Bài giảng Toán cao cấp C1 (Phần 1) - Trần Ngọc Hội

1 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ SÀI GÒN 
BAN KHOA HỌC CƠ BẢN 
BỘ MÔN TOÁN 
BÀI GIẢNG 
TOÁN CAO CẤP C1 
(HỆ ĐẠI HỌC) 
Biên soạn: TS TRẦN NGỌC HỘI 
TP HỒ CHÍ MINH − 2009 
LƯU HÀNH NỘI BỘ 
2 
Lời nói đầu 
_____________________ 
 ập bài giảng Toán cao cấp C1 (Hệ đại học) được biên soạn trên cơ sở đề cương 
môn học của Trường Đại học Công Nghệ Sài Gòn; nhằm đáp ứng yêu cầu nâng cao chất 
lượng giảng dạy trong giai đoạn nhà trường thực hiện đào tạo theo học chế tín chỉ. 
Tập bài giảng này chứa đựng nội dung mà tác giả đã giảng dạy ở Trường Đại học 
Công Nghệ Sài Gòn và các trường đại học khác. Tác giả bày tỏ lòng cảm ơn đối với các 
đồng nghiệp ở Ban Khoa học Cơ bản - Trường Đại học Công Nghệ Sài Gòn đã động 
viên, đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho việc biên soạn. 
Tuy vậy, thiếu sót vẫn không thể tránh khỏi. Tác giả rất mong nhận được những nhận 
xét góp ý của quý đồng nghiệp cho tập bài giảng này và xin chân thành cám ơn. 
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2009 
 Tác giả 
T
3 
MỤC LỤC 
CHƯƠNG 1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 
A. HÀM SỐ 
1. HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN ........................................................................................... 5 
2. HÀM SỐ SƠ CẤP .......................................................................................................... 9 
B. GIỚI HẠN 
1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT ................................................................................. 10 
2. HÀM TƯƠNG ĐƯƠNG ............................................................................................... 12 
3. VÔ CÙNG BÉ (VCB) - VÔ CÙNG LỚN .................................................................... 16 
4. DẠNG VÔ ĐỊNH 1∞ .................................................................................................... 22 
C. LIÊN TỤC 
1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT .................................................................................. 23 
2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN ................................................................... 25 
D - ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN 
1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM ............................................................................................. 27 
2. PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM ........................................................................... 30 
3. VI PHÂN ....................................................................................................................... 34 
4. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO .......................................................................... 36 
5. QUI TẮC L’HOSPITAL ............................................................................................... 38 
6. KHAI TRIỂN TAYLOR ............................................................................................... 43 
7. ỨNG DỤNG .................................................................................................................. 47 
BÀI TẬP ........................................................................................................................... 53 
CHƯƠNG 2. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 
A - TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 
1. KHÁI NIỆM VỀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ................................................................ 59 
4 
2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN ................................................................. 61 
3. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ ......................................................................................... 67 
4. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC ............................................................................. 71 
5. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ ............................................................................................ 73 
B -TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - TÍCH PHÂN SUY RỘNG 
1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ............................................................................................ 78 
2. TÍCH PHÂN SUY RỘNG ............................................................................................ 84 
3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN .................................................................................. 88 
4. KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ........................................................... 90 
BÀI TẬP ........................................................................................................................... 95 
CHƯƠNG 3. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 
1. KHÁI NIỆM VỀ HÀM NHIỀU BIẾN ........................................................................ 99 
2. ĐẠO HÀM RIÊNG ..................................................................................................... 102 
3. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HỢP ........................................................................ 104 
4. ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM ẨN .......................................................................... 105 
5. VI PHÂN ..................................................................................................................... 107 
6. CỰC TRỊ .................................................................................................................... 109 
7. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN ......................................................................................... 110 
8. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT .......................................................... 113 
9. MỘT SỐ BÀI TOÁN KINH TẾ ................................................................................. 115 
BÀI TẬP ......................................................................................................................... 118 
5 
CHƯƠNG 1 
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 
A. HÀM SỐ 
1. HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 
1.1. Hàm lũy thừa y = xα (α : Const) 
Miền xác định D của hàm số y = xα phụ thuộc vào α. Trường hợp α là số vô tỉ, ta có 
D = [0; +∞) nếu α > 0; D = (0; +∞) nếu α < 0. 
1.2. Hàm số mũ: y = ax (0 < a ≠ 1 : Const) 
Hàm số y = ax có miền xác định D = R, miền giá trị là (0; +∞). 
1.3. Hàm số logarit: y = logax (0 < a ≠ 1 : Const) 
Hàm số y = logax có miền xác định D = (0; +∞), miền giá trị là R. Nhắc lại một số công 
thức: 
Với 0 0 và y, α∈R, ta có: 
Ví dụ: Tính A = log1325. 
Giải: 13
ln25 A log 25 1,254947126
ln13
= = ≈ . 
a
a y
a a
log x
a 1 2 a 1 a 2
1
a a 1 a 2
2
a a
a a
y log x
1) x a . Ñaëc bieät, log 1 0; log a 1.
x 0
2) a x.
3) log (x x ) = log (x ) + log (x ).
x4) log ( ) = log (x ) - log (x ).
x
1 Ñaëc bieät, log ( ) = - log (x).
x
5) log (x ) = log (x).
6) l
α
=⎧ ⇔ = = =⎨ >⎩
=
α
aa
a a b
a
b
a
e
10
1og (x) = log (x) ( 0).
