Bài giảng Toán thống kê (Mới)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI 
Bài giảng TOÁN THỐNG KÊ 
Mục lục 
Chương 4. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN MỞ ĐẦU VỀ THỐNG KÊ .................................... 3 
I. TỔNG THỂ VÀ MẪU ................................................................................................................ 3 
1.1. Tổng thể ............................................................................................................................... 3 
1.2. Mẫu....................................................................................................................................... 3 
1.3. Các phƣơng pháp lấy mẫu .................................................................................................... 3 
II. BỐ TRÍ MẪU VÀ PHÂN PHỐI MẪU ..................................................................................... 3 
2.1. Sắp xếp số liệu...................................................................................................................... 3 
2.2. Biểu diễn hình học của mẫu ................................................................................................. 5 
III. CÁC SỐ ĐẶC TRƢNG CỦA MẪU ....................................................................................... 5 
3.1. Trung bình mẫu .................................................................................................................... 5 
2.2. Phƣơng sai mẫu .................................................................................................................... 5 
2.3. Phƣơng sai hiệu chỉnh của mẫu ............................................................................................ 6 
IV. MẪU NGẪU NHIÊN .............................................................................................................. 8 
4.1. Mẫu ngẫu nhiên .................................................................................................................... 8 
4.2. Các đặc trƣng của mẫu ngẫu nhiên ...................................................................................... 8 
4.3. Thống kê ............................................................................................................................... 8 
V. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT DÙNG TRONG TOÁN THỐNG KÊ ............................ 8 
5.1. Các định lý về phân phối chuẩn ........................................................................................... 8 
5.2. Phân phối khi-bình phƣơng (2) ........................................................................................... 9 
5.3. Phân phối Student................................................................................................................. 9 
5.4. Phân phối Fisher-Snedecor................................................................................................. 10 
5.5. Phân vị mức 1 – .............................................................................................................. 10 
BÀI TẬP CHƢƠNG 4 .................................................................................................................. 11 
Chương 5. ƢỚC LƢỢNG THAM SỐ .......................................................................................... 12 
Khái niệm về bài toán ƣớc lƣợng tham số.................................................................................. 12 
I. ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM ............................................................................................................... 12 
1.1. Định nghĩa. ......................................................................................................................... 12 
1.2. Các loại ƣớc lƣợng ............................................................................................................. 12 
1.3. Các ƣớc lƣợng điểm thƣờng gặp. ....................................................................................... 13 
a-/ Trung bình mẫu ngẫu nhiên: ............................................................................................ 13 
b-/ Phƣơng sai mẫu ngẫu nhiên hiệu chỉnh: .......................................................................... 13 
c-/ Tần suất ............................................................................................................................ 14 
II. ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG ....................................................................................................... 14 
2.1. Khoảng tin cậy. Độ tin cậy ................................................................................................. 14 
2.2. Ƣớc lƣợng kỳ vọng (giá trị trung bình) của phân phối chuẩn ............................................ 15 
a) Trƣờng hợp biết phƣơng sai D(X) = 2. ........................................................................... 15 
b) Trƣờng hợp không biết phƣơng sai 2 .............................................................................. 16 
2.3. Ƣớc lƣợng phƣơng sai của phân phối chuẩn ...................................................................... 17 
2.4. Ƣớc lƣợng xác suất (tỷ lệ) .................................................................................................. 17 
2.5. Kích thƣớc mẫu cần thiết ................................................................................................... 19 
BÀI TẬP CHƢƠNG 5 .................................................................................................................. 20 
ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI 
 2 
Chương 6. KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ ................................................................ 22 
I. GIẢ THUYẾT, ĐỐI THUYẾT ................................................................................................. 22 
1.1. Giả thuyết, đối thuyết ........................................................................................................ 22 
1.2. Quy tắc kiểm định giả thuyết ............................................................................................. 22 
1.3. Các loại sai lầm .................................................................................................................. 23 
