Tóm tắt bài giảng Giải tích hàm - Đinh Ngọc Thanh

Tóm tắt bài giảng Giải tích hàm
Đinh Ngọc Thanh, Huỳnh Quang Vũ
Bản ngày 21 tháng 1 năm 2018
1Đây là tóm tắt một số nội dung lí thuyết và danh sách bài tập dùng cho môn Giải tích hàm
TTH104 tại Khoa Toán–Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh.
Giải tích hàm là một trong những môn quan trọng nhất cho sinh viên toán, nơi sinh viên có
những hiểu biết đầu tiên, cơ bản về các không gian vô hạn chiều. Các kiến thức này là không thể
thiếu cho nhiều chuyên ngành toán cả lí thuyết lẫn ứng dụng. Đây là nơi mà khả năng tiếp thu và
sử dụng các lí luận toán học trừu tượng và chính xác bước đầu được rèn luyện và kiểm tra. Phần
đông sinh viên học môn này vào học kì thứ tư.
Tóm tắt nội dung học phần: không gian mêtríc (nhắc lại), không gian định chuẩn, ánh xạ tuyến
tính liên tục cùng các định lý cơ bản về chúng, không gian Hilbert.
Các chứng minh trong phần bài giảng thường chỉ chứa các ý chính. Một số mệnh đề không có
chứng minh. Đây là những chổ dành cho người học bổ sung chi tiết.
Dấu X ở một bài tập là để lưu ý người đọc đây là một bài tập đặc biệt có ích hoặc quan trọng,
nên làm. Những phần có đánh dấu * là tương đối khó hơn, không bắt buộc.
Biên soạn:
• Đinh Ngọc Thanh, Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí
Minh.
• Huỳnh Quang Vũ, Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh.
Người biên tập hiện nay. Email: hqvu@hcmus.edu.vn
Tài liệu này sẽ được tiếp tục sửa chữa và bổ sung. Bản mới nhất có trên web ở địa chỉ:
∼hqvu/fa.pdf. Mã nguồn (LaTeX) có ở
∼hqvu/fa.tar.gz.
This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, see
 otherwise it is licensed under the Creative
Commons Attribution 4.0 International License, see
Mục lục
1 Không gian mêtríc 4
1.1 Mêtríc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Không gian mêtríc con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Không gian đầy đủ và không gian compắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Không gian định chuẩn 10
2.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Không gian `p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Không gian các hàm bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6.1 Tóm tắt về độ đo và tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.2 Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Các đề tài khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Ánh xạ tuyến tính liên tục 24
3.1 Chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Không gian L(E,F) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . 26
3.4 Tính chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Một số ánh xạ tuyến tính liên tục đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.6 Định lý Hahn–Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7 Các đề tài khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Không gian Hilbert 34
4.1 Không gian tích trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3 Phép chiếu vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5 Họ trực chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.5.1 Không gian Hilbert tách được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.5.2 Không gian Hilbert bất kì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.6 Một ứng dụng: Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2
MỤC LỤC 3
Giới thiệu
Vào các thế kỉ 18, 19, sự phát triển vượt bậc ở châu Âu trong thời đại Khai sáng và Cách mạng công
nghiệp thúc đẩy những khảo cứu học thuật và thực dụng. Trong đó có các khảo cứu của Bernoulli,
Euler, Lagrange, Fourier và nhiều người khác về các hiện tượng vật lí, như sự truyền sóng và sự
truyền nhiệt.
Xét một thanh kim loại mà một đầu chịu tác động của một nguồn nhiệt. Gọi x là vị trí của một
điểm trên thanh và u là nhiệt độ ở vị trí x vào thời điểm t, thì những phân tích vật lí dẫn tới kết
luận u phải thỏa điều kiện có dạng
∂u
∂t
− c ∂
2u
∂x2
= f (x, t).
Đây là một phương trình mà đối tượng là hàm số. Nghiên cứu những phương trình này đưa đến
việc không những các tính chất của hàm, mà các tính chất của các tập hợp hàm dần dần chiếm vị
trí trung tâm. Chẳng hạn để biết phương trình có nghiệm hay không có thể đưa về khảo sát tính
chất của những ánh xạ trên các tập hợp hàm, hay để xấp xỉ nghiệm cần đưa ra cách đo độ khác biệt
giữa các hàm.
Một điều đáng chú ý là các tập hợp hàm thường có cấu trúc của không gian tuyến tính vô hạn
chiều. Ví dụ trong tập hợp các đa thức hay trong tập hợp các hàm liên tục có những tập con gồm
vô hạn phần tử độc lập tuyến tính.
Vào đầu thế kỉ 20, môn Giải tích hàm định hình và phát triển nhanh chóng, vừa do sự phát
triển nội tại của toán học, vừa do nhu cầu của khoa học và kĩ thuật. Ngày nay Giải tích hàm đã trở
thành một phần cơ bản của toán học mà ai học toán cũng cần biết.
Chương 1 Không gian mêtríc
Không gian mêtríc là phát triển tương tự của không gian Euclid, là tập hợp trên đó có khoảng cách.
