Sách hướng dẫn học tập Toán chuyên ngành

SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP 
TOÁN CHUYÊN NGÀNH 
(Dùng cho sinh viên ngành ĐT-VT hệ đào tạo đại học từ xa) 
Lưu hành nội bộ 
HÀ NỘI - 2006 
 =====	===== 
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG 
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG 
SÁCH HƯỚNG DẪN HỌC TẬP 
TOÁN CHUYÊN NGÀNH 
Biên soạn : Ts. LÊ BÁ LONG 
LỜI NÓI ĐẦU 
Tiếp theo chương trình toán học đại cương bao gồm giải tích 1, 2 và toán đại số. Sinh viên 
chuyên ngành điện tử-viễn thông còn cần trang bị thêm công cụ toán xác suất thống kê và toán kỹ 
thuật. 
Để đáp ứng nhu cầu học tập của sinh viên chuyên ngành điện tử viễn thông của Học viện, 
chúng tôi đã biên soạn tập bài giảng Toán kỹ thuật từ năm 2000 theo đề cương chi tiết môn học 
của Học viện. Qua quá trình giảng dạy chúng tôi thấy rằng cần hiệu chỉnh và bổ sung thêm để 
cung cấp cho sinh viên những công cụ toán học tốt hơn. Trong lần tái bản lần thứ hai tập bài giảng 
được nâng lên thành giáo trình, nội dung bám sát hơn nữa những đặc thù của chuyên ngành viễn 
thông. Chẳng hạn trong nội dung của phép biến đổi Fourier chúng tôi sử dụng miền tần số f thay 
cho miền ω . Dựa vào tính duy nhất của khai triển Laurent chúng tôi giới thiệu phép biến đổi Z 
để biểu diễn các tín hiệu rời rạc bằng các hàm giải tích. Tuy nhiên do đặc thù của phương thức 
đào tạo từ xa nên chúng tôi biên soạn lại cho phù hợp với loại hình đào tạo này. 
 Tập giáo trình bao gồm 7 chương. Mỗi chương chứa đựng các nội dung thiết yếu và được 
coi là các công cụ toán học đắc lực, hiệu quả cho sinh viên, cho kỹ sư đi sâu vào lĩnh vực viễn 
thông. Nội dung giáo trình đáp ứng đầy đủ những yêu cầu của đề cương chi tiết môn học đã được 
Học viện duyệt. Trong từng chương chúng tôi cố gắng trình bày một cách tổng quan để đi đến các 
khái niệm và các kết quả. Chỉ chứng minh các định lý đòi hỏi những công cụ vừa phải không quá 
sâu xa hoặc chứng minh các định lý mà trong quá trình chứng minh giúp người đọc hiểu sâu hơn 
bản chất của định lý và giúp người đọc dễ dàng hơn khi vận dụng định lý. Các định lý khó chứng 
minh sẽ được chỉ dẫn đến các tài liệu tham khảo khác. Sau mỗi kết quả đều có ví dụ minh hoạ. 
Cuối cùng từng phần thường có những nhận xét bình luận về việc mở rộng kết quả hoặc khả năng 
ứng dụng chúng. Tuy nhiên chúng tôi không đi quá sâu vào các ví dụ minh hoạ mang tính chuyên 
sâu về viễn thông vì sự hạn chế của chúng tôi về lãnh vực này và cũng vì vượt ra khỏi mục đích 
của cuốn tài liệu. 
Thứ tự của từng Ví dụ, Định lý, Định nghĩa, được đánh số theo từng loại và chương. Chẳng 
hạn Ví dụ 3.2, Định nghĩa 3.1 là ví dụ thứ hai và định nghĩa đầu tiên của chương 3 Nếu cần 
tham khảo đến ví dụ, định lý, định nghĩa hay công thức nào đó thì chúng tôi chỉ rõ số thứ tự của ví 
dụ, định lý, định nghĩa tương ứng. Các công thức được đánh số thứ tự theo từng chương. 
Hệ thống câu hỏi ôn tập và bài tập của từng chương có hai loại. Loại trắc nghiệm đúng sai 
nhằm kiểm tra trực tiếp mức độ hiểu bài của học viên còn loại bài tập tổng hợp giúp học viên vận 
dụng kiến thức một cách sâu sắc hơn. 
Vì nhận thức của chúng tôi về chuyên ngành Điện tử Viễn thông còn hạn chế nên không tránh 
khỏi nhiều thiếu sót trong việc biên soạn tài liệu này, cũng như chưa đưa ra hết các công cụ toán học 
cần thiết cần trang bị cho các cán bộ nghiên cứu về chuyên ngành điện tử viễn thông. Chúng tôi rất 
mong sự đóng góp của các nhà chuyên môn để chúng tôi hoàn thiện tốt hơn tập tài liệu này. 
Tác giả xin bày tỏ lời cám ơn tới PGS.TS. Lê Trọng Vinh, TS Tô Văn Ban, đã đọc bản thảo 
và cho những ý kiến phản biện quý giá và đặc biệt tới KS Nguyễn Chí Thành người đã giúp tôi 
biên tập hoàn chỉnh cuốn tài liệu. 
Chương 1: Hàm biến số phức 
 4
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ sự cám ơn đối với Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu 
Chính Viễn Thông, Trung tâm Đào tạo Bưu Chính Viễn Thông 1 và bạn bè đồng nghiệp đã 
khuyến khích, động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành tập tài liệu này. 
 Hà Nội 5/2006 
 Tác giả 
Chương 1: Hàm biến số phức 
 5
CHƯƠNG I: HÀM BIẾN SỐ PHỨC 
PHẦN GIỚI THIỆU 
Giải tích phức là một bộ phận của toán học hiện đại có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật. 
