Bài giảng Phương pháp phần tử hữu hạn - Lê Minh Quý

Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội 
Viện Cơ Khí 
Bộ Môn Cơ Học Vật Liệu 
---------****--------- 
Bài Giảng 
Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn 
Người soạn: TS. Lê Minh Quý 
Thời lượng: 30 Tiết 
Hà Nội-2010 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 
-1.1- 
Chương 1 Giới Thiệu Chung 
1.1 Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là gì? 
Phương pháp số dùng để phân tích các bài toán về kết cấu & môi 
trường liên tục. 
Được sử dụng để giải các bài toán sau: 
 Bài toán về kết cấu (tĩnh học/ động lực học, ứng xử tuyến 
tính/phi tuyến); 
 Bài toán về truyền nhiệt; 
 Bài toán về cơ học chất lỏng; 
 Bài toán về truyền âm; 
 Bài toán về điện từ trường; 
 ... 
Được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành kỹ thuật: cơ khí, hàng 
không, xây dựng, ô tô,... 
Các kiến thức liên quan: 
 Cơ học môi trường liên tục, sức bền vật liệu, lý thuyết 
đàn hồi,... 
 Đại số tuyến tính, phương pháp số. 
 Ngôn ngữ lập trình, cấu trúc dữ liệu... 
Một số phần mềm về PTHH: ANSYS, MARC, ABAQUS... 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 
-1.2- 
1.2 Bài toán lò xo 
1.2.1 Hệ có một lò xo 
O x
1 2af1
af2
aq1
aq2
O x
1 2af1
af2
bq1
bq2
O x
1 21f 2f
1q 2q
+ =
Hình 1.1 Hệ có một lò xo 
Xét một lò xo có độ cứng C, toàn bộ lò xo được gọi là một phần tử 
có hai đầu được đánh số là 1 và 2 được gọi là chỉ số nút. Giả sử ta 
cần tìm quan hệ giữa chuyển vị q1, & q2 tại các nút 1 và 2 (được 
gọi là chuyển vị nút) với các lực tập trung f1 và f2 tại các nút đó 
(được gọi là lực nút). 
Trường hợp a: lò xo cố định tại nút 1. 
22
21
Cqf
ff
a
aa
 (1.1) 
 Trường hợp b: lò xo cố định tại nút 2. 
11
21
Cqf
ff
b
bb
 (1.2) 
Áp dụng nguyên lý chồng chất lực, lời giải của bài toán lò xo chịu 
tác dụng của các lực nút f1 và f2 là tổ hợp của trường hợp a và b. 
 21222
21111
qqCfff
qqCfff
ba
ba
 (1.3) 
Quan hệ giữa lực nút và chuyển vị nút được viết dưới dạng ma 
trận như sau: 




2
1
2
1
11
11
f
f
q
q
C (1.4) 
với (1.5)   
11
11
Ck e
 ek là ma trận độ cứng của phần tử lò xo. 
 


2
1
q
q
q là véc tơ chuyển vị nút. 
 


2
1
f
f
f là véc tơ lực nút của lò xo. 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 
-1.3- 
1.2.2 Hệ gồm nhiều lò xo 
 O x
F1 F2 F3
1 211f
1
2f
1
1q
1
2q
=
Q1 Q2 Q3
1 2 31 2 1
1 2
2 321f
2
2f
2
1q
2
2q
2
1 2
+
Hình 1.2 Hệ gồm hai lò xo 
Xét hệ gồm hai lò xo có độ cứng C1 và C2 chịu lực như hình vẽ 
1.2. Lò xo 1 được gọi là phần tử 1, lò xo 2 được gọi là phần tử 2. 
Mỗi phần tử có 2 nút. 
Ký hiệu tổng thể cho cả hệ: 
3 nút đánh số 1, 2, 3. 
Véc tơ chuyển vị nút: {Q}={Q1, Q2, Q3}T 
Véc tơ lực nút: {F}={F1, F2, F3}T 
Ký hiệu địa phương cho mỗi phần tử: 
Mỗi phần tử có 2 nút đánh số nút 1 và nút 2. 
Véc tơ chuyển vị nút của phần tử thứ e là:  


 e
e
e
q
q
q
2
1
Véc tơ lực nút của phần tử thứ e là:  


 e
e
e
f
f
f
2
1
Quan hệ véc tơ chuyển vị nút và lực nút trong phần tử 1(áp dụng 
kết quả trong mục 1.2.1): 




1
2
1
1
1
2
1
1
1 11
11
f
f
q
q
C (1.6) 
Chú ý và , và viết lại hệ phương trình trên dưới dạng 
sau: 
1
11 qQ 122 qQ 
 
 

 
 

0000
011
011
1
2
1
1
3
2
1
1 f
f
Q
Q
Q
C (1.7) 
Quan hệ véc tơ chuyển vị nút và lực nút trong phần tử 2 (áp dụng 
kết quả trong mục 1.2.1): 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 
-1.4- 




2
2
2
1
2
2
2
1
2 11
11
f
f
q
q
C (1.8) 
Chú ý và , và viết lại hệ phương trình trên dưới dạng 
sau: 
2
12 qQ 223 qQ 
 
 

 
 

2
2
2
1
3
2
1
2
0
110
110
000
f
f
Q
Q
Q
C (1.9) 
Kết hợp (1.7) và (1.9) ta có: 
 
 

 
 

2
2
2
1
1
2
1
1
3
2
1
22
2211
11
0
0
f
ff
f
Q
Q
Q
CC
CCCC
CC
 (1.10) 
Chú ý:  và  , ta có phương trình cân bằng 
của cả hệ (quan hệ giữa véc tơ lực nút và chuyển vị nút): 
 
 

 
 

2
2
2
1
1
2
1
1
3
2
1
f
ff
f
F
F
F
F
 
 

