Mối quan hệ giữa nguyên lý cực trị với bổ đề Farkas trong không gian Banach vô hạn chiều

 ISSN: 1859-2171 
e-ISSN: 2615-9562 
TNU Journal of Science and Technology 225(06): 471 - 478 
 Email: jst@tnu.edu.vn 471 
MỐI QUAN HỆ GIỮA NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ VỚI BỔ ĐỀ FARKAS 
TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÔ HẠN CHIỀU 
Nguyễn Văn Mạnh 
Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội 
TÓM TẮT 
Trong bài báo trước (Nguyễn Văn Mạnh-2016) đã giới thiệu khái niệm nón pháp tuyến không lồi 
và ba nguyên lý cực trị trong Giải tích biến phân, tìm hiểu mối quan hệ của các nguyên lý cực trị 
và Bổ đề Farkas. Bằng việc sử dụng tính chất đặc biệt của không gian Asplund là mọi hệ cực trị 
luôn thỏa mãn nguyên lý cực trị chính xác cùng với việc đưa ra các Mệnh đề 3.1-3.2 và các Định 
lý 3.1-3.2, từ đó chúng tôi đưa ra cách chứng minh Bổ đề Farkas trong không gian Asplund vô hạn 
chiều. Trong không gian Banach tổng quát tính chất mọi hệ cực trị luôn thỏa mãn nguyên lý cực trị 
chính xác không còn được nghiệm đúng, chúng tôi đã đưa ra Mệnh đề 3.3 qua đó mở rộng Định lý 
3.1 trong không gian Banach, từ đó đưa ra cách chứng minh Bổ đề Farkas trong không gian 
Banach thực vô hạn chiều. 
Từ khóa: Không gian Banach; không gian Asplund; hệ cực trị; nguyên lý cực trị; điểm cực trị địa 
phương; bổ đề Farkas. 
Ngày nhận bài: 09/5/2020; Ngày hoàn thiện: 29/5/2020; Ngày đăng: 31/5/2020 
THE RELATIONSHIP BETWEEN EXTREMAL PRINCIPLE WITH FARKAS 
LEMMA IN INFINITE DIMENSONS BANACH SPACE 
Nguyen Van Manh 
Hanoi University of Industry 
ABSTRACT 
In the previous article (Nguyen Van Manh-2016), we introduced the concept of non-convex 
normal cone and three extremal principles of variational analysis, researched the relationship of 
extremal principles and Farkas lemma. By using the fact that in Asplund space, all extremal 
systems always satisfy exact extremal principle and by introducing of Propositon 3.1-3.2 and 
Theorem 3.1-3.2, we gave the method to prove Farkas lemma in infinite dimensions Asplund 
space. In the general Banach space, the fact that all extremal systems always satisfy the exact 
extremal principle is not hold. Therefore, in this article, we propose Proposition 3.3 thereby 
extending Theorem 3.1 in Banach space, thereby giving method to prove Farkas's Lemma in 
infinite dimensions Banach space. 
Keywords: Banach space; Asplund space; extremal systems; extremal principle; local extremal 
point; Farkas lemma. 
Received: 09/5/2020; Revised: 29/5/2020; Published: 31/5/2020 
Email: nvmanhhn@haui.edu.vn 
Nguyễn Văn Mạnh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 471 - 478 
 Email: jst@tnu.edu.vn 472 
1. Cực trị địa phương của hệ tập, không 
gian Asplund 
Trong phần này chúng tôi nhắc lại một số khái 
niệm của giải tích biến phân (Xem [1], [2]). 
Định nghĩa 1. Xét 
*:F X X→ là ánh xạ đa 
trị giữa không gian Banach X và không gian 
đối ngẫu *X của nó khi đó ta có : 
( ) 
( ) 
*
* *
* * *
Limsup ,
, ,
k
k
x x
w
k k k
F x x X x x
x x x F x k
⎯⎯→
=  ⎯⎯→
⎯⎯→  
được dùng để chỉ giới hạn trên theo dãy theo 
nghĩa Painlevé-Kuratowski 
trong tôpô chuẩn của X và tôpô yếu* (được 
kí hiệu bằng chữ 
*w ) của *X . 
Định nghĩa 2. (Pháp tuyến suy rộng). Xét  
là tập con khác rỗng của X . 
i) x  cho trước, khi đó tập pháp tuyến  
của  tại điểm x được định nghĩa: 
( )
*
*
,
; limsup
|| ||u x
x u x
N x x X e
u x


⎯⎯→
 − 
 = 
− 
Khi 0 = các phần tử của ( );N x  được 
gọi là pháp tuyến Fréchet, tập hợp các pháp 
tuyến Fréchet gọi là nón sơ chuẩn của  tại 
x , kí hiệu ( );N x  . Nếu x  ta quy ước 
( ); .N x  = 
ii) Cho x  . Khi đó * *x X là pháp 
tuyến cơ bản hay pháp tuyến qua giới hạn của 
 tại x nếu với mọi dãy 0,k kx x
 ⎯⎯→ 
và 
** *w
kx x⎯⎯→ sao cho ( )
* ;
kk kx N x  với 
mọi .k Tập hợp các pháp tuyến trên được 
kí hiệu : 
( ) ( ) ( )
0
; Li msup ;
k k
x x
N x F x N x



⎯⎯⎯→
 = =  
và được gọi là nón pháp tuyến cơ bản hay nón 
pháp tuyến qua giới hạn) (basic/limiting) của 
 tại x . Tương tự như trên nếu x  thì 
( ); .N x  = 
Định nghĩa 3. Cho 
1,..., m  là những tập 
con khác rỗng trong không gian Banach X 
với 2m , x là điểm chung của các tập 
hợp trên. Ta nói x là điểm cực trị địa 
phương của hệ 1,..., m  nếu tồn tại các 
dãy  ( )1,...,ika X i m = sao cho 0ika → 
khi k → và lân cận U của x thỏa mãn 
điều kiện: 
( )
1
m
i ik
i
a U
=
 − =  với mọi k đủ lớn. 
Khi đó 1,..., ,m x  được gọi là hệ cực trị 
trong không gian X . 
Có thể hiểu rằng một hệ tập là hệ cực trị tại 
một điểm chung của chúng nếu ta có thể tách 
rời địa phương các tập đó bằng cách làm 
nhiễu nhỏ theo kiểu tịnh tiến các tập đã cho, 
với các phương tịnh tiến là những véctơ có 
chuẩn bé hơn một số dương tùy ý cho trước. 
Định nghĩa 4. (Không gian Asplund) 
Không gian Banach X được gọi là Asplund 
hay có tính chất Asplund, nếu mọi hàm lồi 
liên tục :U → với U X là tập lồi 
mở là khả vi Fréchet trên một tập con trù 
mật của U. 
2. Các nguyên lý cực trị 
Định nghĩa 5. Cho 1,..., ,m x  là hệ cực 
trị trong không gian Banach X . Ta nói: 
(i) Hệ cực trị 1,..., ,m x  được gọi là 
thỏa mãn nguyên lý  -cực trị nếu với mọi 
0 tồn tại ( )i ix x B  + và 
* *
ix X , sao cho 
( ) ( )
( )
( )
*
* *
1
* *
1
; , 1,..., , 2
... 0, 2
... 1. 2
i i i
m
m
x N x i m a
x x b
x x c
  =
+ + =
+ + =
(ii) Hệ cực trị 1,..., ,m x  được gọi là 
thỏa mãn nguyên lý cực trị xấp xỉ nếu với mọi 
Nguyễn Văn Mạnh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 471 - 478 
 Email: jst@tnu.edu.vn 473 
0 tồn tại ( )i ix x B  + và 
( )* *; , 1,..., ,i i ix N x B i m   + = sao cho 
các điều kiện (2b), (2c) được thỏa mãn. 
(iii) Hệ cực trị 1,..., ,m x  được gọi là 
thỏa mãn nguyên lý cực trị chính xác nếu tồn 
tại các véctơ pháp tuyến qua giới hạn 
( )* ; , 1,..., ,i i ix N x i m  = thỏa mãn các 
điều kiện (2b), (2c). 
3. Mối quan hệ giữa nguyên lý cực trị với 
bổ đề Farkas 
3.1. Ba mệnh đề bổ trợ 
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại hai Mệnh 
đề 3.1-3.2 đã được chúng tôi đưa ra và chứng 
minh trong [3], và đưa ra mệnh đề mới Mệnh 
đề 3.3 nhằm giải quyết tính thỏa mãn nguyên 
lý cực trị chính xác cho một hệ cực trị trong 
không gian Banach thực. 
Mệnh đề 3.1. Cho X là không gian Banach 
thực và * \ 0 , 0,..., .ia X i m = 
Đặt 
  
 
0 0| , 0 0 ,
| , 0 , 1,..., .i i
x X a x
x X a x i m
 = 
 = =
Ta có 
( )  ( )
( )  ( ) ( )
0 00; | 0 , 3.1
0; | 0 1,..., . 3.2i i
N a
N a i m
 
 
 = − 
 = =
Mệnh đề 3.2. Cho hệ tập 
   ( )
  ( )
0 0| , 0 0 , 3.3
| , 0 , 1,..., . 3.4i i
x X a x
x X a x i m
 = 
 = =
 với X là không gian Banach và 
*
0,..., .ma a X Giả sử rằng 0 0a và bất 
đẳng thức 0 , 0a x là hệ quả của hệ bất 
đẳng thức , 0 1,..., .ia x i m = Khi đó ta có 
 1,..., ,0m  là một hệ cực trị. 
Mệnh đề 3.3. Cho 
   ( )
  ( )
0 0| , 0 0 , 3.5
| , 0 , 1,..., . 3.6i i
x X a x
x X a x i m
 = 
 = =
X là không gian Banach thực và 
*
0,..., .ma a X Giả sử 0 0a và 
0 , 0a x là hệ quả của hệ bất đẳng thức 
, 0 1,..., .ia x i m = 
Ta có: 
(I) Hệ cực trị 1,..., ,0m  thỏa mãn 
nguyên lý cực trị chính xác. 
(II) 0 1 1, ... , ,0m m−     là hệ cực 
trị và thỏa mãn nguyên lý cực trị chính xác. 
Chứng minh. Đặt 
( ) 
( )
0 0
1 1
, ,..., | ,
... , 0,0,...,0
m
m
m
A x x x X x
A z X
= 
=  = 
Ta chứng minh 
1) 0 1, ,A A z là hệ cực trị. 
2) 0 1, ,A A z thỏa mãn nguyên lý cực trị 
chính xác 
1) Xét dãy ( )0 0,...,
m
k ku u u X= − với 
0k  khi 0,k u X→ và 0 0, 0a u . 
 Ta có: 
( )0 1kA z A−  = với k đủ lớn 
Thật vậy, giả sử tồn tại 
( ) ( )0 1 3.7k kz A u A − 
Từ
0k kz A u − do đó tồn tại 
( ) ( )0 0 0 0 0 0,..., ,k k k kz x x A x=  sao cho 
( )0 0 0,...,k k kz z u u= + 
 Ta thu được 
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
0 0 0 0
,..., 3.8
,..., 3.9
k k k
k k k k
z z u u
x u x u