Nhiều hiện tượng vật lý và tự nhiên đòi hỏi phải sử dụng số phức mới mô tả được. Trong chương 
này chúng ta tìm hiểu những vấn đề cơ bản của giải tích phức: Lân cận, giới hạn, hàm phức liên 
tục, giải tích, tích phân phức, chuỗi số phức, chuỗi lũy thừa, chuỗi Laurent Để nghiên cứu các 
vấn đề này chúng ta thường liên hệ với những kết quả ta đã đạt được đối với hàm biến thực. Mỗi 
hàm biến phức ( ) ( ) ( , ) ( , )w f z f x iy u x y iv x y= = + = + tương ứng với hai hàm thực hai biến 
( , )u x y , ( , )v x y . Hàm phức ( )f z liên tục khi và chỉ khi ( , )u x y , ( , )v x y liên tục. ( )f z khả vi 
khi và chỉ khi ( , )u x y , ( , )v x y có đạo hàm riêng cấp 1 thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann. Tích 
phân phức tương ứng với hai tích phân đường loại 2 Mỗi chuỗi số phức tương ứng với hai 
chuỗi số thực có số hạng tổng quát là phần thực và phần ảo của số hạng tổng quát của chuỗi số 
phức đã cho. Sự hội tụ hay phân kỳ được xác định bởi sự hội tụ hay phân kỳ của hai chuỗi số thực 
này. 
 Từ những tính chất đặc thù của hàm biến phức chúng ta có các công thức tích phân 
Cauchy. Đó là công thức liên hệ giữa giá trị của hàm phức tại một điểm với tích phân dọc theo 
đường cong kín bao quanh điểm này. Trên cơ sở công thức tích phân Cauchy ta có thể chứng 
minh được các kết quả: Mọi hàm phức giải tích thì có đạo hàm mọi cấp, có thể khai triển hàm 
phức giải tích thành chuỗi Taylor, hàm giải tích trong hình vành khăn được khai triển thành chuỗi 
Laurent. 
Bằng cách tính thặng dự của hàm số tại điểm bất thường cô lập ta có thể áp dụng để tính các 
tích phân phức và tích phân thực, tính các hệ số trong khai triển Laurent và phép biến đổi Z 
ngược. 
Dựa vào tính duy nhất của khai triển Laurent ta có thể xây dựng phép biến đổi Z.Phép biến 
đổi Z cho phép biểu diễn dãy tín hiệu số rời rạc bằng hàm giải tích. 
Để học tốt chương này học viên cần xem lại các kết quả của giải tích thực. 
NỘI DUNG 
1.1. SỐ PHỨC 
1.1.1. Dạng tổng quát của số phức 
Số phức có dạng tổng quát z x iy= + , trong đó ,x y là các số thực; 12 −=i . 
x là phần thực của z , ký hiệu Re z . y là phần ảo của z , ký hiệu Im z . 
Khi 0y = thì z x= là số thực; khi 0x = thì z iy= gọi là số thuần ảo. 
Số phức x iy− , ký hiệu z , được gọi là số phức liên hợp với số phức z x iy= + . 
Chương 1: Hàm biến số phức 
 6
Hai số phức 1 1 1z x iy= + và 2 2 2z x iy= + bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo 
của chúng bằng nhau. 
1 2
1 1 1 2 2 2 1 2
1 2
, ;
x x
z x iy z x iy z z
y y
=⎧= + = + = ⇔ ⎨ =⎩
 (1.1) 
Tập hợp tất cả các số phức ký hiệu . 
1.1.2. Các phép toán 
Cho hai số phức 1 1 1z x iy= + và 2 2 2z x iy= + , ta định nghĩa: 
a) Phép cộng: Số phức ( ) ( )1 2 1 2z x x i y y= + + + được gọi là tổng của hai số phức 1z và 
2z , ký hiệu 1 2z z z= + . 
b) Phép trừ: Ta gọi số phức z x iy− = − − là số phức đối của z x iy= + . 
Số phức ( ) ( )1 2 1 2 1 2( )z z z x x i y y= + − = − + − được gọi là hiệu của hai số phức 1z và 2z , 
ký hiệu 1 2z z z= − . 
c) Phép nhân: Tích của hai số phức 1z và 2z là số phức được ký hiệu và định nghĩa bởi 
biểu thức: 
 ( )( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2z z z x iy x iy x x y y i x y y x= = + + = − + + . (1.2) 
d) Phép chia: Nghịch đảo của số phức 0z x iy= + ≠ là số phức ký hiệu 1
z
 hay 1z− , thỏa 
mãn điều kiện 1 1zz− = . Vậy nếu 1 ' 'z x iy− = + thì 
 2 2 2 2
' ' 1
' , '
' ' 0
xx yy x yx y
yx xy x y x y
− =⎧ −⇒ = =⎨ + = + +⎩ . (1.3) 
Số phức 1 1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2
2 2 2 2
x x y y y x x yz z z i
x y x y
− + −= = ++ + được gọi là thương của hai số phức 1z và 
2z , ký hiệu 1
2
zz
z
= ( 2 0z ≠ ). 
Ví dụ 1.1: Cho z x iy= + , tính 2 ,z zz . 
Giải: ( ) ( ) ( )22 2 2 2z x iy x y i xy= + = − + , 2 2zz x y= + . 
Ví dụ 1.2: Tìm các số thực ,x y là nghiệm của phương trình 
 ( )( ) ( )( )5 1 2 3 3 11x y i x i i i+ + − + + = − . 
Giải: Khai triển và đồng nhất phần thực, phần ảo hai vế ta được 
2 5 2 3 73,
4 5 6 11 5
x y
x y
x y
+ + =⎧ ⇒ = − =⎨ + − = −⎩ . 
Chương 1: Hàm biến số phức 
 7
Ví dụ 1.3: Giải hệ phương trình 
1
2 1
z iw
z w i
+ =⎧⎨ + = +⎩ . 
