Phương pháp định hướng nhanh các nguồn tín hiệu sử dụng dàn ăng ten ULA

Kỹ thuật điều khiển & Điện tử 
N. T. Minh, L. T. Hải, N. T. Lưu, “Phương pháp định hướng nhanh  dàn ăng ten ULA.” 48 
PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH HƯỚNG NHANH CÁC NGUỒN TÍN HIỆU 
SỬ DỤNG DÀN ĂNG TEN ULA 
Nguyễn Tuấn Minh1*, Lê Thanh Hải1, Nguyễn Trọng Lưu2 
Tóm tắt: Bài báo trình bày một phương pháp định hướng nhanh các nguồn tín 
hiệu tới không tương quan hoặc tương quan lẫn nhau áp dụng trên dàn ăng ten 
đồng dạng tuyến tính ULA. Phương pháp đề xuất thực hiện biến đổi véc tơ dữ diệu 
(2M +1) x 1 thành ma trận Toeplitz đối xứng (M +1) x (M + 1) và áp dụng phương 
pháp MPM để xác định các góc tới. Đề xuất phù hợp với các ứng dụng thời gian 
thực do chỉ cần sử dụng ít hoặc thậm chí chỉ một mẫu tín hiệu duy nhất. Các mô 
phỏng đánh giá chất lượng định hướng và so sánh với một số phương pháp khác 
như: thuật toán, phương pháp Matrix Pencil và TLS. 
Từ khóa: ESPRIT; Matrix Pencil; PM; TLS; Toeplitz; ULA. 
1. MỞ ĐẦU 
Bài toán xác định hướng sóng tới sử dụng các dàn ăng ten là một vấn đề cơ bản trong 
xử lý mảng tín hiệu. Các thuật toán phổ biến nhất được biết đến như thuật toán ESPRIT 
(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques), thuật toán 
MUSIC (Multiple Signal Classification), phương pháp Matrix Pencil, phương pháp MPM 
(Modified Propagation Method), phương pháp nửa bất biến bậc cao và các thuật toán cải 
tiến khác. Nhược điểm chủ yếu của các thuật toán và phương pháp trên là chất lượng bị 
suy giảm mạnh khi các nguồn tín hiệu có sự tương quan lẫn nhau. Trong thực tế, các tín 
hiệu tương quan thường xuất hiện trong môi trường truyền dẫn do sự truyền sóng đa 
đường hoặc bởi các thiết bị gây nhiễu của đối phương. Về bản chất, các tín hiệu tương 
quan này có thể được tạo ra từ một nguồn sóng duy nhất cùng đến dàn ăng ten theo các 
hướng khác nhau. Để giải quyết vấn đề này, kỹ thuật làm mịn không gian SS (Spatial 
Smoothing) [1-5] được kết hợp với các thuật toán khác như MUSIC, ESPRIT. Mặc dù cho 
phép định hướng các nguồn tín hiệu tương quan nhưng độ phức tạp tính toán lớn. Phương 
pháp MPM [9-10] có độ phức tạp thấp do không cần khai triển giá trị riêng EVD (Eigen 
Value Decomposition) ma trận hiệp phương sai nhưng chỉ hoạt động đối với các nguồn tín 
hiệu không tương quan lẫn nhau và cần nhiều mẫu tín hiệu. Phương pháp Matrix Pencil [6-
7], TLS (Total–Least-Square) [8] có thể sử dụng một mẫu tín hiệu nhưng muốn nâng cao 
độ chính xác thì vẫn phải sử dụng nhiều mẫu tín hiệu. Chính vì vậy, bài báo này giới thiệu 
một phương pháp mới cho phép định hướng nhanh các nguồn tín hiệu tới không tương 
quan hoặc tương quan lẫn nhau áp dụng trên dàn ăng ten ULA (Uniform Linear Antenna 
Array) sử dụng ít thậm chí chỉ một mẫu tín hiệu duy nhất. 
2. SƠ ĐỒ KHỐI HỆ THỐNG 
Sơ đồ khối của hệ thống định hướng được trình bày trên hình 1 gồm M + 1 máy thu, 
khối chia tín hiệu, hai khối xử lý tín hiệu và một khối xử lý tín hiệu trung tâm. Khối chia 
tín hiệu có chức năng đảm bảo các tín hiệu thu được từ các máy thu đến đồng thời cả hai 
khối xử lý tín hiệu 1 và 2. Hai khối xử lý tín hiệu có nhiệm vụ xây dựng véc tơ tín hiệu x, 
y và đưa đến khối xử lý tín hiệu trung tâm để xác định hướng sóng tới. Các phần tử ăng ten 
kết nối với mỗi máy thu là đồng dạng, đẳng hướng và được bố trí cách nhau một khoảng d, 
trong đó phần tử ăng ten 1 và M + 1 được định nghĩa là điểm tham chiếu đối với khối xử 
lý tín hiệu 1 và 2 tương ứng. 
Giả sử có P nguồn tín hiệu băng hẹp có cùng bước sóng λ ở vùng trường xa () =
[()	()⋯ ()]
 tác động đồng thời lên dàn ăng ten với các góc phương vị lần lượt 
là ϕi (i = 1, , P). Trong trường hợp các nguồn tín hiệu tương quan nhau hoàn toàn thì 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 59, 02 - 2019 49
() 	= () = ⋯ = (). 
Hình 1. Sơ đồ khối hệ thống định hướng sử dụng dàn ăng ten ULA. 
3. MÔ HÌNH TÍN HIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH HƯỚNG 
Các véc tơ tín hiệu thu được x, y tại thời điểm t đối với khối tín hiệu 1 và 2 được biểu 
diễn như sau: 
() = 
()
()
()
 = ()(t) + ()	 (1) 
() = 
()
()
()
 = ()(t) + ()	 (2) 
Trong đó: 
() 	= 	 [()	()()] (3) 
() = 1	
(/)()	(/)()  ()(/)()