Ở chương này chúng ta nhắc lại một số tính chất của không gian mêtríc có liên quan tới môn
giải tích hàm. Phần lớn những nội dung này đã có trong môn Giải tích 2, người học nên xem lại
giáo trình [13]. Tuy nhiên bây giờ chúng ta nhấn mạnh việc hiểu ý nghĩa và mối quan hệ giữa các
phần kiến thức chứ không nhấn mạnh việc kiểm tra tính đúng đắn logic hình thức trong chứng
minh của mỗi mệnh đề.
1.1 Mêtríc
Mêtríc nghĩa là khoảng cách.1 Một không gian mêtríc là một tập hợp có khoảng cách.
1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập không rỗng. Một ánh xạ
d : X × X → R
(x, y) 7→ d(x, y)
được gọi là một mêtríc (khoảng cách) trên X nếu các tính chất sau thỏa với mọi x, y, z ∈ X:
(a) d(x, y) ≥ 0, và d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,
(b) d(x, y) = d(y, x),
(c) d(x, y) ≤ d(x, z)+ d(z, y).
x
y z
Hình 1.1.2: Bất đẳng thức tam giác.
Cặp (X,d) được gọi là một không gian mêtríc hay một không gian có khoảng cách. Mỗi phần tử
của tập X khi đó còn được gọi là một điểm.
Không gian mêtríc (X,d) hay được viết vắn tắt là X khi mêtríc d được ngầm hiểu hoặc không
cần được xác định cụ thể.
1Trong tiếng Anh từ metric có nghĩa là cách đo, có họ hàng với từ metre (mét).
4
CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN MÊTRÍC 5
1.1.3 Ví dụ (không gian Euclid Rn). Với n ∈ Z+, tập hợp Rn = {(x1, x2, . . ., xn) | x1 ∈ R, x2 ∈
R, . . ., xn ∈ R} với mêtric Euclid
d((x1, x2, . . ., xn), (y1, y2, . . ., yn)) =
√
(x1− y1)2 + (x2− y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2
được gọi là không gian Euclid thực n-chiều. Đặc biệt khi n = 1 không gian mêtríc Euclid R có
mêtríc thông thường cho bởi giá trị tuyệt đối của hiệu hai số thực, d(x, y) = |x− y |, chính là khoảng
cách giữa hai số thực.
1.2 Đóng, mở, hội tụ, liên tục
1.2.1 Định nghĩa. Cho không gian mêtríc (X,d), a ∈ X và số thực r > 0. Các tập
B(a,r) = {x ∈ X | d(x,a) < r}
B′(a,r) = {x ∈ X | d(x,a) ≤ r}
S(a,r) = {x ∈ X | d(x,a) = r}
lần lượt được gọi là quả cầu mở, quả cầu đóng, mặt cầu tâm a bán kính r .
1.2.2 Định nghĩa. Cho không gian mêtríc (X,d). Tập A ⊂ X là một tập mở trong X nếu mỗi điểm
thuộc A có một quả cầu của X tâm tại điểm đó chứa trong A. Bằng kí hiệu:
∀x ∈ A,∃r > 0,B(x,r) ⊂ A.
Nếu X \ A là một tập mở, ta nói A là một tập đóng trong X .
1.2.3 Ví dụ. Mọi quả cầu mở đều là một tập mở, mọi quả cầu đóng cũng như mặt cầu đều là tập
đóng. Ngoài ra, trong không gian mêtríc X , các tập ∅ và X là các tập vừa đóng vừa mở trong X .
1.2.4 Ghi chú. Khi nói tới “mở”, “đóng” ta phải hiểu rõ là đang nói tới không gian mêtríc nào, vì
cùng một tập hợp có thể là tập con của những không gian mêtríc khác nhau và nhận những mêtríc
khác nhau, do đó tính mở, đóng cũng khác. Khi đã hiểu rõ thì có thể nói tắt không cần nhắc tới
không gian mêtríc chứa.
1.2.5 Mệnh đề. Cho một không gian mêtríc (X,d) và (Ai)i∈I là một họ các tập con của X . Ta có
(a) Nếu Ai là các tập mở thì
⋃
i∈I Ai là một tập mở.
(b) Nếu Ai là các tập đóng thì
⋂
i∈I Ai là một tập đóng.
(c) Nếu Ai là các tập mở và I là tập hữu hạn thì là
⋂
i∈I Ai một tập mở.
(d) Nếu Ai là các tập đóng và I là tập hữu hạn thì
⋃
i∈I Ai là một tập đóng.
1.2.6 Định nghĩa. Cho không gian mêtríc (X,d) và A là một tập con của X . Phần tử x ∈ X được
gọi là một điểm dính (contact point) của A nếu mọi quả cầu tâm x đều có chứa ít nhất một phần
tử của A, nghĩa là
∀r > 0,B(x,r)∩ A , ∅.
Tập tất cả các điểm dính của A được gọi là bao đóng của A, ký hiệu là A¯ hay cl(A). Phần tử x được
gọi là một điểm trong của A nếu tồn tại một quả cầu của X tâm x chứa trong A, nghĩa là
∃r > 0,B(x,r) ⊂ A.
Tập tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong của A, ký hiệu là
◦
A hay int(A).
CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN MÊTRÍC 6
1.2.7 Mệnh đề. Cho là A một tập con của một không gian mêtríc thì
(a) A¯ là một tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa A,
(b)
◦
A là một tập mở và là tập mở lớn nhất chứa trong A.
