phân tích ổn định của tấm tròn bằng vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Lời giải
chính xác cho dao động tự do của tấm dày hình chữ nhật làm bằng vật liệu rỗng ở trạng thái bão hòa
nước được trình bày trong [3] dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc ba và xem xét ảnh hưởng của chất
lỏng trong mạng lưới lỗ rỗng của vật liệu, điều kiện biên, ảnh hưởng của chất lỏng, kích thước hình
học và mật độ phân bố lỗ rỗng cũng đã được khảo sát. Arani và cộng sự [4] nghiên cứu dao động tự
do của tấm chữ nhật trên nền Winkler làm bằng vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc ba của
Reddy, tần số dao động xác định bằng phương pháp DQM (differential quadrature method). Leclaire
[5] đã phân tích dao động riêng của tấm mỏng chữ nhật làm bằng vật liệu rỗng có dạng bão hòa bởi
chất lỏng.
Mục đích của bài báo là thiết lập các hệ thức, các phương trình chủ đạo của tấm vật liệu rỗng
theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Dạng nghiệm theo Navier được sử dụng nhằm xác định tần số
dao động riêng của tấm chữ nhật tựa khớp trên chu vi. Các ví dụ kiểm chứng sẽ được thực hiện qua
so sánh với một số kết quả đã có khi đưa bài toán về trường hợp riêng cho vật liệu đẳng hướng. Ảnh
hưởng của mật độ lỗ rỗng, kích thước hình học của tấm đến tần số dao động riêng sẽ được khảo sát.
2. Mô hình tấm bằng vật liệu rỗng
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng là vật liệu đàn hồi tuyến tính, có kích thước các cạnh a × b,
chiều dày h. Mặt phẳng trung bình là mặt phẳng Oxy và z là phương chiều dày của tấm (Hình 1). Hệ
số Poisson được giả thiết không đổi theo chiều dày tấm. Các hằng số vật liệu còn lại biến thiên liên
tục theo tọa độ chiều dày tấm với quy luật hàm cosine đơn giản dạng đối xứng (dạng 1) hoặc bất đối
xứng (dạng 2) [6]: 
E(z) = E1
[
1 − e0 cos
(
piz
h
)]
G(z) = G1
[
1 − e0 cos
(
piz
h
)]
ρ(z) = ρ1
[
1 − e0 cos
(
piz
h
)] (1)

E(z) = E1
[
1 − e0 cos
(
pi
2
z
h
+
pi
4
)]
G(z) = G1
[
1 − e0 cos
(
pi
2
z
h
+
pi
4
)]
ρ(z) = ρ1
[
1 − e0 cos
(
pi
2
z
h
+
pi
4
)] (2)
trong đó E1,G1, ρ1 lần lượt là các giá trị lớn nhất của mô đun đàn hồi kéo - nén, mô đun đàn hồi trượt
và khối lượng riêng; E2,G2, ρ2 là các giá trị nhỏ nhất tương ứng. Các hệ số rỗng e0 cho mô đun đàn
hồi và hệ số rỗng em cho khối lượng riêng được tính theo [6]:
e0 = 1 − E1E2 = 1 −
G1
G2
(3)
em = 1 − ρ1
ρ2
= 1 − √1 − e0 (4)
10
Hải, L. T. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
 1 
trong đó lần lượt là các giá trị lớn nhất của mô đun đàn hồi kéo - nén, mô 
đun đàn hồi trượt và khối lượng riêng; là các giá trị nhỏ nhất tương ứng. Các 
hệ số rỗng cho mô đun đàn hồi và hệ số rỗng cho khối lượng riêng được tính theo 
[6]: 
 (3) (4) 
Hình 1. Tấm bằng vật liệu rỗng với các hàm mật độ phân bố lỗ rỗng khác nhau: 
(a) - Dạng 1 và (b) - Dạng 2. 
Từ Hình 2a và biểu thức (1) cho thấy sự phân bố lỗ rỗng theo dạng 1 là đối xứng, 
giá trị lớn nhất của các hằng số vật liệu đạt được ở mặt trên và mặt dưới của tấm, giá trị 
nhỏ nhất đạt được tại mặt trung bình nơi có mật độ lỗ rỗng lớn nhất. Trong khi đó phân 
bố lỗ rỗng theo dạng 2 (Hình 2b) và biểu thức (2) là bất đối xứng, giá trị lớn nhất và nhỏ 
nhất lần lượt đạt được tại mặt trên và dưới tương ứng với vị trí có mật độ lỗ rỗng mật độ 
lỗ rỗng nhỏ nhất và lớn nhất. 
