Bài giảng Tích phân bội và Giải tích vectơ - Huỳnh Quang Vũ

Bài giảng Tích phân bội và Giải tích vectơ
Huỳnh Quang Vũ
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
y
x
2Tập bài giảng này về tích phân Riemann của hàm nhiều biến và Giải tích vectơ cho sinh viên
ngành toán ở trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh. Nội dung bài giảng
tương ứng với những phần cuối trong các giáo trình vi tích phân phổ biến hiện nay như của J.
Stewart [Ste12], có chú ý tới đặc thù là cho sinh viên ngành toán, có yêu cầu cao hơn về tính chính
xác và hàm lượng lý thuyết. Đối với sinh viên khá giỏi bài giảng hướng tới trình độ ở các phần
tương ứng trong các giáo trình giải tích kinh điển như [Rud76], [Lan97].
Dấu X ở một bài tập là để lưu ý người đọc đây là một bài tập đặc biệt có ích hoặc quan trọng,
nên làm. Những phần có đánh dấu * là tương đối khó hơn, không bắt buộc. Có thể giáo trình này
vẫn còn được đọc lại sau khi môn học kết thúc, khi đó những phần * này sẽ thể hiện rõ hơn ý nghĩa.
Để làm một số bài tập cần dùng một phần mềm máy tính chẳng hạn như Matlab hay Maxima.
• Hướng dẫn sử dụng phần mềm Maxima
• Hướng dẫn sử dụng phần mềm Matlab
Huỳnh Quang Vũ
Địa chỉ: Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí
Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh, Email: hqvu@hcmus.edu.vn
Tài liệu này sẽ được tiếp tục sửa chữa và bổ sung. Bản mới nhất có trên web ở địa chỉ:
∼hqvu//gt3.pdf. Mã nguồn LaTeX có ở
∼hqvu/gt3.tar.gz.
This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, see
 otherwise it is licensed under the Creative
Commons Attribution 4.0 International License, see 
Mục lục
1 Tích phân bội 5
1.1 Tích phân trên hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Sự khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Tích phân trên tập tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Công thức Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Công thức đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6 Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.7 * Thay thế tích phân Riemann bằng tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . 50
2 Giải tích vectơ 53
2.1 Tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2 Công thức Newton–Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3 Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4 Tích phân mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5 Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.6 Công thức Gauss–Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.7 Vài ứng dụng của Giải tích vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.8 * Công thức Stokes tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3
4 MỤC LỤC
Chương 1 Tích phân bội
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu tích phân Riemann trong không gian nhiều chiều.
1.1 Tích phân trên hình hộp
Tích phân trên không gian nhiều chiều là sự phát triển tương tự của tích phân một chiều. Do đó
các ý chính đã quen thuộc và không khó, người đọc có thể xem lại phần tích phân một chiều để dễ
theo dõi hơn.
Cho I là một hình hộp, và f : I→ R. Ta muốn tính tổng giá trị của hàm f trên hình hộp I. Ta
chia nhỏ hình hộp I bằng những hình hộp con nhỏ hơn. Ta hy vọng rằng trên mỗi hình hộp nhỏ
hơn đó, giá trị của hàm f sẽ thay đổi ít hơn, và ta có thể xấp xỉ f bằng một hàm hằng. Ta hy vọng
rằng nếu ta chia càng nhỏ thì xấp xỉ càng tốt hơn, và khi qua giới hạn thì ta sẽ được giá trị đúng
của tổng giá trị của f .
Sau đây là một cách giải thích hình học. Giả sử thêm hàm f là không âm, ta muốn tìm “thể
tích” của khối bên dưới đồ thị của hàm f bên trên hình hộp I. Ta sẽ xấp xỉ khối đó bằng những
hình hộp với đáy là một hình hộp con của I và chiều cao là một giá trị của f trong hình hộp con
đó. Ta hy vọng rằng khi số hình hộp tăng lên thì ta sẽ gần hơn giá trị đúng của thể tích.
Hình hộp và thể tích của hình hộp
Dưới đây ta bắt đầu làm chính xác hóa các ý tưởng ở trên.
Trong môn học này khi nói đến không gian Rn, n ∈ Z+, thì ta dùng cấu trúc tuyến tính, chuẩn,
khoảng cách, và tích trong Euclid, cụ thể nếu x = (x1, x2, . . ., xn) ∈ Rn thì chuẩn (tức chiều dài) của
x là
‖x‖ = (x21 + x22 + · · ·+ x2n)1/2,
khoảng cách giữa x và y = (y1, y2, . . ., yn) ∈ Rn là
‖x− y‖ =
(
(x1− y1)2+ (x2− y2)2+ · · ·+ (xn − yn)2
)1/2
,
5
6 CHƯƠNG 1. TÍCH PHÂN BỘI
và tích trong giữa x với y là
〈x, y〉 = x1y1+ x2y2+ · · ·+ xnyn.
Ta định nghĩa một hình hộp n-chiều trongRn là một tập con củaRn có dạng [a1,b1]×[a2,b2]×
· · ·× [an,bn] với ai < bi với mọi 1 ≤ i ≤ n, tức là tích của nđoạn thẳng. Ví dụ một hình hộp 1-chiều
là một đoạn thẳng trong R.
Để khởi đầu về thể tích của hình hộp, chúng ta hãy xét trường hợp một chiều. Chiều dài của
đoạn thẳng [a,b] bằng bao nhiêu?
Ta muốn khái niệm chiều dài toán học mô phỏng khái niệm chiều dài vật lý thường dùng
trong đời sống từ xưa. Như vậy trước hết chiều dài của một đoạn thẳng [a,b] là một số thực
không âm. Vì chiều dài vật lý không phụ thuộc vào cách đặt hệ tọa độ, nếu ta tịnh tiến đoạn
thẳng thì chiều dài không thay đổi, vậy nếu kí hiệu chiều dài của đoạn [a,b] là |[a,b]| thì cần
có |[a+ c,b+ c]| = |[a,b]|. Nếu n là số nguyên dương, thì vì đoạn thẳng [0,na] gồm n đoạn thẳng
[0,a], [a,2a], [2a,3a], . . ., [(n−1)a,na], nên ta muốn có tính chất “cộng tính” thể hiện qua |[0,na]| =
n|[0,a]|. Điều này dẫn tới |[0,a]| = n|[0, 1na]|, hay |[0, 1na]| = 1n |[0,a]|. Do đó với m,n là số nguyên
dương thì |[0, mn a]| = mn |[0,a]|. Trong trường hợp riêng, ta có |[0, mn ]| = mn |[0,1]|. Vì mọi số thực a
là giới hạn của một dãy các số hữu tỉ, nên nếu như ta muốn chiều dài có “tính liên tục” thì ta cần
có |[0,a]| = a|[0,1]|, do đó phải có |[a,b]| = |[0,b−a]| = (b−a)|[0,1]|. Để chuẩn hóa ta thường lấy
|[0,1]| = 1, và như thế |[a,b]| = (b− a).
Như vậy quan trọng hơn là chiều dài có những tính chất như mong muốn như ở trên, còn giá
trị cụ thể được xác định duy nhất do cách chọn chiều dài đơn vị, giống như việc chọn đơn vị đo
trong vật lý.
Lý luận tương tự cho số chiều cao hơn, ta có thể đưa ra định nghĩa ngắn gọn sau:
Định nghĩa. Thể tích (volume) n-chiều của hình hộp [a1,b1] × [a2,b2] × · · · × [an,bn] được định
nghĩa là số thực (b1− a1)(b2− a2) · · · (bn − an).
Ta thường dùng kí hiệu |I | để chỉ thể tích của I. Khi số chiều n = 1 ta thường thay từ thể tích
bằng từ chiều dài (length). Khi n = 2 ta thường dùng từ diện tích (area).
Đối với khái niệm tổng, lý luận tương tự như đối với khái niệm thể tích, ta có thể đi đến kết
luận là tổng của một hàm hằng c trên hình hộp I là c |I |.
Chia nhỏ hình hộp
Một phép chia, hay một phân hoạch (partition) của một khoảng [a,b] là một tập con hữu hạn của
khoảng [a,b] mà chứa cả a và b. Ta có thể đặt tên các phần tử của một phép chia là x0, x1, . . ., xm
với a = x0 < x1 < x2 < · · · < xm = b. Mỗi khoảng [xi−1, xi] là một khoảng con của khoảng [a,b]
tương ứng với phép chia.
Một phép chia của hình hộp I =
∏n
i=1[ai,bi] là một tích Descartes của các phép chia của các
khoảng [ai,bi]. Cụ thể nếu mỗi Pi là một phép chia của khoảng [ai,bi] thì P =∏ni=1 Pi là một phép
chia của hình hộp I. Xem ví dụ ở hình 1.1.1.
Một hình hộp con ứng với một phép chia P của một hình hộp I là một tích các khoảng con
của các cạnh của hình hộp I. Cụ thể một hình hộp con của hình hộp I có dạng
∏n
i=1Ti trong đó Ti
là một khoảng con của khoảng [ai,bi] ứng với phép chia Pi. Đặt SR(P) là tập hợp tất cả các hình
hộp con ứng với phép chia P. Người đọc có thể hình dung các trường hợp 1, 2, 3 chiều để dễ theo
dõi.
Tích phân trên hình hộp
Cho I là một hình hộp, và f : I→ R. Với một phép chia P của I, thành lập tổng Riemann1
1Bernard Riemann là người đã đề xuất một định nghĩa chặt chẽ cho tích phân vào khoảng năm 1854, mặc dù tích
phân đã được dùng trước đó.
1.1. TÍCH PHÂN TRÊN HÌNH HỘP 7
a b
c
d
x
y
R
Hình 1.1.1: Một phép chia của hình chữ nhật [a,b]×[c,d] gồm những điểm mà các tọa độ thứ nhất
tạo thành một phép chia của [a,b] và các tọa độ thứ hai tạo thành một phép chia của [c,d].
∑
R∈SR(P)
f (xR)|R|
ở đây tổng được lấy trên tất cả các hình hộp con R của P, và xR là một điểm bất kì thuộc R. Đây là
một xấp xỉ của “tổng giá trị” của f trên I. Nếu f ≥ 0 thì đây là một xấp xỉ của “thể tích” của khối
bên dưới đồ thị của f bên trên I.
“Giới hạn” của tổng Riemann khi phép chia “mịn hơn” sẽ là tích phân của hàm f trên I, kí
hiệu là
∫
I
f .
Vậy
∫
I
f đại diện cho“tổng giá trị”của hàm f trên I. Nếu f ≥ 0 thì ∫
I
f đại diện cho “thể tích”
của khối bên dưới đồ thị của f bên trên I.2
Để làm chính xác ý tưởng trên ta cần làm rõ quá trình qua giới hạn. Chúng ta sẽ dùng một cách
trình bày do Jean Gaston Darboux đề xuất năm 1870.
Khi nói về tích phân Riemann ta chỉ xét hàm bị chặn. Nhớ lại rằng cho tích phân của hàm
một biến để xét tích phân của hàm không bị chặn cần lấy giới hạn của tích phân để thu được “tích
phân suy rộng”, một khái niệm mà ta không khảo sát trong môn học này. Vậy giả sử f bị chặn.
Gọi L( f ,P) = ∑R∈SR(P)(infR f )|R|, trong đó tổng được lấy trên tất cả các hình hộp con ứng
với phép chia P, là tổng dưới hay xấp xỉ dưới ứng với P.
Tương tự, U( f ,P) =∑R∈SR(P)(supR f )|R| là tổng trên hay xấp xỉ trên ứng với P.
Cho P và P′ là hai phép chia của hình hộp I. Nếu P ⊂ P′ thì ta nói P′ là mịn hơn P.
Bổ đề (chia mịn hơn thì xấp xỉ tốt hơn). Nếu phép chia P′ là mịn hơn phép chia P thì L( f ,P′) ≥
L( f ,P) và U( f ,P′) ≤ U( f ,P).
Đây một ưu điểm quan trọng của xấp xỉ trên và xấp xỉ dưới bởi vì ta có thể thấy với tổng
Riemann thì chia mịn hơn không nhất thiết dẫn tới xấp xỉ tốt hơn, xem bài tập 1.1.7.
Chứng minh. Mỗi hình hộp con R′ của P′ nằm trong một hình hộp con R của P. Ta có infR′ f ≥
infR f . Vì thế∑
R′⊂R,R′∈SR(P′)
(inf
R′
f )|R′ | ≥
∑
R′⊂R,R′∈SR(P′)
(inf
R
f )|R′ | = inf
R
f
∑
R′⊂R,R′∈SR(P′)
|R′ | = (inf
R
f )|R|.
Lấy tổng hai vế của bất đẳng thức trên theo tất cả hình hộp con R của P ta được L( f ,P′) ≥
L( f ,P). 
2Kí hiệu
∫
do Gottfried Leibniz đặt ra khi xây dựng phép tính vi tích phân vào thế kỉ 17. Nó đại diện cho chữ cái
“s” trong chữ Latin “summa” (tổng).
8 CHƯƠNG 1. TÍCH PHÂN BỘI
(xR, yR)R
z = f (x, y)
f (xR, yR)
z
y
x I
Hình 1.1.2: Xấp xỉ Riemann.
Bổ đề (xấp xỉ dưới ≤ xấp xỉ trên). Nếu P và P′ là hai phép chia bất kì của cùng một hình hộp thì
L( f ,P) ≤ U( f ,P′).
Chứng minh. Với hai phép chia P và P′ bất kì thì luôn có một phép chia P′′ mịn hơn cả P lẫn P′,
chẳng hạn nếu P =
∏n
i=1 Pi và P
′ =
∏n
i=1 P
′
i thì có thể lấy P
′′ =
∏n
i=1 P
′′
i với P
′′
i = Pi ∪P′i . Khi đó
L( f ,P) ≤ L( f ,P′′) ≤ U( f ,P′′) ≤ U( f ,P′). 
Một hệ quả là chặn trên nhỏ nhất của tập hợp tất cả các xấp xỉ dưới supP L( f ,P) và chặn dưới
lớn nhất của của tập hợp tất cả các xấp xỉ trên infPU( f ,P) tồn tại, và supP L( f ,P) ≤ infPU( f ,P).
Định nghĩa (tích phân Riemann). Cho hình hộp I. Hàm f : I→ R là khả tích (integrable) nếu
f bị chặn và supP L( f ,P) = infPU( f ,P). Nếu f khả tích thì tích phân (integral) của f được định
nghĩa là số thực supP L( f ,P) = infPU( f ,P), và được kí hiệu là
∫
I
f .
Ví dụ. Nếu c là hằng số thì
∫
I
c = c |I |.
Khi số chiều n = 1 ta có tích phân của hàm một biến quen thuộc từ trung học và đã được khảo
sát trong môn Giải tích 1, với
∫
[a,b] f thường được viết là
∫ b
a
f (x) dx. Như vậy ta thừa hưởng tất
cả các kết quả về tích phân hàm một biến đã có trong Giải tích 1, chẳng hạn như công thức
Newton–Leibniz để tính tích phân.
Khi n = 2 ta có tích phân bội hai, thường được viết là
∬
I
f (x, y) dA hay ∬
I
f (x, y) dxdy. Khi
n = 3 ta có tích phân bội ba, thường được viết là
∭
I
f (x, y, z) dV hay ∭
I
f (x, y, z) dxdydz.
Ghi chú. Hiện giờ dx, dxdy, dxdydz, dA, dV chỉ là kí hiệu để chỉ loại tích phân, không có ý nghĩa
độc lập.
1.1. TÍCH PHÂN TRÊN HÌNH HỘP 9
xấp xỉ trên
tổng Riemann
xấp xỉ dưới
f
R
infR f
f (xR)
supR f
xR
Hình 1.1.3: Xấp xỉ dưới ≤ xấp xỉ Riemann ≤ xấp xỉ trên.
1.1.4 Mệnh đề. Cho f bị chặn trên hình hộp I. Khi đó f là khả tích trên I nếu và chỉ nếu với mọi
 > 0 có phép chia P của I sao cho U( f ,P)− L( f ,P) <  .
Như vậy hàm khả tích khi và chỉ khi xấp xỉ trên và xấp xỉ dưới có thể gần nhau tùy ý.
Chứng minh. (⇒) Cho f khả tích. Cho  > 0, có phép chia P và P′ sao cho
L( f ,P) > − +
∫
I
f
và
U( f ,P′) <  +
∫
I
f .
Lấy P′′ mịn hơn cả P và P′. Khi đó
U( f ,P′′)− L( f ,P′′) ≤ U( f ,P′)− L( f ,P) < 2
(⇐) Giả sử với  > 0 cho trước bất kì có phép chia P sao cho U( f ,P) − L( f ,P) <  . Bất
đẳng thức này dẫn tới U( f ,P) < supP L( f ,P)+  , do đó infPU( f ,P) < supP L( f ,P)+  , hay 0 ≤
infPU( f ,P)− supL( f ,P) 0. Do đó infPU( f ,P) = supP L( f ,P). 
Tính chất của tích phân
Ta có những tính chất tương tự trường hợp một biến:
1.1.5 Mệnh đề. Nếu f và g khả tích trên hình hộp I thì:
(a) f +g khả tích và
∫
I
( f +g) = ∫
I
f +
∫
I
g.
(b) Với mọi số thực c thì c f khả tích và
∫
I
c f = c
∫
I
f .
(c) Nếu f ≤ g thì ∫
I
f ≤ ∫
I
g.
Chứng minh. Ta chứng minh phần (a), các phần còn lại được để ở phần bài tập.
Với một phép chia P của I, trên một hình hộp con R ta có infR f + infR g ≤ f (x)+g(x), ∀x ∈ R.
Suy ra infR f + infR g ≤ infR( f +g). Do đó L( f ,P)+ L(g,P) ≤ L( f +g,P).
10 CHƯƠNG 1. TÍCH PHÂN BỘI
Cho  > 0, có phép chia P sao cho L( f ,P) > ∫
I
f −  và có phép chia P′ sao cho L(g,P′) >∫
I
g −  . Lấy phép chia P′′ mịn hơn cả P và P′ thì L( f ,P′′) ≥ L( f ,P) > ∫
I
f −  và L(g,P′′) ≥
L(g,P′) > ∫
I
g−  . Suy ra
L( f +g,P′′) ≥ L( f ,P′′)+ L(g,P′′) >
∫
I
f +
∫
I
g−2 .
Tương tự, có phép chia Q sao cho
U( f +g,Q) ≤ U( f ,Q)+U(g,Q) <
∫
I
f +
∫
I
g+2 .
Lấy phép chia Q′ mịn hơn cả P′′ và Q thì ta được∫
I
f +
∫
I
g−2 < L( f +g,Q′) ≤ U( f +g,Q′) <
∫
I
f +
∫
I
g+2 .
Hệ thức này dẫn tới U( f +g,Q′)− L( f +g,Q′) < 4 , do đó f +g khả tích, hơn nữa∫
I
f +
∫
I
g−2 <
∫
I
( f +g) <
∫
I
f +
∫
I
g+2, ∀ > 0,
do đó
∫
I
( f +g) = ∫
I
f +
∫
I
g. 
* Đọc thêm
Có thể định nghĩa tích phân Riemann như sau. Ta nói f là khả tích trên I nếu có một số thực, gọi
là tích phân của f trên I, kí hiệu là
∫
I
f , có tính chất là với mọi  > 0 có δ > 0 sao cho nếu tất cả
các cạnh của các hình chữ nhật con của P đều có chiều dài nhỏ hơn δ thì với mọi cách chọn điểm
xR thuộc hình hộp con R của P ta có
∑R f (xR)|R| −∫I f  < . Có thể chứng minh rằng định nghĩa
này tương đương với định nghĩa của Darboux.
Có thể hỏi nếu ta dùng những cách xấp xỉ khác thì có mang tới cùng một tích phân hay không?
Nếu ta muốn tích phân có những tính chất thường dùng, gồm chẳng hạn tính tuyến tính, thì thực ra
chỉ có duy nhất một loại tích phân thỏa các tính chất đó, xem [Lan97, tr. 575].
Bài tập
1.1.6. Một hồ nước hình chữ nhật kích thước 4m×8m có độ sâu không đều. Người ta đo được chiều sâu tại
một số điểm trên hồ n ...  f
∂x1
(x), ∂ f∂x2 (x), . . .,
∂ f
∂xn
(x)
)
. Từ đó ta có đẳng thức:
df (x) = ∂ f
∂x1
(x)dx1(x)+ ∂ f
∂x2
(x)dx2(x)+ · · ·+ ∂ f
∂xn
(x)dxn(x)
hay ngắn gọn hơn:
df =
∂ f
∂x1
dx1+
∂ f
∂x2
dx2+ · · ·+ ∂ f
∂xn
dxn.
Trong trường hợp một chiều công thức trên là:
df = f ′dx.
Khác với sự mơ hồ khi ta thấy công thức này lần đầu khi học về vi phân trong các giáo trình toán
giải tích trung học hay năm đầu đại học, bây giờ mọi thứ trong công thức đều có nghĩa chính xác.
Ta định nghĩa một dạng vi phân bậc 1 trên Rn là một hàm cho tương ứng mỗi điểm với một
ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R, cho bởi công thức
f1dx1+ f2dx2+ · · ·+ fndxn
trong đó f1, . . ., fn là các hàm trơn.
Ví dụ. Trên R2, dạng bậc 1 được cho bởi công thức Pdx+Qdy trong đó P, Q là hàm trơn trên R2.
Tích của dạng vi phân
Người ta định nghĩa được một phép nhân trên các dạng vi phân, thường được kí hiệu bởi ∧ (wedge
- tích chèn), nhưng ở đây ta bỏ qua kí hiệu đó cho đơn giản. Phép nhân của dạng vi phân có tính
phân phối với phép cộng. Nó còn có một tính chất đặc biệt, là tính phản đối xứng:
dxdy = −dydx.
Một hệ quả là dxdx = 0.
102 CHƯƠNG 2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Ví dụ. Khi n = 2: Ta sẽ có dxdy là một dạng vi phân bậc 2. Tại mỗi điểm p ∈ R2, giá trị dxdy(p)
là một ánh xạ mà tác động vào cặp vectơ u,v ∈ R2 cho ra det(u,v), chính là diện tích có hướng của
hình bình hành sinh bởi u và v. Vì vậy có lẽ không quá ngạc nhiên khi ta biết kí hiệu dA chính là
dxdy:
dA = dxdy.
Ví dụ. Khi n = 3: Ta sẽ có dxdydz là một dạng vi phân bậc 3. Tại mỗi điểm p ∈ R3, giá trị
dxdydz(p) là một ánh xạ mà tác động vào bộ 3 vectơ u,v,w ∈ R3 cho ra det(u,v,w), chính là diện
tích có hướng của hình bình hành sinh bởi u, v và w. Kí hiệu dV chính là dxdydz:
dV = dxdydz.
Tổng quát hơn, tại mỗi p ∈ Rn thì dx1dx2 · · ·dxn(p) = det, và đó chính là dạng thể tích dV trên
Rn.
dV = dx1dx2 · · ·dxn.
Với 1 ≤ i1, i2, . . ., ik ≤ n thì dxi1dxi2 · · ·dxik là một dạng bậc k. Tổng của hai dạng bậc k là một
dạng bậc k. Tích của một hàm trơn với một dạng bậc k cũng là một dạng bậc k. Ta định nghĩamột
dạng vi phân bậc k bất kì trên Rn là một tổng hữu hạn của những dạng f dxi1dxi2 · · ·dxik .
Ví dụ. Một dạng bậc 2 trên R3 có công thức Pdydz+Qdzdx + Rdxdy, trong đó P, Q, R là các
hàm trơn trên R3.
Ở đây chúng ta chưa bàn tới dạng vi phân nội tại trên các đường, mặt, hay tổng quát hơn những
tập con "k-chiều" trong Rn. Vì vậy ta chưa có cơ hội giải thích các dạng ds, dS, ...
Tích phân của dạng vi phân
Theo định nghĩa ở trên một dạng vi phân bậc n trên Rn là một tổng của hữu hạn những dạng
f dx1dx2 · · ·dxn. Rất đơn giản, ta định nghĩa tích phân của dạng f dx1dx2 · · ·dxn trên tập con D
của Rn chính là tích phân bội của hàm f trên D.
Định nghĩa trên được dùng cho những tập con D "n-chiều" trong Rn. Nếu tập con D này có
số chiều k < n (ví dụ như đường, mặt trong Rn) thì cần có một định nghĩa khác dành riêng cho số
chiều k. Như ta đã thấy qua tích phân đường và tích phân mặt, một định nghĩa như vậy sẽ dùng tới
việc "kéo lui" một dạng trên D về một dạng k-chiều trên Rk , rồi lấy tích phân. Chi tiết khá phức
tạp, nên ta dừng lại ở đây.
Đạo hàm của dạng vi phân
Người ta định nghĩa được một phép đạo hàm trên các dạng. Phép tính này có tính tuyến tính, nên
nó được xác định bởi công thức:
d( f dxi1dxi2 · · ·dxik ) = (df )dxi1dxi2 · · ·dxik
=
(
∂ f
∂x1
dx1+
∂ f
∂x2
dx2+ · · ·+ ∂ f
∂xn
dxn
)
dxi1dxi2 · · ·dxik .
Như vậy đạo hàm của một dạng bậc k là một dạng bậc (k +1).
Ví dụ. Trên R2 xét dạng w = Pdx+Qdy. Ta có
dw =
(
∂P
∂x
dx+
∂P
∂y
dy
)
dx+
(
∂Q
∂x
dx+
∂Q
∂y
dy
)
dy =
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dxdy.
2.8. * CÔNG THỨC STOKES TỔNG QUÁT 103
Ví dụ. Trên R3 xét dạng w = Pdx+Qdy+Rdz. Ta có
dw =
(
∂P
∂x
dx+
∂P
∂y
dy+
∂P
∂z
dz
)
dx+
(
∂Q
∂x
dx+
∂Q
∂y
dy+
∂Q
∂z
dz
)
dy+
+
(
∂R
∂x
dx+
∂R
∂y
dy+
∂R
∂z
dz
)
dz
=
(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
)
dydz+
(
∂P
∂z
− ∂R
∂x
)
dzdx+
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dxdy.
Chú ý các thành phần của dw chính là các thành phần của curl(P,Q,R).
Ví dụ. Trên R3 xét dạng w = Pdydz+Qdzdx+Rdxdy. Ta có
dw =
(
∂P
∂x
dx+
∂P
∂y
dy+
∂P
∂z
dz
)
dydz+
(
∂Q
∂x
dx+
∂Q
∂y
dy+
∂Q
∂z
dz
)
dzdx+
+
(
∂R
∂x
dx+
∂R
∂y
dy+
∂R
∂z
dz
)
dxdy
=
(
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
)
dxdydz.
Thành phần của dạng dw chính là div(P,Q,R).
Tương ứng giữa hàm và dạng
hàm thực f dạng bậc không f
trường (P,Q,R) dạng bậc một Pdx+Qdy+Rdz
trường bảo toàn dạng bậc một mà là đạo hàm của một dạng bậc không
trường curl(P,Q,R) dạng bậc hai(
∂R
∂y − ∂Q∂z
)
dydz+
(
∂P
∂z − ∂R∂x
)
dzdx+
(
∂Q
∂x − ∂P∂y
)
dxdy
hàm div(P,Q,R) dạng bậc ba
(
∂P
∂x +
∂Q
∂y +
∂R
∂z
)
dxdydz
Ví dụ. Tính d(df ) ta được:
d(df ) = d
(
∂ f
∂x
dx+
∂ f
∂y
dy+
∂ f
∂z
dz
)
=
(
∂2 f
∂y∂z
− ∂
2 f
∂z∂y
)
dydz+
(
∂2 f
∂z∂x
− ∂
2 f
∂x∂z
)
dzdx+
(
∂2 f
∂x∂y
− ∂
2 f
∂y∂x
)
dxdy.
Vậy nếu f trơn cấp hai thì d(df ) = 0. Đây không gì khác hơn chính là hệ thức curl(∇( f )) = 0.
Ví dụ. Nếu ta lấy w = Pdx+Qdy+Rdz thì như ở trên đã tính dw =
(
∂R
∂y − ∂Q∂z
)
dydz+
(
∂P
∂z − ∂R∂x
)
dzdx+(
∂Q
∂x − ∂P∂y
)
dxdy, tương ứng với trường curl(P,Q,R), và
d(dw) =
(
∂2R
∂x∂y
− ∂
2Q
∂x∂z
+
∂2P
∂y∂z
− ∂
2R
∂y∂x
+
∂2Q
∂z∂x
− ∂
2P
∂z∂y
)
dxdydz.
Nếu trường (P,Q,R) là trơn cấp hai thì d(dw) = 0. Đây chính là hệ thức div(curl(F)) = 0.
Tổng quát, tích của hai ánh xạ đạo hàm d nối tiếp bằng không:
d2 = 0.
104 CHƯƠNG 2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Bổ đề Poincaré tổng quát
Ta đã thấy nếu w = du thì dw = 0. Điều ngược lại là nội dung của bổ đề Poincaré tổng quát: Trên
một miền mở hình sao của Rn, nếu w là một dạng bậc k và dw = 0 thì tồn tại một dạng u bậc k −1
sao cho du = w.
Công thức Stokes tổng quát
Công thức Stokes tổng quát trên Rn: ∫
∂M
w =
∫
M
dw.
• Công thức Newton–Leibniz ứng với trường hợp w là dạng bậc không f và M là một tập con
1-chiều của R (đoạn thẳng).
• Công thức Green ứng với trường hợp w là dạng bậc một Pdx +Qdy và M là một tập con
2-chiều của R2.
• Công thức Stokes ứng với trường hợp w là dạng bậc một Pdx+Qdy+ Rdz và M là một tập
con 2-chiều của R3 (mặt).
• Công thức Gauss–Ostrogradsky ứng với trường hợp w là dạng bậc hai Pdydz +Qdzdx +
Rdxdy và M là một tập con 3-chiều của R3 (khối).
Bài tập
2.8.2 (công thức Green). Đây là những hệ quả của công thức Stokes 2.8.1. Với cùng các giả thiết về Ω, ta
viết pháp tuyến đơn vị v = (v1,v2, . . .,vn). Chứng minh các công thức sau (xem 2.3.15 và 2.6.11):
(a)
∫
Ω
∂ f
∂xi
dx =
∫
∂Ω
f vi dS. Giả sử hàm thực f thuộc lớp C1(Ω).
(b)
∫
Ω
∂ f
∂xi
g dx =
∫
∂Ω
f gvi dS−
∫
Ω
f ∂g∂xi dx. Giả sử f và g thuộc lớp C
1(Ω).
(c)
∫
Ω
∆ f dx =
∫
∂Ω
∂ f
∂v dS. Giả sử f thuộc lớp C
2(Ω). Ta viết ∂ f
∂v
= ∇ f · v, đạo hàm của f theo hướng v.
Nhắc lại toán tử Laplace ∆ được cho bởi ∆ f =
∑n
i=1
∂2 f
∂x2i
.
(d)
∫
Ω
∇ f · ∇g dx = ∫
∂Ω
f ∂g∂v dS−
∫
Ω
f∆g dx. Giả sử f và g thuộc lớp C2(Ω).
(e)
∫
Ω
( f∆g−g∆ f ) dx = ∫
∂Ω
(
f ∂g∂v −g ∂ f∂v
)
dS.
2.8.3 (diện tích mặt cầu). * Gọi Sn(R) là mặt cầu n-chiều tâm tại 0 với bán kính R, biên của quả cầu
B′(n+1)(R) tâm 0 bán kính R. Hãy dùng 2.8.1 để tính diện tích (nói cách khác, thể tích n-chiều) của Sn(R).
2.8. * CÔNG THỨC STOKES TỔNG QUÁT 105
Hướng dẫn học thêm
Để trình bày chặt chẽ nội dung của tích phân đường và mặt và tổng quát hóa cho nhiều chiều cần
nghiên cứu hai lãnh vực: đa tạp vi phân (differential manifolds) (tổng quát hóa của đường và mặt),
và dạng vi phân (differential forms) (tổng quát hóa của trường vectơ). Quyển sách nhỏ của Spivak
[Spi65] là giáo trình kinh điển. Quyển sách của Munkres [Mun91] xuất hiện sau, có nội dung
tương tự nhưng có nhiều chi tiết hơn. Một tài liệu hay gần đây hơn là tập bài giảng [Sja06].
Một tiếp cận khác của vấn đề tích phân trên các tập con của không gian Euclid được trình bày
trong lý thuyết độ đo hình học (Geometric Measure Theory), có thể đọc ở [Mor00].
Như đã gợi ý, Giải tích vectơ được ứng dụng trực tiếp vào vật lý và các ngành toán học liên
quan [Arn89], như khảo sát các phương trình vật lý toán, thường là các phương trình đạo hàm
riêng [Eva97].
106 CHƯƠNG 2. GIẢI TÍCH VECTƠ
Gợi ý cho một số bài tập
1.2.16 Giả sử x ∈ [0,1] là một số vô tỉ và {pn/qn}n∈Z+ là một dãy các số hữu tỉ hội tụ về x. Nếu dãy
{qn}n∈Z+ không tiến ra vô cùng thì sẽ có một số thực M và một dãy con {qnk }k∈Z+ sao cho qnk < M
với mọi k ∈ Z+. Dãy {pnk /qnk }k∈Z+ chỉ gồm hữu hạn giá trị.
1.2.17 Tập hợp các số hữu tỉ là đếm được.
1.4.14 Dùng công thức Fubini hai lần, chú ý điều kiện áp dụng.
1.4.15 Đặt khối vào một hình hộp và dùng công thức Fubini, tương tự chứng minh của 1.4.5.
1.4.18 Khối tròn xoay được xác định bởi bất đẳng thức y2 + z2 ≤ f (x)2, là một khối đơn giản theo chiều
trục y và chiều trục z.
1.4.19 Giả sử phương của mặt cắt là phương của một trục tọa độ. Trường hợp tổng quát có thể dùng một
phép xoay và dùng 1.5.29.
1.4.22 (b) Dùng ý ở bài 1.1.11.
1.5.14 Nửa trên của mặt e-líp là đồ thị của hàm z = f (x, y) =
√
(4− x2−2y2)/3 với (x, y) thuộc về hình e-líp
x2 +2y2 ≤ 4. Vì e-líp có diện tích và hàm f liên tục, nên hàm f khả tích, và đồ thị của f có thể tích
không trong R3. Tương tự nửa dưới của mặt cũng có thể tích không, do đó e-líp có thể tích không,
nên khối e-líp có thể tích.
1.5.16 Chú ý rằng miền D đối xứng qua trục Oy. Có thể có kết quả mà không cần tính trực tiếp tích phân.
Để giải thích chính xác có thể dùng phép đổi biến x 7→ −x.
1.5.24 Dùng bài 1.4.15. Dùng công thức đổi biến để tính diện tích mặt cắt theo diện tích mặt đáy.
1.5.33 Đặt A vào trong tập mở U. Mở rộng f thành F trên tập ϕ(U) và áp dụng công thức đổi biến cho F.
1.6.6 Đổi đơn vị giá sang triệu đồng/km2.
2.1.9 Dùng công thức Frénét. Giả sử với mọi s thì Dγ(s) ⊂ B(γ(s), 1k(s) ), với k(s) = |T ′(s)| > 0 là độ cong
của đường γ tại γ(s). Dùng bài 1.6.5. Có thể đọc thêm ở bài báo R. Osserman, Mathematics of the
Gateway Arc, Notices of the AMS, vol. 57, no. 2, 2010, p. 225.
2.2.14 Tính liên thông được thảo luận sâu hơn trong các tài liệu Tôpô, chẳng hạn [Vutop].
2.2.15 Xem kĩ thuật ở phần chứng minh của 2.1.3.
2.3.10 Dùng công thức Green cho miền không đơn giản.
2.3.16 Dùng bài tập 2.3.5.
2.3.18 Dùng tính liên thông của D và kĩ thuật ở bài tập 1.1.11.
2.3.20 Tham khảo bài tập 2.2.14. Trên tập con mở của Rn thì tính liên thông và tính liên thông đường là
trùng nhau, xem chẳng hạn [Vutop].
2.3.23 Dùng kĩ thuật ở bài tập 1.1.11.
2.4.16 Mặt nón cân là một mặt tròn xoay. Diện tích bằng piR
√
R2+ h2.
107
108 CHƯƠNG 2. GIẢI TÍCH VECTƠ
2.4.17 Dùng tính đối xứng. Tương tự bài 1.5.16.
2.7.1 Tương tự bài tập 2.3.23.
Tài liệu tham khảo
[Ang97] Đặng Đình Áng, Lý thuyết tích phân, Nhà Xuất Bản Giáo Dục, 1997. 42, 51
[Apo69] Tom M. Apostol, Calculus, vol. 2, John Wiley and Sons, 1969.
[Arn89] Vladimir I. Arnold,Mathematical methods of classical mechanics, 2nd ed., Springer,
1989. 105
[Buc78] Greighton Buck, Advanced calculus, 3rd ed., McGraw-Hill, 1978.
[Eva97] Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., AMS, 1997. 100, 105
[Fey64] Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Mathew Sands, The Feynman’s lectures in
Physics, vol. 2, Addison-Wesley, 1964. 98
[GT01] David Gilbarg and Neil S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Sec-
ond Order, Springer, 2001. 100
[Kap02] Wilfred Kaplan, Advanced calculus, 5th ed., Addison-Wesley, 2002.
[Kel29] Oliver Dimon Kellogg, Foundations of potential theory, Springer, 1929. 71
[Khu10] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Giải tích toán học, tập 2, Nhà Xuất Bản Đại học Sư
phạm Hà Nội, 2010.
[Lan97] Serge Lang, Undergraduate analysis, 2nd ed., Springer, 1997, a revision of Analysis
I, Addison-Wesley, 1968. 2, 10, 11, 15, 31, 37, 42, 43
[LDP02] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng, Giải tích các hàm nhiều biến, Nhà
Xuất Bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002.
[Mor00] Frank Morgan, Geometric measure theory: A beginner’s guide, Academic Press,
2000. 105
[MT03] Jerrold E. Marsden and Anthony J. Tromba, Vector calculus, Freeman, 2003.
[Mun91] James Munkres, Analysis on manifolds, Addison-Wesley, 1991. 37, 43, 105
[Mun00] James Munkres, Topology a first course, 2nd ed., Prentice-Hall, 2000. 83
[PTT02] Nguyễn Đình Phư, Nguyễn Công Tâm, Đinh Ngọc Thanh, Đặng Đức Trọng, Giáo
trình giải tích - hàm nhiều biến, Nhà Xuất Bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí
Minh, 2002.
[Rud76] Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1976. 2,
37, 51
[Rud86] Walter Rudin, Real and complex analysis, 3rd ed., McGraw Hill, 1986. 51
[Sja06] Reyer Sjamaar, Manifolds and differential forms, 2006, Cornell University. 72, 105
109
110 TÀI LIỆU THAM KHẢO
[Spi65] Michael Spivak, Calculus on manifolds, Addison-Wesley, 1965. 32, 37, 105
[Spi94] Michael Spivak, Calculus, 3rd ed., Publish or Perish, 1994. 43
[Ste12] James Stewart, Calculus: Early transcendentals, 7th ed., Brooks/Cole, 2012. 2, 37,
57
[VuSto] Huỳnh Quang Vũ, Công thức Stokes, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí
Minh, ∼hqvu/Stokes.pdf. 43, 100
[Vutop] Huỳnh Quang Vũ, Lecture notes on Topology, Ho Chi Minh City University of Sci-
ence, ∼hqvu/teaching/n.pdf. 107
[Zor04] Vladimir A. Zorich, Mathematical Analysis II, Springer, 2004.
Chỉ mục
Định lý cơ bản của tích phân đường, 62
độ đo Lebesgue, 50
độ đo không, 14
độ cong, 60
động năng, 63
đạo hàm theo hướng, 75
định lý hàm ngược, 32
định luật Faraday, 90
đường đi, 53
đóng, 53
đơn, 53
cùng định hướng, 57
chính qui, 57
liên tục, 53
trái định hướng, 57
vết, 53
đường chính qui từng khúc, 91
đường cong, 57
hướng tiếp tuyến, 58
đa tạp trơn, 100
bổ đề Poincaré, 71, 89, 104
công thức đổi biến, 32
công thức Divergence, 91
công thức Fubini, 24
công thức Gauss–Ostrogradsky, 91
công thức Green, 69, 73, 75, 95, 104
công thức Newton–Leibniz, 62
công thức Pappus, 49
công thức Stokes, 87, 100, 104
công thức tích phân từng phần, 74
curl, 86
dạng vi phân, 100
div, 73, 91
giá trị chính qui, 67
hầu như khắp nơi, 14
hình hộp, 6
con, 6
thể tích, 6
hình sao, 71
hàm đặc trưng, 19
hàm điều hòa, 75, 95
hàm đo được Lebesgue, 50
hàm Gamma, 49
hàm mật độ, 44
hàm thế, 62
hệ con săn mồi-con mồi, 76
khối ống, 60
khối đơn giản với biên trơn từng mảnh, 91
khối nón, 42
khả tích, 8
khả vi liên tục, 31
khả vi từng khúc, 54
mặt, 77
định hướng, 80
đơn, 80
biên, 80
chính qui, 80
hướng lên, 80
vết, 77
ma trận Jacobi, 31
miền, 18
miền đơn giản, 25, 27
phép đổi biến, 32
phép chia, 6
khoảng con, 6
mịn hơn, 7
phân hoạch, 6
tích phân, 8
tích phân đường
độc lập với đường đi, 62
loại hai, 55
loại một, 54
tích phân lặp, 23
tích phân Lebesgue, 51
tích phân mặt
loại hai, 79
loại một, 78
tích phân từng phần, 104
tập mức, 67
tọa độ cầu, 36
111
112 CHỈ MỤC
tọa độ trụ, 35
tổng dưới, 7
tổng Riemann, 6
tổng trên, 7
thế năng, 63
thông lượng, 73
thể tích, 18
thể tích không, 11
toán tử Laplace, 75
trơn, 31
đường đi, 53
trường
bảo toàn, 62
gradient, 62
vectơ gradient, 31
vectơ pháp tuyến ngoài, 72
vi đồng phôi, 32
đảo ngược định hướng, 33, 79
bảo toàn định hướng, 33, 56, 79
xấp xỉ dưới, 7
xấp xỉ trên, 7
CHỈ MỤC 113