 (4) 
() = [()	()⋯()]
 (5) 
() 	= 	 [()	()()] (6) 
() = 1	
(/)()	(/)()  ()(/)()

 (7) 
() = [()	()⋯()]
 (8) 
Ở đây: (), () là ma trận chỉ phương có kích thước (M +1) x P của P nguồn tín 
hiệu; (), () có kích thước (M +1) x 1 là véc tơ nhiễu trắng có phân bố Gaussian có 
các thành phần có giá trị trung bình bằng không và phương sai bằng σ2; (), () là 
véc tơ chỉ phương đối với nguồn tín hiệu thứ i (i = 1, , P). 
Véc tơ tín hiệu thu được của khối xử lý tín hiệu trung tâm được tạo bởi véc tơ tín hiệu 
y bỏ đi hàng cuối cùng và véc tơ tín hiệu x. 
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử 
N. T. Minh, L. T. Hải, N. T. Lưu, “Phương pháp định hướng nhanh  dàn ăng ten ULA.” 50 
() = 
()[1:]
()
 =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡
()
()
⋮
()
⋮
()
() ⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
 (9) 
Nhận thấy rằng, véc tơ tín hiệu () có kích thước (2M + 1) x 1 nên có thể xây dựng 
ma trận Toeplitz tương ứng () có kích thước (M +1) x (M + 1) như sau: 
() = 
() () ⋯	 ()
() () 	⋯ 	()
⋮	 	⋮ 	⋮ 	⋮	
() () ⋯ ()
 (10) 
Phương trình (10) có thể được biểu diễn lại dưới dạng như sau: 
() = [	 ] (11) 
Trong đó: 
 = [() () ⋯	 ()]
 (12) 
 = [() () ⋯	 ()]
 =  (13) 
Với  là ma trận đường chéo có kích thước P x P mang thông tin về hướng sóng tới. 
 = (/)()	(/)() 	 (/)() (14) 
  = [() () ⋯	 ()]
 = 
 (15) 
Từ phương trình (11) thu được: 
() = [	 ]
 = [1	
]	 (16) 
() = (t)[1	
] (17) 
Đặt: 
() = (t)[1	] (18) 
Khi đó: 
() = () (19) 
Khi đó, ma trận hiệp phương sai có dạng như sau: 
_ = E[()()
] = ()()
 (20) 
Trong đó,  = [()()
] là ma trận hiệp phương sai của nguồn tín hiệu tới. Để 
tách không gian tín hiệu từ không gian nhiễu, sử dụng phương pháp MPM [10] với điều 
kiện thỏa mãn các giả thiết sau: 
(GT1): Thông tin tiên nghiệm về số nguồn tín hiệu tới P là đã biết và số phần tử ăng 
ten M > 2P. 
(GT2): Tập hợp P ma trận chỉ phương là độc lập tuyến tính và P nguồn tín hiệu là độc 
lập với nhau. 
Bằng cách ánh xạ véc tơ tín hiệu thành dạng Hermitian Toeplitz nên có thể xác định 
được tối đa là (M – 1) nguồn tín hiệu tương quan vì khi đó các nguồn tín hiệu đã trở thành 
không tương quan và bậc của  cao hơn so với ma trận hiệp phương sai của tín hiệu 
thu được bởi dàn ăng ten. Do phải thỏa mãn giả thiết (GT1) nên số góc tới có thể xác định 
được tối đa bằng (M – 1)/2P. 
Theo giả thiết (GT1), ma trận chỉ phương có thể được phân tích lại dưới dạng như sau: 
() = [
, 
, 
] (21) 
Ở đây ma trận A1 và A2 có kích thước 2P x 2P, ma trận A3 có kích thước (M – 2P) x P. 
Từ phương trình (20) và (21) các ma trận tương quan chéo từng phần được định nghĩa 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 59, 02 - 2019 51
như sau: 
 = ()(1: , : )()
( + 1: 2, : ) = 
 (22) 
 = ()(2 + 1: + 1, : )()
(1: , : ) = 
 (23) 
 = ()()(2 + 1: + 1, : )()()
( + 1: 2, : ) = 
 (24) 
Trong đó, ký hiệu ()(: , : ) là thực hiện lấy hàng thứ i đến hàng thứ j của ma trận 
(). Theo giả thiết (GT2), cả  và A1, A2 là các ma trận khả nghịch nên: 