(a) 
(b) 
Hình 2. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo (nén) trong tấm vật liệu rỗng, phân 
bố dạng 1 (hình a), phân bố dạng 2 (hình b) 
1 1 1, ,E G r
2 2 2, ,E G r
0e me
1 1
0
2 2
1 1E Ge
E G
= - = - 1 0
2
1 1 1me e
r
r
= - = - -
(a) Dạng 1
 1 
trong đó lần lượt là các giá trị lớn nhất của mô đun đàn hồi kéo - nén, mô 
đun đàn hồi trượt và khối lượng riêng; là các giá trị nhỏ nhất tương ứng. Các 
hệ số rỗng cho mô đun đàn hồi và hệ số rỗng cho khối lượng riêng được tính theo 
[6]: 
 (3) (4) 
Hình 1. Tấm bằng vật liệu rỗng với các hàm mật độ phân bố lỗ rỗng khác nhau: 
(a) - Dạng 1 và (b) - Dạng 2. 
Từ Hình 2a và biểu thức (1) ho thấy sự phân bố lỗ rỗng theo dạng 1 là đối xứng, 
giá trị lớn nhất của các hằng số vật liệu đạt được ở mặt trên và mặt dưới của tấm, giá trị 
nhỏ nhất đạt được tại mặt trung bình nơi có mật độ lỗ rỗng lớn nhất. Trong khi đó p ân 
bố lỗ rỗng theo dạng 2 (Hình 2b) và biểu thức (2) là bất đối xứng, giá trị lớn nhất và nhỏ 
nhất lần lượt đạt được tại mặt trên và dưới tương ứng với vị trí có mật độ lỗ rỗng mật độ 
lỗ rỗng nhỏ nhất và lớn nhất. 
(a) 
(b) 
Hình 2. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo (nén) trong tấm vật liệu rỗng, phân 
bố dạng 1 (hình a), phân bố dạng 2 (hình b) 
1 1 1, ,E G r
2 2 2, ,E G r
0e me
0
2 2
1 1E Ge
E G
= - = - 1 0
2
1 1 1me e
r
r
= - = - -
(b) Dạng 2
Hình 1. Tấm bằng vật liệu rỗng với các hàm mật độ phân bố lỗ rỗng khác nhau
Từ Hình 2(a) và biểu thức (1) cho thấy sự phân bố lỗ rỗng theo dạng 1 là đối xứng, giá trị lớn nhất
của các hằng số vật liệu đạt được ở mặt trên và mặt dưới của tấm, giá trị nhỏ nhất đạt được tại mặt
trung bình nơi có mật độ lỗ rỗng lớn nhất. Trong khi ó phân bố lỗ rỗng theo dạng 2 (Hình 2(b)) và
biểu thứ (2) là bất đối xứn , giá trị lớn nhất và nhỏ nhất lần lượt đạt được tại mặt trên và dưới tương
ứng với vị trí có mật độ lỗ rỗng mật độ lỗ rỗng nhỏ nhất và lớn nhất.
 1 
trong đó lần lượt là các giá trị lớn nhất của mô đun đàn hồi kéo - nén, mô 
đun đàn hồi trượt và khối lượ riêng; là các giá trị nhỏ nhất tương ứng. Các 
hệ số rỗng cho mô đun đàn hồi và hệ số rỗng cho khối lượng riêng được tính theo 
[6]: 
 (3) (4) 
Hình 1. Tấm bằng vật liệu rỗng với các hàm mật độ phân bố lỗ rỗng khác nhau: 
(a) - Dạng 1 và (b) - Dạng 2. 
Từ Hình 2a và biểu thức (1) cho thấy sự phân bố lỗ rỗng theo dạng 1 là đối xứng, 
giá trị lớn nhất của các hằng số vật liệu đạt được ở mặt trên và mặt dưới của tấm, giá trị 
nhỏ ất đạt được tại mặt trung bình nơi có mật độ lớn nhất. Trong khi đó phân 
bố lỗ rỗng theo dạng 2 (Hình 2b) và biểu thức (2) là bất đối xứng, giá trị lớn nhất và nhỏ 
nhất lần lượt đạt được tại mặt trên và dưới tương ứng với vị trí có mật độ lỗ rỗng mật độ 
lỗ rỗng nhỏ nhất và lớn nhất. 
