Bài tập Toán rời rạc

BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC 
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LOGIC 
1/ Xét chân trị của các vị từ ( )p x , p(x)q(x), p(x)q(x), p(x) q(x) và p(x)  q(x) tùy theo biến thực x : 
 a) p(x) = “ x2 2x 8 0 “ và q(x) = “ (x + 1)(x 2) 1 > 0 “ 
 b) p(x) = “(3 2x)(x + 4) 1 0 “ và q(x) = “ (x2 + x 2)(x 3x + 10) > 0 “ 
2/ Cho a R. Viết mệnh đề phủ định A nếu A có nội dung như sau : 
 a) 2a
3
 +5a = 10 b) (2a 5)(3a + 1) 1 7 c) 8 5a 2 d) ln(a2 a 2) < 3 
 e) Khoảng 2/3 số học sinh có thể chất tốt f) Không đến 3/4 số tài xế có bằng lái hợp lệ 
 g) Không quá 2/5 dân số tốt nghiệp đại học h) Hơn một nửa số Bộ trưởng thực sự có năng lực 
 i) Không ít hơn 1/6 số trẻ em bị thất học j) Nhiều nhất là 30 ứng viên thi đạt ngoại ngữ 
 k) Có ít nhất 5 sinh viên đạt giải thưởng l) Đúng 12 thí sinh dự vòng chung kết của cuộc thi 
 m) Hơn 7 vận động viên phá kỷ lục quốc gia n) Ít hơn 16 quốc gia thi đấu môn bóng rổ 
 o) Nếu Sơn thắng trận thì anh ấy được đi Paris p) Không ai muốn làm việc vào ngày chủ nhật 
 q) Cả lớp nói chuyện ồn ào r) Có ai đó gọi điện thoại cho Tuấn s) Các cầu thủ không thích bơi lội 
 t) Hắn thông minh nhưng thiếu thận trọng u) Ngọc học Toán mà không học Lịch sử 
 v) Dũng cùng An đi thi ngoại ngữ w) Vũ vừa giỏi Vật Lý vừa giỏi Hóa học 
 x) Hải đạt kết quả thấp ở cả môn Tin học lẫn môn Toán y) Họ đến trường hay họ đi xem phim 
 z) Chúng tôi đi Vinh nhưng các anh ấy không đi Huế ) Nhóm bác sĩ hay nhóm kỹ sư đi làm từ thiện 
 Từ bài 3 đến bài 5, các ký hiệu p, q, r và s là các biến mệnh đề . 
3/ Rút gọn các dạng mệnh đề sau : 
 a) [(p  q)  (p  q )]  q b) p q  [( p  q )  q ] c) p  q  ( p  q  r) 
 d) p  (q  r)  ( p  q  r) e) (p q) [ q  ( q  r)] f) p  (p  q )  (p  q  r )  (p  q  r  s ) 
4/ Chứng minh 
 a) [(p  q)  p q  p q ] (p  q) b) [{(p r)  (q r)} (p q)] ( p  q  r ) 
 c) {(p q)  [p (q  r)]} (p q) d) {[( p  q  r ) q ] (p  r)} (p  q  r) 
 e) {[q (p  r)]  ( )p r q } [(p  r)  q ] f) [p (q  r)] [ r ( q p )] 
 g) [(p  q)  (q  r)  (r  p)] [(p  q)  (q  r)  (r  p)] h) [p ( q r)] [(q  r ) p ] 
 i) [(p q)  (q r)  (r p)] [(p  q)  (q  r)  (r  p)] j) [ ( q p )  p) ] p q 
5/ Chứng minh các dạng mệnh đề sau là hằng đúng hoặc hằng sai : 
 a) (p  q) (p  q  r) b) (p q) [(q r) (p r)] c) [p (q  r)] (p q) 
 d) [(p q)  (q r)] [p (q r)] e) {[(p q) (r p )] (q r )}  p 
 f) [ p  (q  r)] [ (p  q)  r] g) (r  q) ( p  q) h) [(p q ) q]  p q 
 i) [p (q r)]  (p r )  p q j) (p  q )  ( q p )  (q  r) 
6/ Cho các lượng từ  và  ( ,  {,} ). Xét chân trị của A và viết A tùy theo dạng cụ thể của  và  : 
 a) A = “ x R, | x | = x3 “ b) A = “ x Q, x2 2x > 2 “ c) A = “ x R, n N, 2n x < 2n + 1 “ 
 d) A = “ x R, y R, (x2 = y2) (x = y) “ e) A = “ x Q, y R, (x2 + 2x 15)y = 0 “ 
 f) A = “ x R, y Q, x2 + 4x y2+ 7 “ g) A = “ x R, k Z, (x y)2 2 2 “ 
 7/ Viết dạng phủ định của A và xét chân trị A( xét trực tiếp A hay xét gián tiếp A ): 
 a) A = “n N, 4|n2 4|n“ b) A = “x R, sinx + 2x =1“ c) A = “x R,y R, 2x + 3siny > 0“ 
 d) A = “ x R, y N, (x2 y2) (x y) “ e) A = “ x R, y Q, 2y + 2 y sinx + 3 “ 
 f) A = “ x R, y Q, t Z, x y2 + 2t “ g) A = “ x Q, y R, t N, x3 3y 5t “ 
8/ Chứng minh qui nạp theo số nguyên n : 
 a) 1
3
 + 2
3
 +  + n3 = 4 1n2(n + 1)2 n 1 b) 1.1! + 2.2! +  + n.n! = (n + 1)! 1 n 1 
 c) 1.2.3 + 2.3.4 +  + n(n + 1)(n + 2) = 4 1n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n 1 d) 2n < n! n 4 
 e) n
2
 < 2
n
 n 5 ( để ý (n + 1)2 < 2n2 n 3 ) f) n3 < 2n n 10 ( để ý (n + 1)3 < 2n3 n 4 ) 
 g) 2
 1
n + 1 1 1 + 2 1 + 3 1 +  + ( 2n ) 1 (n + 1) n 0 
 h) 8 | ( 3
n
 + 7
n
 2 ) n 0 i) 4 | ( 6.7n 2.3n ) n 0 j) 3n + 1 | ( 32 1
n
 ) n 0 
 k) Cho a R \ { 0 } và ( a + a 1 ) là số nguyên. Chứng minh ( an + a n ) là số nguyên n 1. 