 = 
(
)

 =  (25) 
Biến đổi tương tự thu được: 

 = 
(
)

 =  (26) 
Cộng hai vế phương trình (16) và (17) thu được: 

 + 
 = 2 (27) 
Phương trình (18) có dạng tương đương như sau: 

	
 	− 2() = 0 (28) 
Trong đó, () là ma trận đơn vị có kích thước M +1 – 2P. Đặt 
 =

	
 	− 2(), khi đó phương trình (28) được viết lại như sau: 
 = 0 (29) 
Khi P tín hiệu được gán tương ứng với hướng (ϕi) thì phương trình (29) phải thỏa 
mãn: 
() = 0,  = 1, 2,  ,  (30) 
Nhận thấy rằng, việc xác định toán tử hàm truyền  không cần đến bất kì phép khai 
triển giá trị riêng nào. Từ phương trình (30), thực hiện quét góc trong phạm vi từ 0o đến 
180o tương tự như thuật toán MUSIC để xác định các giá trị , các góc của tín hiệu tới sẽ 
tương ứng với các đỉnh của phổ công suất	(). 
  =

()
 =

()()
 (31) 
Với L mẫu tín hiệu, phổ công suất được tính theo công thức sau: 
 =


∑ () (32) 
4. MÔ PHỎNG VÀ SO SÁNH 
Để đánh giá chất lượng của phương pháp, bài báo thực hiện mô phỏng trên phần mềm 
Matlab với các tham số đầu vào như sau: 
Bảng 1. Bảng tham số mô phỏng với dàn ăng ten ULA. 
Tham số Giả thiết Ý nghĩa 
P 3 Số lượng nguồn tín hiệu tới (s1, s2, s3) 
L 1 Số lượng mẫu tín hiệu sử dụng 
λ 1 Bước sóng các nguồn tín hiệu tới 
M 11 Số phần tử ăng ten 
d λ/2 Khoảng cách giữa các phần tử ăng ten 
Trong mô phỏng thứ nhất, phương pháp đề xuất được kiểm thử trong hai trường hợp: 
trường hợp một với ba nguồn tín hiệu không tương quan có các góc tới tương ứng lần lượt 
là [100o, 120o, 140o], trường hợp hai với ba nguồn tín hiệu tương quan có các góc tới 
tương ứng lần lượt là [60o, 75o, 90o]. Giả thiết các nguồn tín hiệu tới dàn ăng ten cùng một 
lúc trong môi trường nhiễu trắng có SNR = 5dB sử dụng một mẫu tín hiệu. Nhận thấy 
rằng, kết quả mô phỏng trên hình 2(a) và hình 2(b) cho thấy phương pháp này đã xác định 
thành công được ba góc tương ứng với ba nguồn tín hiệu tới. 
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử 
N. T. Minh, L. T. Hải, N. T. Lưu, “Phương pháp định hướng nhanh  dàn ăng ten ULA.” 52 
(a) 
(b) 
Hình 2. a) Kết quả xác định hướng ba nguồn tín hiệu tới không tương quan với ba góc 
tương ứng [100o, 120o, 140o]; b) Kết quả xác định hướng ba nguồn tín hiệu tới tương 
quan hoàn toàn (s1 = s2 =s3) với ba góc tương ứng [60
o, 75o, 90o]. 
Trong mô phỏng thứ hai, phương pháp đề xuất được so sánh với thuật toán ESPRIT 
và phương pháp TLS [8]. Qúa trình mô phỏng được thực hiện 1000 lần thử độc lập với ba 
nguồn tín hiệu không tương quan có các góc tới tương ứng là [100o, 120o, 140o] trong môi 
trường nhiễu trắng có SNR = 0dB sử dụng năm mẫu tín hiệu đối với cả ba phương pháp. 
Hình 3. Biểu đồ tần suất công suất ba nguồn tín hiệu tới không tương quan với ba góc 
tương ứng [100o, 120o, 140o], SNR = [0, 0, 0] dB sử dụng năm mẫu tín hiệu áp dụng 
phương pháp đề xuất. 