Giải: Nhân i vào phương trình thứ nhất và cộng vào phương trình thứ hai ta được 
( ) ( )( )1 2 21 2 4 32 1 2
2 5 5
i ii ii z i z
i
+ −+ ++ = + ⇒ = = =+ , 
( ) 1 3 31
5 5
i iw i z i − + +⎛ ⎞⇒ = − = = −⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
Ví dụ 1.4: Giải phương trình 2 2 5 0z z+ + = . 
Giải: ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 22 2 5 1 4 1 2 1 2 1 2z z z z i z i z i+ + = + + = + − = + − + + . 
Vậy phương trình có hai nghiệm 1 21 2 , 1 2z i z i= − + = − − . 
1.1.3. Biểu diễn hình học của số phức, mặt phẳng phức 
Xét mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn 
Oxy , có véc tơ đơn vị trên hai trục tương ứng là 
i
JG
 và j
JG
. Mỗi điểm M trong mặt phẳng này hoàn 
toàn được xác định bởi tọa độ ( ; )x y của nó thỏa 
mãn OM x i y j= +JJJJG JG JG . 
Số phức z x iy= + cũng hoàn toàn được 
xác định bởi phần thực x và phần ảo y của nó. 
Vì vậy người ta đồng nhất mỗi điểm có tọa độ 
( ; )x y với số phức z x iy= + , lúc đó mặt phẳng 
này được gọi là mặt phẳng phức. 
1.1.4. Dạng lượng giác của số phức 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn 
Oxy , nếu ta chọn Ox
JJG
 làm trục cực thì điểm 
( ; )M x y có tọa độ cực ( );r ϕ xác định bởi 
( ), ,r OM Ox OMϕ= = JJG JJJJG 
thỏa mãn 
cos
sin
x r
y r
ϕ
ϕ
=⎧⎨ =⎩ 
Ta ký hiệu và gọi 
 2 2z r OM x y= = = + (1.4) 
 Argz 2 ,k π kϕ= + ∈  (1.5) 
là mô đun và argument của số phức z x iy= + . 
xx
My 
y 
O i
JJG
j
JJG
r ϕ 
x x 
M y 
y 
O i
JJG
j
JJG
Chương 1: Hàm biến số phức 
 8
Góc ϕ của số phức 0z x iy= + ≠ được xác định theo công thức sau 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=ϕ
=ϕ
22cos
tg
yxx/
y/x
 (1.6) 
Giá trị của Argz nằm giữa π− và π được gọi là argument chính, ký hiệu arg z . Vậy 
arg zπ π− < ≤ . 
Từ công thức (1.4) ta có 
( )cos sinz x iy r iϕ ϕ= + = + (1.7) 
gọi là dạng lượng giác của số phức. 
Sử dụng khai triển Maclaurin có thể chứng minh được công thức Euler 
 cos sinie iϕ ϕ ϕ= + (1.8) 
Do đó cos , sin
2 2
i i i ie e e e
i
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
− −+ −= = . (1.9) 
Từ (1.7)-(1.8) ta có thể viết số phức dưới dạng mũ 
iz z e ϕ= (1.10) 
Các tính chất của số phức 
ƒ 1 11 2 1 2 1 2 1 2
2 2
; ; z zz z z z z z z z
z z
⎛ ⎞+ = + = =⎜ ⎟⎝ ⎠
 . (1.11) 
ƒ Re ; Im
2 2
z z z zz z
i
+ −= = . z z z∈ ⇔ = . (1.12) 
ƒ 1 2 1 21 2
1 2 1 2arg arg Arg Arg 2
z z z z
z z
z z z z k π
⎧ ⎧= =⎪ ⎪= ⇔ ⇔⎨ ⎨= = +⎪ ⎪⎩ ⎩
 (1.13) 
ƒ 2zz z= , 2
1
z
z
zz
z
z
== , 1 1 22
2 2
z z z
z z
= . (1.14) 
ƒ 111 2 1 2 1 2 1 2
2 2
, ,
zzz z z z z z z z
z z
= = + ≤ + . (1.15) 
ƒ ( ) 11 2 1 2 1 2
2
Arg Arg Arg , Arg Arg Argzz z z z z z
z
⎛ ⎞= + = −⎜ ⎟⎝ ⎠
 (1.16) 
ƒ iyxz += ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤
≤⇒
zy
zx
 và yxz +≤ (1.17) 
Chương 1: Hàm biến số phức 
 9
Ví dụ 1.5: a) Tập các số phức z thỏa mãn 2 3z − = tương ứng với tập các điểm có khoảng 
cách đến (2;0)I bằng 3, tập hợp này là đường tròn tâm I bán kính 3. 
b) Tập các số phức z thỏa mãn 2 4z z− = + tương ứng với tập các điểm cách đều 
(2;0)A và ( 4;0)B − đó là đường trung trực của đoạn AB có phương trình 1x = − . 
1.1.5. Phép nâng lũy thừa, công thức Moivre 
Lũy thừa bậc n của số phức z là số phức 
n
nz zz z=	
"
lÇn
Từ công thức (1.15)-(1.16) ta có công thức Moivre: 
( )cos sin , Arg 2nnz z n i n z kϕ ϕ ϕ π= + = + . (1.18) 
Đặc biệt, khi 1z = ta có 
( ) ( )cos sin cos sinni n i nϕ ϕ ϕ ϕ+ = + (1.18)' 
Ví dụ 1.6: Tính ( )101 3i− + . 
Giải: ( ) 1010 102 2 20 201 3 2 cos sin 2 cos sin3 3 3 3i i iπ π π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 
 10 10 9 9
2 2 1 32 cos sin 2 2 32
3 3 2 2
i i iπ π ⎛ ⎞⎛ ⎞= + = − + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. 
1.1.6. Phép khai căn 
Số phức ω được gọi là căn bậc n của z , ký hiệu n z=ω , nếu zn =ω . 
