Bài giảng Toán cao cấp C1 - Chương 1: Hàm số một biến số - Phan Trung Hiếu

14/09/2018
1
LOG
O
TOÁN CAO CẤP
C1
GV. Phan Trung Hiếu
45 tiết
2
Kiểm tra, đánh giá kết quả:
-Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):
Dự lớp đầy đủ: 10 điểm.
Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1
điểm.
Chỉ được vắng 1 ngày có phép.
-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
3
-Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:
1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1
câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không
trừ điểm).
Chỉ được cộng tối đa 2 điểm.
Điểm cộng, trừ giờ bài tập:
4
-Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:
Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm
bài: -0,5 điểm/lần.
Khi không có SV xung phong lên làm thì GV
sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ
trên xuống:
-Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần,
-Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5
điểm/lần.
Trang web môn học:
5
https://sites.google.com/site/sgupth
SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng
tuần, điểm quá trình trên trang web sau:
6
Nội dung:
Chương 1: Hàm số một biến số.
Chương 2: Hàm số liên tục.
Chương 3: Đạo hàm và vi phân hàm
một biến.
Chương 4: Tích phân.
Chương 5: Hàm nhiều biến.
Chương 6: Phương trình vi phân.
14/09/2018
2
7
Tài liệu học tập:
[1] Bài giảng trên lớp.
[2] Lê Văn Hốt, Toán cao cấp (Phần 2: Giải
tích), Trường ĐH Kinh tế Tp. HCM, NXB
Giáo dục.
8
Dụng cụ hỗ trợ học tập:
Máy tính FX 500MS, FX 570MS, 
FX 570ES, FX 570ES Plus.
LOG
O
Chương 1:
Hàm số một biến số
GV. Phan Trung Hiếu
§1. Các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số
§2. Giới hạn của hàm số
§3. Phương pháp tính giới hạn của hàm số
10
§1. Các khái niệm cơ bản 
về hàm số một biến số
I. Biến số:
11
Biến số là một ký hiệu mà ta có thể gán cho nó một
số bất kì thuộc tập số cho trước
Tập hợp X được gọi là miền biến thiên (MBT) và
mỗi số thực được gọi là một giá trị của biến
số đó.
Các biến số thường được ký hiệu bằng các chữ cái:
x, y, z, 
X   ( ).X
0x X 
12
Các biến số kinh tế: 
Ký
hiệu
Ý 
nghĩa
Tiếng 
Anh
Ký
hiệu
Ý 
nghĩa
Tiếng Anh
(pi)
Lợi
nhuận
Profit P Đơngiá Price
C Chi phí Cost Q
Sản
lượng
Quantity
D Cầu Demand QD
Lượng
cầu
Quantity 
Demanded
R Doanhthu Revenue QS
Lượng
cung
Quantity 
Supplied
S Cung Supply T Thuế Tax
X Xuấtkhẩu Export Y
Thu 
nhập
Income
14/09/2018
3
II. Hàm số:
13
2.1. Định nghĩa:
Một hàm số f xác định trên một tập hợp là
một quy tắc đặt tương ứng mỗi số với một số
thực y xác định duy nhất