1.2.8 Định nghĩa. Cho (xn)n≥1 là một dãy các phần tử của một không gian mêtríc (X,d). Ta nói
(xn)n≥1 là dãy hội tụ (trong X) nếu tồn tại x ∈ X sao cho limn→∞ d(xn, x) = 0, nghĩa là
∀ > 0,∃n0 ∈ Z+,∀n ∈ Z+,n ≥ n0 =⇒ d(xn, x) < .
Điều này có nghĩa là phần tử của dãy gần x tùy ý miễn chỉ số đủ lớn. Khi đó, phần tử x, nếu có,
là duy nhất và được gọi là giới hạn của dãy (xn), ký hiệu limn→∞ xn = x. Ta còn viết xn→ x khi
n→∞.
1.2.9 Mệnh đề. Cho là một tập con A trong không gian mêtríc X và x ∈ X . Ta có x là một điểm
dính của A nếu và chỉ nếu tồn tại dãy (xn) trong A hội tụ về x. Do đó A là một tập đóng nếu và chỉ
nếu A = A¯.
Ta có thể đặc trưng tập đóng bằng dãy như sau:
1.2.10 Mệnh đề. Cho A là một tập con trong không gian mêtríc X . Ta có A là một tập đóng trong
X nếu và chỉ nếu mọi dãy trong A mà hội tụ trong X thì giới hạn của nó phải nằm trong A.
1.2.11 Định nghĩa. Cho ánh xạ f từ không gian mêtríc (X,dX) vào không gian mêtríc (Y,dY ) và
x0 ∈ X . Ta nói f là liên tục tại x0 nếu
∀ > 0,∃δ > 0,∀x ∈ X,dX(x, x0) < δ =⇒ dY ( f (x), f (x0)) < .
Điều này có nghĩa là f (x) gần f (x0) tùy ý miễn x đủ gần x0. Ta nói f liên tục trên X nếu nó
liên tục tại mọi điểm thuộc X .
1.2.12 Định lý. Cho ánh xạ f từ không gian mêtríc (X,dX) vào không gian mêtríc (Y,dY ). Điều
kiện cần và đủ để f liên tục tại x là với mọi dãy (xn) trong X , nếu xn→ x trong X thì f (xn)→ f (x)
trong Y .
1.2.13 Định lý. Ánh xạ f từ không gian mêtríc (X,dX) vào không gian mêtríc (Y,dY ) là liên tục
trên X nếu và chỉ nếu ảnh ngược qua f của tập mở trong Y là tập mở trong X . Mệnh đề vẫn đúng
nếu thay tập mở bằng tập đóng.
1.3 Không gian mêtríc con
Cho không gian mêtríc (X,d) và Y là một tập con của X . Ánh xạ dY ≡ d |Y×Y , tức dY (x, y) = d(x, y)
với mọi x, y ∈ Y , là một mêtríc trên Y mà ta gọi là mêtríc thu hẹp của X xuống Y . Không gian
mêtríc (Y,dY ) được gọi là một không gian mêtríc con của không gian mêtríc X .
1.3.1 Ghi chú. Như đã nhắc ở 1.2.4, chú ý rằng với Y là một không gian con của X và A là một tập
con của Y ta cần phân biệt việc A đóng hay mở trong X với việc A đóng hay mở trong Y . Tương
tự, với một dãy trong Y , ta cần phân biệt việc dãy hội tụ trong X với việc dãy hội tụ trong Y .
1.3.2 Ví dụ. Trên R với mêtríc Euclid, tập [0,2) tạo thành một không gian mêtríc con. Tập [0,1) là
mở trong không gian [0,2) nhưng không mở trong không gian R. Dãy xn = 2− 1n trong [0,2) không
hội tụ trong [0,2) nhưng hội tụ trong R.
Ta có sự liên hệ giữa tính đóng và mở trong một không gian với tính đóng và mở trong một
không gian con của nó như sau.
CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN MÊTRÍC 7
1.3.3 Mệnh đề. Cho Y là một không gian con của một không gian mêtríc X và A là một tập con
của Y . Ta có:
(a) A mở trong Y nếu và chỉ nếu tồn tại tập V mở trong X sao cho A = V ∩Y .
(b) A đóng trong Y nếu và chỉ nếu tồn tại tập F đóng trong X sao cho A = F ∩Y .
1.4 Không gian đầy đủ và không gian compắc
1.4.1 Định nghĩa. Dãy (xn)n≥1 là dãy Cauchy trong X nếu
∀ > 0,∃n0 ∈ Z+,∀m ∈ Z+,∀n ∈ Z+,m,n ≥ n0 =⇒ d(xm, xn) < .
Điều này nghĩa là phần tử của dãy gần nhau tùy ý miễn chỉ số đủ lớn.
1.4.2 Mệnh đề. Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy.
1.4.3 Định nghĩa. Ta nói không gian mêtríc (X,d) là đầy đủ khi mọi dãy Cauchy trong X đều hội
tụ trong X .
1.4.4 Ví dụ. Tập hợp R tất cả các số thực với mêtríc Euclid là đầy đủ. Điều này là hệ quả của tính
tồn tại chặn trên nhỏ nhất của tập hợp số thực, còn gọi là tính liên tục: mọi tập con không rỗng
bị chặn trên của R đều có chặn trên nhỏ nhất. Ngược lại sự đầy đủ của R dẫn tới tính tồn tại chặn
trên nhỏ nhất (sup).