II. CÁC BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH THAM SỐ ............................................................................ 23 
2.1. Kiểm định kỳ vọng của biến chuẩn ................................................................................... 23 
a) Trƣờng hợp biết phƣơng sai 2. ........................................................................................ 23 
b) Trƣờng hợp chƣa biết phƣơng sai 2 ................................................................................ 24 
c) Chú thích: ......................................................................................................................... 25 
2.2. Kiểm định một xác suất (tỷ lệ) .......................................................................................... 27 
2.3. Kiểm định sự bằng nhau của kỳ vọng hai biến chuẩn, mẫu độc lập.................................. 28 
a) Trƣờng hợp biết 2 2x yσ và σ . ............................................................................................... 28 
b) Trƣờng hợp không biết 2 2x yσ và σ ..................................................................................... 29 
c) Chú ý ................................................................................................................................. 30 
2.4. Kiểm định sự bằng nhau của kỳ vọng hai biến chuẩn, mẫu theo cặp ................................ 31 
2.5. Kiểm định sự bằng nhau của phƣơng sai hai biến chuẩn. ................................................. 32 
2.6. Kiểm định sự bằng nhau của hai xác suất (so sánh hai tỷ lệ) ............................................ 33 
III. MỘT VÀI KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ ............................................................................... 34 
3.1. Kiểm định luật phân phối xác suất .................................................................................... 34 
a) Trƣờng hợp các pi đã biết ................................................................................................. 35 
b) Trƣờng hợp các pi phụ thuộc các tham số chƣa biết ........................................................ 36 
3.2. Kiểm định sự độc lập của hai đặc tính định tính ............................................................... 37 
BÀI TẬP CHƢƠNG 6 ................................................................................................................... 40 
Chương 7. TƢƠNG QUAN VÀ HỒI QUY TUYẾN TÍNH ........................................................ 45 
I. MẪU THỐNG KÊ HAI CHIỀU ............................................................................................... 45 
1.1. Biến ngẫu nhiên hai chiều ................................................................................................. 45 
1.2. Mẫu thống kê hai chiều...................................................................................................... 45 
a) Nếu mẫu nhỏ (n nhỏ) ........................................................................................................ 45 
b) Nếu mẫu lớn và có nhiều số liệu trùng nhau .................................................................... 45 
c) Nếu mẫu lớn và các số liệu ít trùng nhau ......................................................................... 45 
II. HỆ SỐ TƢƠNG QUAN .......................................................................................................... 46 
2.1. Sự liên hệ tƣơng quan ........................................................................................................ 46 
2.2. Hệ số tƣơng quan lý thuyết ................................................................................................ 46 
2.2. Hệ số tƣơng quan mẫu ....................................................................................................... 47 
2.3. Kiểm định sự tƣơng quan .................................................................................................. 48 
III. HỒI QUY TUYẾN TÍNH ....................................................................................................... 49 
3.1. Hàm hồi quy lý thuyết ....................................................................................................... 49 
3.2. Hàm hồi quy tuyến tính mẫu ............................................................................................. 50 
3.3. Dự báo theo phƣơng trình hồi quy ..................................................................................... 52 
BÀI TẬP CHƢƠNG 7 ................................................................................................................... 54 
CÁC BẢNG SỐ ................................................................................................................................ 57 
Bảng1: Giá trị hàm phân phối chuẩn tắc: ................................................................................. 57 
Bảng 2: Phân vị Student: .......................................................................................................... 58 
Bảng 3: Phân vị khi bình phƣơng ............................................................................................. 59 
Bảng 4: Phân vị Fisher – Snedecor mức 0,05 ........................................................................... 60 
Bài giảng Toán Thống kê 
 3 
Chương 4. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN MỞ ĐẦU VỀ THỐNG KÊ 
I. TỔNG THỂ VÀ MẪU 
1.1. Tổng thể . 
 Trong thực tế và trong khoa học chúng ta thƣờng phải khảo sát một tập hợp có rất nhiều 
phần tử. Chẳng hạn khảo sát chiều cao của thanh niên Việt nam thì mọi thanh niên Việt nam 
đều là đối tƣợng cần khảo sát hay khảo sát nang suất của giống lúa A thì đối tƣợng khảo sát là 
mọi thửa ruộng trồng giống lúa A. Trong lý thuyết toán thống kê, ngƣời ta gọi các tập hợp đó là 
tổng thể (còn gọi là tập hợp chính hoặc đám đông). 
 Số lƣợng các cá thể của tổng thể gọi là kích thƣớc của tổng thể, thƣờng ký hiệu bằng chữ 
in hoa N. 
1.2. Mẫu 
 Do tổng thể quá lớn, và hơn nữa có nhiều nghiên cứu phải phá huỷ đối tƣợng nghiên cứu, 
chẳng hạn khi định lƣợng hàm lƣợng của một loại thuốc chữa bệnh nào đó bằng phƣơng pháp 
hoá học. 
Bởi vậy cần chọn ra n phần tử của tổng thể để nghiên cứu, n phần tử đƣợc chọn đó gọi là 
một mẫu có kích thƣớc n (hay mẫu có dung lƣợng n). 
