Đề thi kiểm tra cuối kỳ môn Cơ sở điều khiển tự động

 1 
 Đại học Bách Khoa TP.HCM ĐỀ THI KIỂM TRA CUỐI KỲ 
 Khoa Điện – Điện Tử Môn: Cơ sở điều khiển tự động 
 Bộ môn ĐKTĐ Ngày thi: 07.01.2005 
 ---o0o--- Thời gian làm bài: 90 phút 
 (Sinh viên được phép xem tài liệu) 
Bài 1: (2 điểm) Cho hệ thống điều khiển hồi tiếp âm đơn vị có hàm truyền hở là )(sG . Biết rằng 
đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị có dạng như hình 1. 
1. Dựa vào đồ thị, hãy xác định độ vọt lố, thời gian quá độ (tiêu chuẩn 5%) và sai số xác lập 
của hệ thống. (0.5 điểm) 
2. Xác định hàm truyền hở )(sG , biết rằng )(sG có dạng : 
bass
K
sG
++
=
2
)( . (1.5 điểm) 
Bài 2: (2.0 điểm) Cho hệ thống điều khiển hồi tiếp trạng thái có sơ đồ khối như hình 2õ. Biết rằng 
các ma trận trạng thái của đối tượng điều khiển là: 





 −−
=
01
34
A 





=
0
1
B [ ]10=D 
1. Hãy xác định độ lợi hồi tiếp trạng thái K sao cho hệ kín có cực kép tại −4. (1.5 điểm) 
2. Tính độ vọt lố của hệ thống kín với giá trị K vừa tìm được. (0.5 điểm) 
Xem tiếp trang 2 
 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 
0 
0.2 
0.4 
0.6 
0.8 
1 
Đáp ứng nấc 
Thời gian (giây) 
B
iê
n
 đ
ộ
0.84 
0.76 
Hình 1 
u(t) x(t) r(t) 
+ − 
c(t) 
K 
)()()( tutt BAxx +=
 D 
Hình 2 
 2 
Bài 3: (3.0 điểm) Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ 
khối ở hình 3, đặc tính tần số của đối tượng )(sG 
(đường liền nét) và bộ điều khiển )(sGC (đường đứt 
nét) cho ở trang 3 của đề thi. 
 1. Xác định hàm truyền )(sG và )(sGC (1.0 điểm) 
 2. Vẽ biểu đồ Bode của hệ thống hở sau khi hiệu chỉnh. Xác định tần số cắt biên, tần số cắt pha, 
độ dự trữ biên và độ dự trữ pha của hệ thống sau khi hiệu chỉnh. (1.0 điểm) 
 3. Khâu hiệu chỉnh )(sGC đang sử dụng tại có khuyết điểm là làm giảm băng thông của hệ 
thống, do đó làm chậm đáp ứng quá độ. Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha 