Từ tính đầy đủ của R ta suy ra được:
1.4.5 Mệnh đề. Không gian Euclid Rn là đầy đủ.
1.4.6 Ví dụ (không gian Euclid Cn). Về mặt tập hợp thì C = {(a,b) | a ∈ R,b ∈ R} =R2. Mỗi phần
tử (a,b) ∈C được gọi là một số phức và được viết là a+bi với i được gọi là đơn vị ảo. Phép cộng trên
C được định nghĩa là (a+bi)+ (c+di) = (a+ c)+ (b+d)i, tức là (a,b)+ (c,d) = (a+ c,b+d), trùng
với phép cộng của không gian Euclid R2. Trên C còn có một độ lớn, cho bởi |a+ bi | =
√
a2 + b2,
còn được gọi là môđun của số phức. Khoảng cách giữa hai số phức x1 = a1 + b1i và x2 = a2 + b2i
được cho bởi |x1− x2 | = |(a1−a2)+ (b1−b2)i | =
√
(a1− a2)2 + (b1− b2)2 , chính bằng khoảng cách
giữa (a1,b1) và (a2,b2) trong không gian Euclid thực R2. Vì vậy nếu chỉ quan tâm tới khía cạnh
không gian mêtríc thì C trùng với R2.
Với n ∈ Z+ thì tập hợp Cn = {(x1, x2, . . ., xn) | x1 ∈ C, x2 ∈ C, . . ., xn ∈ C} với mêtric
d((x1, x2, . . ., xn), (y1, y2, . . ., yn)) =
√
|x1− y1 |2 + |x2− y2 |2 + · · ·+ |xn − yn |2
được gọi là không gian Euclid phức n-chiều. Nếu chỉ quan tâm tới khía cạnh không gian mêtríc
thì Cn trùng với R2n.
Sự khác biệt giữa Cn với R2n chỉ xuất hiện khi chúng ta quan tâm tới cấu trúc không gian vectơ
ở các chương sau. Khác với R2, trên C có một phép nhân được định nghĩa bởi
(a+ bi) · (c+ di) = (ac− bd)+ (ad+ bc)i.
Một hệ quả của phép nhân này là i2 = i · i = −1. ... cấu tích trong với
nhau nếu tồn tại song ánh tuyến tínhΛ từ H1 lên H2 bảo toàn tích vô hướng, tức là 〈Λx,Λy〉 = 〈x, y〉,
với mọi x, y ∈ H. Khi đó, ta còn nói Λ là một phép đẳng cấu tích trong từ H1 lên H2.
Dễ thấy ngay một phép đẳng cấu tích trong thì bảo toàn chuẩn, nghĩa là ‖Λx‖ = ‖x‖. Ngược
lại do các đẳng thức ở 4.7.1 nên một song ánh tuyến tính mà bảo toàn chuẩn thì cũng bảo toàn tích
trong.
CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT 43
4.5.11 Định lý. Cho E là một họ trực chuẩn tối đại trong không gian Hilbert H. Với x ∈ H, đặt xˆ
là ánh xạ
xˆ : E → F
e 7→ xˆ(e) = xe = 〈x, e〉 .
Khi đó ánh xạ x 7→ xˆ là một phép đẳng cấu Hilbert từ H lên `2(E).
Vậy mỗi không gian Hilbert đều đẳng cấu với một không gian `2(E) nào đó.
Chứng minh. Đặt
f : H → `2(E)
x 7→ xˆ.
Ta kiểm tra f được xác định, tức là chứng tỏ xˆ ∈ `2(E). Với một cách đánh chỉ số (en)n∈Z+ bất kì
cho tập đếm được {e ∈ E | xˆ(e) = xe , 0} thì từ 4.5.10 ta có thể thấy
‖ xˆ‖2
`2(E) = sup
F⊂E, |F |<∞
∑
e∈F
| xˆ(e)|2 =
∞∑
n=1
|xn |2 = ‖x‖2 <∞.
Như vậy f bảo toàn chuẩn. Dễ kiểm f là tuyến tính. Suy ra f là đơn ánh.
Ta kiểm tra rằng f là toàn ánh. Cho y ∈ `2(E), ta có
‖y‖2
`2(E) = sup
F⊂E, |F |<∞
∑
e∈F
|y(e)|2.
Dùng lí luận như ở 4.5.9 ta thấy tập I = {e ∈ E | y(e) , 0} là đếm được. Đánh chỉ số (ei)i∈Z+ cho
tập I này. Đặt
x =
∞∑
i=1
y(ei)ei .
Như trong phần 4.5.8, ta có x ∈ H tồn tại. Nếu ei ∈ I thì 〈x, ei〉 = y(ei). Nếu e ∈ E \ I thì 〈x, e〉 =
0 = y(e). Suy ra xˆ = y. Vậy f là toàn ánh.
Từ việc chuẩn xác định tích trong ở 4.7.1 ta suy ra được f bảo toàn tích vô hướng. 