Hình 4. Biểu đồ tần suất công suất ba nguồn tín hiệu tới không tương quan với ba góc 
tương ứng [100o, 120o, 140o], SNR = [0, 0, 0] dB sử dụng năm mẫu tín hiệu áp dụng 
phương pháp TLS [8]. 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 59, 02 - 2019 53
Hình 5. Biểu đồ tần suất công suất ba nguồn tín hiệu tới không tương quan với ba góc 
tương ứng [100o, 120o, 140o], SNR = [0, 0, 0] dB sử dụng năm mẫu tín hiệu áp dụng thuật 
toán ESPRIT. 
Quan sát kết quả thu được từ hình 3 đến hình 5 cho thấy cả ba phương pháp đều xác 
định thành công cả ba góc tới. Cả ba đỉnh có thể quan sát được rõ ràng nhất xung quanh 
100o, 120o và 140o trong hình 3. Trong khi đó, thuật toán ESPRIT có độ chính xác chưa 
cao khi giá trị SNR thấp và sử dụng ít mẫu tín hiệu. 
Trong mô phỏng thứ ba, phương pháp đề xuất được so sánh với phương pháp TLS [8] 
và Matrix Pencil khi thực hiện mô phỏng trong điều kiện các nguồn tín hiệu tương quan 
hoàn toàn có các góc lần lượt là [60o, 75o, 90o] trong môi trường nhiễu trắng có SNR = 
5dB sử dụng một mẫu tín hiệu. Kết quả mô phỏng từ hình 6 đến hình 8 cũng cho thấy cả 
ba phương pháp đều xác định được góc tới của cả ba tín hiệu tương quan trong đó phương 
pháp đề xuất có độ chính xác tốt hơn so với phương pháp TLS [8] và Matrix Pencil. 
Hình 6. Biểu đồ tần suất công suất ba nguồn tín hiệu tới tương quan hoàn toàn (s1 = s2 = 
s3) với ba góc tương ứng [60
o, 75o, 90o], SNR = [5, 5, 5] dB sử dụng một mẫu tín hiệu áp 
dụng phương pháp đề xuất. 
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử 
N. T. Minh, L. T. Hải, N. T. Lưu, “Phương pháp định hướng nhanh  dàn ăng ten ULA.” 54 
Hình 7. Biểu đồ tần suất công suất ba nguồn tín hiệu tới tương quan hoàn toàn (s1 = s2 = 
s3) với ba góc tương ứng [60
o, 75o, 90o], SNR = [5, 5, 5] dB sử dụng một mẫu tín hiệu áp 
dụng phương pháp TLS [8]. 
Hình 8. Biểu đồ tần suất công suất ba nguồn tín hiệu tới tương quan hoàn toàn (s1 = s2 = 
s3) với ba góc tương ứng [60
o, 75o, 90o], SNR = [5, 5, 5] dB sử dụng một mẫu tín hiệu áp 
dụng phương pháp Matrix Pencil. 
Mô phỏng thứ tư được thực hiện nhằm đánh giá độ chính xác của các phương pháp 
thông qua sai số trung bình quân phương RMSE (Root Mean Square Error) khi thay đổi 
giá trị SNR từ 0dB đến 20dB với các bước cách nhau 2dB. Hình 9 và hình 10 biểu diễn kết 
quả mô phỏng với hai nguồn tín hiệu tới không tương quan có các góc lần lượt là 55o 
(tương ứng nguồn 1) và 70o (tương ứng nguồn 2) sử dụng mười mẫu tín hiệu. Trong 
trường hợp này, sai số lớn nhất tại SNR = 0dB của phương pháp đề xuất đối với nguồn 1, 
nguồn 2 là 0,4o và 0,34o. Trong khi đó, sai số của phương pháp TLS là 0,9o và 0,7o. Thuật 
toán ESPRIT có chất lượng kém hơn cả với sai số 3,7o và 2,7o. 
Hình 11 và hình 12 biểu diễn kết quả mô phỏng khi các nguồn tín hiệu tương quan 
