Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Chương 5: Không gian mẫu và thống kê trên không gian mẫu - Phan Văn Tân

LÝ THUYẾT 
XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Phan Văn Tân
Bộ mô Khí tượng
CHƯƠNG 5. KHÔNG GIAN MẪU VÀ THỐNG KÊ 
TRÊN KHÔNG GIAN MẪU
5.1 Không gian mẫu
• Mẫu là gì?
– Là tập hợp hữu hạn các phần tử lấy từ tập tất cả các phần tử có
thể có nào đó
• Tại sao phải lấy mẫu?
– Để nghiên cứu một hiện tượng, một sự kiện nào đó ta không 
thể xem xét tất cả các thành phần cấu thành nó, vì số thành 
phần là vô hạn hoặc quá nhiều
– Ví dụ: 
• Nghiên cứu tâm lý lứa tuổi
• Điều tra xã hội học về một chính sách nào đó
• Đánh giá chất lượng sản phNm của nhà máy
• 
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.1 Không gian mẫu
• Tập tổng thể: Tập hợp tất cả các thành phần có thể có
– Tập toàn bộ, tập chính qui
• Tập mẫu: Tập hợp các thành phần được lấy ra để thí nghiệm, kiểm 
tra
– Số thành phần được chọn: Dung lượng mẫu
– Tập hợp tất cả các mẫu có thể lấy được gọi là không gian mẫu
– Mỗi mẫu lấy ra là một điểm trong không gian mẫu
• Không gian mẫu ứng với không gian các sự kiện sơ cấp
• Mỗi mẫu ứng với một sự kiện sơ cấp trong lý thuyết xác suất
• Có hai loại mẫu:
– Mẫu có lặp 
– Mẫu không lặp
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.1 Không gian mẫu
• Giả sử tập tổng thể gồm N phần tử, tập mẫu gồm n phần tử (n<N )
– Mẫu được lấy bằng cách rút ngẫu nhiên n lần, mỗi lần một 
phần tử từ tập tổng thể rồi trả lại tập tổng thể sau khi đã ghi 
nhận kết quả
¾Đó là cách lấy mẫu có lặp: Một phần tử có thể được lấy nhiều 
lần
– Mẫu được lấy bằng cách rút ngẫu nhiên n phần tử từ tập tổng 
thể, sau mỗi lần lấy ghi nhận kết quả nhưng không trả lại tập 
tổng thể
¾Đó là cách lấy mẫu không lặp: Mỗi phần tử chỉ có thể được 
chọn một lần duy nhất
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.1 Không gian mẫu
• Đối với cách lấy mẫu lặp: 
– Mỗi phần tử trong số n phần tử của mẫu có N cách chọn, vì
mỗi phần tử sau khi chọn được trả lại tập ban đầu
– Î Có tất cả N n cách lấy mẫu khác nhau
• Đối với các lấy mẫu không lặp: 
– Có N cách chọn phần tử thứ nhất của tập mẫu
– Có (N –1) cách chọn phần tử thứ hai, vì phần tử thứ nhất không 
được trả lại tập ban đầu
– 
– Có (N –n+1) cách chọn phần tử thứ n của tập mẫu
– Î Có tất cả N (N –1)(N –n+1)=AN n cách lấy mẫu
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.1 Không gian mẫu
• N hận thấy: Khi n << N thì Î hai cách lấy mẫu tương 
đương nhau
• Để có kết luận tương đối chính xác về tập tổng thể thì tập mẫu n
phải tiêu biểu
• Mẫu được coi là tiêu biểu nếu nó được lấy một cách ngẫu nhiên, 
tức mọi phần tử của tập tổng thể phải có xác suất được chọn như 
nhau
• N ếu mẫu được lấy để nghiên cứu đại lượng ngẫu nhiên X thì tập 
mẫu (X1, X2,, Xn) được coi là mẫu của X
• Mỗi Xi, i=1,2,..,n, đều được chọn từ tập giá trị của X nên các Xi là
những đại lượng ngẫu nhiên có cùng phân bố với X
1~n
n
N
N
A
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.1 Không gian mẫu
• Ví dụ: Giả sử X={1,2,3,4,5,6,7,8,9} Î N =9
• N ếu n=3, với cách lấy mẫu có lặp ta có thể có các mẫu:
– (X1, X2, X3) = (1,4,6)
– (X1, X2, X3) = (2,3,8)
– (X1, X2, X3) = (9,1,7)
– (X1, X2, X3) = (4,2,1)
– 
• Î Xi={1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
X1
X2
X3
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.2 Phân bố mẫu và phân bố chính xác
• Giả sử có mẫu (X1, X2,, Xn) của đại lượng ngẫu nhiên X có phân 
bố F(x) (F(x) được gọi là phân bố chính xác của X)
• Vì F(x) chưa biết nên cần tìm F(x) trên cơ sở tập mẫu lấy được
• Từ tập mẫu (X1, X2,, Xn) ta lập hàm Fn(x):
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<=
=
xn
n
nxF
x
x
n
in21 X m·n tháa XX(X cña tö phÇn Sè ),...,,
)(
• Fn(x) được gọi là phân bố mẫu của X
• Ứng với mỗi đối số x giá trị hàm Fn(x) là tần suất của sự kiện X<x
• N ói cách khác, Fn(x) là ước lượng của xác suất P(X<x)
• Từ luật số lớn, với ∀ε>0 ta có 1)|)()((| =<−∞→ εxFxFP nnlim
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.2 Phân bố mẫu và phân bố chính xác
• Từ hệ thức
n
nxF xn =)(
• N hư vậy, có thể xem mẫu (X1, X2,, Xn) như là tập các giá trị có
thể của biến ngẫu nhiên rời rạc X’, trong đó xác suất để X’ nhận 
các giá trị có thể của nó là như nhau và bằng 1/n
• Để nghiên cứu X ta dựa vào tập mẫu (X1, X2,, Xn), điều đó 
tương đương với việc nghiên cứu biến ngẫu nhiên rời rạc X’
• Sự khác biệt cơ bản là:
– Phân bố của X là phân bố chính xác, các đặc trưng của X là các 
đặc trưng chính xác
– Phân bố của X’ là phân bố mẫu, các đặc trưng của X’ là các 
đặc trưng mẫu
suy ra ni
n
XXP i ,...,2,1,
1)( ===
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.3 Các đặc trưng mẫu của đại lượng ngẫu nhiên
• Xét biến ngẫu nhiên X với mẫu lấy được X’={X1, X2,, Xn}
• Ký hiệu các đặc trưng chính xác của X là:
– Hàm phân bố F(x)=P(X<x)
– Kỳ vọng: μ=M[X], phương sai: σ2=D[X]=M[(X–μ)2]
– Mômen gốc bậc k: mk=M[Xk]
– Mômen trung tâm bậc k: μk=M[(X–μ)k]
• Cần xác định các đặc trưng mẫu của X
• Từ mục trước:
n
nxF xn =)(
ni
n
XXP i ,...,2,1,
1)( ===
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.3 Các đặc trưng mẫu của đại lượng ngẫu nhiên
• Kỳ vọng mẫu: ∑∑
==
==′=′=
n
i
i
n
i
ii Xn
XXPXXMX
11
1)(][
• Phương sai mẫu:
222
1
2
1
22 1)(1][~ XXXX
n
XX
n
XDsD
n
i
i
n
i
ixx −−≡−=−=′== ∑∑
==
• Mômen gốc mẫu bậc k: ∑
=
=′=
n
i
k
i
k
k Xn
XMm
1
1][~
• Mômen trung tâm mẫu bậc k:
∑
=
−=−′=
n
i
k
i
k
k XXn
XXM
1
)(1])[(~μ
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê
• Xét biến ngẫu nhiên X có mật độ xác suất f(x) và mẫu (X1, X2,, 
Xn) là mẫu có lặp của X
• Vì các Xi là độc lập và có cùng phân bố với X nên f(xi)≡f(x)
• Có thể xét (X1, X2,, Xn) như là
hệ n đại lượng ngẫu nhiên hay 
vector ngẫu nhiên n chiều nhận 
các giá trị có thể (x1, x2,, xn)
• Các (x1, x2,, xn) là các hằng số
ứng với một mẫu đã được chọn
• (X1, X2,, Xn) có mật độ
f(x1)×f(x2)××f(xn)
X1
X2
X3
(x1, x2, x3)
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê
• Định nghĩa: Một hàm số g(X1, X2,, Xn) bất kỳ với các biến là
(X1, X2,, Xn) được gọi là một đại lượng thống kê hay một đặc 
trưng thống kê trên không gian mẫu
• Vì (X1, X2,, Xn) là một hệ các đại lượng ngẫu nhiên nên g(X1, 
X2,, Xn) cũng là một đại lượng ngẫu nhiên
∑
=
=
n
i
iXn
X
1
1• Ví dụ: Kỳ vọng mẫu:
∑
=
−==
n
i
ixx XXn
sD
1
22 )(1~• Phương sai mẫu:
• Các mômen gốc, mômen trung tâm mẫu đều là những đại 
lượng thống kê trên không gian mẫu
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê
• Cho Y=g(X1, X2,, Xn) là một đại lượng thống kê và
f(x1)×f(x2)××f(xn) là mật độ xác suất của (X1, X2,, Xn) 
• Cần xác định phân bố Fy(y) của Y
• Về nguyên tắc ta có:
}),...,(:),...,{(
,...)()...()(
11
11
yxxgxxG
dxdxxfxfyF
nn
G
nny
<=
= ∫
• Sau đây sẽ xét phân bố của một số đặc trưng thống kê thông dụng
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê
• Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp
• Định lý 1: N ếu mẫu (X1, X2,, Xn) được lấy từ đại lượng ngẫu 
nhiên X có phân bố chuNn N (μ,σ) thì ∑
=
=
n
i
iXn
X
1
1
có phân bố chuNn ),(
2
n
N σμ
• Định nghĩa: N ếu (X1, X2,, Xn) là các đại lượng ngẫu nhiên độc 
lập có cùng phân bố chuNn N (0,1) thì đại lượng ngẫu nhiên
∑
=
=
n
i
iXU
1
2
có phân bố χ2 (khi bình phương) với n bậc tự do, ký hiệu U∈χ2(n)
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê
• Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp
• Định lý 2: N ếu X có phân bố chuNn N (μ,σ) và (X1, X2,, Xn) là
mẫu của X thì 2*
2
1
xs
nU σ
−=
có phân bố χ2 với (n–1) bậc tự do, U∈χ2(n–1), với 
∑∑
==
=−−=
n
i
i
n
i
ix Xn
XXX
n
s
11
22* 1,)(
1
1
• Định nghĩa: N ếu Z có phân bố chuNn N (0,1), U có phân bố χ2 với 
n bậc tự do, χ2(n), thì
n
U
Z
nU
Zt ==
/
có phân bố Student với n bậc tự do, ký hiệu t∈St(n) 
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê
• Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp
• Định lý 3: N ếu X có phân bố chuNn N (μ,σ) và (X1, X2,, Xn) là
mẫu của X thì
ns
Xt
x /
*
μ−=
có phân bố Student với (n–1) bậc tự do, t∈St(n–1), với 
∑∑
==
=−−=
n
i
i
n
i
ix Xn
XXX
n
s
11
22* 1,)(
1
1
• Định nghĩa: N ếu U1 và U2 độc lập có phân bố χ2 với n1 và n2 bậc 
tự do, U1∈χ2(n1), U2∈χ2(n2)thì
22
11
/
/
nU
nUF =
có phân bố Fisher (phân bố F) với n1 và n2 bậc tự do, ký hiệu 
F∈F(n1,n2) hoặc F∈Fn1,n2
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.4 Phân bố của các đặc trưng thống kê
• Phân bố của một số đại lượng thống kê thường gặp
• Định lý 4: N ếu X và Y đều có phân bố chuNn và có cùng phương 
sai, D[X]=D[Y]=σ2, (X1, X2,, Xn1) là mẫu của X, (Y1, Y2,, 
Yn2) là mẫu của Y, thì
2*
2*
y
x
s
sf =
có phân bố F với (n1–1) và (n2–1) bậc tự do, f∈F(n1–1,n2–1), với 
∑∑
==
=−−=
11
111
2
1
2* 1,)(
1
1 n
i
i
n
i
ix Xn
XXX
n
s
∑∑
==
=−−=
22
121
2
2
2* 1,)(
1
1 n
i
i
n
i
iy Yn
YYY
n
s
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
Những điều cần chú ý
• Khi xét đại lượng ngẫu nhiên X với mẫu (X1, X2,, Xn):
– Các Xi nhận các giá trị trong tập các giá trị có thể của X nên 
các Xi có cùng phân bố với X, f(xi)=f(x)
– Các Xi là độc lập với nhau
– Có thể xét (X1, X2,, Xn) như là một hệ n đại lượng ngẫu 
nhiên, phân bố của hệ: f(x1,,xn)=f(x1)××f(xn)
– Bộ giá trị (x1,,xn) là những hằng số cụ thể, và là kết quả của 
một lần chọn nào đóÎ Khái niệm mẫu (X1, X2,, Xn) là một 
khái niệm trừu tượng
∑∑
==
=≠=≠
n
i
i
n
i
i xn
xX
n
XXM
11
11][• Phân biệt:
• Tương tự, với các đặc trưng khác: Phương sai, mômen,
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• Xét hệ hai đại lượng ngẫu nhiên (X,Y) với mẫu lấy được (X1,Y1), 
(X2,Y2),, (Xn,Yn)
• Khi đó, ngoài các đặc trưng riêng như kỳ vọng, phương sai, 
mômen gốc, mômen trung tâm của từng đại lượng ngẫu nhiên, các 
đặc trưng quan trọng cần được xem xét là mômen tương quan và
hệ số tương quan
∑
=
−−=
n
i
iixy YYXXn 1
))((1~μ
• Mômen tương quan mẫu giữa hai đại lượng ngẫu nhiên được xác 
định bởi
• Trong đó ∑∑
==
==
n
i
i
n
i
i Yn
YX
n
X
11
1,1 tương ứng là kỳ vọng mẫu của X và Y
Do tính ứng dụng phổ biến của mômen tương quan mẫu nên để
thuận tiện ta sẽ sử dụng ký hiệu Rxy thay cho xyμ~
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
∑∑
∑
==
=
−−
−−
===
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
yx
xy
yx
xy
xy
YY
n
XX
n
YYXX
n
ssDD
r
1
2
1
2
1
)(1)(1
))((1~
~~
~ μμ
• Hệ số tương quan mẫu giữa X và Y được xác định bởi
• Trong đó ∑∑
==
−==−==
n
i
iyy
n
i
ixx YYn
sDXX
n
sD
1
22
1
22 )(1~,)(1~
tương ứng là phương sai mẫu của X và Y
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• Đối với hệ m đại lượng ngẫu nhiên (X1,X2,,Xm) với mẫu lấy 
được (X11,X21,,Xn1),, (X1m,X22,,Xnm)
• Có thể sắp xếp mẫu thành ma trận n hàng (dung lượng mẫu) và m
cột (tương ứng với m đại lượng ngẫu nhiên)
• Các đặc trưng mẫu được xác định như sau
mjX
n
X
n
i
ijj ,...,2,1,
1
1
== ∑
=
• Các kỳ vọng mẫu:
• Các phương sai mẫu:
• Trong nhiều trường hợp để đơn giản ta sử dụng ký hiệu
thay cho ký hiệu 
2,~ jj sD
mjXX
n
sD
n
i
jijxx jj
,...,2,1,)(1~
1
22 =−== ∑
=
2,~
jj xx
sD
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
mkjXXXX
n
n
i
kikjijxx kj
,...,2,1,,))((1~
1
=−−= ∑
=
μ
• Các mômen tương quan mẫu:
• Tập hợp các mômen tương quan mẫu lập thành ma trận tương 
quan mẫu:
• Sử dụng ký hiệu
thay cho ký hiệu 
jkR
kj xx
μ~
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
mmmm
m
m
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxR
μμμ
μμμ
μμμ
~...~~
............
~...~~
~...~~
21
22212
12111
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
mmmm
m
m
xx
RRR
RRR
RRR
R
...
............
...
...
21
22221
11211
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
),...,2,1,(
,~))((1))((1~
11
mkj
XXXX
n
XXXX
n jkkj xx
n
i
jijkik
n
i
kikjijxx
=
=−−=−−= ∑∑
==
μμ
• N hận thấy:
• Ma trận tương quan mẫu là ma trận đối xứng
• Khi j≡k:
),...,2,1(
,~)(1))((1~
1
2
1
mj
DXX
n
XXXX
n jjj x
n
i
jij
n
i
jijjijxx
=
=−=−−= ∑∑
==
μ
• Các phần tử trên đường chéo chính là phương sai của các đại 
lượng ngẫu nhiên thành phần
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
mkj
ss
R
ssDD
r
kj
jk
xx
xx
xx
xx
xx
kj
kj
kj
kj
kj
,...,2,1,,
~
~~
~
=≡== μμ
• Các hệ số tương quan mẫu:
• Tập hợp các hệ số tương quan mẫu lập thành ma trận tương quan 
mẫu chuNn hóa: • Sử dụng ký hiệu
thay cho ký hiệu 
jkr
kj xx
r
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
mmmm
m
m
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xx
rrr
rrr
rrr
P
...
............
...
...
21
22212
12111
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
mmmm
m
m
xx
rrr
rrr
rrr
P
...
............
...
...
21
22221
11211
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• N hận thấy:
• Ma trận tương quan mẫu chuNn hóa cũng là ma trận đối xứng
• Khi j≡k:
• Các phần tử trên đường chéo chính bằng 1
mkjr
DDDD
r
jk
jk
jk
kj
kj
kj xx
xx
xx
xx
xx
xx ,...,2,1,,~~
~
~~
~
==== μμ
mj
D
D
DD
r
j
j
jj
jj
jj
x
x
xx
xx
xx ,...,2,1,1~
~
~~
~
==== μ
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
• Có thể viết lại:
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
mmm
m
m
xx
DRR
RDR
RRD
R
...
............
...
...
21
2221
1121
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
1...
............
...1
...1
21
221
112
mm
m
m
xx
rr
rr
rr
P
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
5.5 Các đặc trưng mẫu của hệ các đại lượng ngẫu nhiên
22
222
1
2
11
2
1
22
1
2
2121
)2(1)(1~
XX
XXXX
n
XX
n
X
n
XXXX
n
XX
n
D
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
ix
−=
+−=+−=
=+−=−=
∑∑∑
∑∑
===
==
• Chú ý: Sử dụng một số phép biến đổi đơn giản ta có thể nhận 
được các hệ thức tương đương sau
• Phương sai mẫu:
YXXYYXYX
n
YYXX
n
n
i
ii
n
i
iixy −=−=−−= ∑∑
== 11
1))((1~μ
• Tương tự cho mômen tương quan:
• Tổng quát hơn:
kjkj
n
i
kikjijjkxx XXXXXXXXn
R
kj
−=−−=≡ ∑
=1
))((1~μ
CHƯƠN G 5. KHÔN G GIAN MẪU VÀ THỐN G KÊ 
TRÊN KHÔN G GIAN MẪU
HẾT CHƯƠN G 5