3
2
1
Q
Q
Q
Q
   FQK 
 
22
2211
11
333231
232221
131211
0
0
CC
CCCC
CC
KKK
KKK
KKK
K (1.11) 
[K] là ma trận độ cứng của cả hệ được xây dựng từ ma trận độ 
cứng của các phần tử. Trong thực hành tính toán, ma trận [K] 
được xây đựng dựa vào bảng ghép nối phần tử. 
Bảng ghép nối phần tử 
 Chỉ số chuyển vị nút địa phương 
Phần tử 1 2 
 Chỉ số chuyển vị nút tổng thể 
(1) 1 2 
(2) 2 3 
 Từ bảng ghép nối trên, ma trận [k1] (2 hàng 2 cột) được mở 
rộng thành ma trận [K1] (3 hàng 3 cột) như sau: 
1 1
11 121 1
1 1 111 12
21 221 1
21 22
0
0
0 0 0
1
k k
k k
k K k
k k
k (1.12) 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 
-1.5- 
2 2
Ma trận [k2] (2 hàng 2 cột) được mở rộng thành ma trận [K2] (3 
hàng 3 cột) như sau: 
2 2
2 211 12
11 122 2
2 221 22
21 22
0 0 0
0
0
k k
k K
k k
k k
k k (1.13) 
  1 2K K K 
1 1
11 11 12 12 13
1 1 2
21 21 22 22 11 23 12
2 2
31 32 21 33 22
; ;
; ;
0; ; ;
K k K k K
2
0;
;K k K k k K k
K K k K k
Áp dụng phương pháp trên ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa lực 
nút và chuyển vị nút, và tính ma trận độ cứng cho hệ gồm nhiều lò 
xo. 
1.3 Bài toán thanh chịu kéo hoặc nén 
O x
1 21f 2f
1q 2q
O x
1 21f 2f
1q 2q
Hình 1.3 Thanh được coi như lò xo có độ cứng C=AE/L 
Xét kết cấu gồm thanh có mô đun đàn hồi E, tiết diện ngang A, 
chiều dài L chịu lực như hình 1.3. Kết cấu gồm một phần tử có hai 
nút. 
Ứng suất trong thanh là: 
A
f2  (1.14) 
Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị:
L
q2  (1.15) 
Quan hệ ứng suất và biến dạng:  E (1.16) 
Từ (1.14), (1.15), và (1.16) suy ra quan hệ giữa lực nút tại nút 2 và 
chuyển vị tại nút đó là: 
22 qL
AEAEAf  (1.17) 
Đối chiếu với mô hình lò xo, ta có thể coi thanh là lò xo có độ 
cứng C=AE/L. Từ (1.5) suy ra ma trận độ cứng của phần tử thanh: 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 
-1.6- 
  
11
11
L
AEk e (1.18) 
Ví dụ 1.1 
Hình 1.4 Tính trục bậc nhờ PTHH 
Cho trục bậc có kết cấu & chịu lực như hình 1.4. Biết: A1=20mm2; 
A2=10mm2; L1=L2=100mm; E=200GPa. Tính chuyển vị tại các 
nút, ứng suất và biến dạng trong từng phần tử, và phản lực liên 
kết. 
Bước 1: Rời rạc hoá kết cấu 
Chia kết cấu thành 2 phần tử được đánh số nút và số phần tử như 
hình 1.4. 
Bước 2: Tính ma trận độ cứng của phần tử 
1 41 1
1
1 1 4 4
10 /
1 1 4 4
A Ek N mm
L
2 42 2
2
1 1 2 2
10 /
1 1 2 2
A Ek N
L
 mm
O
Q1 Q2 Q3
P=10N
1 21 2 3
A B C 
L1 L2
x
1
1 2
22 3
Chỉ số nút địa phương
Chỉ số nút tổng thể
1 2
1 2
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 
-1.7- 
Bước 3: Ghép phần tử & tính ma trận độ cứng của kết cấu [K] 
  11 12 1321 22 23
31 32 33
K K K
K K K K
K K K
Bảng ghép nối phần tử 
 Chỉ số chuyển vị nút địa phương 
Phần tử 1 2 
 Chỉ số chuyển vị nút tổng thể 
(1) 1 2 
(2) 2 3 
Từ bảng ghép nối trên ta có 
1 1
11 11 12 12 13
1 1 2
21 21 22 22 11 23 12
2 2
31 32 21 33 22
; ;
; ;
0; ; ;
K k K k K
2
0;
;K k K k k K k
K K k K k
  4
4 4 0
4 6 2 10 /
0 2 2
K N mm
Bước 4: Quy đổi ngoại lực về nút 
 R1 là phản lực tại ngàm ở nút 1. 
{F}=[R1 0 10]T 
Bước 5: Hệ phương trình PTHH 
1 1
4
2
3
4 4 0
10 4 6 2 0
0 2 2 10
Q R
Q
Q
      
Bước 6: Áp dụng điều kiện biên Q1=0, ta loại bỏ dòng 1 cột 1 của 
hệ trên ta có hệ 2 phương trình 2 ẩn số: 
24
3
6 2 0
10
2 2 10
Q
Q
    

 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 
-1.8- 
Kết Quả 
Chuyển vị: 
Q1=0; Q2=0,25x10-3mm; Q3=0,75x10-3mm. 
Phản lực liên kết tại ngàm (nút 1) 
1 1 12 2
1
10
m
j j
j
R K Q K Q
  N 
Biến dạng trong mỗi phần tử 
1 1 1 2
1 61 2
1
2 2 2 3
2 61 2
2
2,5 10
5 10 ;
q q Q Q
L L
q q Q Q
L L


