Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 5: Phép biến đổi Fourier liên tục - Đỗ Tú Anh

1Tín Hiệu và Hệ Thống
Bài 5: Phép biến đổi Fourier liên tục
Đỗ Tú Anh
tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn
Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
2Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
3
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Tổ chức
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
4Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.2 Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier
3.3.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
3.3.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục
3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
5Chuỗi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
ƒ Một tín hiệu liên tục tuần hoàn có thể được biểu diễn bằng chuỗi
Fourier của nó
ƒ Các hệ số chuỗi Fourier tạo thành phổ, hay mô tả miền tần số, của
tín hiệu liên tục
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
6EE3000-Tín hiệu và hệ thống
Ví dụ: Dãy xung chữ nhật
Với k = 0
Với k ≠ 0
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
7Từ chuỗi Fourier đến phép biến đổi F
ƒ Tín hiệu tuần hoànÅÆ Chuỗi Fourier
ƒ Tín hiệu không tuần hoànÅÆ Biến đổi Fourier
x(t)
-T1 T1
1
0
t
ƒ Xét xung chữ nhật đơn có độ rộng 2T1
x(t) là trường hợp giới hạn của dãy
xung chữ nhật khi T →∞
0kƒ Đặt ω ω= , Tkhi ω→∞ vô cùng nhỏ,
phổ của tín hiệu tiến tới một hàm của biến liên tục ω
EE3000-Tín hiệu và hệ thống 0ω
0kω
ω
ka
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
8Từ chuỗi Fourier đến phép biến đổi F
ƒ Định nghĩa hàm phổ X(jω) từ quan hệ
0( ) kX jk Taω = k, ω0 tùy ý
ƒ Đặt xT(t) là dãy xung chữ nhật thì chuỗi Fourier của nó được biểu
diễn thành
0
0
0
0 0
1( ) ( )
1 ( )
2
jk
T
k
jk
k
x t X jk e
T
X jk e
ω
ω
ω
ω ωπ
∞
=−∞
∞
=−∞
=
=
∑
∑
( ) ( )Tx t x t→,T →∞ƒ Khi
1( ) ( ) 
2
( ) ( )
j t
j t
x t X j e
X j x t e dt
ω
ω
ωπ
ω
∞
−∞
∞ −
−∞
=
=
∫
∫
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
9Ví dụ 1: Xung chữ nhật đơn
ƒ Xét xung chữ nhật không tuần hoàn đặt tại không
ƒ Biến đổi Fourier là
Chú ý, các giá trị là thực
1T
π
x(t)
-T1 T1
1
0
t
ƒ Nguyên lý bất định
Heisenberg
Khoảng thời gian
tồn tại tín hiệu tỷ lệ
nghịch với băng
thông
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
10
Định nghĩa phép biến đổi Fourier
ƒ Tín hiệu x(t) và biến đổi Fourier X(jω) của nó có quan hệ với nhau
thông qua phương trình tổng hợp và phương trình phân tích
Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier ngược
ƒ Ký hiệu cặp biến đổi Fourier
ƒ Tương tự, các điều kiện hội tụ Dirichlet cũng tồn tại đối với biến
đổi Fourier, giống như ở chuỗi Fourier ( ( , ))T = −∞ ∞
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
11
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.2 Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier
3.3.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
3.3.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục
3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
12
Điều kiện hội tụ - Biến đổi F
Điều kiện 1. x(t) khả tích tuyệt đối
Điều kiện 2. Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t) 
có hữu hạn các cực đại và cực tiểu
Điều kiện 3. Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có
hữu hạn các điểm không liên tục, với các giá
trị không liên tục là hữu hạn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
13
Ví dụ 2: Hàm mũ tắt dần
ƒ Xét tín hiệu (không tuần hoàn)
ƒ Do đó biến đổi Fourier là
