Về mô hình cân bằng Nash-Cournot cho thị trường sản xuất điện phân biệt

CHÀO MỪNG KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 
92 Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 60 - 11/2019 
VỀ MÔ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT 
CHO THỊ TRƯỜNG SẢN XUẤT ĐIỆN PHÂN BIỆT 
THE DIFFERENTIATED NASH-COURNOT EQUILIBRIUM MODEL FOR 
ELECTRICITY PRODUCTION MARKET 
VŨ TUẤN ANH 
Khoa Cơ sở Cơ bản, Trường Đại học Hàng hải Việt Nam 
Email liên hệ: anhvt246@vimaru.edu.vn 
Tóm tắt 
Trong bài báo này, tác giả nghiên cứu mô hình cân bằng Nash-Cournot cho thị trường sản 
xuất điện phân biệt (mở rộng của mô hình cân bằng Nash-Cournot cổ điển). Cụ thể, tác giả 
trình bày mô hình, nêu bài toán cân bằng của mô hình và đưa ra ý nghĩa thực tế của bài toán. 
Đồng thời, tác giả giới thiệu cách đưa bài toán cân bằng của mô hình về bài toán quy hoạch 
lồi toàn phương và thuật toán giải tương ứng cùng với ví dụ số minh họa. 
Từ khóa: Mô hình cân bằng Nash-Cournot, thị trường sản xuất điện phân biệt, bài toán cân bằng, 
điểm cân bằng của mô hình, bài toán quy hoạch lồi toàn phương. 
Abstract 
This paper studies the differentiated Nash-Cournor equilibrium model for electricity production 
market (the expansion of the classic Nash-Cournot equilibrium model). Specifically, the author 
presents the model, the equilibrium problem of the model and its meaning. In addition, the 
author proposes the way to convert the equilibrium problem of the model to a problem of 
convex quadratic program. An algorithm for solving the latter problem and a numerical 
example are also discussed. 
Keywords: Nash-Cournor equilibrium model, diferrentiated eletricity production market, equilbrium 
form of the model, convex quadratic program. 
1. Đặt vấn đề 
Mô hình cân bằng Nash-Cournot cổ điển đã khá quen thuộc trong toán ứng dụng (chẳng hạn, 
xem [1], [4], [5]). Ta xét mô hình trong thị trường sản xuất điện. Ở đó, giả sử có n nhà máy cùng sản 
xuất kinh doanh điện khác nhau, chẳng điện hạt nhân, điện năng lượng mặt trời, điện gió, thuỷ điện, 
nhiệt điện, 
Ta giả thiết rằng giá thành sản xuất một đơn vị điện do nhà máy thứ i cung cấp là một hàm 
affine được cho bởi: 
 
