Bài giảng Toán cao cấp - Bài 3: Phép tính tích phân

v1.0018112205
BÀI 3
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
1
v1.0018112205
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG
Thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất 
Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại hàng hóa theo giá P cho bởi Qs
= Qs(P) và Qd = Qd(P). Khi đó tìm giá P theo lượng cung, cầu ta được các
hàm cung ngược P = Ps(Qs) và hàm cầu ngược P = Pd(Qd).
Giải phương trình cân bằng Qs = Qd ta xác định được điểm cân bằng (P0,
Q0). Khi đó thặng dư của người tiêu dùng CS (Consumers’ Surplus) và
thặng dư của nhà sản xuất PS (Producers’ Surplus) được xác định bởi các
tích phân xác định theo công thức dưới đây:
Ví dụ: Biết hàm cung, cầu của một loại hàng hóa cho bởi
Hãy xác định thặng dư của người tiêu dùng và nhà sản xuất đối với hàng
hóa đó.
2
0 0
0 0 0 0
0 0
Q Q
d d d s s sCS P (Q )dQ P Q ; PS P Q P (Q )dQ 
1 113s dQ P ; Q P 
v1.0018112205
MỤC TIÊU BÀI HỌC
• Nắm được các khái niệm về tích phân bất định, tích phân xác định;
• Làm được bài tập về tích phân bất định, tích phân xác định;
• Áp dụng phần mềm Maple để tính tích phân.
3
v1.0018112205
CẤU TRÚC NỘI DUNG
4
3.1 Tích phân bất định
Tích phân xác định3.2
v1.0018112205
3.1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
5
3.1.1 Khái niệm tính tích phân bất định
3.1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định
3.1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ
3.1.4 Tích phân hàm lượng giác
3.1.5 Tích phân hàm chứa căn thức
v1.0018112205
3.1.1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
a. Nguyên hàm
Đặt vấn đề:
• Trước đây ta đã biết tìm đạo hàm của một hàm số đã cho. Bây giờ ta xét bài toán ngược lại: Biết đạo hàm
của F(x) là f(x), hãy tìm lại hàm số nguyên thủy F(x).
• Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng D nếu:
F’(x) = f(x), x D hay dF(x) = f(x)dx.
• Ví dụ: F(x) = x – cosx là nguyên hàm của f(x) = 1 + sinx, x ℝ vì (x – cosx)’ = 1 + sinx
Nhận xét: x – cosx + 2 hay x – cosx + C (C là hằng số) đều là nguyên hàm của hàm số
f(x) = 1 + sinx, x ℝ
6
v1.0018112205
3.1.1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (tiếp theo)
b. Tích phân bất định
• Bổ đề: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì F(x) + C, C là hằng số, cũng là nguyên hàm của
hàm f(x) và mọi nguyên hàm của hàm số f(x) đều có dạng F(x) + C.
• Định nghĩa: Tích phân bất định của hàm số f(x) là họ các nguyên hàm F(x) + C, ký hiệu là
Ví dụ:
Nhận xét:
7
 f(x)dx
 f(x)dx F(x) C
2x 2x1(1 sinx)dx x cosx C e dx e C
2
1. f(x)dx ' f(x) hay d f(x)dx f(x)dx
2. F'(x)dx F(x) C
v1.0018112205
3.1.1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (tiếp theo)
c. Các tính chất cơ bản của tích phân bất định
1. (k là hằng số).
2. .
3. Nếu thì trong đó u = u(x) là một hàm số.
Ví dụ: Với u = x2 + 1
8
 kf(x)dx k f(x)dx
 f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx
 f(x)dx F(x) C f(u)du F(u) C
2 2 2
2 2
2xcos(x 1)dx cos(x 1)d(x 1) cosudu sinu C
2xcos(x 1)dx sin(x 1) C
v1.0018112205
3.1.1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (tiếp theo)
d. Các công thức tích phân cơ bản:
9
1
2
x
x dx C,( 1)
1
sinxdx cosx C
dx
tanx C
cos x
 2
dx
ln x C
x
cos xdx sin x C
dx
cot x C
sin x
v1.0018112205
3.1.1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (tiếp theo)
10
x
x
2 2
2 2
a
a dx C,(a 0,a 1)
lna
dx 1 x
arctan C
a ax a
dx 1 a x
ln C
2a a xa x
x x
2
2
2 2
e dx e C
dx
ln x x C
x
dx x
arcsin C , a 0
aa x
v1.0018112205
3.1.2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
a. Các phương pháp đổi biến
Phép đổi biến thuận
• Định lý: Nếu f(x) là một hàm số liên tục trên khoảng I, u = g(x) là một hàm số khả vi liên tục, lấy giá trị trên I,
thì
• Ví dụ: Tính
• Đặt thì x2 = u2 + 4 và xdx = udu
11
 f(g(x))g'(x)dx f(u)du.
2x 4
dx
x
 2u x 4
2 2
2 2 2
2 2
2
x 4 x 4 u 4
dx xdx udu 1 du
x x u 4 u 4
x 4 u x 4
dx u 2arctan C x 4 2arctan C
x 2 2
v1.0018112205
3.1.2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (tiếp theo)
Phép đổi biến ngược
Định lý: Nếu x = (t) là một hàm khả vi liên tục, đơn điệu, lấy giá trị trong một khoảng I, hàm f(x) liên tục trong
I thì
Ví dụ: Tính tích phân
Đặt x = 2sint, t (- /2; /2) thì dx = 2 cost và
12
 f(x)dx f( (t)) '(t)dt.
2
2
x
I dx
4 x
 24 x 2cos t
2
2
2
4sin t
I 2cos t dt 4sin t dt 2 1 cos2t dt 2t sin2t C
2cos t
x x
I 2t 2sin t cos t 2arcsin 4 x C
2 2
v1.0018112205
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Tích phân bằng:
• Đáp án đúng là:
• Vì:
13
31
A. lnx 2 lnx C
3
3
B. lnx 2 lnx C 
32C. ln x 4lnx C
3
3
D.2 lnx 4 lnx C 
1/2 1/2
3
3lnx 2 3lnx 2
dx d(lnx)
x lnx lnx
3 lnx 2 lnx d(lnx)
2 lnx 4 lnx C
3lnx 2
dx
x lnx
3
D.2 lnx 4 lnx C 
v1.0018112205
3.1.2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (tiếp theo)
b. Phương pháp tích phân từng phần
• Giả sử u(x) và v(x) là các hàm khả vi liên tục, khi đó ta có
• Chú ý tách biểu thức f(x)dx thế nào để tích phân vdu đơn giản hơn tích phân udu.
• Gọi P(x) là đa thức, xét các dạng sau:
• Dạng 1:
Khi đó ta đặt u=P(x), dv là phần còn lại.
Ví dụ 1: Tính
Đặt u = x + 1, dv = e2xdx thì du=dx,
14
 udv uv vdu
axP(x)e dx P(x)sin(ax)dx P(x)cos(ax)dx
2x(x 1)e dx
 2x
1
v e
2
2x 2x 2x 2x 2x1 1 1 1(x 1)e dx (x 1)e e dx (x 1)e e C
2 2 2 4
v1.0018112205
3.1.2. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH (tiếp theo)
• Dạng 2:
Khi đó ta đặt dv=P(x)dx, u là phần còn lại.
Ví dụ 2: Tính
Đặt u = arctanx, dv = xdx thì
Ta được
• Dạng 3:
Ví dụ 3: Tính e2xsinxdx
Gợi ý: Sử dụng tích phân từng phần hai lần, đặt u = e2x, dv = sinxdx
15
nP(x)(lnx) dx P(x)arcsinxdx P(x)arctanxdx
 I xarctanxdx
2
2
1 1 1
du dx, v x
2 2x 1
2 21 1 1 1I (x 1)arctanx dx (x 1)arctanx x C
2 2 2 2
   
x xe sin( x)dx e cos( x)dx
v1.0018112205
3.1.3. TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ
a. Định nghĩa: Một hàm phân thức hữu tỷ là một hàm số có dạng
Khi m < n ta có một phân thức hữu tỷ thực sự. Khi m ≥ n bằng phép chia đa thức ta được một đa thức cộng
một phân thức hữu tỷ thực sự. Ta sẽ xét việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ thực sự bằng cách phân
tích nó thành tổng (hoặc hiệu) của các phân thức hữu tỷ thuộc một trong các dạng sau:
trong đó k là số nguyên dương, p2 – 4q < 0.
Các hệ số A, B được xác định bằng phương pháp hệ số bất định.
16
 m
n
P (x)
f(x)
Q (x)
 k 2 k
A A x B
(x a) (x px q)
v1.0018112205
3.1.3. TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ (tiếp theo)
b. Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ: Tính tích phân
Do mẫu thức chứa nhân tử (x – 1)2 và x2 + 1 nên ta phân tích
Quy đồng mẫu số ở vế phải
Đồng nhất hệ số ta được
17
2
2 2
3x 2x 1
I dx
(x 1) (x 1)
2
2 2 2 2
3x 2x 1 A B Cx D
f(x)
x 1(x 1) (x 1) (x 1) x 1
3 2
2 2
(A C)x ( A B 2C D)x (A C 2D)x A B D
f(x)
(x 1) (x 1)
A C 0 A 1
A B 2C D 3 B 3
A C 2D 2 C 1
A B D 1 D 1
v1.0018112205
3.1.3. TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ (tiếp theo)
Suy ra
Vậy
Bài tập: Tính tích phân
18
2 2
2 2 2
1 3 x 1
I dx
x 1 (x 1) x 1
1 3 1 2x 1
I dx
x 1 2(x 1) x 1 x 1
23 1I ln | x 1| ln(x 1) arctanx C
x 1 2
4
3 2
2x
dx
x x x 1
v1.0018112205
3.1.4. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
a. Phương pháp chung
Xét tích phân R(sinx,cosx)dx. Ta có thể sử dụng phép đổi biến số
Khi đó
Tích phân đang xét được đưa về tích phân của hàm số theo biến t.
Ví dụ: Tính tích phân
Đổi biến số ta được
Vậy
19
x
t tan .
2
2
2 2 2
2t 1 t 2dt
sinx ; cosx ; dx
1 t 1 t 1 t
dx
I
2sinx cosx 1
x
t tan
2
2
2dt
dx
1 t
2 2
2 2
1 2 1 1
I dt dt ln | 2t 1| C
2t 1 24t 1 t 1 t
1
1 t 1 t
1 x
I ln | 2 tan 1| C
2 2
v1.0018112205
3.1.4. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC (tiếp theo)
b. Tích phân dạng trong đó m, n là các số nguyên.
• Nếu m là số lẻ, ta đặt t = cosx
• Nếu n là số lẻ, ta đặt t = sinx
• Nếu m, n là các số chẵn và lớn hơn hoặc bằng 0, ta sử dụng công thức hạ bậc:
• Nếu m, n là các số chẵn và ít nhất một trong hai số đó âm, ta đặt t = tanx
Ví dụ: Tính tích phân
Đặt t = cosx thì dt = –sinxdx
20
3 4I sin xcos xdx. 
2 21 cos2x 1 cos2xsin x ; cos x
2 2
2 4 2 4 6 4
7 5 7 5
I (cos x 1)cos x ( sinx)dx (t 1)t dt (t t )dt
1 1 1 1
I t t C cos x cos x C
7 5 7 5
m nsin xcos xdx 
v1.0018112205
3.1.5. TÍCH PHÂN HÀM CHỨA CĂN THỨC
Xét tích phân có dạng trong đó R(u, v) là các hàm số hữu tỷ.
• Với dạng đặt x = tant
• Với dạng đặt x = sint hoặc x = cost
• Với dạng đặt hoặc
Ví dụ: Tính tích phân
21
2 2 2 2R(x, x )dx, R(x, x )dx
2 2R(x, x )dx 
2 2R(x, x )dx 
2 2R(x, x )dx x sin t
 x
cos t
2 2
dx
x x 1 
v1.0018112205
3.2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
22
3.2.1 Khái niệm tích phân xác định
3.2.2 Công thức Newton - Leibnitz
3.2.3 Các phương pháp tính tích phân xác định
v1.0018112205
3.2.1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
a. Định nghĩa tích phân xác định:
• Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn [a, b].
Chia đoạn [a,b] bởi các điểm x0  a < x1 << xk << xn  b, xk = xk+1 - xk
• Trên mỗi đoạn [xk, xk+1] lấy một điểm k bất kỳ và lập tổng tích phân
nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
(giới hạn này không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a,b] và cách chọn các điểm k) thì hàm f(x) được gọi là khả
tích trên đoạn [a,b] và I được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a,b] và ký hiệu:
Ý nghĩa hình học của tích phân xác định là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x)
(f(x) ≥ 0) và các đường thẳng x = a, x = b, y = 0.
23
n 1
n k k
k 0
S f( ) x
  
k
n 1
k k
n , max x 0
k 0
I lim f( ) x
  
b
a
I f(x)dx 
v1.0018112205
3.2.1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (tiếp theo)
b. Các tính chất cơ bản của tích phân xác định
•
• Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a,b] thì
• Nếu f(x) khả tích trên đoạn [a,b] và c là một điểm bất kỳ nằm giữa a và b, thì hàm số f(x) cũng khả tích trên
mỗi đoạn [a, c]; [c, b] và
24
b c b
a a c
f(x)dx f(x)dx f(x)dx 
a b
b a
f(x)dx f(x)dx 
a
a
f(x)dx 0 
v1.0018112205
3.2.2. CÔNG THỨC NEWTON - LEIBNIZ
Định lý: (Định lý cơ bản 2) Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó
thì
Công thức này gọi là công thức Newton-Leibniz.
Công thức Newton-Leibniz cho phép ta tính tích phân xác định thông qua nguyên hàm của hàm số đó.
25
b
b
a
a
f(x)dx F(b) F(a) F(x) 
v1.0018112205
3.2.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
a. Phương pháp tích phân từng phần
Cho u(x), v(x) là các hàm số khả vi liên tục. Khi đó
Ví dụ: Tính tích phân đặt
Suy ra
26
b b
b
a
a a
udv uv vdu 
1
3x
0
I xe dx 3x3x
du dx
u x
e
dv e dx v
3
1 13x 3 31
3x 3x
0
00
xe 1 e 1 2e 1
I e dx e
3 3 3 9 9
v1.0018112205
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là . Tính xác suất để X nhận
giá trị trong khoảng [1,2]?
• Đáp án đúng là:
• Vì: Ta có
27
  1f(x) e (lnx 1),x 1,e
 1A.2e
 1B.e ln 2
 1C.e ln2
 1D.e ln4
2
1
1
22
1 1
1
1
2
1 1
1
1 1 1 1
P(1 X 2) e (lnx 1)dx
e .x(lnx 1) e xd(lnx 1)
x
2e (ln2 1) e dx
x
2e ln2 e e e ln4
 1D.e ln4
v1.0018112205
3.2.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (tiếp theo)
b. Phương pháp đổi biến
• Định lý 1:
Nếu f(x) là một hàm liên tục trong khoảng I, u = g(x) là một hàm khả vi liên tục, lấy giá trị trên I thì
• Định lý 2:
Nếu f(x) là hàm liên tục trên [a,b], x = g(t) là một hàm khả vi liên tục trên [ ,] với g( ) = a, g() = b sao cho
khi t biến thiên trong [ ,] thì g(t) [a,b]. Khi đó
28
g(b)b
a g(a)
f(g(x))g'(x)dx f(u)du 
b
a
f(x)dx f(g(t))g'(t)dt

v1.0018112205
3.2.3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH (tiếp theo)
• Ví dụ 1: Tính tích phân
Đặt
• Ví dụ 2: Tính tích phân
Đặt ta có
Vậy
29
1 3x
x
0
e
I dx
e 1
x 2sin t,(0 t ),
2
 2dx 2cos tdt, 4 x 2cos t 
/2/2 /2
2 2
00 0
sin4t
K 16 sin tcos tdt 2 (1 cos4t)dt 2 t
4
2
2 2
0
K x 4 x dx 
x x
1 e e2x 2
x
x
0 1 1
e
2 2
1
t e : dt e dx; x 0 t 1; x 1 t e
e t 1
I e dx dt t 1 dt
t 1 t 1e 1
1 1 1
I t t ln(t 1) e e ln(e 1) ln2
2 2 2
v1.0018112205
KHỞI ĐỘNG BÀI
Thặng dư của người tiêu dùng và thặng dư của nhà sản xuất 
Tình huống: Biết hàm cung, cầu của một loại hàng hóa cho bởi
Hãy xác định thặng dư của người tiêu dùng và nhà sản xuất đối với hàng hóa đó.
Giải:
Các hàm cung, cầu ngược cho bởi P = (Qs + 1)
2, P = 113 – Qd
2
Điểm cân bằng thị trường cho bởi phương trình Qs – Qd, tức là:
Thặng dư của người tiêu dùng là:
Thặng dư của nhà sản xuất là
30
1 113 s dQ P ; Q P
 0 01 113 64 7s dQ Q P P P ,Q , 
0
77
2 3
0 0
0 0 0
1 686
113 64 7 113 448
3 3
Q
d d d dP Q dQ P Q Q dQ Q Q
0
7
7 3
2
0 0
0 0 0
1 833
64 7 1 448
3 3
Q
s
s s s s
(Q )
P Q P Q dQ (Q ) dQ
v1.0018112205
TỔNG KẾT BÀI HỌC
Trong bài này chúng ta nghiên cứu các vấn đề sau:
• Nguyên hàm của một hàm số.
• Tích phân bất định của một hàm số.
• Tích phân xác định của hàm số trên một đoạn.
Khi học, sinh viên cần nắm vững các khái niệm, các phương pháp tính tích phân, vận dụng thành thạo và linh
hoạt các phương pháp đó.
31