Phân tích tuyến tính cọc tiết diện hình chữ nhật chịu tải trọng đứng trong nền đất nhiều lớp

 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 54 
PHÂN TÍCH TUYẾN TÍNH C C TIẾT DIỆN CH NHẬT 
CH U T I TR NG Đ NG TRONG NỀN ĐẤT NHIỀU ỚP 
NGUYỄN VĂN VIÊN* 
NGHIÊM MẠNH HIẾN** 
TRỊNH VIỆT CƢỜNG*** 
Linear analysis of rectangular pile under vertical load in layered soil 
Abstract: This paper presents a new simple method for analyzing linear 
response of single pile with rectangular cross section under vertical load 
in layered soils. The properties of each soil layer are assumed to be 
constant, but can vary from layer to layer. The method is based on energy 
principles and variational approach proposed by Vallabhan and Mustafa 
(1996) with explicit solution by using finite element method in pile 
displacement approximation. The solutions provide vertical displacement 
along the pile, vertical displacement of soil as a function of the radial 
distance at any depth, and equivalent stiffness of pile-soil system. 
Effectiveness of the proposed method is verified by comparing its results to 
analytical solutions and 3D finite element analyses. 
Keywords: Finite element method; Piles; Energy principle; vertical load. 
1. GIỚI THIỆU * 
Phân tích tuyến tính cọc đơn dƣới tác dụng 
của tải trọng đứng đƣợc sử dụng xác định độ 
cứng của hệ cọc-nền đất trong tƣơng tác đất-nền 
móng-kết cấu. Phân tích phi tuyến đồng thời 
cũng dựa trên phân tích tuyến tính. Đã có nhiều 
tác giả nghiên cứu giải bài toán cọc chiu tải 
trọng đứng theo phƣơng pháp giải tích và 
phƣơng pháp số. Đất nền đƣợc giả thiết là đồng 
nhất với các đặc trƣng đàn hồi biến đổi tuyến 
tính theo độ sâu, hoặc nền nhiều lớp. 
Poulos và Davis (1968, 1980) [17][18] phân 
tích chuyển vị của cọc đơn chịu tải trọng đứng 
trong nền đất đàn hồi lý tƣởng với phƣơng trình 
của Mindlin (1936) [10]. Butterfield và 
Banerjee (1971) [3] giải đƣợc chính xác bài toán 
cọc đơn chịu tải trọng đứng trong nền đàn hồi 
tuyến tính đẳng hƣớng dựa trên lời giải của 
* Viện Khoa học Công nghệ Xây dựng, 
 81 Trần Cung, Cầu Giấy, Hà Nội 
 Email: nguyenvienhau@gmail.com 
** Khoa Xây dựng, trường Đại học Kiến trúc Hà Nội 
*** Viện Khoa học Công nghệ Xây dựng 
Mindlin đối với tải trọng tập trung trong nền 
đàn hổi lý tƣởng. 
Lời giải đối với chuyển vị của cọc trong nền 
Gibson (Gibson 1967) [6] trong đó mô đun đàn 
hồi trƣợt biến đổi tuyến tính với độ sâu đƣợc đề 
xuất bởi nhiều tác giả. Randolph vả Wroth 
(1978) [20] đề xuất biểu thức hệ số nền theo lời 
giải xấp xỉ đƣợc sử dụng rộng rãi trong thực tế 
tính toán hiện nay. Poulos (1979) [16] cũng 
trình bày một số lời giải áp dụng cho phân tích 
nền đất ba lớp. Rajapakse (1990) [19] trình bày 
lời giải cho bài toán đàn hồi dựa trên phƣơng 
pháp biến phân kết hợp với tích phân biên. Guo 
và Randolph (1997) [8] dựa trên nghiên cứu của 
Randolph và Wroth (1978) [20] kể đến ảnh 
hƣởng của sự không đồng nhất đến mối quan hệ 
giữa hệ số nền và các đặc trƣng đàn hồi của đất 
nền. Guo (2000) [7] phát triển lời giải gần đúng 
của Guo vả Randolph (1997) [8] để kể đến điều 
kiện mô đun đàn hồi trƣợt khác không ở mặt 