 l) Cho dãy số Fibonacci a0 = 0,a1 = 1 và an + 2 = an + 1 + an n 0. Chứng minh rằng 
 an = ( 5 )
 1
( n n) n 0 với và  là 2 nghiệm thực của phương trình x2 x 1 = 0 thỏa >  . 
9/ Giải thích sự đúng đắn của các sự suy luận dưới đây (p, q, r, s, t và u là các biến mệnh đề) : 
 a) [p  (p q)  (s  r)  (r q )] (s  t) b) [( p  q)  ( p r)  ( r  s)] ( q s) 
 c) { s  [ ( p  q) r] u  [ r (s  t)]  (u  t )] } p d) [(p q)  r  q ] p r 
 e) {[p (q r)]  (t q)  s  (p  s)} ( r t ) f) (p  r  q ) [(p  r)  q] 
 g) {[p (q r)]  ( q p )  p} r h) {[(p  q) r]  (r s)  s } (p q ) 
 i) {(p q)  (r s)  [(s  q) (p  t)]  (t p )} ( p  r ) j) [p  (p q)  (r  q )] r 
 k) {(p q)  (r s)  [(s  q) t]  t } ( p  r ) l) [(p q)  ( r q )  r ] p 
 m) {[p (r  q)]  p  q  [r (s  t)]  s } t n) [(p  q)  (p r)  r ] q 
10/ Chỉ ra sự sai lầm của các sự suy luận dưới đây (p, q, r và s là các biến mệnh đề): 
 a) [(p  q)  r] [p  (q  r)] b) [(p  q) r] [p  (q r)] c) {[p  ( r q )]  p q } 1 
 d) {[(p q)  (q r)]  [(p (q r)]} O e) {[ p {(q r)  s}]  [s ( r  p)]} 1 
 f) [( r  q)  (s p )] q g) [(p (q r)] (p r) h) [(p  q) r] [(p r)  (q r)] 
 i) [( p q)  q] p j) [(p q)  p ] q k) [(p  q)  (q r)  ( s q)  (r  s )] s 
 l) {(p r)  p  [p (q r )]  ( s  q )} s m) {[(p  r) q]  (q p) } (p q) 
 n) [(p  q  r)  ( )p q r  ] {[p  (q  r)]  p q r  } 
11/ Cho các vị từ p(x) và q(x) theo biến x A. Chứng minh 
 a) [ x A, p(x)  q(x) ] [ ( x A, p(x))  ( x A, q(x)) ] 
b) [ x A, p(x)  q(x) ] [ ( x A, p(x))  ( x A, q(x)) ] 
c) [ x A, p(x)  q(x) ] [ ( x A, p(x))  ( x A: q(x)) ] 
 d) [ ( x A, p(x))  ( x A, q(x)) ] [ x A, p(x)  q(x) ] 
 Cho ví dụ để thấy chiều đảo của c) và d) không đúng. 
12/ Cho các vị từ p(x) và q(x) theo biến x A. Giải thích sự đúng đắn của các sự suy luận dưới đây : 
 a) {[ x A, p(x) (q(x)  r(x))]  [ x A, p(x)  s(x) ]} [ x A, r(x)  s(x) ] 
 b) {[ x A, p(x)  q(x) ]  [ x A, ( )p x ]  [ x A, ( )q x  r(x) ]  [ x A, s(x) ( )r x ]} 
 [ x A, ( )s x ] 
CHƯƠNG 2 : TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 
1/ Liệt kê các tập hợp sau đây : 
A = {1 + ( 1)n / n N} B = {n + n 1 / n N} C = {x = (m/n) / m, n Z, n 0, m2 n2 7} 
D = { 2sin(n /6) + 5 / n Z } E = { x = (m/n) / m, n Z, 17 < n 80 và 2 1 < x < 1 } 
F = { x Z / (x2 + 3x 10)(x + 4) 1 0 } G = { x Q / x4 256 và x = 3 cosx 2 sin3x } 
2/ Cho A,B  R. Viết A , B , A  B, A  B, A \ B, B \ A thành phần hội của các khoảng rời nhau trong R 
a) A = ( 9, 3)  [ 1,2]  [4,5)  (7,11]  (13,+ ] B = ( , 7]  [ 4,2)  (0,3)  (6,8]  [10,15] 
b) A = ( , 4)  [4, 7]  { 1, 2, 8, 10 } B = ( 5, 1]  [6, 9)  { 6, 3, 5, 10 } 
3/ Cho A, B, C, D  E. Hãy rút gọn các biểu thức sau đây : 
a) ( A \ B )  ( B \ A )  ( A  B ) b) ( A  B ) \ [ ( A \ B )  ( A  B ) ] c) A B ( A  B  C ) 
d) ( A  B )  ( A  B C D )  ( A B ) e) A ( A  B )  ( A  B C )  ( A  B  C D ) 
4/ Cho A,B,D  E. Chứng minh 
a) D \ ( A  B ) = ( D \ A )  ( D \ B ) b) D \ ( A  B ) = ( D \ A )  ( D \ B ) 
c) ( A  B ) \ D = ( A \ D )  ( B \ D ) d) ( A  B ) \ D = ( A \ D )  ( B \ D ) 
e) ( A \ B ) \ D = A \ ( B  D ) = ( A \ D ) \ ( B \ D ) 
5/ Cho A, B, H, K  E. Chứng minh 
a) [ ( A  H )  ( B  K ) ]  [ ( A  B )  ( H  K ) ] 
b) [ (A  B ) \ ( H  K ) ]  [ ( A \ H )  ( B \ K ) ]  [ ( A  B ) \ ( H  K ) ] 
c) [ ( A  B ) \ H ]  [ A  ( B \ H )] d) [ (A  B ) \ ( A  H ) ]  ( B \ H ) 
 Cho các ví dụ để thấy trường hợp không có dấu đẳng thức xảy ra trong a), b), c) và d) . 