(a) 
(b) 
Hình 2. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo (nén) trong tấm vật liệu rỗng, phân 
bố dạng 1 (hình a), phân bố dạng 2 (hình b) 
1 1 1, ,E G r
2 2 2, ,E G r
0e me
1 1
0
2 2
1 1E Ge
E G
= - = - 1 0
2
1 1 1me e
r
r
= - = - -
(a) Phân bố dạng 1
 1 
trong đó lần lượt là các giá trị lớn nhất của mô đun đàn hồi kéo - nén, mô 
đun đàn hồi trượt và khối lượng riêng; là các giá trị nhỏ nhất tương ứng. Các 
hệ số rỗng cho mô đun đàn hồi và hệ số rỗng cho khối lượng riêng được tính theo 
[6]: 
 (3) (4) 
Hình 1. Tấm bằng vật liệu rỗng với các hàm mật độ phân bố lỗ rỗng khác nhau: 
(a) - Dạng 1 và (b) - Dạng 2. 
Từ Hình 2a và biểu thức (1) cho thấy sự phân bố lỗ rỗng theo dạng 1 là đối xứng, 
giá trị lớn nhất của các hằng số vật liệu đạt được ở mặt trên và mặt dưới của tấm, giá trị 
nhỏ nhất đạt được tại mặt trung bình nơi có mật độ lỗ rỗng lớn nhất. Trong khi đó phân 
bố lỗ rỗ g t eo dạng 2 (Hình 2b) và biểu thức (2) là bấ đối xứng, giá trị lớn t và nhỏ 
nhất lần lượt đ t được tại mặt trên và dưới tương ứng với vị trí ó mật độ lỗ rỗng mật độ 
lỗ rỗng nhỏ nhất và lớ nhất. 
(a) 
(b) 
Hình 2. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo (né ) trong tấm vật liệu rỗng, phân 
bố dạng 1 (hình a), phân bố dạng 2 (hình b)
1 1 1, ,E G r
2 2 2, ,E G r
0e me
1 1
0
2 2
1 1E Ge
E G
= - = - 1 0
2
1 1me
r
r
= - = -
(b) Phân bố dạng 2
Hình 2. Biế thiên của mô đun àn hồi éo (nén) trong tấm vật liệu rỗng
11
Hải, L. T. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
3. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Reissner – Mindlin
3.1. Các thành phần chuyển vị
Trường chuyển vị theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất giả thiết dưới dạng [7]:
u(x, y, z) = u0(x, y) + zθx(x, y)
v(x, y, z) = v0(x, y) + zθy(x, y)
w(x, y, z) = w0(x, y) = w(x, y)
(5)
trong đó u0, v0,w0 là các thành phần chuyển vị của điểm trên mặt trung bình theo các phương x, y, z.
θx, θy là các góc xoay của pháp tuyến mặt trung bình quanh trục y, x.
3.2. Các thành phần biến dạng
Trường biến dạng được suy ra từ trường chuyển vị thông qua các biểu thức quan hệ chuyển vị -
biến dạng, biểu diễn dưới dạng:
{ε} = {ε0}T + z{κ}T (6)
trong đó
{ε} =
{
εxx, εyy, εxy, γxz, γyz
}T
{
ε0
}
=
{
ε0xx, ε
0
yy, ε
0
xy, γ
0
xz, γ
0
yz
}T
=
{
∂u0
∂x
,
∂v0
∂y
,
∂u0
∂y
+
∂v0
∂x
,
∂w0
∂x
+ θx,
∂w0
∂y
+ θy
}T
{κ} =
{
κx, κy, κxy, 0, 0
}T
=
{
∂θx
∂x
,
∂θy
∂y
,
∂θx
∂y
+
∂θy
∂x
, 0, 0
}T (7)
3.3. Các thành phần ứng suất
Quan hệ tuyến tính giữa ứng suất – biến dạng trong tấm bằng vật liệu rỗng được viết với dạng sau:
σxx
σyy
σxy
σxz
σyz

=

Q11 Q12 0 0 0
Q21 Q22 0 0 0
0 0 Q66 0 0
0 0 0 Q44 0
0 0 0 0 Q55


εxx
εyy
γxy
γxz
γyz

= [Q] {ε} (8)
trong đó
Q11 =
E(z)
1 − ν2 = Q22; Q12 =
νE(z)
1 − ν2 = Q21; Q44 = Q55 = Q66 =
E(z)
2 (1 + ν)
(9)
3.4. Các thành phần nội lực
Các thành phần nội lực trong tấm được xác định theo các biểu thức định nghĩa có dạng sau:

Nxx
Nyy
Nxy
 =
h
2∫
− h2

σxx
σyy
σxy
dz;

Mxx
Myy
Mxy
 =
h
2∫
− h2

σxx
σyy
σxy
zdz;
{
Qx
Qy
}
= k
h
2∫
− h2
{
σxz
σyz
}
dz (10)
12
Hải, L. T. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
với k = 5/6l hệ số hiệu chỉnh cắt.
Quan hệ ứng lực – chuyển vị có thể biểu diễn tổng quát dưới dạng:

Nxx
Nyy
Nxy
Mxx
Myy
Mxy
Qx
Qy

=

A11 A12 0 B11 B12 0 0 0
A12 A11 0 B12 B11 0 0 0
0 0 A66 0 0 B66 0 0
B11 B12 0 D11 D12 0 0 0
B12 B11 0 D12 D11 0 0 0
0 0 B66 0 0 D66 0 0
0 0 0 0 0 0 A44 0
0 0 0 0 0 0 0 A55


∂u0
∂x
∂v0
∂y
∂u0
∂y
+
∂v0
∂x
∂θx
∂x
∂θy
∂y
∂θx
∂y
+
∂θy
∂x
∂w0
∂x
+ θx
∂w0
∂y
+ θy

(11)
trong đó
Ai j =
h
2∫
− h2
Qi jdz; Bi j =
h
2∫
− h2
Qi jzdz; Dij =
h
2∫
− h2
Qi jz2dz; A44 = A55 = k
h
2∫
− h2
Q44dz (12)
4. Hệ phương trình chuyển động theo các thành phần chuyển vị
Sử dụng nguyên lý Hamilton ta nhận được hệ phương trình chuyển động biểu diễn dưới dạng [7]:
δu0 :
∂Nxx
∂x
+
∂Nxy
∂y
= I0
∂2u0
∂t2
+ I1
∂2θx
∂t2
δv0 :
∂Nxy
∂x
+
∂Nyy
∂y
= I0
∂2v0
∂t2
+ I1
∂2θy
∂t2
δw0 :
∂Qx
∂x
+
∂Qy
∂y
= I0
∂2w0
∂t2
δθx :
∂Mx
∂x
+
∂Mxy
∂y
− Qx = I1 ∂
2u0
∂t2
+ I2
∂2θx
∂t2
δθx :
∂My
∂y
+
∂Mxy
∂x
− Qy = I1 ∂
2v0
∂t2
+ I2
∂2θy
∂t2
(13)
trong đó các thành phần mô men quán tính được tính theo công thức
I0, I1, I2 =
h
2∫
− h2
ρ(1, z, z2)dz (14)
13
Hải, L. T. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Thay các thành phần ứng lực biểu diễn qua chuyển vị theo (11) vào hệ phương trình (13), ta nhận
được hệ phương trình chuyển động theo các thành phần chuyển vị, có dạng:
A11
∂2u0
∂x2
+ A66
∂2u0
∂y2
+ (A12 + A66)
∂2v0
∂x∂y
+ B11
∂2θx
∂x2
+ B66
∂2θx
∂y2
+
+ (B12 + B66)
∂2θy
∂x∂y
= I0
∂2u0
∂t2
+ I1
∂2θx
∂t2
A11
∂2v0
∂y2
+ A66
∂2v0
∂x2
+ (A12 + A66)
∂2u0
∂x∂y
+ B11
∂2θy
∂y2
+ B66
∂2θy
∂x2
+
+ (B12 + B66)
∂2θx
∂x∂y
= I0
∂2v0
∂t2
+ I1
∂2θy
∂t2
A44(
∂2w0
∂x2
+
∂θx
∂x
) + A55(
∂2w0
∂y2
+
∂θy
∂y
) = I0
∂2w0
∂t2
B11
∂2u0
∂x2
+ B66
∂2u0
∂y2
+ (B12 + B66)
∂2v0
∂x∂y
+ D11
∂2θx
∂x2
+ D66
∂2θx
∂y2
− A44θx+
+ (D12 + D66)
∂2θy
∂x∂y
− A44 ∂w0
∂x
= I1
∂2u0
∂t2
+ I2
∂2θx
∂t2
B11
∂2v0
∂y2
+ B66
∂2v0
∂x2
+ (B12 + B66)
∂2u0
∂x∂y
+ D11
∂2θy
∂y2
+ D66
∂2θy
∂x2
− A55θy+
+ (D12 + D66)
∂2θx
∂x∂y
− A55 ∂w0
∂y
= I1
∂2v0
∂t2
+ I2
∂2θy
∂t2
(15)
5. Lời giải Navier cho tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng có kích thước như Hình 1, liên kết khớp trên chu vi với các
điều kiện biên như sau:
x = 0 : u0 = v0 = w0 = 0,Mx = 0; x = a : v0 = w0 = 0,Mx = 0
y = 0 : u0 = v0 = w0 = 0,My = 0; y = b : v0 = w0 = 0,My = 0
(16)
Hàm chuyển vị cần tìm trong (15) được giả thiết dưới dạng chuỗi lượng giác kép thỏa mãn điều
kiện biên (16) có dạng:
u0(x, y, t) =
∞∑
m=1
∞∑
n=1
u0mn cosαx sin βy.eiωmnt
v0(x, y, t) =
∞∑
m=1
∞∑
n=1
v0mn sinαx cos βy.eiωmnt
w0(x, y, t) =
∞∑
m=1
∞∑
n=1
w0mn sinαx sin βy.eiωmnt
θx(x, y, t) =
∞∑
m=1
∞∑
n=1
θ0xmn cosαx sin βy.eiωmnt
θy(x, y, t) =
∞∑
m=1
∞∑
n=1
θ0ymn sinαx cos βy.eiωmnt
(17)
14
Hải, L. T. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
v0(x, y, t) =
∞∑
m=1
∞∑
n=1
v0mn sinαx cos βy.eiωmnt
w0(x, y, t) =
∞∑
m=1
∞∑
n=1
w0mn sinαx sin βy.eiωmnt
θx(x, y, t) =
∞∑
m=1
∞∑
n=1
θ0xmn cosαx sin βy.eiωmnt
θy(x, y, t) =
∞∑
m=1
∞∑
n=1
θ0ymn sinαx cos βy.eiωmnt
trong đó α =
mpi
a
; β =
npi
b
; với m, n là số nửa bước sóng hình sin theo phương x, y; ωmn là tần số dao
động riêng (tần số góc) tương ứng với dạng dao động (m, n).