7) log x = log b.log x;
log x log x = .
log b
8) lnx = log x : Logarit Neâpe cuûa x. 
 lgx = log x : Logarit thaäp phaân cuûa x.
α α ≠α
6 
1.4. Hàm số lượng giác và hàm ngược 
1.4.1. Hàm y = sinx và y =arcsinx: 
Với −1 ≤ a ≤ 1, ta định nghĩa: 
sin a;
arcsina
.
2 2
α =⎧⎪= α ⇔ ⎨ π π− ≤ α ≤⎪⎩
Khi đó arcsina (−1 ≤ a ≤ 1) được xác định duy nhất. Như vậy, y= arcsinx là hàm số có tính 
chất sau: 
• Miền xác định: D = [−1;1]. 
• Miền giá trị: [ ; ].
2 2
π π− 
• [ ; ], a [ 1;1];sin a arcsina .
2 2
π π∀α ∈ − ∀ ∈ − α = ⇔ = α 
• y = arcsinx là hàm số lẻ, nghĩa là arcsin(−x) = − arcsinx. 
Ví dụ: arcsin(1/2) = π/6; arcsin(− 3 /2) = − arcsin( 3 /2) = −π/3; arcsin(−1/2) = π/6; 
arcsin(−3/4) = − arcsin(3/4) ≈ − 0,848062079; arcsin(−4) không tồn tại. 
1.4.2. Hàm y = cosx và y =arccosx: 
7 
Với −1 ≤ a ≤ 1, ta định nghĩa: 
cos a;
arccosa
0 .
α =⎧= α ⇔ ⎨ ≤ α ≤ π⎩ 
Khi đó arccosa (−1 ≤ a ≤ 1) được xác định duy nhất. Như vậy, y= arccosx là hàm số có 
tính chất sau: 
• Miền xác định: D = [−1;1]. 
• Miền giá trị: [0; ].π 
• [0; ], a [ 1;1];cos a arccosa .∀α ∈ π ∀ ∈ − α = ⇔ = α 
• arccos(− x) = π − arccosx. 
Ví dụ: arccos(1/2) = π/3; arccos(− 3 /2) = π − arccos( 3 /2) = π − π/6 = 5π/6; 
arccos(− 2 /2) = π − arccos( 2 /2)= 3π/4; arccos(−3/4) = π - arccos(3/4)≈ 2,418858406; 
arccos(− 4) không tồn tại. 
1.4.3. Hàm y = tgx và y =arctgx: 
8 
Với a ∈ R, ta định nghĩa: 
tg a;
arc tga
.
2 2
α =⎧⎪= α ⇔ ⎨ π π− < α <⎪⎩
Khi đó arctga được xác định duy nhất. Như vậy, y= arctgx là hàm số có tính chất sau: 
• Miền xác định: D = R. 
• Miền giá trị: ( ; ).
2 2
π π− 
• ( ; ), a , tg a arctga .
2 2
π π∀α ∈ − ∀ ∈ α = ⇔ = α\ 
• y = arctgx là hàm số lẻ, nghĩa là arctg(−x) = − arctgx. 
Ví dụ: arctg1 = π/4; arctg(− 3 /3) = − arctg( 3 /3) = − π/6; arctg(−1)= −π/4; 
arctg(3/4) ≈ 0,643501108; arctg(− 4) ≈ −1,3258. 
1.4.4. Hàm y = cotgx và y =arccotgx: 
Với a ∈ R, ta định nghĩa: 
cotg a;
arc cotga
0 .
α =⎧= α ⇔ ⎨ < α < π⎩ 
Khi đó arccotga được xác định duy nhất. Như vậy, y= arccotgx là hàm số có tính chất sau: 
• Miền xác định: D = R. 
• Miền giá trị: (0; ).π 
• (0; ), a ,cot g a arc cot ga .∀α ∈ π ∀ ∈ α = ⇔ = α\ 
• arccotg(−x) = π − arccotgx. 
Ví dụ: arccotg1 = π/4; arccotg(− 3 /3) = π − arccotg( 3 /3) = π − π/3 = 2π/3; 
9 
arccotg(− 3 ) = π − arccotg( 3 ) = π − π/6 = 5π/6; 
arccotg(3/4) = π/2 − arctg(3/4) ≈ 0,927295218 
arccotg(−4) = π/2 − arctg(−4) ≈ π/2 + arctg4 ≈ 2,89661399. 
trong đó ta đã sử dụng tính chất sau: 
1.4.5. Tính chất: 
1) Với mọi −1 ≤ x ≤ 1, arcsinx + arccosx = π/2. 
2) Với mọi x, arctgx + arccotgx = π/2. 
2. HÀM SỐ SƠ CẤP 
Hàm số sơ cấp là hàm số được xây dựng từ các hàm hằng và các hàm số sơ cấp cơ bản qua 
các phép toán đại số: cộng, trừ, nhân, chia và phép hợp nối ánh xạ. 
Ví dụ: y ln(1 2x)= + là một hàm số sơ cấp. 
sin6x neáu x < 0;
y x
cos3x neáu x 0.
⎧⎪= ⎨⎪ ≥⎩
 không là hàm số sơ cấp. 
10 
B. GIỚI HẠN 
1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 
1.1. Định nghĩa. 1) Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng chứa x0 (có thể loại trừ x0). 