4.6 Một ứng dụng: Chuỗi Fourier
Ở phần này chúng ta chỉ làm việc trên trường thực. Trên L2([0,2pi]), với n ∈ Z+, đặt
en(t) = 1√
pi
cos(nt),
fn(t) = 1√
pi
sin(nt).
Ta kiểm trực tiếp được rằng họ {en, fn | n ∈ Z+} là một họ trực chuẩn trong L2([0,2pi]), xem 4.7.27.
4.6.1 Mệnh đề. Họ
{
1√
2pi
, en, fn | n ∈ Z+
}
là một họ trực chuẩn cực đại của L2([0,2pi]).
Chứng minh. Đây là chỉ là sơ lược ý cho một chứng minh. Ta muốn chứng minh rằng không gian
vectơ con của L2([0,2pi]) sinh bởi họ này
A =
〈{
1√
2pi
, en, fn | n ∈ Z+
}〉
=
{
a0 +
N∑
n=1
an cos(nt)+ bn sin(nt) | N ∈ Z+
}
.
CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT 44
là dày đặc trong L2([0,2pi]). Gọi S1 là đường tròn đơn vị trong R2. Ánh xạ
ϕ : [0,2pi] → S1
t 7→ (cos t, sin t).
sinh ra một song ánh giữa tập các hàm f xác định trên [0,2pi] thỏa f (0) = f (2pi) với tập hợp
các hàm xác định trên S1. Đặt B = { f ∈ C([0,2pi]) | f (0) = f (2pi)} thì A ⊂ B. Ánh xạ ϕ sinh ra
song ánh bảo toàn chuẩn ϕ∗ giữa B và C(S1). Tập ϕ∗(A) là một đại số con tách điểm của C(S1),
do đó ϕ∗(A) dày đặc trong C(S1) theo định lý Stone–Weierstrass. Mặt khác người ta biết C(S1)
dày đặc trong L2(S1). Từ đó có thể suy ra ϕ∗(A) dày đặc trong L2(S1). Do đó A là dày đặc trong
{ f ∈ L2([0,2pi]) | f (0) = f (2pi)}, nhưng đây cũng chỉ là L2([0,2pi]). 
Như vậy theo 4.5.8 mỗi hàm h ∈ L2([0,2pi]) đều có phân tích
h =
〈
h,
1√
2pi
〉
1√
2pi
+
∞∑
n=1
(〈h, en〉 en + 〈h, fn〉 fn) .
Tức là
h =
a0
2
+
∞∑
n=1
(an cosnt + bn sinnt)
với
an =
1
pi
∫ 2pi
0
h(t)cos(nt) dt, n ≥ 0,
bn =
1
pi
∫ 2pi
0
h(t)sin(nt) dt, n ≥ 1.
Vậy bất kì hàm bình phương khả tích nào cũng xấp xỉ được bằng tổng của các hàm lượng giác. Lưu
ý ở đây ta chỉ có xấp xỉ hàm theo chuẩn L2 chứ không phải xấp xỉ từng điểm.
4.6.2 Ví dụ. Cho f (x) = x, x ∈ [0,2pi]. Tính trực tiếp theo công thức ta được a0 = 0, và với n ≥ 1
thì an = 0, bn = −2/n. Vậy chuỗi Fourier của f là
pi−
∞∑
n=1
2
n
sinnx.
x
x
fun2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5 6
Hình 4.6.3: Hàm f (x) = x, x ∈ [0,2pi], và tổng 8 phần tử đầu của chuỗi Fourier của hàm này.
CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT 45
Chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng chẳng hạn vào việc tìm và xấp xỉ nghiệm của phương trình.
Trong kĩ thuật xấp xỉ Fourier được sử dụng trong xử lí tín hiệu, chẳng hạn một loại xấp xỉ Fourier
được cài đặt trong dạng tập tin âm thanh MP3 để nén dữ liệu. Có thể đọc thêm ở [10].
4.7 Bài tập
4.7.1. X Tích trong cũng tính được từ chuẩn sinh bởi tích trong đó:
(a) Trên trường thực thì
〈x, y〉 = 1
4
(
‖x+ y‖2− ‖x− y‖2
)
.
(b) Trên trường phức thì
〈x, y〉 = 1
4
(
‖x+ y‖2− ‖x− y‖2
)
+
1
4
(
i ‖x+ iy‖2− i ‖x− iy‖2
)
.
4.7.2. Chứng tỏ trên trường thực thì x ⊥ y ⇐⇒ ‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2. Điều này có đúng trên trường
phức?
4.7.3. Cho không gian tích trong H trên trường R.
(a) Chứng tỏ với mọi a,b ∈ H thì
‖a+ b‖ ‖a− b‖ ≤ ‖a‖2 + ‖b‖2 .
(b) Tìm điều kiện cần và đủ để đẳng thức xảy ra trong bất đẳng thức trên.
4.7.4. Trong một không gian tích trong, chứng tỏ nếu xn
n→∞−→ x và yn n→∞−→ y thì 〈xn, yn〉 n→∞−→ 〈x, y〉.
4.7.5. Trong một không gian tích trong, giả sử (xn)n∈Z+ và (yn)n∈Z+ là hai dãy trong quả cầu đơn vị và
limn→∞ 〈xn, yn〉 = 1. Chứng tỏ limn→∞ ‖xn − yn‖ = 0.