1
1
)(
+
+
=
Ts
Ts
sGC
α
( )1>α để đạt được yêu cầu độ dự trữ pha và độ dự trữ biên như đã tính ở câu 2, đồng thời mở 
rộng băng thông để tăng tốc độ đáp ứng của hệ thống. (1.0 điểm) 
Bài 4: (3.0 điểm) Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hình 4: 
Biết rằng 
2
1
)(
s
sG = , )1()( 1−−+= z
T
K
KzG DPC , 1=PK , 5=DK , sec1.0=T . 
1. Viết phương trình sai phân để thực thi bộ điều khiển )(zGC trên máy tính (0.5 điểm). 
2. Xác định hàm truyền của hệ thống kín (0.5 điểm). 
3. Đánh giá tính ổn định của hệ kín dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz mở rộng hoặc tiêu chuẩn 
Jury (1.0 điểm) 
4. Tính đáp ứng c(k) (k=1,..,7), độ vọt lố, sai số xác lập khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị 
 (1.0 điểm). 
Chú ý: Sinh viên nộp lại biểu đồ Bode kèm theo bài làm 
Hết 
Họ và tên SV: Mã số SV: 
GC(s) 
R(s) C(s) 
+ − 
G(s) 
Hình 3 
e(k) C(s) 
+ − G(s) 
T 
s
e Ts−−1
 GC(z) 
u(k) R(s) 
Hình 4 
 3 
-120 
-100 
-80 
-60 
-40 
-20 
0 
20 
40 
60 
B
iê
n
 đ
ộ
 (
d
B
)
10 
-3 
10 
-2 
10 
-1 
10 
0 
10 
1 
10 
2 
10 
3 
10 
4 
-180 
-135 
-90 
-45 
0 
45 
90 
P
h
a
 (
đ
ộ
)
Biểu đồ Bode dùng trong câu 3.1 và 3.2 
Tần số (rad/sec) 
 -20dB/dec 
 -40dB/dec
 -20dB/dec 
 Đối tượng 
 Bộ điều khiển 
-120 
-100 
-80 
-60 
-40 
-20 
0 
20 
40 
60 
B
iê
n
 đ
ộ
 (
d
B
)
10 
-3 
10 
-2 
10 
-1 
10 
0 
10 
1 
10 
2 
10 
3 
10 
4 
-180 
-135 
-90 
-45 
0 
45 
90 
P
h
a
 (
đ
ộ
)
Biểu đồ Bode dùng trong câu 3.3 
Tần số (rad/sec) 
 -20dB/dec
 -40dB/dec
 4 
Đáp án 
Bài 1: 
1. Độ vọt lố: %25%100.
8.0
8.01
%100.max =
−
=
−
=
xl
xl
c
cc
POT 
 Thời gian quá độ là 5.1=qdt giây. 
 Sai số xác lập là 2.08.01 =−=xle . 
2. Hàm truyền kín của hệ thống: 
Kbass
K
sG
sG
sGk +++
=
+
=
2)(1
)(
)( (1) 
 Mẫu số của hệ kín có dạng: 22 2 nnss ωξω ++ , trong đó: 
 25.0
1
exp
2
=








−
−
=
ξ
ξpi
POT ⇒ 4.0=ξ 
 5.1
3
==
n
qdt ξω
 ⇒ 5=nω 
 Do đó mẫu số hàm truyền kín là: 2542 ++ ss (2) 
 (1) & (2) suy ra: 
 4=a 
 25=+ Kb 
 Hệ số vị trí: 
b
K
sGK
s
P == →
)(lim
0
 Sai số xác lập: 2.0
1
1
=
+
=
+
=
Kb
b
K
e
P
xl 
 ⇒ 5252.0)(2.0 =×=+= Kbb 
 2025 =−= bK 
 Vậy: 
54
20
)(
2 ++
=
ss
sG 
Bài 2: 
 1. Phương trình đặc trưng của hệ kín: 
 0)det( =+− BKAIs 
⇔ [ ] 0
0
1
01
34
10
01
det 21 =











+




 −−
−





kks ⇔ 0
1
34
det
21 =











−
+++
s
kks
⇔ 0)3()4( 21 =++++ kkss ⇔ 0)3()4( 21
2 =++++ ksks (1) 
 Phương trình đặc trưng mong muốn: 
 0)4( 2 =+s ⇔ 01682 =++ ss (2) 
(1) & (2) ⇒ 



=+
=+
163
84
2
1
k
k
 ⇒ 



=
=
13
4
2
1
k
k
 2. Hệ kín không có vọt lố vì cặp cực của hệ kín là cặp cực thực. POT = 0%. 
 5 
Bài 3: 
 1. Theo biểu đồ Bode, hàm truyền )(sG có dạng: 
)1)(1(
)(
21 ++
=
sTsT
K
sG ⇒ 
)11.0)(1(
100
)(
++
=
ss
sG 
 Do: 40lg20 =K ⇒ 100=K 
 1
1
1
=
T
 ⇒ 11 =T 
 10
1
2
=
T
 ⇒ 1.01 =T 
 Tương tự : hàm truyền )(sGC có dạng: 
)1(
)1(
)(
+
+
=
Ts
Ts
KsG CC
α
 ( 1<α ) ⇒ 
)120(
)12(
)(
+
+
=
s
s
sGC 
 Do 0lg20 =CK ⇒ 1=CK 
 5.0
1
=
Tα
 ⇒ 2=Tα 
 05.0
1
=
T
 ⇒ 20=T 
 2. Đặc tính tần số )()( sGsGC : xem hình vẽ. 
 Theo hình vẽ ta có: tần số cắt biên là sec/7radC =ω , tần số cắt pha là ∞=−piω , độ dự 
trữ biên là ∞=GM , độ dự trữ pha là 060=ΦM (giá trị khác xấp xỉ 060 cũng chấp nhận, 
miễn xác định đúng MΦ trên đồ thị) 
-120 
-100 
-80 
-60 
-40 
-20 
0 
20 
40 
60 
B
iê
n
 đ
ộ
 (
d
B
)
10 
-3 
10 
-2 
10 
-1 
10 
0 
10 
1 
10 
2 
10 
3 
10 
4 
-180 
-135 
-90 
-45 
0 
45 
90 
P
h
a
 (
đ
ộ
)
Biểu đồ Bode dùng trong câu 3.1 và 3.2 
Tần số (rad/sec) 
 -20dB/dec
 -40dB/dec 
 -20dB/dec
 Đối tượng 
 Bộ điều khiển 
 6 
 3. Thiết kế lại khâu hiệu chỉnh 
1
1
)(
+
+
=
Ts
Ts
sGC
α
 (α>1) 
- Tần số cắt biên trước khi hiệu chỉnh: sec/30radC =ω . 
- Độ dự trữ pha trước khi hiệu chỉnh: 020=ΦM (theo đồ thị) 
- Độ dự trữ pha mong muốn 0* 60=ΦM 
- Góc pha cần bù: ]205[2060 0*max ÷+−=+Φ−Φ= MMϕ . 
 ⇒ 45max =ϕ 
 ⇒ 8.5
sin1
sin1
max
max =
−
+
=
ϕ
ϕ
α 
- Tần số cắt mới xác định từ điều kiện: 
 =−=−=′ 8.5lg10lg10)( αωCL 7.6dB. 
 Từ đồ thị ta được sec/50radC ≈′ω 
- Xác định T: 
α
ω
T
C
1
=′ ⇒ 008.0
8.550
11
==
′
=
αωC
T 
 ⇒ 046.0008.08.5 =×=Tα 
Vậy: 
1008.0
1046.0
)(
+
+
=
s
s
sGC 
-120 
-100 
-80 
-60 
-40 
-20 
0 
20 
40 
60 
B
iê
n
 đ
ộ
 (
d
B
)
10 
-3 
10 
-2 
10 
-1 
10 
0 
10 
1 
10 
2 
10 
3 
10 
4 
-180 
-135 
-90 
-45 
0 
45 
90 
P
h
a
 (
đ
ộ
)
Biểu đồ Bode dùng trong câu 3.3 
Tần số (rad/sec) 
 -20dB/dec 
 -40dB/dec
 7 
Bài 4: 
1. Ta có: )1(
)(
)(
)( 1−−+== z
T
K
K
zE
zU
zG DPC 
⇒ )()()()1()( 11 zEz
T
K
zE
T
K
KzEz
T
K
KzU DDP
D
P
−− −





+=



−+= 
⇒ )1()()( −−





+= ke
T
K
ke
T
K
Kku DDP 
⇒ )1(50)(51)( −−= kekeku 
2. Hàm truyền kín: 
)()(1
)()(
)(
zGzG
zGzG
zG
C
C
k +
= 
trong đó: 
22
2
3
2
3
1
)1(
)1(005.0
)1(2
)1(
)1(2
)1(
.
11
).1()(
1
)(
−
+
=
−
+
=
−
+−
=