6/ Cho A = { 0, 1, a }, B = { a, 2 } và C = { 2, b }. 
a) Liệt kê các tập hợp A2, A x B, C x A, B x C và C x B. 
b) Liệt kê các tập hợp B3, A x B2, C x A x C, A x B x C và C2 x B. 
7/ Cho A, B  E và H, K  F. Chứng minh 
a) A x ( H \ K ) = ( A x H ) \ ( A x K ) b) [ ( A x H ) \ ( B x K ) ] = [ ( A \ B ) x H ]  [ A x ( H \ K ) ] 
c) ( A x H )  ( B x K ) = ( A  B ) x ( H  K ) d) [ ( A x H )  ( B x K ) ]  [ ( A  B ) x ( H  K ) ] 
e) [ ( A \ B ) x ( H \ K )]  [ ( A x H ) \ ( B x K ) ] 
 Cho các ví dụ để thấy trường hợp không có dấu đẳng thức xảy ra trong d) và e). 
8/ Các qui tắc f : X Y sau có phải là ánh xạ không ? Tại sao ? 
a) X = ( 2, 1], Y = R, f(x) = x(x2 + 2x 3) 1 x X b) X = R, Y = (6, + ), f(x) = ex + 9e x x X 
c) X = Y = R, f(x) = ln| sinx | x X d) X = [ 1, + ), Y = R, f(x) = y sao cho y2 2y = x x X 
e) X = [1, 3],Y = R\{0}, f(x) = 3x
2
 9x + 5 x X f) X = Q,Y = Z, f(m/n) = m2 + 3n mn (m/n) X 
9/ Xét tính đơn ánh và toàn ánh của các ánh xạ f : X Y sau : 
a) X = Y = R, f(x) = x(x
2
 + 1)
 1
 x X b) X = [ 2, + ), Y = ( 20, + ), f(x) = x2 + 6x 3 x X 
c) X = Y = R, f(x) = (x 1)(x + 3) (x 4) x X d) X = R\{0}, Y = R, f(x) = (2x 3)x 1 x X 
e) X = R, Y = [ 2, 2], f(x) = sinx + 3 cosx x X f) X = Y = R, f(x) = 3cos2x 7x + 8 x X 
10/ Xác định u = gof, v = fog (nếu có) và w = hogof khi f : X Y, g : Z T và h : U V trong đó 
a) X = Y = Z = T = U = V = R, f(x) = 2x + 1, g(x) = x
2
 + x 3 và h(x) = x3 + 4cosx 
b) X = T = U = (0,+ ), Y = Z = R, V = [1, + ), f(x) = 3lnx 2, g(x) = esinx và h(x) = 5x4 x2 + 1 
c) X = V = R,Y = Z = R\{1},T = U = R\{ 3}, f(x) = x2 4x + 6, g(x) = (3x + 2)(1 x) 1 và h(x) = ln| x + 3| 
 11/ Tìm f(A), f(B), f(C), f(D), f(E), f(R), f
 1
(G), f
 1
(H), f
 1
(K), f
 1
(L), f
 1
(M) và f
 1
(N) cho các ánh xạ sau 
a) f : R R với f(x) = x 5 (nếu x 1) và f(x) = 2x + 1 (nếu x > 1) trong đó 
A = { 1, 0, 1, 2, 3 }, B = [1,3], C = ( 1,2), D = ( ,0] và E = (3,+ ), G = { 7, 5, 3, 1, 2, 5, 7, 9 }, 
H = [ 7, 5], K = ( 5, 5), L = [7, + ), M = [1, 9) và N = ( 3, 2]. 
b) f : R R với f(x) = x + 7 (nếu x 0), f(x) = 5 2x (nếu 0 < x < 3) và f(x) = x 1 (nếu x 3) 
 trong đó A = { 2, 1, 0, 1, 2, 4, 5 }, B = [ 2, 1], C = (2, 4), D = ( 1, 5], E = [0, + ), 
G = { 5, 2, 1, 0, 4, 5, 7, 10, 11 }, H = [ 5, 1], K = ( , 0], L = [ 2, 4), M = (5, 10] và N = (7, 11). 
12/ Chứng minh các ánh xạ dưới đây là song ánh và viết ánh xạ ngược của chúng : 
a) f : R ( 1, 1), f(x) = x(1 + | x |) 1 b) g : R R, g(x) = ex 3e x + 1 
c) h : [1, 2) [5, 7), h(x) = 3x + 2x 1 d) p : R ( 2, 3), p(x) = (9 2ex) (ex + 3) 1 
e) q : R\{1} R\{ 3}, q(x) = (5 3x) (x 1) 1 f) r : (0, 3] (2, 4 1.17], r(x) = (x + 1) + (x + 1) 1 
g) Tìm các ánh xạ u,v,w thỏa p 1ou = g, vof = g và f
 1
owop = g. 
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẾM 
1/ Cho các tập hợp hữu hạn A, B, C  E. 
 Chứng minh | A  B  C | = | A | + | B | + | C | ( | A  B | + | B  C | + | C  A | ) + | A  B  C | 
2/ Cho E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {2,4,5,7,9},B = {2,5,9}, C = {1, 3, 8} và D = {0, 2, 4, 5, 7, 8, 9}. 
 a) Có bao nhiêu tập hợp X  E thỏa X = A ? 
 b) Có bao nhiêu tập hợp Y, Z, T, W  E thỏa A  Y = B, A  Z = D, (A \ T) = B và (W \ A) = C ? 
3/ Có bao nhiêu số nguyên tự nhiên chẵn ( hoặc dãy số với chữ số cuối cùng chẵn ) gồm 6 chữ số khác 
 nhau mà trong đó có chữ số 0 ? 
4/ Cho S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Có bao nhiêu tập A  S thỏa 
 a) | A | = 5 b) | A | = 5 và minA = 3 c) | A | = 5 và minA 3 d) | A | = 5 và min A 4 
5/ Cho S = {1, 2,, n}. Có bao nhiêu tập A  S sao cho A có ít nhất một số nguyên chẵn? ( xét n chẵn, lẻ ) 
6/ Tìm n 7 biết rằng chỉ có một phần tư số tập con gồm 5 phần tử của S = { 1, 2,  , n } có chứa số 7. 
7/ Cho S = {1, 2, 3,  , 14, 15}. Có bao nhiêu tập A  S mà 
 a) A chỉ có toàn số lẻ b) A có 3 số lẻ c) | A | = 8 và A có 3 số lẻ d) A có 3 số lẻ và ít nhất 5 số chẵn 
8/ Có bao nhiêu cách chia n sinh viên thành 2 đội ( n 2 ) mà trong đó 
a) một đội học Anh Văn và một đội học Pháp văn ? 
 b) cả hai đội cùng đi làm công tác xã hội như nhau ? ( xét n chẵn, lẻ ) 
9/ Từ 10 nam và 10 nữ, có bao nhiêu cách chọn ra một đội gồm 12 người thỏa 
 a) chọn tùy ý b) đội có 6 nam c) đội có ít nhất 8 nam d) đội có nam ít hơn nữ e) đội có số nam chẵn 
10/ Có bao nhiêu byte khác nhau chứa 
 a) 3 bit 1 b) ít nhất 4 bit 1 c) không quá 5 bit 1 d) ít nhất 3 bit 0 và 3 bit 1 
11/ Có bao nhiêu cách chia 12 bút khác nhau cho 4 đứa trẻ nếu 
 a) mỗi đứa được 3 bút b) hai đứa lớn mỗi đứa 4 bút và hai đứa nhỏ mỗi đứa 2 bút 
12/ Tìm hệ số của đơn thức 
 a) xy
2
z
3
t khi khai triển (x + 2y z + 4t 5u)7 b) x3y9z4t3 khi khai triển ( 2x y3 3z2 + 4t3 )9 
 13/ Xét tất cả các tam giác tạo từ 3 đỉnh khác nhau của một đa giác đều có n cạnh ( n 4 ) . 
 a) Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy ? b) Có bao nhiêu tam giác có chung 2 cạnh với đa giác trên? 
 c) Có bao nhiêu tam giác có chung đúng 1 cạnh với đa giác trên ? 
 d) Có bao nhiêu tam giác không có chung cạnh nào với đa giác trên ? 
14/ Có bao nhiêu cách xếp a) 5 nam và 5 nữ xen kẽ nhau thành một hàng dọc? 
 b) 6 nam và 4 nữ thành một hàng dọc sao cho 6 nam đứng gần nhau? 
 c) 6 nam và 4 nữ thành một hàng dọc sao cho 4 nữ đứng gần nhau? 
 d) 6 nam và 4 nữ thành một hàng dọc sao cho 6 nam đứng gần nhau và 4 nữ đứng gần nhau? 
 e) 6 nam và 4 nữ thành một hàng dọc sao cho 6 nam đứng gần nhau hay 4 nữ đứng gần nhau? 
 f) 6 bác sĩ, 7 kỹ sư và 8 luật sư thành một hàng ngang sao cho các đồng nghiệp đứng gần nhau? 
15/ Có bao nhiêu cách xếp 5 cặp vợ chồng vào một bàn tròn có 10 ghế được đánh số thứ tự nếu 
 a) xếp tùy ý ? b) những người nam ngồi gần nhau c) vợ chồng ngồi gần nhau 
16/ Có bao nhiêu cách treo 3 áo đỏ,4 áo trắng và 5 áo xanh thành một hàng dọc (các áo khác nhau) nếu 
 a) treo tùy ý b) các áo cùng màu treo gần nhau c) các áo màu trắng treo gần nhau 
17/ Làm lại bài 16 nhưng với giả thiết là các áo cùng màu được xem là giống nhau. 
18/ Có bao nhiêu cách chọn 20 tờ giấy bạc từ các loại tiền 1 đồng, 2 đồng, 5 đồng, 10 đồng và 20 đồng ? 
 Nếu yêu cầu thêm có ít nhất 7 tờ 5 đồng và không quá 8 tờ 20 đồng thì có bao nhiêu cách chọn ? 
19/ Tìm số nghiệm nguyên của phương trình x + y + z + t = 32 ( hay bất phương trình x + y + z + t 32 ) 
 nếu 
 a) x, y, z, t 0 b) x 2, y 3, z 1, t > 5 c) x > 1, y 4, z > 4, t 3 d) x, y, z > 0 và 1 t < 25 
20/ Có bao nhiêu cách chia 18 viên kẹo giống nhau cho 5 đứa trẻ nếu 
 a) chia tùy ý b) đứa nào cũng được kẹo c) đứa lớn nhất có 6 viên 
 d) đứa nhỏ nhất được ít nhất 4 viên e) đứa lớn nhất nhận không quá 7 viên 
21/ Khi khai triển (x + y + z + t)10, ta được bao nhiêu đơn thức khác nhau ? 
 Trong số đó có bao nhiêu đơn thức xmynzu tv (không kể hệ số phía trước) thỏa m 2, n 3 và v 1 ? 
22/ Có bao nhiêu cách chia 15 viên kẹo chanh (giống nhau) và 10 viên kẹo dừa (giống nhau) cho 6 đứa 
 trẻ sao cho đứa nào cũng có cả hai thứ kẹo ? 
23/ Có bao nhiêu cách mua 20 hộp sơn với đúng 7 màu trong số 10 màu mà cửa hàng có ? 
24/ Xét chuỗi ký tự bao gồm phần mẫu tự đứng trước và phần chữ số đứng sau. Phần mẫu tự có 8 mẫu tự 
 , , , , , , , ,  xếp tùy ý ( , ,  là 3 mẫu tự khác nhau lấy tùy ý từ A, E, H, P, Y ). Phần chữ số 
 là 6 chữ số xyzuvw( x, y, z, u, v, w được lấy tùy ý từ 0, 1, 2,  , 8, 9 ) thỏa 7 x + y + z + u + v + w 9 
 Hỏi có tất cả bao nhiêu chuỗi ký tự như vậy ? 
25/ Cho A  S = { 1, 2,  , 25 } thỏa | A | 14. Chứng minh rằng có a, b A thỏa a b và a + b = 26 
26/ Cho A  S = { 1, 2,  , 100 } thỏa | A | 11. Chứng minh rằng có x, y A thỏa 0 < | x y | < 1. 
 Tổng quát hóa kết quả trên theo 2 hướng khác nhau: theo | S | hoặc theo ( n x và n y ). 
27/ Lấy 10 điểm khác nhau tùy ý trên một tam giác đều có cạnh bằng 3cm. 
 Chứng minh rằng trong số đó có ít nhất 2 điểm có khoảng cách không quá 1cm. 
 28/ Từ thứ hai đến thứ bảy của mỗi tuần có 12 buổi (sáng và chiều). Có 782 sinh viên đăng ký học đàn 
 theo các buổi nói trên trong tuần: mỗi sinh viên có thể chọn từ 2 đến 4 buổi. 
 Chứng minh rằng có ít nhất 2 sinh viên có lịch học trong tuần hoàn toàn giống nhau. 
29/ Xếp các con số 1, 2,  , 25 một cách tùy ý trên một đường tròn. Chứng minh rằng có 3 số gần nhau 
 trên đường tròn có tổng 41 và có 3 số gần nhau trên đường tròn có tổng 37. 
30/ Cho A  S = { 1, 2,  , 14 } thỏa | A | 6. 
 Chứng minh có H,K  A ( mà  H K  ) thỏa | H | 5, | K | 5 và 
h H
h
 = 
k K
k
 . 
CHƯƠNG 4 : HỆ THỨC ĐỆ QUI 
1/ Giải các hệ thức đệ qui tuyến tính thuần nhất sau đây : 
 a) a0 = 2 và an + 1 = 3an n 0 b) a1 = 5 và an = 8an 1 n 2 c) a2 = 28, a3 = 8 và an = 4an 2 n 4 
d) a0 = 1, a1 = 0 và an + 1 = 5an 6an 1 n 1 e) a1 = 6, a2 = 8 và an + 2 = 4an + 1 4an n 1 
2/ Giải các hệ thức đệ qui tuyến tính không thuần nhất sau đây : 
 a) a0 = 3 và an = an 1 + 9 n 1 b) a1 = 13 và an + 2 = 2an + 1 + 5.3
n + 1 n 0 
 c) a2 = 61 và an + 1 = 3an + 4n 6
 n 2 d) a0 = 7 và an + 1 = 4an 2( 4)
n + 1
(n 2) n 0 
 e) a3 = 128 và an + 2 = 5an + 1 12 
 n 2 
3/ Giải các hệ thức đệ qui tuyến tính không thuần nhất sau đây : 
 a) a0 = 1, a1 = 2 và an + 2 = 5an + 1 6an + 4 n 0 b) a1 = 4, a2 = 19 và an + 1 = 5an 4an 1 + 3 n 2 
 c) a2 = 5, a3 = 26 và an = 2an 1 an 2 10 n 4 
 d) a0 = 3, a1 = 5 và an = 2an 1 + 3an 2 + 8( 1)
 n + 1
 n 2 
 e) a1 = 13, a2 = 50 và an + 2 = 7an + 1 10an + (40n 1) 3
n
 n 1 
 f) a2 = 28, a3 = 149 và an + 1 = 2an an 1 12n
2
 24n + 4 n 3 
4/ Tính các tổng số sau theo n nguyên : 
 a) Sn = 1
3
 + 2
3
 +  + n3 (n 1) b) Sn = 1
4
 + 2
4
 +  + n4 (n 1) c) Sn = 1
4
 + 2
4
 +  + ( 1)nn4 (n 1) 
 d) Sn = 
0
( 1)( 2)2
n
k
k
k k
  (n 0) e) Sn = 
0
(2 1)( 3)
n
k
k
k
  (n 0) f) Sn = 3 2
1
( 2 4 )( 1)
n
k
k
k k k
  (n 1) 
5/ Vẽ n đường thẳng trong mặt phẳng cắt nhau từng đôi một nhưng trong đó không có 3 đường thẳng nào 
 đồng qui (n 1). Các đường thẳng này chia mặt phẳng thành bao nhiêu miền rời nhau từng đôi một ? 
6/ Giả sử dân số thế giới năm 2000 là 7 tỉ người và tốc độ tăng dân số thế giới là 3% mỗi năm. 
 Tính dân số thế giới vào năm n (n 2000). 
7/ Có bao nhiêu chuỗi ký tự gồm n ký tự (n ký tự này được lấy tùy ý từ các ký tự a,b,c) sao cho trong chuỗi 
 ký tự không có 2 ký tự a đứng gần nhau (n 1) ? 
8/ Có bao nhiêu chuỗi ký tự gồm n ký tự (n ký tự này được lấy tùy ý từ các ký tự 1, 2) sao cho trong chuỗi 
 ký tự ít nhất 2 ký tự 1 đứng gần nhau (n 1) ? 
9/ Cho a0 = , a1 =  và an + 2 = an + 1 + an n 0. Chứng minh rằng an = fn + fn 1 n 1 trong đó 
 fm là số hạng thứ m (m 0) của dãy số Fibonacci ( f0 = 0, f1 = 1 và fn + 2 = fn + 1 + fn n 0 ). 
10/ Tính an và bn biết rằng a0 = 1, b0 = 2, an + 1 = 3an + 2bn và bn + 1 = an + 2bn n 0. 
 ( Hướng dẫn: Tìm ,  thỏa an + 1 + bn + 1 = (an + bn) và tính un = an + bn n 0 ) 
 CHƯƠNG 5 : QUAN HỆ HAI NGÔI 
1/ Đặt Ik = {0, 1,  , k} k N. Hãy viết tập hợp  và xét các tính chất của quan hệ hai ngôi  trên S nếu 
 a) S = I2, x, y S : x  y 0 y x 1 b) S = I2, x, y S : x  y x
2
 + y
2
 2 
c) S = I2, x, y S : x  y 3x + y 5 d) S = I3, x, y S : x  y x + y 4 
e) S = I4, x, y S : x  y ( x = y hay x + 2y = 4 ) f) S = I4, x, y S : x  y (x + 2) | y 
2/ Xét các tính chất của quan hệ hai ngôi  trên S nếu 
 a) S = Z, x, y S : x  y x | y2 b) S = Z, x, y S : x  y y | x2 
 c) S = Q, x, y S : x  y x = | y | d) S = Q x Q, (x,u), (y,v) S : (x,u)  (y,v) x y 
 e) S = R, x, y S : x  y x y f) S = R, x, y S : x  y x = 2y ( để ý 2t > t t R ) 
3/ Kiểm chứng  là một quan hệ tương đương trên S rồi viết các lớp tương đương và tập thương tương ứng: 
 a) S = { Huế, Paris, Moscou, Rome, Tokyo, Kyoto, Milan, Vinh, Lyon, ĐàLạt, Kobe, Sàigòn, Cairo, 
 Nice, Bonn, Turin, Berlin }, x, y S : x  y x và y là 2 thành phố thuộc cùng một quốc gia 
b) S = { 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2 }, x, y S : x  y x2 + 5x = y2 + 5y 
c) S = { 4, 2, 3 , 1, 0, 1, 3 , 2, 3 }, x, y S : x  y x3 + 3y = y3 + 3x 
d) S = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 21, 24, 25, 35, 42, 48}, x,y S : x  y k Z : x = 2ky (k phụ thuộc x và y) 
e) S = { 11 /6, , 4 /5, /4, /5, /7, 0, /6, /3, 5 /6, , 5 /4, 3 } 
x, y S : x  y sinx = cos(y + 2 1.7 ) 
f) S = (E) với E ={ 1, 2, 3 },  X, Y S : X  Y X  A = Y  A trong đó A = {1, 2} 
4/ Kiểm chứng  là một quan hệ tương đương trên S = R và xác định lớp tương đương [ a ] của a R 
 tương ứng ( biện luận theo tham số thực a ) 
 a) x, y S : x  y x2 + 3x = y2 + 3y 
b) x, y S : x  y x2 y2 = 2(x y) 
c) x, y S : x  y x3 12y = y3 12x ( xét riêng hai trường hợp + và ) 
d) x, y S : x  y x2y + 7x = xy2 + 7y 
e) x, y S : x  y 4x + xy2 = x2y + 4y 
f) x, y S : x  y 2cos2x sin(xy)cos2y = 2cos2y sin(xy)cos2x 
5/ Cho S = { a, b, c, d, e, f }. 
 a) Viết tập hợp  nếu  là quan hệ tương đương trên S có 3 lớp tương đương là {a, d, f},{c, e} và {b}. 
 b) Trên S có bao nhiêu quan hệ tương đương chia S thành 3 lớp tương đương có số phần tử của các lớp 
 lần lượt là 3, 2, 1 (tương tự như quan hệ tương đương ) ? 
 c) Trên S có bao nhiêu quan hệ tương đương chia S thành 3 lớp tương đương ? 
6/ Kiểm chứng  là một quan hệ thứ tự trên S.  là thứ tự toàn phần hay bán phần? Tại sao ? 
 Vẽ sơ đồ Hasse cho (S,) và tìm min,max và các phần tử tối tiểu và tối đại (nếu có): 
 a) S = { 2, 3,  , 11, 12 }, x, y S : x  y [ (x lẻ và y chẵn) hay (x y chẵn và x y) ] 
b) S = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20 }, x, y S : x  y x | y (quan hệ ước số) 
c) S = { 2, 3, 4, 6, 8, 16, 24, 32, 48, 96 }, x, y S : x  y x | y 
d) S = { 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30,40, 50 }, x, y S : x  y x  y (quan hệ bội số) 
e) S = { 2, 3, 4, 5, 7, 8, 24, 48, 96 }, x, y S : x  y x  y 
f) S = { 96, 768, 6, 48, 384, 3, 24 }, x, y S : x  y k N: y = 2kx ( k phụ thuộc x và y ) 
7/ Cho S = { a = 2
m
3
n
/ m, n N , m 3 và n 2 } với các quan hệ thứ tự | và  . 
a) Vẽ sơ đồ Hasse và tìm min,max cho (S, | ) và (S, ) . 
 b) Đặt T = S \ { 1, 2, 72 }. Vẽ sơ đồ Hasse rồi tìm các phần tử tối tiểu và tối đại của (T, | ) và (T, ). 
8/ Cho S = { a, b, c } với quan hệ thứ tự . 
 Giả sử a là một phần tử tối tiểu và c là một phần tử tối đại của (S, ). 
 a) Vẽ tất cả các trường hợp khác nhau có thể xảy ra cho sơ đồ Hasse của (S, ). 
 b) Yêu cầu như a) nhưng có thêm điều kiện “ b cũng là một phần tử tối đại của (S, ) “ . 
9/ a) Giải thích thứ tự sắp xếp của các từ sau trong từ điển tiếng Anh : 
 individual, indistinct, real, indite, confirmation, individualism và red . 
 b) Giải thích thứ tự sắp xếp của các dãy số sau theo thứ tự từ điển : 
 852604, 74596, 935, 7489, 85297440, 85297311 và 7489231. 
10/ Vẽ sơ đồ Hasse cho (S, ) rồi toàn phần hóa (sắp xếp topo) các thứ tự bán phần sau: 
 a) S = { a, b, c, d, e, f, g, h, i } với d a, b e, g e, h f, i e và h d. 
 b) S = { 1, 2, 4, 5, 12, 15, 20 } với là quan hệ | (ước số) . 
 c) S = { 2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 16 } với là quan hệ  (bội số) . 
 d) S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } với là quan hệ | (ước số) . 
CHƯƠNG 6 : HÀM BOOL 
1/ Tìm dạng nối rời chính tắc cho các hàm Bool sau đây : 
 a) f(x, y, z) = x  y  x(y  z) b) f(x, y, z, t) = (xy  zt)(x  z) )(xz  yt)(xt  yz) 
 c) f(x, y, z) = ( x  yz)( y  xz)( z  xy) d) f(x, y, z, t) = yz  zt  xt  (xy  y z  x t )xyt 
 e) f(x, y, z, t) = xyz  y zt [x t (x  y) (z  t)]  [(x  z) (y  t)]  [(x  t)(y  z)] 
2/ Tìm các công thức đa thức tối tiểu cho các hàm Bool f có 4 biến rồi viết dạng nối rời chính tắc cho f 
 và f biết rằng S = Kar(f) hay S = ( Phần bù của S trong bảng mã của B4 ) như sau : 
 a) S = { (1,1), (1,3), (2,2), ( 2,4), (3,1), (3,3), (4,2), (4,4) } b) S = { (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,4), (4,3) } 
 c) S = { (1,2), (1,3), (2,1), (3,1), (4,2), (4,3) } d) S = { (1,1), (1,4), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1) } 
e) S = { (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,4) } f) S = { (1,1), (2,2), (2,3), (3,1), (4,1) } 
g) S = { (2,2), (2,3), (2,4), (3,4), ( 4,1), (4,2) } h) S = { (1,3), (2,1), (2,2), (3,4) } 
3/ Ký hiệu x’ = x , y’ = y , z’ = z và t’ = t . 
 Tìm các công thức đa thức tối tiểu cho các hàm Bool f có 4 biến rồi viết dạng nối rời chính tắc cho f 
 và f biết rằng f có dạng đa thức như sau : 
a) f(x, y, z, t) = yt’  xyz’  x’yz  xy’z t’  x’y’z’t’ 
b) f(x, y, z, t) = xzt’  y’z’t’  xyt  x’yz  x’y’z’t’  x’yz’t 
c) f(x, y, z, t) = x’y’z’t’  yzt  xy’z  xyz’t  yzt’  x’y’t 
d) f(x, y, z, t) = x’yz  xy’  xz’t’  x’yt’  xyzt’  y’zt 
e) f(x, y, z, t) = xy’zt’  yz’t  x’y’zt’  yz’t’  x’yz  xy’z’t’ 
 f) f(x, y, z, t) = x’z’t’  xyzt  xy’z’t’  xy’t  x’zt’  x’yz’t 
g) f(x, y, z, t) = xyzt  x’y’  xz’t  yz’t’ 
h) f(x, y, z, t) = z’t’  xyt’  x’yz’  x’y’zt’  xy’z’t  y’zt 
4/ Vẽ mạng các cổng tổng hợp hàm Bool f trong bài 2 và 3 (dùng một công thức đa thức tối tiểu của nó) 
5/ a) Có bao nhiêu hàm Bool 6 biến lấy giá trị 1 tại các vector Bool có đúng 2 biến là 1 ( và lấy giá trị 
 tùy ý tại các vector Bool khác ) ? 
 b) Có bao nhiêu hàm Bool 6 biến lấy giá trị 1 tại các vector Bool có ít nhất 2 biến là 1( và lấy giá trị 
 tùy ý tại các vector Bool khác ) ? 
 c) Có bao nhiêu hàm Bool 6 biến không phụ thuộc biến thứ nhất ? 
 d) Có bao nhiêu hàm Bool 6 biến không phụ thuộc 3 biến đầu tiên ? 
CHƯƠNG 7: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ 
1/ Vẽ phác họa các đồ thị vô hướng liên thông (đơn đồ thị, đa đồ thị không có cạnh song song, đa đồ thị 
 không có vòng, đa đồ thị có cả vòng và cạnh song song) có bậc của các đỉnh lần lượt là 
 a) 1, 2, 2, 3 (chỉ có 3 trường hợp đầu) b) 1, 1, 1, 3, 3, 3 (chỉ có 3 trường hợp đầu) c) 1, 2, 3, 3, 4, 5 
 d) 2, 2, 2, 4, 4, 4 
2/ Cho đồ thị vô hướng G = (V, E). Tìm | V | nếu 
 a) | E | = 12 và mọi đỉnh có bậc 2 b) | E | = 21, G có 3 đỉnh bậc 4 và các đỉnh khác bậc 5 
 c) | E | = 6 và mọi đỉnh có cùng bậc d) | E | = 16, G có 3 đỉnh bậc 5 và các đỉnh khác có bậc 3 và 4 
3/ Cho đồ thị vô hướng G = (V, E). 
 a) | V | = 9 và mọi đỉnh có bậc 5 được không? b) | V | = 6 và các bậc là 6 số nguyên liên tiếp được không? 
 c) Giả sử mọi đỉnh có bậc r lẻ. Chứng minh r | | E | d) Tìm max| V | nếu | E | =19 và mọi đỉnh có bậc 3 
4/ Cho G = (V, E). Viết ma trận kề MG và vẽ phác họa G. Giải thích tại sao G liên thông? G là đơn hay 
 đa đồ thị? G có chu trình hay đường Euler không? Tại sao? Nếu có thì xác định chúng theo thuật toán : 
 a) E = { AB(3), AF, AJ(3), BC(2), BK, CD(2), CH(2), CI, DF, DJ, FI(2), FK(2), HH(4), HJ,II(2), JK(3) } 
 V = { A, B, C, D, F, H, I, J, K } 
 b) E = { AB,AH,BC,BH,BJ,CD,CJ,CK,DF,DK,DL,FH,HI,IJ,JK,KL } và V = { A,B,C,D,F,H,I,J,K,L } 
 c) E = { AB, AC, AF, AH, BC, BH, CD, CH, DF(2), DI, FH } và V = { A, B, C, D, F, H, I } 
 d) E = { AA(2),AB,AF,BC,BD,BF,CF,CH(2),DH,DI,DJ,FI,HI,IJ,JJ(2) } và V = { A, B, C, D, F, H, I, J } 
 e) E = { AB(2), AD(3), BB(4), BF,BH, CC(2) ,CD,CH, DD(2 ), FF(2) ,FH } và V = { A, B, C, D, F, H } 
 f) E = { AB, AC, AD, AF, BD, CD, CH, CI, DF, DH, DI, FH, FI, HI } và V = { A, B, C, D, F, H, I } 
 g) E = { AB, AC(2), AF(2), AH(2), BF, BH(2), CD, CH, DF, FH } và V = { A, B, C, D, F, H } 
 Lưu ý: AB(3) có nghĩa là có 3 cạnh nối A với B . 
5/ Các đồ thị vô hướng G. H và L dưới đây có chu trình Euler hay đường Euler không ? Tại sao? 
 Nếu có thì xác định chúng theo thuật toán : 
6/ Cho 8 cặp đồ thị vô hướng từ (G và G’) cho đến ( T và T’) như dưới đây. Hãy cho biết cặp đồ thị nào 
 bao gồm hai đồ thị đẳng cấu với nhau ( hoặc không đẳng cấu với nhau) và giải thích tại sao ?