Bài giảng Giải tích - Chương 7: Lý thuyết chuỗi - Phan Trung Hiếu

12/5/2019
1
LOG
O
Chương 7:
Lý thuyết chuỗi 
GV. Phan Trung Hiếu
§1. Chuỗi số
§2. Chuỗi hàm
2
§1. Chuỗi số
3
I. Các định nghĩa:
Định nghĩa 1.1. Cho dãy số {an} trong .
Biểu thức:
được gọi là một chuỗi số (gọi tắt là chuỗi).
Các số a1, a2,,an, được gọi là các số hạng của chuỗi
(*); an là số hạng tổng quát.

là tổng riêng phần (thứ n) của chuỗi (*).
1 2
1
... ... (*)n n
n
a a a a
 
1 2
1
...
n
n n k
k
s a a a a
 
4
Định nghĩa 1.2 (Sự hội tụ của chuỗi số)
Nếu thì chuỗi (*) hội tụ
và
Nếu không tồn tại hoặc thì
chuỗi (*) phân kỳ và nó không có tổng.
lim ( )nn s s 
1
.n
n
a s
 
lim nn s lim nn s 
5
Ví dụ 7.1. Chứng minh hội tụ
và tính 
1
1
( 1)n n n

1
1 .
( 1)n n n

Ví dụ 7.2. Chứng minh phân kỳ.
1
1ln 1
n n

II. Các mệnh đề:
6
Mệnh đề 2.1. Nếu và là các chuỗi 
hội tụ thì
là các chuỗi hội tụ, hơn nữa
1
n
n
a

1
n
n
b

1
( )n n
n
a b
  và
1
( . )n
n
k a

1 1 1
( ) ,n n n n
n n n
a b a b
   
1 1
( . ) . .n n
n n
k a k a
  
12/5/2019
2
7
Mệnh đề 2.2 (Chuỗi hình học)
n
n
x

0
hội tụ 1.x 
Ví dụ 7.3. Xét tính hội tụ của các chuỗi 
0
2)
3
n
n
a

0
) 3n
n
b

8
Mệnh đề 2.3 (Chuỗi điều hòa)
1
p
n n

1
hội tụ 1.p 
Ví dụ 7.4. Xét tính hội tụ của các chuỗi 
1)
n
a
n

1
3
1)
n
b
n

1
1/3
1)
n
c
n

1
9
Mệnh đề 2.4
lim 0
( )
nn
n
a
a phan ky
1
n
n
a
 phân kỳ.
Ví dụ 7.5. Xét tính hội tụ của các chuỗi 
)
3 1n
na
n

1
Chú ý: Nếu thì ta chưa kết luận
được gì.
lim 0nn a 
2
2
2 1)
1n
nb
n n
 1
10
§2. Chuỗi số dương
I. Định nghĩa: 
11
1
n
n
a
 được gọi là chuỗi số dương nếu
0, .na n  
Ví dụ 7.6. Chuỗi nào sau đây là chuỗi số dương? 
)
3 1n
na
n

1
( 1))
n
n
b
n

1
hoặc từ một số hạng nào đó trở đi
00, .  na n n
II. Các tiêu chuẩn so sánh:
12
Tiêu chuẩn so sánh 1: Xét hai chuỗi số
dương với
Khi đó
1 1
,n n
n n
a b
  lim [0, ].n
n
n
a c
b 
0 :c 
1
n
n
a

1
n
n
b
và hoặc cùng hội tụ
hoặc cùng phân kỳ
12/5/2019
3
13
0 :c 
1
 n
n
b hội tụ 
1
 n
n
a hội tụ.
1
 n
n
a phân kỳ 
1
 n
n
b phân kỳ.
:c 
1
 n
n
a hội tụ 
1
 n
n
b hội tụ.
1
 n
n
b phân kỳ 
1
 n
n
a phân kỳ.
14
Chú ý: Thường chuỗi được chọn từ một
trong hai chuỗi sau 1
 n
n
b
1
 n
n
x hội tụ 1.x | |
1
1
p
n n
 hội tụ 1.p 
Hệ quả: Nếu là hai dãy số dương và ,n na b
, n na b n
thì
1
n
n
a

1
n
n
b
và hoặc cùng hội tụ hoặc cùng 
phân kỳ
15
Ví dụ 7.7. Xét tính hội tụ của các chuỗi 
1)
2 1nn
d

1
2
5
2 3)
5

n
n na
n1
) sin
2
 n
n
b
1
 22
1)
ln 1n
c
n

1
1) ln 1
n
e
n

16
Tiêu chuẩn so sánh 2: Xét hai chuỗi số dương
và thỏa
Khi đó
hội tụ hội tụ.
phân kỳ phân kỳ.
1
n
n
a

1
n
n
b

0, .n na b n n  
1
n
n
b
 
1
n
n
a

1
n
n
b

1
n
n
a

17
Ví dụ 7.8. Xét tính hội tụ của các chuỗi 
2
1)
lnn
a
n n

1 3
ln)
n
nb
n

18
Tiêu chuẩn so sánh 3: Giả sử f(x) là một hàm 
liên tục, dương và giảm trên . Đặt 
Khi đó
hội tụ hội tụ.
phân kỳ phân kỳ.
1
( )f x dx
1
n
n
a

 1; 
( ).na f n 
1
( )f x dx
1
n
n
a

12/5/2019
4
19
Ví dụ 7.9. Xét tính hội tụ của chuỗi 
2
1
lnn n n

III. Tiêu chuẩn tỷ số D’Alembert:
20
Xét chuỗi số dương . Ta có:
1
n
n
a

1lim n
n
n
a
a
1 hội tụ.
1
n
n
a

1 phân kỳ.
1
n
n
a

1 chưa kết luận được gì.
Thường dùng tiêu chuẩn D' Alembert khi chuỗi có số
hạng sau rút gọn được cho số hạng trước nó.
21
Ví dụ 7.10. Xét tính hội tụ của các chuỗi 
)
2nn
na

1
)
!
n
n
nb
n

1
3)
3
n
n
c
n

1
 2
2
7 . !
)
n
n
n
n
d
n

1
 3 !)
!.3nn
n
e
n

1
IV. Tiêu chuẩn căn số Cauchy: 
22
Xét chuỗi số dương . Ta có:
1
n
n
a

Thường dùng tiêu chuẩn Cauchy khi chuỗi có số
hạng tổng quát có dạng của số mũ có chứa n.
lim n nn a 
1 hội tụ.
1
n
n
a

1 phân kỳ.
1
n
n
a

1 chưa kết luận được gì.
23
Ví dụ 7.11. Xét tính hội tụ của các chuỗi 
1) n
n
a
n

1
2
1 1)
2
n
n
n
nc
n
  

1
1
3 2)
2 3
n
n
nb
n

24
§3. Chuỗi đan dấu
12/5/2019
5
I. Định nghĩa:
25
Cho là một dãy số dương, các chuỗi sốna
1
1 2 3 4 ... ( 1)
  n n
n
a a a a a
1
và
1 2 3 4 ... ( 1)
  n n
n
a a a a a
1
là các chuỗi đan dấu.
II. Định lý Leibnitz:
26
Nếu là một dãy số dương, giảm và
thì chuỗi đan dấu hội tụ. 
na lim 0 nn a
1( 1)
  n n
n
a
1
Ví dụ 7.12. Xét tính hội tụ của chuỗi 
1
1
( 1))
n
n
a
n
 
1
( 1))
2
n
n
nb
n
 
1
2 ( 1)) ( 1)
3 2
n
n
n
c
n
 
III. Hội tụ tuyệt đối:
27
Định lý: hội tụ hội tụ. 
 n
n
a
1
 n
n
a
1
Ví dụ 7.13. Xét tính hội tụ của chuỗi 
3
1
sin)
n
na
n
 21
( 1))
1
n
n
b
n
 
2 1
1
( 5))
3 ( 4)
n
n
n
c
n
 
2
2
1
( 1) .)
2 1
n
n
nd
n
 
28
 Chú ý: Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hay
Cauchy mà biết được chuỗi phân kỳ thì
cũng phân kỳ 
 n
n
a
1 
 n
n
a
1
Ví dụ 7.14. Xét tính hội tụ của chuỗi 
1
( 1) .4)
n n
n
a
n
  ) 3 2
n
n
nb
n

1
29
§4. Chuỗi lũy thừa
I. Định nghĩa: 
30
Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm số có dạng
0
(1)
 nn
n
a x
trong đó x là biến, hằng số là hệ số của na nx
Tổng quát, cho trước chuỗi hàm số 0 , nx a
0
0
( ) (2)
  nn
n
a x x
được gọi là chuỗi lũy thừa của 0 x x
12/5/2019
6
31
 Chú ý:
Đặt thì chuỗi (2) trở thành
Chuỗi (1) luôn hội tụ tại x = 0.
Tồn tại số để chuỗi hội tụ trong
khoảng , phân kỳ trong khoảng
và . 
R: bán kính hội tụ
: khoảng hội tụ. 
0 X x x
0
.
 nn
n
a X
0 R
0
 nn
n
a x
( ; ) R R ( ; ) R
( ; ) R
( ; ) R R
II. Tìm bán kính hội tụ và tìm miền hội tụ:
32
Miền hội tụ của chuỗi lũy thừa có một trong 4 
dạng    ( ; ), ; , ; , ; . R R R R R R R R
Định lý: Nếu
thì 
1lim 
 n
n
n
a
a
hoặc lim 
 n nn
a
1 , 0
0,
, 0
R
33
Các bước tìm miền hội tụ:
Bước 1: Tìm bán kính hội tụ theo định lý trên.
Bước 2: Xét tính hội tụ của chuỗi tại –R và R.
Bước 3: Kết luận.
Ví dụ 7.15. Tìm bán kính hội tụ và miền hội tụ của các 
chuỗi sau
1
) ! .n
n
a n x

