Phương pháp Proper Generalized Decomposition cho bài toán tấm mỏng chịu uốn

Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 1(32)-2017 
 63 
PHƯƠNG PHÁP PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION 
CHO BÀI TOÁN TẤM MỎNG CHỊU UỐN 
Lê Quốc Cường(1), Nguyễn Bá Duy(2) 
(1)
 Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM; (2) Trường Đại học Thủ Dầu Một 
Ngày nhận 29/12/2016; Chấp nhận đăng 29/01/2017; Email: lecuong2109@gmail.com 
Tóm tắt 
Trong bài báo này, chúng tôi trình bày phương pháp Proper Generalized Decomposition 
(PGD) để giải quyết bài toán tấm mỏng chịu uốn trong không gian hai chiều. Phương pháp 
PGD được áp dụng để đưa bài toán hai chiều thành chuỗi các bài toán một chiều. Sau đó, mỗi 
bài toán một chiều được giải bằng phương pháp sai phân hữu hạn. Kết quả mô phỏng số được 
áp dụng cho bài toán tấm mỏng chịu uốn với các điều kiện biên khác nhau. Các kết quả tính 
toán sẽ được so sánh với lời giải giải tích. 
Từ khóa: giảm bậc mô hình, Proper Generalized Decomposition, tấm mỏng chịu uốn 
Abstract 
PROPER GENERALIZED DECOMPOSITION METHOD FOR THE THIN PLATE 
BENDING PROBLEM 
In this paper, we present Proper Generalized Decomposition (PGD) method to solve the 
problem of thin plate bending in two-dimensional space. PGD method is applied to transform 
the two-dimensional problem into a series of one-dimensional problems. Then, each one-
dimensional problem is solved by the finite difference method. Numerical simulation results are 
applied to thin plate bending problem with different boundary conditions. The calculation 
results are compared with analytical solutions. 
1. Giới thiệu 
Nhiều mô hình bài toán thường gặp trong khoa học và kỹ thuật thường được định 
nghĩa trong không gian đa chiều, điều đó làm cho vấn đề chiều thứ nguyên trở nên cực kỳ 
phức tạp khi áp dụng kỹ thuật chia lưới rời rạc thông thường. Hơn nữa các mô hình theo 
tiêu chuẩn có thể trở thành đa chiều khi các thông số thay đổi. Vì vậy việc phát triển một 
phương pháp mới nhằm giải quyết bài toán một cách nhanh chóng hơn là rất cần thiết. 
Phương pháp PGD lần đầu tiên được giới thiệu bởi giáo sư Chinesta và các cộng sự 
[1]. Sự ra đời của phương pháp PGD đã góp phần hỗ trợ giải quyết bài toán có số chiều 
không gian lớn một cách hiệu quả với thời gian xử lý nhanh và độ chính xác cao. Phương 
pháp PGD ngày càng được mở rộng ứng dụng để giải quyết các bài toán đa chiều trong các 
lĩnh vực như cơ lưu chất [2], truyền nhiệt [3], vật liệu composite [4]. 
Phương pháp PGD là phương pháp giảm bậc mô hình dựa trên cơ sở tách biến, lời 
giải của bài toán được tìm dưới dạng tổng của các tích hàm số trên mỗi chiều không gian. 
Lê Quốc Cường... Phương pháp proper generalized decomposition cho bài toán... 
 64 
Giả sử trường u phụ thuộc N biến số 1 2, , ..., Nx x x , khi đó giá trị u được viết dưới dạng 
tách biến như sau: 
1 2 1 2
1
( , , ..., ) ( ). ( )... ( )
Q
N i i i N
i
u x x x F x F x F x
  (1) 
trong đó 
i
x 1 2, , ...,i N là biến số không gian, thời gian hay tham số mà bài toán 
cần khảo sát. 
Bài toán phân tích tấm mỏng chịu uốn đã được thực hiện thành công với nhiều 
phương pháp số khác nhau (phần tử hữu hạn, sai phân hữu hạn, phương pháp phổ, ). 
Trong bài báo này, phương pháp PGD được đề xuất để giải quyết bài toán tấm mỏng chịu 
uốn. Phương pháp PGD được áp dụng để đưa phương trình vi phân đạo hàm riêng của bài 
toán tấm mỏng chịu uốn trong không gian hai chiều thành chuỗi các phương trình vi phân 
trong không gian một chiều. Sau đó, phương pháp sai phân hữu hạn dựa trên sơ đồ sai phân 
trung tâm bậc hai được áp dụng để giải các phương trình một chiều. 
Bài báo này được tổ chức như sau, phần 2 trình bày phương trình vi phân chủ đạo của 
bài toán tấm mỏng chịu uốn. Phần 3 trình bày phương pháp PGD cho phương trình 
biharmonic trong không gian hai chiều. Sau cùng, các kết quả mô phỏng được trình bày ở 
phần 4. 
2. Phương trình vi phân chủ đạo cho bài toán tấm mỏng chịu uốn 
Phương trình vi phân chủ đạo của bài toán tấm mỏng chịu uốn trong không gian hai chiều 
có dạng phương trình biharmonic [7] như sau 
4 4 4
4 2 2 4
w w w
2
p
x x y y D
  
