Bài giảng Phương pháp số - Bài 5: Đạo hàm và tích phân - Nguyễn Thị Vinh

BÀI 5
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN
ĐẶT VẤN ĐỀ (1)
1. PHÉP THẾ GIẢI TÍCH:
Ứng dụng chính của các đa thức xấp xỉ là thay thế một hàm 
phức tạp, hay một hàm cho dƣới dạng bảng bởi một đa thức 
để các phép toán cơ bản của giải tích có thể thực hiện đƣợc 
dễ dàng hơn. Chúng bao gồm
Kí hiệu L một trong các phép toán này trên các hàm, xấp xỉ
L(f) bởi L(p), với p(x) là một đa thức xấp xỉ của f(x)
 L có thể thực hiện đƣợc dễ dàng hơn trên p(x) vì nó là
một đa thức và L là một trong hai phép toán đạo hàm và tích
phân
b
a
(a)fvà D(f)f(x)dxI(f) '
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 2
ĐẶT VẤN ĐỀ (2)
2. SAI SỐ L(f) – L(p):
Do tính tuyến tính của phép toán L
L(f + g) = L(f) + L(g)
L(af) = aL(f)
trong đó f(x) và g(x) là các hàm và a là một hằng số. 
Tính tuyến tính dẫn đến
L(f) – L(p) = L(e)
trong đó e(x) là sai số trong xấp xỉ p(x) của f(x),
f(x) = p(x) + e(x)
p(x) là một đa thức nội suy bậc ≤ n của f(x) tại các điểm
x0,  , xn. 
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 3
ĐẶT VẤN ĐỀ (3)
2. SAI SỐ L(f) – L(p):
Sử dụng đa thức nội suy Newton
Sai số E(f) = L(f) – L(p) tính đƣợc bằng cách áp dụng toán
tử L vào hàm sai số của đa thức nội suy – các công thức
(2.16) và (2.18)
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 5
 d] [c,ξ
ξ

,)xx(
)!1n(
)(f
)x(x ]x ,x ..., ,x[f 
)x(p)x(f)x(e
n
0j
j
)1n(
j
n
0j
n0
nn
Π
[c; d] là khoảng chứa các mốc nội suy x0, x1, , xn
ĐẠO HÀM (1)
1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:
)x(x(x)Ψ j
k
0j
k 
,x,x],x,f[x,x],x,f[x
dx
d
Do k0k0  
nếu f(x) đủ trơn, lấy đạo hàm (*) ta nhận đƣợc
(x)'Ψ,x],x,f[x(x)Ψ,x,x],x,f[xx)('p(x)'f
kk0kk0k  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 6
Cho f(x) khả vi liên tục trên [c; d]. Nếu x0, , xk є [c; d], 
thì theo công thức nội suy Newton (2.37)
trong đó pk(x) là đa thức bậc ≤ k nội suy hàm f(x) tại x0, , xk, và
f(x) = pk(x) + f[x0, . . . , xk, x] Ψk (*)
ĐẠO HÀM (2)
1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:
 Nếu chúng ta xấp xỉ thì sai số trong xấp xỉ là(a)p'(a)'f k 
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 7
E(f) = D(f) – D(pk) = )a(]a,x,,x[f)a(]a,a,x,,x[f
'
kkk k
   00
,
)!k(
)a()(f
)!k(
)a()(f
,
k
)k(
k
)k(
1
η
2
ξ ψψ 12
).d,c(, 
TH1: Khi a là một mốc nội suy, a = xi với i nào đó.
Do Ψk (x) chứa thừa số (x – xi), suy ra Ψk(a) = 0.
Hơn nữa, Ψ’k (a) = q(a) trong đó
)xx()xx)(xx()xx(
xx
)x(
)x(q kii
i
k 
  110
ψ
)1()xx(
)!1k(
)(f
)f(E ji
k
ij
0j
)1k(

 
(Đ.lí 2.5)
ĐẠO HÀM (3)
1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 8
TH2: : Khi a không là một mốc nội suy, có thể chọn a
sao cho Ψ’k (a) = 0, chẳng hạn khi k lẻ, và các xi đối xứng
xung quanh a, tức là
2
1
0
k
,,jxaax jjk 
( x – xj) (x – xk–j) = (x – a + a – xj) (x – a + a – xk–j)
= (x – a)2 – (a – xj)
2
2
1
0
k
,,j 
  0)a(ψj0
ax
)ax(2)xa()ax(
dx
d
Do 'k
2
j
2  
 2j2
2/)1k(
0j
k )xa()ax()x( 
ψ
  )2()xa(
)!2k(
)(f
)f(E 2j
2/)1k(
0j
)2k(
 
 ξ
ĐẠO HÀM (4)
1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:
• k = 1: pk(x) = f(x0) + f[x0, x1] (x – x0)
Nếu a = x0 và với h = x1 – x0, thì
,
h
f(a)h)f(a
h]f[a,a(a)f
 '
)
"(ηhf
2
1
E(f) 
Nếu a = (x0 + x1)/2
thì x0 = a – h, x1 = a + h, h = (x1 - x0)/2. và
,
h2
h)f(ah)f(a
h]h,af[a(a)f
 ' )(η'''f
6
h
E(f)
2
h nên là 5%, 1% của xi hay nhỏ hơn
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 9
ĐẠO HÀM (5)
1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:
• k = 2: Pk(x) = f(x0) + f[x0, x1](x – x0) + f[x0, x1, x2](x – x0)(x – x1)
Nếu x0 = a , x1 = a + h, x2 = a + 2h thì
Nếu x0 = a – h, x1 = a, x2 = a + h
h = (x2 – x1) /2 thì
f(x)
x0 a x2
h2
h)2f(ah)f(a4f(a)3
(a)f
 '
haξa(ξf
h
E(f) 2
3
2
 ),'''
,
h2
h)f(ah)f(a
(a)f
 ' ha||ξ,(ξf
6
h
E(f)
2
 )'''
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 10
ĐẠO HÀM (6)
1. ĐẠO HÀM TẠI CÁC ĐIỂM PHÂN BIỆT:
• Trường hợp a є [xi-1, xi]: bất kì và các điểm xi không
cách đều:, tính gần đúng f’(a) bằng cách: 
a) Sử dụng các đạo hàm g’3(x) của các đa thức
ghép trơn bậc ba SPLINE trên [xi-1, xi]
b) Sử dụng đạo hàm của xấp xỉ tốt nhất của f(x) 
theo nghĩa bình phƣơng bé nhất
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 11
TÍCH PHÂN (1)
1 MỘT SỐ QUY TẮC CƠ BẢN
Bài toán: Tìm một ƣớc lƣợng
khi không thể tính đƣợc một cách chính xác hay khi chỉ biết
f(x) tại một số hữu hạn điểm trên khoảng [a, b].
Giải: Về nguyên tắc, ta xấp xỉ I(f) bởi I(pk), trong đó pk(x) là
một đa thức bậc ≤ k, trùng với f(x) tại các điểm x0, .., xk: 
I(pk) = A0f(x0) + A1f(x1) + · · · + Akf(xk)
Các trọng số Ai = I(li), với li(x) là đa thức Lagrange thứ i.
Giả sử f(x) là đủ trơn trên khoảng [c, d] chứa a và b, ta có
thể viết f(x) = pk(x) + f[x0, , xk, x] Ψk(x)
trong đó
b
a
f(x)dxI(f)
)x(x(x)ψ j
k
0j
k  
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 12
TÍCH PHÂN (2)
1 MỘT SỐ QUY TẮC CƠ BẢN
k = 0: p0(x) = f(x0)
Nếu x0 = a: quy tắc hình chữ nhật
I(f) ≈ R = (b – a)f(a), từ (7.20)
b
a
2
R
2
a)b(ηf
a)dx(x(ηfE
()
)
'
'
Nếu x0 = (a + b)/2: quy tắc trung điểm
2
ba
a)f(bMI(f)
24
a)(b(ηf
E
3
M 
)''
với η∈(a, b)
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 13
từ (7.22)
TÍCH PHÂN (3)
1 MỘT SỐ QUY TẮC CƠ BẢN
k = 1: p1(x) = f(x0) + f[x0, x1] (x – x0) quy tắc hình thang
k = 2: p2(x) = f(x0) + f[x0, x1] (x – x0) + f[x0, x1 , x2](x – x0)(x – x1)
quy tắc Simpson
f(b)]a)[f(a)(b
2
1
TI(f) 
[a,b]η,
12
a) (b(ηf
E
3
T 
)
''



 f(b)
2
ba
f4f(a)
6
ab
SI(f)
 
[a,b]η
90
2a)/(b(ηf
E
5iv
S 
 ,
)
)(
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 14
TÍCH PHÂN (4)
2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP: 
Các quy tắc cơ bản tính tích phân số không tạo ra các ƣớc
lƣợng đủ chính xác, khi khoảng [a, b] là tương đối lớn
Giải pháp: Chia [a,b] thành N khoảng đều nhau:
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xN = b
và áp dụng các quy tắc cơ bản đối với từng khoảng con. 
Kí hiệu gk(x) là một hàm đa thức từng khúc với các điểm
cách đều {xi} (i = 1, , N – 1). Gọi Pi,k(x) (i = 0, , N) là các
đa thức bậc ≤ k trùng với gk(x) trên [xi–1, xi]
  
 
N
1i
ix
x
i,k
N
1i
ix
x
kk
N
1i
ix
x
b
a
1i1i
1i
(x)dxP(x)dxg)I(g 
f(x)dxf(x)dxI(f)
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 15
TÍCH PHÂN (5)
2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP: 
Sai số:
b
a
kk0k (x)dx,x]ψ,x,f[x)I(pI(f)E(f) 
- Nếu Ψk(x) giữ dấu không đổi trên (a,b), thì theo định lí giá
trị trung bình đối với tích phân, tồn tại ξ ∈ (a, b) sao cho
b
a
kk0
b
a
kk0 (x)dxψ],ξ,x,f[x(x)dxψ],x,x,f[x 
và nếu f(x) khả vi liên tục đến cấp k + 1 trên (a, b), thì
b
a
k
)1(k (x)dxψ(ηf
)!1(k
1
E(f) ) với η ∈ (a, b)
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 16
TÍCH PHÂN (7)
2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP: 
• Quy tắc hình thang tổng hợp: Lập công thức
Áp dụng quy tắc hình thang trên mỗi khoảng con [xi–1, xi], 
Lấy tổng theo i = 1, . . . , N ta nhận đƣợc
với η ∈ (a, b)
i1i
3
1ii1ii
ix
1ix
xη, x
12
 h(ηf
)]f(x))[f(xx(x
2
1
f(x)dx 
)
''
và]f[f
2
h
f h]f[fh
2
1
TI(f) N0
1N
1i
i
N
1i
1iiN 
12
abh(ηf
12
h(ηf
nE
23
T
N
)())
'''' 
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 18
2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP: 
Quy tắc hình thang tổng hợp: 
Ví dụ 1: tính
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
f(
x)
x
TÍCH PHÂN (8)
6
0
2 dxx250x513I )..( với n = 6
xi f(a), f(b) f(xi)
0 3
1 4.25
2 5.00
3 5.25
4 5.00
5 4.25
6 3
Tổng 6 23.75
I = 26.75
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 19
2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP: 
Quy tắc hình thang tổng hợp: 
Ví dụ 2: Tìm số điểm chia N tối thiểu để quy tắc hình
thang tổng hợp cho giá trị gần đúng của tích phân
TÍCH PHÂN (9)
1
0
2x dxe chính xác đến 10-4
5.1xhay0xkhi0)x23(xe4)x('''fDo 2
2x 
 max|f’’(x)| trên [0, 1] phải xảy ra tại x = 0 hay x = 1,tức là
2}e2,2{)|}1()|,|f0({|f(η|f 1''' '' '
1η0
maxmax|)max
 EN = |–f
’’ (η) N – 2/ 12 | 4
2
22''
10
10
N6
1
12
N2
12
|N)(η|f
η
max 
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 20
 N ≥ 41
2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP: 
Quy tắc hình thang tổng hợp: Chương trình tính
double Thang (double f(double), double a, double b, int N) {
assert(a 0);
double h = (b - a) / N, S = 0.5 * f(a); // i=0
for (int i = 1; i < N; i ++) {
double x = a + i * h;
S = S + f(x);
}
S = S + 0.5 * f(b);
return h * S;
}
TÍCH PHÂN (10)
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 21
TÍCH PHÂN (11)
2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP: 
• Quy tắc Simpson tổng hợp: Lập công thức
Kí hiệu a = xi–1, b = xi, và xi – xi–l = h đối với mỗi khoảng con 
trong đó fi = f(xi), fi -1/2 = f(xi -h/2), lấy tổng theo i = 1 .., N
với ξ∈ (a, b)
ii1i
5
i
iv
i2/1i1i
ix
1x
xη, x
90
)2)(h/(ηf
]ff4[f
6
h
f(x)dx
i
)(
 
N
1i
5
i
ivN
1i
i2/1i1i
N
1i
ix
1x 90
)2)(h/(ηf
]ff4[f
6
h
f(x)dxI(f)
i
)(
,f4f2ff
6
h
S
N
1i
2/1i
1N
1i
iN0N
 
 180
a)(b)2(h/)(ξf
E
4(iv)
N
S
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 22
2. CÁC QUY TẮC TỔNG 
HỢP: 
Quy tắc Simpson tổng hợp: 
Ví dụ 1, tính
bằng quy tắc Simpson tổng
hợp với N = 10. 
Từ bảng bên ta tính đƣợc
TÍCH PHÂN (12)
1
0
2x dxe
xi xi + h/2 f(a), f(b) f(xi) f(xi +h/2)
0 1
0.05 0.997503
0.1 0.990050
0.15 0.977751
0.2 0.960789
0.25 0.939413
0.3 0.913931
0.35 0.884706
0.4 0.852144
0.45 0.816686
0.5 0.778801
0.55 0.738968
0.6 0.697676
0.65 0.655406
0.7 0.612626
0.75 0.569783
0.8 0.527292
0.85 0.485537
0.9 0.444858
0.95 0.405555
1 0.367879
Tổng 1.367879 6.778168 7.471309
7468240dxe
1
0
2x
. 
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 23
2. CÁC QUY TẮC TỔNG HỢP: 
Quy tắc Simpson tổng hợp: Ví dụ 2
Giải lại ví dụ 2 phần trên bằng quy tắc Simpson tổng hợp, ta có
TÍCH PHÂN (13)
2
63
*xkhi0)3x12x4(e4)x(f 2
42x)iv( 
max|f(iv)(x)| trên [0, 1] phải xảy ra tại x* hay tại các đầu mút 0, 1,
12|)0(f|*}x(f||,)1(f||,)0(fmax{||)(f|max )iv()iv()iv()iv()iv(
10
 
  
180
a)(b)2(h/)(ξf
E
4(iv)
N
S
3 N10
.N16. 180
12
16. 180
)|h0(|f
2180
h|)(|f
η
max 4
4
4(iv)
4
4(iv)
10

PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 24
3. QUY TẮC LÀM TĂNG ĐỘ CHÍNH XÁC
Nguyên tắc: tìm số điểm chia [a,b] để đảm bảo độ chính
xác cho trƣớc hoặc với số lần lặp đủ lớn.
Thuật toán: tính gần đúng các tích phân
TÍCH PHÂN (14)
b
a
j f(x)dxS
với các bƣớc chia lần lƣợt là hj = (b-a) / 2
j, j = 1,2,... điều kiện
dừng ở bước lặp thứ j là
với ε > 0 cho trƣớc: |S j- Sj-1| < ε
hoặc j > số lần lặp cho trƣớc
Nhƣ vậy công thức Simpson đƣợc tính lặp nhƣ sau
)]f...f(f2)f...f(f4f[f
6
h
S
1
j
2
215.15.0j
2
0
j
j
5.0j2 
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 25
3. QUY TẮC LÀM TĂNG ĐỘ CHÍNH XÁC
TÍCH PHÂN (15)
double Simpson(double f(double), double a, double b, 
double epsilon) {
int i, j = 1, N = 1;
double h = (b - a) / N, ss, st, t = f(a) + f(b);
ss = t + 4 * f(a + (i - 0.5) * h);
do {
st = ss; N *= 2; h /= 2; ss = t;
for (i = 1; i <= N; i++) ss += 4 * f(a + (i - 0.5) * h);
for (i = 1; i <= N-1; i++) ss += 2 * f(a + i * h);
ss = ss * h /6;
j ++;
} while ((fabs(st - ss) > epsilon) && (j <= lanLap));
return ss;
}
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 26
BÀI TẬP
1. Bài tập tính toán: 
7.1-1, 7.4-4, 7.4-8
2. Bài tập lập trình:
7.4-3, 7.4-5
PHƢƠNG PHÁP SỐ-Bài 5 27