Thay biểu thức (17) vào hệ phương trình chuyển động theo chuyển vị (15), ta nhận được hệ phương
trình viết dưới dạng rút gọn: (
[S ]5×5 − ω2[M]5×5
)
{q}5×1 = {0}T5×1 (18)
trong đó [S ] là ma trận các hệ số độ cứng, [M] là ma trận khối lượng.
{q} =
{
u0mn v0mn w0mn θxmn θymn
}T
(19)
Nhờ sự trợ giúp của phần mềmMatlab giải bài toán tìm trị riêng của phương trình [S ]−ω2[M] = 0
ta tìm được tần số dao động riêng ωmn của tấm bằng vật liệu rỗng.
6. Kết quả số và thảo luận
6.1. Bài toán kiểm chứng
Với nghiệm giải tích đã thiết lập ở phần trên, chương trình tính trên nền Matlab được viết để thực
hiện các ví dụ số. Thông số kích thước và các hằng số vật liệu của tấm trong bài toán kiểm chứng cho
trong Bảng 1.
Bảng 1. Thông số kích thước và vật liệu tấm cho ví dụ kiểm chứng
h (m) a/h b/a E1 (Pa) ν e0
0,1 5, 10, 20 1 380 × 109 0,3 0
Tần số dao động cơ bản không thứ nguyên (m = n = 1) tính theo: ω = ωh
√
ρc
Ec
.
Khi cho e0 = 0 ta nhận được tần số dao động riêng không thứ nguyên của tấm vuông bằng vật liệu
đẳng hướng, các kết quả này được so sánh với các kết quả của Zhao trong [8] sử dụng phương pháp
không lưới Ritz và Thai Huu-Tai [9] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn theo lý thuyết biến dạng
cắt bậc cao (HSDT) tính toán cho tấm vuông bằng vật liệu FGM trong trường hợp p = 0. Sự tương
đồng của các kết quả trong Bảng 2 cho thấy độ tin cậy của nghiệm giải tích và chương trình tính mà
bài báo đã xây dựng.
15
Hải, L. T. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Bảng 2. Tần số dao động cơ bản không thứ nguyên của tấm vuông bằng vật liệu đẳng hướng
Mô hình (m, n) Hệ số e0
Tỷ số a/h
5 10 20
HSDT [9] 0,2113 0,0577 0,0148
FSDT [8] (1, 1) 0 0,2055 0,0568 0,0146
FSDT 0,2112 0,0577 0,0148
6.2. Ảnh hưởng của mật độ phân bố lỗ rỗng và kích thước hình học
Tấm bằng vật liệu rỗng bốn biên tựa khớp, có chiều dày h = 0, 1 m, mô đun đàn hồi lớn nhất của
vật liệu E1 = 380 × 109 Pa.
a. Ảnh hưởng của mật độ phân bố lỗ rỗng đến tần số dao động riêng ω
Xét tấm chữ nhật có tỷ số a/h = 10, b/a = 2. Ba tần số dao động riêng đầu tiên của tấm vật liệu
rỗng với hệ số mật độ lỗ rỗng e0 thay đổi từ 0 đến 0,9 theo hai dạng phân bố đối xứng và bất đối xứng
trình bày trong Bảng 3. Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của tần số dao động riêng theo e0 biểu diễn trên
Hình 3.