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
14
Ví dụ 3: Tín hiệu xung đơn vị
ƒ Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị được tính toán như sau
ƒ Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị là hằng số với mọi ω
ƒ Nguyên lý bất định Heisenberg vẫn được thỏa mãn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
15
Miền thời gian và miền tần số
ƒ Phân tích Fourier (Chuỗi hoặc Biến đổi) là phương pháp xác định
“bản chất” tần số của một tín hiệu cho trước, có nghĩa là, chuyển
từ miền thời gian sang miền tần số
ƒ Luôn có thể chuyển ngược lại từ miền tần số sang miền thời
gian, hoặc bằng cách lấy tổng các thành phần của chuỗi Fourier 
hoặc bằng biến đổi Fourier ngược
ƒ Cho trước tín hiệu x(t) trong miền thời gian, các hệ số chuỗi Fourier 
của nó (ak) hoặc biến đổi Fourier của nó (X(jω)) đgl phổ tần số
ƒ Nếu ak hoặc X(jω) là số phức, phổ tần số được quan sát thông
qua các đồ thị biên độ (|ak| hoặc |X(jω)|) và đồ thị pha
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
16
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.2 Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier
3.3.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
3.3.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục
3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
17
PBĐ Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
ƒ Với mọi t, x(t+T) = x(t)
ƒ Tín hiệu tuần hoàn được biểu
diễn bằng chuỗi Fourier
ƒ ak tương ứng với thành phần của x(t) có tần số bằng một số nguyên
lần tần số cơ bản 1/T
ƒ Tín hiệu tuần hoàn vi phạm điều kiện Dirichlet 1 để cho pbđ Fourier 
tồn tại
ƒ Tuy nhiên, hạn chế này sẽ được giải quyết nếu có mặt các hàm xung
trong pbđ Fourier
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
18
PBĐ Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
ƒ Xét một pbđ Fourier là một xung đơn diện tích 2π đặt tại tần số
ƒ Tín hiệu x(t) tương ứng là
là tín hiệu sin phức tuần hoàn với chu kỳ 2π/ω0
ƒ Tổng quát hơn, xét dãy xung
ƒ Tín hiệu x(t) tương ứng là
ƒ Phép biến đổi Fourier của một tín hiệu tuần hoàn là một dãy các
xung đặt tại các tần số hài với độ lớn 2πak
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
19
Ví dụ 1: Dãy xung chữ nhật
ƒ Xét tín hiệu tuần hoàn x(t) sau:
ƒ Chúng ta đã biết các hệ số chuỗi Fourier của x(t) là
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
20
Ví dụ 1: Dãy xung chữ nhật
ƒ Do đó phép biến đổi Fourier của x(t) là
0 11
0 1 0
0 1
0
sin( )4( ) ( ) 2 ( )
k
k
k TTX j T k
T k T
ωπω δ ω ω δ ω ωω
∞
=−∞≠
= − −∑
ƒ Đồ thj của X(j ω) theo ω
0 0ω 02ω02ω− 0ω− ω
14 T Tπ
( )X jω
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
21
Ví dụ 2: Dãy xung đều
ƒ Dãy xung đều rất hữu ích trong việc phân tích các hệ thống (các bộ
trích mẫu, tổng hợp tiếng nói, ):
( ) ( )
k
x t t kTδ∞
=−∞
= −∑
ƒ Các hệ số chuỗi Fourier là:
t0 T 2T-T-2T
x(t)
1
0
2
2
1 1( )
T jk t
k T
a t e dt
T T
ωδ −−= =∫ với mọi k
ƒ Do đó biến đổi Fourier của x(t) là
0 0( ) ( )
k
X j kω ω δ ω ω∞
=−∞
= −∑ 
( )X jω
ω
0ω0ω− 02ω02ω− 0
0ω
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
22
Một số hàm đặc biệt
ƒ Hàm cửa sổ
ƒ Hàm tam giác
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
23
Một số hàm đặc biệt
sin sinc( ) xx
x
= là hàm đóng vai trò quan trọng trong xử lý tín hiệu, còn đgl hàm lọc hay hàm nội suy
ƒ sinc(x) là hàm chẵn của biến x
ƒ sinc(x) =0 khi sin x =0 ngoại trừ tại x =0, tức là khi , 2 , 3 ,x π π π= ± ± ± 
ƒ Sử dụng quy tắc L’Hopital, ta có sinc(0) =1
ƒ sinc(x) là dao động theo hàm sin với chu kỳ 2π, có biên độ giảm dần