 
= +
= + +
Kết hợp (3.11) với 1kz A ta có 
( )0 0 0 0, , 1,..., . 3.10k k k ix x u i m  +  =
Làm hoàn toàn tương tự Mệnh đề 3.2 ta có 
điều phải chứng minh. 
Nguyễn Văn Mạnh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 471 - 478 
 Email: jst@tnu.edu.vn 474 
2) Ta có 
 0 1A A z = 
Thật vậy, giả sử rằng 
 ( )0 1 3.11z A A  
Từ 0z A suy ra 
 ( ) 0,..., ,
mz x x X x=  . 
Mặt khác 1z A do đó 
 ( ), 1,...,ix i m  = 
theo giả thiết 0 , 0a x là hệ quả của hệ bất 
đẳng thức 
 , 0 1,..., ,ia x i m = 
suy ra 0x = do đó z z= . Từ 
 ( ), 1,...,i i m = 
là các tập lồi có int i  và theo tính chất 
của không gian tích 
mX , ta thu được 0 1,A A 
là các tập lồi, 1 1, int .z bdA A  
Kết hợp các kết quả thu được ở trên cùng với 
 0 1A A z = , 
suy ra 
0 1,A A tách yếu được. Do đó, tồn tại 
( ) ( ) ( )
( )
( )
* *
0 0 1 1
* *
0 1
* *
0 1
; , ; , 3.12
0, 3.12
1. 3.12
z N z A z N z A a
z z b
z z c
+ =
+ =
Mặt khác ta lại có: 
( ) ( ) ( ) 
( )
( )
* * * *
0 1
* *
1 0
; ,..., |
... 0;
3.13
m
m
m
N z A z x x X
x x N
= = 
+ + 
Thật vậy, theo Định nghĩa 1.1 [1] (p.4) về nón 
pháp tuyến qua giới hạn. Ta có: 
( ) ( ) ( ) 

( )
* * * *
0 1
*
0
; ,..., |
, 0,
3.14
m
mN z A z x x X
z z z A
= = 
  
( ) ( ) 
 ( )
* * * *
1
0* 0*
1 0
,..., |
, ... , 0, 3.15
m
m
m
z x x X
x x x x x
= = 
+ +  
( ) ( ) 
 ( )
* * * *
1
0* 0*
1 0
,..., |
... , 0, 3.16
m
m
m
z x x X
x x x x
= = 
+ +  
Do đó (3.13) được nghiệm đúng. Theo 
Mệnh đề 1.2 [1] (p.6). Ta có: 
( ) ( ) ( )
( ) 
* 1* 1* *
1 1
1*
; ,..., |
0; 1,...,
m
m
i i
N z A z x x X
x N i m
= = 
  =
Từ (3.14b) suy ra 
( ) ( )
( ) ( )( )
0* 0* 1* 1*
1 1
0* 1* 0* 1*
1 1
,..., ,..., 0,
,..., 0
m m
m m
x x x x
x x x x
+ =
 + + =
do đó ( ) ( )0* 1* 0, 1,.., 3.17i ix x i m+ = = 
theo (3.17) suy ra 
( ) ( ) ( )0* 0* 1* 1*1 1... ... 0 3.18m mx x x x+ + + + + = 
Áp đụng định nghĩa về chuẩn trong không 
gian tích, ta thu được 
 ( )* 1* 1* 1* 1*1 1 1,..., ...m mz x x x x= = + + 
Từ (3.12b) và (3.12c) thu được 
*
1 0,z ta 
suy ra rằng 1,...,i m sao cho 1* 0.ix 
Kết hợp điều vừa thu được với (3.18) suy ra 
hệ cực trị 0 ,..., ,0m  thỏa mãn nguyên lý 
cực trị chính xác. 
(II). Làm hoàn toàn tương tự Mệnh đề 3.2, ta 
có 0 1 1, ... , ,0m m−     là hệ cực trị. 
Đặt 
( )
( )
( )  ( )
1 1
0 0
2
1
... , 3.19
, 3.20
, | 3.21
m
m
B
B
B x x X x B
−=   
=  
= 
Xét dãy ( )0 0,...,
m
k ku u u X= − với 
0k  khi 0,k u X→ và 0 0, 0a u . 
Nguyễn Văn Mạnh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 471 - 478 
 Email: jst@tnu.edu.vn 475 
Ta thu được 
 ( ) ( )0 1 , 3.22kB u B−  = 
với k đủ lớn. Thật vậy, giả sử 
 ( )0 1kB u B−   
khi đó tồn tại 
 ( )0 1.k kz B u B −  
Từ 1kz B do đó ( ) ( ), ,k k k kz x x x B= . 
Mặt khác ( )0k kz B u − suy ra 
0 0 ,k mk mx x   sao cho 
( )
( ) ( )
0 0
0 0
,
, ,
k k k mk
k k k k mk
z x u x
x x x u x


= +
 = +
Từ các kết quả trên ta thu được 
1 0 0... , ,k m k k kx x x u    = + với 
0 0 ,kx  tương tự Mệnh đề (3.2) ta có 
( ) 0 1, , 0,0B B là hệ cực trị. 
Mặt khác theo (3.5), (3.6) ta 
( ), 0,..,i i m = là các tập lồi với 
( )int , 1,..,i i m  = và 0 ibd  . Dễ 
dàng ta chứng minh được 
0 1,B B cũng là các 
tập lồi, có 
0int ,B  và ( ) 00,0 bdB . 
Làm tương tự (I), ta có hệ cực trị 
( ) 0 1, , 0,0B B thỏa mãn nguyên lý cực trị 
chính xác. 
3.2 Dạng mở rộng của Bổ đề Farkas trong 
không gian Banach 
Định lý 3.1. (Nón pháp tuyến của tập nghiệm 
của hệ bất đẳng thức tuyến tính thuần nhất) 
Cho X là không gian Banach thực và 
 | , 0 , 1,..., ,i ix X a x i m = = (3.23) 
với
*
1,..., .ma a X Khi đó ta có 
( ) ( ) ( )1 10; ... 0; ... 0;m mN N N   =  + +  
 (3.24) 
Chứng minh. Ta quy nạp theo m. Với 
 m = 1 hiển nhiên ( ) ( )1 10; 0; .N N =  
Giả sử rằng (3.24) ) nghiệm đúng với các hệ 
gồm m −1 (m ≥ 2) tập ở dạng (3.25), có nghĩa 
là 
( ) ( )
( )
1 1 1
1
0; ... 0; ...
... 0;
m
m
N N
N
−
−
   =  +
+ 
ở đó 
 | , 0 , 1,..., 1,i ix X a x i m = = − và 
*
1 1,..., ma a X− được lấy tùy ý. Ta cần 
chứng minh rằng (3.24) cũng đúng với các hệ 
gồm m≥ 2 tập ở dạng (3.23). Dễ thấy rằng 
( )
( ) ( )
1
1
0; ...
0; ... 0; .
m
m
N
N N
   
 + + 
Ta cần chứng minh bao hàm thức ngược lại. 
Nhận xét thấy, ( )10; ... mN    là tập 
tất cả các véctơ 
*
0u X mà bất đẳng thức 
0 , 0u x là hệ quả của hệ bất đẳng thức 
, 0ia x ( )1,..., .i m= Lấy tùy ý 
( )0 10; ... .mu N    Khi đó, bất đẳng 
thức 0 , 0u x là hệ quả của hệ bất đẳng 
thức , 0, 1,..., .ia x i m = Nếu 0 0u = thì 
hiển nhiên 0u thuộc vào tập hợp vế phải của 
(3.24). Do đó ta có thể giả sử rằng 0 0.u 
Đặt 
  0 0
1 1
| , 0 0 ,
... ,m m
x X u x
B A B−
 = 
=    = 
Theo Mệnh đề 3.2, ta có 0, , ,0mB  là hệ 
cực trị.. Áp dụng Mệnh đề 3.3 (II) cho hệ cực 
trị 0, , ,0mB  , ta suy ra tồn tại 
* * * *
0 , ,B mx x x X thỏa mãn 
( ) ( ) ( )
( )
( )
* * *
0 0
* * *
0
* * *
0
0; , 0; , 0;
0 3.25
1 3.25
B m m
B m
B m
x N x N B x N
x x x a
x x x b
  
+ + =
+ + =
Theo Mệnh đề 3.1, 
Nguyễn Văn Mạnh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 471 - 478 
 Email: jst@tnu.edu.vn 476 
( ) 0 0 0 00; | 0 ,N u  = −  
( ) 0; | 0 ,m m m mN u  =  
Vì vậy tồn tại 0 0 và 0m sao cho 
*
0 0 0 ,x u= − 
*
m m mx a= 
Khi đó đẳng thức (3.27a) tương đương với 
 ( )*0 0 . 3.26B m mu x a = + 
Xét các trường hợp sau: 
 (i) 0 0. Từ (3.28) ta có 
 ( )*0
0 0
1
. 3.27mB mu x a

 
= + 
Do ( )* 0;Bx N B theo giả thiết quy nạp ta có 
( ) ( ) ( )1 10; 0; ... 0; .mN B N N −=  + +  Vì 
vậy, tồn tại 
1 10,..., 0
B B
m  − sao cho 
*
1 1 1 1... .
B B
B m mx a a  − −= + + 
Thay biểu thức của 
*
Bx vào (3.29), ta thu được 
( )0 1 1 1 1
0 0
1 1
1 1
0 0 0
1
... ,
... .
B B m
m m m
B B
m m
m m
u a a a
a a a

 
 
  
  
− −
−
−
= + + +
= + + +
Do đó 0u thuộc vào tập hợp ở vế phải của (3.24). 
(ii) 0 0. = Khi đó ta có 
* *
m Bx x= − hay 
* .m m Ba x = − Suy ra 
*1 .m B
m
a x

= − 
a) Nếu 0 0B  = thì 
 0, 0 .u x x B  
Do đó tồn tại các số 0, 1,..., 1,i i m = − 
sao cho 
0 1 1 1 1
1 1 1 1
...
... 0 .
m m
m m m
u a a
a a a
 
 
− −
− −
= + +
= + + +
Suy ra ( ) ( )0 10; ... 0; .mu N N  + +  
b) Tồn tại ( ) 0 \ 0 .x B   Khi đó ta có 
.mx  Thật vậy, giả sử phản chứng rằng 
.mx  Vì 
1 0... , , 0.m mx B u x  =    
suy ra 0 \ 0 ,x  dẫn đến mâu thuẫn. Từ 
những điều đã nói ở trên ta thu được 
( )
( )
0
, 0 1,..., 1 ,
, 0, 3.28
, 0.
i
m
a x i m
a x
u x
 = −
Đặt 
( )
( )00 0
,
, 1,..., 1, 3.29
,
,
. 3.30
,
i
i i m
m
m
m
a x
a a a i m
a x
u x
u u a
a x
 = − = −
 = −
Ta xét hai trường hợp sau: 
1) Bất đẳng thức 0 , 0u x là hệ quả của hệ 
bất đẳng thức , 0, 1,..., 1.ia x i m = − 
Áp dụng giả thiết quy nạp đối với hệ véctơ 
1 1,..., ,ma a − ta tìm được 1 10,..., 0m  − 
sao cho 
0 1 1 1. 1... m mu a a  − − = + + 
Kết hợp đẳng thức cuối với (3.29) và (3.30), 
ta thu được 
1
0
0
1
, ,
,
, ,
m
i
m i i m
im m
u x a x
u a a a
a x a x

−
=
 − = − 
 
hay 
1 1
0
0
1 1
, ,
.
, ,
m m
i
i i i m
i im m
u x a x
u a a
a x a x
 
− −
= =
 = + − 
  
Từ (3.30) ta suy ra 
0 , ,0, 0, 1,..., 1.
, ,
i
m m
u x a x
i m
a x a x
 = − 
Vì vậy 
1
0
1
,
m
i i m
i
u a a 
−
=
 = + 
Nguyễn Văn Mạnh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 471 - 478 
 Email: jst@tnu.edu.vn 477 
ở đó 
1
0
1
, ,
0,
, ,
m
i
i
im m
u x a x
a x a x
 
−
=
 = −  
0, 1,..,i i m = 
2) Bất đẳng thức 0 , 0u x không là hệ quả 
của hệ bất đẳng thức 
, 0, 1,..., 1.ia x i m = − Khi đó tồn tại 
x X sao cho 
( )
0
, 0, 1,..., 1,
3.31
, 0.
ia x i m
u x
 = − 
Chọn 
,
.
,
m
m
a x
x x x
a x
 = − 
Do (3.29), (3.30) và cách chọn x ta có 
( )
( )
0 , 0, , 0, 3.32
, 0, 1,..., 1. 3.33
m
i
u x a x
a x i m
 = =
 = = −
Hiển nhiên , 0.ma x = Từ (3.33) và do cách 
chọn x ta có 
( ), , , 1,..., 1. 3.34i ia x a x i m = = − 
Từ (3.31) suy ra 
,
, , , ,
,
i
i i m i
m
a x
a x a x a x a x
a x
 = − = 
 (3.35) 
Kết hợp (3.31), (3.34) và (3.35) ta thu được 
, , 0, 1,..., 1.i ia x a x i m = = − 
Mặt khác, từ (3.32) và (3.31) ta có 
0 0 0
0
,
, , , ,
,
, 0.
m
m
a x
u x u x u x
a x
u x
 = −
 = 
Lại có 
0
0 0 0
,
, , , .
,
m
m
u x
u x u a x u x
a x
 = − = 
Do đó, 0 0, , 0.u x u x = Tóm lại ta có 
0
, 0, 1,..., 1,
, 0,
, 0
i
m
a x i m
a x
u x
 = − 
= 
mâu thuẫn với điều giả định ở đầu chứng 
minh bất đẳng thức là hệ quả của hệ bất đẳng 
thức , 0, 1,..., 1.ia x i m = − 
Trong cách chứng minh của định lý trên 
chúng tôi đã sử dụng kĩ thuật lập luận của 
Bartl [4]. 
Định lý 3.2 (Bổ đề Farkas trong không gian 
Banach thực) Cho X là không gian Banach, 
và 
*
1 1,..., .ma a X− Khi đó, bất đẳng thức 
0 , 0a x là hệ quả của hệ bất đẳng thức 
, 0, 1,..., ,ia x i m = 
Khi và chỉ khi tồn tại 1 0,..., 0m  sao cho 
0
1
.
m
i i
i
a a
=
= 
Chứng minh. Đặt 
  ( )| , 0 1,..., .i ix X a x i m = = Dễ 
thấy rằng bất đẳng thức 0 , 0a x là hệ quả 
của hệ bất đẳng thức (3.38) khi và chỉ 
( )0 10; ... .ma N    
Áp dụng Định lý 3.1 cho hệ tập 
1,..., m  , ta 
có ( ) ( )0 10; ... 0; .ma N N  + +  
Từ đó, do Mệnh đề 3.1, tồn tại 
1 0,..., 0m  sao cho 0
1
.
m
i i
i
a a
=
= 
Ngược lại nếu có 0
1
,
m
i i
i
a a
=
= với 
1 0,..., 0m  hiển nhiên ta có 
( ) ( )0 10; ... 0; .ma N N  + +  Ta có điều 
phải chứng minh. 
Nguyễn Văn Mạnh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN 225(06): 471 - 478 
 Email: jst@tnu.edu.vn 478 
TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES 
[1]. B. S. Mordukhovich, “Generalized differential 
calculus for nonsmooth and set-valued 
mappings,” Journal of Mathematical Analysis 
and Applications, vol. 183, pp. 250-288, 
1994. 
[2]. B. S. Mordukhovich, Variational Analysis and 
Generalized Differentiation, vol. 1: Basic 
Theory, Springer, New York, 2006. 
[3]. V. M. Nguyen, “The relationship between 
extremal principle with Farkas Lemma in in 
infinite dimensions Asplund space,” TNU 
Journal of Science and Technology, vol. 159, 
no. 14, pp. 119-124, 2016. 
[4]. D. Bartl, “A short algebraic proof of the 
Farkas lemma,” SIAM Journal of 
Optimization, vol. 19, pp. 234-239, 2008.