Nếu viết dưới dạng lượng giác: )sin(cos,)sin(cos θ+θρ=ωϕ+ϕ= iirz thì 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
π+ϕ=θ
=ρ
⇔⎪⎩
⎪⎨⎧ ∈π+ϕ=θ
=ρ⇔ω=
n
k
r
kkn
rz
n
n
n
2,2 
. (1.19) 
Vì Argument của một số phức xác định sai khác một bội số nguyên của π2 nên với mỗi số 
phức 0≠z có đúng n căn bậc n . Các căn bậc n này có cùng mô đun là n r , Argument nhận 
các giá trị 
n
k
n
π+ϕ=θ 2 ứng với 1,...,1,0 −= nk , vì vậy nằm trên đỉnh của n-giác đều nội tiếp 
trong đường tròn tâm O bán kính n r . 
Ví dụ 1.7: Giải phương trình 014 =+z 
Giải: Nghiệm của phương trình là căn bậc 4 
của π+π=− sincos1 i tương ứng là: 
x 
y 
0z 1z 
2z 3z 
O 1 
i 
4
π
Chương 1: Hàm biến số phức 
 10
2
1
4
sin
4
cos0
iiz +=π+π= , 
2
1
01
iizz +−== , 
2
1
02
izz −−=−= , 
2
1
03
iizz −=−= . 
1.1.7. Các khái niệm cơ bản của giải tích phức 
1.1.7.1. Mặt cầu phức 
Trong 1.1.3 ta đã có một biểu diễn hình học của tập các số phức  bằng cách đồng nhất 
mỗi số phức iyxz += với điểm M có tọa độ );( yx trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy . Mặt 
khác nếu ta dựng mặt cầu )(S có cực nam tiếp xúc với mặt phẳng Oxy tại O, khi đó mỗi điểm z 
thuộc mặt phẳng Oxy sẽ tương ứng duy nhất với điểm ω là giao điểm của tia Pz và mặt cầu 
)(S , P là điểm cực bắc của )(S . 
Vậy mỗi điểm trên mặt phẳng Oxy được xác định bởi một điểm trên mặt cầu )(S ngoại trừ 
điểm cực bắc P. 
Ta gán cho điểm cực bắc này số phức vô cùng ∞ . Tập hợp số phức  thêm số phức vô 
cùng được gọi là tập số phức mở rộng  . Như vậy toàn bộ mặt cầu )(S là một biểu diễn hình 
học của tập số phức mở rộng. 
Quy ước: ∞=−∞∞=∞+≠∞=∞≠∞= zzzzzz ,,)0(,)0(
0
. 
1.1.7.2. Lân cận, miền 
a. Lân cận 
Khái niệm −ε lân cận của ∈0z được định nghĩa hoàn toàn tương tự với −ε lân cận 
trong 2 , đó là hình tròn có tâm tại điểm này và bán kính bằng ε . 
 ( ) { }ε<−∈=ε 00 zzzzB  (1.23) 
−N lân cận ∈∞ : ( ) { } { }∞∪>∈=∞ NzzBN  (1.23)’ 
b. Điểm trong, tập mở 
Giả sử E là một tập các điểm của mặt phẳng phức hoặc mặt cầu phức. Điểm 0z được gọi 
là điểm trong của E nếu tồn tại một lân cận của 0z nằm hoàn toàn trong E . 
Tập chỉ gồm các điểm trong được gọi là tập mở. 
• 
• ω 
z x 
O y 
P 
)(S 
Chương 1: Hàm biến số phức 
 11
c. Điểm biên 
Điểm 1z , có thể thuộc hoặc không thuộc E , được gọi là điểm biên của E nếu mọi lân cận 
của 1z đều có chứa các điểm thuộc E và các điểm không thuộc E . 
Tập hợp các điểm biên của E được gọi là biên E , ký hiệu E∂ . 
Hình tròn mở { }rzzz −∈ 0 là các 
tập mở có biên lần lượt là { }rzzz =−∈ 0 và { } { }∞∪=−∈ rzzz 0 . 
Hình tròn đóng { }rzzz ≤−∈ 0 không phải là tập mở vì các điểm biên rzz =− 0 
không phải là điểm trong. 
d. Tập liên thông, miền 
Tập con D của mặt phẳng phức hay mặt cầu phức được gọi là tập liên thông nếu với bất kỳ 
2 điểm nào của D cũng có thể nối chúng bằng một đường cong liên tục nằm hoàn toàn trong D . 
Một tập mở và liên thông được gọi là miền. 
Miền D cùng biên D∂ của nó được gọi là miền đóng, ký hiệu DDD ∂∪= . Miền chỉ có 
một biên được gọi là miền đơn liên, trường hợp ngược lại gọi là miền đa liên. 
Ta qui ước hướng dương trên biên của miền là hướng mà khi ta đi trên biên theo hướng đó 
thì miền D ở bên tay trái. 
Miền D được gọi là bị chặn nếu tồn tại 0>R sao cho DzRz ∈∀≤ , . 
1.2. HÀM BIẾN PHỨC 
1.2.1. Định nghĩa hàm biến phức 
Định nghĩa 1.1: Một hàm biến phức xác định trên tập con ... 28 6664 6700 6736 6772 6808 6844 6879 
0,5 0,6915 6950 6985 7019 7054 7088 7123 7156 7190 7224 
0,6 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549 
0,7 7580 7611 7642 7673 7703 7734 7764 7794 7823 7852 
0,8 7881 7910 7939 7967 7995 8023 8051 8078 8106 8132 
0,9 8159 8186 8212 8238 8264 8289 8315 8340 8365 8389 
1,0 0,8413 8438 8461 8485 8508 8531 8554 8577 8599 8621 
1,1 8643 8665 8686 8708 8729 8749 8770 8790 8810 8830 
1,2 8849 8869 8888 8907 8925 8944 8962 8980 8997 9015 
1,3 9032 9049 9066 9082 9099 9115 9131 9147 9162 9177 
1,4 9192 9207 9222 9236 9251 9265 9279 9292 9306 9319 
1,5 0,9332 9345 9357 9370 9382 9394 9406 9418 9429 9441 
1,6 9452 9463 9474 9484 9495 9505 9515 9525 9535 9545 
1,7 9554 9564 9573 9582 9591 9599 9608 9616 9625 9633 
1,8 9641 9649 9656 9664 9671 9678 9686 9693 9699 9706 
1,9 9712 9719 9726 9732 9738 9744 9750 9756 9761 9767 
2,0 0,9773 9778 9783 9788 9793 9798 9803 9808 9812 9817 
2,1 9821 9826 9830 9834 9838 9842 9846 9850 9854 9857 
2,2 9861 9864 9868 9871 9875 9878 9881 9884 9887 9890 
2,3 9893 9896 9898 9901 9904 9906 9909 9911 9913 9916 
2,4 9918 9920 9922 9925 9927 9929 9931 9932 9934 9936 
2,5 0,9938 9940 9941 9943 9945 9946 9948 9949 9951 9952 
2,6 9953 9955 9956 9957 9959 9960 9961 9962 9963 9964 
2,7 9965 9966 9967 9968 9969 9970 9971 9972 9973 9974 
2,8 9974 9975 9976 9977 9977 9978 9979 9979 9980 9981 
2,9 9981 9982 9982 9983 9984 9984 9985 9985 9986 9986 
t 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 
)(tΦ 0,9987 9990 9993 9995 9996 9997 9998 9999 9999 9999 
x
)(tΦ 
t 
Phụ lục 
PHỤ LỤC B: Báng tóm tắt các tính chất cơ bản của phép biến đổi 
Fourier 
l 2( ) ( )i ftX f e x tπ
∞
−
−∞
= ∫ dt 
Tính chất Hàm )(tx Biến đổi Fourier l( )X f 
1. Tuyến tính )()( 21 tBxtAx + l l1 2( ) ( )AX f BX f+ 
2. Đồng dạng )(atx l ( )1 /| | X f aa 
3. Liên hợp )(tx l( )X f− 
4. Đối ngẫu l( )X t )( fx − 
5. Trễ )( dTtx − l2 ( )di Te Xπ− f 
6. Dịch chuyển ảnh )(02 txe tfi π l 0( )X f f− 
7. Điều chế tftx 02cos)( π l l0 01 1( ) (2 2 )X f f X f f− + + 
8. Đạo hàm n
n
dt
txd )(
 ( ) l2 (ni f X fπ ) 
9. Tích phân ∫
∞−
t
duux )( l l1 1( ) (0) ( )
2 2
X f X
i f
δπ + f 
10. Đạo hàm ảnh )(txt n ( ) l( )2 nn nd X fi f dfπ
−− 
11. Tích chập 1 2 1 2( )* ( ) ( )* ( )x t x t x u x t u du
∞
−∞
= −∫ l l1 2( ) ( )X f X f 
12. Tích )()( 21 txtx l l1 2( )* ( )X f X f 
 229
Phụ lục 
PHỤ LỤC C: Báng tóm tắt các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace 
∫
∞ −=
0
)()( dttxesX ist 
Tính chất Hàm )(tx Biến đổi Laplace )(sX
1. Tuyến tính )()( 21 tBxtAx + )()( 21 sBXsAX + 
2. Đồng dạng )(atx ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
a
sX
a
1
3. Dịch chuyển ảnh )(txe ta )( asX − 
4. Trễ )()( atatx −− η )(sXe as− 
5. Đạo hàm 
dt
tdx )(
 )0()( xssX − 
6. Đạo hàm n
n
dt
txd )(
 )0()0()(
)1(1 −− −− nnn xxssXs "
7. Đạo hàm ảnh )(txt n ( ) n
n
n
ds
sXd )(1− 
8. Tích phân ∫
t
duux
0
)( 
s
sX )(
9. Tích phân 
( )∫∫∫ −−=
−t nt
n
t
duux
n
utduux
0
1
00
)(
)!1(
)("
n
sX )(
s
10. Tích phân ảnh 
t
tx )(
 ∫
∞
s
duuX )( 
11. Tích chập 1 2( )* ( )x t x t )()( 21 sXsX 
12. Duhamel 1 2 1 2(0) ( ) ' ( )* ( )x x t x t x t+ )()( 21 sXssX 
13. Tuần hoàn )()( txTtx =+ 
sT
T
st
e
dttxe
sX −
−
−=
∫
1
)(
)( 0 
 230
Phụ lục 
14. ∫
∞ −
0
4 )(1
2
duuxe
t
t
u
π 
( )
s
sX
15. ∫
∞
0
0 )()2( duuxutJ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
s
f
s
11
16. ∫
∞ −
0
22 )()2( duuxutJut n
nn
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+ sfsn
11
1 
17. ∫ −
t
duuxutuJ
0
0 )())(2( ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++ ssfs
1
1
1
2 
18. )(tx 2 ∫
∞ −−
0
42
3
)(
2
1
2
duuXeu u
s
π 
19. ∫
∞
+Γ
0
)1(
)( du
u
uxtu
( )
ss
sf
ln
ln
20. ta
n
k ke
aQ
aP∑ )(' )(k k=1 
)(
)(
sQ
sP
Bậc P(s) < bậc Q(s), Q(s) chỉ có các 
nghiệm đơn là naa ,...,1
 231
Phụ lục 
PHỤ LỤC D: Biến đổi Laplace của các hàm thường gặp 
∫
∞ −=
0
)()( dttxesX ist 
TT Ảnh biến đổi Laplace )(sX Hàm gốc )(tx
1. 
s
1
 1 
2. ...,3,2,1;
1 =n
sn
)!1(
1
−
−
n
t n
3. 0;
1 >ααs )(
1
α
α
Γ
−t
4. 
as −
1
 ate 
5. ...,3,2,1;
)(
1 =− nas n 
at
n
e
n
t
)!1(
1
−
−
6. 0;
)(
1 >− ααas 
atet
)(
1
α
α
Γ
−
7. 22
1
as + a
atsin
8. 22 as
s
+ atcos 
9. 22)(
1
abs +− a
atebt sin
10. 22)( abs
bs
+−
−
 atebt cos 
11. 22
1
as − a
atsh
12. 22 as
s
− atch 
 232
Phụ lục 
13. 22)(
1
abs −− a
atebtsh
14. 22)( abs
bs
−−
−
 atebtch 
15. ( )22 2
1
s a+
32
cossin
a
atatat −
16. ( )22 2
s
s a+
a
att
2
sin
17. ( )
2
22 2
s
s a+
a
atatat
2
cossin +
18. ( )
3
22 2
s
s a+
 atatat sin
2
1cos − 
19. ( )
2 2
22 2
s a
s a
−
+
 t atcos 
20. ( )22 2
1
s a−
32
shch
a
atatat −
21. ( )22 2
s
s a−
a
att
2
sh
22. ( )
2
22 2
s
s a−
a
atatat
2
chsh +
23. ( )
3
22 2
s
s a−
 atatat sh
2
1ch + 
24. ( )
2 2
22 2
s a
s a
+
−
 att ch 
25. ( )32 2
1
s a+
5
22
8
cos3sin)3(
a
atatatta −−
 233
Phụ lục 
26. ( )32 2
s
s a+
3
2
8
cossin
a
atatatt −
27. ( )
2
32 2
s
s a+
3
22
8
cossin)1(
a
atatatta −+
28. ( )
3
32 2
s
s a+
a
atatatt
8
cossin3 2+
29. ( )
4
32 2
s
s a+
a
atatatta
8
cos5sin)3( 22 +−
30. ( )
5
32 2
s
s a+
8
sin7cos)8( 22 atatatta −−
31. ( )
2 2
32 2
3s a
s a
−
+
a
att
2
sin2
32. ( )
3 2
32 2
3s a s
s a
−
+
 att cos
2
1 2 
33. ( )
4 2 2
42 2
6s a s a
s a
− +
+
4
 att cos
6
1 3 
34. ( )
3 2
42 2
s a s
s a
−
+
a
att
24
sin3
35. ( )32 2
1
s a−
5
22
8
ch3sh)3(
a
atatatta −+
36. ( )32 2
s
s a−
3
2
8
shch
a
attatat −
37. ( )
2
32 2
s
s a−
3
22
8
sh)1(ch
a
attaatat −+
38. ( )
3
32 2
s
s a−
a
atatatt
8
chsh3 2+
 234
Phụ lục 
39. ( )
4
32 2
s
s a−
a
atatatta
8
ch5sh)3( 22 ++
40. ( )
5
32 2
s
s a−
8
sh7ch)8( 22 atatatta ++
41. ( )
2 2
32 2
3s a
s a
+
−
a
att
2
sh2
42. ( )
3 2
32 2
3s a s
s a
+
−
 att ch
2
1 2 
43. ( )
4 2 2
42 2
6s a s a
s a
+ +
−
4
 att ch
6
1 3 
44. ( )
3 2
42 2
s a s
s a
+
−
a
att
24
sh3
45. 33
1
as + ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +− − 2/32
2/
2
3cos
2
3sin3
3
at
at
eatat
a
e
46. 33 as
s
+
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −+ − 2/3
2/
2
3cos
2
3sin3
3
at
at
eatat
a
e
47. 
33
2
as
s
+ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−
2
3cos2
3
1 2/ atee atat 
48. 33
1
as − ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −−
−
2
3cos
2
3sin3
3
2/3
2
2/ atate
a
e atat 
49. 33
1
as − ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +−
−
2/3
2/
2
3cos
2
3sin3
3
at
at
eatat
a
e
50. 
33
2
as
s
− ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ + −
2
3cos2
3
1 2/ atee atat 
51. 44 4
1
as + { }atatatata shcoschsin4
1
3 − 
 235
Phụ lục 
52. 44 4as
s
+ 22
shsin
a
atat
53. 
44
2
4as
s
+ 
{ }atatatat
a
shcoschsin
2
1 + 
54. 
44
3
4as
s
+ 
atat chcos 
55. 44
1
as − { }atata sinsh2
1
3 − 
56. 44 as
s
− { }atata cosch2
1
2 − 
57. 
44
2
as
s
− 
{ }atat
a
sinsh
2
1 + 
58. 
44
3
as
s
− 
{ }atat
a
cosch
2
1 + 
59. 
bsas +++
1
3)(2 tab
ee atbt
π−
− −−
60. 
ass +
1
a
aterf
61. 
)(
1
ass − a
ateaterf
62. 
bas +−
1
 ⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ − )erfc(1 2 tbbe
t
e tbat π 
63. 22
1
as +
 )(atJ0 
64. 22
1
as −
 )(atI0 
65. 1;
22
22
−>
+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
n
as
sas
n
 )(atJa n
n 
 236
Phụ lục 
66. 1;
22
22
−>
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
n
as
ass
n
 )(atIa n
n 
67. 
2 2( )
2 2
b s s ae
s a
− +
+
 ))2(( bttaJ +0 
68. 
22
22
as
e asb
+
+−
 )()( 22 btaJbt −−η 0 
69. 322 )(
1
as +
a
attJ )(1 
70. 322 )( as
s
+
 )(attJ0 
71. 322
2
)( as
s
+
 )()( 10 attJatJ − 
72. 
)1()1(
1
s
s
s es
e
es −
−
−=− 
...,2,1,0,1,)( =+<≤= nntnntx 
73. 