Bảng 3. Ảnh hưởng của mật độ lỗ rỗng đến các tần số dao động riêng ω[103 Hz]
Dạng phân bố (m, n)
Hệ số mật độ lỗ rỗng
0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9
Dạng 1 (ĐX) (1, 1) 0,1838 0,1863 0,1925 0,2006 0,2117 0,2281
(1, 2) 0,2904 0,2943 0,3038 0,3162 0,3332 0,3581
(2, 1) 0,5954 0,6030 0,6210 0,6444 0,6762 0,7221
Dạng 2 (BĐX) (1, 1) 0,1838 0,1842 0,1845 0,1831 0,1771 0,1563
(1, 2) 0,2904 0,2910 0,2915 0,2893 0,2800 0,2477
(2, 1) 0,5954 0,5967 0,5975 0,5933 0,5756 0,5127
 1 
Tấm bằng vật liệu rỗng bốn biên tựa khớp, có chiều dày , mô đun đàn hồi 
lớn nhất của vật liệu 
a) Ảnh hưởng của mật độ phân bố lỗ rỗng đến tần số dao động riêng 
Xét tấm chữ nhật có tỷ số , . Ba tần số dao động riêng đầu tiên 
của tấm vật liệu rỗng với hệ số mật độ lỗ rỗng thay đổi từ 0 đến 0,9 theo hai dạng phân 
bố đối xứng và bất đối xứng trình bày trong Bảng 3. Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của 
tần số dao động riêng theo biểu diễn trên Hình 3. 
Bảng 3. Ảnh hưởng của mật độ lỗ rỗng đến các tần số dao động riêng 
Dạng phân bố (m, n) 
Hệ số mật độ lỗ rỗng 
0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 
Dạng 1 (ĐX) 
(1, 1) 0,1838 0,1863 0,1925 0,2006 0,2117 0,2281 
(1,2) 0,2904 0,2943 0,3038 0,3162 0,3332 0,3581 
(2,1) 0,5954 0,6030 0,6210 ,6444 0,6762 0,7221 
Dạng 2 (BĐX) 
(1, 1) 0,1838 0,1842 0,1845 0,1831 0,1771 0,1563 
(1,2) 0,2904 0,2910 0,2915 0,2893 0,2800 0,2477 
(2,1) 0,5954 0,5967 0,5975 , 933 0,5756 0,5127 
Hình 3. Ảnh hưởng của hệ số mật độ lỗ rỗng đến tần số dao động riêng trong 
trường hợp quy luật phân bố lỗ rỗng dạng 1 (ĐX) và dạng 2 (BĐX) 
,1 h m=
9
1 380 10 E Pa= ´
w
/ 10a h = / 2b a = w
0e
0e
3[10 ]Hzw
0e
Hình 3. Ảnh hưởng của hệ số mật độ lỗ rỗng đến tần số dao động riêng trong trường hợp quy luật phân bố
lỗ rỗng dạng 1 (ĐX) và dạng 2 (BĐX)
16
Hải, L. T. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Từ kết quả trên Bảng 3 và đồ thị trên Hình 3 có thể thấy rằng khi mật độ lỗ rỗng tăng nếu phân bố
theo dạng đối xứng thì tần số dao động tăng, tuy nhiên nếu phân bố theo dạng bất đối xứng thì tần số
dao động giảm. Đặc biệt sự biến thiên nhanh khi mật độ lỗ rỗng e0 ≥ 0, 5. Có thể thấy rằng khi hệ số
mật độ lỗ rỗng thay đổi ảnh hưởng đến độ cứng của tấm; với phân bố đối xứng độ cứng tăng khi e0
tăng, với phân bố bất đối xứng thì ngược lại.
6.3. Ảnh hưởng của tỷ số kích thước các cạnh tấm (b/a), tỷ số kích thước cạnh/chiều dày tấm (a/h)
đến tần số dao động riêng
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng có hệ số mật độ phân bố lỗ rỗng e0 = 0, 5.
Tần số dao động riêng cơ bản với tỷ số b/a thay đổi từ 1 đến 3 (a/h = 10) trình bày trong Bảng 4.
Đồ thị biểu diễn biến thiên của tần số dao động riêng cơ bản theo tỷ số b/a minh họa trên Hình 4.