nhau hoàn toàn với các góc lần lượt là 45o, 60o và 75o sử dụng chỉ một mẫu tín hiệu. Quan 
sát kết quả cho thấy, cả ba phương pháp đều có sai số lớn nhất tại SNR = 0dB. Phương 
pháp đề xuất có chất lượng tốt nhất với sai số lần lượt là 0,62o; 0,5o và 0,42o. Trong khi đó, 
phương pháp Matrix Pencil có chất lượng kém nhất khi có sai số lớn hơn 2o đối với cả ba 
nguồn tín hiệu. Phương pháp TLS có chất lượng tốt hơn nhưng vẫn lớn hơn 1o. 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 59, 02 - 2019 55
Hình 9. Độ chính xác định hướng ba nguồn tín hiệu không tương quan với ba góc tương 
ứng [55o, 70o, 90o] khi thay đổi giá trị SNR áp dụng phương pháp đề xuất sử dụng mười 
mẫu tín hiệu. 
Hình 10. Độ chính xác định hướng hai nguồn tín hiệu không tương quan với hai góc 
tương ứng [55o, 70o] khi thay đổi giá trị SNR áp dụng thuật toán ESPRIT và phương pháp 
TLS [8] sử dụng mười mẫu tín hiệu. 
Hình 11. Độ chính xác định hướng ba nguồn tín hiệu tương quan hoàn toàn (s1 = s2 = s3) 
với ba góc tương ứng [45o, 60o, 75o] khi thay đổi giá trị SNR áp dụng phương pháp đề 
xuất sử dụng một mẫu tín hiệu. 
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử 
N. T. Minh, L. T. Hải, N. T. Lưu, “Phương pháp định hướng nhanh  dàn ăng ten ULA.” 56 
Hình 12. Độ chính định hướng ba nguồn tín hiệu tương quan hoàn toàn (s1 = s2 = s3) với 
ba góc tương ứng [45o, 60o, 75o] khi thay đổi giá trị SNR sử dụng năm mẫu tín hiệu áp 
dụng thuật toán ESPRIT và phương pháp TLS [8]. 
5. KẾT LUẬN 
Bài báo đã trình bày một phương pháp cho phép định hướng các nguồn tín hiệu không 
tương quan hoặc tương quan lẫn nhau sử dụng ít hoặc chỉ một mẫu tín hiệu. Bằng cách 
biến đổi ma trận tín hiệu thu được thành dạng ma trận Hermitian Toeplitz có kích thước 
(M +1) x (M + 1) và sử dụng phương pháp MPM để xác định góc tới nên đề xuất có thể 
xác định được tối đa (M – 1)/2P nguồn tín hiệu tương quan. Chất lượng được kiểm thử 
thông qua mô phỏng và so sánh với thuật toán ESPRIT, phương pháp Matrix Pencil cũng 
như TLS [8]. Các kết quả thu được cho thấy phương pháp này đã tăng đáng kể độ chính 
xác so với các phương pháp với sai số lớn nhất chỉ 0,4o trong trường hợp định hướng các 
nguồn tín hiệu không tương quan sử dụng mười mẫu tín hiệu và 0,62o khi định hướng các 
nguồn tín hiệu tương quan lẫn nhau sử dụng một mẫu tín hiệu. Chính vì vậy, phương pháp 
này có thể được sử dụng trong các ứng dụng thời gian thực và định hướng các mục tiêu di 
chuyển nhanh. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. T. J. Shan, M. Wax, T. Kailath, “On spatial smoothing for estimate of coherent 
signals” IEEE Trans. Acoustic, Speech, Signal Processing, vol. 37, pp. 806-811, 
August 1985. 
[2]. T. J. Shan, M. Wax, T. Kailath, “On spatial smoothing for direction-of-arrival 
estimation of coherent signals” IEEE Trans. Acoust.,Speech Signal Processing, vol. 
ASSP-33, pp. 806-81 1, Aug. 1985. 
[3]. T. Wiliams, S. Prasad, A. K. Mahalanabis, L. H. Sibul “An Improved Spatial 
Smoothing Technique for Bearing Estimation in a Multipath Environment” IEEE 
Transactions on 
Acoustics, Speech, Signal Processing, 1988. 
[4]. S. U. Pillai, B. H. Kwon, “Forward/backward spatial smoothing techniques for 
coherent signal identification’’ IEEE Trans. Acoustic, Speech, Signal Processing, 
vol. 37, pp. 8-15, 1989. 
[5]. S. Jeng and H. Lin, G. Okamoto, G. Xu, W.J. Vogel., “Multi-Path Direction Finding 
with Subspace Smoothing”, IEEE Transactions on ASSP, Volume 5, Issue 21-24, pp. 
3485–3488, April 1997. 
[6]. Y. Hua, T. K. Sarkar, “Matrix pencil method for estimating parameters of 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 59, 02 - 2019 57
exponentially damped/undamped sinusoids in noise” IEEE Transactions on 
Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol.38, pp. 814-824, May 1990. 
[7]. C. K. E. Lua, “Minimum norm mutual coupling compensation with applications in 
Matrix Pencil direction of arrival estimation” Ph.D. dissertation, UNIVERSITY OF 
TORONTO., CANADA 2003. 
[8]. N. Tayem, M. Naraghi-Pour, “A Fast Algorithm for Direction of Arrival Estimation 
in Multipath Environments” Wireless Sensing and Processing II, Vol. 6577 65770B-
1 , 2016. 
[9]. Z. Xiaofei, L. Jianfeng, X. Lingyun, “Novel two-dimensional DOA estimation with 
L-shaped array”, Journal on Advances in Signal Processing, (2011). 
[10]. J. Chen, Y. Wu, H. Cao, H. Wang, “Fast Algorithm for DOA Estimation with Partial 
Covariance Matrix and without Eigendecomposition”, Journal of Signal and 
Information Processing, 266-269, 2011. 
ABSTRACT 
A FAST METHOD OF DIRECTING THE ARRIVAL ESTIMATION 
USING ULA ANTENNA ARRAY 
A fast method of Direction-Of-Arrival estimation using ULA antenna array is 
proposed in this paper. Unlike the available methods such as spatial smoothing 
technique, ESPRIT algorithm and TLS method, as well as Matrix Pencil, 
proposed method use the technique that maps a (2M 1) 1 data vector into a 
(M 1) x (M 1) symmetric Toeplitz matrix whose rank is related to the DOA of 
the incoming signals even though they may be highly correlated with each other. 
Moreover, the proposed method use the modified version of the Propagator 
Method to be suitable for the case of low SNR. With these advantages improve the 
performance significantly, allowing the proposed method to work efficiently with 
even a single snapshot. 
Keywords: ESPRIT; Matrix Pencil; PM; TLS; Toeplitz; ULA. 
Nhận bài ngày 06 tháng 11 năm 2018 
Hoàn thiện ngày 03 tháng 12 năm 2018 
Chấp nhận đăng ngày 19 tháng 02 năm 2019 
Địa chỉ: 1Viện Điện tử - Viện Khoa học và Công nghệ quân sự; 
 2Học Viện Kỹ thuật quân sự. 
 *Email: ntminh.telecom@gmail.com.