Xây dựng mô hình lực cắt khi phay bề mặt 3D bằng dao phay ngón đầu cầu

 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 51.2019 50
KHOA HỌC
XÂY DỰNG MÔ HÌNH LỰC CẮT KHI PHAY BỀ MẶT 3D 
BẰNG DAO PHAY NGÓN ĐẦU CẦU 
DEVELOP MODEL OF CUTTING FORCE WHEN MILLING 3D SURFACES BY BALL-END MILL 
Đậu Chí Dũng*, Trương Hoành Sơn 
TÓM TẮT 
Bài báo này trình bày một số kết quả nghiên cứu về mô hình hóa lực cắt 
trong khi gia công bề mặt 3D bằng dao phay ngón đầu cầu. Trong quá trình gia 
công các bề mặt 3D bằng dao phay đầu cầu, vị trí tiếp xúc của lưỡi dao với bề mặt 
gia công thay đổi nên tiết diện cắt thay đổi làm cho lực cắt thay đổi. Điều này làm 
cho sự biến dạng của dao thay đổi và ảnh hưởng trực tiếp đến độ chính xác hình 
học cũng như nhám bề mặt của chi tiết gia công. Trên cơ sở tính toán được tiết 
diện cắt khi phay đã xác lập được mối liên hệ giữa lực cắt với các thông số công 
nghệ như chiều sâu cắt, lượng chạy dao cũng như hình dáng chi tiết gia công và 
vị trí cắt của lưỡi cắt trên bề mặt chi tiết gia công. Từ đó có thể tính toán được lực 
cắt ở từng vị trí trên bề mặt gia công và dự đoán được sai số kích thước sẽ xuất 
hiện trên bề mặt gia công. Bài báo cũng trình bày một số kết quả thực nghiệm đã 
tiến hành khi gia công mặt cầu để đánh giá các tính toán lý thuyết và đưa ra công 
thức thể hiện mối quan hệ giữa các thông số trên đến lực cắt. 
Từ khóa: Mặt 3D, dao phay đầu cầu, lực cắt, diện tích cắt, mô hình hóa,
 lát cắt. 
ABSTRACT 
This paper presented some research results about modeling the cutting 
force while milling 3D surfaces by a ball-end mill cutter. During milling of 3D 
surfaces by ball-end mill cutter, the contact position of the tool with the 
machined surface changes so that the cut section changes making the cutting 
force change. This causes the deformation of the tool to change and directly 
affect the geometry accuracy as well as the surface roughness of the workpiece. 
On the basis of calculating the cutting section when milling has established the 
relationship between cutting force and technological parameters such as cutting 
depth, feed rate as well as workpiece shape and cutting position of the tool on 
the workpiece surface. It is possible to calculate the cutting force at each position 
on the machining surface and predict the size error that will appear on the 
machining surface. The paper also presented some experimental results 
conducted when processing the spherical surface to evaluate theoretical 
calculations and formulating a formula to show the relationship between the 
above parameters and the cutting force. 
Keywords: 3D surface, ball-end mill, cutting force, cutting area, modelling, 
cutting step. 
Viện Cơ khí, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 
*Email: dauchidung@gmail.com 
Ngày nhận bài: 25/02/2019 
Ngày nhận bài sửa: 11/4/2019 
Ngày chấp nhận đăng: 25/4/2019 
1. GIỚI THIỆU 
Trong ngành chế tạo máy, việc gia công các chi tiết có 
bề mặt phức tạp (như các chi tiết khuôn, mẫu, các chi tiết 
trong ngành hàng không, trong động cơ,), được làm 
bằng vật liệu khó gia công như thép hợp kim, thép chịu 
nhiệt, thép đã tôi, ngày càng nhiều với yêu cầu kỹ thuật 
ngày càng cao. Khi gia công các bề mặt 3D có biên dạng 
cong thay đổi sẽ phải sử dụng đến dụng cụ cắt là dao phay 
đầu cầu. Với loại dao này, tùy thuộc vào vị trí tiếp xúc của 
đầu dao với bề mặt gia công mà tiết diện cắt, tốc độ cắt, 
sẽ khác nhau. Điều này khiến cho lực cắt liên tục biến thiên, 
ảnh hưởng rất lớn đến độ chính xác gia công và chất lượng 
bề mặt. Tìm hiểu về lực cắt, đã có nhiều nhà khoa học 
nghiên cứu và đạt được một số kết quả nhất định, điển 
hình là các bài viết [4, 5, 6]. Các nghiên cứu đã công bố cho 
thấy các tác giả đã đánh giá được lực cắt khi phay bằng dao 
phay cầu thông qua các phân tích hình học, thông qua các 
phương pháp hồi quy thực nghiệm, Tuy nhiên, chưa có 
tác giả nào đánh giá hết sự ảnh hưởng của vị trí tiếp xúc 
giữa dụng cụ cắt với bề mặt gia công, là một yếu tố có ảnh 
hưởng rất lớn đến lực cắt khi phay bề mặt 3D bằng dao 
phay cầu. Chính vì vậy cần có những nghiên cứu sâu hơn 
để có thể đánh giá tổng quát hơn các yếu tố ảnh hưởng 
đến lực cắt trong quá trình phay các bề mặt 3D. 
2. TÍNH TOÁN LỰC CẮT KHI GIA CÔNG BẰNG DAO PHAY 
ĐẦU CẦU 
Trong quá trình cắt, lực cắt được tính theo công thức 
sau [1]: 
P = p.q (N) (1) 
Trong đó: 
q: Diện tích tiết diện lớp cắt được tách ra, nó phụ thuộc 
vào từng mô hình cắt cụ thể. 
p: Lực cắt đơn vị. p là hằng số với 1 cặp dụng cụ cắt và 
phôi nhất định. 
Như vậy, lực cắt P sẽ tỉ lệ thuận với diện tích tiết diện lớp 
cắt được tách ra q. Vấn đề phân tích, tính toán lực cắt bây 
giờ sẽ là việc tính toán diện tích lớp phoi được cắt ra. 
Khi phay mặt cầu bằng dao phay cầu, diện tích cắt của 
một lần tiến dao được mô tả trên hình 1. 
SCIENCE TECHNOLOGY 
Số 51.2019 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 51
a, Mô hình mặt cầu lồi 
b, Mô hình mặt cầu lõm 
Hình 1. Mô hình hình học phay mặt cầu bằng dao đầu cầu 
Trong đó: 
R: Bán kính cong bề mặt gia công. 
t: Lượng dư gia công. 
s: Lượng dịch dao ngang mỗi lần chuyển đường chạy dao. 
r: Bán kính mũi dao. 
Như vậy, tiết diện mặt cắt tại vị trí tiếp xúc của dao và 
chi tiết gia công ứng với góc j được tính toán ứng với công 
thức sau: 
Tiết diện mặt cắt được tính toán theo công thức sau [3]: 
 = ∫ |()− ()| + ∫ |()− ()|




 (2) 
Trong đó: 
f1(x): Phương trình đường lưỡi cắt dụng cụ ở lát cắt trước. 
f2(x): Phương trình bề mặt phôi. 
f3(x): Phương trình đường lưỡi cắt dụng cụ ở lát cắt hiện tại. 
Từ các công thức (1), (2), công thức tính lực cắt khi phay 
mặt cầu bằng dao phay đầu cầu được xác định như sau: 
 = . ∫ |()− ()| + ∫ |()− ()|




 (3) 
Trong đó: 
f1(x), f2(x), f3(x): Các hàm phụ thuộc biên dạng bề mặt và 
các thông số công nghệ. 
p: Lực cắt đơn vị, là hằng số phụ thuộc vào vật liệu chi 
tiết gia công. Theo các nhà nghiên cứu về cắt gọt thì lực cắt 
đơn vị p có thể biểu diễn gần đúng trong mối quan hệ với 
độ bền B của vật liệu (nếu là vật liệu dẻo) hoặc độ cứng HB 
của vật liệu (nếu là vật liệu dòn). Thực tế khi cắt với dao lưỡi 
cắt đơn, từ thực nghiệm và các tài liệu về nguyên lý gia 
công vật liệu thì [1]: 
+ p = (2,5 – 4,5)B đối với vật liệu dẻo. 
+ p = (0,5 – 1,0)HB đối với vật liệu dòn. 
Trong đó, giá trị hệ số nhỏ dùng khi cắt với chiều dày 
cắt a lớn và ngược lại. 
Công thức (3) là công thức tổng quát biểu diễn mối 
quan hệ giữa lực cắt với các thông số công nghệ của quá 
trình cắt gọt. Trong công thức này các giá trị bán kính cong 
của bề mặt R, bán kính mũi dao r, bước dịch dao ngang s và 
lượng dư gia công t là các tham số. Vì vậy, giả sử khi gia 
công mặt cầu với các điều kiện như sau: 
- Bán kính cầu: R = 15 mm. 
Bảng 1. Tiết diện cắt q và lực cắt P dự đoán khi phay mặt cầu lồi 
Góc j 
(0) 
t = 0,2 t = 0,3 
s = 0,05mm s = 0,1mm s = 0,15mm s = 0,05mm s = 0,1mm s = 0,15mm 
q (mm2) P (N) q (mm2) P (N) q (mm2) P (N) q (mm2) P (N) q (mm2) P (N) q (mm2) P (N) 
0 0,008 1,800 0,015 3,624 0,023 5,424 0,011 2,736 0,023 5,448 0,033 7,968 
10 0,008 1,848 0,015 3,672 0,023 5,520 0,012 2,76 0,023 5,544 0,035 8,304 
20 0,008 1,920 0,016 3,864 0,024 5,784 0,012 2,904 0,024 5,808 0,036 8,688 
30 0,009 2,088 0,018 4,200 0,026 6,288 0,013 3,144 0,026 6,288 0,039 9,408 
40 0,010 2,376 0,020 4,752 0,030 7,128 0,015 3,552 0,030 7,104 0,044 10,632 
50 0,012 2,832 0,024 5,664 0,035 8,496 0,018 4,224 0,035 8,448 0,053 12,624 
60 0,015 3,648 0,030 7,296 0,046 10,992 0,023 5,424 0,046 10,944 0,067 16,128 
70 0,022 5,352 0,045 10,800 0,068 16,296 0,033 7,896 0,065 15,624 0,097 23,16 
80 0,045 10,872 0,094 22,656 0,147 35,376 0,063 15,096 0,121 29,016 0,175 41,904 
90 0,200 48,072 0,264 63,456 0,300 72,024 0,308 73,944 0,417 100,032 0,487 116,88 
 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 51.2019 52
KHOA HỌC
- Vật liệu chi tiết: thép C45 có độ cứng, tương đương với 
lực cắt đơn vị là 240N/mm2. 
- Dụng cụ cắt: Dao phay ngón đầu cầu có bán kính mũi 
dao r = 5 mm. 
- Lượng dư gia công: t = 0,2 và 0,3 mm. 
- Bước tiến dao ngang: s = 0,05; 0,1 và 0,15 mm. 
thì lực cắt tại các vị trí gia công ứng với các góc j có thể 
được tính toán dựa theo công thức (3) khi sử dụng phần 
mềm tính toán Maple và được chỉ ra trong các bảng 1 và 2. 
Từ các giá trị liệt kê trong các bảng 1 và 2 ta có lực cắt 
dự đoán sẽ phụ thuộc vào góc j như các đồ thị hình 2, 3. 
a. Khi t = 0,2mm 
b. Khi t = 0,3mm 
Hình 2. Dự đoán mối quan hệ giữa góc j và lực cắt khi phay mặt cầu lồi 
a. Khi t = 0,2mm 
b. Khi t = 0,3mm 
Hình 3. Dự đoán mối quan hệ giữa góc j và lực cắt khi phay mặt cầu lõm 
Như vậy, theo công thức (3), (4) và đồ thị hình 2, 3 có 
thể dễ dàng nhận thấy tiết diện cắt và lực cắt tăng theo 
hàm số mũ khi góc j tăng. Điều đó có nghĩa là lực cắt lớn 
nhất được dự báo là khi ở những vị trí lần cắt cuối cùng khi 
phay mặt cầu lồi. 
3. THỰC NGHIỆM ĐÁNH GIÁ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA MÔ 
HÌNH TÍNH LỰC CẮT ĐÃ ĐƯỢC THIẾT LẬP 
3.1. Thiết bị thí nghiệm 
- Máy gia công: Thực nghiệm được tiến hành trên máy 
phay CNC HS Super MC 500, tại Trung tâm đào tạo kỹ thuật 
HaUI-Foxconn, Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội (hình 4). 
Bảng 2. Tiết diện cắt q và lực cắt P dự đoán khi phay mặt cầu lõm 
Góc j 
(0) 
t = 0,2 t = 0,3 
s = 0,05mm s = 0,1mm s = 0,15mm s = 0,05mm s = 0,1mm s = 0,15mm 
q (mm2) P (N) q (mm2) P (N) q (mm2) P (N) q (mm2) P (N) q (mm2) P (N) q (mm2) P (N) 
0 0,015 3,624 0,030 7,200 0,045 10,704 0,022 5,352 0,045 10,680 0,067 16,032 
10 0,015 3,624 0,030 7,248 0,045 10,896 0,023 5,424 0,045 10,872 0,068 16,296 
20 0,016 3,792 0,032 7,584 0,048 11,424 0,024 5,688 0,048 11,400 0,071 17,088 
30 0,017 4,128 0,034 8,232 0,052 12,432 0,026 6,192 0,052 12,384 0,078 18,600 
40 0,019 4,656 0,039 9,288 0,059 14,088 0,029 7,008 0,058 14,016 0,088 21,072 
50 0,023 5,544 0,046 11,016 0,070 16,872 0,035 8,352 0,070 16,776 0,105 25,248 
60 0,030 7,080 0,059 14,040 0,091 21,912 0,045 10,776 0,091 21,720 0,137 32,832 
70 0,043 10,248 0,084 20,040 0,138 33,072 0,066 15,936 0,135 32,496 0,207 49,776 
80 0,079 19,056 0,148 35,472 0,292 70,080 0,140 33,672 0,316 75,888 0,537 128,920 
90 0,137 32,880 0,369 88,464 0,419 100,560 0,427 102,456 0,577 138,576 0,675 161,952 
SCIENCE TECHNOLOGY 
Số 51.2019 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 53
Hình 4. Máy phay CNC HS Super MC500 
- Dụng cụ cắt: sử dụng dao phay ngón đầu cầu GS Mill 
2GSR5 có bán kính đầu dao r = 5mm của hãng Nachi - Nhật 
Bản (hình 5). 
Hình 5. Dao phay cầu GS Mill 2GSR5 
- Thiết bị đo: 
+ Đo lực cắt: sử dụng lực kế đo lực cắt 3 thành phần của 
hãng Kisler - Thụy Sỹ tại Khoa Cơ khí, Trường Đại học Công 
nghiệp Hà Nội (hình 6). 
Hình 6. Lực kế của hãng Kisler-Thụy Sỹ 
+ Đo bề mặt sau khi gia công: Sử dụng máy Scan 3D 
ATOS Triple Scan của hãng ATOS - Đức (hình 7). 
Hình 7. Máy Scan 3D ATOS Triple Scan 
Dữ liệu thu được sau khi Scan 3D được đưa vào phần 
mềm GOM Inspect để so sánh bản Scan 3D bề mặt đã gia 
công với bề mặt chuẩn (theo bản vẽ thiết kế) (hình 8). 
Hình 8. Phần mềm GOM Inspect so sánh bề mặt gia công với bề mặt chuẩn 
- Mẫu cắt: Phôi thép C45 đã được gia công thô và gia 
công bán tinh tạo hình đảm bảo độ chính xác về lượng dư 
gia công, chuẩn gia công và chuẩn đo lường. Yêu cầu gia 
công mặt cầu đạt kích thước và chất lượng bề mặt theo bản 
vẽ (hình 9). 
a. Mẫu phay cầu lồi b. Mẫu phay cầu lõm 
Hình 9. Bản vẽ mẫu thực nghiệm 
Thông số hình học của phôi đã được lựa chọn theo giả 
thuyết đưa ra trong phần 3.1, chế độ cắt được lựa chọn 
theo bảng khuyến nghị của nhà sản xuất dụng cụ dựa trên 
cơ sở độ cứng của vật liệu gia công. 