D: tập xác định (TXĐ) của hàm số f.
x: biến độc lập (biến số).
y: biến phụ thuộc (hàm).
f(x): giá trị của hàm số f tại x.
:
( )
f D
x y f x
 D
 x D
( ) { ( ), }:  f D y y f x x D Tập giá trị (TGT) 
của hàm số f.
14
 ( , ( )) : G x f x x D Đồ thị của hàm số f.
Chú ý: Hình chiếu của đồ thị lên trục hoành chính
là TXĐ, hình chiếu của đồ thị lên trục tung là TGT.
15
Ví dụ 2.1: Đồ thị dưới đây cho thấy mức tiêu thụ điện 
trong một ngày vào tháng 9 ở San Francisco (P được 
tính bằng MW, t được tính bằng giờ, bắt đầu vào lúc nửa 
đêm).
a) Mức tiêu thụ điện 
vào lúc 6h sáng và 
6h tối là bao nhiêu?
b) Hãy cho biết tập 
xác định và tập giá 
trị của hàm số P(t).
c) Mức tiêu thụ điện 
khi nào là thấp nhất? 
Cao nhất? Thời gian 
đó có hợp lý không?
16
1.2. Các phương pháp biểu diễn hàm số:
 Biểu diễn hàm số bằng biểu thức:
Ví dụ 2.2: Tổng chi phí sản xuất x đơn vị sản
phẩm được cho bởi
Tìm chi phí sản xuất ra 100 đơn vị sản phẩm.
( ) 100 500. C x x x
17
Sản lượng Q
(kg)
1000 1100 1200 1300 1400
Lợi nhuận
(triệu đồng)
25 27 28 31 27
a) Tìm lợi nhuận khi sản lượng là 1100kg.
b) Tìm sản lượng sao cho lợi nhuận là 27 triệu đồng.
Biểu diễn hàm số dưới dạng bảng số liệu:
Ví dụ 2.3: Một doanh nghiệp muốn biết lợi
nhuận có quan hệ như thế nào với sản lượng
nên lập bảng theo dõi và có được kết quả sau
18
Hàm số xác định từng khúc:
Hàm số trong ví dụ sau được xác định bởi các
công thức khác nhau trong từng khúc khác
nhau của tập xác định của nó.
14/09/2018
4
19
Ví dụ 2.4: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá
3ngàn/km nếu quãng đường chạy xe không quá 100
km. Nếu quãng đường chạy xe vượt quá 100 km thì
ngoài số tiền phải trả cho 100 km đầu còn phải trả
thêm 1,5 ngàn/km. Gọi x là số km xe thuê đã chạy và
C(x) là chi phí thuê xe.
a) Viết hàm số C(x).
b) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạy
được 50km.
c) Tính chi phí thuê 1 xe khi xe được thuê đã chạy
được 150km.
d) Vẽ đồ thị hàm số C(x).
III. Các hàm số cơ bản: 
20
Hàm lũy thừa: ( ).y x 
Hàm mũ: (0 1).xy a a 
Hàm logarit: log (0 1).ay x a 
Hàm lượng giác:
sin , cos , tan , cot . y x y x y x y x
Hàm lượng giác ngược:
arcsin , arccos , arctan , arccot y x y x y x y x
Hàm hằng: . y C
3.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản:
21
 Chú ý:
sin(arcsin ) ( 1 1).x x x 
arcsin(sin )x x .
2 2
x
cos(arccos ) ( 1 1).x x x 
arccos(cos )x x (0 ).x 
tan(arctan ) ( ).x x x 
arctan(tan )x x .
2 2
x
cot(arccot ) ( ).x x x 
arccot(cot )x x (0 ).x 
22
3.2. Các hàm số sơ cấp: là những hàm số được tạo
thành bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ,
