Bài giảng Các tập hợp số - Lê Văn Thuận

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG 
KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN 
BÀI GIẢNG 
CÁC TẬP HỢP SỐ 
QUẢNG NGÃI – 2014 
 TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG 
KHOA SƯ PHẠM TỰ NHIÊN 
BÀI GIẢNG 
CÁC TẬP HỢP SỐ 
Người soạn: Lê Văn Thuận 
QUẢNG NGÃI – 2014 
1 
LỜI NÓI ĐẦU 
 Hiện nay có nhiều giáo trình, tài liệu tham khảo viết về lí thuyết các tập hợp số. Tuy 
nhiên, chưa có giáo trình chính thức viết về các tập hợp số dành cho sinh viên ngành giáo 
dục tiểu học; hơn nữa với phương thức đào tạo theo hệ thống tín chỉ hiện nay có những 
đặc thù riêng, đòi hỏi thời gian sinh viên tự học và nghiên cứu nhiều hơn. 
 Chúng tôi biên soạn bài giảng “các tập hợp số” trên cơ sở đề cương chi tiết, tham khảo 
các tài liệu và sắp xếp một cách có hệ thống, nhằm giúp người học có thể dễ dàng tự học 
và nghiên cứu. Đây là một học phần trong chương trình đào tạo giáo viên tiểu học có 
trình độ cao đẳng. 
 Bài giảng này có thời lượng 30 tiết trên lớp, 2 tín chỉ và nội dung gồm 3 chương: 
 Chương 1: Cấu trúc đại số. 
Chương 2: Số tự nhiên. 
 Chương 3: Tập số hữu tỉ và tập số thực. 
 Vì thời lượng chỉ gồm 2 tín chỉ nên bài giảng không thể khai thác sâu hết được một số 
kiến thức, người học có thể tham khảo thêm học phần này trong [1] , [2], [3] và [4]. 
 Lần đầu tiên bài giảng được biên soạn với phương thức đào tạo theo hệ thống tín chỉ; 
chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Chúng tôi rất mong nhận được ý 
kiến đóng góp của bạn đọc. 
 Chúng tôi xin chân thành cảm ơn. 
 Tháng 5 năm 2014 
 Lê Văn Thuận 
2 
Chương 1 
CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 
MỤC TIÊU 
Kiến thức: 
 - Giúp sinh viên nắm vững cấu trúc cơ bản về: nửa nhóm, nhóm, vành và trường. 
 - Hình thành cho sinh viên những ý tưởng để tiếp cận với toán học hiện đại và nhận 
thức sâu sắc về cấu trúc đại số của các tập hợp số ở bậc Tiểu học. 
Kĩ năng: 
 - Kiểm tra một “phép toán” hai ngôi trên một tập hợp. 
 - Kiểm tra một tập hợp với các phép toán là: nửa nhóm, nhóm, con nhóm, vành và 
trường. 
Thái độ: 
 - Sinh viên nắm vững các khái niệm cơ bản về cấu trúc đại số của các tập hợp. 
 - Sinh viên có liên hệ thực tế với chương trình môn toán bậc Tiểu học. 
1.1. PHÉP TOÁN HAI NGÔI 
1.1.1. Khái niệm 
 Cho X là một tập khác rỗng. Một phép toán hai ngôi trên tập X là một ánh xạ 
 :T X X X 
 ( ; )a b aTb . 
Phần tử aTb X được gọi là cái hợp thành hay còn được gọi là kết quả của phép toán T 
thực hiện trên hai phần tử a và b. 
Như vậy một phép toán hai ngôi T trên tập X là một quy tắc đặt tương ứng mỗi cặp phần 
tử (a; b) thuộc X X một phần tử xác định duy nhất aTb thuộc X. 
Ví dụ 1.1: 
 1) Phép cộng thông thường các số là phép toán hai ngôi trên các tập: các số tự nhiên, 
tập các số nguyên, tập  các số hữu tỉ và tập các số thực. 
 2) Phép nhân thông thường các số là phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên 
 3) Cho tập * các số tự nhiên khác 0. Ánh xạ: 
3 
 * * **: 
 ( ; ) * ba b a b a 
là một phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên khác 0, còn được gọi là phép nâng lên 
lũy thừa. 
 4) Cho tập các số nguyên, phép trừ là một phép toán hai ngôi trên , vì quy tắc sau 
là một ánh xạ: : 
 ( ; )a b a b . 
Tuy nhiên, phép trừ không phải là phép toán hai ngôi trên tập hợp các số tự nhiên . Vì 
ta có 2 và 4 thuộc nhưng 2 4 . 
 5) Cho X là một tập hơp bất kì và P(X) là tập các tập con của X. Các phép toán: hợp, 
giao và hiệu của hai tập hợp đều là những phép toán hai ngôi trên tập P(X). Tức ta có các 
ánh xạ sau: 
Phép toán hợp: : ( ) ( ) ( )P X P X P X 
 ( ; )A B A B 
Phép toán giao: : ( ) ( ) ( )P X P X P X 
 ( ; )A B A B 
Phép toán hiệu: \ : ( ) ( ) ( )P X P X P X 
 ( ; )A B \A B 
 6) Cho tập hợp X và Hom(X, X) là tập hợp các ánh xạ từ X vào chính nó. Phép lấy hợp 
thành hai ánh xạ là một phép toán hai ngôi trên tập Hom(X, X). 
Thật vậy, vì với hai ánh xạ f và g bất kì từ X đến X. Nên ta có ánh xạ: 
 ( , ) ( , ) ( , )Hom X X Hom X X Hom X X 
 ( ; )f g fg 
7) Cho tập 0,1,2X , ta có phép toán hai ngôi xác định trên X như sau: 
 :T X X X 
 ( ; )a b r 
trong đó r là dư của phép chia a + b cho 3. 
Có thể mô tả phép toán T trong bảng sau: 
4 
T 0 1 2 
0 0 1 2 
1 1 2 0 
2 2 0 1 
1.1.2. Các tính chất của phép toán hai ngôi 
Định nghĩa 1.1. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X. Ta nói rằng phép toán T có 
tính chất giao hoán nếu và chỉ nếu với mọi a, b thuộc X thì aTb = bTa. 
 - Ta dễ nhận thấy các phép toán hai ngôi trong các ví dụ 1), 2), 5), 7) trong Ví dụ 1.1. 
là những phép toán có tính chất giao hoán. 
 - Các phép toán hai ngôi trong các ví dụ 3), 4) không có tính chất giao hoán, ví dụ 6) 
không có tính chất giao hoán nếu tập X có nhiều hơn một phần tử. 
Định nghĩa 1.2. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X. Ta nói rằng phép toán T có 
tính chất kết hợp nếu và chỉ nếu với mọi a, b, c thuộc X thì (aTb)Tc = aT(bTc). 
 Ta dễ nhận thấy các phép toán hai ngôi trong các ví dụ 1), 2), 5), 6), 7) trong ví dụ 1.1. 
là những phép toán có tính chất kết hợp. 
Các phép toán hai ngôi trong các ví dụ 3), 4) trong ví dụ 1.1. là những phép toán có tính 
chất kết hợp. 
1.1.3. Những phần tử đặc biệt 
Định nghĩa 1.3. Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X. Phần tử e X được gọi là 
phần tử trung lập đối với phép toán T nếu và chỉ nếu với mọi a thuộc X thì eTa = aTe = a. 
Định lí 1.1. Nếu tập X có phần tử trung lập đối với phép toán T thì phần tử trung lập đó 
là duy nhất. 
Ví dụ 1.2: 
 1) Số 0 là phần tử trung lập đối với phép cộng thông thường các số tự nhiên (cũng như 
đối với các phép cộng thông thường các số nguyên, số hữu tỉ và số thực). 
 2) Số 1 là phần tử trung lập đối với phép nhân thông thường các số tự nhiên (cũng như 
đối với các phép cộng thông thường các số nguyên, số hữu tỉ và số thực). 
 3) Tập  là phần tử trung lập đối với phép lấy hợp các tập hợp trên tập P(X) 
5 
 4) Tập X là phần tử trung lập đối với phép toán giao các tập hợp trên tập P(X) 
 5) Ánh xạ đồng nhất :xid X X ; x x . 
là phần tử trung lập đối với phép hợp thành các ánh xạ trên tập Hom(X, X) 
Định nghĩa 1.4. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi T và e là phần tử trung lập 
của X đối với phép toán T; a X . Phần tử b X được gọi là phần tử đối xứng của a đối 
với phép toán T nếu bTa = aTb = e. 
Định lí 1.2. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi T có tính chất kết hợp, có phần 
tử trung lập e. Nếu b và 'b là hai phần tử đối xứng của a thì 'b = b. 
 +) Đối với phép cộng các số tự nhiên chỉ có số 0 có phần tử đối xứng và phần tử đối 
xứng của 0 là 0. 
 +) Một cách tổng quát: Nếu e X là phần tử trung lập đối với phép toán T thì e là 
phần tử đối xứng của chính nó. 
 +) Đối với phép cộng các số nguyên, mỗi phần tử a có phần tử đối xứng là a . 
 +) Đối với phép nhân các số hữu tỉ thì mỗi phần tử q  , q khác 0 đều có phần tử đối 
xứng là 1
q
  . 
 +) Đối với phép nhân ánh xạ trong tập Hom(X, X), mỗi song ánh :f X X đều có 
phần tử đối xứng là 1 :f X X (ánh xạ ngược của f). 
Chú ý: Trong thực tế, hai phép toán hai ngôi thường gặp là phép cộng (+) và phép nhân 
(x). 
 - Đối với phép cộng : Giả sử + là một phép toán hai ngôi trên tập X thì cái hợp thành a 
+ b được gọi là tổng của a và b. Phần tử trung lập (nếu có) được gọi là phần tử khộng và 
kí hiệu là 0. Nếu phép cộng có tính chất kết hợp và phần tử a X có phần tử đối xứng là 
b thì khi đó b được xác định duy nhất và được gọi là phần tử đối của a và kí hiệu là –a. 
 - Đối với phép nhân : Giả sử là một phép toán hai ngôi trên tập X thì cái hợp thành a 
x b (còn được viết là ab hoặc a.b) được gọi là tích của a và b. Phần tử trung lập (nếu có) 
được gọi là phần tử đợn vị và kí hiệu là e (hoặc 1 nếu không có sự nhầm lẫn với các số). 
Nếu phép nhân có tính chất kết hợp và phần tử a X có phần tử đối xứng là b thì khi đó 
b được xác định duy nhất và được gọi là phần tử nghịch đảo của a và kí hiệu là 1b a . 
6 
1.1.4. Phép toán cảm sinh 
Định nghĩa 1.5. Cho T là một phép toán hai ngôi trên X và A là một tập con khác rỗng 
của X. A được gọi là tập con ổn định đối với phép toán T nếu với mọi a, b thuộc A thì cái 
hợp thành aTb thuộc A. Tức là: ,a b A aTb A . 
Ví dụ 1.3: 
 1) Tập hợp các số tự nhiên chẵn là tập con ổn định của tập các số tự nhiên đối với phép 
toán cộng. 
 2) Tập hợp các số tự nhiên là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với phép 
cộng và phép nhân. Nhưng nó không ổn định đối với phép trừ.. 
 3) Tập hợp các số nguyên mà là bội của số nguyên m cho trước là tập con ổn định của 
tập các số nguyên đối với phép cộng và phép nhân. 
 4) Tập các số nguyên lẻ là tập con ổn định đối với phép nhân các số nguyên; nhưng nó 
không ổn định đối với phép cộng các số nguyên. 
 5) Tập S(X) các song ánh từ tập X đến tập X là tập con ổn định của Hom(X, X) đối với 
phép nhân ánh xạ. 
Định nghĩa 1.6. Cho X là một tập hợp với phép toán hai ngôi T và A là một tập con ổn 
định của X đối với phép toán T. Khi đó ánh xạ: 
 :T X X X cảm sinh ánh xạ: :T A A A . 
 ( ; )a b aTb ( ; )a b aTb . 
 là phép toán hai ngôi trên A và được gọi là phép toán cảm sinh của phép toán T trên tập 
hợp A. 
Ví dụ 1.4: 
 1) Phép cộng các số tự nhiên chẵn là phép toán cảm sinh của phép cộng các số tự 
nhiên. 
 2) Phép cộng các số nguyên mà là bội của một số nguyên m cho trước là phép toán 
cảm sinh của phép cộng các số nguyên. 
 3) Cho S(X) là tập các song ánh từ X đến X; phép hợp thành các song ánh trên tập 
S(X) là phép toán cảm sinh của phép hợp thành các ánh xạ trên Hom(X, X). 
7 
1.2. NỬA NHÓM VÀ NHÓM 
1.2.1. Nửa nhóm 
 Định nghĩa 1.7. Ta gọi là nửa nhóm một tập khác rỗng X cùng với phép toán hai ngôi T 
trên X có tính chất kết hợp. Nếu trong nửa nhóm X có phần tử trung lập đối với phép 
toán T thì X được gọi là một vị nhóm. Nếu phép toán T có tính chất giao hoán thì nửa 
nhóm X được gọi là nửa nhóm giao hoán. 
Như vậy, một nửa nhóm là một cấu trúc đại số bao gồm một tập hợp trên đó có một phép 
toán hai ngôi thỏa mãn tiên đề: , , , ( ) ( )a b c X aTb Tc aT bTc . 
 Để chỉ một nửa nhóm ta viết (X, T) trong đó X là tập nền, T là kí hiệu của phép toán 
hai ngôi. Trong nhiều trường hợp, nếu không sợ nhầm lẫn ta có thể viết X thay cho (X, 
T). 
Ví dụ 1.5: 
 1) Tập hợp các số tự nhiên với phép cộng thông thường là một vị nhóm giao hoán, 
phần tử trung lập là 0. Và nó được gọi là vị nhóm cộng các số tự nhiên. 
 2) Vị nhóm cộng các số nguyên ( , +) trong đó là tập các số nguyên, + là phép cộng 
thông thường các số. Đó là một vị nhóm giao hoán. 
 3) Vị nhóm nhân các số tự nhiên ( , .). 
 4) Vị nhóm nhân các số nguyên ( , .). 
 5) Hom(X, X) tập các ánh xạ từ X đến chính nó cùng với phép hợp thành các ánh xạ là 
một vị nhóm (nếu X có nhiều hơn một phần tử thì vị nhóm này không giao hoán). 
1.2.2. Nhóm 
Định nghĩa 1.8. Ta gọi là nhóm một tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi T thỏa mãn 
các tiên đề sau: 
 (i) (X, T) là một nửa nhóm, tức là , , , ( ) ( )a b c X aTb Tc aT bTc . 
 (ii) Trong X tồn tại phần tử trung lập e đối với phép toán T, tức là e X sao cho 
eTa aTe a với mọi a X . 
 (iii) Mọi phần tử x thuộc X đều có phần tử đối xứng, nghĩa là tồn tại ,x X sao cho 
, ,x Tx xTx e . 
8 
 Nếu phép toán T có tính chất giao hoán thì nhóm X được gọi là một nhóm giao hoán 
hay nhóm Aben. 
 Nếu X là tập hữu hạn, có n phần tử thì X được gọi là nhóm có cấp n. Nếu X là một tập 
hợp vô hạn thì X được gọi là nhóm có cấp vô hạn. 
Nhận xét: Mọi nhóm X là một vị nhóm mà mọi phần tử thuộc X đều có phần tử đối xứng 
trong X. 
Ví dụ 1.6: 
 1) Tập các số nguiyên với phép cộng là một nhóm Aben. 
 2) Tập các số hữu tỉ  với phép cộng là một nhóm Aben. 
 3) Tập * các số hữu tỉ khác 0 với phép nhân là một nhóm Aben. 
 4) Tập S(X) tất cả các song ánh từ X đến X là một nhóm với phép nhân ánh xạ. 
Tính chất1.1: Cho X là một nhóm với phép toán là phép nhân, khi đó ta có: 
 1) Vì một nhóm là một vị nhóm nên nó có đầy đủ các tính chất của một vị nhóm. 
 2) , , ,a b c X ab ac b c (luật giản ước bên trái) 
và , , ,a b c X ba ca b c (luật giản ước bên phải). 
 3) Với mọi a, b thuộc X, các phương trình ax b và ya b có nghiệm duy nhất trong 
X. 
Định lí 1.3. Cho X là một nửa nhóm nhân. X là một nhóm khi và chỉ khi với mọi a, b 
thuộc X các phương trình ax b và ya b có nghiệm duy nhất trong X. 
1.2.3. Nhóm con 
Định nghĩa 1.9. Cho X là một nhóm. A là một tập con của X ổn định đối với phép toán 
trong X. Nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm thì A được gọi là nhóm con 
của X. 
Chú ý: Nếu e là phần tử trung lập của X và A là nhóm con của X thì e A cũng là phần 
tử trung lập của A. 
Định lí 1.4. Cho A là một tập con của nhóm X. Khi đó ba tính chất sau đây là tương 
đương với nhau: 
 (i) A là nhóm con của X. 
9 
 (ii) Phần tử trung lập e A và với mọi a, b thuộc A, ta có ab A và 1a A . 
 (iii) Phần tử trung lập e A và với mọi a, b thuộc A, ta có 1ab A . 
Ví dụ 1.7: 
 1) Mọi nhóm cộng các số nguyên là một nhóm con của nhóm cộng các số hữu tỉ 
 . 
 2) Tâp các số nguyên chẵn 2 là một nhóm con của nhóm cộng các số nguyên . 
 3) Tâp các số nguyên là bội của số nguyên m là một nhóm con của nhóm cộng các số 
nguyên .. 
 4) Tập 1,1A là một nhóm con của nhóm nhân các số hữu tỉ khác 0. 
 5) Với mỗi nhóm X bất kì đều có hai nhóm con đó là X và e , trong đó e là phần tử 
trung lập của X. 
1.3. VÀNH VÀ TRƯỜNG 
1.3.1. Định nghĩa vành và trường 
Định nghĩa 1.10. Ta gọi là vành một tập hợp X cùng với hai phép toán cộng và nhân 
thỏa mãn các tiên đề sau: 
 1. (X, +) là một nhóm Aben. 
 2. (X, .) là một nửa nhóm. 
 3. Có luật phân phối hai bên của phép nhân đối với phép cộng, tức là với mọi 
, ,a b c X . Ta có: ( ) ; ( ) .a b c ab ac b c a ba ca 
 - Nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì X được gọi là vành giao hoán. 
 - Nếu trong X có phần tử trung lập đối với phép nhân thì X được gọi là vành có đơn 
vị. 
Ví dụ 1.8: 
 1) Tập hợp các số nguyên cùng với phép cộng và nhân thông thường là một vành 
giao hoán có đơn vị. 
 2) Tập các số hữu tỉ  cùng với phép cộng và nhân thông thường là một vành giao 
hoán có đơn vị 
10 
 3) Tập 0,1,2,3X cùng với hai phép toán cộng và nhân cho trong bảng sau là một 
vành giao hoán có đơn vị. 
Tính chất 1.2: 
 Cho X là một vành. Theo định nghĩa (X, +) là một nhóm Aben nên nó có đầy đủ các 
tính chất của một nhóm cộng giao hoán. Cụ thể là: 
 1) Phần tử không của nhóm X là duy nhất. Ta kí hiệu nó là 0 và cũng gọi là phần tử 
không của vành X. 
 2) Mỗi phần tử a thuộc X có một phần tử đối duy nhất là – a. 
 3) Với mọi a thuộc X, phương trình x + a = b (và a + y = b) có nghiệm duy nhất là b – 
a 
Ngoài ra, trong vành X còn có các tính chất sau: 
 4) Với mọi a thuộc X, a0 = 0a = 0. 
 5) Với mọi a, b, c thuộc X ta có: ( )a b c ab ac . 
 6) Với mọi a, b thuộc X ta có: ( ) ( ) ; ( )( ) .a b a b ab a b ab 
Định nghĩa 1.11. Cho X là một vành giao hoán, phần tử a X được gọi là ước của 0 nếu 
0a và tồn tại , 0b X b sao cho ab = 0. 
Định lí 1.5. Cho X là một vành giao hoán. Các khẳng định sau đây là tương đương với 
nhau: 
 (i) , , 0 0a b X ab a hoặc 0b . 
 (ii) X không có ước của 0. 
 (iii) , , ( 0a b c X a và ) .ab ac b c 
1.3.2. Miền nguyên 
x 0 1 2 3 
0 0 0 0 0 
1 0 1 2 3 
2 0 2 0 2 
3 0 3 2 1 
+ 0 1 2 3 
0 0 1 2 3 
1 1 2 3 0 
2 2 3 0 1 
3 3 0 1 ...  sinh toàn trường? 
Giải: 
 Số phần trăm học sinh nam chiếm so với tổng số học sinh của toàn trường là: 
 546 :1040 52,5% 
 Đáp số: 52,5% 
 2. Lãi suất tiết kiệm là 0,65% một tháng. Một người gửi tiết kiệm 12 000 000 đồng. Hỏi 
sau một tháng người đó có tất cả bao nhiêu tiền lãi và tiền gửi? 
Giải: 
 Số tiền người đó có sau một tháng là: 
 12 000 000 : 100 0,65 = 78 000(đồng) 
 Số tiền gửi và tiền lãi người đó có là: 
 12 000 000 + 78 000 = 12 078 000(đồng) 
 Đáp số: 12 078 000 đồng. 
3.7. TẬP SỐ HỮU TỈ 
3.7.1. Sự cần thiết phải xây dựng tập số hữu tỉ 
 Trong các tiết trước, chúng ta đã mở rộng tập số tự nhiên để được tập số hữu tỉ 
không âm  . Nếu dừng lại ở tập số hữu tỉ không âm ta nhận thấy có một số điểm hạn 
chế sau: 
58 
 - Nhiều phép trừ không thực hiện được, chẳng hạn: 3 – 5; 1 4
4
 ,  
 - Biểu diễn số đo của hai phép đo đại lượng ngược chiều nhau sẽ gặp khó khăn, chẳng 
hạn: độ cao và chiều sâu, lỗ và lãi, nhiệt độ trên 00 C và dưới 00 C ; 
Do nhu cầu phát triễn của toán học và các ngành khoa học kỹ thuật khác, người ta mở 
rộng tập số hữu tỉ không âm  thêm những số mới để khắc phục các hạn chế trên. 
3.7.2. Xây dựng tập số hữu tỉ 
 Trên tích Đề-các   ta định nghĩa quan hệ hai ngôi như sau: 
Với ( ; )r s và ' '( ; )r s thuộc   ta định nghĩa ' ' ' '( ; ) ( ; )r s r s r s r s  . 
Ta dễ dàng suy ra " " là một quan hệ tương đương xác định trên   . Từ đó ta có 
thể phân chia tập   theo quan hệ tương đương " " và nhận được tập thương 
/    . 
Ta gọi tập thương /    là tập các số hữu tỉ và kí hiệu là  . Mỗi phần tử của tập  
ta gọi là một số hữu tỉ. 
Giả sử  . Như vậy được xác định một lớp tương đương có phần tử đại diện là 
( ; )r s   , hay ( ; ) /r s     . 
Ta dễ dàng chỉ ra rằng mỗi số hữu tỉ ( ; )r s được xác định một cách duy nhất bởi một phần 
tử đại diện thuộc một trong ba dạng sau: ( ,0)p hoặc (0, )p với p  hoặc (0,0) . 
Để cho tiện ta quy ước: 
 - Nếu số hữu tỉ được xác định bởi lớp tương đương dạng ( ;0)r trong đó 0r 
thì ta sẽ viết = + r hay = r và gọi là số hữu tỉ dương 
 - Nếu số hữu tỉ được xác định bởi lớp tương đương dạng (0; )r trong đó 0r 
thì ta sẽ viết = - r và gọi là số hữu tỉ âm. 
 - Nếu số hữu tỉ được xác định bởi lớp tương đương dạng (0;0) thì ta sẽ viết 
= 0 và gọi là số hữu tỉ không hay số 0. 
 - Số - r gọi là số đối của r. 
 - Đặc biệt, ta viết 1 (1;0) . 
59 
Như vậy, tập số hữu tỉ  được phân tích thành ba tập rời nhau: 
 0     , trong đó  là tập các số hữu tỉ dương,  là tập các số hữu tỉ âm. 
3.7.3. Các phép toán trong tập số hữu tỉ 
 Giả sử và  là hai số hữu tỉ, trong đó ( ; )r s và ' '( ; )r s . Ta định nghĩa: 
 a) Tổng của hai số hữu tỉ và  là một số hữu tỉ  , kí hiệu   , được xác định 
bởi quy tắc: ' '( ; )r r s s . 
Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ ,  với một số hữu tỉ  nói trên ta gọi là 
phép cộng các số hữu tỉ. 
 b) Tích của hai số hữu tỉ và  là một số hữu tỉ  , kí hiệu   , được xác định 
bởi quy tắc: ' ' ' '( ; )rr ss s rs r s . 
Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ ,  với một số hữu tỉ  nói trên ta gọi là 
phép nhân các số hữu tỉ. 
 c) Ta gọi hiệu của hai số hữu tỉ và  là một số hữu tỉ , kí hiệu  , được 
xác định bởi quy tắc: ( )  , trong đó  là số đối của  
Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ ,  với một số hữu tỉ nói trên ta gọi là 
phép trừ các số hữu tỉ. 
 d) Ta nói  là số hữu tỉ nghịch đảo của số hữu tỉ , kí hiệu là 1 , nếu: 1  . 
Với hai số hữu tỉ và  , trong đó 0 , ta định nghĩa: thương của chia cho  là số 
hữu tỉ  , kí hiệu :  hay 

 , trong đó: 1  . 
Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số hữu tỉ ,  ( 0 ), với một số hữu tỉ  nói trên ta 
gọi là phép chia các số hữu tỉ. 
Ví dụ 3.15: 
 1. Cho 3 1;
4 5
  . Tìm tổng, hiệu, tích, thương của và  . 
Ta có: 
 3 1 3 1;0 ;0 ;0
4 5 4 5
  
60 
 15 4 19 19;0 ;0
20 20 20
 3 1;0 0;
4 5
  
 3 1 11 11; ;0
4 5 20 20
 3 1 3 1;0 . ;0 . ;0
4 5 4 5
  
 3 3;0
20 20
 1 3 5: ;0 . ;0
4 1
   
 3 5 15 15. ;0 ;0
4 1 4 4
. 
 2. Cho 5 11;
2 3
  . Tìm tổng, hiệu, tích, thương của và  . 
Ta có: 
 5 11 5 11;0 0; ;
2 3 2 3
  
 7 70;
6 6
 5 11( ) ;0 ;0
2 3
   
. 
 5 11 37 37;0 ;0
2 3 6 6
 5 11 5 11;0 . 0; 0; .
2 3 2 3
  
55 550;
6 6
 1 5 3: ;0 . 0;
2 11
   
61 
 15 150;
22 22
. 
 3. Cho 4 5;
7 3
  . Tìm tổng, hiệu, tích, thương của và  . 
Ta có: 
 4 5 4 50; 0; 0;
7 3 7 3
  
 47 470;
21 21
 4 5 5 40; ;0 ;
7 3 3 7
  
 23 23;0
21 21
 4 5 4 5 4 50; . 0; ;0 . ;0 . ;0
7 3 7 3 7 3
  
 20 20;0
21 21
 1 4 3: 0; . 0;
7 5
   
 4 3 12 12. ;0 ;0
7 5 35 35
. 
3.7.4. Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ 
 Cho ,   . Ta nói: 
 a) nhỏ hơn  , kí hiệu là <  , nếu -  là một số dương. 
 b) nhỏ hơn hoặc bằng , kí hiệu  , nếu < hoặc =  . 
 c) lớn hơn  , kí hiệu >  , nếu  . 
 d) lớn hơn hoặc bằng , kí hiệu  , nếu  . 
Các quan hệ ; ; ;     ta gọi chung là các bất đẳng thức, trong đó >  , 
nếu  ta gọi là các bất đẳng thức nghiêm ngặt hay bất đẳng thức chặt. 
62 
3.7.5. Xây dựng tập số nguyên trong  
 Ta gọi số hữu tỉ xác định bởi lớp tương đương: 
 a) ( ;0)n , trong đó n là số tự nhiên khác 0 là một số nguyên dương, viết là n . 
 b) Mỗi số hữu tỉ xác định bởi lớp tương đương: 0;n , trong đó n là số tự nhiên 
khác 0 là một số nguyên âm, viết là n . 
Các số nguyên dương, nguyên âm hoặc số 0 ta gọi chung là số nguyên. 
Tập tất cả các số nguyên ta kí hiệu là . 
Như vậy: n n  hoặc n . 
3.7.6. Số thập phân trong  
 Trong các phần trước chúng ta đã xây dựng tập số hữu tỉ không âm 10  (là tập con của 
  ). Như vậy, mỗi số thập phân không âm r cũng là một số hữu tỉ, ta có r  hay 
10   . 
Số hữu tỉ gọi là số thập phân, nếu 10  hoặc 10  . Tập tất cả các số thập phân 
ta kí hiệu là 10 . 
Chẳng hạn: 4,017 và – 4,017 là các số thập phân. 
3.8. TẬP SỐ THỰC 
3.8.1. Sự cần thiết phải xây dựng tập số thực 
 Ta xét bài toán: “Cho hình vuông có cạnh bằng một đơn vị độ dài. Tìm số đo của đường 
chéo hình vuông đó”. 
 Ta giả sử đường chéo d của hình vuông đó có số đo là một số hữu tỉ p
q
, với ƯCLN(p, 
q) = 1. Áp dụng định lí Pitago ta có: 
2
2 2
2 1 1 2
p
q
 hay 2 22p q . Suy ra 2p là số chẵn, 
vậy p phải là số chẵn, hay p = 2k. Thay vào ta được 2 24 2k q hay 2 22q k . Lập luận như 
trên ta suy ra q là số chẵn. Điều này trái với giả thiết ƯCLN(p, q) = 1. 
Vậy số đo đường chéo của hình vuông đã cho không thể là số hữu tỉ. 
Tương tự, nếu dừng lại ở tập số hữu tỉ thì các phương trình: 
 2 3 0x ; 2 5 0x ; 
63 
đều không có nghiệm. 
Trong khi đó, trong toán học và khoa học kỹ thuật ta thường xuyên phải biểu diễn số đo 
của những đoạn thẳng, hoặc tìm nghiệm của những phương trình trên đây. Vì vậy cần 
phải mở rộng tập số hữu tỉ thêm những số mới để đáp ứng nhu cầu phát triễn của toán 
học và các ngành khoa học khác. 
3.8.2. Xây dựng tập số thực 
 Có nhiều cách xây dựng tập số thực, chẳng hạn: xây dựng từ số thập phân vô hạn, 
phương pháp nhát cắt Dedekin, phương pháp là đầy,Dưới đây ta trình bày cách xây 
dựng tương đối đơn giản: mở rộng tập số thập phân để được tập số thực. 
 Trong các phần trước, chúng ta đã xét hai loại số thập phân: số thập phân (có hữu hạn 
số chữ số ở phần thập phân) và số thập phân vô hạn tuần hoàn. 
Ngoài hai loại số thập phân nói trên, ta còn gặp một loại số thập phân có vô số chữ số ở 
phần thập phân, các chữ số ở phần thập phân không lặp đi lặp lại theo bất kỳ một chu kỳ 
nào. Chẳng hạn: 1,4142135; 1,7320508; 3,141659265 
Những số thập phân như thế gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Mỗi số thập 
phân vô hạn không tuần hoàn gọi là một số vô tỉ. Tập hợp tất cả các số vô tỉ ta kí hiệu là 
I. 
Tập tất cả các số hữu tỉ và các số vô tỉ ta gọi là tập số thực, kí hiệu là . 
Như vậy: I   . 
Chẳng hạn: 
 +) 0,712; - 4,008; 13,9 là các số thập phân. 
 +) 3,9(54); - 2,(18); là các số thập phân vô hạn tuần hoàn 
 +) 0,4142135; hoặc – 2,6457513.. là các số thập phân không tuận hoàn (hay còn 
gọi là số vô tỉ). 
 +) Mỗi số 0,72; - 4008; 13,9; 3,9(54); - 2,(18); 0,4142135; - 2,6457513 là một số 
thực. 
3.8.3. Các phép toán trong tập số thực 
 Nếu ta coi mỗi số thập phân hữu hạn là một số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kỳ 
bằng 0 thì ta có thể nói mỗi số thực là một số thập phân vô hạn (tuần hoàn hoặc không). 
64 
Như vậy mỗi số thực có dạng: 
 1 2 3, ... ...ix a a a a a 
Trong đó a là số nguyên dương còn ia với i = 1, 2, 3, là một trong các chữ số 0, 1, 2, 3, 
4, 5, 6, 7, 8, 9 và các số được kí hiệu như trên với dấu trừ phía trước: 1 2 3, ... ...ix a a a a a 
Số thực x khác 0 mà dạng thập phân vô hạn của nó không mang dấu trừ gọi là số thực 
dương, trong trường hợp ngược lại gọi là số thực âm. 
Số thực y gọi là số đối của số thực x, kí hiệu là y = - x, nếu ở dạng thập phân vô hạn x và 
y chỉ khác nhau về dấu. 
Giả sử x và y là hai số thực, trong đó: 
1 2 3, ... ...kx a a a a a và 1 2 3, ... ...ky b b b b b , trong đó a, b là hai số nguyên và 
 ; 0,1, 2,3,...,9k ka b . 
Ta gọi: 
 a) Tổng gần đúng cấp k của x và y là số: 
 s = 1 2 3, ... ...ka a a a a + 1 2 3, ... ...kb b b b b 
 b) Hiệu gần đúng cấp k của x và y là số: 
 u = 1 2 3, ... ...ka a a a a - 1 2 3, ... ...kb b b b b 
 c) Tích gần đúng cấp k của x và y là số: 
 p = 1 2 3, ... ...ka a a a a x 1 2 3, ... ...kb b b b b 
lấy gần đúng đến k chữ số thập phân 
 d) Thương gần đúng cấp k của x và y là số: 
 d = 1 2 3, ... ...ka a a a a : 1 2 3, ... ...kb b b b b 
lấy gần đúng đến k chữ số thập phân 
Ví dụ 3.16: 
 1. Cho x = 2,47 và y = 11,3. Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp hai của x và y: 
Ta có: 
 x + y = 2,47 + 11,3 = 13,77. 
 x - y = 2,47 - 11,3 = - 8,83. 
 x y = 2,47 11,3 = 27,911 27,91 
65 
 x : y = 2,47 : 11,3 = 0, 218584 0, 22 . 
 2. Cho x = 0,9545454.. và y = - 7,2. Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp 3 
của x và y: 
Ta có: 
 0,954 7,200 6, 246x y . 
 0,954 7, 200 8,154x y . 
 0,954 7, 200 6,8688 6,869x y . 
 : 0,954 : ( 7, 200) 0,1325 0,133x y . 
 3. Cho 2x và y = 1,603. Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp 1 của x và y: 
Ta có: 2 1, 4142135........ 
1, 4 1,6 0, 2x y . 
 1,4 1,6 3x y . 
 1, 4 1,6 2, 24 2, 2x y . 
 : 1, 4 :1,6 0,875 0,9x y  . 
 4. Cho 3x và 5x . Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp 3 của x và y: 
Ta có: 3 1,7320508........ và 5 2,2360679........ 
1,732 2, 2366 3,968x y 
1,732 2, 2366 0,504x y 
( 1,732) ( 2, 2366) 3,872752 3,873x y . 
: ( 1,732) : ( 2, 2366) 0,7745974 0,775.x y 
Bài tập chương 3 
 1. Cho năm chữ số 0, 4, 5, 6, 9. Hãy viết các số thập phân nhỏ hơn 50 sao cho mỗi chữ 
số đã cho xuất hiện trong cách viết đúng một lần. 
 2. Khi lùi dấu phẩy của một số thập phân từ phải qua trái một hàng thì số đó giàm đi 
11,07 đơn vị. Tìm số thập phân đó. 
 3. Khi bỏ quên dấu phẩy của một số thập phân có hai chữ số ở phần thập phân thì số đó 
tăng lên 537,57 đơn vị. Tìm số thập phân đó. 
66 
 4. Tính giá trị của biểu thức sau bằng cách hợp lí: 
 a) 250 1,80 25 12,8 292 2,5
1 5 9 ...... 97 225
. 
 b) 20,2 5,1 30,3 3, 4 14,58
7, 29 540 2 14,58 460
. 
 5. Thay mỗi chữ trong phép tính sau bởi chữ số thích hợp: 
 a) 8 , 41, 14,ab a d c c d . 
 b) 4,896 , 0,0a bab ab . 
 6. 
 a) Có một bình đựng 80g nước muối loại 8%. Phải đổ thêm vào bình đó bao nhiêu 
gam nước để được một bình nước chứa 20% muối? 
 b) Có một bình đựng 150g nước loại 10% muối. Phải đổ thêm vào bình đó bao 
nhiêu gam muối để được một bình nước chứa 20% muối? 
 7. Tìm tổng, hiệu, tích, thương của và  , biết rằng: 
 a) 5
6
 và 3
8
 . 
 b) 4
7
 và 5
3
 . 
 c) 5
8
 và 3
7
 . 
 d) 9
5
 và 7
10
 . 
 8. Viết các số thập phân sau dưới dạng thu gọn: 
 a) 3
4
 ; b) 15
4
 ; c) 127
40
 . 
 9. Viết các số thập phân sau dưới dạng số hữu tỉ: 
 a) 4,08 ; b) 6,09 ; c) 13,15 . 
67 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Phan Hữu Chân – Nguyễn Tiến Tài (1996). Số học và lôgic toán, NXB Giáo dục. 
[2]. Trần Diên Hiển – Bùi Huy Hiền (2007). Các tập hợp số. Tài liệu đào tạo giáo viên, 
NXB Giáo dục và NXB Đại học Sư phạm. 
[3]. Trần Diên Hiển – Nguyễn Xuân Liêm (2007). Cơ sở lí thuyết tập hợp và lôgic toán. 
Tài liệu đào tạo giáo viên, NXB Giáo dục và NXB Đại học Sư phạm. 
[4]. Trần Diên Hiển – Nguyễn Tiến Tài – Nguyễn Văn Ngọc (2003). Giáo trình lí thuyết 
số, NXB – ĐHSP. 
[5]. Đỗ Đình Hoan và tập thể tác giả. Toán 1, 2, 3, 4, 5. NXB Giáo dục (2003). 
68 
MỤC LỤC 
Trang 
Lời nói đầu .............................................................................................................. 1 
Chương 1: Cấu trúc đại số 
1.1. Phép toán hai ngôi............................................................................................. 2 
1.2. Nửa nhóm và nhóm........................................................................................... 7 
1.3. Vành và trường ................................................................................................. 9 
Bài tập chương 1.................................................................................................... 11 
Chương 2: Số tự nhiên 
2.1. Bản số của tập hợp .......................................................................................... 16 
2.2. Số tự nhiên...................................................................................................... 20 
2.3. Lí thuyết chia hết trên tập các số tự nhiên ....................................................... 23 
2.4. Hệ ghi số......................................................................................................... 28 
2.5. Nội dung và cơ sở toán học của việc dạy học 
một số vấn đề về số tự nhiên ở bậc Tiểu học .......................................................... 32 
Bài tập chương 2.................................................................................................... 35 
Chương 3: Tập số hữu tỉ và tập số thực 
3.1. Xây dựng tập số hữu tỉ không âm.................................................................... 38 
3.2. Các phép toán trong tập số hữu tỉ không âm .................................................... 40 
3.3. Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm................................................... 43 
3.4. Tập số hữu tỉ không âm và phân số trong chương trình 
 môn toán ở bậc Tiểu học ....................................................................................... 43 
3.5. Tập số thập phân không âm............................................................................. 46 
3.6. Số thập phân không âm trong chương trình 
môn toán ở trường Tiểu học ................................................................................... 53 
3.7. Tập số hữu tỉ ................................................................................................... 57 
3.8. Tập số thực ..................................................................................................... 62 
Bài tập chương 3.................................................................................................... 65 
Tài liệu tham khảo ................................................................................................. 67 
69