Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian véctơ (Tiếp theo) - Đặng Văn Vinh

Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ môn Toán ứng dụng
------------------------------------------------------
Ñaïi soá tuyeán tính
Chöông 4: KHOÂNG GIAN VEÙCTÔ (tt)
Giaûng vieân TS. Ñaëng Vaên Vinh
www.tanbachkhoa.edu.vn
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I – Toạ độ của véctơ.
II – Không gian con.
III - Tổng và giao của hai không gian con.
I. Toạ độ của véctơ
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho E ={e1, e2, , en} là cơ sở sắp thứ tự của K-kgvt V
Định nghĩa toạ độ của véctơ
1 1 2 2 ... n nx x e x e x e
1
2[ ]E
n
x
x
x
x

x V 
Bộ số được gọi là tọa độ của véctơ x trong
cơ sở E.
1 2( , ,..., )nx x x
I. Toïa ñoä cuûa veùctô 
-------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2 2Cho { 1; 2 1; 2}E x x x x x x 
Ví dụ
Tìm véctơ p(x), biết toạ độ trong cơ sở E là
3
[ ( )] 5
2
Ep x
là cơ sở của không gian
2[x]P
3
[ ( )] 5
2
Ep x
2 2 2( ) 3( 1) 5( 2 1) 2( 2) p x x x x x x x
( ) 5 2 p x x
I. Toïa ñoä cuûa veùctô 
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho {(1,1,1);(1,0,1);(1,1,0)}E 
Ví dụ
là một véctơ của R3. Tìm toạ độ của véctơ x trong cơ sở E.
là cơ sở của R3 và x = (3,1,-2)
Giả sử
1
2
3
[ ]
E
x
x x
x
1 1 2 2 3 3 x x e x e x e
1 2 3(3,1, 2) (1,1,1) (1,0,1) (1,1,0) x x x
1 2 3
1 3
1 2
3
1
2
x x x
x x
x x
4
[ ] 2
5
Ex
I. Toïa ñoä cuûa veùctô
-------------------------------------------------------------------------------------------------
2
2Cho { 1; 1;2 1} laø cô sôû [ ].E x x x x P x 
Ví dụ
Tìm toạ độ của véctơ p(x) = 3x2+4x-1 trong cơ sở E.
Giả sử [ ( )]
E
a
p x b
c
1 2 3( ) . . . p x a e b e c e
2 23 4 1 ( 1) ( 1) (2 1) x x a x x b x c x
3
2 4
1
a
a b c
a b c
3
[ ( )] 9
5
Ep x
I. Toïa ñoä cuûa veùctô 
-------------------------------------------------------------------------------------------------
1 1
2 22. [ ]E
n n
x y
x y
x y
x y

1 1
2 21. 
n n
x y
x y
x y
x y

1
2[ ]E
n
y
y
y
y

Tính chất của tọa độ véctơ
1
2[ ]E
n
x
x
x
x

1
23. [ ]E
n
x
x
x
x

I. Toïa ñoä cuûa veùctô 
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Ý nghĩa của toạ độ véctơ.
Trong không gian n chiều V cho một cơ sở
E ={e1, e2, , en}.
Tất cả các vectơ của V đều biễu diễn qua E dưới dạng tọa độ.
Hai phép toán cơ bản: cộng hai vectơ và nhân vectơ với một
số, và sự bằng nhau trong V có thể phức tạp.
Theo tính chất của tọa độ, ta thấy các phép toán này giống
hoàn toàn trong Rn.
Suy ra cấu trúc của không gian vectơ V hoàn toàn giống Rn.
Chứng minh được V và Rn đồng cấu với nhau, vậy nên trong
nghiên cứu ta đồng nhất V và Rn.
Tất cả các không gian n chiều đều coi là Rn.
I. Toïa ñoä cuûa veùctô
-------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2 2
2{ 1;3 2 1;2 } [ ].Cho laø taäp con cuûa M x x x x x x P x
Ví dụ
Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
Chọn cơ sở chính tắc của P2[x] là .
2, ,1{ }E x x 
2
1
1 1
1
E[ ]x x
2
3
2 1 2
1
E[3 ]x x
2
2
1
0
E[2 ]x x
Hạng của M = hạng của họ vectơ của M ở dạng toạ độ.
1 3 2
1 2 1
1 1 0
A
( ) 2r A Vậy M phụ thuộc tuyến tính
Tập con F
II. Khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
V là K-kgvt
Tập con F 2 phép toán trong V K- kgvt F
Kg con F
II. Khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tập con khác rỗng F của K-kgvt V là không gian con của V
khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa.
1. , : f g F f g F 
2. , :   f F K f F
Định lý
II. Khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 1 2 3 3 1 2 3( , , ) | 2 0F x x x R x x x 
Ví dụ
1. Chứng tỏ F là không gian con của R3
2. Tìm cơ sở và chiều của F.
Giải câu 2.
1 2 3( , , ) x x x x F 1 2 32 0 x x x
3 1 22 x x x
Khi đó 1 2 3 1 2 1 2( , , ) ( , , 2 ) x x x x x x x x
1 2(1,0,1) (0,1,2) x x x
Suy ra là tập sinh của F.(1,0,1);(0,1,2){ } E
Kiểm tra thấy E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F.
dim( ) 2 F
II. Khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 2( ) [x] | (1) 0 & (2) 0 F p x P p p
Ví dụ
1. Chứng tỏ F là không gian con của P2[x].
2. Tìm cơ sở và chiều của F.
Giải câu 2.
2( ) p x ax bx c F (1) 0 (2) 0 & p p
Suy ra là tập sinh của F.2 3 2{ } E x x
Hiển nhiên E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F.
dim( ) 1 F
0
4 2 0
a b c
a b c
; 3 ; 2 a b c
2( ) 3 2 p x x x 2( ) ( 3 2) p x x x
II. Khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
 2
1 1
[ ] | 0
2 2
F A M R A
  
  
1. Chứng tỏ F là không gian con M2[R]
2. Tìm cơ sở và chiều của F.
II. Khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
L(M)=Span 1 2 1 1 2 2{ , ,..., } { }n n n iv v v v v v R  
1 2{ , , , }nM v v v V 
1. L(M) là không gian con của V
2. dim(L(M)) = Hạng của họ M.
II. Không gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử dim(V) = n
1 2{ , ,..., }mM x x x 
Hạng M = Hạng Ma trận
M phụ thuộc tt
M độc lập tt
hạng M < m
M tập sinh của VM là cơ sở của Vx là tổ hợp tt của M
hạng M = m hạng M = dim(V)
hạng M = dim(V) = số vectơ trong M
hạng M = hạng M thêm vectơ x
Kgian con 
Chiều kgian con = hạng M
II. Khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho (1,1,1);(2,1,1);(3,1,1)F 
Tìm cơ sở và chiều của F.
Ví dụ
II. Khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho 2 2 21,2 3 1, 2 2F x x x x x x 
Tìm cơ sở và chiều của F.
Ví dụ
II. Khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
2
 ,
2
  
  
 
a b a b
F a b R
b a
Tìm cơ sở và chiều của F.
II. Khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ví dụ
1 1 2 1 3 1 1 0
, , ,
2 1 0 1 2 1 2 0
F
Tìm cơ sở và chiều của F.
II. Khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho (1, 2,3); {(1,1,1);(2,1,0);(3, 1,3)}x M 
x có thuộc không gian con sinh ra bởi M?
Ví dụ
II. Khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho (1,0, ); {(1,1,1);(2,3,1);(3,2,0)}x m M 
Tìm tất cả giá trị của m để x thuộc không gian con sinh ra
bởi M?
Ví dụ
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho F và G là hai không gian con của K-kgvt V.
Giao của hai không gian con F và G là tập hợp con của V, ký
hiệu bởi
Định nghĩa giao của hai không gian con
{ | vaø }F G x V x F x G 
Tổng của hai không gian con F và G là tập hợp con của V,
ký hiệu bởi
Định nghĩa tổng của hai không gian con
{ | vôùi vaø }F G f g f F g G 
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.
Định lý
1. là hai không gian con của V. & F G F G 
dim( ) dim( ) dim( ) dim( )F G F G F G 
Kết quả
F G F F G V  
F G G F G V  
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các bước để tìm không gian con F+G
1. Tìm tập sinh của F. Giả sử là {f1, f2, , fn}
1 2 1 23. , ,..., , , ,...,n mF G f f f g g g 
2. Tìm tập sinh của G. Giả sử là {g1, g2, , gm}
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho F và G là hai không gian con của R3, với
Ví dụ
 1 2 3 1 2 3( , , ) | 2 0}F x x x x x x 
 1 2 3 1 2 3( , , ) | 0}G x x x x x x 
.F G1. Tìm cơ sở và chiều của
2. Tìm cơ sở và chiều của .F G 
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu 1.
1 2
1
3
2 3
0
2 0
x
x x x
x x 
1 2 3( , , )x x x x F G 
 & x F x GÛ Î Î
1
2
3
3
2
x
x
x
a
a
a
ì =ïïïÛ =í
ïï =ïî
Khi đó 1 2 3( , , ) ( ,3 ,2 )x x x x 
(1,3,2)x aÛ =
(1,3,2){ }EÞ = là tập sinh của F GÇ
vì E độc lập tuyến tính. Suy ra E là cơ sở của F GÇ
dim( ) 1.F GÞ Ç =
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu 2. Bước 1. Tìm tập sinh của F. 1 {(-1,1,0),(2,0,1)}E 
dim( ) ( ) 3.F G r AÞ + = =
Bước 2. Tìm tập sinh của G. 2 {(1,1,0), ( 1,0,1)}E 
( 1,1,0), (2,0,1 (1,1,0), (, 1,0,1))F G -Þ + -= 
1 1 0
2 0 1
1 1 0
1 0 1
A
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç-è ø
1 1 0
0 2 1
0 0 1
0 0 0
bñs haøngc ñv 
æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷¾ ¾ ¾ ¾ ¾® ç ÷ç ÷-ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø
Cơ sở: ( 1,1,0), (0,2,1),(0,0, 1){ }E = - -
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho F và G là hai không gian con của R3, với
Ví dụ
 1 2 3 1 2 3( , , ) | 0}F x x x x x x 
(1,01,);(2,3,1)G 
.F G1. Tìm cơ sở và chiều của
2. Tìm cơ sở và chiều của .F G 
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giải câu 1.
(1,0,1) (2,3,1)x G x  
1 2 3( , , )x x x x F G  & x F x GÛ Î Î
Vậy
dim( ) 1.F GÞ Ç =
( 2 ,3 , )x a b b a bÛ = + +
 thoûa ñieàu kieän cuûa .x F x F 
2 03   3  
( ,3 , 2 )x    ( 1,3, 2) 
(1, 3,2)x  (1, 3,2){ }EÞ = - là tập sinh của F GÇ
vì E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho F và G là hai không gian con của R4, với
Ví dụ
 1 2 3 41 2 3 4
1 2 3 4
0
( , , , ) 
2 2 0
x x x x
F x x x x
x x x x
 
 
 
 1 2 3 41 2 3 4
1 2 3 4
0
( , , , ) 
3 2 2 3 0
x x x x
G x x x x
x x x x
 
 
 
.F G1. Tìm cơ sở và chiều của
2. Tìm cơ sở và chiều của .F G 
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho F và G là không gian con của R3, với
Ví dụ
(1,0,1);(1,1,1) F 
(1,1,0);(2,1,1) G 
.F G1. Tìm cơ sở và chiều của
2. Tìm cơ sở và chiều của .F G 
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
.F G
Cho F và G là hai không gian con của P2[x], với
Ví dụ
2{ ( ) [ ] | (1) 0}F p x P x p 
1. Tìm cơ sở và chiều của
2. Tìm cơ sở và chiều của .F G 
2{ ( ) [ ] | ( 1) 0}G p x P x p 
III. Toång vaø giao cuûa hai khoâng gian con 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
.F G
Cho F và G là hai không gian con của P2[x], với
Ví dụ
2 1,2 1 ;F x x x 
Tìm cơ sở và chiều của
2 2, 1G x x x 
Cách 1. Có thể giải như các ví dụ trước.
Cách 2. Coi P2[x] là không gian R3. F và G là hai mặt phẳng.
Cặp véctơ chỉ phương của F là: (1,1,-1); (0,2,1).
Cặp véctơ chỉ phương của G là: (1,-1,2); (0,1,1).
Pháp véctơ của F là (3,-1,2); pháp véctơ của G là (3,1,-1)
Giao của F và G là đường thẳng có vectơ chỉ phương: (-1,9,6)
Cơ sở của : E={(-1,9,6)};F G dim( ) 1.F F