)1()(
1
s
s
s res
e
res −
−
−=− 
[ ] [ ]trtx t
k
k ;)(
1
∑
=
= là phần nguyên của t 
74. 
)1(
1
)(
1
s
s
s
s
res
e
res
e
−
−
−
−=−
−
 ...,2,1,0,1,)( =+<≤= nntnrtx n 
75. 
s
e as /−
t
at
π
2cos
76. 
3
/
s
e as−
a
at
π
2sin
77. 1;1
/
−>+
−
ααs
e as
 )2(
2/
atJ
a
t α
α
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
78. 
s
e sa−
 t
a
e
t
4
2
1 −
π 
 237
Phụ lục 
79. sa−e t
a
e
t
a 4
3
2
2
−
π
80. 
s
e sa−−1
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
t
a
2
erf 
81. 
s
e sa−
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
t
a
2
erfc 
82. 
)( bss
e sa
+
−
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
t
atbe abtb
2
erfc)( 
83. 1;1
/
−>+
−
ααs
e sa
 ∫
∞ −
+
0
2412 )2(
1 2
2
duuJeu
at
ta
u
αααπ 
84. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
+
bs
asln 
t
ee atbt −− −
85. ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
2
22
ln
2
1
a
as
s
 )(Ci at 
86. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +
a
as
s
ln1 )(Ei at 
87. 
s
sln+− γ tln ; γ là hằng số Euler 
88. ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+
22
22
ln
bs
as
t
btat )cos(cos2 −
89. 
s
s
s
22 )ln(
6
++ γπ t2ln ; γ là hằng số Euler 
90. 
s
sln
 )(ln γ+− t 
91. 
s
s2ln
6
)(ln
2
2 πγ −+t 
92. 1
)1()1(
+
+Γ−+Γ
α
αα
s
s
; 1−>α tt lnα 
 238
Phụ lục 
93. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
s
aarctg 
t
atsin
94. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
s
a
s
arctg1 )(Si at 
95. ( )/ erfc /a se a s
s
t
e at
π
2−
96. ( )2 2/ 4 erfc / 2s ae s a 222 taea −π 
97. ( )2 2/ 4 erfc / 2s ae s
s
a
 ( )aterf 
98. ( )erfcase as
s
)(
1
at +π 
99. )(Ei aseas at +
1
100. 
a
asasasas )(Cisin)(Si
2
cos −⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −π
 22
1
at + 
101. )(Cicos)(Si
2
sin asasasas +⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −π 22 at
t
+ 
102. 
s
asasasas )(Cisin)(Si
2
cos −⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −π
)/(acrtg at 
103. 
s
asasasas )(Cicos)(Si
2
sin +⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −π
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
2
22
ln
2
1
a
at
104. )(Ci)(Si
2
2
2
asas +⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ −π ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
2
22
ln1
a
at
t
105. 1 )(tδ - hàm Dirac 
106. ase− )( at −δ 
 239
Phụ lục 
107. 
s
e as−
 )( at −η 
108. as
xs
s sh
sh1
 ∑∞
=
−+
1
cossin)1(2
n
n
a
tn
a
xn
na
x ππ
π 
109. as
xs
s ch
sh1
a
tn
a
xn
nn
n
2
)12(sin
2
)12(sin
12
)1(4
1
ππ
π
−−
−
−∑∞
=
110. as
xs
s sh
ch1
 ∑∞
=
−+
1
sincos)1(2
n
n
a
tn
a
xn
na
t ππ
π 
111. as
xs
s ch
ch1
a
tn
a
xn
nn
n
2
)12(cos
2
)12(cos
12
)1(41
1
ππ
π
−−
−
−+ ∑∞
=
112. as
xs
s sh
sh1
2 ∑
∞
=
−+
1
22 cossin
)1(2
n
n
a
tn
a
xn
n
a
a
xt ππ
π 
113. as
xs
s ch
sh1
2 2
1
2
8 ( 1) (2 1) (2 1)sin cos
2 2(2 1)n
na n xx
a an
n tπ π
π
∞
=
− −+ −∑
− 
114. as
xs
s sh
ch1
2 
2
2 2
1
2 ( 1) cos 1 cos
2
n
n
t a n x n t
a an a
π π
π
∞
=
− ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠∑ 
115. as
xs
s ch
ch1
2 2
1
2
8 ( 1) (2 1) (2 1)cos sin
2 2(2 1)n
na n xt
a an
n tπ π
π
∞
=
− −+ −∑
− 
116. 
sa
sx
sh
sh
 ∑∞
=
−−
1
/
2 sin)1(
2 222
n
atnn
a
xnne
a
ππ π 
117. 
sa
sx
ch
ch
2 2
1
(2 1)
21 4
2
(2 1)
(2 1)( 1) cos
2n
n t
n a nn
xe
aa
ππ π∞
=
−−
− −−−∑ 
118. 
sa
sx
s ch
sh1
2 2
1
(2 1)
21 4 (2 1)2 ( 1) sin
2n
n t
n a n xe
a a
π π∞
=
−−
− −−∑ 
119. 
sa
sx
s sh
ch1
2 2
1
21 2 ( 1) cos
2n
n t
n a n xe
a a a
π π∞
=
−
+ −∑ 
 240
Phụ lục 
120. 
sa
sx
s sh
sh1
2 2
1
22 ( 1) sin
2n
n t
a n
nx xe
a n
π
a
π
π
∞
=
−−+ ∑ 
121. 
sa
sx
s ch
ch1
2 2
1
1)(2
24 (2 1)4 ( 1)1 co
2 1 2n
n t
a n
n
s xe
n a
π π
π
∞
=
−− −−+ −∑ 
122. 
sa
sx
s sh
sh1
2 
2 2
2
2
2
1
2 ( 1) (1 )sin2 2
n t
a
n
nnxt a e
a an
π
xπ
π
−∞
=
−+ −∑ 
123. 
sa
sx
s ch
ch1
2 
2 2
2
2
1
1)(2
24 (2 1)
2 2 16 ( 1) cos32 2(2 1)n
n t
a n
na a xt e
an
π
π
∞
=
−− −− −+ −
−∑
x π 
124. 