n
k
kikni xxxp
1
1 :),...,(  (1) 
với mọi ;,...,1 ni trong đó 0 là giá ban đầu, 0 ik là hệ số giảm giá do sản lượng tăng. 
Hàm giá thành này xuất hiện trong các loại điện khác nhau, trong đó người sử dụng có thể thích loại 
điện được sản xuất bởi một nhà máy này hơn các nhà máy còn lại, ví dụ nhiều người sử dụng thích 
loại điện gió và năng lượng mặt trời hơn nhiệt điện hoặc năng lượng hạt nhân. Chú ý rằng khi  ik 
với mọi i và k thì hàm giá thành trở thành hàm thông thường (trong mô hình cân bằng Nash-
Cournot cổ điển). Lợi nhuận đạt được bởi công ty 𝑖 có dạng: 
),(),...,(:)( 1 iiinii xcxxxpxf (2) 
trong đó )( ii xc 
là chi phí (bao gồm cả phí cho việc gây ô nhiễm môi trường khi sản xuất) để 
sản xuất 
ix 
sản lượng. Nói chung, )( ii xc là một hàm lồi tăng dần chỉ phụ thuộc vào mức sản xuất. 
Tính lồi có nghĩa là giá thành sản xuất một đơn vị càng tăng khi lượng sản xuất càng lớn (chẳng hạn 
khi sản xuất nhiều thì bị đánh thuế càng cao do gây ô nhiễm môi trường nên trong thực tế khi người 
tiêu dùng càng dùng nhiều điện thì càng phải mua với giá cao). 
Gọi iK R, ( ni ,...,1 ) là tập chiến lược sản phẩm của nhà máy thứ .i Như vậy, nhà máy 
thứ i chỉ được lựa chọn phương án sản xuất thuộc tập .iK Mỗi nhà máy đều có chung một mong 
muốn là cực đại hàm lợi nhuận của mình bằng cách chọn sản lượng để sản xuất. Khi đó, tập chiến 
lược của mô hình cân bằng thị trường kinh tế là tích Cartesian các tập chiến lược của mỗi nhà máy:
....1 nKKK 
Một cách tiếp cận thường được sử dụng cho mô hình này được dựa trên khái niệm cân bằng 
Nash nổi tiếng. Ta có định nghĩa sau: 
CHÀO MỪNG KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 
Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 60 - 11/2019 93 
Định nghĩa 1: Một điểm Kxxx n ),...,(
**
1
*
 được gọi là điểm cân bằng Nash của mô hình 
cân bằng Nash-Cournot nếu với mọi ni ,...,1 và với mọi ii Ky 
ta đều có: 
).,...,(),...,,,,...,( **1
**
1
*
1
*
1 niniiii xxfxxyxxf (3) 
Đặt  )(),...,,,,...,( *** 1
*
1
*
1 iiniiii yxfxxyxxf thì (3) được viết lại dưới dạng: 
  ).(max)( ** ii
Ky
i yxfxf
ii 
 (4) 
Về ý nghĩa kinh tế, tại điểm cân bằng Nash thì lợi nhuận của các nhà máy là cao nhất, bất kỳ 
nhà máy nào chọn phương án sản xuất ra khỏi điểm cân bằng trong khi các nhà máy còn lại vẫn giữ 
phương án sản xuất tại điểm cân bằng thì lợi nhuận của nhà máy thay đổi chỉ có thể thiệt đi chứ 
không thể tăng lên. Do đó, tất cả các nhà máy đều muốn mình sản lượng của mình ở vị trí cân bằng. 
 Với mỗi Kxxx n ),...,( 1 và Kyyy n ),...,( 1 
ta sử dụng hàm Nikaido-Isoda: 
  .])[()(),...,,,,...,(),...,(),(
11
1111 
n
i
iii
n
i
niiiini yxfxfxxyxxfxxfyxf (5) 
Khi đó, bài toán tìm điểm cân bằng của mô hình cân bằng Nash-Cournot tương đương với bài 
toán cân bằng ),( KfEP
sau: 
 Tìm Kx 
*
 sao cho .0),(
* Kyyxf  (6) 
Định lý 1: Cho tập chiến lược K là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng trong Rn và hàm ),( yxf
xác định bởi (5). Khi đó, điểm Kx 
*
là điểm cân bằng Nash khi và chỉ khi nó là một nghiệm của bài 
toán cân bằng ).,( KfEP 
Chứng minh: Giả sử *x là phương án tối ưu của mô hình cân bằng Nash-Cournot thì theo (4) 
ta có   .,...,1)(max)( ** niyxfxf ii
Ky
i
ii
  
Suy ra: 
  .0),...,,,,...,(),...,(
1
**
1
*
1
*
1
**
1 Kyxxyxxfxxf
n
i
niiiini  
Kết hợp điều này với (5), ta có .0),(
* Kyyxf  
Vậy *x
là nghiệm của bài toán cân bằng ).,( KfEP 
Ngược lại, nếu Kx 
*
là nghiệm của bài toán ),,( KfEP ta có .0),(
* Kyyxf  
Theo (5) ta có   .0),...,,,,...,(),...,(
1
**
1
*
1
*
1
**
1 Kyxxyxxfxxf
n
i
niiiini  
Chọn ),...,,(
**
21 nxxyy suy ra: ).,...,(),...,,(
**
11
**
211 nn xxfxxyf 
Mặt khác, với ),...,,,,...,(
**
1
*
1
*
1 niii xxyxxy ta có: 
.1,...,3,2),...,(),...,,,,...,( **1
**
1
*
1
*
1  nixxfxxyxxf niniiii 
Thay ),,....,(
*
1
*
1 nn yxxy , ta được ).,...,(),,...,(
**
11
*
1
*
1 nnnn xxfyxxf 
Vậy *x là một điểm cân bằng Nash. 
Trong thực tế, mức độ sản xuất ở mỗi nhà máy thường thoả mãn một tỷ lệ nhất định: 
;0; jjjn
jh
h
j
j ulu
x
x
l 

.,...,1 nj 
Tức là sản lượng điện của một loại điện so với tổng sản lượng còn lại của thị trường điện phải 
thỏa mãn một giới hạn cho phép, ví dụ điện hạt nhân hay nhiệt điện ở nhiều nước bị hạn chế sản 
xuất do gây ô nhiễm môi trường, chặt phá rừng. 
CHÀO MỪNG KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 
94 Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 60 - 11/2019 
Đặt:
},...,1,0),...,(,0),...,(:),...,{(: 111 nj
x
x
lxxu
x
x
xxxxD
n
jh
h
j
jnjjn
jh
h
j
njn  

 thì D là 
một tập lồi đa diện. 
Như vậy, bài toán cân bằng ),( KfEP
với ràng buộc D được phát biểu lại thành bài toán 
cân bằng :),,( DKfEP
Tìm DKx  
*
 sao cho .0),(
* Kyyxf  (7) 
2. Chuyển bài toán cân bằng EP(f,K,D) về bài toán quy hoạch lồi toàn phương 
Thay (1) vào (2) ta có )(),...,()( 1 iiinii xcxxxpxf )()(
1
iii
n
k
kik xcxx 
 
với .0,0 ik 
Khi đó, theo (5): 
n
i
iii yxfxfyxf
1
])[()(),( 
 
 


n
i
iiiiiiiii
n
k
kikiiii
n
k
kikii ycyyxxyyxcxxx
1
2
11
)()(   
 
 


n
i
iiiiiiiii
n
k
kikiiii xcycxyyxxyyx
1 1
)()()()()(  
 
 


n
i
iiiiiii
n
k
kikii xcycyxxy
1 1
)()())(( 
)()()),(,)()()(, xhyhxyxyQxyxQPxcycxyQyPx iiii 
với .)(:)(,),...,(:),,...,(:,)(:
1
11 
n
i
ii
T
nnnnij xcxhdiagQP 
Vì  yxxyxyQ ,0),( R
n nên nghiệm của bài toán cân bằng ),( KgEP cũng là 
nghiệm của bài toán cân bằng ),( KfEP với: ).()(,)(),( xhyhxyxQPyxg 
Giả sử )(xh 
là một hàm khả vi trên .K 
Mệnh đề 1: Điểm Kx * là nghiệm của bài toán cân bằng ),( KgEP khi và chỉ khi 
*x là 
nghiệm của bài toán: 
 }.),()(,)()(min{ **** KyxhyhxyxQPyx (8) 
Chứng minh: Giả sử *x là nghiệm của bài toán cân bằng ),,( KgEP khi đó 
.0)(* Kyyx  
 Ta lại có .0)(
*
* xx Vậy hàm )(* yx đạt cực tiểu tại .
*x 
Giả sử *x là một nghiệm của (8), do đó ),()(0
**
* xNx Kx  
trong đó wxNK {:)(
* Rn : }0, * Kyxyw  là nón pháp tuyến ngoài tại *x của tập 
,K hay .0),(
**
* Kyxyxx   
Theo tính chất của hàm lồi: .)()(),( *** *** Kyxyxyx xxx   
Kết hợp với 0)(
*
* xx ta được .0)(* Kyyx  Vậy 
*x là nghiệm của bài toán cân bằng 
).,( KgEP 
CHÀO MỪNG KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 
Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 60 - 11/2019 95 
Định lý 2: Điểm Kx * là nghiệm của bài toán cân bằng ),( KgEP khi và chỉ khi 
*x là nghiệm 
của bài toán bất đẳng thức biến phân :)(VIP 
 Tìm .0),()()(: **** KyxyxhxQPxFKx   (9) 
Chứng minh: Giả sử *x
là nghiệm của bài toán ),,( KgEP theo Mệnh đề 1 ta có *x
cũng 
là nghiệm của bài toán }.),()(,)()(min{ **** KyxhyhxyxQPyx 
Do đó )()(0
**
* xNx Kx  hay )]()()[(0
*** xNxhxQP K  
.0),()( *** KyxyxhxQP   Vậy *x
là nghiệm của (9). 
Để chứng minh điều ngược lại, ta viết KyxyxhxQP   0),()( *** 
dưới dạng: 
.0),(,)( **** KyxyxhxyxQP   
Sử dụng tính chất của hàm lồi ta có .)()(),( *** Kyxhyhxyxh  
Do đó, nếu *x
là 
nghiệm của (9) thì *x 
cũng là nghiệm của bài toán ).,( KgEP Định lý được chứng minh hoàn toàn. 
Định lý 3: Giả sử Kf : R là hàm khả vi, lồi trên tập lồi K R
n. Khi đó điểm Kx * là nghiệm 
của bài toán bất đẳng thức biến phân (9) khi và chỉ khi *x là nghiệm của bài toán quy hoạch lồi :),( KfCP 
 }:)(min{ Kxxf 
 (10) 
với ).(:)( xfxF  
Chứng minh: Giả sử *x
là nghiệm của bài toán (9), tức là .0),( ** Kyxyxf  
Do 
f là hàm lồi, khả vi nên .)()(),(
*** Kyxfyfxyxf   Suy ra Kyxfyf  )()( * hay
*x
là nghiệm của (10). 
Giả sử *x
là nghiệm của (10). Ta có .)()( * Kyxfyf  Để chứng minh điều ngược lại, 
ta dùng phản chứng: .0),( ** Kyxyxf   Khi đó, lấy 0  đủ nhỏ, do K là tập lồi nên: 
KyKxyxxyz  )()1( ***  
và sử dụng khai triển Taylor ta có: 
 ,)()()),()()( ***** Kyxfxyxyxfxfzf     tức *x không là nghiệm 
của bài toán (10). Điều này trái với giả thiết. 
Giả sử 
nnijP )( là ma trận đối xứng, nửa xác định dương. Khi đó QP cũng là ma trận 
đối xứng, nửa xác định dương. Áp dụng Định lý 3 và cho )(xh là hàm tuyến tính hoặc lồi toàn 
phương thì bài toán cân bằng (7) được đưa về bài toán quy hoạch lồi toàn phương :),,( DKfCQP 
}.:)()(
2
1
min{ DKxxhxxQPx TT  
 (11) 
3. Thuật toán giải bài toán quy hoạch lồi toàn phương dạng (11) 
a) Bài toán: Cho hàm bậc hai lồi :f Rn R và hai tập lồi đa diện DK , Rn với giả thiết 
 DK Ø. Xét bài toán tối ưu sau: 
(Q) Tìm Kx sao cho }:)(min{:)( Kxxfxf K  
với })(:{: KxfKxS  là tập nghiệm ( S là tập lồi do hàm f lồi và K là tập lồi). 
Khi đó, (11) được viết lại thành bài toán: (P) Tìm ,
* DSx  tức là tìm nghiệm của tối ưu 
của bài toán (Q) thỏa mãn thêm các ràng buộc phụ được cho bởi tập lồi đa diện .D 
b) Thuật toán giải: Để cho tiện, ta sẽ gọi Thuật toán A là một thuật toán hữu hạn đã biết nào 
đó mà có thể giải được bài toán quy hoạch lồi toàn phương (chẳng hạn, thuật toán đơn hình Beale, 
thuật toán Hildreth-D'Esopo,). 
Ta sẽ giải (P) bằng thuật toán sau đây, gọi tắt là thuật toán hai pha: 
CHÀO MỪNG KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 
96 Tạp chí Khoa học Công nghệ Hàng hải Số 60 - 11/2019 
Pha 1: Dùng Thuật toán A giải bài toán (Q) nhận được Kx và .)( Kxf  Hai khả năng xảy ra: 
+ Khả năng 1: Dx thì xx 
*
 là lời giải cần tìm của bài toán (P). Dừng quá trình giải. 
 + Khả năng 2: Dx thì chuyển sang Pha II. 
Pha 2: Dùng Thuật toán A giải bài toán quy hoạch },:)(min{ DKxxf  nhận được lời giải 
.ˆ DKx  Rõ ràng Kxf  )ˆ( (do ).DKK  Hai khả năng xảy ra: 
+ Khả năng 1: 
Kxf  )ˆ( thì xx ˆ
* là lời giải cần tìm của bài toán (P). Dừng quá trình giải. 
+ Khả năng 2: 
Kxf  )ˆ( thì bài toán (P) vô nghiệm. Dừng quá trình giải. 
4. Ví dụ số minh họa 
Xét mô hình cân bằng Nash-Cournot trong thị trường sản xuất điện với các số liệu: 
   