Bảng 4. Ảnh hưởng của tỷ số b/a đến tần số dao động riêng ω[103 Hz]
Dạng phân bố (a/h = 10)
Tỷ số b/a
1 1,5 2 2,5 3
Dạng 1 (ĐX) 0,3162 0,2309 0,2006 0,1865 0,1788
Dạng 2 (BĐX) 0,2893 0,2109 0,1831 0,1702 0,1631
 1 
Từ kết quả trên Bảng 3 và đồ thị trên Hình 3 có thể thấy rằng khi mật độ lỗ rỗng 
tăng nếu phân bố theo dạng đối xứng thì tần số dao động tăng, tuy nhiên nếu phân bố theo 
dạng bất đối xứng thì tần số dao động giảm. Đặc biệt sự biến thiên nhanh khi mật độ lỗ 
rỗng . Có thể thấy rằng khi hệ số mật độ lỗ rỗng thay đổi ảnh hưởng đến độ cứng 
của tấm; với phân bố đối xứng độ cứng tăng khi tăng, với phân bố bất đối xứng thì 
ngược lại. 
b) Ảnh hưởng của tỷ số kích thước ác cạnh tấm (b/a), tỷ số kích thước cạnh/chiều 
dày tấm (a/h) đến tần số dao động riêng. 
Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng có hệ số mật độ phân bố lỗ rỗng . 
Tần số dao động riêng cơ bản với tỷ số thay đổi từ 1 đến 3 trình 
bày trong Bảng 4. Đồ thị biểu diễn biến thiên của tần số dao động riêng cơ bản theo tỷ số 
 minh họa trên Hình 4. 
Bảng 4. Ảnh hưởng của tỷ số b/a đến tần số dao động riêng 
Dạng phân bố 
Tỷ số 
1 1,5 2 2,5 3 
Dạng 1 (ĐX) , , , 0, 0,178 
Dạng 2 (BĐX) 0,2893 0,2109 0,1831 0,1702 0,1631 
Hình 4. Ảnh hưởng của tỷ số đến tần số dao động cơ bản trong trường hợp 
quy luật phân bố lỗ rỗng dạng 1 (ĐX) và dạng 2 (BĐX) 
Từ bảng 4 và Hình 4 ta thấy tần số dao động riêng của tấm giảm dần khi tỷ số kích 
thước tấm tăng lên. Tần số dao động riêng cơ bản với quy luật phân bố lỗ rỗng theo 
0 0,5e ³
0e
0 0,5e =
/b a ( / = 10)a h
/b a
3[10 ]Hzw
( / = 10)a h
/b a
/b a
/b a
Hình 4. Ả h hưởng của tỷ số b/a đến tần số d o ộ g cơ bản trong trường hợp quy luật phân bố
lỗ rỗng dạng 1 (ĐX) và dạng 2 (BĐX)
Từ Bảng 4 và Hình 4 ta thấy tần số dao động riêng của tấm giảm dần khi tỷ số kích thước tấm b/a
tăng lên. Tần số dao động riêng cơ bản với quy luật phân bố lỗ rỗng theo dạng 1 (đối xứng) luôn lớn
hơn tần số dao động riêng với quy luật phân bố lỗ rỗng theo dạng 2 (bất đối xứng). Khi chuyển từ tấm
vuông sang tấm chữ nhật thì tần số dao động riêng cơ bản sẽ giảm mạnh.
Tần số dao động riêng cơ bản của tấm bằng vật liệu rỗng (b/a = 2) với các tỷ số a/h thay đổi từ
5 đến 100 trình bày trong Bảng 5. Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của tần số dao động riêng theo tỷ số
a/h thể hiện trên Hình 5.
17
Hải, L. T. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Bảng 5. Ảnh hưởng của kích thước tấm đến tần số dao động riêng ω[103 Hz]
Dạng phân bố (b/a = 2)
Tỷ số a/h
5 10 20 50 100
Dạng 1 (ĐX) 0,7484 0,2006 0,0511 0,0082 0,0021
Dạng 2 (BĐX) 0,6903 0,1831 0,0465 0,0075 0,0019
 1 
dạng 1 (đối xứng) luôn lớn hơn tần số dao động riêng với quy luật phân bố lỗ rỗng theo 
dạng 2 (bất đối xứng). Khi chuyển từ tấm vuông sang tấm chữ nhật thì tần số dao động 
riêng cơ bản sẽ giảm mạnh. 
Tần số dao động riêng cơ bản của tấm bằng vật liệu rỗng ( ) với các tỷ số 
 thay đổi từ 5 đến 100 trình bày trong Bảng 5. Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của tần 
số dao động riêng theo tỷ số thể hiện trên Hình 5. 