)(
)(1 0
siaJ
sixJ
s 0
2 2/
0
11
( /1 2
( )
n t a
n
n nn
e J x
J
λ λ
λ λ
−∞
=
− ∑ )a 
...,, 21 λλ là các nghiệm dương của 0)(0 =λJ 
125. 
)(0 siaJs
)(1 0
2
sixJ
2 2/2 2
2 0
3
1 1
( /2
4 ( )
n t a
n
n n n
e J xx a t a
J
λ λ
λ λ
−∞
=
− + + ∑ )a 
...,, 21 λλ là các nghiệm dương của 0)(0 =λJ 
126. )
2
(th12
as
as
 241
127. )(th1 as
2s
128. )
2
(ch222
as
sa
a
π
π
+ 
129. 
)1)(( 222 asesa
a
−−+π
π
130. 
)1(
1
2 as
as
es
e
as −
−
−− 
t1−
1
a a2 a3 a4 
0 
1
a2 a4 
t
0 
1
a2 a3 
a
t
0 
1
a2 a3 
a
t
0 
1
a2 a3 
a
Phụ lục 
131. )1( bs
as
e
s
e −− − )()( batat −−−− ηη 
132. 
)1(
1
ases −− ( ) ([ ]∑ )
∞
=
−−−−
1
)1(
n
natantn ηη 
133. 2
2
)1( s
ss
es
ee
−
−−
−
+
 ( ) ([ ]∑ )∞
=
+−−−
0
2 )1(
n
ntntn ηη 
134. 2)1(
1
as
s
res
e
−
−
−
−
 ( ) ([ ]∑ )∞
=
+−−−
0
)1(
n
n ntntr ηη 
135. 
222
)1(
π
π
+
+ −
sa
ea as
 ( )
a
tatt πηη sin)()( −− 
 242
Tài liệu tham khảo 
 243
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Lê Bá Long, Tài liệu hướng dẫn học tập môn xác suất thống kê cho hệ đào tạo từ xa 
chuyên ngành điện tử viễn thông. 
2. Vũ Gia Tê, Lê Bá Long, Giáo trình toán chuyên ngành cho sinh viên hệ chính quy chuyên 
ngành điện tử viễn thông. Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thông, 2006. 
3. Nguyễn Phạm Anh Dũng, Các hàm và xác suất ứng dụng trong viễn thông. Trung Tâm 
Đào Tạo Bưu Chính Viễn Thông 1, 1999. 
4. Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tín hiệu và lọc số. NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội, 2004 
5. Nguyễn Duy Tiến (và tập thể), Các mô hình xác suất và ứng dụng, tập 1, 2, 3. NXB Đại 
Học Quốc Gia Hà Nội, 2000. 
6. D. L. (Paul) Minh, Applied probability models, Duxbury, Thomson Learning 2001. 
7. A. Angot, Compéments de mathématiques a l’usage des ingénieurs de l’eslektrotechnique 
et des tétécommunications. Paris, 1957. 
8. A. V. Bitsadze, Equations of Mathematical Physics, Mir Publishers Moscow, 1980. 
9. P.J. Buker, 1976. Proof of a conjecture on the interarrival-time distribution in an M/M/1 
queue with feedback. IEEE Transactions on Communications, COM-24, 575-576. 
10. L. W. Couch, II, Digital and Analog Communication Systems. 6th ed, Prentice Hall, 2001. 
11. V. Ditkine et A. Proudnikov, Calcul opérationnel. Dịch ra tiếng Pháp bởi Djilali Embarex, 
Mir 1979. 
12. V. Ditkine et A. Proudnikov, Transformation intégrales et calcul opérationnel. Dịch ra 
tiếng Pháp bởi Djilali Embarex, Mir 1978. 
13. Charles Dixon, Applied Mathematics of science & Engineering. John Wiley & Sons: 
London, New York, Sydney, Toronto 1980. 
14. J. L. Doob, 1953. Stochastic Processes. Willey and Sons, New York. 
15. B.A. Fukxơ và B. V. SaBat, Hàm biến phức và ứng dụng. Bản dịch tiếng Việt của Tràn 
Gia Lịch, Lê Văn Thành và Ngô Văn Lược, NXB Khoa học Hà Nội, 1969. 
16. S. Haykin, 1988. Digital communications. John Willey and Sons. 
17. S. Karlin, 1966. A first Course in Stochastic Processes. Academic Press, New York and 
London. 
18. P. Quinn; B. Andrrews & H. Parsons, 1991. Allocating telecommunications resources at 
L. L. Bean. Inc., Interfaces, 21, 75-91. 
19. M. R. Spiegel, PhD, Theory and Problems of Laplace Transform. Schaum's outline series. 
Mc Graw - Hill Book company, Inc. 1986. 
20. E. J. Savant JR, Fundamentals of the Laplace Transformation. Mc Graw - Hill Book 
company, Inc. 1962. 
Tài liệu tham khảo 
 244
21. C. E. Shannon, Mathematical Theory of Communication. The Bell System Technical 
Journal 1948, Vol. 27, pp. 379 - 423, 623 - 656. 
22. R. E. Ziemer & R. L.Peterson, Introduction to digital communication, Macmillan 
Publishing Company, 1992. 
TOÁN CHUYÊN NGÀNH 
Mã số : 491TNC214 
Chịu trách nhiệm bản thảo 
TRUNG TÂM ÐÀO TẠO BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG 1 
(Tài liệu này được ban hành theo Quyết định số : /QĐ-TTĐT1, 
ngày /07/2006 của Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông)