Sử dụng lưới tựa đều giải gần đúng phương trình song điều hòa với điều kiện biên Dirichlet trong nửa dải

 ISSN: 1859-2171 
e-ISSN: 2615-9562 
TNU Journal of Science and Technology 225(06): 459 - 463 
 Email: jst@tnu.edu.vn 459 
SỬ DỤNG LƯỚI TỰA ĐỀU GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH SONG ĐIỀU 
HÒA VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET TRONG NỬA DẢI 
Trần Đình Hùng*, Nông Quỳnh Vân 
Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên 
TÓM TẮT 
Các bài toán giá trị biên cho phương trình song điều hòa có một số ứng dụng trong vật lý, cơ học 
và kỹ thuật. Trong bài báo này, chúng tôi tìm nghiệm gần đúng của bài toán song điều hòa với điều 
kiện biên Dirichlet trong nửa dải. Sử dụng lưới tính toán tựa đều để tính chủ yếu các giá trị gần 
biên hữu hạn đồng thời có thể xử lý điều kiện biên tại vô cùng. Dựa trên ý tưởng của Polozhii 
trong phương pháp biểu diễn tổng, đưa phương trình véctơ ba điểm về dạng phương trình vô 
hướng ba điểm. Chúng tôi cũng đưa ra một số ví dụ minh họa cho hiệu quả của phương pháp. 
Từ khóa: Lưới tựa đều; phương trình song điều hòa; điều kiện biên Dirichlet; nửa dải; phương 
trình véctơ ba điểm. 
Ngày nhận bài: 21/5/2020; Ngày hoàn thiện: 28/5/2020; Ngày đăng: 31/5/2020 
USING QUASI-UNIFORM GRIDS FOR SOLVING THE BIHARMONIC 
EQUATION WITH DIRICHLET BOUNDARY CONDITIONS IN SEMISTRIP 
Tran Dinh Hung*, Nong Quynh Van 
TNU - University of Education 
ABSTRACT 
Boundary value problems for biharmonic equations have many applications in physics, mechanics 
and engineering. In this paper, we find an approximation solution of the biharmonic problem with 
Dirichlet boundary conditions in a semistrip. Using quasi-uniform grids to find mostly near-finite 
boundary values and at the same time be able to handle boundary conditions at infinity. Using the 
idea of Polozhii in the method of summary representations to transform the system of three-point 
vector equations to systems of three-point scalar equations. Some examples demonstrate the 
applicability of the proposed method. 
Keywords: Quasi-uniform grids; biharmonic equation; Dirichlet boundary; semistrip; three-point 
vector equations. 
Received: 21/5/2020; Revised: 28/5/2020; Published: 31/5/2020 
* Corresponding author. Email: hungtd@tnue.edu.vn 
Trần Đình Hùng và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 459 - 463 
 Email: jst@tnu.edu.vn 460 
1. Giới thiệu 
Các bài toán giá trị biên cho phương trình 
Berger [1] có một số ứng dụng trong vật lý, 
cơ học và kỹ thuật. Cụ thể, bài toán Dirichlet 
cho phương trình Berger biểu diễn trực tiếp 
các ứng dụng trong lý thuyết về độ võng của 
các bản mỏng. Bài toán giá trị biên song điều 
hòa với các điều kiện biên Dirichlet có thể 
được xét như trường hợp đặc biệt của bài toán 
giá trị biên Dirichlet cho phương trình Berger. 
Các bài toán về phương trình song điều hòa 
thu hút được sự quan tâm lớn của rất nhiều 
nhà cơ học và toán học. Trong [2], Meleshko 
đã tổng hợp khá nhiều phương pháp mà các 
nhà cơ học đã sử dụng để giải bài toán song 
điều hòa hai chiều như phương pháp hàm 
Green, phương pháp hàm phức và một số 
phương pháp gần đúng giải tích như phương 
pháp chuỗi Fourier, phương pháp Ritz, 
phương pháp Bubnov-Galerkin với các hàm 
cơ sở được chọn là các hàm trơn đối với một 
số miền đặc biệt như hình chữ nhật, hình 
ellip,... Trong bài này các vấn đề về định tính 
cũng như các đánh giá về độ phức tạp tính 
toán của các phương pháp chưa được đề cập 
đến. Matevossian [3] nghiên cứu về tính giải 
được, duy nhất nghiệm của bài toán biên 
Neumann cho phương trình song điều hòa 
trong miền không giới nội với giả thiết 
nghiệm có tích phân Dirichlet bị chặn. 
Các phương pháp gần đúng giải tích cũng 
được nhiều tác giả sử dụng để giải phương 
trình song điều hòa trong miền bị chặn như 
phương pháp bình phương cực tiểu, phương 
pháp nghiệm cơ bản, phương pháp phương 
trình tích phân biên. Bài toán giải phương 
trình song điều hòa trong nửa dải xuất hiện 
trong lý thuyết đàn hồi và trong nghiên cứu 
dòng chảy chậm của chất lỏng nhớt. 
Một số bài toán biên Dirichlet trong miền 
không giới nội được xử lý khá hiệu quả thông 
qua lưới tính toán tựa đều. Phương pháp này 
thường được áp dụng đối với các bài toán mà 
sự lan truyền vật chất nhỏ dần khi càng xa 
nguồn phát. Khi đó, hầu như các giá trị ở gần 
nguồn sẽ được ưu tiên tính toán và cần độ 
chính xác cao hơn. Hơn nữa, theo lưới tựa 
đều, điều kiện biên tại vô cùng được xử lý 
một cách dễ dàng. 
Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng lưới 
tính toán tựa đều giải gần đúng phương trình 
song điều hòa với điều kiện biên Dirichlet 
trong nửa dải. 
2. Lưới tựa đều 
Cho ( )x  là hàm trơn, đơn điệu chặt của biến 
[0,1]. Lưới không đều 
{ ( / ), 0,1,..., }, N ix x i N i N = = = (1) 
với (0) 0, (1)x x= = + được gọi là lưới tựa 
đều trên [0, ].+ Để xây dựng các lưới tựa 
đều, người ta thường xét 3 hàm [4]: 
( ) ln(1 ),x c = − − 
( ) tan ,
2
x c
 
 = 
( ) .
1
x c



=
−
Khi đó ta được 3 lưới tựa đều tương ứng: 
Lưới logarithm: 
{ ln(1 ), 0,1,..., }N i
i
x c i N
N
 = = − − = . 
Lưới tangent: 
{ tan , 0,1,..., }
2
N i
i
x c i N
N
 = = = . 
Lưới hyperbol: 
{ , 0,1,..., } .N i
i
x c i N
N i
 = = =
−
Trong đó 0c là tham số điều khiển. 
Sử dụng xấp xỉ đạo hàm cấp 2: 
2
1
2
1/2 1/2 3/4 1/4
1
1/4 3/4
1
( ) (
2( )
).
2( )
i i
i
i i i i
i i
i i
u u u
x x x x x
u u
x x
+
+ − + +
−
− −
 −
 −
 − −
−
−
−
 (2) 
Xấp xỉ giá trị của u tại điểm giữa của lưới: 
1 1/2 1/2
1/2 1
1 1
.i i i ii i i
i n i i
x x x x
u u u
x x x x
+ + +
+ +
+ +
− −
 +
− −
Trần Đình Hùng và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 459 - 463 
 Email: jst@tnu.edu.vn 461 
Các công thức trên chứa 
Nu u = nhưng 
không chứa 
Nx = . Các xấp xỉ sai phân hữu 
hạn trên có bậc chính xác 2( ).O N − 
3. Xây dựng lược đồ sai phân 
Xét bài toán giá trị biên Dirichlet cho phương 
trình Berger: 
2 ( ) ( , ), 0, 0 1,u b x u f x y x y − = 
01 02( ,0) ( ), ( ,1) ( ),u x x u x x = = 
0(0, ) ( ), ( , ) 0, ,u y y u x y x= → →+ (3) 
11 12( ,0) ( ), ( ,1) ( ),u x x u x x = = 
1(0, ) ( ).u y y = 
với các giả thiết thông thường là các hàm 
trong (3) liên tục và 
0
0 ( ) , ( , ) 0,
( ) 0, 1,2, .i
b x B f x y
x i x 
 →
→ = → + 
Nhận xét rằng khi ( ) 0b x = , phương trình (3) 
là phương trình bản mỏng kinh điển và nó có 
thể phân tích thành 2 bài toán dạng phương 
trình Poisson liên tiếp. 
Đặt , 0, 0 1.u v x y = 
Khi đó bài toán (3) được chuyển về 2 bài toán 
cấp 2 như sau: 
, 0, 0 1,v bv f x y − = 
 11 12( ,0) ( ), ( ,1) ( ),v x x v x x = = (4) 
 1(0, ) ( ), ( , ) 0, .v y y v x y x= → →+ 
Và , 0, 0 1,u v x y = 
 01 02( ,0) ( ), ( ,1) ( ),u x x u x x = = (5) 
 0(0, ) ( ), ( , ) 0, .xu y y u x y x= → →+ 
Xét lưới tựa đều N (1) theo hướng x và 
lưới đều theo biến y : 
2 ,jy jh= 0,1,..., .j M= 
Khi đó ta có lưới { , }i jx y = với ,i jx y được 
xác định như trên. Gọi ,i jv và ,i ju lần lượt là 
giá trị xấp xỉ của ( , )i jv x y và ( , )i ju x y với 
( , )i jx y  và 
( ), ( , ), ( , ) .i i ij i j i jb b x f f x y x y = = 
Sử dụng công thức xấp xỉ đạo hàm bậc 2 (2) 
trên lưới tựa đều ix và công thức xấp xỉ đạo 
hàm thông thường trên lưới đều iy , ta có lược 
đồ sai phân cho bài toán (4): 
1, ,
1/2 1/2 3/4 1/4
, 1, , 1 , 1
2
1/4 2
,
3/4
1
(
2( )
)
2( )
2
i j i j
i i i i
i j i j i j i jj
i
i
i
v v
x x x x
v v v v
x
v
x h
+
+ − + +
− − +
− −
−
−
− −
− +−
− + −
−
, , ( , )i ji ij i jb v f x y − = (6) 
,0 ,11 12
0, ,1
( ), ( ),
( ), 0.
i i Mi i
j N jj
v x v x
v y v

= =
= =
và lược đồ sai phân cho bài toán (5): 
1, ,
1/2 1/2 3/4 1/4
1
(
2( )
i j i j
i i i i
u u
x x x x
+
+ − + +
−
−
− −
, 1, , 1 , 1
,
2
1/4 3
,
/4 2
) ,
2( )
2 ji j i j i j i j
i j
i i
iu u u u
v
u
x x h
− − +
− −
− +
− =
−
+
−
( , )i jx y  (7) 
,0 ,01 02
0, ,0
( ), ( ),
( ), 0.
i i Mi i
j N jj
u x u x
u y u

= =
= =
Lược đồ sai phân (6) và (7) có cấp xấp xỉ là 
2 2
2( ).O N h
− + 
4. Phương pháp giải 
Viết lại lược đồ sai phân (6) dưới dạng hệ 
phương trình véctơ ba điểm: 
1
1 12 2
2 2
1 2
( ,)i i i ii i i i i iAV TV B V A B b V F
h h
− ++ + − + + + =
1,2,...,i N= (8) 
trong đó: 
Trần Đình Hùng và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 459 - 463 
 Email: jst@tnu.edu.vn 462 
1/2 1/2 1/4 3/4
1
,
)2( ( )
i
i i i i
A
x x x x+ − − −
=
− −
1/2 1/2 3/4 1/4
1
,
)2( ( )
i
i i i i
B
x x x x+ − + +
=
− −
 (9) 
1,2,..., .i N= 
,1
1 1
,2
1 2
0
, 2
1 1
, 1
( )
( )
, ,...
...
( )
i
i
i
i M
M
i M
v
y
v
y
V V
v
y
v