nền. Lời giải đƣợc biểu diễn theo hàm Bessel 
đối với bậc là số thực. 
Lee và công sự (1987) [14] trình bày lời giải 
ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 55 
gần đúng đối với cọc chịu tải trọng đứng trong 
nền nhiều lớp. Lee (1991) [11] sử dụng phƣơng 
pháp truyền tải trọng với hệ số nền đề xuất bởi 
by Randolph và Wroth (1978) [20] khi phân tích 
cọc đơn và nhóm cọc trong nền đất nhiều lớp. 
Lee và Small (1991) [12] đề xuất lời giải tuyến 
tính đối với cọc đứng trong nền hữu hạn các lớp 
đất theo phƣơng pháp phân lớp. Cọc đƣợc mô 
hình bằng phần tử một chiều hai điểm nút. Ứng 
xử của nền liên tục nhiều lớp chịu lực tƣơng tác 
giữa các phần tử cọc tác dụng tại vị trí tiếp xúc 
giữa cọc và đất đƣợc tính toán theo phƣơng 
pháp lớp hữu hạn. Ai và Yue (2009) [1] trình 
bày phân tích tuyến tính đối với cọc đơn trong 
nền đất nhiều lớp sử dụng biến đổi Hankel và 
phƣơng pháp sai phân hữu hạn để xác định 
chuyển vị của cọc và đất nền. Lời giải này đƣợc 
so sánh với các lời giải của Poulos và Davis 
(1980) [18], Randolph và Wroth (1978) [20] đối 
với nền đất đồng nhất, Poulos và Davis (1980) 
[18], Lee và Small (1991) [12], Chin và cộng sự 
(1990) [4], và Guo và cộng sự (1987) [9] đối với 
nền đất hai lớp. Ai và Cheng (2013) [1] trình 
bày phƣơng pháp phần tử biên khi phân tích tĩnh 
cọc đơn chịu tải trọng đứng trong nền nhiều lớp 
theo phƣơng pháp giải tích. 
Vallabhan và Mustafa (1996) [25] đề xuất 
phƣơng pháp tính toán gần đúng đối với cọc 
khoan nhồi trong nền đất hai lớp trong đó mũi 
cọc đặt trên bề mặt lớp đất thứ hai. Phƣơng 
pháp này dựa trên nguyên lý năng lƣợng với giả 
thiết về trƣờng chuyển vị. Phƣơng trình cân 
bằng thu đƣợc từ tối thiểu hàm thế năng hay 
biến phân. Lee và Xiao (1999) [13], Seo và 
Prezzi (2006) [22], và Fidel (2014) [5] phát triển 
phƣơng pháp tính toán do Vallabhan và Mustafa 
(1996) [25] đề xuất đối với nền đất nhiều lớp. 
Lee và Xiao (1999) [13] xây dựng mối quan hệ 
giữa chuyển vị đứng và nội lực trong cọc bằng 
hằng số tích phân xác định bằng việc đƣa vào 
các điều kiện biên. Phƣơng pháp giải lặp đƣợc 
sử dụng để xác định chuyển vị và nội lực trong 
cọc. Kết quả tính toán của Poulos (1979) [20] 
đối với đất nền ba lớp đƣợc sử dụng để kiểm 
chứng với kết quả tính toán theo phƣơng pháp 
phần tử hữu hạn với độ mảnh của cọc và hệ số 
độ cứng khác nhau. Seo và Prezzi (2006) [22], 
Basu và cộng sự (2008) [2] và Seo và cộng sự 
(2009) [23] trình bày lời giải hiện đối với 
phƣơng trình vi phân và hằng số tích phân xác 
định đƣợc bằng cách sử dụng luật Cramer và 
các biểu thức tính lặp. Salgado và cộng sự 
(2013) [21] sử dụng nguyên lý biến phân để 
phân tích chuyển vị của cọc đơn tiết diện tròn 
trong nền nhiều lớp có kể đến chuyển vị theo 
phƣơng đứng và theo phƣơng ngang. 
Cọc tiết diện chữ nhật chịu tải trọng đứng gần 
đây đƣợc nghiên cứu bởi Basu và cộng sự (2008) 
[2] và Seo và cộng sự (2009) [23] dựa trên nguyên 
lý năng lƣợng và biến phân. Hàm suy giảm chuyển 
vị theo mỗi phƣơng cạnh cọc đƣợc giả thiết là khác 
nhau. Lời giải xác định đƣợc biểu thức hệ số nền 
của đất xung quanh thân cọc. Quy trình tính toán 