nhân, chia các hàm số sơ cấp cơ bản.
Ví dụ 3.1: Trong kinh tế học, ta thường gặp các
dạng hàm số sơ cấp sau
1
1 0... .
n n
n ny a x a x a
Hàm đa thức (hàm nguyên):
Hàm phân thức (hàm hữu tỷ):
( )
( )
P xy
Q x
P(x) và Q(x) là các đa thức.
23
3.3. Hàm hợp: Giả sử y=f(u) là hàm số của
biến số u, đồng thời u=g(x) là hàm số của biến
số x. Khi đó, y=f(u)=f(g(x)) là hàm số hợp của
biến số x thông qua biến số trung gian u. Ký
hiệu
 ( )( ) ( ) .f g x f g x 
Ví dụ 3.2: Cho hàm số
Tìm và
2( ) , ( ) 3. f x x g x x
 f g . g f
24
3.4. Hàm ngược: Cho hàm số y = f(x) có TXĐ là X
và TGT là Y. Nếu với mỗi giá trị chỉ tồn tại duy
nhất một giá trị sao cho , nghĩa là
pt chỉ có 1 nghiệm trong tập X thì từ hệ
thức y = f(x) ta có thể xác định được một hệ thức
tính được x theo y, ký hiệu là
0y Y 
0x X 0 0( )f x y 
0( )f x y 
1( ).x f y 
Khi đó hàm số được gọi là hàm
ngược của hàm số
1( ),x f y y Y 
( ), .y f x x X 
Ví dụ 3.3: 
a) Hàm số có hàm ngược là
b) Hàm số không có hàm ngược.
2y x 2.x y 
2y x 
14/09/2018
5
25
Ví dụ 3.4: Lượng cầu D của một mặt hàng phụ thuộc
vào giá P trên một đơn vị sản phẩm được cho bởi
Nếu D = 10 thì P bằng bao nhiêu?
1
3
30 .D
P
26
3.5. Một số hàm số một biến số trong kinh tế:
Hàm sản xuất: , Q: sản lượng, L: lao động. ( )Q f L 
Hàm doanh thu: ( ).R R Q 
Hàm chi phí: ( ).C C Q 
Hàm lợi nhuận: ( ).Q 
Hàm cung: ( ).sQ S P 
Hàm cầu: ( ).DQ D P 
27
§2. Giới hạn của hàm số
I. Định nghĩa về giới hạn của hàm số:
28
Ví dụ 1.1: Xét hàm số khi các giá trị
của x gần 2. Bảng dưới đây, cho thấy giá trị của hàm f(x) 
khi x tiến dần về 2 nhưng không bằng 2 
2( ) 2 f x x x
29
Định nghĩa 2.1. Cho hàm số f(x) xác định trên tập
D và hoặc Ta nói hàm số f(x) có
giới hạn là L khi ký hiệu là
Với điều kiện ta có thể làm cho các giá trị của f(x)
gần L, và giữ chúng nằm gần đó, bằng cách lấy x đủ
gần nhưng không được bằng
Ngoài ra, ta còn có thể ký hiệu
khi
đọc là f(x) tiến dần về L khi x tiến dần về
0x D 0 .x D 
0x x 
0
lim ( )
x x
f x L
( ) f x L 0 x x
0x 0.x
0.x
30
Ví dụ 1.2: Dự đoán giá trị của 
21
1
) lim .
1 
 x
x
a
x
 8 4 4) lim 2 .
x
b x x x
14/09/2018
6
31
Định nghĩa 2.2 (Giới hạn một phía):
▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi và
thì ta nói f(x) có giới hạn bên phải tại x0. Ký
hiệu
▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi và
thì ta nói f(x) có giới hạn bên trái tại x0. Ký
hiệu
0x x 0x x 
0
lim ( ) .
x x
f x L
0x x 0x x 
0
lim ( ) .
x x
f x L
Định lý 2.3: Giới hạn hàm số (nếu có) là duy nhất.
32
Chú ý:
0 0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( ) .
x x x x x x
f x L f x f x L
 và
 và


0 0.x x x x 
0 0x x x x
 0.x x 
0 0x x x x
 0.x x 
0
0 0
1
2
1 2
lim ( )
lim ( ) lim ( )
x x
x x x x
f x L
f x L f x
L L
 
 
 
không tồn tại.
33
Định nghĩa 2.4 (Giới hạn vô cùng):
▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi
thì
▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi
thì
0x x 
0
lim ( ) .
x x
f x
0x x 
0
lim ( ) .
x x
f x
Ví dụ 1.3:
20
1
lim .
x x
34
Định nghĩa 2.5 (Giới hạn tại vô cùng):
▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi x tăng không bị
chặn với các giá trị dương thì
▪ Nếu f(x) có giới hạn là L khi x giảm không bị
chặn với các giá trị âm thì
lim ( ) .
x
f x L
lim ( ) 3.
x
f x
lim ( ) 7.
x
f x
lim ( ) .
x
f x L
Ví dụ 1.4:
35
▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi x tăng
không bị chặn với các giá trị dương thì
▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi x giảm
không bị chặn với các giá trị âm thì
lim ( ) .
x
f x
lim ( ) .
x
f x
Ví dụ 1.5:
n lẻ:
lim .
 n
x
x
lim .
 n
x
x
36
▪ Nếu f(x) giảm mà không bị chặn khi x tăng
không bị chặn với các giá trị dương thì
▪ Nếu f(x) tăng mà không bị chặn khi x giảm
không bị chặn với các giá trị âm thì
lim ( ) .
x
f x
lim ( ) .
x
f x
Ví dụ 1.6:
n chẵn:
lim .
 n
x
x
lim .
 n
x
x
14/09/2018
7
II. Giới hạn của các hàm số sơ cấp cơ bản: 
37
2.1. Giới hạn tại một điểm thuộc TXĐ: 
Giới hạn của hàm số sơ cấp tại một điểm thuộc
TXĐ của nó được tính theo công thức
0x
0
0lim ( ) ( ).
x x
f x f x
Ví dụ 2.1: Tính các giới hạn sau
2
1
) lim( 2).
x
a x x
0
sin 3
) lim .
cos 
x
x
b
x
2
) lim 2.
x
c x
38
Ví dụ 2.2: Cho
21 khi 1,
( )
2, khi 1.
x x
f x
x
Tìm
11 1
lim ( ), lim ( ), lim ( ).
xx x
f x f x f x
Ví dụ 2.3: Tìm m để hàm số sau có giới hạn
khi 2x 
2
2
1 khi 2
( ) .
2 1 khi 2
x mx x
f x
x x x
V. Một số kết quả giới hạn cần nhớ:
39
Xem Bảng 1.
2.2. Một số kết quả giới hạn của các hàm sơ cấp
cơ bản: III. Một số định lý về giới hạn hàm số: 
40
0
lim ( ).
x x
k k k
 ĐL 3.1:
ĐL 3.2: Giả sử
Khi đó: 0 0
lim ( ) , lim ( ) .
x x x x
f x A g x B
 
0
) lim ( ) ( ) .
x x
ii f x g x A B
 
0
) lim ( ). ( ) . .
x x
iii f x g x A B
0
( )
) lim ( 0).
( )x x
f x A
iv B
g x B 
 
0 0
) lim . ( ) . lim ( ) ( ).
x x x x
i k f x k f x k
 
0
( )
) lim ( ) (0 1).
g x B
x x
v f x A A
41
Nếu
thì
0 0
) lim ( ) 0 lim ( ) 0.
x x x x
i f x f x
)ii
0 0
0 0( ) ( ) ( ), ( , ),
lim ( ) lim ( )
x x x x
g x f x h x x x x
g x h x L
 
  
0
lim ( ) .
x x
f x L
ĐL 3.3:
42
Ví dụ 3.3: Cho hàm số f(x) thỏa
24 9 ( ) 4 7, 0 x f x x x x
Tìm 
4
lim ( ).
 x
f x
Ví dụ 3.2: Cho tìm
0
( )
lim 1,
x
f x
x 0
lim ( ).
 x
f x
Ví dụ 3.4: Tính
1
lim( 1)sin .
1
 x
x
x
Ví dụ 3.1: Cho tìm
4
( ) 5
lim 1,
2 
 x
f x
x 4
lim ( ).
 x
f x
14/09/2018
8
43
Chú ý 3.4: Trong tính toán về giới hạn hàm
số, có khi ta gặp các dạng sau đây gọi là dạng
vô định:
Khi đó, ta không thể dùng định lý 6.2, mà phải
dùng các phép biến đổi để khử các dạng vô
định đó.
0 00 , , 0. , , 0 , ,1 .
0
IV. Vô cùng bé (VCB):
44
Định nghĩa 4.1. Hàm số f(x) được gọi vô cùng
bé khi (x0 có thể là vô cùng) nếu0x x 
0
lim ( ) 0.
x x
f x
Ví dụ 4.1:
3) 3sin 2b x x 
0.x ) sin , tan , 1 cosa x x x là VCB khi
0.x là VCB khi
) cos , cotc x x .
2
x
 là VCB khi
2
1
)
2
x
d
x
.x là VCB khi
45
Tính chất 4.2:
1) Tổng, hiệu, tích của hai VCB là một VCB.
2) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là
một VCB.
3) Thương của hai VCB chưa chắc là một
VCB.
V. Vô cùng lớn (VCL):
46
Định nghĩa 5.1. Hàm số f(x) được gọi vô cùng
lớn khi (x0 có thể là vô cùng) nếu0x x 
0
lim ( ) .
x x
f x
Ví dụ 5.1:
0.x 1 1) , , cot
sin
a x
x x
là VCL khi
2) , 2 1b x x .x là VCL khi
47
Tính chất 5.2: Quan hệ trong VI và VII là
quan hệ tương đương, nó có 3 tính chất sau
1) ( ) ( ).f x f x
2) ( ) ( ) ( ) ( ).  f x g x g x f x
( ) ( )
3) ( ) ( ).
( ) ( )
 

f x g x
f x h x
g x h x
~
48
§3. Phương pháp tính
giới hạn của hàm số
14/09/2018
9
Phương pháp tính
49
0
lim ( ) :
x x
f x
Thế vào f(x)0x
con số cụ thể 
biện luận
xem ? 
vô định
khử
0 00, , 0. , , 0 , ,1 .
0
50
3.1. Khử dạng và : 0
0
Dùng hàm tương đương dựa vào định lý sau đây
4) ( ) ( ) ( ) ( )n nf x g x f x g x   nếu căn có nghĩa.
0
1) lim ( ) \{0} ( ) .
x x
f x L f x L
 
0 0
0
( ) ( )
2) lim ( ) lim ( ).lim ( ) x x x x
x x
f x g x
f x g xg x toàn taïi 

1 1
1
1
1
1
( ). ( ) ( ). ( )
( ) ( )
3) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )


f x g x f x g x
f x f x
f xf x
g x g x
g x g x
51
 Chú ý 3.2:
Ta không thể viết hay
ngay cả khi hay vì điều
này vô nghĩa.

( ) 0f x  ( )f x 
( ) 0f x ( )f x 
1 1 1
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x f x f x g x f x g x
g x g x f x g x f x g x
 
 
52
Ví dụ 3.1: Cho và 
Tính:
a) b)
2( ) 5f x x 2( ) 3.g x x 
( )
lim .
( )x
f x
g x 
 lim ( ) ( ) .
x
f x g x
Ví dụ 3.2: Tính các giới hạn sau
2
30
2
) lim .
3 
 x
x x
a
x x
2
2
( 2)( 5 1)
) lim .
( 2) 
 x
x x x
c
x x
2
3
2 3
) lim
2 1 
 x
x x
b
x x
22 3 5
) lim .
5 1 
 x
x x
d
x
53
0
sin 2
) lim .
 x
x
e
x
20
7
arctan
4)lim .
1 xx
x
h
e
30
ln(1 2 )
) lim .
1 
 xx
x
j
e
20
1 cos3
)lim .
x
x
g
x
2
0
) lim .
arcsin 3 x
x
f
x
20
ln(cos )
) lim .
 x
x
k
x
0
1 2 1
) lim .
tan 3 
x
x
i
x
2
1 cos
) lim .
( ) 
 x
x
l
x
54
Chú ý 3.3 (Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao):
Nếu đều là tổng của các VCB khác
cấp thì giới hạn của tỉ số khi bằng
giới hạn của tỉ số hai VCB cấp bé nhất trong
0 x x
( ), ( ) x x
( )
( )

x
x
( ), ( ). x x
14/09/2018
10
55
Hệ quả: Cho f(x) và g(x) là hai VCB khi
sao cho
Khi đó:
0x 
( ) , ( )m nf x ax g x bx 
Nếu thì ta không thể viết, 0 m n a b
neáu
( ) ( ) neáu
( ) neáu , 0
m
n
m
ax m n
f x g x bx m n
a b x m n a b