−
−
−
 = =
,1 112
2
,2
1
, 2
, 1 122
2
1
( )
, 1,2,..., ....
1
( )
i i
i
i
i M
i M i
f x
h
f
F i N
f
f x
h
−
−
− 
= = 
 − 
0NV = và T là ma trận cấp 1M − : 
0 1 0 0 ... 0 0 0
1 0 1 0 ... 0 0 0
0 1 0 1 ... 0 0 0
.. . . . ... . . .
. . . . ... . . .
0 0 0 0 ... 1 0 1
0 0 0 0 ... 0 1 0
T
= 
Tiếp theo, chúng tôi áp dụng phương pháp đối 
trong [5] dựa trên ý tưởng của Polozhii trong 
phương pháp biểu diễn tổng để biến đổi hệ vô 
hạn phương trình véctơ ba điểm thành hệ vô 
hạn phương trình vô hướng ba điểm. 
Ký hiệu 
2
( ), sin ,ij ij
ij
S s s
M M
= = 
1 2 1[ , ,..., ], 2cos ,M j
j
M
   − = = 
, 1,2,..., 1.i j M= − 
Dễ thấy 2,TS S S E= = và 1 .T S S−=  
Nhân (8) với S và đặt 
1 1
,( ) , 0,1,2,...,ii i jW w SV i N= = = 
1 1 1
,( ) 1,2,..., , 1,2,..., 1.,i i j iG g SF i N j M= = = = −
Khi đó (8) được đưa về dạng hệ phương trình 
véctơ ba điểm của 1, 0,1,2,...,iW i = như sau: 
1 1 1
1 12
2
1
i i i i iAW W BW
h
− ++  + − 
 1 1
2
2
2
( ) , 1,2,..., .i i i i iA B b W G i N
h
− + + + = = 
Khi cố định chỉ số j ta có hệ phương trình vô 
hướng ba điểm: 
1 1 1 1 1
1, , , 1, , , 1,2,...,i i j i j i j i i j i jAw C w B w F i N− +− + = − =
 1 10, 0 ,, 0,j N jw w= = (10) 
trong đó 
iA và iB được xác định trong (9), 
1
1 1
, , 0 , 1
1
, ( )
M
i j i j j l l
l
F g s y 
−
=
= − = và 
1 2
, 2
2
4
sin 0.
2
i j i i i
j
C A B b
h M
= + + + 
Để giải hệ phương trình vô hướng ba điểm 
(10), ta có thể áp dụng phương pháp truy đuổi 
trong [6]. 
Sau khi tìm được 1, 0,1,2,..., ,iW i N= iV 
được xác định bởi 1, 0,1,2,..., .i iV SW i N= = 
Nghiệm của lược đồ sai phân (7) được tìm 
tương tự như trên. 
Chúng tôi thực hiện một số ví dụ số trên 3 lưới 
tựa đều logarithm, tangent và hyperbol, số nút 
lưới là N, tham số điều khiển c . Trong bảng kết 
quả sai số .max | ( ) |,i j i j
i
u u x y− biểu diễn sai 
số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm đúng. 
Ví dụ 1. Chọn 
3
(1 )
( ) 2, .
1
x y
b x u
x
+
= =
+
Bước lưới 2 0,1.h = Kết quả tính toán trên 
lưới tựa đều được cho trong bảng 1. 
Trần Đình Hùng và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 459 - 463 
 Email: jst@tnu.edu.vn 463 
Bảng 1. Sai số của nghiệm gần đúng trong ví dụ 1 
N c Sai số 
logarithm tangent hyperbol 
40 1 0,0216 32.10− 32.10− 
60 1 0,0159 44.10− 43.10− 
Ví dụ 2. Chọn 
2( ) 1, sin( 2)cosxb x u e x y−= = + 
Tham số điều khiển 1.c = Kết quả tính toán 
trên lưới tựa đều được cho trong bảng 2: 
Bảng 2. Sai số của nghiệm gần đúng trong ví dụ 2 
N 
2h Sai số 
logarithm tangent hyperbol 
40 0.1 0,0445 0,0148 0,0163 
60 0.1 0,0329 0,0103 0,0092 
40 0.01 6.10-3 3.10-5 4.10-5 
60 0.01 2.10-3 10-5 2.10-5 
Ví dụ 3. Trong ví dụ này, ta xét trường hợp 
chưa biết trước nghiệm đúng của bài toán. 
Chọn 
01 02 0
11 12 1
( ) 0, ( ) 0, ( ) 1,
( ) 0, ( ) 0, ( ) 0.
x x y
x x y
 
 
= = =
= = =
Hàm vế phải: 
5sin( )
( , ) .
cos( )
x
f x y
x y y
=
+ +
Chọn bước lưới 2 0,1.h = 
Hình 1. Đồ thị nghiệm xấp xỉ sử dụng lưới tựa đều 
tangent với N = 40, c = 1. 
5. Kết luận 
Nội dung chính của bài báo là áp dụng lưới 
tựa đều vào giải bài toán biên Dirichlet cho 
phương trình song điều hòa trong nửa dải và 
áp dụng ý tưởng của Polozhii trong phương 
pháp biểu diễn tổng để đưa phương trình 
véctơ ba điểm về dạng phương trình vô 
hướng ba điểm. Một số thực nghiệm số được 
thực hiện minh họa cho tính hữu hiệu của 
phương pháp. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES 
[1]. H. M. Berger, “A new approach to the 
analysis of large deflection of plates,” Journal 
of Applied Mechanics, vol. 22, pp. 465-472, 
1955. 
[2]. V. V. Meleshko, “Selected topics in the 
history of the two-dimensional biharmonic 
problem,” Applied Mechanics Reviews, vol. 
56, no. 1, pp. 33-85, 2003. 
[3]. O. A. Matevossian, “On solutions of the 
Neumann problem for the biharmonic 
equation in unbounded domains,” Math 
Notes, vol. 98, pp. 990-994, 2015. 
[4]. R. Fazio, and A. Jannelli, “Finite difference 
schemes on quasi-uniform grids for BVPs on 
infinite intervals,” Journal of Computational 
and Applied Mathematics, vol. 269, pp. 14-
23, 2014. 
[5]. Q. A. Dang, and D. H. Tran, “Method of 
infinite systems of equations for solving an 
elliptic problem in a semistrip,” Applied 
Numerical Mathematics, vol. 87, pp. 114-124, 
2015. 
[6]. A. Samarskii, The Theory of Difference 
Schemes. New York:. Marcel Dekker, 2001.