Bảng 5. Ảnh hưởng của kích thước tấm đến tần số dao động riêng 
Dạng phân bố 
Tỷ số 
5 10 20 50 100 
Dạng 1 (ĐX) 0,7484 0,2 06 0,0511 0,0 82 0,0021 
Dạng 2 (BĐX) 0,6903 0,1831 0,0465 0,0075 0,0019 
Hình 5. Ảnh hưởng của tỷ số đến tần số dao động cơ bản trong trường hợp 
quy luật phân bố lỗ rỗng dạng 1 và dạng 2 
Trong cả hai trường hợp phân bố tần số dao động riêng giảm dần khi tỷ số kích 
thước tấm tăng lên (tức khi tấm càng mỏng), giảm mạnh khi khi thay đổi từ 5 
đến 20, sau đó giảm chậm dần. Quy luật phân bố lỗ rỗng theo dạng 1 (đối xứng) luôn cho 
tần số dao động riêng lớn hơn so với quy luật phân bố theo dạng 2 (bất đối xứng). Tuy 
nhiên tấm cành mỏng ( càng lớn) thì ảnh hưởng của quy luật phân bố lỗ rỗng càng 
giảm. 
7. Kết luận 
Bài báo phân tích dao động riêng của tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng liên kết khớp 
trên chu vi theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Quy luật phân bố lỗ rỗng được giả thiết 
/ 2b a =
/a h
/a h
3[10 ]Hzw
( / = 2)b a
/a h
/a h
/a h /a h
/a h
Hình 5. Ảnh hưởng của tỷ số a/h đến tần số dao động cơ bản tr ng trường hợp quy luật phân bố
lỗ rỗng dạng 1 và dạng 2
Trong cả hai trường hợp phân bố tần số dao động riên giảm dần khi tỷ số kíc t ước tấm a/h
tăng lê (tức khi tấm càng mỏng), giảm mạnh khi a/h thay đổi từ 5 đến 20, sau đó giảm chậm dần.
Quy luật phân bố lỗ rỗng theo dạng 1 (đối xứng) luôn cho tần số dao động riêng lớn hơn so với quy
luật phân bố theo dạng 2 (bất đối xứng). Tuy nhiên tấm cành mỏng (a/h càng lớn) thì ảnh hưởng của
quy luật phân bố lỗ rỗng càng giảm.
7. Kết luận
Bài báo phân tích dao động riêng của tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng liên kết khớp trên chu vi
theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Quy luật phân bố lỗ rỗng được giả thiết biến thiên theo tọa độ
chiều dày tấm với quy luật hàm cosine đơn giản cùng hai dạng phân bố: đối xứng và bất đối xứng.
Nghiệm giải tích dạng nghiệm Navier cùng với chương trình tính viết trên nền Matlab đã được xây
dựng. Ví dụ kiểm chứng được thực hiện cho thấy độ tin cậy của lời giải. Các khảo sát số cho thấy ảnh
hưởng của hệ số mật độ phân bố lỗ rỗng, dạng phân bố lỗ rỗng và các tham số hình học đến tần số
dao động riêng của tấm bằng vật liệu rỗng. Các kết quả nhận được là hữu ích cho công tác nghiên
cứu, thiết kế các kết cấu tấm làm bằng vật liệu rỗng.
18
Hải, L. T. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng
Tài liệu tham khảo
[1] Magnucka-Blandzi, E. (2008). Axi-symmetrical deflection and buckling of circular porous-cellular plate.
Thin-Walled Structures, 46(3):333–337.
[2] Mojahedin, A., Jabbari, M., Khorshidvand, A. R., Eslami, M. R. (2016). Buckling analysis of functionally
graded circular plates made of saturated porous materials based on higher order shear deformation theory.
Thin-Walled Structures, 99:83–90.
[3] Rezaei, A. S., Saidi, A. R. (2015). Exact solution for free vibration of thick rectangular plates made of
porous materials. Composite Structures, 134:1051–1060.
[4] Arani, A. G., Khoddami Maraghi, Z., Khani, M., Alinaghian, I. (2017). Free vibration of embedded porous
plate using third-order shear deformation and poroelasticity theories. Journal of Engineering, 2017.
[5] Leclaire, P., Horoshenkov, K., Cummings, A. (2001). Transverse vibrations of a thin rectangular porous
plate saturated by a fluid. Journal of Sound and Vibration, 247(1):1–18.
[6] Chen, D., Yang, J., Kitipornchai, S. (2016). Free and forced vibrations of shear deformable functionally
graded porous beams. International Journal of Mechanical Sciences, 108:14–22.
[7] Reddy, J. N. (2007). Theory and analysis of elastic plates and shells. Second edition, CRC Press.
[8] Zhao, X., Lee, Y. Y., Liew, K. M. (2009). Free vibration analysis of functionally graded plates using the
element-free kp-Ritz method. Journal of Sound and Vibration, 319(3-5):918–939.
[9] Thai, H.-T., Kim, S.-E. (2013). A simple higher-order shear deformation theory for bending and free
vibration analysis of functionally graded plates. Composite Structures, 96:165–173.
19