−=





 −
= −
−
z
z
z
zT
z
zzT
z
z
s
ZzsG
s
e
ZzG
Ts
z
z
zz
T
K
KzG DPC
5051
5051)1()( 11
−
=−=−+= −− 
Do đó: 
)1)(5051(005.0)1(
)1)(5051(005.0
)1(
)1(005.05051
1
)1(
)1(005.05051
)(
2
2
2
+−+−
+−
=
−
+
×
−
+
−
+
×
−
=
zzzz
zz
z
z
z
z
z
z
z
z
zGk 
⇒ 
25.0005.1745.1
25.0005.0255.0
)(
23
2
−+−
−+
=
zzz
zz
zGk 
3. Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Jury 
Bảng Jury 
Hàng 
1 
1 -1.745 1.005 -0.25 
Hàng 
2 
-0.25 1.005 -1.745 1 
Hàng 
3 
0625.1
125.0
25.01
1
1
=
−
−
 494.1
745.125.0
005.11
1
1
−=
−−
 569.0
005.125.0
745.11
1
1
=
−
−
Hàng 
4 
0.569 -1.494 1.0625 
Hàng 
5 
758.0
0625.1569.0
569.00625.1
0625.1
1
= 694.0
494.1569.0
494.10625.1
0625.1
1
−=
−
−
Hàng 
6 
-0.694 0.758 
Hàng 
7 
123.0
758.0694.0
694.0758.0
758.0
1
=
−
−
Do các phần tử ở hàng lẻ, cột 1 bảng Jury đều dương nên hệ thống ổn định 
 8 
Cách 2: Dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz mở rộng 
 Phương trình đặc trưng theo biến z: 
025.0005.1745.1 23 =−+− zzz (1) 
 Đổi biến 
1
1
−
+
=
w
w
z , ta được: 
 025.0
1
1
005.1
1
1
745.1
1
1
23
=−





−
+
+





−
+
−





−
+
w
w
w
w
w
w
⇔ ( ) ( ) 0)1(25.0)1)(1(005.1)1(1745.11 3223 =−−−++−+−+ wwwwww 
⇔ 0499.201.0 23 =+++ www (2) 
Tiêu chuẩn Routh: 
 Bảng Routh: 
s3 0.01 2.99 
s2 1 4 
s1 2.99-0.01×4=2.95 0 
s0 4 
 Do tất cả các phần tử cột 1 bảng Routh đều dương nên hệ thống ổn định 
hoặc 
Tiêu chuẩn Hurwitz: 
 Do các hệ số của (2) đều dương, đồng thời 095.2401.099.213021 >=×−×=− aaaa 
nên theo tiêu chuẩn Hurwitz ta kết luận hệ thống ổn định. 
Cách 3: Dùng máy tính số giải trực tiếp nghiệm của phương trình (1): 9796.01 =z , 
3298.03827.03,2 jz ±= . Do cả 3 nghiệm đều nằm trong vòng tròn đơn vị nên hệ thống ổn 
định. (Do đề bài yêu cầu phải xét ổn định dùng tiêu chuẩn Jury hoặc Routh-Hurwitz mở 
rộng nên sinh viên giải theo cách này chỉ được 0.5 điểm nếu kết luận đúng) 
 4. Tính đáp ứng của hệ thống 
 )(
25.0005.1745.1
25.0005.0255.0
)()()(
23
2
zR
zzz
zz
zGzRzC k −+−
−+
== 
 )(
25.0005.1745.11
25.0005.0255.0
)(
321
321
zR
zz
zzz
zC
−−−
−−−
−+−
−+
= 
⇔ )()25.0005.0255.0()()25.0005.1745.11( 321321 zRzzzzCzz −−−−−− −+=−+− 
⇔ )3(25.0)2(005.0)1(255.0)3(25.0)2(005.1)1(745.1)( −−−+−+−+−−−= krkrkrkckckckc 
 Thay điều kiện đầu bằng 0, ,1)( =kr 0≥∀k (hàm nấc đơn vị) ta được: 
 c(k)= {0; 0.2550; 0.7050; 0.9839; 1.0822; 1.0858; 1.0631;} 
 1
1
1
25.0005.1745.11
25.0005.0255.0
)1(lim)()1(lim
1321
321
1
1
1
1
=
−−+−
−+
−=−=
−−−−
−−−
−
→
−
→ zzz
zzz
zzCzc
zz
xl 
 Độ vọt lố: %5.8%100
1
1085.1
%100max =
−
=
−
=
xl
xl
c
cc
POT 
 Sai số xác lập: 011 =−=−= xlxlxl cre