theo hàm 1/x
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
24
Bảng biến đổi Fourier
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
25
Bảng biến đổi Fourier
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
26
Matlab
ƒ Để tìm biến đổi Fourier cho tín hiệu liên tục, chúng ta gõ như sau
ƒ Cũng chú ý rằng, để tìm biến đổi Fourier ngược, dùng hàm ifourier()
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
27
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép
biến đổi Fourier
3.1 Giới thiệu chung
3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier
3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục
3.3.2 Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier
3.3.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn
3.3.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier liên tục
3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
28
Tính chất tuyến tính
ƒ Nếu
và
thì
ƒ Chứng minh từ định nghĩa của biến đổi Fourier (vì toán tử tích phân
là tuyến tính)
ƒ Được mở rộng cho tổ hợp của một số bất kỳ các tín hiệu
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
29
Tính chất dịch thời gian
ƒ Nếu
thì
ƒ Chứng minh
Thay thế t bởi t – t0
Do đó
ƒ Một tín hiệu bị dịch trong miền thời gian:
– Không thay đổi biên độ của ảnh Fourier
– Dịch pha của ảnh Fourier đi bởi –ωt0 (dịch pha tuyến tính)
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
30
Tính chất dịch tần số
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
31
Tính chất co giãn thời gian/tần số
( ) ( )
1( ) ( )
x t X j
jx at X
a a
ω
ω
↔
↔ a là hằng số thực
ƒ |a|>1: nén trục thời gian, giãn trục tần số
|a|>1: giãn trục thời gian, nén trục tần số
ƒ Mở rộng trong miền thời gian tỷ lệ nghịch với mở rộng trong miền
tần số (còn gọi là băng thông)
x(t) rộng hơn ↔ phổ hẹp hơn
x(t) hẹp hơn ↔ phổ rộng hơn
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
32
Ví du: Co giãn thời gian/tần số
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
33
Đạo hàm và tích phân
ƒ Đạo hàm hai vế của phương trình tổng hợp
ƒ Do đó
ƒ Quan trọng: Đạo hàm trong miền thời gian được thay thế bằng phép
nhân trong miền tần số
ƒ Tương tự với tích phân
Giá trị trung bình hay thành phần một chiều (DC)
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
34
Ví dụ: Tín hiệu bước nhảy
ƒ Tìm ảnh Fourier của x(t) = u(t) 
ƒ Đã biết
và chú ý rằng
ƒ Sừ dụng tích chất tích phân
1( ) ( )u t
j
πδ ωω↔ +
( ) ( )
t
u t dδ τ τ−∞= ∫
( ) ( ) 1t jδ ω↔ ∆ =
ƒ Ngược lại chúng ta cũng có thể áp dụng tính chất đạo hàm
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
35
Tích chập
ƒ Hoán đổi thứ tự của phép tích phân
ƒ Từ tích chất dịch thời gian, 
thành phần trong ngoặc là
( ),je H jωτ ω− do đó
ƒ Ảnh Fourier của y(t) là
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
36
Tích chập
ƒ Ảnh Fourier của tích chập: 
ƒ Tích chập trong miền thời gian tương ứng với tích đại số trong miền
tần số
ƒ Chú ý 
ƒ Ứng dụng: Tính đáp ứng của hệ LTI
1. Tính ảnh Fourier của x(t) và h(t)
2. Nhân
3. Tìm phép biến đổi Fourier ngược của
X(jω) với H(jω) để có Y(jω)
Y(jω)
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
37
Ví dụ: Đáp ứng hệ LTI
ƒ Xét hệ LTI với đáp ứng xung
ƒ có tín hiệu vào
1. (BĐ Fourier) Chuyển những tín hiệu này sang miền tần số
3. (BĐ Fourier ngược) Do đó đáp ứng trong miền thời gian là
2. (Nhân) Đáp ứng trong miền tần số là
để chuyển sang miền thời gian, biểu diễn thành tổng các phân thức đơn giản
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
38
Tính chất nhân
ƒ Do tính đối xứng của phép biến đổi Fourier 
nên nếu
thì điều ngược
lại cúng đúng
Định nghĩa tích
chập theo ω
Một hệ quả của tính chất đối ngẫu
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
39
Tính chất đối xứng
ƒ Ảnh Fourier của tín hiệu phức liên hiệp x*(t) là
{ }( ) ( )
( ) ( )
j t
j t
F x t x t e dt
x t e dt X j
ω
ω ω
∞∗ ∗ −
−∞
∗∞ − ∗
−∞
=
⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫
ƒ Nếu x(t) là tín hiệu thực *( ) ( )X j X jω ω− =
Hàm lẻ
{ } { } ( ) Re ( ) Im ( ) X j X j X jω ω ω= + ( ) ( ) ( ) jX j X j e θ ωω ω=
ƒ Ảnh Fourier của tín hiệu thực là hàm đối xứng liên hợp theo ω
Hàm chẵn Hàm chẵnHàm lẻ
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
40
Ví dụ: Hàm mũ tắt dần
ƒ Tín hiệu (không tuần hoàn)
có biến đổi Fourier là
Hàm chẵn
Hàm lẻ
 arctg
2 2
1( )
1 j a
X j
a j
e
a
ω
ω ω
ω
⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠
= +
= +
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
41
Quan hệ Parseval
ƒ Sử dụng biến đổi Fourier để tính năng lượng của tín hiệu
2( )xE x t dt
∞
−∞= ∫
ƒ Đặt 2( ) ( ) ,g t x t= với ( ) ( ).g t G jω↔ Ta có (0)xE G=
ƒ Áp dụng tính chất nhân và liên hợp
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
g t x t x t G j X j X jω ω ωπ
∗ ∗= ↔ = ∗ −
ƒ Biểu diễn tích chập với ω = 0
21 1(0) ( ) ( ) | ( ) |
2 2x
E G X j X j d X j dλ λ λ λ λπ π
∞ ∞∗
−∞ −∞= = =∫ ∫
2 21 ( ) | ( ) | 
2
x t dt X j dω ωπ
∞ ∞
−∞ −∞=∫ ∫
ƒ Do đó
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
42
Các tính chất của BĐ Fourier: Tóm tắt
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
43
Ứng dụng 1: Điều chế biên độ
ƒ Điều chế: “Nhúng” một tín hiệu mang thông tin vào một tín hiệu khác, 
ví dụ: điều biên (AM), điều tần (FM) 
1 1( ) ( ) ( )
2 2
c cj t j ty t x t e x t eω ω−= +
ƒ Ảnh Fourier của tín hiệu y(t) 
( ) ( )cos( ) cy t x t tω=
Tín hiệu điều chế Tín hiệu được
điều chế
Tín hiệu mang
ƒ Điều biên: Biên độ của tín hiệu mang có dạng của tín hiệu cần truyền
tải
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
44
Ứng dụng 1: Điều chế biên độ
ƒ Phổ tần số của x(t) được dịch đi và có tâm đặt tại vàωc -ωc
ƒ Điều biên được sử dụng để chở một tín hiệu x(t) từ vị trí này đến vị
trí khác khi x(t) khôg thích hợp để truyền trên kênh có sẵn nhưng tín
hiệu điều chế y(t) có thể truyền đi được.
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
45
Ứng dụng 1: Điều chế biên độ
ƒ Giải điều chế: Tách tín hiệu mang thông tin từ tín hiệu điều chế
ƒ Nhân y(t) với tín hiệu mang
ƒ Ảnh Fourier của z(t)
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
46
Ứng dụng 2: Lấy mẫu
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
ƒ Là thao tác quan trọng trong việc biến đổi một tín hiệu liên tục
thành tín hiệu gián đoạn
ƒ Nhân x(t) với dãy xung đều
chu kỳ
lấy mẫu
để có
ƒ Ảnh Fourier của y(t)
2
s T
πω =
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
47
Ứng dụng 2: Lấy mẫu
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
48
Ứng dụng 2: Lấy mẫu
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
49
Ứng dụng 2: Lấy mẫu
trùng phổ
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
50
Ứng dụng 2: Lấy mẫu
ƒ Y(jω) chứa đựng các phiên bản của X(jω) đặt tại các tần số là số
nguyên lần của tần số lấy mẫu ωs
ƒ Nếu 2s bω ω> Không có hiện tượng trùng phổ
Tín hiệu x(t) có thể được khôi phục từ y(t)
Định lý lấy mẫu Shannon
ƒ Nếu 2s bω ω≤ Phải xử lý tín hiệu x(t) để có băng thông phù
hợp trước khi lấy mẫu tín hiệu
EE3000-Tín hiệu và hệ thống
CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt