Dao động tham số của hệ phi tuyến cấp ba có chứa ma sát Coulomb và cản nhớt cấp phân số

Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 N. V. Khang, , T. Q. Chiến, “Dao động tham số của hệ  cản nhớt cấp phân số.” 276 
DAO ĐỘNG THAM SỐ CỦA HỆ PHI TUYẾN CẤP BA CÓ CHỨA 
MA SÁT COULOMB VÀ CẢN NHỚT CẤP PHÂN SỐ 
Nguyễn Văn Khang1*, Trần Đình Sơn2, Bùi Thị Thúy2, Trương Quốc Chiến1 
Tóm tắt: Bài báo nghiên cứu cộng hưởng điều hòa của hệ phi tuyến cấp ba có 
chứa ma sát Coulomb và cản nhớt cấp phân số sử dụng phương pháp tiệm cận. 
Nghiệm xấp xỉ giải tích được xác định và đường cong biên độ tần số được thiết lập. 
Sau đó, khảo sát điều kiện ổn định của nghiệm điều hòa bằng lý thuyết Lyapunov. 
Các kết quả số cũng được xem xét và cho thấy ảnh hưởng của các tham số trong 
đạo hàm cấp phân số đối với biên độ dao động dừng, đường cong biên độ tần số và 
điều kiện ổn định của hệ. 
Từ khóa: Đạo hàm cấp phân số; Dao động tham số; Phương pháp tiệm cận; Cộng hưởng điều hòa; Đường 
cong biên độ tần số. 
1. MỞ ĐẦU 
Năm 1819, lần đầu tiên khái niệm đạo hàm cấp n với n là số tùy ý được đề cập đến. 
Khoảng giữa các năm 1832 đến 1835, Liouville đã công bố một vài bài báo về vấn đề này. 
Năm 1847, Riemann đã đưa ra định nghĩa đạo hàm cấp phân số dựa theo các công trình 
của Liouville. Năm 1967, Caputo đưa ra một phương án mới về định nghĩa đạo hàm cấp 
phân số [19, 21-23]. Trong vòng ba thế kỷ, lý thuyết về đạo hàm cấp phân số được phát 
triển chủ yếu như là một lĩnh vực lý thuyết thuần tuý của toán học và chỉ hữu ích cho các 
nhà toán học. Tuy nhiên, một vài thập kỷ gần đây, nhiều tác giả đã chỉ ra rằng đạo hàm và 
tích phân cấp không nguyên rất phù hợp cho sự mô tả tính chất của các vật liệu thực khác 
nhau, chẳng hạn như polymer. Sự xem xét về mặt vật lý càng cho thấy việc sử dụng các 
mô hình dựa trên đạo hàm cấp không nguyên là hợp lý và phù hợp [1-3, 7-13]. 
Ở Việt Nam, các nghiên cứu áp dụng khái niệm đạo hàm cấp phân số đã được quan tâm 
nghiên cứu trong vòng một thập kỷ vừa qua [14]. Một số kết quả nghiên cứu ban đầu đã 
được công bố [4, 15-18, 24-26]. Bài báo này trình bày ảnh hưởng của cản nhớt cấp phân 
số và lực ma sát Coulomb đến tính chất dao động của một hệ phi tuyến cấp ba. 
2. THIẾT LẬP BIỂU THỨC NGHIỆM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TIỆM CẬN 
Xét dao động tham số của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân cấp ba có dạng sau 
2 2 3 3
0 sign
cos 0pp
x x x x k x hx h x
D x cx t
   

  
    
 (1) 
trong đó: 0, , , , , , ,pk h h c    là những hằng số. 
pD x là đạo hàm cấp phân số của x t . 
Giả thiết hệ có cộng hưởng 
 2 21 , 2     (2) 
Khi đó, phương trình (1) có thể được viết lại như sau: 
2 2
, , , cos 0
4 4
px x x x f x x x D x cx t  
 
       (3) 
trong đó: 
 3 3 0, , signf x x x x x k x hx h x       (4) 
Nghiệm riêng hai tham số của phương trình (3) được tìm dưới dạng chuỗi [5, 20] 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 277
2
1 2cos , , , ,
2 2 2
x a t u a t u a t    
   