4.7.6. Chứng tỏ `p với p , 2 không phải là một không gian tích trong.
4.7.7. Cho M là một không gian con đóng của không gian tích trong H và M , H, chứng tỏ M⊥ , {0}.
4.7.8. X Cho H là một không gian tích trong và x ∈ H.
(a) Chứng tỏ rằng x⊥ chính là nhân của phiếm hàm y 7→ T(y) = 〈y, x〉, tức là x⊥ = kerT = T−1({0}).
(b) Chứng tỏ rằng x⊥ là một không gian vectơ con đóng của H.
(c) Cho M ⊂ H. Chứng tỏ
M⊥ =
⋂
x∈M
x⊥.
(d) Chứng tỏ M⊥ là một không gian vectơ con đóng của H.
(e) Chứng tỏ M⊥ =
(
M
)⊥
.
4.7.9. Cho M là một không gian vectơ con đóng của không gian Hilbert H. Chứng tỏ x ⊥ M khi và chỉ khi
‖x‖ = d(x,M). Kết quả này còn đúng không nếu bỏ giả thiết M là đóng?
4.7.10. Cho M là một không gian vectơ con đóng của không gian Hilbert H. Chứng tỏ M = (M⊥)⊥. Kết
quả này còn đúng không nếu bỏ giả thiết M là đóng?
4.7.11. Trong không gian Hilbert H cho a , 0. Chứng tỏ
d(x,a⊥) = | 〈x,a〉 |‖a‖ .
Ứng dụng, hãy tìm lại công thức cho khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng trong không gian Euclid
R3.
CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT 46
4.7.12. X Với n ∈ Z+ cố định gọi M là tập tất cả các dãy số thực bằng 0 từ phần tử thứ (n+ 1) trở đi, tức
M = {(x1, x2, . . ., xn,0,0, . . . ) | x1, . . ., xn ∈ R}.
(a) Hãy kiểm M là một không gian vectơ con của `2, do đó là một không gian định chuẩn con của `2.
Hãy xác định số chiều của M .
(b) Chứng minh M là một tập con đóng của `2. Hỏi M có là một không gian Hilbert không?
(c) Xét ánh xạ
PM : `2 → M
x = (x1, x2, . . ., xn, . . . ) 7→ (x1, x2, . . ., xn,0, . . . ).
Như vậy ánh xạ PM chỉ giữ lại n tọa độ đầu tiên của x, các tọa độ còn lại được gán thành 0. Hãy kiểm
PM là một ánh xạ tuyến tính.
(d) Hãy kiểm rằng với mọi x ∈ `2 thì (x−PM x) ⊥ M . Vậy PM chính là phép chiếu từ `2 xuống M .
(e) Chứng tỏ ‖PM x‖ ≤ ‖x‖. Hãy tìm ý nghĩa hình học hình học của bất đẳng thức này.
(f) Chứng tỏ PM là một ánh xạ tuyến tính liên tục.
(g) Hãy tìm không gian trực giao của M , tức M⊥.
(h) Hãy tìm ImPM và kerPM , tức tập ảnh và tập nhân của PM .
4.7.13. Chứng minh mệnh đề 4.3.5.
4.7.14. X Cho H là một không gian Hilbert. Cho ∅ , M,N ⊂ H. Điều nào sau đây là đúng?
(a) M⊥ , ∅.
(b) M ⊂ N =⇒ M⊥ ⊂ N⊥.
(c) M ⊂ N =⇒ N⊥ ⊂ M⊥.
(d) M $ N =⇒ N⊥ $ M⊥.
(e) M⊥ = M⊥.
(f) M⊥ = 〈M〉⊥.
4.7.15. Cho (a1, · · · ,an) là một cơ sở tuyến tính của Rn và α1, · · · , αn là n số thực dương. Với mọi x =∑n
i=1 xiai và y =
∑n
i=1 yiai trong R
n ta đặt
f (x, y) =
n∑
i=1
αi xiyi .
Chứng minh f là một tích vô hướng trên Rn, với tích vô hướng này thì Rn là một không gian Hilbert,
(a1, · · · ,an) là một họ trực giao, và (α−1/21 a1, · · · , α−1/2n an) là một họ trực chuẩn.
4.7.16. Cho (ei)i=1,...,n là một họ trực chuẩn trong một không gian tích trong H và một họ (ci)i=1,...,n trong
F. Chứng minh


∑n
i=1 ciei


2 =∑ni=1 |ci |2.
4.7.17. Chứng tỏ trong một không gian tích trong thì một họ trực chuẩn bất kì là một họ độc lập tuyến tính.
4.7.18. Cho (en)n∈Z+ là một họ trực chuẩn trong một không gian Hilbert H và (cn)n∈Z+ ∈ `2. Chứng minh:
(a) Chuỗi
∑∞
n=1 cnen hội tụ trong H.
(b)


∑∞
n=1 cnen


2 =∑∞n=1 |cn |2.
4.7.19. Cho (en)n∈Z+ là một họ trực chuẩn trong một không gian HilbertH. Cho x ∈H. Chứng tỏ limn→∞ 〈x, en〉 =
0.
4.7.20. Giả sử E là một họ trực chuẩn cực đại trong không gian Hilbert H, và x, y ∈ H. Chứng tỏ nếu ∀e ∈ E ,
〈x, e〉 = 〈y, e〉 thì x = y.