1
) .
1
n
n
nxc
n

1
( 1)) .
.2
n n
n
n
xd
n
 
1
2 3
) .
3
nn
n
x
e
n
 
 1
!) .
2 !
n
n
n xb
n

1
( 1) (2 1) 2 1
) .
2
nn
n
n
n x
f

Bài tập Giải tích 
7 
BÀI TẬP CHƯƠNG 7 
Bài 1: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau 
1) 
1
1
2
3
n
n
n

2) 2
1
4 .9n n
n

3) 
2
2
1
1
2 3n
n n
n n
  
4) 
1
1
22
n
n
e

Bài 2: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau 
1) 
1
1
(2 1)(2 1)n n n

2) 2
1
1
2n
n
n n
  
3) 2
1
1sin
1n n n

4) 
1
1ln 1
n n

5) 
1
11 cos
n n

6) 
1
1
( 1)n n n

7) 
1
sin
n n

8) 
1
1
1 1n
n
e
n

9) 
1
1
n
n n
n
 
10) 
1
3 2
5 9
n
n
n
  
11) 
2
2
3
3 1nn
n 
  
12) 1
1
( 1)n
n
n
n
n
 
13) 2
1
n
n
n e

Bài 3: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau 
1) 
1
1
.3nn n

2) 
3
1
1
n n

3) ln
7
1
n
n n

Bài 4: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau 
1) 2
2
1
.lnn n n

2) 
 21
1
.ln . ln(ln )n n n n

3) 
1
.ln
n
n n

4) 2
1
arctan
1n
n
n

Bài 5: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau 
1) 
3
1 3nn
n 

2)
 1
3 !n
n
n
n
n

3) 
2
1
( !)
(2 )!n
n
n

4)
1
1
3
4
n
n
n
n 

5) 
2
1
2
!
n
n
n
n

6)
10
1
2n
n n

7)
2
1
( 1) n
n
n e
 
8)
2
1 2 2nn
n
n

9) 
1
sin
3nn

10)
 1
4.7.10...(3 1)
2.6.10...(4 2)n
n
n
  
11)
3 1
1
1
(3 1).3 nn n

12)
2
1
(2 )n
n
n
n
n

13)
43
1
. n
n
n e
 
Bài 6: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau 
1) 
2
2
1
2 1
3 2
n
n
n
n

2)
1
4 3
3 4
n
n
n
n
 3)
2
1 1
n
n
n
n
 4) 
1
2 1
n
n
n
  
5) 2
1
(2 )n
n
n
n
n
 6) 2
1
ln nn n
 7)
( 1)
1
1 .
1
n n
n
n
n
 
Bài tập Giải tích 
8 
Bài 7: Xét tính hội tụ của các chuỗi sau 
1)
 1
1
11
ln
n
n n
 
2)
 2
3
1
1 .
1
n
n
n
n
  
3) 
1
1
2 1
n
n n

4) 
1
1
ln
n
n n n
  
5)
 1
( 1)
( 1)
n
n
n n

6)
2 1
1
1 .7
3
n n
n
n

7)
1
1
3
n
n
n
n 

8) 2
1
cos
n
n
n

9) 
1
cos
3
!n
n
n
  
 
10)
 1
1
10
!
n
n n

11)
2
1
2 n
n n

12) 
2
2
1
2 11
3 1
n
n
n
n
  
13) 
1
1 n
n
n n

14)
 3
1
3 .
( 3)!
n
n
n
n
  
Bài 8: Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau 
1) 
1
n
n
nx

2)
 2 ( 1)
n
n
x
n n

3)
 1 !
n
n
x
n

4) 
1 .2
n
n
n
x
n

1 
5) 2
1
( 1)
2 1
n
n
n
x
n
  
6) 
1 2
n
n
n
x 

7)
2
1
3
( 1)
n n
n
x
n

8)
 3 ln
n
n
x
n

9)
 1
( 1)n
n
x
n
 
10) 
2 1
2
1
3 5
.4
n
n
n
x
n

11)
 1
3 ( 2)n n
n
x
 
12) 
1
( 3)
1
n
n
n
n x
n

13) 
1
( 2)
.3
n
n
n
x
n
 
14)
 1
1 1
2 1 1
n
n
x
n x

15)
 1
( 2)n
n
n
x
n
 
16) 
 1
1
( 2)nn n x