( ) ( ) 0. f x g x
56
Ví dụ 3.3:
2 4 2) ( ) 2 , ( ) 4 ( ) ( ) 2 .a f x x g x x f x g x x   
4 4 4) ( ) 2 , ( ) 4 ( ) ( ) 2 .b f x x g x x f x g x x   
Ví dụ 3.4: Tính
2 3
3 80
3sin 4sin
) lim .
5x
x x x
a
x x x 
30
tan sin
) lim .
x
x x
c
x
3 5
0
) lim .
 x x
x
e e
b
x
57
Chú ý 3.4 (Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp
thấp):
Nếu đều là tổng của các VCL khác
cấp thì giới hạn của tỉ số khi bằng
giới hạn của tỉ số hai VCL cấp lớn nhất trong
0 x x
( ), ( ) x x
( )
( )

x
x
( ), ( ). x x
58
Hệ quả: Cho f(x) và g(x) là hai VCL khi
sao cho
Khi đó:
x 
( ) , ( )m nf x ax g x bx 
Nếu thì ta không thể viết
neáu
( ) ( ) neáu
( ) neáu , 0
m
n
m
ax m n
f x g x bx m n
a b x m n a b

, 0 m n a b
( ) ( ) 0. f x g x
59
Ví dụ 3.5: Tính
2
2
4 2 3
lim .
4 
 x
x x x
x x
3.2. Khử dạng : 
Phương pháp: Quy đồng hoặc nhân và chia với lượng 
liên hợp để đưa về dạng 
0
0 .
Ví dụ 3.6: Tính các giới hạn sau
3 2
2
) lim .
3 4 3 2 
 x
x x
a
x x 
2) lim 1 .
x
b x x x
hoặc
60
3.3. Dạng : 0 . 
0
0
hoặc . 
biến đổi đưa về dạng 
1
1
) limsin tan .
2 2
 x
x x
b
Ví dụ 3.7: Tính các giới hạn sau
3
2 1
) lim ( 1) .
2 
 x
x
a x
x x
3.4. Dạng :  
0
( )
lim ( )
g x
x x
f x
0 00 , ,1 Giới hạn có dạng
Đặt  
0
( )
lim ( )
 g x
x x
a f x  
0
( )
ln lim ln ( )
 g x
x x
a f x
Ví dụ 3.8: Tính
1
0
) lim(1 ) .
 x
x
a x
3
) lim 1 .
x
x
b
x
0
ln lim ( ) ln ( )
x x
a g x f x b
. ba e
14/09/2018
11
61
Ví dụ 3.9: Hằng năm, doanh thu y của một 
doanh nghiệp có liên quan đến số tiền x dùng 
để chi trong quảng cáo và cho bởi phương trình
500
( ) .
20
x
y x
x
Tìm và giải thích ý nghĩa của kết quả 
tìm được.
lim ( )
 x
y x
Bài tập Chương 1 
GV. Phan Trung Hiếu 
Một số kết quả giới hạn thường gặp 

, chaün
lim ; lim
, le
n n
x x
n
x x
n û 
  
, 1
lim
0, 0 1
0, 1
lim
, 0 1
x
x
x
x
a
a
a
a
a
a

0
lim ln ; lim ln
x x
x x
 
2 2
lim tan , lim tan
x x
x x
   

0
lim cot , lim cot
x x
x x
  lim arctan
2x
x
 lim arccot 0, lim arccot
x x
x x 
  Nếu 1, 1  thì 
ln
lim lim 0
xx x
x x
x
  
 0
0
1
( )lim 1 ( ) ( ) 0x xu x
x x
u x e u x 
  
 0
0
( )
1
lim 1 ( )
( )
u x
x x
x x
e u x
u x
  
Bảng 1: Một số hàm tương đương thường gặp 
STT Hàm tương đương 
1 
Với , 0, 0n mm n a a : 
▪ Khi 0 :x 11 ...
n n
n na x a x a x a x
 m mm m 
▪ Khi :x 11 ...
n m
n ma x a x a x a x
 n nn n 
2 0sin ( ) ( ) ( ) 0x xu x u x u x   
3 0arcsin ( ) ( ) ( ) 0x xu x u x u x   
4 0tan ( ) ( ) ( ) 0x xu x u x u x   
5 0arc tan ( ) ( ) ( ) 0x xu x u x u x   
6   0ln 1 ( ) ( ) ( ) 0x xu x u x u x   
7   0( )log 1 ( ) ( ) 0
ln
   x xa
u x
u x u x
a 
8 0( ) 1 ( ) ( ) 0x xu xe u x u x   
9 0( ) 1 ( ).ln ( ) 0  x xu xa u x a u x 
10   01 ( ) 1 ( ) ( ) 0x xu x u x u x    
11   0
2
( )
cos ( ) 1 ( ) 0
2
  x x
u x
u x u x 
 12 
Bài tập Chương 1 
GV. Phan Trung Hiếu 
Bài 1: Một doanh nghiệp có hàm sản xuất 3 2100.Q L , trong đó L là lượng sử dụng lao động và Q là 
lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần. 
a) Hãy cho biết lượng sản phẩm đầu ra mỗi tuần khi doanh nghiệp sử dụng 64 đơn vị lao động mỗi 
tuần và giữ nguyên mức sử dụng các yếu tố đầu vào khác. 
b) Tại mức sử dụng 64 đơn vị lao động mỗi tuần, nếu doanh nghiệp thêm 1 đơn vị lao động mỗi tuần 
thì sản lượng đầu ra mỗi tuần tăng bao nhiêu? 
Bài 2: Doanh thu R (triệu USD) từ chương trình TV của giải bóng đá quốc gia theo thời gian t (năm) 
được biểu diễn bằng một hàm số R(t) có bảng giá trị như sau (tính từ năm 1975): 
t 0 5 10 15 20 25 30 
R(t) 201 364 651 1075 1159 2200 2200 
a) Tìm R(25) và giải thích ý nghĩa của kết quả đó. 
b) Vào năm thứ bao nhiêu (kể từ năm 1975) thì doanh thu là 1159 triệu USD? 
Bài 3: Trong một quốc gia, thuế thu nhập được xác định như sau: thu nhập dưới 10.000 USD không bị 
đánh thuế, trên 10.000 USD đến 20.000 USD thì chịu thuế 10%, trên 20.000 USD thì chịu thuế 15%. 
a) Vẽ đồ thị hàm thuế suất R (tốc độ tăng thuế) theo thu nhập I. 
b) Thuế suất là bao nhiêu nếu thu nhập là 14.000 USD? 26.000 USD? 
c) Vẽ đồ thị hàm thuế T theo thu nhập I. 
Bài 4: 
a) Cho 
22
( )lim 1,
x
f x
x 
 tìm 
2
lim ( )
x
f x
 và 
2
( )lim .
x
f x
x 
b) Cho 
2
( ) 5lim 3,
2x
f x
x 
 tìm 
2
lim ( )
x
f x
. 
c) Cho 2 25 2 ( ) 5 , 1 1,x f x x x tìm 
0
lim ( )
x
f x
.
Bài 5: Tính các giới hạn sau 
1)
7 4
10 5
1 2 1
3 3 50
3 2
lim .
4 2x
x x x
x x x
 2)
2
2
1
lim .
2 5x
x x
x
 3)
3
2
2 8
lim .
1x
x
x
4)
2
3 3
3
lim .
1x
x
x
 5)
2
20
sin
3lim .
3x
x
x
 6)
 0
arcsin 2
lim .
x
x
x
6)
 0
t an5
lim .
s in3x
x
x
 7) 
0
1 cos 4
lim .
s in4x
x
x
 8)
 sin
0
1
lim .
x
x
e
x
9)
 2
20
ln(1 3 )
lim .
sin (3 )x
x
x
 10)
 40
1 1
lim .
1 1x
x
x
 11)
 0
sin(sin )
lim .
sinx
x
x
12) 
20
1 cos 2
lim .
tanx
x
x
 13)
 2 35
0
(1 ) 1
lim .
sin 2x
x x
x
14)
 4
sin cos
lim .
4
x
x x
x
15)
 1
1
1
lim .
ln
x
x
e
x
16)
 1
1
sin( 1)
lim .
ln
x
x
e
x
 13 
Bài tập Chương 1 
GV. Phan Trung Hiếu 
Bài 6: Tính các giới hạn sau 
1)
2 5
7
( 1)(1 2 )
lim .
3x
x x
x x
 2)
3
3
2 50
sin( )ln(1 3 )
lim .
(arctan ) ( 1)xx
x x
x e
3)
 20
(1 1 )(1 cos 2 )
lim .
ln(1 )arcsinx
x x
x x
 4)
4
3 40
(1 )(1 cos )
lim .
sin
x
x
e x
x x
5)
 2
0
1 cos
lim .
s in3x
x
x x
 6)
 2
20
ln(1 2 sin )
lim .
s in( ) tanx
x x
x x
7)
32 3
44
1 8
lim .
1x
x x x
x
 8)
2
20
cos
lim .
x
x
e x
x
9)
 2 2 2
2 20
sin cos
lim .
sinx
x x x
x x
 10)
2 2
30
s in2 arcsin arctan
lim .
3 4x
x x x
x x
11)
3 2 4
3 2 30
1 cos 2 sin sin 3
lim .
tan 6sin 5x
x x x x x
x x x x
 12)
2
0
lim .
1 sin cosx
x
x x x
13)
 22
arctan(2 ) 2 sin( 2)
lim .
4x
x x
x 
14)
 21
cos sin
2lim .
( 1)x
x
x
x
15)
2 2
20
2 3
lim .
(2 3 )
x x
x xx
 16)
 3
20
cos cos
lim .
sinx
x x
x
Bài 7: Tính các giới hạn sau 
1) 
 0
2
lim cot
s in2x
x
x
. 2) 
2
lim
1 1x
x x
x x
. 
2) 2 2lim 1 1x x x x x . 3) 2 2lim 2 2x x x x x x . 
4) 2lim 1 .x x x x 5) 
2
1 sin
lim tan
cos 2x
x
x
x
. 
6) 
1
lim (1 ) tan
2x
x
x . 7) 
lim 2 .sin
x
x
x
. 
8) 
2 2 2 2
30
8
lim 1 cos cos cos .cos
2 4 2 4x
x x x x
x
. 9) 
lim arctan .
4 1x
x
x
x
10) 
3 12 1
lim .
2 3
x
x
x
x
 11) 
2cot2
0
lim 1 .
x
x
x 12) 
1
2
0
lim 1 sin( ) .x
x
x x
13) 
1
sin
0
1 tan
lim
1 sin
x
x
x
x
.
14) 
sin
lim .
2 7 5sinx
x x
x x 
Bài 8: Hàm chi phí C của x đơn vị sản phẩm nào đó được cho bởi 2( ) 50000 20 0, 3C x x x . Tìm 
lim ( )
x
C x
 và giải thích ý nghĩa kết quả tìm được. 
 14