- Tốc độ quay trục chính: n = 3200 vòng/phút. 
- Bước tiến dao: F = 700 mm/phút. 
3.2. Kết quả thực nghiệm 
Kết quả đo được thu thập và xử lý bằng phần mềm 
DaisyLab. Lực cắt được thu thập dữ liệu của 3 thành phần 
PX, PY, PZ. Hình 10, 11 là một số hình ảnh thu được khi đo. 
 CÔNG NGHỆ 
 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 51.2019 54
KHOA HỌC
Hình 10. Lực cắt đo được khi phay mặt cầu lồi với lượng dư t = 0,2, bước dịch 
dao ngang s = 0,1 và ở góc j = 800 
Hình 11 Lực cắt đo được khi phay mặt cầu lõm với lượng dư t = 0,2, bước 
dịch dao ngang s = 0,1 và ở góc j = 800 
Lực cắt tổng P sẽ được tính toán theo công thức (4): 
 = 
 + 
 + 
 (4) 
Từ những kết quả thu được, qua quá trình phân tích 
đánh giá từ kết quả khi phay loạt nhiều mẫu cắt. Các giá trị 
trung bình của các thành phần lực cắt và lực cắt tổng theo 
góc j được cho ở bảng 3. 
Bảng 3. Lực cắt đo được khi phay mặt cầu với: t = 0,2mm, s = 0,1mm. 
Góc 
j 
(0) 
Khi phay mặt cầu lồi Khi phay mặt cầu lõm 
PX 
(N) 
PY 
(N) 
PZ 
(N) 
P 
(N) 
PX 
(N) 
PY 
(N) 
PZ 
(N) 
P 
(N) 
0 -2,470 0,610 -9,080 9,430 -10,520 11,900 -8,430 17,982 
10 -3,730 1,010 -8,990 9,785 -12,580 12,890 -8,270 19,819 
20 -4,480 1,560 -9,070 10,236 -14,980 16,680 -8,480 23,969 
30 -7,550 2,400 -9,020 12,005 -15,640 19,040 -8,330 26,010 
40 -11,250 3,150 -8,860 14,662 -20,790 22,240 -8,360 31,571 
50 -12,080 4,930 -9,100 15,907 -22,990 24,180 -8,460 34,421 
60 -13,340 5,130 -9,030 16,985 -26,860 26,100 -8,410 38,385 
70 -18,610 8,070 -8,980 25,764 -30,570 29,720 -8,440 43,463 
80 -28,720 14,230 -9,080 33,387 -35,210 36,030 -8,390 51,071 
90 -61,450 17,454 -9,150 64,533 -60,510 49,610 -8,480 86,247 
Từ bảng số liệu trên bảng 1, 2 và 3, xây dựng được đồ 
thị xác định ảnh hưởng của góc j đến lực cắt thực tế. Lực 
cắt này được so sánh với lực cắt dự đoán trên lý thuyết ở đồ 
thị hình 12. 
a. Khi phay mặt cầu lồi 
b. Khi phay mặt cầu lõm 
Hình 12. So sánh lực cắt trên lý thuyết và lực cắt thực khi t = 0,2mm và 
s = 0,1mm 
Trên hình 12, nhận thấy lực cắt thực tế đo được khá phù 
hợp với lực cắt được tính toán theo lý thuyết. 
Lực cắt được dự đoán theo lý thuyết cũng như lực cắt 
thực tế có sự thay đổi lớn bắt đầu từ khi góc j tăng đến 600 
và tăng càng nhanh khi góc j càng lớn. Điều này có thể dự 
đoán được sai số kích thước gia công trên bề mặt chi tiết sẽ 
tăng nhanh bắt đầu từ góc j đạt khoảng 600 và sai số lớn 
nhất sẽ ở góc j = 900. 
Lực cắt sẽ gây ra biến dạng dụng cụ cắt dẫn đến sai số 
hình học bề mặt gia công. Sự thay đổi lực cắt theo góc j có 
thể cho ta dự đoán sai số hình học bề mặt cũng sẽ thay đổi 
tương ứng theo góc j. Nghĩa là ở góc j lớn thì lực cắt lớn 
và sẽ dẫn đến sai số hình học bề mặt cũng sẽ lớn. Kết quả 
so sánh bề mặt gia công với bề mặt chuẩn bằng phần mềm 
Gom Inspect cũng cho thấy điều này (hình 13 a và b) 
SCIENCE TECHNOLOGY 
Số 51.2019 ● Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 55
a. So sánh bề mặt cầu lồi 
b. So sánh bề mặt cầu lõm 
Hình 13. So sánh bề mặt gia công (dữ liệu Scan 3D bề mặt gia công) với bề 
mặt chuẩn (bản vẽ thiết kế) bằng phần mềm Gom Inspect 
4. KẾT LUẬN 
Từ những kết quả trên, một số kết luận sau được rút ra là: 
- Nghiên cứu đã xây dựng được mô hình tính toán lực 
cắt phụ thuộc vào thông số hình học của bề mặt gia công, 
dụng cụ cắt và một số thông số công nghệ như lượng dư 
gia công, bước dịch dao ngang. 
- Các số liệu nghiên cứu thực nghiệm cho thấy sự chính 
xác của mô hình lực cắt đã xây dựng, còn một số sai lệch về 
giá trị giữa thực nghiệm và mô hình lý thuyết có thể được 
giải thích bởi khi cắt thực tế, ngoài sự ảnh hưởng của các 
thông số được tính toán thì lực cắt còn chịu sự ảnh hưởng 
của các thông số ngẫu nhiên không thể kiểm soát được 
như: độ cứng vững của hệ thống công nghệ, sự không 
đồng đều về tính chất của vật liệu gia công, Tuy nhiên, 
dạng ảnh hưởng của vị trí tiếp xúc của dụng cụ cắt với bề 
mặt gia công (thể hiện bởi góc j) tới lực cắt là đúng như 
mô hình tính toán. 
- Từ mô hình lực cắt cũng đã dự đoán được các sai số 
xuất hiện tại các vị trí gia công và kết quả thực nghiệm 
cũng đã cho thấy sự đúng đắn của các dự đoán này. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Bành Tiến Long, Trần Thế Lục, Trần Sỹ Túy, 2013. Nguyên lý gia công vật 
liệu. NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội. 
[2]. Trần Mạnh Hà, Bành Tiến Long, Bùi Ngọc Tuyên, 2014. Nghiên cứu thực 
nghiệm ảnh hưởng một số yếu tố công nghệ đến tốc độ biến đổi lực cắt trung bình 
khi tạo hình bề mặt tự do dạng lõm elip trên máy phay CNC 3 trục. Tạp chí Khoa học 
và Kỹ thuật - Học viện Kỹ thuật Quân sự số 165 (12 – 2014) (132 – 138). 
[3]. Đậu Chí Dũng, Trương Hoành Sơn, Nguyễn Hồng Lĩnh, 2018. Đánh giá độ 
chính xác gia công khi phay mặt trụ lõm bằng dao phay cầu, Tạp chí Cơ khí Việt 
Nam, Số 1+2, trang 109-115. 
[4]. Chung-Liang Tsai, Yunn-Shiuan Liao, 2008. Prediction of cutting forces in 
ball-end milling by means of geometric analysis. Journal of Materials Processing 
Technology, Volume 205, Issues 1–3, 26 August 2008, Pages 24–33. 
[5]. Bin Lin, Lei Wang, Yu Guo, Jiming Yao, 2016. Modeling of cutting forces 
in end milling based on oblique cutting analysis. The International Journal of 
Advanced Manufacturing Technology, Volume 84, Issue 1–4, pp 727–736 
[6]. M.Milfelner, J.Kopac, F.Cus, U.Zuperl, 2005. Genetic equation for the 
cutting force in ball-end milling, Journal of Materials Processing Technology, 
Volumes 164–165, Pages 1554-1560. 
AUTHORS INFORMATION 
Dau Chi Dung, Truong Hoanh Son 
School of Mechanical Engineering, Hanoi University of Science and Technology