đƣợc các tác giả đề xuất là khá phức tạp. 
Sử dụng một số phƣơng pháp nhƣ trên khi 
phân tích cọc chịu tải trọng đứng sẽ gặp một số 
khó khăn khi áp dụng trong thực tế do sự phức tạp 
của việc giải phƣơng trình vi phân hoặc của quy 
trình tính toán. Đơn giản và chính xác là hai điều 
kiện quan trọng để phƣơng pháp tính đƣợc áp 
dụng rộng rãi trong thực tế. Trong bài báo này, 
các tác giả trình bày một phƣơng pháp đơn giản 
kết hợp giữa giải tích và phƣơng pháp số trong 
phân tích cọc đơn tiết diện chữ nhật chịu tải trọng 
đứng trong nền nhiều lớp (Nghiem, 2009) [15]. 
Phƣơng trình cân bằng dựa trên phƣơng pháp đề 
xuất bởi Vallabhan và Mustafa (1996) [25] và 
phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Sự khác nhau giữa 
phƣơng pháp của Vallabhan và Mustafa (1996) 
[25], Lee và Xiao (1999) [13], Seo và Prezzi 
(2006) [22], Basu và cộng sự (2008) [2], Seo và 
cộng sự (2009) [23] và phƣơng pháp đề xuất là: 1) 
biểu thức độ cứng tƣơng đƣơng của cọc và 2) quy 
trình tính toán. 
2. MÔ HÌNH TÍNH TOÁN 
Xét cọc tiết diện chữ nhật có chiều dài 
pL với 
kích thƣớc cọc là a và b nhƣ trình bày trên 
hình 1. Cọc chịu tác dụng của tải trọng P đặt tại 
trọng tâm của tiết diện, đất nền có n lớp nằm 
ngang. Cọc xuyên qua m lớp đất và mũi cọc 
đƣợc đặt vào đáy của lớp đất thứ m . Do vậy có 
n m lớp đất nằm dƣới mũi cọc. Chỉ số i đƣợc sử 
 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 56 
dụng để mô tả đặc trƣng của lớp đất thứ i bao 
gồm mô đun đàn hồi, 
iE , hệ số Poisson, i , và 
mô đun đàn hồi trƣợt, 
iG . 
Theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn, cọc 
đƣợc mô hình hóa thành nhiều phần tử thanh 
nhƣ trên hình 1. Phần tử cọc thứ j có chiều dài 
jL nằm trong lớp đất thứ i . Hệ tọa độ trụ đƣợc 
sử dụng trong tính toán với gốc tọa độ đặt tại 
trọng tâm tiết diện ở đỉnh cọc và trục z có chiều 
dƣơng hƣớng từ trên xuống dƣới. Phần tử cọc 
và đất nền xung quanh đƣợc giả thiết là đẳng 
hƣớng, tuyến tính và chuyển vị tại vị trí tiếp xúc 
giữa cọc và đất nền là liên tục. 
Hình 1: Hệ cọc-đất 
3. QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ-ỨNG 
SUẤT-BIẾN DẠNG 
Giả thiết trƣờng chuyển vị là rất quan trọng đối 
với phƣơng pháp năng lƣợng của Vallabhan và 
Mustafa (1996) [25]. Dƣới tác dụng của tải trọng 
đứng, biến dạng theo phƣơng tiếp tuyến là rất nhỏ 
so với biến dạng theo phƣơng đứng nên có thể bỏ 
qua. Salgado và cộng sự (2013) [21] đề xuất 
phƣơng pháp kể đến biến dạng theo phƣơng bán 
kính, tuy nhiên nó khá phức tạp nên biến dạng này 
cũng đƣợc bỏ qua. Do chuyển vị của cọc theo 
phƣơng bán kính giảm dần khi khoảng cách theo 
phƣơng bán kính tăng lên nên trƣờng chuyển vị 
trong đất nền đƣợc xấp xỉ theo biểu thức sau: 
 ,zu r z w z r (1) 
trong đó w z là chuyển vị theo phƣơng 
đứng của cọc tại độ sâu z ; r là hàm không 
thứ nguyên mô tả sự suy giảm chuyển vị của 
cọc theo phƣơng bán kính kể từ tâm cọc. Giả 
thiết là 1r tại pr r và 0r tại 0r với 
pr là bán kính của cọc. 
Với các giả thiết nhƣ trên, quan hệ giữa biến 
dạng và chuyển vị của cọc đƣợc xác định nhƣ sau: 
1
0
1
0
01
r
r
r
r
z
z
r r
rz
z r
z
z
u
r u
uu r
r r
u
dw z
rz
dz
u uu
r r r
d r
u u w r
drr z
uu
r z


