Giáo trình Giải tích 2

Mục lục
1 Phương trình vi phân thường cấp I 5
1.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Phương pháp xấp xỉ Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Phân loại nghiệm của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Các định nghĩa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân: . . . . . . . . . . . 13
1.4 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Phương trình với biến số phân ly: . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Phương trình vi phân thuần nhất: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3 Phương trình vi phân toàn phần: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp I: . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.5 Phương trình Bernoully . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.6 Phương trình Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.7 Phương trình Riccati: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Phương trình vi phân cấp I chưa giải ra đối với đạo hàm 27
2.1 Các PTVP chưa giải ra đối với đạo hàm dạng đặc biệt . . . . . . . . . 27
2.1.1 F chỉ phụ thuộc vào y′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Dạng có thể giải ra đối với y hay x: . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.3 F không phụ thuộc vào y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Trường hợp tổng quát − Phương trình Clairaut và phương trình Lagrange 29
2.2.1 Tham số hoá tổng quát: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Phương trình Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Mục lục
2.2.3 Phương trình Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Nghiệm kỳ dị của PTVP cấp I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Sự tồn tại nghiệm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Tìm nghiệm kỳ dị theo p−biệt tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.3 Tìm nghiệm kỳ dị theo C−biệt tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Phương trình vi phân cấp cao 39
3.1 Phương trình vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Các khái niệm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1.3 Một số phương trình vi phân cấp cao giải được bằng cầu phương: 40
3.1.4 Một số phương trình vi phân cấp cao có thể hạ cấp: . . . . . . . 43
3.1.5 Tích phân trung gian và tích phân đầu: . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính. . . . . . . . . . 46
3.3 Định thức Wronski - Nghiệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.1 Đồng nhất thức Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.2 Phương pháp biến thiên hằng số tìm nghiệm riêng của phương
trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng . . . . . . . . . . . 53
3.4.1 Nghiệm của phương trình thuần nhất hệ số hằng . . . . . . . . . 53
3.4.2 Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất: . . . . . 55
4 Hệ phương trình vi phân cấp I 61
4.1 Hệ phương trình vi phân cấp I tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1 Các định nghĩa: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.2 Liên hệ giữa hệ phương trình và phương trình vi phân cấp cao: 62
4.1.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1.4 Các phương pháp giải hệ phương trình vi phân: . . . . . . . . . 64
4.2 Một số định lý cơ bản của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.1 Sự tồn tại nghiệm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2.2 Thác triển nghiệm và sự tồn tại toàn cục: . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.1 Hệ tuyến tính thuần nhất: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.2 Hệ PTVP tuyến tính không thuần nhất: . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Hệ PTVP tuyến tính hệ số hằng số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4.1 Phương trình đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Mục lục 3
4.4.2 Hệ nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Phương pháp số giải phương trình vi phân 79
5.1 Các phương pháp giải tích giải gần đúng PTVP. . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.1 Xấp xỉ Picard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.1.2 Phương pháp chuỗi Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2 Các phương pháp số giải PTVP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.1 Phương pháp chuỗi Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.2.2 Phương pháp Euler và Euler cải tiến. . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2.3 Các phương pháp Runge−Kutta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.4 Các phương pháp đa bước (multi-step): . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3 Phương trình vi phân và phần mềm tính toán MAPLE. . . . . . . . . . . 90
5.3.1 Giới thiệu chung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3.2 Vẽ đường cong tích phân và trường các hướng . . . . . . . . . . 91
5.3.3 Giải phương trình vi phân bằng MAPLE. . . . . . . . . . . . . . 91
5.3.4 Giải gần đúng phương trình vi phân bằng MAPLE . . . . . . . . 92
6 Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân 99
6.1 Khái niệm chuỗi luỹ thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2 Nghiệm của phương trình vi phân dưới dạng chuỗi luỹ thừa. . . . . . . 101
6.2.1 Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2.2 Điểm kỳ dị của phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.3 Khai triển tiệm cận của nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3.1 Sơ lược về khai triển tiệm cận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.3.2 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm gần điểm kỳ dị không chính qui.111
6.3.3 Khai triển tiệm cận của nghiệm: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3.4 Sơ lược về phương pháp WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) . . 114
A Biến đổi Laplace và phương trình vi phân. 117
A.1 Biến đổi Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.2 Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace: . . . . . . . . . 119
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4 Mục lục
Chương 1
Phương trình vi phân thường cấp I
1.1 Mở đầu
Trong rất nhiều lĩnh vực ứng dụng, chuyển động của một hệ được mô hình hoá bởi các
phương trình vi phân, tức là phương trình có chứa các đạo hàm của ẩn hàm cần tìm.
Chẳng hạn, trong cơ học cổ điển (định luật Newton), trong thiên văn học (sự chuyển
động của các hành tinh), trong hoá học (các phản ứng hoá học), trong sinh học (sự
phát triển của dân số), trong điện tử... Trong hầu hết các lĩnh vực như thế, bài toán
chung nhất là mô tả nghiệm của các phương trình này (cả về định tính lẫn về định
lượng).
1.1.1 Các khái niệm
Phương trình vi phân thường là phương trình có dạng
F (x, y, y′, y′′, . . . , y(m)) = 0 (1.1)
trong đó y = y(x) là ẩn hàm cần tìm và nhất thiết phải có sự tham gia của đạo hàm
(đến cấp nào đó) của ẩn.
Thông thường ta xét các phương trình với ẩn hàm là hàm số một biến thực y = y(x)
xác định trên khoảng mở I ⊂ R nào đó; khi đó hàm F trong đẳng thức trên xác định
trong một tập mở G của R× Rm+1. Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là vector-hàm
(hàm với giá trị vector) y(x) = (y1(x), . . . , yn(x))
T
, F là một ánh xạ nhận giá trị trong
R
n
và (1.1) được hiểu là hệ phương trình vi phân.
Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là hàm nhiều biến thì phương trình vi phân còn
gọi là phương trình đạo hàm riêng
Ta nói một phương trình vi phân có cấp m nếu m là cấp lớn nhất của đạo hàm của
ẩn có mặt trong phương trình.
Phương trình vi phân thường cấp I có dạng tổng quát
F (x, y, y′) = 0 (1.2)
6 Chương 1. Phương trình vi phân thường cấp I
trong đó F (x, y, z) được giả thiết liên tục cùng với các đạo hàm riêng của nó trên
miền G ⊂ R3. Với một số điều kiện nào đấy, phương trình vi phân cấp I có thể viết
được dưới dạng sau, gọi là dạng giải ra được đối với đạo hàm
y′ = f(x, y) (1.3)
với f liên tục trong một miền D ⊂ R2.
Ví dụ: Các phương trình
ey + y′2 cos x = 1
y′′′2 − 2xy = lnx
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0
lần lượt là phương trình vi phân thường cấp I, cấp III và phương trình đạo hàm riêng
cấp II.
Xét phương trình (1.1), hàm giá trị vector y : I → Rn (I = (a, b) là khoảng nào đó
của R) là nghiệm của phương trình (1.1) nếu nó có các đạo hàm liên tục đến cấp m
trên I và thoả mãn
F (x, y(x), y′(x), y′′(x), . . . , y(m))(x) = 0 với mọi x ∈ I (1.4)
Trong trường hợp phương trình vi phân cấp I, nghiệm là một hàm thực một ẩn y = y(x)
mà khi thay vào (1.2), ta được một đẳng thức đúng.
Ví dụ: Dễ kiểm tra rằng họ hàm (phụ thuộc vào hai tham số tuỳ ý)
y = C1 cosx + C2 sin x
là nghiệm của phương trình vi phân
y′′ + y = 0
Ví dụ: (Săn mồi và mồi) Sự phát triển của hai quần thể động vật (chẳng hạn, x =
x(t) là số con mèo và y = y(t) là số con chuột) được mô tả bởi (hệ) phương trình
Volterra−Lotka sau đây
y′ = y(α− βx), x′ = x(γy − δ) (1.5)
với α, β, γ và δ là những hằng số cho trước.
Để tìm nghiệm của phương trình này ta có thể xem y như là hàm theo x, phương
trình có thể viết dưới dạng
dy
dx
=
y(α− βx)
x(γy − δ) hay
(γy − δ)
y
dy =
(α− βx)
x
dx
Nghiệm của phương trình này cho bởi
γy − δ ln y = α ln x− βx + C
trong đó C là hằng số tuỳ ý. Hình 1.1 mô tả các đường mức của nghiệm khi α = β =
γ = 1, δ = 2.
1.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 7
1 2 3 4
1
2
3
y
zX
Hình 1.1: Nghiệm của phương trình Volterra−Lotka.
1.1.2 Bài toán Cauchy
Ta nhận xét rằng nói chung, nghiệm của một phương trình vi phân phụ thuộc vào một
hay nhiều tham số tuỳ ý nào đó; nói cách khác ta có từng họ nghiệm. Để xác định
nghiệm cụ thể nào đó, nói chung ta cần thêm một hay vài đặc trưng khác về nghiệm
(tuỳ theo cấp của phương trình vi phân). Chẳng hạn, y = x
3
3
+ C là (họ) nghiệm của
phương trình y ′ = x2. Dễ thấy y = x
3
3
+1 là nghiệm (duy nhất) thoả điều kiện y(0) = 1.
Ta xét bài toán sau đây đặt ra đối với phương trình (1.2), gọi là bài toán Cauchy
(còn gọi là bài toán giá trị ban đầu):
Tìm nghiệm y(x) của phương trình (1.2) thoả
y(x0) = y0 (1.6)
trong đó (x0, y0) ∈ D được gọi là các điều kiện ban đầu.
Câu hỏi tự nhiên đặt ra là với điều kiện ban đầu (1.6), có hay không và bao nhiêu
nghiệm thoả mãn điều kiện này. Trả lời câu hỏi này tức là giải bài toán Cauchy đối
với phương trình (1.2). Ta lưu ý rằng không phải lúc nào bài toán Cauchy cũng có
nghiệm, và khi có nghiệm cũng không nhất thiết có duy nhất nghiệm. Trong mục sau
ta sẽ phát biểu và chứng minh một định lý giải quyết trọn vẹn bài toán Cauchy cho
phương trình vi phân cấp I.
1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
1.2.1 Phương pháp xấp xỉ Picard
Ta xét bài toán Cauchy đối với phương trình cấp I dạng giải ra được đối với đạo hàm:
y′ = f(x, y), y(x0) = y0 (1.7)
8 Chương 1. Phương trình vi phân thường cấp I
trong đó f xác định và liên tục trên miền mở D ⊂ R2.
Giả sử y(x) là nghiệm của bài toán (1.7), tích phân hai vế của phương trình trong
(1.7) ta được phương trình tích phân cho y(x) là
y(x) = y0 +
∫ x
x0
f(t, y(t))dt (1.8)
Rõ ràng mỗi nghiệm của (1.7) cũng là nghiệm của (1.8) và ngược lại, mỗi nghiệm
của (1.8) đều khả vi liên tục (tức là thuộc lớp C1) trên một khoảng I nào đó và thoả
phương trình (1.7).
Phép lặp Picard−Lindelo¨f.
Về mặt toán tử, nghiệm của phương trình tích phân (1.8) chính là lời giải của bài
toán điểm bất động của các ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ (ở đây ta xét
không gian các hàm khả vi liên tục trên I) mà lời giải có thể cho bởi phương pháp
xấp xỉ liên tiếp Picard−Lindelo¨f sau đây.
Xét dãy các hàm xác định một cách đệ qui bởi
y0(x) = y0 (hay một hàm nào đó)
yk+1(x) = y0 +
∫ x
x0
f(t, yk(t))dt, với k ∈ N
Bổ đề 1.2.1. Giả sử f liên tục trên hình chữ nhật
D = {(x, y)/|x− x0| ≤ a, |y − y0| ≤ b}
Đặt M := max(x,y)∈D |f(x, y)| và h := min
(
a,
b
M
)
. Khi đó với mọi x ∈ I := [x0 −
h, x0 + h] ta có
|yk(x)− y0| ≤ b, với mọik
Nói cách khác, các hàm yk không đi ra khỏi hình chữ nhật D.
Chứng minh: Ta có, với x0 − h ≤ x ≤ x0 + h:
|yk − y0| =
∣∣∣∣
∫ x
x0
f(t, yk−1(t))dt
∣∣∣∣ ≤
∫ x
x0
|f(t, yk−1(t))| dt ≤M |x− x0| ≤Mh ≤ b


Ví dụ: Xét phương trình y′ = −y2, với y(0) = 1. Nghiệm chính xác của nó là
y =
1
x + 1
. Vài xấp xỉ đầu tiên trong phép lặp Picard-Lindelo¨f là y0 = 1, y1 = 1− x,
y2 = 1− x + x2 − x
3
3
...(xem Hình 1.2). Ta nhận thấy các xấp xỉ yk hội tụ nhanh khi x
bé, với các giá trị x lớn phép lặp là phân kỳ.
1.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 9
1 2 3 4
Y (x)2
Y (x)
0
Y (x)4
Y (x)1
Y (x)
3
Hình 1.2: Phép lặp Picard−Lindelof cho phương trình y′ = −y2, với y(0) = 1
1.2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Trong phần này ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý cơ bản của lý thuyết phương
trình vi phân, khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy.
Định nghĩa 1.2.1. Cho hàm f(x, y) xác định trên miền D ⊂ R2. Ta nói f thoả điều
kiện Lipschitz trên D theo biến y nếu tồn tại hằng số dương L (gọi là hằng số
Lipschitz) sao cho:
|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L |y1 − y2| , với mọi (x, y1), (x, y2) ∈ D
Nhận xét: Điều kiện Lipschitz là yếu hơn so với điều kiện giới nội của đạo hàm
riêng
∂f
∂y
trên D. Thật vậy, giả sử
∂f
∂y
liên tục và
∣∣∣∣∂f∂y
∣∣∣∣ ≤ M . Khi đó, áp dụng định
lý Lagrange cho hàm f(x, y) theo biến y ta được
f(x, y1)− f(x, y2) = (y1 − y2) ... + βg(x) ∼
∞∑
n=0
(αan + βbn)(x− x0)n (x→ x0)
f(x)g(x) ∼
∞∑
n=0
cn(x− x0)n (x→ x0)
f(x)
g(x)
∼
∞∑
n=0
dn(x− x0)n (x→ x0)
trong đó cn =
∑n
k=0 akbn−k và nếu b0 	= 0 thì d0 =
a0
b0
và dn =
an −
∑n−1
k=0 dkbn−k
b0
6.3.2 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm gần điểm kỳ dị không chính
qui.
Xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp II
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 (6.9)
112 Chương 6. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân
Trong lân cận của điểm kỳ dị, nói chung ta có thể tìm nghiệm tiệm cận của phương
trình đã cho dưới dạng chuỗi luỹ thừa. Nhưng nói chung, ta thu được chuỗi phân kỳ
và bản thân chuỗi tiệm cận đó không cho ta thông tin về dáng điệu của nghiệm thực
sự trong lân cận của điểm này.
Để tìm dáng điệu tiệm cận của nghiệm ta sẽ tìm các số hạng mà “trội hơn” những
số hạng khác trong biểu thức tiệm cận của nó. Ta sẽ gọi thành phần làm thay đổi
dáng điệu tiệm cận nhanh nhất là “nhân tử điều khiển”.
Vì hàm mũ thay đổi dáng điệu nhanh nhất, nên ta có thể thay thế (theo Green,
Liouville (1837)) nghiệm y(x) bởi
y(x) = eS(x)
vào phương trình (6.9)
S ′′ + (S ′)2 + p(x)S ′ + q(x) = 0 (6.10)
Đây là phương trình nói chung không đơn giản hơn phương trình (6.9). Tuy nhiên,
trong lân cận điểm kỳ dị không chính qui x0 hầu như ta có đánh giá
S ′′ << (S ′)2, x→ x0 (6.11)
Khi đó, ta có thể “quên” số hạng S ′′ trong (6.10) và thu được phương trình tiệm cận
(S ′)2 ∼ −p(x)S ′ − q(x), x→ x0 (6.12)
mà thường dễ giải hơn phương trình ban đầu. Nghiệm của nó xứng đáng dùng để xấp
xỉ cho nghiệm chính xác của phương trình ban đầu.
Lưu ý: Giả thiết (6.11) không đúng đối với trường hợp x0 là điểm thường hoặc
điểm kỳ dị chính qui. Như thế, ta chỉ có thể tìm nghiệm xấp xỉ theo cách này trong
lân cận của (phần lớn) các điểm kỳ dị không chính qui.
Ví dụ: Tìm dáng điệu tiệm cận của nghiệm của phương trình x3y′′ = y trong lân cận
điểm x = 0.
Ta nhận thấy x = 0 là điểm kỳ dị không chính qui. Thay y = eS(x) vào phương trình
đã cho, ta được (S′)2 ∼ x−3 (x→ 0+). Vì vậy, hai nghiệm thu được là
S(x) ∼ ±2x−1/2, x → 0+
Thực tế ta có thể “cải thiện” nghiệm tiệm cận bằng cách xét đến số hạng tiếp theo
số hạng đầu, tức là đặt
S(x) = 2x−
1
2 + C(x), C(x) << 2x−
1
2 , x → 0+
Thay biểu thức này vào phương trình (6.10) ta được
3
2
x−5/2 + C ′′ − 2x−3/2C ′ + (C ′)2 = 0
6.3. Khai triển tiệm cận của nghiệm. 113
Ta có thể thu được phương trình tiệm cận bằng cách đánh giá như sau.
Vì S′ ∼ −x−3/2 nên C ′ << x−3/2 (x → 0+) và C ′′ << x−5/2 (x → 0+). Do đó,
(C ′)2 << x−3/2C ′, (x → 0+). Bỏ qua các số hạng không đáng kể trong phương trình
trên ta thu được
3
2
x−5/2 ∼ −2x−3/2C ′
Từ đó ta tìm được C(x) ∼ 3
4
ln x và có thể viết
S(x) = 2x
−
1
2 +
3
4
ln x + D(x), D(x) << ln x, x→ 0+
Lại tiếp tục quá trình đánh giá trên (chi tiết xin dành cho độc giả) ta được
D(x) = d + δ(x)
trong đó d là hằng số nào đó và δ(x) ∼ − 3
16
x1/2 khi x → 0+. Vì dáng điệu tiệm cận
của nghiệm được đóng góp chủ yếu bởi các số hạng trong S(x) mà không triệt tiêu
khi x→ 0+, nên ta có
y(x) ∼ exp(2x−1/2 + 3
4
ln x + d), x→ 0+
Hay,
y(x) ∼ c1x 34 e2x−1/2 , x→ 0+
Nếu bắt đầu với S(x) ∼ −2x− 12 ta thu được nghiệm
y(x) ∼ c1x 34e−2x−1/2 , x→ 0+
Phương pháp cân bằng trội:
Từ ví dụ trên ta có thể tổng quát thành một phương pháp chung để tìm dáng điệu tiệm
cận của nghiệm trong lân cận của điểm kỳ dị không chính qui, gọi tên là phương pháp
cân bằng trội. Ý tưởng của nó thể hiện qua các bước sau đây.
• Vứt bỏ tất cả các số hạng xuất hiện bé rồi thay phương trình đúng bằng hệ thức
tiệm cận.
• Thay quan hệ tiệm cận bởi phương trình và giải một cách chính xác phương trình
này.
• Kiểm tra rằng nghiệm mà ta thu được phù hợp với các xấp xỉ trong bước đầu
tiên.
114 Chương 6. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân
6.3.3 Khai triển tiệm cận của nghiệm:
Như đã biết nếu phương trình vi phân có kỳ dị (không chính qui) tại x0, nói chung ta
không tìm được nghiệm dưới dạng chuỗi luỹ thừa. Thay vào đó, nếu biết khai triển
tiệm cận của nghiệm, ta có thể mô tả ít nhiều về nghiệm đó, chẳng hạn, có thể thực
hiện các tính toán số một cách xấp xỉ.
Tuy nhiên cũng không dễ tìm khai triển tiệm cận của một phương trình vi phân nói
chung. Một trong những phương pháp “hình học” là tìm cách biểu diễn nghiệm dưới
dạng tích phân rồi tìm khai triển tiệm cận của nó.
Ta minh hoạ phương pháp bằng một ví dụ cụ thể sau đây. Xét phương trình Euler:
y′ + y = 1/x
đây là phương trình vi phân tuyến tính với x = 0 là điểm kỳ dị. Một nghiệm riêng của
nó cho bởi tích phân
y = e−x
∫ x
−∞
x−1exdx
mà hội tụ nếu x âm.
Ngoài ra, phương trình chấp nhận một nghiệm hình thức dưới dạng chuỗi vô hạn
1
x
+
1!
x2
+
2!
x3
+ · · ·+ n!
xn+1
+ · · ·
Ta chỉ ra chuỗi này là khai triển tiệm cận tại −∞ của nghiệm riêng nói trên. Thật
vậy, bằng cách tích phân từng phân liên tiếp, ta có
e−x
∫ x
−∞
x−1exdx =
1
x
+
1!
x2
+
2!
x3
+ · · ·+ n!
xn+1
+ Rn
với
Rn = (n + 1)!e
−x
∫ x
−∞
x−n−2exdx
Do đó, với x < 0, ta có
|Rn| ≤ (n + 1)!|x−n−2|e−x
∫ x
−∞
exdx =
(n + 1)!
|x−n−2|
Vậy chuỗi trên tiệm cận với nghiệm riêng cho bởi tích phân.
6.3.4 Sơ lược về phương pháp WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin)
Trong mục này ta quan tâm đến phương trình Schodinger
ε2y′′ = Q(x)y (6.13)
6.3. Khai triển tiệm cận của nghiệm. 115
trong đó ε → 0 được gọi là tham số nhiễu đóng vai trò hằng số Planc trong cơ học
lượng tử.
Nội dung cơ bản của phương pháp WKB là tìm nghiệm hình thức của (6.13) dưới
dạng
y(x) ∼ exp
[
1
ε
∞∑
n=0
Sn(x)ε
n
]
, ε → 0
Thay thế hình thức chuỗi này vào phương trình (6.13) và cân bằng các hệ số của các
luỹ thừa của ε ta được
(S ′0)
2 = Q(x)
2S ′0S
′
1 + S
′′
0 = 0
........................
2S ′0S
′
n + S
′′
n−1 +
∑n−1
j=1 S
′
jS
′
n−j = 0, (n ≥ 2)
Phương trình cho S0 được gọi là phương trình eikonal; nó có nghiệm là
S0(x) = ±
∫ x√
Q(t)dt
Các phương trình còn lại được gọi là các phương trình chuyển, chúng cho phép xác
định các Sn(x) sai khác hằng số cộng bằng truy hồi. Tuy nhiên, đây là những phương
trình vi phân nói chung rất khó tích phân. Chẳng hạn,
S1(x) = −1
4
lnQ(x)
S2(x) = ±
∫ x [ Q′′
8Q3/2
− 5(Q
′)2
32Q5/2
]
dt, .....
Tuy vậy, nếu chỉ quan tâm đến dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi ε→ 0 thì ta có
y(x) ∼ C1Q−1/4(x) exp
[
1
ε
∫ x√
Q(t)dt
]
+C2Q
−1/4(x) exp
[
−1
ε
∫ x√
Q(t)dt
]
, ε→ 0
116 Chương 6. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân
BÀI TẬP
1. Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp chuỗi luỹ thừa:
(a) (x2 − 1)y′′ + 4xy′ + 2y = 0
(b) y ′′ + x2y′ + xy = 0
(c) xy′′ − 2y′ + xy = 0
2. Bằng phương pháp chuỗi luỹ thừa, tìm một nghiệm riêng của phương trình, rồi
tìm nghiệm tổng quát:
(a) xy′′ + 2y′ − xy = 0
(b) xy ′′ + (2− x)y′ − y = 0
3. Giải các phương trình vi phân sau đây bằng phương pháp Frobenius:
(a) 4x2y′′ + 4xy′ − y = 0
(b) xy ′′ + 3y′ − x3y = 0
(c) x2y′′ + (x− 2x3)y′ − (1 + 2x2)y = 0
4. Hàm Bessel bậc n ∈ N, ký hiệu là Jn(x), là nghiệm triệt tiêu n lần tại x = 0
của phương trình vi phân sau đây:
x2y′′ + xy′ + (x2 − n2)y = 0
(a) Hãy biễu diễn Jn(x) dưới dạng chuỗi luỹ thừa.
(b) Kiểm tra rằng chuỗi biễu diễn J0 và J1 là hội tụ với mọi x.
(c) Chứng tỏ rằng
d
dx
(xJ1(x)) = xJ0(x)
5. Phương trình Hermit cấp n ∈ N là phương trình vi phân sau:
y′′ − 2xy′ + 2ny = 0
(a) Với n = 5 hãy tìm nghiệm riêng thỏa điều kiện y(0) = 0, y ′(0) = 1.
(b) Chứng tỏ rằng với n lẻ (t.ư. chẵn) thì nghiệm riêng thoả điều kiện y(0) =
0, y′(0) = 1 (t.ư. y(0) = 1, y′(0) = 0 luôn có dạng đa thức (gọi là đa thức
Hermit bậc n, ký hiệu là Hn(x))
(c) Tìm Hn với n = 0, 1, 2, 3, 4 và đếm số không điểm của chúng.
(d) Với n = 3 hãy tìm nghiệm riêng thỏa điều kiện y(0) = 0, y ′(0) = 1.
Phụ lục A
Biến đổi Laplace và phương trình vi
phân.
Trong rất nhiều lĩnh vực của Toán học, Vật lý, Kỹ thuật,... ta thường gặp các phép
biến đổi tích phân, mà một cách tổng quát có dạng sau
f(t) −→ F (s) :=
∫ b
a
K(s, t)f(t)dt
trong đó K(s, t) được gọi là nhân của phép biến đổi đó.
Trong phần này ta giới thiệu một phép biến đổi quan trọng với nhân rất đặc biệt
K(s, t) = e−st và được gọi là phép biến đổi Laplace.
A.1 Biến đổi Laplace.
Cho trước hàm f(t) xác định trên [0,+∞), ta gọi biến đổi Laplace của f là
L{f(s)} = F (s) =
∫ ∞
0
e−stf(t)dt (A.1)
Để bảo đảm tích phân ở vế phải hội tụ, hàm f phải khả tích trên các khoảng hữu hạn
và quan trọng là phải có cấp tăng “vừa phải”. Cụ thể f cần thoả mãn đánh giá
|f(t)| ≤ KeAt, với mọi t > M
mà khi đó f được nói là tăng cấp mũ.
Mệnh đề A.1.1. Nếu f(t) xác định và liên tục từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn của
[0,+∞) và có độ tăng mũ thì biến đổi Laplace của f(t) là tồn tại.
Chứng minh: Kiểm tra trực tiếp.
118 Phụ lục A. Biến đổi Laplace và phương trình vi phân.
Nếu F (s) là ảnh của biến đổi Laplace của f(t) thì ta cũng nói f(t) là biến đổi
Laplace ngược của F (s), và ký hiệu là
f(t) = L−1 {F}
Trong mặt phẳng phức, biến đổi Laplace ngược cho bởi
f(t) =
1
2iπ
∫ a+i∞
a−i∞
estF (s)ds, với a > 0
Các ví dụ:
• Biến đổi Laplace của 1
L{1} =
∫ ∞
0
e−stdt =
1
s
• Biến đổi Laplace của eat
L{eat} = ∫ ∞
0
e−steatdt =
∫ ∞
0
e−(s−a)tdt =
1
s− a
với điều kiện s > a.
• Biến đổi Laplace của sin(at)
L{sin(at)} =
∫ ∞
0
e−st sin(at)dt
Bằng cách tích phân từng phần hai lần, ta thu được
L{sin(at)} = 1
a
− s
2
a2
L{sin(at)}
và từ đó
L{sin(at)} = a
s2 + a2
• Tương tự, biến đổi Laplace của cos(at) là
L{cos(at)} = s
s2 + a2
Các tính chất:
• Tính tuyến tính: Biến đổi Laplace và Laplace ngược là các toán tử tuyến tính
L{αf + βg} = αL{f}+ βL{g}
L−1 {αF + βG} = αL−1 {F}+ βL−1 {G}
A.2. Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace: 119
• Biến đổi Laplace của đạo hàm:
L{f ′} (s) =
∫ ∞
0
e−stf ′dt = sL{f} (s)− f(0)
• Biến đổi Laplace của đạo hàm cấp cao:
L{f (n)(t)} (s) = snL{f} − sn−1f(0)− sn−2f ′(0)− · · · − sf (n−2)(0)− f (n−1)(0)
• Biến đổi Laplace của tích phân:
L
{∫ t
0
f(u)du
}
(s) =
L{f}
s
• Phép tịnh tiến:
L{eatf(t)} = L{f} (s− a)
Bảng các phép biến đổi Laplace thông dụng:
f L{f(t)} (s) Miền xác định
1 1
s
s > 0
t 1
s2
s > 0
tn n!
sn+1
s > 0, n ∈ N
tα Γ(α+1)
sα+1
a > 0
eat 1
s−a s > a
cos(at) s
s2+a2
s > 0
sin(at) a
s2+a2
s > 0
cosh(at) s
s2−a2 s > |a|
sinh(at) a
s2−a2 s > |a|
eat cos(bt) s−a
(s−a)2+b2 s > a
eat sin(bt) b
(s−a)2+b2 s > a
A.2 Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace:
Để giải phương trình vi phân (nhất là đối với các phương trình vi phân tuyến tính)
bằng cách dùng biến đổi Laplace ta có thể tiến hành theo các bước sau.
120 Phụ lục A. Biến đổi Laplace và phương trình vi phân.
• Biến đổi Laplace hai vế của phương trình, ta thu được phương trình (vi phân)
theo Y (s) := L{y} (s)
• Giải phương trình này để tìm Y (s)
• Trở về nghiệm ban đầu bằng phép biến đổi Laplace ngược y(x) := L−1 {Y } (x)
Ví dụ: Giải bài toán Cauchy sau đây:
y′′ − y′ − 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0
Biến đổi Laplace hai vế, ta thu được:
L{y′′} − L{y′} − 2L{y} = 0
hay tương tương
s2Y − sy(0)− y′(0)− [sY − y(0)]− 2Y = 0
Giải phương trình này với điều kiện ban đầu, ta thu được
Y (s) =
s− 1
s2 − s− 2 =
1
3
1
s− 2 +
2
3
1
s + 1
Dùng phép biển đổi Laplace ngược ta thu được lời giải
y(x) =
1
3
e2t +
2
3
e−t
Ví dụ: Giải bài toán Cauchy y′′ + y = sin(2x), với y(0) = 2, y′(0) = 1.
Thực hiện biến đổi Laplace cả hai vế, ta thu được
s2Y (s)− sy(0)− y′(0) + Y = 2
s2 + 4
Thay điều kiện ban đầu vào biểu thức này rồi giải tìm Y (s), ta được
Y (s) =
(2s + 1)(s2 + 4) + 2
(s2 + 4)(s2 + 1)
=
2s
s2 + 1
+
5
3
1
s2 + 1
− 2
3
1
s2 + 4
Qua phép biến đổi ngược ta thu được
Y (s) = 2 cos t +
5
3
sin t− 1
3
sin(2t)
A.2. Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace: 121
Biến đổi Laplace của hàm Heaviside:
Hàm Heaviside có bước nhảy tại x = c là hàm định nghĩa bởi
Hc(x) =
{
0 nếu x < 0
1 nếu x ≥ c
Biến đổi Laplace của hàm Heaviside là
L{Hc(t)} =
∫ ∞
0
e−stHc(t)dt =
∫ ∞
c
e−stdt =
e−sc
s
(s > 0)
Ngoài ra ta cũng có biến đổi Laplace của tích của một hàm bất kỳ với hàm Heaviside:
L{Hc(t)f(t− c)} =
∫ ∞
c
e−stf(t− c)dt = e−scL{f(t)}
Tương tự ta có
L{ectf(t)} = ∫ ∞
0
e−stectf(t)dt = F (s− c)
trong đó F (s) là biến đổi Laplace của f(t).
L−1 {F (s− c)} = ectf(t)
Ví dụ: Giải bài toán y′′ + 4y = g(t) với y(0) = 0 và y′(0) = 0 ở đây

0 nếu t < 5
t− 5
5
nếu 5 ≤ t < 10
1 nếu 10 ≤ t
Trước hết, ta biễu diễn hàm g qua các hàm Heaviside:
g(t) =
1
5
[H5(t).(t− 5)−H10(t).(t− 10)]
Biến đổi Laplace Hai vế, ta tìm được
Y (s) =
1
5
1
s2(s2 + 4)
(e−5s − e−10s)
Ta có L
{
1
s2(s2 + 4)
}
=
t
4
− 1
8
sin 2t và từ đó ta tìm được nghiệm
y(t) =
1
5
[
H5(t)
(
t− 5
4
− sin 2(t− 5)
8
)
−H10(t)
(
t− 10
4
− sin 2(t− 10)
8
)]
Trong vật lý ta thường gặp hàm (suy rộng) Delta của Dirac, ký hiệu là δ(t) định
nghĩa như sau
δ(t) = 0, ∀t 	= 0, và
∫ ∞
−∞
δ(t)dt = 1
122 Phụ lục A. Biến đổi Laplace và phương trình vi phân.
Có thể hiểu δ như là giới hạn của hàm sau
ga(t) :=
{
0 nếu |t| > a
1
2a
nếu |t| ≤ a
trong đó a > 0. Dễ thấy rằng
∫∞
−∞ ga(t)dt = 1 với mọi a > 0. Khi đó
δ(t) := lim
a→0+
ga(t)
Biến đổi Laplace của δ(t) là
L{δ(t− t0)} =
∫ ∞
0
e−stδ(t− t0)dt = e−st0
A.2. Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace: 123
124 Phụ lục A. Biến đổi Laplace và phương trình vi phân.
Tài liệu tham khảo
[1] Hoàng Hữu Đường, Lý thuyết phương trình vi phân. Nhà xuất bản ĐH và THCN
(1977).
[2] Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung, Bài tập phương trình vi phân. Nhà xuất
bản ĐH và THCN (1979).
[3] E.A. Coddington, N.Levinson, Theory of ordinary differential equations.
Newyork (1955).
[4] E.L. Ince, Ordinary differential equations. Dover Pub. (1956).
[5] C.M. Bender, St.A. Orszag, Advanced mathematical methods for scientists and
engineers. Mc Graw-Hill Book Inc. Company (1978).