4.7.21. Xét không gian Hilbert H = L2([0,1],R). Gọi M là tập hợp tất cả các hàm hằng trên [0,1].
CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT 47
(a) Chứng tỏ M là một không gian vectơ con của H.
(b) Chứng tỏ {1} là một cơ sở trực chuẩn của M .
(c) Vì sao M là không gian vectơ con đóng của H?
(d) Cho hàm f (x) = x. Tìm PM f .
4.7.22. X Trong không gian Hilbert L2([0,1],R) cho f (t) = t2. Tìm hình chiếu của f và khoảng cách từ f
tới các không gian vectơ con M với:
(a) M = {x ∈ L2([0,1]) | ∫ 10 x(t) dt = 0},
(b) M là tập hợp các đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng 1.
4.7.23. Xét không gian Hilbert L2([0,1],R) trên trường thực. Cho f (x) = x và g(x) = x2, 0 ≤ x ≤ 1.
(a) Tính ‖ f ‖L2 và ‖g‖L2 .
(b) Tính 〈 f ,g〉L2 .
(c) Tính Pg f .
(d) Tìm h ∈ L2([0,1],R) sao cho h , 0 và h ⊥ g.
4.7.24. X Trong không gian Hilbert L2([0,1],R) hãy tìm một cơ sở trực chuẩn cho không gian vectơ con
sinh bởi các hàm 1, t, t2.
4.7.25. Cho M là một không gian con đóng của không gian Hilbert H. Cho x ∈ H. Chứng tỏ chiếu của x
xuống M là duy nhất. Cụ thể hãy chứng tỏ nếu y1 và y2 thuộc M thỏa (x − y1) ⊥ M và (x − y2) ⊥ M thì
y1 = y2, theo các bước sau:
(a) Chứng tỏ (y1− y2) ⊥ M .
(b) Chứng tỏ (y1− y2) ⊥ (y1− y2).
(c) Chứng tỏ y1− y2 = 0.
4.7.26. Trong không gian định chuẩn `2 gọi e1 = (1,0, . . . ), e2 = (0,1,0, . . . ). Chứng tỏ tồn tại một phiếm
hàm tuyến tính liên tục f trên `2 sao cho f (e1) = 1 và f (e2) = 0, bằng một trong hai cách sau:
(a) Dùng định lý Hahn–Banach.
(b) Xét phiếm hàm tuyến tính trong không gian tích trong đại diện bởi e1.
4.7.27. X Trên L2([0,2pi],R), với n ∈ Z+, đặt
en(t) = 1√
pi
cos(nt),
fn(t) = 1√
pi
sin(nt).
Hãy kiểm trực tiếp rằng họ {en, fn | n ∈ Z+} là một họ trực chuẩn trong L2([0,2pi],R).
4.7.28. Tìm khai triển Fourier của hàm:
(a) f (x) =

0, 0 ≤ x < pi2 ,
1, pi2 ≤ x ≤ 3pi2 ,
0, 3pi2 < x ≤ 2pi.
(b) f (x) =

x, 0 ≤ x < pi2 ,
pi− x, pi2 ≤ x ≤ 3pi2 ,
x−2pi, 3pi2 < x ≤ 2pi.
4.7.29. Cho f ∈ L2([0,2pi]) và a0+∑∞n=1 (an cos(nt)+ bn sin(nt)) là chuỗi Fourier của f . Áp dụng đẳng thức
Parseval, chứng tỏ
a20
2
+
∞∑
n=1
(
a2n + b
2
n
)
=
1
pi
∫ 2pi
0
f (x)2 dx.
CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN HILBERT 48
4.7.30. Áp dụng đẳng thức Parseval cho hàm f (x) = x trên [0,2pi] (xem 4.6.2), tính
∞∑
n=1
1
n2
.
4.7.31. Tìm khai triển Fourier của hàm
f (x) =
{
x2, 0 ≤ x ≤ pi,
(x−2pi)2, pi ≤ x ≤ 2pi.
Áp dụng đẳng thức Parseval, tính
∞∑
n=1
1
n4
.
4.7.32. Đây là một kết quả về tính toán chuẩn của ánh xạ tuyến tính trên Rn. Cho T : Rn→ Rn. Gọi T∗ là
toán tử liên hợp của T , được định nghĩa bởi
〈T x, y〉 = 〈x,T∗y〉
với tích vô hướng Euclid. Chứng tỏ:
(a) Ma trận biểu diễn [T∗] là ma trận liên hợp của ma trận [T].
(b) Ánh xạ tuyến tính T∗T có n giá trị riêng thực không âm.
(c) Gọi {ei | 1 ≤ i ≤ n} là một cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng của T∗T . Khi đó
‖T x‖22 = 〈T x,T x〉 = 〈T∗T x, x〉
=
〈
n∑
i=1
xi(T∗T)(ei),
n∑
i=1
xiei
〉
=
n∑
i=1
λi x2i ≤ max
i
λi ‖x‖22 .
Nếu λi0 = maxi λi thì đẳng thức xảy ra khi x = ei0 .
(d) Với chuẩn Euclid ‖·‖2 thì ‖T ‖ =
√
max1≤i≤n λi trong đó λi là các giá trị riêng của T∗T .