Ta nói f(x) có giới hạn là L∈ R khi x tiến về x0, nếu f(x) có thể gần L tùy ý khi x tiến sát đến x0. 
Ký hiệu: 
0
0x x
lim f (x) L hay f(x) L khi x x→ = → → . 
Chính xác hơn, theo ngôn ngữ toán học, ta có: 
0
0x x
0 0 0
lim f (x) L 0, 0, x , 0 |x x | | f (x) L|
 0, 0, x , x x x x | f (x) L|
→ = ⇔ ∀ε > ∃δ > ∀ ∈ < − < δ ⇒ − < ε
⇔ ∀ε > ∃δ > ∀ ∈ − δ < ≠ < + δ ⇒ − < ε
\
\
Minh họa: 
2) Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng có dạng (a;x0). Ta nói f(x) có giới hạn là L∈ 
R khi x tiến về x0 bên trái, nếu f(x) có thể gần L tùy ý khi x tiến sát đến x0 về phía bên trái. 
Ký hiệu: 
0
0x x
lim f (x) L hay f(x) L khi x x−
−
→
= → → . 
Chính xác hơn, theo ngôn ngữ toán học, ta có: 
0
0x x
lim f(x) L 0, 0, x ,0 x x |f(x) L|−→ = ⇔ ∀ε > ∃δ > ∀ ∈ < − < δ ⇒ − < ε\ 
Minh họa: 
3) Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng có dạng (x0;b). Ta nói f(x) có giới hạn là L∈ 
R khi x tiến về x0 bên phải, nếu f(x) có thể gần L tùy ý khi x tiến sát đến x0 về phía bên phải. 
Ký hiệu: 
0
0x x
lim f (x) L hay f(x) L khi x x+
+
→
= → → . 
Chính xác hơn, theo ngôn ngữ toán học, ta có: 
11 
0
0x x
lim f (x) L 0, 0, x ,0 x x |f (x) L|+→ = ⇔ ∀ε > ∃δ > ∀ ∈ < − < δ ⇒ − < ε\ 
Minh họa: 
Như vậy, từ các định nghĩa trên ta suy ra; 
0
0
0
x x
x x
x x
lim f (x) L; 
lim f (x) L 
lim f (x) L. 
+
−
→
→
→
=⎧⎪= ⇔ ⎨ =⎪⎩
4) Tương tự, ta định nghĩa được các giới hạn: 
0 0 0x x x x x x
lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) ; ...
→ → →
= +∞ = −∞ = ∞ . 
1.2. Định lý. Cho các hàm số f(x), g(x) khi x→ x0. Khi đó, với a, b ∈R, ta có: 
1) Nếu f(x) →a, g(x) →b thì : 
f(x) + g(x) → a + b; 
f(x) – g(x) → a – b; 
f(x)g(x) → ab; 
f(x)/g(x) → a/b (nếu b ≠ 0). 
2) Nếu f(x) →a, g(x) →∞ thì f(x) + g(x) → ∞. 
3) Nếu f(x) →+∞, g(x) →+∞ thì f(x) + g(x) → +∞. 
4) Nếu f(x) →a ≠ 0, g(x) →∞ thì f(x)g(x) → ∞. 
5) Nếu f(x) →∞, g(x) →∞ thì f(x)g(x) →∞. 
6) Nếu f(x) →a ≠ 0, g(x) →0 thì f(x)/g(x) → ∞. 
7) Nếu f(x) →a, g(x) →+∞ thì f(x)/g(x) → 0. 
8) Nếu f(x) →∞, g(x) →b thì f(x)/g(x) → ∞. 
9) Nếu f(x) →a > 1, g(x) →+∞ thì f(x)g(x) → +∞. 
Nếu f(x) →a với 0 < a < 1, g(x) →+∞ thì f(x)g(x) → 0. 
10) Nếu f(x) →a thì |f(x)| → |a|. 
11) f(x) →0 ⇔ |f(x)| → 0. 
12) (Giới hạn kẹp) Giả sử f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), ∀x khá gần x0 và f(x) → a; g(x) → a. Khi 
đó h(x) →a. 
12 
1.3. Định lý. Cho f(x) là một hàm số sơ cấp xác định tại x0. Khi đó 
0
0x x
lim f (x) f (x ).
→
= 
Ví dụ: 1) 
x
2
1 cos2x 1 coslim 2.
sin x sin
2
π→
− − π= =π 
2)
x 0
1 cos2xlim 
sinx→
+ = ∞
x 0 x 0
(vì lim(1 cos2x) 1 cos0 2 vaø limsin x sin0 0)
→ →
+ = + = = = 
1.4. Các dạng vô định trong giới hạn: 
Có tất cả 7 dạng vô định trong giới hạn, đó là: 
0 00; 0 ; ; ; 1 ; 0 ; .
0
∞∞∞ − ∞ ∞ ∞∞ 
1) Dạng ∞ − ∞ : Khi f(x) → +∞ (− ∞) và g(x) → +∞ (− ∞) thì ta nói lim (f(x) – g(x)) có 
dạng vô định ∞ − ∞ . 
2) Dạng 0 :∞ Khi f(x) → 0 và g(x)→∞ thì ta nói lim f(x)g(x) có dạng vô định 0∞ (Lưu 
ý : f(x) → 0 không có nghĩa là f(x) ≡ 0). 
3) Tương tự cho 5 dạng còn lại. 
Ta nói các dạng trên là các dạng vô dịnh vì không có qui tắc chung để xác định giá trị của 
giới hạn nếu chỉ dựa vào các giới hạn thành phần. 
Đề tính các giới hạn có dạng vô định, ta cần biến đổi để làm mất đi dạng vô định, gọi là 
khử dạng vô định. 
2. HÀM TƯƠNG ĐƯƠNG 
2.1. Định nghĩa. Cho các hàm số f(x), g(x) xác định và không triệt tiêu trên một khoảng 
chứa x0 (có thể loại trừ x0). Ta nói f(x) tương đương với g(x) khi x →x0, ký hiệu f(x)∼ g(x) khi 
x →x0, nếu 
0x x
f (x)lim 1.
g(x)→
= 
Như vậy, 
0x x
f (x)f (x) g(x) lim 1
g(x)
(f (x), g(x) 0)
→⇔ =
≠
∼
Các tính chất sau được thỏa: 
1) f(x) ∼ f(x). 
2) f(x) ∼ g(x) ⇒ g(x) ∼ f(x). 
13 
3) f(x) ∼ g(x) và g(x) ∼ h(x) ⇒ f(x) ∼ h(x). 
2.2. Định lý. 1) Nếu f(x) → L ∈ R, L ≠ 0, thì f(x) ∼ L. 
2) Nếu f(x) ∼ g(x) và g(x) → A thì f(x) → A. 
3) Nếu 1 1
2 2
f (x) g (x);
f (x) g (x).
⎧⎨⎩
∼
∼ thì 
1 2 1 2
1 1
2 2
f (x)f (x) g (x)g (x);
f (x) g (x) .
f (x) g (x)
⎧⎪⎨⎪⎩
∼
∼ 
4) Nếu f(x) ∼ g(x) thì n nf (x) g(x)∼ (giả sử các căn có nghĩa). 
Chú ý: 
• Ta không thể viết f(x) ∼ 0 hay f(x) ∼ ∞ (ngay cả khi f(x) →0 hay f(x) →∞) vì điều 
này vô nghĩa! 
• 1 1
2 2
f (x) g (x);
f (x) g (x).
⎧ ⇒⎨⎩
∼
∼
1 2 1 2
1 2 1 2
f (x) f (x) g (x) g (x);
f (x) f (x) g (x) g (x).
+ +⎡⎢ − −⎣
∼
∼ 
Chứng minh: 1) Nếu f(x) → L∈ R, L≠ 0, thì f (x)lim 1
L
= nên f(x) ∼ L (ở đây L được xem 
như hàm hằng). 
2) Nếu f(x) ∼ g(x) và g(x) → A thì f (x)f (x) g(x) 1.A A
g(x)
= → = . 
3) Giả sử 1 1
2 2
f (x) g (x);
f (x) g (x).
⎧⎨⎩
∼
∼ Khi đó 
1 2
1 2
f (x) f (x)
lim lim 1.
g (x) g (x)
= = 
từ đó 
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
f (x)f (x) f (x) f (x)lim lim .lim 1.1 1;
g (x)g (x) g (x) g (x)
f (x) / f (x) f (x) f (x)lim lim / lim 1 / 1 1.
g (x) / g (x) g (x) g (x)
= = =
= = =
Suy ra 
1 2 1 2
1 1
2 2
f (x)f (x) g (x)g (x);
f (x) g (x) .
f (x) g (x)
⎧⎪⎨⎪⎩
∼
∼ 
4) Giả sử f(x) ∼ g(x). Khi đó 
n
nn
n
f (x) f (x)lim lim 1 1.
g(x)g(x)
= = = 
Suy ra n nf (x) g(x)∼ . 
14 
2.3.Một số giới hạn và tương đương cơ bản: 
GIỚI HẠN TƯƠNG ĐƯƠNG 
x 0
sin xlim 1
x→
= (x: rad) sinx ∼ x khi x→0 (x: rad) 
2x 0
1 cosx 1lim
x 2→
− = (x: rad) 1 – cosx∼ 1
2
 x2 khi x→0 (x: rad) 
x 0
tgxlim 1
x→
= (x: rad) tgx ∼ x khi x→0 (x: rad) 
x 0
arcsinxlim 1
x→
= arcsinx ∼ x khi x→0 
x 0
arctgxlim 1
x→
= arctgx ∼ x khi x→0 
x
x 0
e 1lim 1
x→
− = e
x − 1∼ x khi x→0 
x 0
ln(1 x)lim 1
x→
+ = ln(1+ x) ∼ x khi x→0 
x 0
(1 x) 1lim
x
α
→
+ − = α (1+x)
α −1 ∼ αx khi x→0 (α ≠ 0) 
• x x
x  ... hụ 
thuộc vào t) và tiền thuế mà xí nghiệp phải nộp là T = Q(t)t. Để thu được nhiều thuế nhất từ xí 
nghiệp ta cần xác định giá trị t > 0 để T = Q(t)t đạt cực đại. Chú ý rằng để phù hợp với thực tế, 
tại giá trị t tìm được ta phải có sản lượng, đơn giá, lợi nhuận và tổng chi phí đều dương. 
Ví dụ. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là QD= 2000 – 
P (P là đơn giá) và hàm tổng chi phí là C = Q2 + 1000 Q + 50 (Q là sản lượng). Hãy xác định 
mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp. 
Giải. Với mức sản lượng Q, để bán hết sản phẩm, xí nghiệp cần bán theo đơn giá P sao 
cho: 
QD = Q ⇔ 2000 – P = Q ⇔ P = 2000 – Q. 
