Tổng hợp đường lăn của hệ bánh răng không tròn kiểu hành tinh

Tạp chí Khoa học và Công nghệ 140 (2020) 005-010 
5 
Tổng hợp đường lăn của hệ bánh răng không tròn kiểu hành tinh 
Pitch Line Synthesis of Noncircular Planetary Gears 
Nguyễn Hồng Thái 1,*, Nguyễn Thành Trung 1,2 
1Trường Đại học Bách khoa Hà Nội - Số 1 Đại Cồ Việt, Hai Bà Trưng, Hà Nội 
2 Viện Nghiên cứu cơ khí, bộ Công thường - Số 4 Phạm Văn Đồng, Cầu Giấy, Hà Nội 
Đến Tòa soạn: 11-8-2018; chấp nhận đăng: 20-01-2020 
Tóm tắt 
Trong quá trình thiết kế hệ bánh răng không tròn, tổng hợp đường lăn của các bánh răng trong hệ nhằm 
đảm bảo hệ bánh răng ăn khớp đúng hàm truyền là một trong những bước quan trọng. Vì vậy, trong nghiên 
cứu này các tác giả trình bày một phương pháp tổng hợp đường lăn mới của hệ bánh răng không tròn kiểu 
hành tinh trên cơ sở biết trước đường lăn của bánh răng vệ tinh. Ngoài ra, nghiên cứu cũng đã xác định 
được điều kiện để đương lăn của bánh răng trung tâm thứ hai bao được hệ bánh hành tinh khuyết phía 
trong mà các nghiên cứu trước đây đều phải dựa vào kinh nghiệm. Đồng thời nghiên cứu này cũng đã đưa 
ra quy trình tổng hợp đường lăn của hệ bánh răng không tròn kiểu hành tinh đầy đủ. 
Từ khóa: Bánh răng không tròn, hệ bánh không tròn kiểu hành tinh, hệ bánh răng hành tinh, đường lăn. 
Abstract 
During process of designing noncircular planetary gearing system, one of the most important tasks is 
synthesis of pitch lines of the gears with condition of preserving correct transmission function. In this work, 
the authors present a method for synthesizing pitch lines of the noncircular planetary gearing system based 
on given pitch line of the planetary gear. In comparison with previous experience-based methods, this work 
also sets the condition for the pitch line of the second sun gear, which will cover all the inside planetary 
gears. Moreover, the authors propose a synthesizing process of the pitch lines of the noncircular planetary 
gearing system. 
Keywords: noncircular gears, noncircular planetary gears, planetary gear train, pitch lines. 
1. Đặt vấn đề* 
Người đưa ra ý tưởng đầu tiên về thiết kế và ứng 
dụng bánh răng không tròn (BRKT) là Giovanni 
Dondi (1330-1388) nhà chế tác đồng hồ người Ý. 
Thiết kế đầu tiên của BRKT được ông giới thiệu đầy 
đủ trong bản thảo “Tractatus Astrarii” và được ứng 
dụng trong thiết kế đồng hồ thiên văn vô cùng tinh 
sảo và phức tạp [1]. Năm 1410 lần đầu tiên, đồng hồ 
thiên văn chế tạo theo thiết kế của Giovanni Dondi đã 
được lắp đặt tại Praha, Cộng hòa Séc cho đến nay vẫn 
còn hoạt động và được coi là đồng hồ thiên văn cổ 
nhất trên thế giới. Hơn một thế kỷ sau, BRKT lại 
được nhà bác học Leonardo Da Vinchi nghiên cứu 
ứng dụng trong thiết kế, chế tạo máy móc và thiết bị 
như: đồng hồ, nhạc cụ, các công cụ tự động, máy làm 
chìa khóa chuyên dụng, cơ cấu Mantơ, bơm.v.v.. 
Những thiết kế này đã được lưu lại và xuất bản chính 
thức vào năm 1493 [2]. Cho đến những năm gần đây 
với sự phát triển của các máy gia công điều khiển số 
hiện đại, gia công có độ chính xác cao cùng với sự 
xuất hiện của các phương pháp gia công mới, cũng 
như sự phát triển của nền công nghiệp sản xuất phụ 
trợ đã làm giá thành sản xuất BRKT tiệm cân với giá 
*
 Địa chỉ liên hệ: Tel.: (+84) 913530121 
 Email: thai.nguyenhong@hust.edu.vn 
thành sản xuất bánh răng có tỷ số truyền không đổi 
truyền thống. Đây là động lực cho việc nghiên cứu và 
phát triển các loại BRKT trong đó phải kể đến Boyd 
(1940) đã nghiên cứu thiết kế bộ điều khiển cơ khí 
bằng hệ bánh răng elip thường [3], Dooner và các 
đồng nghiệp đề xuất sử dụng bốn cặp BRKT tạo 
thành một hệ thường kết hợp với hệ bánh răng có tỷ 
số truyền không đổi để chế tạo hộp biến đổi tốc độ vô 
cấp CVT cho động cơ đốt trong có công suất 200 HP 
[4], năm 2011 Zheng và đồng nghiệp lại tiếp tục 
nghiên cứu phát triển hoàn thiện hơn về các bộ CVT 
đời mới này [5], hay một hướng nghiên cứu khác đó 
là ứng dụng bánh răng không tròn trong thiết kế cơ 
cấu đánh lái của ô tô [6, 7]. Ngoài những nghiên cứu 
ứng dụng kể trên còn có các nghiên cứu về thiết kế, 
chế tạo như [8 - 10] v.v.. Tuy nhiên, các nghiên cứu 
thường tập trung vào thiết kế một cặp BRKT [11, 12], 
hoặc là các hệ BRKT thường [13], còn hệ BRKT kiểu 
hành tinh có rất ít công trình nghiên cứu. Mặt khác, 
việc thiết kế đường lăn là một trong những bước thiết 
kế đầu tiên để hình thành một hệ BRKT đã được 
Litvin [13] và D. Mundo [14] đề cập đến. Nhưng 
Litvin tập trung nghiên cứu về hệ BRKT thường, còn 
D. Mundo đã thiết lập các điều kiện phục vụ cho thiết 
kế các hệ BRKT kiểu hành tinh đầy đủ khi biết trước 
hàm truyền và khoảng cách trục của một cặp, từ đó 
suy ra các cặp còn lại. Với phương pháp của Mundo 
Tạp chí Khoa học và Công nghệ 140 (2020) 005-010 
6 
việc xác định các tham số thiết kế phải dựa trên kinh 
nghiệm của người thiết kế nhằm đảm bảo đường lăn 
của bánh răng trung tâm ngoài bao toàn bộ cặp bánh 
răng hành tinh khuyết phía trong. Để khắc phục 
nhược điểm trên của Mundo trong bài báo này các tác 
giả trình bày một phương pháp tổng hợp đường lăn 
mới và đưa ra các điều kiện biên làm cơ sở khoa học 
cho việc xác định các tham số này. 
2. Cơ sở lý thuyết thiết kế đường lăn của cặp bánh 
răng không tròn khi biết trước một đường lăn 
2.1. Thiết kế đường lăn của cặp BRKT ăn khớp 
ngoài khi biết trước một đường lăn 
Nếu gọi:  1 là đường lăn của bánh răng 1 với 
giả thiết đường lăn được cho trước; P1 là điểm bất kỳ 
trên 1 tại thời điểm thứ i; )( 11 P là khoảng cách từ 
P1 đến O1 tâm quay của bánh răng 1; 1 là góc hợp 
bởi O1 P1 với O1O2 được mô tả trên Hình 1. 
Hình 1. Xác định đường lăn đối tiếp của cặp BRKT 
ăn khớp ngoài 
Như vậy, sau khi bánh răng 1 quay đi một góc 
1 để đưa điểm P1 về trùng với P (tâm ăn khớp) trên 
O1O2 theo [15] thì tương ứng đối tiếp với điểm P1 ta 
sẽ có một điểm P2 trên  
2
 đường lăn của bánh răng 2 
lăn không trượt đối tiếp với bánh răng 1; )( 22 P là 
khoảng cách từ P2 trên  
2 đến tâm quay O2 của bánh 
răng 2; )( 12 là góc hợp bởi O2P2 với O1O2; 
2112 OOa là khoảng cách hai tâm quay. Như vậy, ta 
có: 
 )()( 1112122 PP a (1) 
Tỷ số truyền của cặp BRKT được cho bởi: 
)(
)(
)(
)(
)(
11
1112
11
122
112
P
P
P
P a
i
 (2) 
Lấy tích phân công thức (2) theo góc quay 1 của 
bánh răng 1 ta có góc cực 12 : 
1
1
0 11
1112
12
)(
)(
)( 
d
a
P
P
 (3) 
Từ (1 và 3) xét trong hệ quy chiếu f{O1xfyf} gắn liền 
với giá, phương trình đường lăn  2 được cho dưới 
dạng đại số: 
  TPzRr )(00)(, 12122  (4) 
Trong đó: 
 
100
0)(cos)(sin
)(sin)(cos
)(, 1212
121212
12 
a
zR 
2.2. Thiết kế đường lăn của cặp BRKT ăn khớp 
trong khi biết trước một đường lăn 
Trong trường hợp này  3 được giả thiết là biết 
trước. Từ Hình 2 với lập luận như trên ta có: 
)()( 333434 PP a (5) 
Còn tỷ số truyền của cặp bánh răng (3, 4) được cho 
bởi: 
)(
)(
)(
)(
)(
33
3334
33
34
334
P
P
P
P a
i
 (6) 
Góc 
4P
 tương ứng với 
3P
 , tại thời điểm thứ i được 
cho bởi: 
 3
3
0 33
3334
34 )(
)(
)( 
d
a
P
P
P 
 (7) 
Từ (5 và 7) xét trong hệ quy chiếu f{O4xfyf} gắn 
liền với giá, phương trình đường lăn  4 được cho 
bởi: 
Hình 2. Xác định đường lăn đối tiếp của cặp BRKT 
ăn khớp trong 
O3 
P4i 
 P4i 
 3i 
yf 
34a
 3 
O4 Pi+1 
P4i+1 
Pi 
P3i+1 
P3i 
 3i+1 4i+1 4i 
 P4i+1 P3i 
 P3i+1 
xf 
 4 
yf 
Ʃ
1
O1 
φ1i 
φ2i 
P1i+1 
P1i 
Pi Pi+1 
P2i 
P2i+1 Ʃ2
φ2i+1 
φ2i 
 ρP2i ρP2i+1 
ρP1i+1 
ρP1i xf 
O2 
12a
Tạp chí Khoa học và Công nghệ 140 (2020) 005-010 
7 
  TPzRr )(00)(,)( 333434  (8) 
Trong đó: 
 
100
0)(cos)(sin
)(sin)(cos
)(, 3434
343434
34 
a
zR 
3. Tổng hợp đường lăn của hệ bánh răng không 
tròn kiểu hành tinh 
Trong phần này trình bày phương pháp tổng hợp 
đường lăn của hệ BRKT kiểu hành tinh đầy đủ được 
mô tả trên Hình 3. Trong đó khâu 1 là bánh răng 
trung tâm, khâu 2 là cần, khâu 3 là bánh răng vệ tinh, 
khâu 4 là bánh răng trung tâm thứ 2 của hệ. Trong 
trường hợp này đường lăn  3 của bánh răng vệ tinh 3 
là đường tròn lệch tâm được giả thiết là biết trước. 
Bài toán đặt ra là phải tìm đường lăn  1 của bánh 
răng trung tâm 1 và đường lăn  4 của bánh răng 
trung tâm thứ 2, vấn đề này được trình bày trong mục 
3.2 và 3.3 dưới đây. 
Hình 3. Lược đồ xác định đường lăn của hệ BRKT 
kiểu hành tinh kép 
3.1. Phương trình đường lăn  3 của bánh răng vệ 
tinh 3 
Nếu gọi đường tròn 3(O,R) là đường lăn của 
bánh răng vệ tinh 3, với: tâm quay lệch tâm một 
khoảng e; P3 là một điểm bất kỳ trên  
3. Xét trong hệ 
quy chiếu 3{O3x3y3} gắn trên  
3
 ta có: P3 là khoảng 
cách từ điểm P3 bất kỳ trên  
3 đến tâm quay O3 khi 
đó ta có: 
3
222
333 sincos)( eReP (9) 
với:   203  
3.2. Xác định đường lăn  1 của bánh răng trung 
tâm thứ nhất theo đường lăn  3 của bánh răng vệ 
tinh 
Để xác định đường lăn  1 theo đường lăn  3, 
áp dụng phương pháp đổi giá coi cần 2 là cố định 
(Hình 3) và gọi 13a là khoảng cách giữa hai tâm quay 
O1, O3 của cặp bánh răng (1, 3), khi đó 13P là 
khoảng cách từ điểm P13 trên đường lăn  
1 tới tâm 
quay O1 đối tiếp với P31 trên  3, xét tại thời điểm 
PPP  1331 tại vị trí I, trên Hình 3 ta có: 
)()( 3131133113 PP a (10) 
Thay (10) vào (2) ta có hàm truyền )( 3113 i : 
)(
)(
)(
3113
311313
3113
P
Pai
 (11) 
Từ (11) ta có: 
 31
31
0 3113
311313
3113
)(
)(
)( 
d
a
P
P
 (12) 
Thay các công thức (10 và 12) thay vào (4) hoàn 
toàn xác định được  1. 
Xét trong trong chuyển động tương đối giữa 
bánh răng 3 so với bánh răng trung tâm 1, khi bánh 
răng 1 quay được một vòng, để  3 lăn không trượt 
trên  1 thì bánh răng 3 phải quay được 3n vòng. Như 
vậy, theo tài liệu [12 - 14] ta có: 
31
2
0 3113
311313
3 )(
)(2
d
a
n P
P
 (13) 
Giải phương trình (13) xác định được khoảng 
cách trục ),,( 31313 Renaa với 3n là số nguyên 
dương. Sau khi xác định được 13a thay vào (10, 12) 
và (4) thì  1 hoàn toàn xác định. 
3.3. Xác định đường lăn  4 của bánh răng 4 theo 
 3 của bánh răng vệ tinh 
Trong trường hợp này, coi hai tâm O4, O3 là cố 
định và khi đó cặp bánh răng (4, 3) là cặp bánh răng 
Hình 4. Đường lăn của bánh răng 3 
e
O3 
P3 
 P3 
R 
 3 
y3 
x3 
 3 
O 
 13 
1 
O4 
3 
2 
4 
O1 
O3 
 31 
P13 
P31 
P 
P 
P43 43 
 34 P34 
13a
34a 
II 
I 
Tạp chí Khoa học và Công nghệ 140 (2020) 005-010 
8 
ăn khớp trong. Nếu gọi 34a là khoảng cách giữa hai 
tâm quay O3 và O4; còn )( 3443 P là khoảng cách từ 
điểm P43 trên  
4
 đến tâm quay O4, xét tại thời điểm 
PPP  4334 tại vị trí II, trên Hình 3 ta có: 
 )()( 3434343443 PP a (14) 
Thay (14) vào (6) : 
 134343434343434 )()()(
 PPai (15) 
Từ (15) ta có: 
 34
0
1
34343434343443
34
)()()( 
da PP 
 (16) 
Tương tự như trên, khi bánh răng 4 quay được một 
vòng để  3 lăn không trượt trên  4 thì bánh răng 3 
phải quay 3'n vòng, vì vậy: 
34
2
0 343434
3434
3 )(
)(
'
2
d
an P
P
 (17) 
Giải phương trình (17) xác định được khoảng 
cách trục ),,'( 34343 Renaa với 3'n là số nguyên 
dương. Khi xác định được 34a thay vào (14, 16) và 
(8) thì  4 cũng hoàn toàn xác định. Mặt khác, từ 
phương trình (13) và (17) ta nhận thấy 13a , 43a phụ 
thuộc vào 3n và 3'n còn e , R là các thông số cho 
trước. Như vậy, khi chọn 3n theo quy luật của 13i thì 
3'n phải chọn thế nào? và thỏa mãn điều kiện gì? Vấn 
đề này sẽ được trình bày trong mục 3.4 dưới đây. 
3.4. Xác định điều kiện để  4 bao được hệ hành 
tinh khuyết  1 và  3 
Ta dễ dàng nhận thấy để  4 bao được hệ  1 và 
 3 thì: 
 313min4 a (18) 
Trong đó: 
min3max33
 (19) 
Mặt khác, ta có: 
max1min313
 a (20) 
min3min434
 a (21) 
Thay (19, 20, 21) vào (18) ta có: 
min3max31334
2 aa (22) 
Do 
33
 luôn dương, vì vậy: 
33min3max3133334
2 aa ( 23) 
Từ (23) ta có: 
33min3max313
33
3334
33
2 
 aa
 (24) 
Lấy tích phân 2 về của (23) với   203  ta có: 
 3
2
0 33min3max313
33
2
0
3
3334
33
2
d
a
d
a
 (25) 
Kết hợp (25) với (17) ta có: 
 3
2
0 33min3max313
33
3 2'
2
d
an (26) 
Từ (26) ta có: 
 3
2
0 33min3max313
33
3
2
2
'
d
a
n
 (27) 
Bất phương trình (27) cho phép xác định  4 bao 
được hệ  1 và  3 để tạo thành hệ BRKT kiểu hành 
tinh đầy đủ. 
4. Ví dụ áp dụng 
Cho trước đường lăn của bánh răng vệ tinh 3 là 
đường tròn (O,R) với tâm quay O3 có R = 100 mm và 
độ lệch tâm e = 20 mm, chọn n3 = 3 thay vào phương 
trình (13) và (11) ta có 7,39813 a mm. Từ R = 100 
mm và e = 20 mm ta có 80min3 mm, 
120max3 mm, thay vào (27) ta có 3'n > 5,589. Mặt 
khác, từ (17) thì 3'n phải là số nguyên dương, vì vậy 
để  4 bao được hệ  1 và  3 thì 6'3 n , còn khi nhỏ 
hơn thì  4 không bao được hệ  1 và  3. Để chứng 
minh điều này ta hãy chọn 3'3 n và 4'3 n khi đó 
khoảng các trục lần lượt là 6,19643 a mm và 
4,29543 a mm, đường lăn tương ứng được cho trên 
Hình 5, còn với 5'3 n khi cho bánh răng 4 cố định để 
đảm bảo hệ bánh răng (1, 3, 4) cùng trên một mặt 
phẳng theo lược đồ Hình 10b thì xuất hiện giao thoa 
giữa đường lăn  4 và  3, nhưng khi để các cặp (1, 3) 
và (3, 4) quay tương đối với nhau trên các mặt phẳng 
song song thì vẫn đáp ứng hàm truyền. 
Vì vậy, để đường lăn  4 bao được hệ  1 và  3 
thì phải chọn tối thiểu 6'3 n . Như vậy, bộ thông số 
thiết kế đường lăn của hệ BRKT kiểu hành tinh đầy 
đủ được cho trong bảng 1. 
Bảng 1. thông số thiết kế đường lăn của hệ BRKT 
kiểu hành tinh 
R e 
13a 43a 1n 4n 
[mm] [mm] [mm] [mm] 
100 20 398,7 493,3 3 6 
Từ dữ liệu thiết kế này ta có bản thiết kế đường 
lăn của hệ BRKT hành tinh đầy đủ được mô tả trên 
hình 6. 
Tạp chí Khoa học và Công nghệ 140 (2020) 005-010 
9 
Hình 6. Đường lăn của hệ BRKT kiểu hành tinh 
Trong đó bán kính 1P , 1P , 4P của từng bánh 
răng so với tâm quay được mô tả trên hình 7. 
Từ hình 7, dễ dàng nhận thấy bán kính thay 
đổi theo chu kỳ và số chu kỳ bằng in . Ngoài ra, một 
điểm cần lưu ý là: để khoảng cách trục không đổi 
13a và 34a bằng hằng số thì biên độ phải bằng nhau 
trong trường hợp này 1 = 3 = 404 mm. Như 
vậy tỷ số truyền của cặp bánh răng (1,3) và (3,4) của 
hệ BRKT được mô tả trên Hình 8 và Hình 9. 
Với điều kiện phân bố đều số răng trên đường 
lăn và thỏa mãn điều kiện không cắt lẹm chân răng 
[14], ta tính được thông số của thanh răng sinh: Mô 
đun m = 1.758 mm, góc áp lực = 200, bước răng t = 
5.5232 mm. Như vậy, số răng của bánh răng trụ thân 
khai lệch tâm 3, z3 = 20. 
Áp dụng phương pháp tạo hình bằng thanh răng 
sinh đối với bánh răng vệ tinh 3, sau khi tạo hình biên 
dạng răng của bánh răng 3 để bánh răng 1 và 4 cùng 
Mô đun với bánh răng 3, lấy bánh răng 3 làm bánh 
răng sinh để tạo hình cho bánh răng 1 và 4 theo 
phương pháp bao hình của tài liệu [16] từ đó lập 
trình bằng AutoLisp trong môi trường AutoCAD ta 
có bản thiết kế hệ BRKT hành tinh được mô tả trên 
Hình 10a. Hình 10 là hệ bánh răng không tròn được 
thiết kế trên cơ sở kết quả đường lăn được mô tả trên 
Hình 6. Nếu cố định bánh răng trung tâm 1 hoặc bánh 
răng trung tâm 4 ta được hệ BRKT kiểu hành tinh đầy 
đủ. 
Hình 7. Bán kính của các bánh răng trong hệ 
BRKT hành tinh đầy đủ 
Hình 8. Tỷ số truyền của cặp BRKT (1, 3) theo góc 
quay của trục dẫn động 
5. Kết luận 
Điểm mới của nghiên cứu này là đã xác định được 
điều kiện để đường lăn của bánh răng trung tâm thứ 
hai bao được hệ BRKT hành tinh khuyết phía trong, 
khi thiết kế hệ BRKT kiểu hành tinh đầy đủ. Điều 
kiện này cho phép tự động hóa thiết kế đường lăn của 
hệ bánh răng này với sự hỗ trợ của máy tính thay vì 
kinh nghiệm của người thiết kế. Ngoài ra, nghiên cứu 
này cũng đưa ra được quy trình tổng hợp đường lăn 
mới khi thiết kế hệ BRKT hành tinh đầy đủ như sau: 
Bước 1: xác định phương trình  3 của bánh 
răng vệ tinh. 
0 50 100 15
0 
20
0 
250 300 350 
0 
100 
200 
300 
400 
500 
600 
700 
3P 
4P 
1P 
][mm 
]0[ 
O3 O4 O1 O3 O4 
O1 
 a) n1 = 3, n4 = 3 b) n1 = 3, n4 = 4 
Hình 5. Các trường hợp đường lăn  4 không bao 
được  1 và  3 
4 
3 
1 1 
3 
4 
0 50 350 100 150 200 250 
5.5 
5 
6 
6.5 
7 
7.5 
]0[
4 
Hình 9. Tỷ số truyền của cặp BRKT (3, 4) theo góc 
quay của bánh răng 4 
i 3
4
( 
4
) 
]0[
1 
0 50 350 100 150 200 250 
2.6 
2.2 
3 
3.4 
3.8 
4 
i 1
3
( 
3
) 
1 
O4 
3 
2 
4 
O1 
O3 
Tạp chí Khoa học và Công nghệ 140 (2020) 005-010 
10 
Bước 2: xác định  1 theo  3 
+ Tính khoảng cách trục ),,( 11313 Renaa theo 
phương trình (13) với 3n là chu kỳ của  
1 và xác 
định hàm tỷ số truyền 13i theo công thức (11). 
+ Xác đinh tham số độc cực ( 13P , 13 ) của  
1 
theo 
công thức (10, 12). 
+ Thiết lập phương trình của  1 dưới dạng đại số 
theo công thức (4). 
Bước 3: xác định  4 theo  3 
+ Xác định số chu kỳ 3'n của  
4 theo bất phương 
trình (27) để đảm bảo  4 bao được ( 1,  3 ) và 
thiết lập hàm tỷ số truyền theo công thức (15) 
+ Tính khoảng cách trục ),,( 44343 Renaa theo 
phương trình (13). 
+ Xác đinh tham số độc cực ( 43P , 43 ) của  
4 
theo 
công thức (14, 16). 
+ Thiết lập phương trình của  1 dưới dạng đại số 
theo công thức (8). 
Tài liệu tham khảo 
[1] Poulle E, Equatoires et horlogerie plan´etaire du XIII´ 
e au XVI e si`ecle, Tome I, Librairie Droz, (1980) 
511-550. 
[2] Leonardo da Vinci, Codex Madrid (1493). 
[3] W.W. Boyd, Elliptical gears provide feed control, 
Mach. Des. 12 (1940). 
[4] D. Dooner, H-D Yoon and A Seireg, Kinematic 
considerations for reducing the circulating power 
effects in gear-type continuously variable 
transmissions, Proc Instn Mech Engrs Vol 212, Part D 
(1998) 463 – 478, Doi: 10.1243/0954407981526118 
[5] Fang Yan Zheng, Ai Hua Ren, Chuan Qiong Sun, Guo 
Xing Sun, The Optimization and Simulation of New 
Type Non-Circular Gears in CVT, Applied Machanics 
and Materials, Vol 86 (2011) 684-687, Doi: 
10.4028/www.scientific.net/AMM.86.684 
[6] Takashi Emura, Akira Arakawa, A New Steering 
Mechanism Using Noncircular Gears (1992) 604-610, 
Doi: 10.1299/kikaic.57.154 
[7] Dooner, D.B, Function generation utilizing an 8-Bar 
linkage and optimized noncircular gear elements with 
application to automotive steering, Institution of 
Mechanical Engineers, Part C (2001) 847-857, Doi: 
10.1243/0954406011524090 
[8] David B. Dooner, Kinematic geometry of gearing, 
Wiley, (2012) 
[9] Fangyan Zheng, Lin Hua, Xinghui Han, Bo 
Li and Dingfang Chen, Synthesis of Shaped 
Noncircular Gear Using a Three-Linkage Computer 
Numerical Control Shaping Machine, Journal of 
Manufacturing Science and Engineering Vol 139 
(2017), Doi: 10.1115/1.4035794 
[10] Giorgio Figliolini, Jorge Angeles, The synthesis of 
elliptical gears generated by shaper – cutters, Journal 
of Mechanical Design, ASME, Vol. 125 (2003) 793-
801, Doi: 10.1115/1.1631573 
[11] Fangyan Zheng, Lin Hua, Xinghui Han, Bo Li, 
Dingfang Chen, Synthesis of indexing mechanisms 
with non-circular gears, Mechanism and Machine 
Theory 105 (2016) 108-128, Doi: 
10.1016/j.mechmachtheory.2016.06.019 
[12] Faydor L. Litvin, Ignacio Gonzalez-Perez, Alfonso 
Fuentes, Kenichi Hayasaka, Design and investigation 
of gear drives with non-circular gears applied for 
speed variation and generation of functions, Comput. 
Methods Appl. Mech. Engrg, 197 (2008) 3783–3802, 
Doi: 10.1016/j.cma.2008.03.001 
[13] Faydor L. Litvin, Alfonso Fuentes-Azna, Ignacio 
Gonzalez-Perez, Kenichi Hayasaka, Noncircular Gears 
Design and Generation, Published in the United States 
of America by Cambridge University Press, New York 
(2009). 
[14] D. Mundo, Geometric design of a planetary gear train 
with non-circular gears, Mechanism and Machine 
Theory 41 (2006) 456–472, Doi: 
10.1016/j.mechmachtheory.2005.06.003 
[15] Nguyễn Xuân Lạc, Nguyên lý máy chuyên nghiệp, 
Bách khoa 1969. 
[16] Dazhu Li, Lian Xia, Youyu Liu, Jiang Han, Research 
on Non-circular Gear Hobbing Simulation Based on 
Piecewise Cubic Spline Fitting, Engineering Materials 
Vol 620 (2014) 357-362, Doi: 10.4028/ 
www.scientific.net/KEM.620.357 
1 
2 3 4 
b) Lược đồ hệ thống bánh răng 
Hình 10. Hệ BRKT kiểu hành tinh 
1 
4 
O4 
3 
2 
O1 
O3 
a) Bản thiết kế