Gợi ý cho một số bài tập
2.8.15 Không gian định chuẩn là liên thông nên tập vừa đóng vừa mở phải là ∅ hoặc cả không gian.
3.8.14 Tham khảo mục 3.5.
2.8.20 Dùng bất đẳng thức Holder.
3.8.12 Dùng định lý Ascoli.
2.8.18 Dùng tính liên tục đều, hoặc Định lý hội tụ bị chặn của tích phân Lebesgue. Để chứng tỏ f liên tục
tại x0, xét hàm g trên A×[−(‖x0‖+1), ‖x0‖+1].
4.7.15 Các chuẩn trên Rn đều tương đương.
3.8.25 Dùng 3.8.15.
4.7.9 Dùng ý chứng minh của mệnh đề 4.3.1.
4.7.28 (a) 12 +
2
pi
∑∞
k=0(−1)k+1 12k+1 cos(2k +1)x.
4.7.30
∑∞
n=1
1
n2
= pi
2
6 .
4.7.31 pi
2
3 +
∑∞
n=1
(−1)n4
n2
cos(nx). ∑∞n=1 1n4 = pi490 .
49
Tài liệu tham khảo
[1] H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer,
2011. Giáo trình cho bậc sau đại học.
[2] Dương Minh Đức, Giáo trình Toán Giải Tích 1 (Toán vi tích phân A1), NXB Thống kê, Tp.
Hồ Chí Minh, 2006.
[3] Dương Minh Đức, Giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh, 2005.
[4] Dương Minh Đức, Lý thuyết độ đo và tích phân, NXB Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh,
2006.
[5] A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Introductory real analysis, Dover, 1975. Dành cho bậc đại
học. Có bản dịch tiếng Việt.
[6] Erwin Kreyszig, Introductory functional analysis and applications, John Wiley and sons,
1978. Tương đối dễ hiểu cho bậc đại học, gần với giáo trình này.
[7] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997. Có phần về không gian định
chuẩn. Kiến thức giải tích bậc đại học.
[8] Peter D. Lax, Functional analysis, Wiley-Interscience, 2002. Sách tham khảo cho trình độ
sau đại học.
[9] W. Rudin, Real and complex analysis, 3rd edition, McGraw-Hill, New York, 1986.
[10] Elias M. Stein and Rami Shakarchi, Fourier analysis, an introduction, Princeton University
Press, 2002.
[11] Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Lý thuyết độ đo và xác suất, NXB Đại Học Quốc Gia
Tp. Hồ Chí Minh, 2015.
[12] Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Giải tích hàm,
NXB Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh, 2011.
[13] Đặng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Giáo trình Giải
tích 2, NXB Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh, 2011.
[14] Hoàng Tụy, Hàm thực & Giải tích hàm, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2005.
50
Chỉ mục
E∗, 25
L(E,F), 25
ánh xạ co, 9
ánh xạ tuyến tính bị chặn, 24
đầy đủ, 7
đồng phôi, 13
độ đo Lebesgue, 17
độ đo đếm, 17
độc lập tuyến tính, 11
định lí Hahn–Banach, 29
định lý Ascoli, 19
định lý Bolzano-Weierstrass, 8
định lý Stone–Weierstrass, 20
định lý hội tụ bị chặn, 18
đẳng cấu tích trong, 42
đẳng cấu tôpô, 13
đẳng thức Parseval, 41
điểm, 4
điểm bất động, 9
điểm dính, 5
điểm trong, 5
bất đẳng thức Bessel, 40
bất đẳng thức Minkowski, 12
bị chặn, 8
bổ đề Zorn, 30
bao đóng, 5
cơ sở tuyến tính, 11
cơ sở vectơ, 11
C, Cn, 7
chiếu, 37
chuẩn, 11
chuẩn Euclid, 11
compắc, 8
dày đặc, 9
dãy Cauchy, 7
dãy hội tụ, 6
giới hạn, 6
hầu khắp, 18
hàm đo được, 17
hệ trực giao, 39
họ trực chuẩn, 39
họ trực chuẩn cực đại, 41
không gian (mêtríc) con, 6
không gian đối ngẫu, 25
không gian đầy đủ hóa, 9
không gian định chuẩn, 11
không gian định chuẩn con, 12
không gian đo, 17
không gian Banach, 12
không gian có khoảng cách, 4
không gian Euclid phức n-chiều, 7
không gian Euclid thực n-chiều, 5
không gian Hilbert, 36
không gian mêtríc, 4
không gian tách được, 41
không gian vectơ, 10
không gian vectơ con, 10
không gian vectơ vô hạn chiều, 11
liên tục, 6
liên tục đều, 8
mêtríc, 4
mêtric Euclid, 5
nhân, 32
nhân của toán tử tích phân, 28
phép đồng phôi, 13
phép đẳng cấu metric, 27
phép đẳng cấu tôpô, 13
phép đẳng cự, 27
phần trong, 5
phiếm hàm, 25
tích phân, 17
tích phân Lebesgue, 18
tích trong, 34
tập đóng, 5
tập mở, 5
tập trực giao, 36
toán tử compắc, 32
51
CHỈ MỤC 52
toán tử liên hợp, 48
trù mật, 9
vectơ, 10
vuông góc, 36