Khi đó: 
- Doanh thu của xí nghiệp là: 
R(Q) = P.Q= (2000 – Q)Q. 
- Tiền thuế xí nghiệp phải nộp là: T(t) = Qt. 
- Lợi nhuận của xí nghiệp là: 
π(Q) = R(Q) – C(Q) – Qt 
 = (2000 – Q)Q – (Q2 + 1000 Q + 50) – Qt 
 = – 2Q2 + (1000 – t) Q – 50. 
Mức sản lượng được định ra sao cho π(Q) đạt cực đại. Ta có: 
π'(Q) = – 4Q + 1000 – t. 
Suy ra: 
π'(Q) = 0 ⇔ – 4Q + 1000 – t = 0 ⇔ Q = 1000 t
4
− . 
Vì π''(Q) = – 4 < 0 nên π(Q) đạt cực đại tại Q =1000 t
4
− . Khi đó tiền thuế mà xí nghiệp phải 
nộp là: 
T(t) = Qt = 
21000t t
4
− . 
Ta cần xác định giá trị t > 0 để T(t) đạt cực đại. 
Ta có 
50 
T'(t) = 1000 2t
4
− . 
Suy ra 
T'(t) = 0 ⇔ 1000 2t
4
− = 0 ⇔ t = 500. 
Vì T''(t)= – 1/2< 0 nên T(t) đạt cực đại tại t= 500. Khi đó ta có các số liệu sau đều phù hợp: 
- Sản lượng là Q = 125 > 0. Tiền thuế thu được là T = 62500. 
- Đơn giá là P = 1875 > 0. 
- Lợi nhuận là π = 31200 > 0. 
- Tổng chi phí là C = 140675 > 0. 
Kết luận: Để thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp, cần định mức thuế trên một đơn vị sản 
phẩm là t = 500. Khi đó tiền thuế thu được là T = 62500. 
7.4. Bài toán thuế nhập khẩu 
Bài toán: Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa 
lần lượt là QS = S(P) và QD = D(P) (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên 
thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (nhưng chưa tính thuế nhập khẩu) là P1 < P0, 
trong đó P0 là đơn giá tại điểm cân bằng của thị trường nội địa. Một công ty được độc quyền 
nhập loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu 
được từ công ty nhiều thuế nhất (Giả sử khối lượng nhập khẩu của công ty không ảnh hưởng 
đến giá bán trên thị trường quốc tế). 
Phương pháp giải: Gọi t là mức thuế nhập khẩu trên một đơn vị sản phẩm. Mức thuế t 
phải thỏa điều kiện t > 0 và t + P1 < P0. Do được độc quyền, công ty sẽ nhập sản phẩm trên để 
bán với đơn giá P thỏa t + P1 < P < P0 với số lượng là QD – QS = D(P)–S(P). Khi đó lợi nhuận 
mà công ty thu được là: 
π(P) = (P – P1 – t)[D(P) – S(P)]. 
Tất nhiên công ty sẽ chọn đơn giá để lợi nhuận đạt cao nhất. Do đó ta cần xác định P sao cho 
π(P) đạt cực đại. Khi đó P = P(t) (P phụ thuộc vào t) và tiền thuế mà công ty phải nộp là: 
T(t) = t[D(P(t)) – S(P(t))]. 
Để thu được nhiều thuế nhất từ công ty ta cần xác định giá trị t > 0 để T(t) đạt cực đại. Mức 
thuế t phải thỏa t + P1 < P0 và để phù hợp với thực tế, ta phải có các đại lượng tương ứng như 
đơn giá, lượng cung, lượng cầu đều dương. 
Ví dụ. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần 
lượt là QS = P – 200 và QD = 4200 – P (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó 
trên thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (nhưng chưa tính thuế) là P1 = 1600. Một 
công ty được độc quyền nhập loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t trên một 
đơn vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất. 
Giải. Trước hết ta tìm đơn giá tại điểm cân bằng trong thị trường nội địa. Ta có: 
QS = QD ⇔ P – 200 = 4200 – P ⇔ P = 2200. 
Vậy đơn giá tại điểm cân bằng trong thị trường nội địa là P0 = 2200. 
51 
Gọi t là mức thuế nhập khẩu trên một đơn vị sản phẩm. Điều kiện: t > 0; 1600 + t < 2200 (*). 
Khi đó: Đơn giá P thỏa 1600 + t < P < 2200 (**) và ta có 
- Lượng hàng mà công ty nhập về là: 
QD – QS = (4200 – P) – (P – 200) = 4400 – 2P. 
- Lợi nhuận mà công ty thu được là: 
π(P) = (P – P1 – t)[ QD QS] = (P – 1600 – t)( 4400 – 2P) 
 = – 2P2 + 2(3800 + t)P – 4400(1600 + t). 
Đơn giá P được định ra sao cho π(P) đạt cực đại. Ta có: 
π'(P) = – 4P + 2(3800 + t). 
Suy ra: 
π'(P) = 0 ⇔ – 4P + 2(3800 + t) = 0 ⇔ tP = 1900 + .
2
Vì π''(P) = – 4 < 0 nên π(P) đạt cực đại tại tP = 1900 + 
2
. Khi đó tiền thuế mà công ty phải 
nộp là: 
T(t) = t[ QD – QS] = t (4400 – 2P) = t(600 – t). 