   
, (2) ở đây w độ võng của tấm, p lực tác dụng lên bề mặt tấm 
và 
3
212 1
Eh
D

 độ cứng chịu uốn của tấm. Trong đó, E là mô đun đàn hồi, h là chiều dày tấm 
và  là hệ số poisson. 
3. Phương pháp PGD cho phương trình biharmonic 
Xét phương trình biharmonic trong không gian hai chiều như sau 
4 4 4
4 2 2 4
2 ,
u u u
f x y
x x y y
  
   
 trong miền 
x y
   (3) 
Mục tiêu của chúng ta là áp dụng phương pháp PGD để tìm nghiệm xấp xỉ của phương 
trình (3). Giả sử nghiệm xấp xỉ của phương trình được viết dưới dạng tách biến như sau 
1
,
N
i i
i
u x y X x Y y
  (4) 
Giả sử lời giải ở bước lặp thứ n đã biết, chúng ta cần tìm lời giải ở bước lặp thứ 1n 
 1
1
,
n
n
i i
i
u x y X x Y y R x S y 
   (5) ở đây: 1nR x X x và 1nS y Y y . 
Phương trình (3) được đưa về dạng yếu như sau 
4 4 4
4 2 2 4
2 0*
x y
u u u
u f dxdy
x x y y
 
   
 
    
 , (6) 
với * * *u R S R S   là hàm trọng số. (7) 
Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 1(32)-2017 
 65 
Thay (5) và (7) vào phương trình (6), ta được 
4 2 2 4
4 2 2 4
4
4
2 
* * * *
* *
x y x y
i
d R d R d S d S
R S R S S R dxdy R S R S fdxdy
dx dx dy dy
d X
R S R S
dx
   
         
    
1
2 2
2 2
1
 2
* *
x y
x y
n
i
i
n
i i
i
Y dxdy
d X d Y
R S R S dxdy
dx dy
  
  
     
 
 
4
4
1
 * *
x y
n
i
i
i
d Y
R S R S X dxdy
dy  
     
 
(8) 
Để giải phương trình (8) tìm R x và S y , chúng ta sử dụng giải thuật lặp cố định 
luân phiên gồm các bước sau: 
Bước 1: Tìm hàm R x 
Giả sử S y đã biết, khi đó 0*S , thay vào phương trình (8) ta được 
4 2 2 4
4 2 2 4
4
4
1
2 
* *
*
x y x y
n
i
i
i
d R d R d S d S
R S S R dxdy R S fdxdy
dx dx dy dy
d X
R S Y dx
dx
   
       
    

2 2
2 2
1
 2
*
x y
x y
n
i i
i
dy
d X d Y
R S dxdy
dx dy
 
  
    
 
4
4
1
 *
x y
n
i
i
i
d Y
R S X dxdy
dy  
    
 
(9) 
Vì tất cả các hàm phụ thuộc y ở phương trình (9) đã biết, chúng ta có thể thực hiện tích 
phân một chiều trên 
y
 
2
2
2
4
4
2
2
4
4
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
i
y i
i i
y
i i
y
a S dy
d S
b S dy
dy
d S
c S dy
dy
f x S fdy
a S Y dy
d Y
b S dy
dy
d Y
c S dy
dy







 
  
  
  
 
  
(10)
Lê Quốc Cường... Phương pháp proper generalized decomposition cho bài toán... 
 66 
Khi đó phương trình (9) trở thành 
44 2
4 2 4
1
2
2
1
2 
 2
* * *
*
x x x
x
n
i i
y y y y y
i
n
i i
y
i
d Xd R d R
R a b c R dx R f x dx R a dx
dx dx dx
d X
R b dx
dx
   
 
   
 
 
 
1
 *
x
n
i
y i
i
R c X dx
 
  
 (11) 
Phương trình (11) là dạng yếu một chiều được định nghĩa trên 
x
 . Ngoài ra chúng ta có 
thể đưa về dạng mạnh như sau 
4 24 2
4 2 4 2
1 1 1
2 2
n n n
i i ii i
y y y y y y y i
i i i
d X d Xd R d R
a b c R f x a b c X
dx dx dx dx 
    (12) 
Bước 2: Tìm hàm S y 
Với R x vừa tính ở bước trên, khi đó 0*R , tiến hành tương tự như bước tìm hàm 
 R x , ta được phương trình dạng mạnh của hàm S y như sau 
44 2
4 2 4
1
2
2
1
2 
 2
* * *
*
y y y
y
n
i i
x x x x x
i
n
i i
x
i
d Yd S d S
S a b c S dy S f y dy S a dy
dy dy dy
d Y
S b dy
dY
   
 
   
 
 
 
1
 *
y
n
i
x i
i
S c Y dy
 
  
 (13) 
ở đây 
2
2
2
4
4
2
2
4
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
i
x i
i i
x
i i
x
a R dx
d R
b R dx
dx
d R
c R dx
dx
f y R fdx
a R X dx
d X
b R dx
dX
d X
c R dx
dx







 
  
  
  
 
 
(14) 
Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 1(32)-2017 
 67 
Phương trình (13) có thể được đưa về dạng mạnh như sau 
4 24 2
4 2 4 2
1 1 1
2 2
n n n
i i ii i
x x x x x x x i
i i i
d Y d Yd S d S
a b c S f y a b c Y
dy dy dy dy 
    (15) 
Các bước giải phương trình (12) và phương trình (15) để tìm R x và S y được lặp 
cho đến khi kết quả hội tụ. Nếu kí hiệu 
 qR x và 1qR x là hàm R x đã được tính ở 
bước lặp hiện tại và bước lặp trước, tương tự với
 qS y và 1qS y , tiêu chuẩn dừng được 
chọn như sau 
 1 1q q q q RSe R x S y R x S y 
   (16) 
ở đây 
RS
 là hằng số được chọn đủ bé để đảm bảo độ chính xác. 
Sau khi các bước lặp tìm R x và S y hội tụ, chúng ta xác định được 
 1nX x R x và 1nY y S y . Quá trình tìm các cặp hàm ,i iX x Y y phải được 
tiếp tục cho đến khi đạt được sự hội tụ toàn cục của bài toán ở bước lặp thứ N , khi đó nghiệm 
xấp xỉ của bài toán được tính như sau 
1
,
N
i i
i
u x y X x Y y
  (17) 
Điều kiện dừng toàn cục của bài toán được tính như sau 
2
2
es
,
u
r
E
f x y
 (18) 
ở đây 
u
 là một hằng số được chọn đủ nhỏ và res là hàm thặng dư của bài toán 
4 4 4
4 2 2 4
res 2 ,
u u u
f x y
x x y y
  
   
 (19) 
Chúng ta thấy rằng phương trình Biharmonic hai chiều ban đầu được định nghĩa trên 
x y
   đã được chuyển đổi thành các bài toán một chiều trên 
x
 và 
y
 với phương 
pháp PGD. 
Sơ đồ sai phân trung tâm bậc hai được sử dụng để giải các phương trình vi phân một 
chiều có dạng như phương trình (12) và (15) để tìm R x và S y tương ứng. Sơ đồ sai phân 
bậc hai cho đạo hàm bậc hai và bậc 4 của một hàm f x bất kỳ được tính như sau: 
2
2
2 2
2f x f x h f x f x h
O h
x h
 

 (20) 
4
2
4 2
2 4 6 4 2f x f x h f x h f x f x h f x h
O h
x h
 

 (21) 
ở đây h là kích thước bước lưới. 
4. Kết quả mô phỏng số 
Bài toán 1: 
Xét tấm hình chữ nhật 0 1, 0 1x y có phương trình vi phân chủ đạo như 
phương trình (2), với vế phải được cho như sau: 
Lê Quốc Cường... Phương pháp proper generalized decomposition cho bài toán... 
 68 
 sin sin,
q
f x y x y
D
 . (22) 
Trong trường hợp tấm với điều kiện biên là gối tựa đơn ở cả bốn cạnh như sau 
2
2
w
w 0, 0
x


 tại 0x và 1x (23), 
2
2
w
w 0, 0
y


 tại 0y và 1y (24) 
khi đó lời giải chính xác của bài toán là ex 4w sin sin4act
q
x y
D
 (25) 
Phương pháp PGD được áp dụng cho bài toán với các thông số mô phỏng như sau: 
1p , 1092000 MPaE , 0.01h , 0 3. . Miền tính toán được rời rạc với lưới 100 cho 
mỗi chiều trục x và y . Hình 1 trình bày lời giải PGD cho độ võng của tấm mỏng với điều kiện 
biên gối tựa đơn ở cả bốn cạnh của tấm. Sai số giữa lời giải PGD và lời giải chính xác được 
trình bày ở hình 2. 
Hình 1. Lời giải của bài toán bằng phương 
pháp PGD cho tấm mỏng với điều kiện biên gối 
tựa đơn ở bốn cạnh của tấm trên lưới 100 100 
Hình 2. Sai số 
ex
w w
act
 giữa lời giải giải 
tích và lời giải PGD trên lưới 100 100 
Bài toán 2: 
Trong trường hợp tấm bị ngàm ở cả bốn cạnh, ta có điều kiện biên tương ứng như sau 
w
w 0, 0
x


 tại 0x và 1x , (26) 
w
w 0, 0
y


 tại 0y và 1y . (27) 
Các thông số mô phỏng được cho tương tự như trường hợp ở bài toán 1, vế phải của 
phương trình vi phân chủ đạo được cho như sau: 
22 2 4
2 2 2 2 2 2
2 4 2 2
56400 10 15
 18800 6 20 15 6 20 15
 56400 10 15
,
q
f x y a ax x b y y
D
q
x a ax x y b by y
D
q
a x x b by y
D
 (28) 
Với điều kiện biên bị ngàm ở bốn cạnh lời giải chính xác của bài toán là 
Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 1(32)-2017 
 69 
2 24 4
ex
w 2350
act
q
x x a y y b
D
 (29) 
Hình 3 trình bày lời giải PGD cho độ võng của tấm với điều kiện biên ngàm chặt ở cả 
bốn cạnh của tấm. Sai số giữa lời giải PGD và lời giải chính xác được trình bày ở hình 4. 
Hình 3. Lời giải của bài toán bằng phương 
pháp PGD cho tấm mỏng với điều kiện biên 
ngàm ở bốn cạnh của tấm. 
Hình 4. Sai số 
ex
w w
act
 giữa lời giải giải 
tích và lời giải PGD trên lưới 100 100 
5. Kết luận 
Trong bài báo này, chúng tôi đã sử dụng phương pháp PGD để phân tích bài toán tấm 
mỏng chịu uốn với các điều kiện biên khác nhau. Các kết quả mô phỏng cho thấy sự đồng thuận 
khá tốt của phương pháp đề xuất với lời giải chính xác của bài toán. Với việc đưa bài toán đa 
chiều về các bài toán một chiều, phương pháp PGD sẽ giúp làm giảm chi phí tính toán và tiết 
kiệm bộ nhớ máy tính. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] F. Chinesta, A. Ammar, E. Cueto (2010), Proper generalized decomposition of multiscale 
models, Int J Numer Methods Eng, 83(8–9), pp. 1114–1132. 
[2] A. Dumon, C. Allery, A. Ammar (2011), Proper general decomposition (PGD) for the 
resolution of Navier–Stokes equations, Journal of Computational Physics, 230, pp. 1387–1407. 
[3] E. Prulière, F. Chinesta, A. Ammar, A. Leygue, A. Poitou (2013), On the solution of the heat 
equation in very thin tapes, International Journal of Thermal Sciences, 65, pp. 148–157. 
[4] P. Vidal, L. Gallimard, O. Polit (2012), Composite beam finite element based on the Proper 
Generalized Decomposition, Computers and Structures, 102–103, pp. 76–86. 
[5] A.J. Chorin (1968), Numerical solution of the Navier-Stokes equations, Math. Comput, 22, pp. 
745–762. 
[6] U. Ghia, K. Ghia, C. Shin (1982), High-re solutions for incompressible flow using the Navier–
Stokes equations and a multigrid method, Journal of Computational Physics, 48, pp. 387–411. 
[7]. S. P. Timoshenko, S. Woinowsky_Krieger (1970), Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill, 
New York.