Ứng suất trong mỗi phần tử 
1 1 2 2 20,5 / ; 1 / ;E N mm E N mm    2 
Lời giải theo phương pháp PTHH trùng với lời giải chính xác theo 
phương pháp của sức bền vật liệu. 
Chú ý: 
 Tương tự như cách thiết lập ma trận độ cứng của phần tử lò 
xo và phần tử thanh, ta có thể thiết lập ma trận độ cứng của phần 
tử trục chịu xoắn và dầm chịu uốn (xem như bài tập). 
 Ma trận độ cứng phần tử của lò xo, thanh chịu kéo nén, trục 
chịu xoắn, và dầm chịu uốn được thiết lập dựa trên điều kiện cân 
bằng về lực và liên tục về chuyển vị. 
 Phương pháp trên không áp dụng được cho các bài toán phức 
tạp hơn. Khi đó, ma trận độ cứng phần tử được xây dựng trên các 
khái niệm về hàm dạng, hàm nội suy và nguyên lý di chuyển khả 
dĩ. 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 
-1.9- 
1.4 Hàm dạng và hàm nội suy 
1.4.1 Hàm dạng 
xo
y
z
r(x,y,z) r(,,)
P(x,y,z)
Hình 1.5 Vị trí một điểm được xác định bởi véc tơ định vị 
Biểu diễn hình học: Véc tơ định vị {r}=[x, y, z]T của một điểm 
bất kỳ của phần tử Ve được xác định là hàm của các tham số ,  
và  qua việc đổi biến như sau: 
 
, ,
, ,
, ,
x x
r y y
z z
  
  
  
      
Xấp xỉ hình học: Toạ độ (x,y,z) của một điểm bất kỳ được xác 
định bởi các toạ độ nút (xi, yi, zi) và các hàm dạng , ,iN    : 
1 1
; ;
n n n
i ii i
i i i
x N x
1
i iy N y z N
    z 
(x3, y3, z3) 
u3, v3, w3
x
o
y
(x1, y1, z1) 
u1, v1, w1
z
(x4, y4, z4) 
u4, v4, w4
(x2, y2, z2) 
u2, v2, w2
1
2
3
4
Hình 1.6 Phần tử tứ diện 4 nút trong bài toán 3 chiều 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 
-1.10- 
Hình 1.7 Phần tử thực & phần tử quy chiếu hình chữ nhật 4 nút. 
e được tiến 
hành trên phần tử quy chiếu Vr trong hệ toạ độ O. 
  
Hệ toạ độ O được gọi là hệ toạ độ quy chiếu. Bằng phép biến 
đổi nói trên, mọi phép tính toán trên phần tử thực V
Hình 1.8 Phần tử thực & phần tử quy chiếu một chiều 2 nút 
Ví dụ 1.2: Tìm hàm dạng của phần tử quy chiếu một chiều 2 nút 
như t
được biểu diễn bởi các toạ 
độ x1 của nút 1 và x tại nút 2 như sau. 
rên hình 1.8. 
Toạ độ là x của phần tử một chiều 
2
1
i i
i
n
x N x
  
n là tổng số nút củ n tử (n=2). a phầ
Giả sử hàm dạng iN  là hàm bậc nhất của  thì ta có: 
1 2x  
1 và 2 là h ng số cần tìm. Tại các nút 1 và nút 2 ta có: ằ
O
x
x1 x2 1=-1 2=1 
O 
x1 x x2 1  1 
x
y
Nút
o
Phần tử

o
(-1, -1) (1, -1)
(1, 1)1, 1)
1 2
34
(-
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 
-1.11- 
 1 1 2 1
1 2 2 2
x
x
  
  
Suy ra: 2 1 1 2 2 11 2;
2 1 2 1
x x x x      
hay các biểu thức của 
 vào biểu thức của x ta có: 1 và T 2 
 2 1
2 1
1 1 2x x     x 
 1 21 1;
2 2
N N   Thay 1=-1; 2=1 ta có: 
1.4.2 Hàm nội suy 
Xấp xỉ chuyển vị: Véc tơ chu Tyển vị {q}=[u, v, w] tại một điểm 
bất kỳ của mỗi phần tử được xác định bởi các chuyển vị nút (ui, 
vi, wi) và các hàm nội suy Ni. 
1
rước mà biến là các toạ độ x, 
 Chuyển vị phải liên tục trên biên của các phần tử khi xét từ 
ễ , 
được 
ần tử đẳng thông số (
1
; ;
n n n
i i i i i i
i
u N u v N v w N w
    
1i i 
Các hàm nội suy là các đa thức chọn t
y, z sao cho: 
 Đạo hàm bậc nhất phải hữu hạn. 
phần tử này qua phần tử khác. 
ằng việc dùng hệ toạ độ quy chiếu, nên x,y,z biểu di n theo B
và  , do đó các hàm nội suy Ni chọn là hàm của ,  và . 
Dùng ph i iN N ), xấp xỉ hình học & xấp xỉ 
chuyển vị được viết như sau: 
i 
1 1 1
, , ; , , ; , ,
n n n
i i i i i
i i i
x N x y N y z N z        
    
1
, , ; , , ; , ,
n n n
i i i i i i
i
u N u v N v w N w        
    
Các hàm d
1 1i i 
ạng và hàm nội suy là các đa thức của , ,  có các đặc 
Ví dụ 1.3
tính sau: 
1
, , 1; , , 0; 1; ( );
n
i i i i i j j j i
i
N N N i j     
  
: Tìm hàm dạng của phần tử quy chiếu một chiều 2 nút 
như trên hình 1.8 bằng cách áp dụng tính chất của hàm dạng. 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 
-1.12- 
Toạ độ là x của phần tử một chiều được biểu diễn bởi các toạ độ 
x1 của nút 1 và x2 tại nút 2 như sau. 
 1 21 2x N x N  x 
Giả sử hàm dạng iN  là hàm bậc nhất của  thì ta có: 
 ; 1,i i iN a b i  2. 
Ta có hệ các phương trình sau: 
1 1 1
1 2 1 1
2 1 2
2 2 2 2
1 1
0 0
0 0
1 1
N a
N a
N a
N a




1
2
b
b
b
b
Giải 4 phương trình trên ta có: 
1 1 2
1 1 1; ; ;
2 2 2
a b a b 2 12 
Suy ra: 1 21 1;2 2N N
   
Viết hàm dạng iN  dưới dạng sau: 
 1 ; 1,
2
i
iN i 2.
  
1.5 Nguyên lý di chuyển khả dĩ 
 Trong mọi di chuyển khả dĩ công của ngoại lực, Wext, bằng 
tổng thế năng biến dạng, Wint, và công của lực quán tính, 
Wdyn (bỏ qua lực cản nhớt). 
intext dynW W W   
 Trong các bài toán tĩnh học Wdyn=0. 
1.6 Mô hình bài toán đàn hồi tĩnh 
Cho kết cấu được mô tả bởi miền V có biên là S có điều kiện biên: 
 Chuyển vị đã biết trên biên Su. 
 Ứng suất đã biết trên biên S: 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 
-1.13- 
   xx xy xz x sxyx yy yz y sy
zx zy zz z sz
n f
n n
n f
  
   
  
       
f
{fs}=[fsx, fsy, fsz]T là véc tơ lực mặt tác dụng lên biên S.
{n}=[nx, ny, nz]T là véc tơ đơn vị pháp tuyến ngoài của biên S. 
uS S S  & uS S 
 Chịu tác dụng của lực thể tích {fv}=[fvx, fvy, fvz]T 
Hình 1.9 Mô hình bài toán: a) kết cấu thực; b)rời rạc hoá kết cấu 
bằng phần tử hữu hạn 
x
o
y
Su
S
V
Nút
Phần tử
a) b)
x
o
y
sf
 
1.7 Sơ lược về giải bài toán kết cấu bằng phương pháp PTHH 
Bài toán đặt ra là tìm chuyển vị, biến dạng, ứng suất tại mọi điểm 
của kết cấu mô tả ở hình 1.9. 
Lời giải tìm đuợc nếu biết chuyển vị tại mọi điểm của kết cấu (bài 
toán có vô hạn ẩn hay vô hạn số bậc tự do). 
Cách giải theo phương pháp PTHH được tóm tắt như sau: 
 Chia kết cấu thành một số hữu hạn các miền con được gọi là 
các phần tử. 
 Các phần tử được kết nối với nhau bởi một số hữu hạn các nút. 
 Trong mỗi phần tử: 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 
-1.14- 
 Chuyển vị tại một điểm bất kỳ được biểu diễn thông qua 
chuyển vị tại các nút và các hàm nội suy Ni đã chọn trước. 
 Biểu diễn biến dạng và ứng suất qua các chuyển vị nút. 
 Thiết lập ma trận độ cứng & ma trận khối lượng (với bài toán 
động lực học) cho mỗi phần tử. 
 Quy đổi ngoại lực về các nút. 
 Ghép nối các phần tử và xây dựng phương trình cân bằng cho 
cả kết cấu dưới dạng: 
      ..M Q K Q F 
[K] & [M] thứ tự là ma trận độ cứng ma trận khối lượng tổng thể 
của kết cấu. 
{Q}: véc tơ chuyển vị nút của kết cấu cần tìm. 
{F}: véc tơ lực nút của kết cấu. 
Bài toán đàn hồi tĩnh (Wdyn=0):    K Q F 
Bài toán tìm tần số riêng trong dao động tự do: 
      .. 0M Q K Q 
 Áp dụng điều kiện biên để giải hệ phương trình trên. 
Bài Tập 
1.1. Tính chuyển vị tại nút 2 và 3 của hệ gồm 2 lò xo trình bày 
trong mục 1.2.2 biết: Q1=0; C1=C; C2=2C; F2=F; F3=2F. 
1.2. Áp dụng phương pháp xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử 
lò xo và thanh chịu kéo hãy thiết lập ma trận độ cứng của phần tử 
trục chịu xoắn. 
1.3. Áp dụng phương pháp xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử 
lò xo và thanh chịu kéo hãy thiết lập ma trận độ cứng của phần tử 
dầm chịu uốn. 
1.4. Tìm hàm dạng của phần tử quy chiếu một chiều 3 nút: 1=-1, 
1=0, 1=1. 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 
-1.15- 
1.5. Tìm hàm dạng của phần tử quy chiếu hình tam giác có các 
nút như sau: nút1 (1=0, 1=0), nút 2 (2=1, 2=0), nút 3 (3=0, 
3=1). 
1.6. Tìm hàm dạng của phần tử quy chiếu hình chữ nhật 4 nút như 
hình vẽ 1.7. 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 1 
-1.16- 
Phụ Lục Chương I 
1.P.1 Quan hệ biến dạn ...  0 x 0
det J
x y x y x y
x
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⇒ Quan hệ giữa véc tơ biến dạng và véc tơ chuyển vị nút: 
 { } [ ]{ }B qε = 
⇒ Quan hệ giữa véc tơ ứng suất và véc tơ chuyển vị nút: 
 { } [ ]{ } [ ][ ]{ }= =C C Bσ ε q
⇒
6.2.4 Ma trận độ cứng của phần tử 
 Ta có:{ } { } [ ]=T Tq Bδε δ T
V q
⇒
⇒ Thế năng biến dạng của một phần tử trong di chuyển khả dĩ: 
{ } { } { } [ ] [ ][ ]{ } { } [ ] [ ][ ] { }int ⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫e e e
T T T T Te
V V V
W dV q B C B q dV q B C B dδ δε σ δ δ 
 Ma trận độ cứng của phần tử: [ ] [ ][ ]
e
Te
V
k B C B⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∫ dV
⇒ }
 { } {int ⎡ ⎤= ⎣ ⎦Te eW q kδ δ q 
⇒ Véc tơ lực nút của phần tử là: { } [ ]T1 2 3 4 5 6f f f f f f f=
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 
-6.7- 
⇒ Công do lực nút (ngoại lực được quy đổi về nút) gây ra trong di chuyển 
khả dĩ là: 
{ } { }t = TeexW qδ δ f 
⇒ Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ, ta có phương trình cân bằng cho 
kết cấu có một phần tử là: 
int = extW Wδ δ ⇒ ⇒int ext=e eW Wδ δ { } { } { } { }⎡ ⎤ =⎣ ⎦T Teq k q q fδ δ ⇒ { } { }⎡ ⎤ =⎣ ⎦ek q f 
⇒ Tính ma trận độ cứng của phần tử: 
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ]11
0 0
det
−
⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫
e e
T T Te
e e
V A
k B C B dV t B C B dA t J B C B d d
ξ
ξ η 
 u1 v1 u2 v2 u3 v3
2
1 23
2
23
C y
Gx
+ 
2 32 23
32 23
C x y
Gx y
+
1 31 23
32 13
C y y
Gx x
+
2 13 23
32 31
C x y
Gx y
+
1 12 23
21 32
C y y
Gx x
+ 
2 21 23
32 12
C x y
Gx y
+
 21 23
2
23
C x
Gy
+ 
2 32 31
13 23
C x y
Gx y
+
1 13 32
23 31
C x x
Gy y
+
2 32 12
21 23
C x y
Gx y
+ 
1 21 32
12 23
C x x
Gy y
+
 21 13
2
13
C y
Gx
+ 
2 13 31
13 31
C x y
Gx y
+
1 12 31
13 21
C y y
Gx x
+ 
2 21 31
13 12
C x y
Gx y
+
 21 13
2
13
C x
Gy
+ 
2 13 12
21 31
C x y
Gx y
+ 
1 13 21
12 31
C x x
Gy y
+
Sym 
 21 12
2
12
C y
Gx
+ 
2 21 12
21 12
C x y
Gx y
+
e etk
4A
⎡ ⎤ =⎣ ⎦ 
 21 21
2
21
C x
Gy
+ 
 ( )
( ) ( ) ( )11 2
2 1
; ;
1 1
−= = =− − − +
G a C EC C G
a a
ν ν ;
2 1ν ν ν ν 
a=0 với bài toán ứng suất phẳng, a=1 với bài toán biến dạng phẳng. 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 
-6.8- 
6.3 Phần tử tứ giác bốn nút 
6.3.1 Hàm dạng và hàm nội suy 
a) b)
x
y
1 (x1, y1)
2 (x2, y2)
3 (x3, y3)
q1
q2
q3
q4
q5
q6
4 (x4, y4)
q7
q8
ξ
o
η
(-1, -1) (1, -1)
(1, 1)(-1, 1)
1 2
34
Hình 6.4 Phần tử tứ giác bốn nút: a) Phần tử thực, b) Phần tử quy chiếu. 
⇒ Toạ độ (x,y) của một điểm thuộc phần tử được xác định bởi các 
toạ độ nút (xi, yi) & các hàm dạng ( ),iN ξ η : 
 ( ) ( )4 4
1 1
, ; ,
= =
= =∑ ∑i ii i
i i
;x N x y Nξ η ξ η y 
⇒ Điều kiện để xác định hàm dạng: 
 Hàm 
 Nút 1N 2N 3N 4N 
1 (ξ1=-1; η1=-1) 1 0 0 0 
2 (ξ2=1; η2=-1) 0 1 0 0 
3 (ξ3=1; η3=1) 0 0 1 0 
4 (ξ4=-1; η4=1) 0 0 0 1 
⇒ Với mỗi hàm dạng iN có 4 phương trình để xác định các hệ số 
của nó, do đó ta tìm iN dưới dạng đa thức của ξ & η như sau: 
 = + + +i i i i iN a b c dξ η ξη
⇒
 ( ) ( )( )1, 1 1 ; 14= + + =i i iN iξ η ξ ξ ηη , 4; 
⇒ Dùng phần tử đẳng thông số, hàm nội suy được chọn như hàm 
dạng: ≡ iiN N . 
⇒ u & v thứ tự là chuyển vị theo các phương Ox & Oy. 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 
-6.9- 
e thứ tự là chuyển vị tại nút i theo phương Ox & Oy. e2i 1 2iq & q−
⇒ Véc tơ chuyển vị {q}=[u, v]T tại một điểm của phần tử được 
xác định bởi các chuyển vị nút & các hàm nội suy Ni: 
 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 3 5 41 2 2 4 3 6 4 8
, , , ,
, , , ,
= + + +
= + + +
e e e e
e e e e
u N q N q N q N q
v N q N q N q N q
ξ η ξ η ξ η ξ η
ξ η ξ η ξ η ξ η
7
⇒ Đặt: [ ] 1 2 3 4
1 2 3
N 0 N 0 N 0 N 0
N 
0 N 0 N 0 N 0 N4
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 
& { } Te e e e e e e e e1 2 3 4 5 6 7 8q q q q q q q q q⎡ ⎤= ⎣ ⎦
⇒ { } [ ]{ }eq N q= 
6.3.2 Phép biến đổi Jacobi 
 Xét đạo hàm của hàm hợp: ( ) ( ) ( )( )f f x, y f x , , y ,= = ξ η ξ η 
f f x f y f f x f y; ;
x y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = +∂ξ ∂ ∂ξ ∂ ∂ξ ∂η ∂ ∂η ∂ ∂η 
⇒
f x y f
x
ff x y
y
∂ ∂ ∂⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ∂⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨∂∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ∂⎪ ⎪ ⎪∂η ∂η ∂η ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦
⎪⎬⎪⎪
 ⇒
⇒ Ký hiệu: ; Chú ý: ij i j ij i jx x x & y y y= − = − ij ji ij jix x & y y= − = − 
Đặt: [ ] x yJ x y
∂ ∂ξ ∂ ∂ξ⎡ ⎤= ⎢ ⎥∂ ∂η ∂ ∂η⎣ ⎦ 
⇒ [ ] ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( )11 12 21 34 21 3441 32 41 3221 22
J J x 1 x 1 y 1 y 11J
x 1 x 1 y 1 y 1J J 4
⎡ ⎤− η + + η − η + + η⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ − ξ + + ξ − ξ + + ξ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
)
⇒ [ ] [ ]
1 22 12
21 11
 J -J1J
-J Jdet J
− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ 
 [ ] [ ]
1 22 12
21 11
f ff
 J -J1x J
f f -J Jdet J
y
−
∂ ∂⎧ ⎫ ⎧ ⎫∂⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ∂ξ ∂ξ⎡ ⎤∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂η ∂η⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⇒ f
⇒
 Vi phân diện tích: [ ]dA dxdy=det J d d= ξ η 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 
-6.10- 
⇒
6.3.3 Biểu diễn biến dạng và ứng suất qua chuyển vị nút 
 Áp dụng phép biến đổi Jacobi ta tính được đạo hàm của chuyển 
vị u & v theo x & y như sau: 
 [ ] 22 1221 11
uu
 J -J1x
u -J J udet J
y
∂⎧ ⎫∂⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ∂ξ⎡ ⎤∂⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪∂⎪ ⎪ ⎪∂η⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎪⎬⎪⎪
 & [ ] 22 1221 11
vv
 J -J1x
v -J J vdet J
y
∂⎧ ⎫∂⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ∂ξ⎡ ⎤∂⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎬⎪ ⎪ ⎪∂ ⎪⎪ ⎪ ⎪∂η⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪
⇒
 Véc tơ biến dạng tại một điểm của phần tử: 
 { } ( )
[ ]xx xxyy yy
xy xy
u
u x
u
v y A
v
2 u y v x
v
∂ ∂ξ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ε ε ∂ ∂ ⎪ ⎪∂ ∂η⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ε = ε = ε = ∂ ∂ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎪⎬∂ ∂ξ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪γ ε ∂ ∂ + ∂ ∂⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎪⎪ ⎪∂ ∂η⎩ ⎭
Với [ ] [ ]
22 12
21 11
21 11 22 12
 J -J 0 0
1A 0 0 -J J
det J
J J J J
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
mà [ ]{ }e
u
u
G q
v
v
∂ ∂ξ⎧ ⎫⎪ ⎪∂ ∂η⎪ ⎪ =⎨ ⎬∂ ∂ξ⎪ ⎪⎪ ⎪∂ ∂η⎩ ⎭
Với [ ]
(1 ) 0 1 0 1 0 -(1 ) 0
(1 ) 0 (1 ) 0 1 0 (1 ) 01G
0 (1 ) 0 1 0 1 0 -(14
0 (1 ) 0 (1 ) 0 1 0 1
− − η − η + η + η⎡ ⎤⎢ ⎥− − ξ − + ξ + ξ − ξ⎢ ⎥= ⎢ ⎥− − η − η + η + η⎢ ⎥− − ξ − + ξ + ξ − ξ⎣ ⎦
) 
⇒ Quan hệ giữa véc tơ biến dạng và véc tơ chuyển vị nút: 
 { } [ ][ ]{ } [ ]{ }eA G q B qε = = e (Với [ ] [ ][ ]B A G= ) 
⇒ Quan hệ giữa véc tơ ứng suất và véc tơ chuyển vị nút: 
 { } [ ]{ } [ ][ ]{ }= = eC C Bσ ε q
⇒
6.3.4 Ma trận độ cứng của phần tử 
 Ta có:{ } { } [ ]=T Tq Bδε δ T 
⇒ Thế năng biến dạng của một phần tử trong di chuyển khả dĩ: 
{ } { } { } [ ] [ ][ ]{ } { } [ ] [ ][ ] { }eint ⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫e e e
T T TT Te e e e
V V V
W dV q B C B q dV q B C B dV qδ δε σ δ δ 
⇒ Véc tơ lực nút của phần tử là: 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 
-6.11- 
 { } T1 2 3 4 5 6 7 8f f f f f f f f f⎡ ⎤= ⎣ ⎦
 thứ tự là chuyển vị tại nút i theo phương Ox & Oy. 2i 1 2if & f−
⇒ Công do lực nút (ngoại lực được quy đổi về nút) gây ra trong di chuyển 
khả dĩ là: 
{ } { }t = TeexW qδ δ f 
⇒ Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ, ta có phương trình cân bằng cho 
kết cấu có một phần tử là: 
int = extW Wδ δ ⇒ ⇒{ } int ext=e eW Wδ δ [ ] [ ][ ] { } { } { }e⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫e
T TTe e
V
q B C B dV q qδ δ f
⎝ ⎠∫e
T
V
⇒ ⎜ ⎟⎜ ⎟[ ] [ ][ ] { } { }e⎛ ⎞ =C B dV q f ⇒ { } { }⎡ ⎤ =⎣ ⎦e ek q f B
⇒ Ma trận độ cứng của phần tử: 
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] ηξddBCBJtdABCBtdVBCBk Te
A
T
e
V
Te
ee
∫ ∫∫∫
− −
===
1
1
1
1
det 
6.3.5 Phần tử hình chữ nhật bốn nút 
a) b)
ξ
o
η
1 (-1, -1) 2 (1, -1)
3 (1, 1)4 (-1, 1)
xo
y
2b
2a1 2
34
x a
y b
ξ =
η =
Hình 6.5 Phần tử thực a), phần tử quy chiếu b) của phần tử hình chữ nhật 
4 nút 8 bậc tự do 
[ ]
1 1 1 10 0 0
a a a a
1 1 1 1 1B 0 0 0 0
4 b b b
1 1 1 1 1 1 1 1
0
b
b a b a b a b a
− η − η + η + η⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎢ ⎥− ξ + ξ + ξ⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− ξ − η + ξ − η + ξ + η − ξ + η⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
− ξ
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 
-6.12- 
[ ]e et abk .
12
⎡ ⎤ =⎣ ⎦ 
2
1
2
4C a
4G b
+ 
3c
ab
 21
2
4C a
2G b
−
+
3d
ab
 21
2
2C a
2G b
−
−
3c
ab
− 21
2
2C a
4G b
− 
3d
ab
− 
 21
2
4C b
4G a
+ 
3d
ab
− 21
2
2C b
4G a
−
3c
ab
− 21
2
2C b
2G a
−
− 
3d
ab
 21
2
4C b
4G a
−
−
 21
2
4C a
4G b
+
3c
ab
− 21
2
2C a
4G b
−
3d
ab
 21
2
2C a
2G b
−
− 
3c
ab
 21
2
4C b
4G a
+
3d
ab
− 21
2
4C b
2G a
−
+ 
3c
ab
 21
2
2C b
2G a
−
−
 21
2
4C a
4G b
+
3c
ab
 21
2
4C a
2G b
−
+ 
3d
ab
 21
2
4C b
4G a
+ 
3d
ab
− 21
2
2C b
4G a
−
Sym 
 21
2
4C a
4G b
+ 
3c
ab
− 
[ ] = 
 21
2
4C b
4G a
+ 
( )
( )
( ) ( )11 2 2
2 1
; ; ; ;
2 1 1 1
−= = = = + =+ − − −
G a CEG C C c H G d
a a
ν ν
ν ν ν ν 2 ;−H G 
a=0 với bài toán ứng suất phẳng, a=1 với bài toán biến dạng phẳng. 
6.4 Một số vấn đề về phần tử phẳng 
6.4.1 Phân loại phần tử phẳng 
⇒ Theo hình học: phần tử tam giác & tứ giác. 
⇒ Theo bản chất bài toán cơ học: ứng suất phẳng, biến dạng 
phẳng, & đối xứng trục. 
⇒ Theo bậc đa thức của hàm dạng: bậc nhất, bậc 2, bậc 3... 
⇒ Theo loại hàm dạng: Lagrange, serendipity, & hierarchical. 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 
-6.13- 
6.4.2 Hàm dạng của phần tử phẳng 
⇒ Hàm dạng kiểu Lagrange: 
 ( ) ( ) ( )
p p
i i j j
i 0 j 0
N , N N
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞ξ η = ξ η = α ξ α η⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑
• là các đa thức Lagrange của ( ) ( )p pi i j j
i 0 j 0
N & N
= =
ξ = α ξ η = α η∑ ∑ &ξ η
• p là bậc của đa thức. 
• Khai triển các đa thức trên theo tam giác Pascal được hàm dạng 
của các phần tử quy chiếu hình tam giác và hình vuông. 
2 2
3 2 2 3
4 3 2 2 3
1
...
ξ η
ξ ξη η
ξ ξ η ξη η
ξ ξ η ξ η ξη η4p=3
p=1
p=2
Hình 6.6 Đa thức Lagrange và phần tử tam giác biểu diễn trên tam 
giác Pascal 
2 2
3 2 2 3
4 3 2 2 3
1
...
ξ η
ξ ξη η
ξ ξ η ξη η
ξ ξ η ξ η ξη 4η
p=1
p=2
Hình 6.7 Đa thức Lagrange và phần tử hình vuông biểu diễn trên 
tam giác Pascal 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 
-6.14- 
⇒ Hàm dạng kiểu serendipity: Cách xây dựng hàm dạng theo đa 
thức Lagrange không áp dụng được cho một số phần tử, chẳng 
hạn phần tử chữ nhật 8 nút. Khi đó hàm dạng được thiết lập 
bằng cách sử dụng tính chất của hàm dạng. 
( ) ( ) ( ), 1; & , 0; i= =i i i i j jN Nξ η ξ η j≠ 
⇒ Các phần tử bậc cao (p≥2) có thể dùng để rời rạc hoá miền 
phẳng có biên là đường cong. 
Hình 6.8 Phần tử thực có cạnh là đường cong 
4 
2 
3 
8 
1 
5 
7 6 
1 
4 
2 
5 
3 
6 4
1 2 3
5
6
ξ
η
1 2 3
7 6 5
8 4ξ
η
x
y
x
y
6.4.3 Hàm dạng của một số phần tử phẳng thông dụng 
ξ
η
3
4
1 2 3
1 2
3
N ; N
N ; 1
= λ = ξ
= η λ = − ξ − η 5
6
ξ
η ( )
( )
( )
1 2
3 4
5 6
N 2 1 ; N 4
N 2 1 ; N 4
N 2 1 ; N 4
= λ λ − = ξλ
= ξ ξ − = ξη
= η η − = ηλ
1 2
η
ξ
1 2 3 4
5
6
7
8
9 10
( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
N 3 1 3 2 2; N 9 3 1 2
N 9 3 1 2; N 3 1 3 2
N 9 3 1 2; N 9 3 1 2
N 3 1 3 2 2; N 9 3 1 2
N 9 3 1 2; N 54 2
= λ λ − λ − = λξ λ −
= λξ ξ − = ξ ξ − ξ −
= ξη ξ − = ξη η −
= η η − η − = ηλ η −
= ηλ λ − = ξηλ
2
Hình 6.9 Hàm dạng của một số phần tử tam giác 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 
-6.15- 
Hình 6.10 Hàm dạng của một số phần tử tứ giác 
( ) ( )( )
1 4 1 2
, 1 1 1,4
= =
= + + =i i iN i
α β
ξ η α ξ ξ ηη
( ) ( )( )( )
( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( )
2
2
, 1 1 1
1,3,5,7
, 1 1
2,6
, 1 1
4,8
= + − + +
=
= − +
=
= + −
=
i i i i i
i i
i i
N
i
N
i
N
i
ξ η α ξ ξ ηη ξ ξ ηη
ξ η β ξ ηη
ξ η β ξ ξ η
1 3
7 5
ξ
η
1 2 3
7 6 5
8 4
ξ
η
1 2 3
1 2 3 4
6
5
10 9 8 7
11
12
7 6 5
8 4
ξ
η
2
1 2
2
3 4
2
5 6
7 8
2 2
9
N (1 ) (1 ); N (1 )(1 )
N (1 ) (1 ); N (1 )(1 )
N (1 )(1 ) ; N (1 )(1 )
N (1 )(1 ) ; N (1 )(1 )
N (1 )(1 );
= αξ − ξ η − η = −β − ξ − η η
= −αξ + ξ η − η = βξ + ξ − η
= αξ + ξ + η η = β − ξ + η η
= −αξ − ξ + η η = −βξ − ξ − η η
= − ξ − η
ξ
η
9
( )
( )
( )
2 2
i i i
2
i i i
2
i i i
N (1 )(1 )(9 9 10) 32;
i 1, 4, 7, 10
N 9(1 )(1 )(1 9 ) 32;
i 5,6,11,12
N 9(1 )(1 )(1 9 ) 32;
i 2, 3, 8, 9
= + ξ ξ + η η ξ + η −
=
= + ξ ξ − η + η η
=
= + η η − ξ + ξ ξ
=
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 
-6.16- 
6.5 Quy đổi lực mặt và lực thể tích về nút 
⇒ { } { }&v sf f thứ tự là véc tơ lực thể tích & lực mặt tác dụng lên 
phần tử phẳng: 
 { } { }; ;⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
vx sx
v s
vy sy
f f
f f
f f 
⇒ Công của lực thể tích và lực mặt trong di chuyển khả dĩ là: 
{ } { } { } { }t = +∫ ∫
e e
T Tef
ex v s
V A
W q f dV q f dAδ δ δ 
mà { } [ ]{ }eq N q= ⇒{ } { } [ ]TT Teq q Nδ δ= 
{ } [ ] { } { } [ ] { }t = +∫ ∫
e e
T TT Tef e e
ex v s
V A
W q N f dV q N f dAδ δ δ 
{ } [ ] { } [ ] { }t ⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫e e
T T Tef e
ex v s
V A
W q N f dV N f dδ δ A 
⇒ Gọi { } { }&ev esf f thứ tự là véc tơ lực nút do lực thể tích và lực mặt 
gây ra: 
{ } [ ] { } { } [ ] { };= =∫ ∫
e e
T Te e
v v s
V A
sf N f dV f N f dA 
⇒ { } { } { }( ) { } { }t T Tef e e e e eex v sW q f f q fδ δ δ= + = 
⇒ Trong đó { }ef là véc tơ lực nút do lực thể tích và lực mặt được 
quy đổi về nút: 
 { } { } { }e ev sf f f= + e 
Ví dụ 6.1: Quy đổi lực tác dụng lên một cạnh của phần tử tam 
giác 3 nút (lực mặt). 
⇒ Phần tử tam giác có các nút i, j, k tương ứng với các nút 1, 2, 3 
theo ký hiệu chỉ số địa phương. Ngoại lực tác dụng lên cạnh i-j 
của phần tử có cường độ phân bố là hàm của s (s là toạ độ địa 
phương trên cạnh i-j). 
 { } ( )( )
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
sx
s
sy
f s
f
f s 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 
-6.17- 
0
ξ
η
(1, 0)(0, 0)
(0, 1)3
x
y
k (3)
2i (1)
j (2)
1
s
fs(s)
Hình 6.11 Lực phân bố tác dụng lên một cạnh của phần tử tam 
giác 
⇒ Vì trên cạnh 1-2 nên ta có: 0η =
 [ ] 1 0 0 0N 0 1 0 0 0
− ξ ξ⎡ ⎤= ⎢ ⎥− ξ ξ⎣ ⎦
⇒ [ ] { }
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 0 1
0 1 1
0
0
0 0 0
0 0 0
− ⎧ ⎫−⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎢ ⎥− −⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ ⎪
⎪⎬⎪⎪⎪⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭
sx
sy
T sx sx
s
sy sy
f s
f s
f s f s
N f
f s f s
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ
ξ ξ 
⇒ { } [ ] { } [ ] { } [ ] { }
( )
( )
1 1
0 0 0
1
1
0
0
⎧ ⎫−⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= = = = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
∫ ∫ ∫ ∫
e
sx
sy
L
T T Te sx
s s s s
A sy
f
f
f
f N f dA t N f ds tL N f d tL d
f
ξ
ξ
ξξ ξξ 
⇒ Chỉ 2 nút của cạnh có lực tác dụng mới có lực quy đổi. Nút còn 
lại lực quy đổi bằng 0. 
⇒ Khi ( ) ( )onst & onst= = = =sx sx sy syf s f c f s f c thì ta có: 
 { } 0 02 ⎡ ⎤= ⎣ ⎦Tes sx sy sx syLtf f f f f 
Phương pháp phần tử hữu hạn-Chương 6 
-6.18- 
⇒ Ví dụ 6.2: Quy đổi lực thể tích tác dụng lên toàn bộ phần tử 
tam giác 3 nút có cường độ phân bố là hàm của x & y: 
 { } ( )( )
,
x,y
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
vx
v
vy
f x y
f
f 
Ta có véc tơ lực nút quy đổi: { } [ ] { } [ ] { }11
0 0
2 d
−
= =∫ ∫ ∫
e
T Te
v v v
V
f N f dV At N f
ξ
dξ η 
Trong đó: [ ] { } ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1
2 2
2 2
3 3
3 3
0 ,
0 ,
0 , ,
0 x,y
0 ,
0 ,
,
⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭
vx
vy
T vx vx
v
vy vy
vx
vy
N N f x y
N N f x y
N f x y N f x y
N f
N f N f x y
N N f x y
N N f x y
⇒ Khi ( ) ( ), onst & x,y onst= = = =vx vx vy vyf x y f c f f c thì ta có: 
 { } 3 ⎡ ⎤= ⎣ ⎦Tev vx vy vx vy vx vyAtf f f f f f f 
1 6 2 3 1 61 2 1 2
1 2 1 2 1 6 2 3 1 6
Hình 6.12 Quy đổi lực phân bố đều (có tổng độ lớn bằng 1) trên một cạnh 
của một số phần tử tam giác và tứ giác về nút. 
1 3 1 31 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 3
1 4
1 4
1 4
1 41 4
1 4
1 4
1 4
Hình 6.13 Quy đổi lực thể tích phân bố đều (có tổng độ lớn bằng 1) trên 
toàn bộ phần tử về nút cho một số phần tử tam giác và hình chữ nhật