Ta cần xác định t để T(t) đạt cực đại. Ta có: 
T'(t) = 600 – 2t. 
Suy ra 
T'(t) = 0 ⇔ 600 – 2t = 0 ⇔ t = 300. 
Vì T''(t)= – 2< 0 nên T(t) đạt cực đại tại t= 300 với T(t) = 90000. Kiểm tra ta thấy điều kiện (*); 
(**) được thỏa và các số liệu sau đều phù hợp: 
- Đơn giá là P = 2050 > 0. 
- Lượng cung QS = 1850 > 0. 
- Lượng cầu là QD = 2150 > 0. 
Kết luận: Để thu được nhiều nhất thuế nhập khẩu từ công ty, cần định mức thuế trên một 
đơn vị sản phẩm là t = 300. Khi đó tiền thuế thu được là T = 90000. 
7.5. Bài toán thuế xuất khẩu 
Bài toán. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa 
lần lượt là QS = S(P) và QD = D(P) (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên 
thị trường quốc tế trừ đi chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế xuất khẩu) là P1 > P0, trong đó 
P0 là đơn giá tại điểm cân bằng của thị trường nội địa. Một công ty được độc quyền xuất khẩu 
loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để thu được từ 
công ty nhiều thuế nhất (Giả sử khối lượng xuất khẩu của công ty không ảnh hưởng đến giá bán 
trên thị trường quốc tế). 
52 
Phương pháp giải: Gọi t là mức thuế xuất khẩu trên một đơn vị sản phẩm. Mức thuế t 
phải thỏa điều kiện t > 0 và P1– t > P0. Do được độc quyền, công ty sẽ thu mua sản phẩm trên 
với đơn giá P thỏa P0 < P < P1 – t với số lượng là QS – QD = S(P) – D(P). Khi đó lợi nhuận mà 
công ty thu được là: 
π(P) = (P1 – P – t)[ S(P) – D(P)]. 
Tất nhiên công ty sẽ chọn đơn giá mua để lợi nhuận đạt cao nhất. Do đó ta cần xác định P sao 
cho π(P) đạt cực đại. Khi đó P = P(t) (P phụ thuộc vào t) và tiền thuế mà công ty phải nộp là: 
T(t) = t[S(P(t)) – D(P(t))]. 
Để thu được nhiều thuế nhất từ công ty ta cần xác định giá trị t > 0 để T(t) đạt cực đại. Mức thuế 
t phải thỏa P1– t > P0 và để phù hợp với thực tế, ta phải có các đại lượng tương ứng như đơn giá 
mua, lượng cung, lượng cầu đều dương. 
Ví dụ. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần 
lượt là QS = P – 200 và QD = 4200 – P (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó 
trên thị trường quốc tế trừ chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế) là P1 = 3200. Một công ty 
được độc quyền xuất khẩu loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn 
vị sản phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất. 
Giải. Trước hết ta tìm đơn giá tại điểm cân bằng trong thị trường nội địa. Ta có 
QS = QD ⇔ P – 200 = 4200 – P ⇔ P = 2200. 
Vậy đơn giá tại điểm cân bằng trong thị trường nội địa là P0 = 2200. 
Gọi t là mức thuế xuất khẩu trên một đơn vị sản phẩm. Điều kiện: t > 0; 3200 – t > 2200 (*). 
Khi đó: Công ty sẽ thu mua với đơn giá P thoả: 
2200 < P < 3200 – t (**) 
- Lượng hàng mà công ty xuất khẩu là: 
QS - QD = (P – 200) – (4200 – P) = 2P – 4400. 
- Lợi nhuận mà công ty thu được là: 
π(P) = (P1 – P – t)(QS – QD) = (3200 – P – t)(2P – 4400) 
 = – 2P2 + 2(5400 – t)P – 4400(3200 – t). 
Đơn giá P được định ra sao cho π(P) đạt cực đại. Ta có 
π'(P) = – 4P + 2(5400 – t). 
Suy ra: 
π'(P) = 0 ⇔ – 4P + 2(5400 – t) = 0 ⇔ tP 2700
2
= − . 
Vì π''(P) = – 4 < 0 nên π(P) đạt cực đại tại tP 2700
2
= − . Khi đó tiền thuế mà công ty phải 
nộp là 
T(t) = t(QS – QD)= t (2P – 4400) = t(1000 – t). 
Ta cần xác định t để T(t) đạt cực đại. Ta có 
T'(t) = 1000 – 2t. 
53 
Suy ra 
T'(t) = 0 ⇔ 1000 – 2t = 0 ⇔ t = 500. 
Vì T''(t)= – 2< 0 nên T(t) đạt cực đại tại t= 500 với T(t) = 250000. Kiểm tra ta thấy điều kiện (*) 
được thỏa và các số liệu sau đều phù hợp: 
- Đơn giá là P = 2450 > 0 và thoả (**). 
- Lượng cung QS = 2250 > 0. 
- Lượng cầu là QD = 1750 > 0. 
Kết luận: Để thu được nhiều nhất thuế xuất khẩu từ công ty, cần định mức thuế trên một 
đơn vị sản phẩm là t = 500. Khi đó tiền thuế thu được là T = 250000. 
BÀI TẬP 
1. Tính các giới hạn sau: 
2
 x 0
(1 cos x)a) lim
ln(cos4x)→
−
. 
 x 0
1 3sin x 1 tgx 2b) lim
sin2x→
+ + + − 
2 3
2 x 0
1 cosx ln(1 tg 2x) 2arcsin xc) lim
1 cos4x sin x→
− + + +
− + 
3 2 2
3 2 x 0
arcsin(x tg 3x) 2arcsin xd) lim
1 cos 2x sin x→
+ +
− + 
2 2x 2 4
3 x 0
(x 2x 4)(1 cos2x) (e 1) xe) lim
ln(cos4x) x→
+ + − + − +
+ . 
2
2 2 2 x 0
(x 3x 4) ln(c os x) cos2x 1f ) lim
(x 2x 2)(sin2x x )→
+ + + −
+ + + 
x 2
2
 x 0
(cos2x e )(x 1 c os x)g) lim
x(cos3x cos x) ln(1 e cos x)→
− + −
− + − 
23 2 (x 1)
2x 2 4 2 x 1
x x(x 1)(x 2x sin ) sin e
2 2h) lim
(e e )(x 1) ln x
−
→
π π− − + + −
− − + 
23 2 (x 1)
3 2 x 1
(x 1) ln(x 2) x 4x 5x 1 ei ) lim
(1 cos x)(x 1) x 2x 2 1
+
→−
+ + + + + + +
+ π + − + + + 
3 x 2 3 2
2x 4
 x 2
tg(x 3x 2) 7 x 3e x 3x 4j) lim
x(e e ) sin x cos x 1
−
→
− − + + − + − +
− + π + π − 
54 
2. Tính các giới hạn sau: 
2 2 2 2
 x
a) lim( x x x x x x x x )
→+∞
+ + − + − . 
2 2 2 2
 x
b) lim( x x x x x x x x )
→−∞
+ + − + − 
3 2 3 23 3
 x
c) lim( 3x 3x x 1 3x x 1)
→∞
+ + + − − + 
3 33 2 2 3
 x
d) lim x( 2x x 2x 1 1 x 2x )
→∞
+ + + + − − 
3 33 4 2 3
 x
e) limx( x x x 1 2x 1 1 x x )
→∞
+ + + + + − − 
3. Tính các giới hạn sau: 
2
2 x
x 3x 2a) lim
x 5x 1→∞
⎛ ⎞− +⎜ ⎟− +⎝ ⎠ . 
cot gx
 x 0
b) lim(sin x cos x)
→
+ 
32 cot g x
 x 0
c ) lim(cos2x x )
+→
+ 32 cot g x
 x 0
d ) lim(cos2x x )
−→
+ 
32 cot g x
 x 0
e ) lim(cos2x x )
→
+ 
4. Định các tham số a, b để các hàm số sau liên tục tại các điểm được chỉ ra: 
2x
3
e cos2x neáu x 0;a) y x 4x
a neáu x = 0.
⎧ − ≠⎪= +⎨⎪⎩
 tại x = 0. 
2
2
ln(cos3x) neáu x < 0;
x
b) y ax b neáu 0 x 1;
1arctg( ) neáu x > 1.
x 2x 3
⎧⎪⎪= + ≤ ≤⎨⎪⎪ + −⎩
 tại x = 0 và x = 1. 
5. Định các tham số a, b để các hàm số sau liên tục trên R: 
3
1arctg neáu x 2;
a) y (x 2)
a neáu x = 2.
⎧ ≠⎪= −⎨⎪⎩
55 
2
2
2
sin x neáu x < 1;
x 3x 2
b) y ax bx 1 neáu 1 x 2;
ln(x 4x 5) neáu x > 2.
2 2 x
⎧ π⎪ − +⎪⎪= + + ≤ ≤⎨⎪ − +⎪⎪ − +⎩
6. Tìm đạo hàm y′ = y′(x) của các hàm số sau: 
ln 2x
xsin3x 1a) y=(xcos2x) b) y = x+
x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
7. Tìm đạo hàm y′ = y′(x) của các hàm ẩn y = y(x) định bởi: 
x
3 2 y
a) y= x+arctgy.
b) y = 1 + ye .
c) x ln y x e 0. Töø ñoù xaùc ñònh y (0).
d) ycosx + sinx + lny = 0. Töø ñoù xaùc ñònh y ( ).
2
′+ − =
π′
8. Tìm các đạo hàm y′ = y′(x0) và y′′ = y′′(x0) của các hàm số y = y(x) được cho dưới dạng tham 
số sau: 
0
2 0
t
02
x ln(1 t)a) taïi x ln2
y 2t 2arctgt
x arctgt
b) taïi x t 3y 
2
x 2ec) taïi x 2
y t t
⎧ = + =⎨ = −⎩
⎧ = π⎪ =⎨ =⎪⎩
⎧ =⎪ =⎨ = +⎪⎩
9. Chứng minh rằng hàm số 
1xsin khi x 0
y x
0 khi x = 0 
⎧ ≠⎪= ⎨⎪⎩
liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm bên trái lẫn đạo hàm bên phải tại điểm này. 
10. Chứng minh rằng hàm số 
2 1x sin khi x 0
y x
0 khi x=0 
⎧ ≠⎪= ⎨⎪⎩
có đạo hàm trên R. 
11. Cho y = 5 x . Tìm dy và dy(32). Tính gần đúng 5 31 . 
56 
12. Cho y = arc tg x . Tìm dy và dy(1). Tính gần đúng arc tg 1,05 . 
13.Tính các giới hạn sau: 
 x 0
x ac sin xa) lim
x tgx→
−
− . x 0
2tgx tg2xb) lim
x(1 cos3x)→
−
− 
3
5 x 0
2(tgx sin x) xc) lim
x→
− −
 x 0
ln|sin2x|d) lim
ln|sin3x|→ 
 x 0
1 1e) lim ( )
ln(1 x) x→
−+ . 
1 x
2 x 0
ln(1 x) 1f ) lim ( )
x x
+
→
+ − 
n x
 x
g) lim x e
→−∞
tg(1 x)
 x 1
h) lim (ln(x 1))
+
−
→
− 
2 / lnsin x
 x 0
i ) lim(sin3x)
+→
ln(x 2)2
 x 2
x 2x 3j) lim
x 1+
−
→
⎛ ⎞− +⎜ ⎟+⎝ ⎠ 
3
2 2
x x 0
ln (1 x) sin xk) lim 
1 e→
+ −
− x 2 x 0
x arctgxl) lim 
2e x 2x 2→
−
− − − 
14. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau: 
2
3 x
x
4
2
a) y = xsinx b ) y = x cosx
xc) y = x e d) y = 
e
x 1e) y = x lnx f) y = 
x 2x 3
+
+ −
15. Tìm khai triển MacLaurin của các hàm số sau:
5
6
5
6
6
1a) y = ñeán soá haïng x .
1 sin x
b) y = cos(sin2x) ñeán soá haïng x .
c) y = arctg(sin3x) ñeán soá haïng x .
d) y = ln(cos2x) ñeán soá haïng x .
e) y = arctg(1 cos x) ñeán soá haïng x .
−
−
16. Tìm khai triển Taylor tại x0 của các hàm số sau đến số hạng (x – x0)5: 
57 
2
0 0
3 x
0 0x
4
0 02
a) y = xsinx; x = b) y = x cosx; x =
6 3
xc) y= x e ; x =1 d) y = ; x =1
e
x 1e) y= x lnx; x =1. f) y = ; x =2.
x 2x 3
π π
+
+ −
17. Tính gần đúng chính xác đến 10-6: 
 a) cos41o b) ln1,5. 
18. Xác định cấp của các vô cùng bé sau đây khi chọn x làm vô cùng bé chính: 
2 4 2
3 3 5
a) 2 2cos x x 2x . b) 2x 2 ln(1 x) x . 
c) x 3tgx x . d) 30x 15arctg2x 40x 96x .
− − + − + −
− + − + − 
19. Tìm các khoảng tăng giảm và cực trị của các hàm số y sau đây, đồng thời tìm giá trị lớn 
nhất và nhỏ nhất của y trên tập D tương ứng: 
a) y = )21( xx − ; 
D = [1/4 , 1]; [1/4 , 1); (1/4 , 1); (1/4 , 1]; [1/4 , + ∞) . 
b) y = ||ln62/
2 xxxe −− 
D = [1 , 4]; (1 , 4]; [1 , 4); (1 , 4); [1 , + ∞); (− ∞, −1). 
c) y = xxex 5
23 − 
D = [4/3 , 2]; (4/3 , 2); [4/3 , 2); (4/3 , 2); (− ∞ , 4/3); [2 , + ∞); R. 
d) y = 4/1 xx −+ 
D = [1 , 4]; [1, 4); (1 , 4]; (1 , 4); (1, + ∞); [4 , + ∞). 
e) y = 
23
15
2 +−
−
xx
x 
D = [−2, 0]; (−2, 0); [−2, 0); (−2 , 0]; (2, + ∞); (− ∞, 0] 
f) 
4
2
x 1y
x 1
+= + 
D = [−1, 1]; [−2, 0); (−2, 0]; (−2, 0); R. 
g) 
2
4
x 1y
x 1
+= + 
D = [−1, 1]; [0, 2); ( 0, 2]; (0, 2); R. 
20. Tìm các khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị của các hàm số sau đây: 
a) y = ||ln
2
2
xx + ; b) y = xxe /1− ; c) y = (x+2)e1/x. 
58 
21. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu QD = 300 − P (P là đơn 
giá) và hàm tổng chi phí là C = Q3 – 19Q2 + 333Q + 10 (Q là sản lượng). Hãy xác định mức sản 
lượng Q để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. 
22. Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm cầu là QD= 2640 − P (P là 
đơn giá) và hàm tổng chi phí là C = Q2 + 1000 Q + 100 (Q là sản lượng). Hãy xác định mức 
thuế t trên một đơn vị sản phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí nghiệp. 
23. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là QS 
= P − 200 và QD = 1800 – P (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị 
trường quốc tế cộng với chi phí nhập khẩu (nhưng chưa tính thuế) là P1 = 500. Một công ty được 
độc quyền nhập loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế nhập khẩu t trên một đơn vị sản 
phẩm để thu được từ công ty nhiều thuế nhất. 
24. Cho biết hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm trong thị trường nội địa lần lượt là QS 
= P− 20 và QD = 400 – P (P là đơn giá). Biết rằng giá bán của loại sản phẩm đó trên thị trường 
quốc tế trừ chi phí xuất khẩu (nhưng chưa trừ thuế) là P1 = 310. Một công ty được độc quyền 
xuất khẩu loại sản phẩm trên. Hãy xác định mức thuế xuất khẩu t trên một đơn vị sản phẩm để 
thu được từ công ty nhiều thuế nhất.