;3)210()(
,2)310()(,)210()(
;
200
030
002
,
211
131
112
,101010,,0,0,0,3
2
333213
2
223212
2
113211
xxxxxxf
xxxxxxfxxxxxxf
QPKn T
}
2
1
10
1
,
2
1
10
1
,1
10
1
:),,{(
21
3
31
2
32
1
321 
xx
x
xx
x
xx
x
xxxD
}.02,02,0
,010,010,010:),,{(
321321321
321321321321
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
Khi đó bài toán quy hoạch lồi toàn phương (11) có dạng: 
}.:101010553),,(min{ 321313221
2
3
2
2
2
13,21 DKxxxxxxxxxxxxxxxxf  
Dùng thuật toán Hildreth-D'Esopo (hoặc các phần mềm Maple, Matlab) có thể giải được bài 
toán (Q) tương ứng, ở đây tác giả giải bằng phần mềm Maple 17 và thu được nghiệm: 
(1,40625;0,78125;0,78125)x 
Dễ dàng kiểm tra được .Dx Vậy điểm cân bằng của mô hình và mức lợi nhuận tối ưu tương 
ứng của các nhà máy cần tìm là: 
* * * *
1 1 2 2 3 3(1,40625;0,78125;0,78125),f (x ) 5,93262,f (x ) 3,05176,f (x ) 3,05176x 
5. Kết luận 
 Trong bài báo này, tác giả giới thiệu cách đưa bài toán cân bằng của mô hình Nash-Cournot 
cho thị trường sản xuất điện phân biệt về bài toán quy hoạch lồi toàn phương và đề xuất một thuật 
toán giải tương ứng để tìm điểm cân bằng của mô hình. Kết quả của bài báo là một công cụ rất hiệu 
quả để nghiên cứu và giải mô hình Nash-Cournot trong các lĩnh vực kinh tế, tài chính, vận tải, cân 
bằng mạng, 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu và Nguyễn Hữu Điển, Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, NXB 
Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015. 
[2] Trần Vũ Thiệu, Giáo trình tối ưu tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004. 
[3] Trần Vũ Thiệu, Giáo trình tối ưu phi tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011. 
[4] Le.D. Muu, V.H. Nguyen, N.V. Quy, On Nash-Cournot oligopolistic market equilibrium models 
with concave cost functions, J. of Global Optimization 41, pp. 351-364, 2008. 
[5] T.D. Quoc, Le.D. Muu, Splitting proximal point method for Nash-Cournot equilibrium models 
involving nonconvex cost functions, J. Nonlinear and Convex Analysis 12, pp. 519-533, 2011. 
Ngày nhận bài: 25/03/2019 
Ngày nhận bản sửa: 05/04/2019 
Ngày duyệt đăng: 10/04/2019