  





 





 
        
 
   
 
  
    
  
 
  
 (2) 
Mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của 
đất nền đƣợc viết dƣới dạng tổng quát theo định 
luật Hooke nhƣ sau: 
2 0 0 0
2 0 0 0
2 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
r r
z z
r r
rz rz
z z
G
G
G
G
G
G
 
 
 
   
   
   
 
 
 
   
  
   
(3) 
trong đó G và  và các hằng số Lamé của 
đất nền. 
4. PHƢƠNG TRÌNH C N BẰNG 
Hàm thế năng  của hệ cọc-đất nền đƣợc 
định nghĩa là tổng của năng lƣợng của nội lực 
và của ngoại lực. 
0
2
1 10 0 0
,
1 1
2 2 2
2 2
j jL LN N
j
j kl kl
j j
k z z
dw
E A dz a b r drdz
dz
Pw
   
 
  (4) 
trong đó 
jE là mô đun đàn hồi của phần tử 
cọc thứ j , nếu j m thì j pE E , nếu j m thì 
j iE E ; A là diện tích tiết diện của cọc; ,1jw và 
,2jw tƣơng ứng là chuyển vị của nút đầu và nút 
cuối của phần tử cọc thứ j ; P và 
0,k z z
w tƣơng 
ứng là tải trọng và chuyển vị tại 
0z z . 
Năng lƣợng biến dạng đƣợc xác định theo 
biểu thức: 
2 2
1 1
2
2 2
j
kl kl i i j
dw d
G G w
dz dr

   
 (5) 
ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 57 
trong đó 
kl và kl là các ten xơ ứng suất và 
biến dạng. 
Thế biểu thức (5) vào biểu thức (4), và tích 
phân đối với  , thế năng biến dạng đƣợc xác 
định nhƣ sau: 
0
2
1 0
2 2
1 0
,
1
2
2
j
j
p
L
N
j
j
j
L
N
j
i i i j
j r
k z z
dw
E A dz
dz
dw d
G G w rdrdz
dz dr
Pw


  
 
 
 
(6) 
trong đó pr a b là bán kính tƣơng 
đƣơng của cọc tiết diện chữ nhật. Phƣơng trình 
cân bằng của hệ cọc nền thu đƣợc từ việc tối 
thiểu thế năng hay biến phân bậc nhất của thế 
năng phải bằng không ( 0 ). 
Phƣơng trình vi phân sau đây đối với phần tử 
cọc thu đƣợc từ việc lấy biến phân theo biến 
jw : 
2
2
2
2
2 2
2 0
p
p
j
j i i
r
i j
r
d w
E A G rdr
dz
d
G rdr w
dr
  

 (7) 
Phƣơng trình (7) đƣợc viết gọn lại là: 
2
2
0
j
j j j
d w
t k w
dz
 (8) 
trong đó 
jk và jt là các hệ số nền cắt và nén 
đƣợc xác định theo: 
2
2
p
j i
r
d
k G rdr
dr

 (9) 
 22 2
p
j j i i
r
t E A G rdr  
 (10) 
5. XẤP XỈ CHUYỂN VỊ 
Theo phƣơng pháp phần tử hữu hạn, chuyển 
vị đứng trong phần tử cọc đƣợc xấp xỉ bằng các 
chuyển vị tại hai đầu cọc (hình 2): 
,1 ,1 ,2 ,2j j j j jw N w N w (11) 
trong đó 
,1jw và ,2jw tƣơng ứng là chuyển vị 
đứng của cọc tại nút đầu và nút cuối của phần tử 
cọc thứ j ; ,1jN và ,2jN là các hàm dạng. Các 
hàm dạng đƣợc xác định nhƣ sau: 
,1
,2
cosh sinh cosh sinh
sinh
sinh
sinh
j j j j j j
j
j
j
j
j j
z L L z
N
L
z
N
L
(12) 
trong đó z tọa độ địa phƣơng và j đƣợc 
tính theo biểu thức: 
j
j
j
k
t
 (13) 
Hình 2: Phần tử thanh 
Tối thiểu hàm thế năng bằng cách lấy biến 
phân hàm thế năng theo biến  , phƣơng trình vi 
phân cân bằng của đất nền xung quanh cọc thu 
đƣợc là: 
2
2
2
1
0
d d
r drdr
 
  (14) 
trong đó: 
d
c
 (15) 
2
1 0
jLN
i j
j
c G w dz
  (16) 
2
1 0
2
jLN
j
i i
j
dw
d G dz
dz

 (17) 
Dựa trên biểu thức xấp xỉ chuyển vị theo 
biểu thức (11), giá trị của c và d đƣợc tính toán 
nhƣ sau: 
 
2
,1 ,1 ,2 ,2
1 0
,1 ,22
1
,1 ,2
2 2
,1 ,2
4 cosh
4 sinh
4 sinh
2 sinh 2
jLN
i j j j j
j
N
i
j j j j j j
j j jj
j j j j
j j j j j j
c G N w N w dz
G
L w w L
L
w w L
w w L L
 

(18) 
 
2
,1 ,2
,1 ,2
1 0
,1 ,22
1
,1 ,2
2 2
,1 ,2
2
2
4 cosh
4sinh
4 sinh
2 sinh 2
jLN
j j
i i j j
j
N
i i j
j j j j j j
j jj
j j j j
j j j j j j
dN dN
d G w w dz
dz dz
G
L w w L
L
w w L
w w L L

 
 

(19) 
 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 58 
Phƣơng trình vi phân (14) có dạng của 
phƣơng trình vi phân Bessel cải tiến và lời giải 
cho phƣơng trình vi phân này là: 
 1 0 2 0c I r c K r   (20) 
trong đó 0I là hàm Bessel cải tiến dạng một 
và bậc không, và 0K là hàm Bessel cải tiến dạng 
hai và bậc không. Áp dụng điều kiện biên 1 
tại pr r , và 0 tại r vào biểu thức (20), 
lời giải cho phƣơng trình (14) là: 
0
0 p
K r
K r



 (21) 
Hệ số nền theo biểu thức (9) và (10) đƣợc 
viết nhƣ sau: 
2
2 2
2
0 2 12
0
2
p
j i
r
i p
p p p
p
d
k G rdr
dr
G r
K r K r K r
K r

 
  

 (22) 
2
2
2 2
1 02
0
2 2
2
p
j j i i
r
i i p
j p p
p
t E A G rdr
G r
E A K r K r
K r
  
 
 

 (23) 
6. Giải bài toán 
Thế biểu thức (10) và biểu thức (7) thu đƣợc 
biểu thức nhƣ sau: 
2
,1 ,1
,1 ,2 ,1 ,22
,2 ,2
0
j j
ij j j ij j j
j j
w wd
t N N k N N
w wdz
   
   
   
(24) 
Tích phân biểu thức (24) theo phƣơng pháp 
Galerkin và lý thuyết Green (Smith và Griffiths, 
2004) [24] thu đƣợc biểu thức ma trận độ cứng 
của phần tử cọc nền nhƣ sau: 
 
cosh 1
sinh sinh
cosh1
sinh sinh
j j
j j j j
j jj
j j
j j j j
L
L L
K t
L
L L
(25) 
trong đó  
j
K là ma trận độ cứng của phần tử 
cọc nền thứ j . 
Nếu tải trọng P đặt tại đỉnh cọc, quy trình 
tính toán đơn giản sau đây đƣợc sử dụng để xác 
định độ cứng tƣơng đƣơng của hệ cọc nền, 
chuyển vị và nội lực trong cọc (Hình 3). 
Phƣơng trình cân bằng đối với phần tử cọc 
thứ j đƣợc viết nhƣ sau: 
   
j jj
K u F (26) 
Phƣơng trình (26) đƣợc viết lại dƣới dạng ma 
trận là: 
 
,1 ,1
,2 1 ,2
j j
j
j j j
w P
K
w K w 
   
  
  
 (27) 
trong đó 
,1jP là tải trọng đặt tại đỉnh của phần 
tử cọc; 
1jK là độ cứng tƣơng đƣơng của phần tử 
cọc ( 1)j . Giải phƣơng trình (27), chuyển vị 
đứng tại nút đầu và nút cuối của phần tử cọc là: 
,1
,1
j
j
j
P
w
K
 (28) 
,2 ,1
1cosh sinh
j j
j j
j j j j j j j
t
w w
t L K L
 (29) 
trong đó 
jK là độ cứng tƣơng đƣơng của phần 
tử cọc thứ j trong biểu thức (28) có dạng nhƣ sau: 
2
1
cosh
sinh
sinh cosh sinh
j j j j
j
j j
j j
j j j j j j j j j
t L
K
L
t
L t L K L
(30) 
Xét phần tử cọc cuối cùng ngàm ở nút thứ 2, 
độ cứng tƣơng đƣơng của phần tử này đƣợc xác 
định theo biểu thức sau với 1NK : 
cosh
sinh
N N N N
N
N N
t L
K
L
 (31) 
Hình 3: Quy trình tính toán khi tải trọng đặt tại đỉnh cọc 
Lặp lại quá trình tính toán độ cứng tƣơng 
đƣơng của phần tử cọc từ N đến 1, độ cứng 
tƣơng đƣơng của toàn bộ hệ cọc nền bằng độ 
ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 59 
cứng tƣơng đƣơng của phần tử cọc thứ nhất. 
Chuyển vị tại đỉnh cọc đƣợc tính toán nhƣ sau: 
0 1,1
1
Z
P
w w
K
 (32) 
Vì chuyển vị của nút thứ hai của phần tử thứ 
j là chuyển vị của nút thứ nhất của phần tử thứ 
( 1)j nên chuyển vị đƣợc tính toán từ phần tử 
thứ nhất đến phần tử thứ N theo biểu thức (31). 
Nội lực trong phần tử cũng đƣợc tính toán đồng 
thời với chuyển vị theo biểu thức sau: 
,1 ,1j j jP w K (33) 
Nếu tải trọng P đặt tại mũi cọc nhƣ trong 
trƣờng hợp thí nghiệm nén tĩnh bằng O-Cell, hoặc 
tại điểm bất kỳ nhƣ trong trƣờng hợp tƣơng tác 
giữa các cọc trong nhóm thì đất nền phía trên và 
phía dƣới điểm đặt tải đƣợc tính toán riêng rẽ. 
7. VÍ DỤ TÍNH TOÁN 
Để kiểm tra mức độ chính xác của phƣơng 
pháp tính toán, một số phân tích sau đây đƣợc 
thực hiện để so sánh với kết quả phân tích theo 
phƣơng pháp phần tử hữu hạn ba chiều. 
Cọc Barrette tiết diện chữ nhật trong nền đồng 
nhất có kích thƣớc 2.8 1.0a b m m , chiều dài 
30m, mô đun đàn hồi là 30GPa. Đất nền đồng 
nhất có mô đun đàn hồi 30MPa, hệ số Poisson 
0,3. Cọc chịu tải trọng 1000kN đặt tại đỉnh cọc. 
Mô hình tính toán bao gồm mô hình phần tử hữu 
hạn ba chiều sử dụng phần mềm SSI3D, mô hình 
theo lý thuyết đề xuất cho cọc chữ nhật 
2,8mx1,0m, cọc tròn đƣờng kính 2,4m có chu vi 
tƣơng đƣơng, và cọc tròn đƣờng kính 2,23m có 
diện tích tiết diện tƣơng đƣơng với tiết diện chữ 
nhật. Kết quả tính toán trình bày trong hình 4 với 
sai số chuyển vị của đỉnh cọc tính toán theo 
phƣơng pháp đề xuất so với tính toán theo phần 
tử hữu hạn ba chiều là 25 . Cọc tròn cùng chu vi 
hoặc cùng diện tích tiết diện có chuyển vị xấp xỉ 
với chuyển vị của cọc chữ nhật. 
Cọc Barrette tƣơng tự nhƣ trên nhƣng nằm 
trong nền có 3 lớp đất từ trên xuống bao gồm 
lớp thứ nhất: chiều dày 5m, mô đun đàn hồi 
30GPa; lớp thứ hai: chiều dày 10m, mô đun đàn 
hồi 60GPa; lớp thứ ba: đáy lớp sâu hơn mũi cọc, 
mô đun đàn hồi 90GPa. Các lớp đất đều có cùng 
hệ số Poisson là 0,3. 
Hình 4: Chuyển vị của cọc tiết diện chữ nhật 
trong nền đồng nhất 
Kết quả tính toán chuyển vị cho cọc chữ nhật 
trong nền ba lớp trình bày trong hình 5. Tƣơng 
tự nhƣ đối với nền đất một lớp, sai số chuyển vị 
đỉnh cọc tính toán theo phƣơng pháp đề xuất so 
với phân tích theo phƣơng pháp pháp phần tử 
hữu hạn là 37 . Sai số này cũng phù hợp với 
kết quả nghiên cứu theo Basu và cộng sự (2008) 
hay Seo và cộng sự (2009) do giả thiết bỏ qua 
biến dạng theo phƣơng ngang của đất nền. 
Hình 5: Chuyển vị của cọc tiết diện chữ nhật 
trong nền ba l p 
9. KẾT LUẬN 
Phƣơng pháp đơn giản tính toán ứng xử của cọc 
đơn tiết diện chữ nhật chịu tải trọng đứng đƣợc xây 
dựng dựa trên nguyên lý năng lƣợng và biến phân và 
phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Quy trình tính toán 
đơn giản có thể xác định đƣợc độ cứng tƣơng đƣơng 
của hệ cọc nền, chuyển vị và nội lực trong cọc. Các 
 ĐỊA KỸ THUẬT SỐ 1-2016 60 
kết quả tính toán so sánh với cọc tiết diện tròn cho 
thấy, phƣơng pháp tính toán có độ tin cậy cao phù 
hợp với các giả thiết đƣa ra. Tuy nhiên, kết quả tính 
toán còn sai khác với phƣơng pháp pháp phần tử 
hữu hạn ba chiều do giả thiết bỏ qua biến dạng theo 
phƣơng ngang. Vấn đề này sẽ đƣợc kể đến trong các 
nghiên cứu tiếp theo. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Ai, Z. Y., and Cheng, Y. C. (2013), Analysis of 
vertically loaded piles in multilayered transversely 
isotropic soils by BEM. Engineering Analysis with 
Boundary Elements 37 (2013) 327–335. 
2. Basu, D., Prezzi, M., Salgado, R., and 
Chakraborty, T., (2008), Settlement analysis of piles 
with rectangular cross sections in multi-layered soils. 
Computers and Geotechnics 35 563–575. 
3. Butterfield, R. and Banerjee, P. K. (1971), The 
elastic analysis of compressible piles and pile groups. 
Geotechnique, 21(1), 43-60. 
4. Chin, J.T., Chow, Y.K., and Poulos H.G. (1990), 
Numerical analysis of axially loaded vertical piles and 
pile groups. Comput. Geotechn. 9 (4) 273–290. 
5. Fidel, H., S. (2014). Analytical methods for 
predicting load-displacement behaviour of piles. 
Durham theses, Durham University. 
6. Gibson, R. E. (1967), Some results concerning 
displacements and stresses in a non-homogeneous 
elastic half-space. Geotechnique, 17(1), 58-67. 
7. Guo, W. D. (2000), Vertically loaded single piles in 
Gibson soil. J. Geotech. Geoenviron. Eng., 126(2), 189-193. 
8. Guo, W. D. and Randolph, M. F. (1997), Vertically 
loaded piles in non-homogeneous media. Int. J. Numer. 
Anal. Methods Geomech., 21(8), 507-532. 
9. Guo, D. J., Tham, L. G., and Cheung, Y. K. 
(1987), Infinite layer for the analysis of a single pile. 
Comput. Geotechn. 3 (4) 229–249. 
10. Mindlin, R. D. (1936), Force at a point in the 
interior of a semi-infinite solid. Physics, 7, 195-202. 
11. Lee C. Y. (1991), Discrete layer analysis of 
axially loaded piles and pile groups. Computers 
Geotech., 11(4), 295-313. 
12. Lee, C. Y. and Small, J. C. (1991), Finite-layer 
analysis of axially loaded piles. J. Geotech. Eng., 
117(11), 1706-1722. 
13. Lee, K. M., and Xiao, Z. R. (1999), A new 
analytical model for settlement analysis of a single pile 
in multi-layered soil. Soils Found., 39(5), 131-143. 
14. Lee, S. L., Kog, Y. C., and Karunaratne, G. P. 
(1987), Axially loaded piles in layered soil. J. of 
Geotech. Engrg., ASCE, Vol. 113, No. 4, pp. 366-381. 
15. Nghiem, H., M. (2009). Soil-pile-structure 
interaction effects of high-rise building under seismic 
shaking. Dissertation, University of Colorado Denver. 
16. Poulos, H. G. (1979), Settlement of single piles 
in non-homogeneous soil. J. Geotech. Eng. Div. 
ASCE, 1979, 105(5), 627-641. 
17. Poulos, H. G & Davis, E. H. (1968), The 
settlement behavior of single axially loaded 
incompressible piles and piers. Geotechnique, 18(3), 
pp 351-371. 
18. Poulos, H. G., and Davis, E. H. (1980), Pile 
Foundation Analysis and Design. John Wiley and 
Sons, New York. 
19. Rajapakse, R. K. N. D. (1990), Response of an 
axially loaded elastic pile in a Gibson soil. 
Geotechnique, 40(2), 237-249. 
20. Randolph, M.F., and Wroth, C. P. (1978), Analysis 
of vertical deformation of vertically loaded piles. J. 
Geotech. Eng. Div. ASCE, 104(12), 1465-1488. 
21. Salgado, R., Seo, H., and Prezzi, M. (2013), 
Variational elastic solution for axially loaded piles in 
multilayered soil. Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech. 
37:423–440. 
22. Seo, H., and Prezzi, M. (2007), Analytical 
solutions for a vertically loaded pile in multilayered 
soil. Geomechanics and Geoengineering An 
International Journal, 2 (1), pp 51-60. 
23. Seo, H., Prezzi, M., Basu, D., and Salgado, R., 
(2009), Load-Settlement Response of Rectangular and 
Circular Piles in Multilayered Soil. Journal of 
Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol. 
135, No. 3, March 1. 
24. Smith IM, Griffiths DV (2004), Programming the 
finite element method. John Wiley & Sons, Fourth Edition. 
25. Vallabhan, C.V.G. & Mustafa, G. (1996), A 
new model for the analysis of settlement of drilled 
piers. International Journal of Numerical and 
Analytical Methods in Geomechanics, 20, pp 143-152. 
Người phản biện: PGS.TS VƢƠNG VĂN THÀNH