Kích thƣớc mẫu thƣờng rất nhỏ so với kích thƣớc của tổng thể (n << N). 
Tập hợp tất cả các mẫu có kích thƣớc n có thể lấy đƣợc từ tổng thể gọi là không gian mẫu 
có kích thƣớc n. 
Nếu đặc tính cần nghiên cứu là đặc tính định lƣợng X, ký hiệu xi là giá trị của X đo đƣợc ở 
cá thể thứ i của mẫu thì đƣợc bộ số liệu (x1, x2,..., xn). Bộ số liệu (x1, x2,..., xn) gọi là một mẫu 
thống kê kích thƣớc n của X. Dễ thấy khi đó đặc tính cần nghiên cứu X là một biến ngẫu nhiên. 
1.3. Các phƣơng pháp lấy mẫu 
Mục đích chọn mẫu là từ kết quả khảo sát các phần tử của mẫu để đƣa ra kết luận cho cả 
tổng thể. Vì thế mẫu phải đại diện cho cả tổng thể. Muốn vậy mọi phần tử của tổng thể đều có 
cùng khả năng đƣợc chọn vào mẫu, nói cách khác việc chọn mẫu phải dựa trên nguyên tắc ngẫu 
nhiên. 
Các phƣơng pháp cụ thể xem trong SGK (trang 97, 97) 
II. BỐ TRÍ MẪU VÀ PHÂN PHỐI MẪU 
2.1. Sắp xếp số liệu 
 Xét mẫu (x1, x2, ..., xn) kích thƣớc n của X. Bƣớc đầu tiên là phải sắp xếp lại các giá trị xi 
của mẫu để dễ dàng cho việc xử lý tiếp theo. 
a) Mẫu đơn: 
Nếu dung lƣợng n nhỏ thì không cần thiết phải sắp xếp lại các số liệu thu thập đƣợc và gọi 
là mẫu đơn. 
 Với mẫu có dung lƣợng n lớn. Khi đó có hai trƣờng hợp: 
 b) Mẫu có tần số: 
Nếu các số liệu thu thập đƣợc có nhiều giá trị giống nhau thì đếm số các giá trị giống nhau 
và xếp các số liệu thành bảng hai dòng. Chẳng hạn trong n giá trị thu đƣợc chỉ có k giá trị khác 
nhau là x1, x2, , xk (trong đó xi < xi + 1) và có ni giá trị xi thì xếp thành bảng: 
ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI 
 4 
X x1 x2  xk 
ni n1 n2  nk 
Trong đó n1 + n2 +  + nk = n. 
Các số ni gọi là tần số gặp giá trị xi trong mẫu và tỷ số 
n
n
f ii gọi là tần suất gặp giá trị xi 
trong mẫu. 
Bảng trên gọi là mẫu có tần số. 
 Thí dụ: Đo chiều cao của 20 thanh niên thấy có: 5 ngƣời cao 165 cm, 2 ngƣời cao 167, 3 
ngƣời cao 164, 4 ngƣời cao 166, 2 ngƣời cao 163 và 1 ngƣời cao 168. Khi đó ta có bảng: 
X (cm) 163 164 165 166 167 168 
ni 2 3 5 5 4 1 
 c) Mẫu phân lớp 
Nếu các số liệu thu thập đƣợc không có, hoặc ít có các giá trị trùng nhau thì tiến hành phân 
khoảng các số liệu. 
 Gọi xmin, xmax tƣơng ứng là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các số liệu thu thập đƣợc và giả 
sử ta chia các số liệu thành k khoảng. Khi đó đại lƣợng: 
k
xx
h minmax
gọi là độ rộng của lớp. 
Đặt x0 xmin; xi = x0 + ih, i = 1, 2, , k sao cho xk xmax. Mỗi khoảng (xi – 1, xi] đƣợc gọi 
là một lớp (chú ý rằng cũng có thể chọn lớp là [xi – 1, xi)). Đếm các giá trị thuộc các lớp và xếp 
thành bảng: 
X x0 – x1 x1 – x2  xk – 1 – xk 
ni n1 n2  nk 
Trong đó n1 + n2 +  + nk = n. 
Cũng nhƣ mẫu có tần số, các số ni gọi là tần số của lớp thứ i trong mẫu và tỷ số 
n
n
f ii gọi 
là tần suất của lớp i. 
 Giá trị giữa lớp gọi là giá trị đạ ... 32 0,9934 0,9936 
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 
3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 
3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 
Số u( /2) thỏa mãn P(|U| > u /2) = P(|U| ≤ u /2) = 1 – với U~N(0,1) đƣợc tìm nhƣ 
sau: Tìm số 1 – /2 trong bảng, dóng theo hàng và cột đƣợc u( /2) = số ở cột x + số ở hàng x. 
ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI 
 58 
Bảng 2: Phân vị Student: P(|T| > t /2, n) = 
 
n 
0,99 0,95 0,9 0,5 0,2 0,1 0,05 0,025 0,02 0,01 0,005 
1 0,0157 0,0787 0,1584 1,0000 3,078 6,314 12,706 25,452 31,821 63,657 127,321 
2 0,0141 0,0708 0,1421 0,8165 1,886 2,920 4,303 6,205 6,965 9,925 14,089 
3 0,0136 0,0681 0,1366 0,7649 1,638 2,353 3,182 4,177 4,541 5,841 7,453 
4 0,0133 0,0667 0,1338 0,7407 1,533 2,132 2,776 3,495 3,747 4,604 5,598 
5 0,0132 0,0659 0,1322 0,7267 1,476 2,015 2,571 3,163 3,365 4,032 4,773 
6 0,0131 0,0654 0,1311 0,7176 1,440 1,943 2,447 2,969 3,143 3,707 4,317 
7 0,0130 0,0650 0,1303 0,7111 1,415 1,895 2,365 2,841 2,998 3,499 4,029 
8 0,0129 0,0647 0,1297 0,7064 1,397 1,860 2,306 2,752 2,896 3,355 3,833 
9 0,0129 0,0645 0,1293 0,7027 1,383 1,833 2,262 2,685 2,821 3,250 3,690 
10 0,0129 0,0643 0,1289 0,6998 1,372 1,812 2,228 2,634 2,764 3,169 3,581 
11 0,0128 0,0642 0,1286 0,6974 1,363 1,796 2,201 2,593 2,718 3,106 3,497 
12 0,0128 0,0640 0,1283 0,6955 1,356 1,782 2,179 2,560 2,681 3,055 3,428 
13 0,0128 0,0639 0,1281 0,6938 1,350 1,771 2,160 2,533 2,650 3,012 3,372 
14 0,0128 0,0638 0,1280 0,6924 1,345 1,761 2,145 2,510 2,624 2,977 3,326 
15 0,0127 0,0638 0,1278 0,6912 1,341 1,753 2,131 2,490 2,602 2,947 3,286 
16 0,0127 0,0637 0,1277 0,6901 1,337 1,746 2,120 2,473 2,583 2,921 3,252 
17 0,0127 0,0636 0,1276 0,6892 1,333 1,740 2,110 2,458 2,567 2,898 3,222 
18 0,0127 0,0636 0,1274 0,6884 1,330 1,734 2,101 2,445 2,552 2,878 3,197 
19 0,0127 0,0635 0,1274 0,6876 1,328 1,729 2,093 2,433 2,539 2,861 3,174 
20 0,0127 0,0635 0,1273 0,6870 1,325 1,725 2,086 2,423 2,528 2,845 3,153 
21 0,0127 0,0635 0,1272 0,6864 1,323 1,721 2,080 2,414 2,518 2,831 3,135 
22 0,0127 0,0634 0,1271 0,6858 1,321 1,717 2,074 2,405 2,508 2,819 3,119 
23 0,0127 0,0634 0,1271 0,6853 1,319 1,714 2,069 2,398 2,500 2,807 3,104 
24 0,0127 0,0634 0,1270 0,6848 1,318 1,711 2,064 2,391 2,492 2,797 3,091 
25 0,0127 0,0633 0,1269 0,6844 1,316 1,708 2,060 2,385 2,485 2,787 3,078 
26 0,0127 0,0633 0,1269 0,6840 1,315 1,706 2,056 2,379 2,479 2,779 3,067 
27 0,0127 0,0633 0,1268 0,6837 1,314 1,703 2,052 2,373 2,473 2,771 3,057 
28 0,0126 0,0633 0,1268 0,6834 1,313 1,701 2,048 2,368 2,467 2,763 3,047 
29 0,0126 0,0633 0,1268 0,6830 1,311 1,699 2,045 2,364 2,462 2,756 3,038 
30 0,0126 0,0632 0,1267 0,6828 1,310 1,697 2,042 2,360 2,457 2,750 3,030 
  0,0125 0,0627 0,1257 0,6745 1,282 1,645 1,960 2,241 2,326 2,576 2,807 
  0,99 0,95 0,9 0,5 0,2 0,1 0,05 0,025 0,02 0,01 0,005 
Số t( /2; n) thỏa mãn: 
P(|T| > t /2; n) = P(|T| ≤ t /2; n) = 1 – , với T~t(n) 
nằm ở giao của cột , dòng n 
Bài giảng Toán Thống kê 
 59 
Bảng 3: Phân vị khi bình phƣơng: 2 2α;nP(χ > χ ) = α 
 
n
0,99 0,98 0,975 0,95 0,9 0,1 0,05 0,025 0,02 0,01 
1 0,000
2 
0,000
6 
0,001 0,004 0,016 2,706 3,841 5,024 5,412 6,635 
2 0,020 0,040 0,051 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 7,824 9,210 
3 0,115 0,185 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 9,837 11,34
5 4 0,297 0,429 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,14
3 
11,66
8 
13,27
7 5 0,554 0,752 0,831 1,145 1,610 9,236 11,07
0 
12,83
3 
13,38
8 
15,08
6 
6 0,872 1,134 1,237 1,635 2,204 10,64
5 
12,59
2 
14,44
9 
15,03
3 
16,81
2 7 1,239 1,564 1,690 2,167 2,833 12,01
7 
14,06
7 
16,01
3 
16,62
2 
18,47
5 8 1,646 2,033 2,180 2,733 3,490 13,36
2 
15,50
7 
17,53
5 
18,16
8 
20,09
0 9 2,088 2,532 2,700 3,325 4,168 14,68
4 
16,91
9 
19,02
3 
19,67
9 
21,66
6 10 2,558 3,059 3,247 3,940 4,865 15,98
7 
18,30
7 
20,48
3 
21,16
1 
23,20
9 
11 3,053 3,609 3,816 4,575 5,578 17,27
5 
19,67
5 
21,92
0 
22,61
8 
24,72
5 12 3,571 4,178 4,404 5,226 6,304 18,54
9 
21,02
6 
23,33
7 
24,05
4 
26,21
7 13 4,107 4,765 5,009 5,892 7,042 19,81
2 
22,36
2 
24,73
6 
25,47
2 
27,68
8 14 4,660 5,368 5,629 6,571 7,790 21,06
4 
23,68
5 
26,11
9 
26,87
3 
29,14
1 15 5,229 5,985 6,262 7,261 8,547 22,30
7 
24,99
6 
27,48
8 
28,25
9 
30,57
8 
16 5,812 6,614 6,908 7,962 9,312 23,54
2 
26,29
6 
28,84
5 
29,63
3 
32,00
0 17 6,408 7,255 7,564 8,672 10,08
5 
24,76
9 
27,58
7 
30,19
1 
30,99
5 
33,40
9 18 7,015 7,906 8,231 9,390 10,86
5 
25,98
9 
28,86
9 
31,52
6 
32,34
6 
34,80
5 19 7,633 8,567 8,907 10,11
7 
11,65
1 
27,20
4 
30,14
4 
32,85
2 
33,68
7 
36,19
1 20 8,260 9,237 9,591 10,85
1 
12,44
3 
28,41
2 
31,41
0 
34,17
0 
35,02
0 
37,56
6 
21 8,897 9,915 10,28
3 
11,59
1 
13,24
0 
29,61
5 
32,67
1 
35,47
9 
36,34
3 
38,93
2 22 9,542 10,60
0 
10,98
2 
12,33
8 
14,04
1 
30,81
3 
33,92
4 
36,78
1 
37,65
9 
40,28
9 23 10,19
6 
11,29
3 
11,68
9 
13,09
1 
14,84
8 
32,00
7 
35,17
2 
38,07
6 
38,96
8 
41,63
8 24 10,85
6 
11,99
2 
12,40
1 
13,84
8 
15,65
9 
33,19
6 
36,41
5 
39,36
4 
40,27
0 
42,98
0 25 11,52
4 
12,69
7 
13,12
0 
14,61
1 
16,47
3 
34,38
2 
37,65
2 
40,64
6 
41,56
6 
44,31
4 
26 12,19
8 
13,40
9 
13,84
4 
15,37
9 
17,29
2 
35,56
3 
38,88
5 
41,92
3 
42,85
6 
45,64
2 27 12,87
9 
14,12
5 
14,57
3 
16,15
1 
18,11
4 
36,74
1 
40,11
3 
43,19
5 
44,14
0 
46,96
3 28 13,56
5 
14,84
8 
15,30
8 
16,92
8 
18,93
9 
37,91
6 
41,33
7 
44,46
1 
45,41
9 
48,27
8 29 14,25
6 
15,57
5 
16,04
7 
17,70
8 
19,76
8 
39,08
7 
42,55
7 
45,72
2 
46,69
3 
49,58
8 30 14,95
3 
16,30
6 
16,79
1 
18,49
3 
20,59
9 
40,25
6 
43,77
3 
46,97
9 
47,96
2 
50,89
2 
31 15,65
5 
17,04
2 
17,53
9 
19,28
1 
21,43
4 
41,42
2 
44,98
5 
48,23
2 
49,22
6 
52,19
1 32 16,36
2 
17,78
3 
18,29
1 
20,07
2 
22,27
1 
42,58
5 
46,19
4 
49,48
0 
50,48
7 
53,48
6 33 17,07
4 
18,52
7 
19,04
7 
20,86
7 
23,11
0 
43,74
5 
47,40
0 
50,72
5 
51,74
3 
54,77
6 34 17,78
9 
19,27
5 
19,80
6 
21,66
4 
23,95
2 
44,90
3 
48,60
2 
51,96
6 
52,99
5 
56,06
1 35 18,50
9 
20,02
7 
20,56
9 
22,46
5 
24,79
7 
46,05
9 
49,80
2 
53,20
3 
54,24
4 
57,34
2 
36 19,23
3 
20,78
3 
21,33
6 
23,26
9 
25,64
3 
47,21
2 
50,99
8 
54,43
7 
55,48
9 
58,61
9 37 19,96
0 
21,54
2 
22,10
6 
24,07
5 
26,49
2 
48,36
3 
52,19
2 
55,66
8 
56,73
0 
59,89
3 38 20,69
1 
22,30
4 
22,87
8 
24,88
4 
27,34
3 
49,51
3 
53,38
4 
56,89
6 
57,96
9 
61,16
2 39 21,42
6 
23,06
9 
23,65
4 
25,69
5 
28,19
6 
50,66
0 
54,57
2 
58,12
0 
59,20
4 
62,42
8 40 22,16
4 
23,83
8 
24,43
3 
26,50
9 
29,05
1 
51,80
5 
55,75
8 
59,34
2 
60,43
6 
63,69
1 
Số 2( ; n) thỏa mãn P (2 > 2( ; n)) = P(2 ≤ 2( , n) = 1 – nằm ở cột , dòng n 
ĐẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI 
 60 
Bảng 4: Phân vị Fisher – Snedecor mức 0,05 
(P(F > F(0,05; n; m)) = 0,05 
n 
m 
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
3 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845 8.812 8.786 8.763 8.745 8.729 8.715 8.703 8.692 
4 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5.999 5.964 5.936 5.912 5.891 5.873 5.858 5.844 
5 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818 4.772 4.735 4.704 4.678 4.655 4.636 4.619 4.604 
6 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147 4.099 4.060 4.027 4.000 3.976 3.956 3.938 3.922 
7 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726 3.677 3.637 3.603 3.575 3.550 3.529 3.511 3.494 
8 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438 3.388 3.347 3.313 3.284 3.259 3.237 3.218 3.202 
9 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230 3.179 3.137 3.102 3.073 3.048 3.025 3.006 2.989 
10 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135 3.072 3.020 2.978 2.943 2.913 2.887 2.865 2.845 2.828 
11 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948 2.896 2.854 2.818 2.788 2.761 2.739 2.719 2.701 
12 3.490 3.259 3.106 2.996 2.913 2.849 2.796 2.753 2.717 2.687 2.660 2.637 2.617 2.599 
13 3.411 3.179 3.025 2.915 2.832 2.767 2.714 2.671 2.635 2.604 2.577 2.554 2.533 2.515 
14 3.344 3.112 2.958 2.848 2.764 2.699 2.646 2.602 2.565 2.534 2.507 2.484 2.463 2.445 
15 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707 2.641 2.588 2.544 2.507 2.475 2.448 2.424 2.403 2.385 
16 3.239 3.007 2.852 2.741 2.657 2.591 2.538 2.494 2.456 2.425 2.397 2.373 2.352 2.333 
17 3.197 2.965 2.810 2.699 2.614 2.548 2.494 2.450 2.413 2.381 2.353 2.329 2.308 2.289 
18 3.160 2.928 2.773 2.661 2.577 2.510 2.456 2.412 2.374 2.342 2.314 2.290 2.269 2.250 
19 3.127 2.895 2.740 2.628 2.544 2.477 2.423 2.378 2.340 2.308 2.280 2.256 2.234 2.215 
20 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514 2.447 2.393 2.348 2.310 2.278 2.250 2.225 2.203 2.184 
21 3.072 2.840 2.685 2.573 2.488 2.420 2.366 2.321 2.283 2.250 2.222 2.197 2.176 2.156 
22 3.049 2.817 2.661 2.549 2.464 2.397 2.342 2.297 2.259 2.226 2.198 2.173 2.151 2.131 
23 3.028 2.796 2.640 2.528 2.442 2.375 2.320 2.275 2.236 2.204 2.175 2.150 2.128 2.109 
24 3.009 2.776 2.621 2.508 2.423 2.355 2.300 2.255 2.216 2.183 2.155 2.130 2.108 2.088 
25 2.991 2.759 2.603 2.490 2.405 2.337 2.282 2.236 2.198 2.165 2.136 2.111 2.089 2.069 
26 2.975 2.743 2.587 2.474 2.388 2.321 2.265 2.220 2.181 2.148 2.119 2.094 2.072 2.052 
27 2.960 2.728 2.572 2.459 2.373 2.305 2.250 2.204 2.166 2.132 2.103 2.078 2.056 2.036 
28 2.947 2.714 2.558 2.445 2.359 2.291 2.236 2.190 2.151 2.118 2.089 2.064 2.041 2.021 
29 2.934 2.701 2.545 2.432 2.346 2.278 2.223 2.177 2.138 2.104 2.075 2.050 2.027 2.007 
30 2.922 2.690 2.534 2.421 2.334 2.266 2.211 2.165 2.126 2.092 2.063 2.037 2.015 1.995 
31 2.911 2.679 2.523 2.409 2.323 2.255 2.199 2.153 2.114 2.080 2.051 2.026 2.003 1.983 
32 2.901 2.668 2.512 2.399 2.313 2.244 2.189 2.142 2.103 2.070 2.040 2.015 1.992 1.972 
33 2.892 2.659 2.503 2.389 2.303 2.235 2.179 2.133 2.093 2.060 2.030 2.004 1.982 1.961 
34 2.883 2.650 2.494 2.380 2.294 2.225 2.170 2.123 2.084 2.050 2.021 1.995 1.972 1.952 
35 2.874 2.641 2.485 2.372 2.285 2.217 2.161 2.114 2.075 2.041 2.012 1.986 1.963 1.942 
36 2.866 2.634 2.477 2.364 2.277 2.209 2.153 2.106 2.067 2.033 2.003 1.977 1.954 1.934 
37 2.859 2.626 2.470 2.356 2.270 2.201 2.145 2.098 2.059 2.025 1.995 1.969 1.946 1.926 
38 2.852 2.619 2.463 2.349 2.262 2.194 2.138 2.091 2.051 2.017 1.988 1.962 1.939 1.918 
39 2.845 2.612 2.456 2.342 2.255 2.187 2.131 2.084 2.044 2.010 1.981 1.954 1.931 1.911 
40 2.839 2.606 2.449 2.336 2.249 2.180 2.124 2.077 2.038 2.003 1.974 1.948 1.924 1.904 
Bài giảng Toán Thống kê 
 61 
Bảng 4: Phân vị Fisher – Snedecor mức 0,05 (Tiếp theo) 
(P(F > F(0,05; n; m)) = 0,05 
 n 
m 
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
3 8.683 8.675 8.667 8.660 8.654 8.648 8.643 8.639 8.634 8.630 8.626 8.623 8.620 8.617 
4 5.832 5.821 5.811 5.803 5.795 5.787 5.781 5.774 5.769 5.763 5.759 5.754 5.750 5.746 
5 4.590 4.579 4.568 4.558 4.549 4.541 4.534 4.527 4.521 4.515 4.510 4.505 4.500 4.496 
6 3.908 3.896 3.884 3.874 3.865 3.856 3.849 3.841 3.835 3.829 3.823 3.818 3.813 3.808 
7 3.480 3.467 3.455 3.445 3.435 3.426 3.418 3.410 3.404 3.397 3.391 3.386 3.381 3.376 
8 3.187 3.173 3.161 3.150 3.140 3.131 3.123 3.115 3.108 3.102 3.095 3.090 3.084 3.079 
9 2.974 2.960 2.948 2.936 2.926 2.917 2.908 2.900 2.893 2.886 2.880 2.874 2.869 2.864 
10 2.812 2.798 2.785 2.774 2.764 2.754 2.745 2.737 2.730 2.723 2.716 2.710 2.705 2.700 
11 2.685 2.671 2.658 2.646 2.636 2.626 2.617 2.609 2.601 2.594 2.588 2.582 2.576 2.570 
12 2.583 2.568 2.555 2.544 2.533 2.523 2.514 2.505 2.498 2.491 2.484 2.478 2.472 2.466 
13 2.499 2.484 2.471 2.459 2.448 2.438 2.429 2.420 2.412 2.405 2.398 2.392 2.386 2.380 
14 2.428 2.413 2.400 2.388 2.377 2.367 2.357 2.349 2.341 2.333 2.326 2.320 2.314 2.308 
15 2.368 2.353 2.340 2.328 2.316 2.306 2.297 2.288 2.280 2.272 2.265 2.259 2.253 2.247 
16 2.317 2.302 2.288 2.276 2.264 2.254 2.244 2.235 2.227 2.220 2.212 2.206 2.200 2.194 
17 2.272 2.257 2.243 2.230 2.219 2.208 2.199 2.190 2.181 2.174 2.167 2.160 2.154 2.148 
18 2.233 2.217 2.203 2.191 2.179 2.168 2.159 2.150 2.141 2.134 2.126 2.119 2.113 2.107 
19 2.198 2.182 2.168 2.155 2.144 2.133 2.123 2.114 2.106 2.098 2.090 2.084 2.077 2.071 
20 2.167 2.151 2.137 2.124 2.112 2.102 2.092 2.082 2.074 2.066 2.059 2.052 2.045 2.039 
21 2.139 2.123 2.109 2.096 2.084 2.073 2.063 2.054 2.045 2.037 2.030 2.023 2.016 2.010 
22 2.114 2.098 2.084 2.071 2.059 2.048 2.038 2.028 2.020 2.012 2.004 1.997 1.990 1.984 
23 2.091 2.075 2.061 2.048 2.036 2.025 2.014 2.005 1.996 1.988 1.981 1.973 1.967 1.961 
24 2.070 2.054 2.040 2.027 2.015 2.003 1.993 1.984 1.975 1.967 1.959 1.952 1.945 1.939 
25 2.051 2.035 2.021 2.007 1.995 1.984 1.974 1.964 1.955 1.947 1.939 1.932 1.926 1.919 
26 2.034 2.018 2.003 1.990 1.978 1.966 1.956 1.946 1.938 1.929 1.921 1.914 1.907 1.901 
27 2.018 2.002 1.987 1.974 1.961 1.950 1.940 1.930 1.921 1.913 1.905 1.898 1.891 1.884 
28 2.003 1.987 1.972 1.959 1.946 1.935 1.924 1.915 1.906 1.897 1.889 1.882 1.875 1.869 
29 1.989 1.973 1.958 1.945 1.932 1.921 1.910 1.901 1.891 1.883 1.875 1.868 1.861 1.854 
30 1.976 1.960 1.945 1.932 1.919 1.908 1.897 1.887 1.878 1.870 1.862 1.854 1.847 1.841 
31 1.965 1.948 1.933 1.920 1.907 1.896 1.885 1.875 1.866 1.857 1.849 1.842 1.835 1.828 
32 1.953 1.937 1.922 1.908 1.896 1.884 1.873 1.864 1.854 1.846 1.838 1.830 1.823 1.817 
33 1.943 1.926 1.911 1.898 1.885 1.873 1.863 1.853 1.844 1.835 1.827 1.819 1.812 1.806 
34 1.933 1.917 1.902 1.888 1.875 1.863 1.853 1.843 1.833 1.825 1.817 1.809 1.802 1.795 
35 1.924 1.907 1.892 1.878 1.866 1.854 1.843 1.833 1.824 1.815 1.807 1.799 1.792 1.786 
36 1.915 1.899 1.883 1.870 1.857 1.845 1.834 1.824 1.815 1.806 1.798 1.790 1.783 1.776 
37 1.907 1.890 1.875 1.861 1.848 1.837 1.826 1.816 1.806 1.798 1.789 1.782 1.775 1.768 
38 1.899 1.883 1.867 1.853 1.841 1.829 1.818 1.808 1.798 1.790 1.781 1.774 1.766 1.760 
39 1.892 1.875 1.860 1.846 1.833 1.821 1.810 1.800 1.791 1.782 1.774 1.766 1.759 1.752 
40 1.885 1.868 1.853 1.839 1.826 1.814 1.803 1.793 1.783 1.775 1.766 1.759 1.751 1.744