 (5) 
trong đó: , ,su a   là những hàm chu kỳ 2 đối với  và  ; a và  được xác định 
từ những phương trình sau: 
2
1 2
2
1 2
, ,
, ,
da
A a A a
dt
d
B a B a
dt
   

   


 (6) 
Để xác định các hàm , ,s s su A B ta tính 
21
1 1sin cos sin
2
udx
a A aB
dt t
  
 
 
 (7) 
22 2
1
1 12 2
2
cos sin cos
4
ud x
a A aB
dt t
  

 
   
 
 
 (8) 
33 3
2 2 1
1 13 3
2
3 3
sin cos sin
8 4 4
ud x
a A aB
dt t
  

 
   
 
 
 (9) 
Trong đó: 
2
t 

 (10) 
Thế phương trình (5), (7), (8) và (9) vào phương trình (3) và so sánh các hệ số của ε ta 
được: 
3 2 2 2 2
1 1 1
1 1 13 2
2
1 1 0
cos
4 4 2
sin cos cos ,
2
u u u
u A aB
t t t
a
B A f ac t
     
  
   
    
 (11) 
Trong đó: 
2
0
3
3 3 3 3
0
cos , sin , cos
2 4
cos cos sin sin
2 2
sin cos cos sin
2 8
sign sin cos cos
2 2
sin sin
2
p p
p
p
p
p
f f a a a
a D t D t
a a ka h a
h a a D t
D t
  
  
  

  
   
 
  
 
 (12) 
Chú ý đến tính chất của đạo hàm cấp phân số ta có [25]: 
Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 N. V. Khang, , T. Q. Chiến, “Dao động tham số của hệ  cản nhớt cấp phân số.” 278 
 
 
cos cos
2
sin sin
2
p p
p p
p
D t t
p
D t t
  
  
 (13) 
Biến đổi vế phải của phương trình (12) ta được: 
3 3
0
3
3 3
0
sin cos cos
2
sin sign sin
8 2
cos cos sin sin
2 2 2
p
p
f a a ka
h a h a
p p
a
  
 

  
 
 (14) 
Khai triển Fourier hàm 0f ta có: 
 0
0
cos sinm m
m
f r a m s a m 
  (15) 
với là toán tử trung bình 
2
0 0 0
0
2
0 0
0
2
0 0
0
1
,
2
1
cos 2 cos ,
1
sin 2 sin ,
m
m
r f d f
r f m d f m
s f m d f m
 (16) 
Hàm 1u thoả mãn phương trình (11) cũng được tìm dưới dạng chuỗi: 
 1 , cos , sinn n
n
u G a n H a n   (17) 
với điều kiện là nó không chứa các số hạng cộng hưởng. Điều kiện này sẽ tương đương 
với điều kiện là hàm 1u không chứa cos ,sin . 
Thay thế phương trình (15) và (17) vào phương trình (11) ta được 
2
2
2 2
1 1 1 1
0
1 sin cos
4 2 2
cos sin
2 2
cos cos cos sin ,
n n n n
n
m m
m
n n
n G H n H G n
A aB aB A
ac t r m s m
 
   
  
   
  


 (18) 
So sánh các hàm điều hoà cos ,sin dẫn đến: 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 279
2
1 1 1
2
1 1 1
cos2
2 2
sin2
2 2
ac
A aB r
ac
A aB s
 
 
 
  
  
 (19) 
So sánh các hàm điều hoà khác ta có: 
2
2
3
2
2
3
1 cos 2
4 2 2
1 sin 2
4 2 2
n n n n
n n n n
n ac
n H G r
n ac
n G H s
 
 
  
  
  
 (20) 
Ở đây 1n và 
 3
0 3
1 3n
n
n

 (21) 
Giải phương trình (19) và (20) ta có: 
3
2 2
2 2 2
3
2 2
2 2 2
sin 2 cos 2
2 4 2
1
4 4
cos 2 sin 2
2 4 2
1
4 4
n n n
n
n n n
n
r ns nac ac
G
n n
nr s nac ac
H
n n
   
   
   
   
  
   
 (22) 
0 0
1 2 2
0 0
1 2 2
1
sin cos cos 2 sin 2
4 4
1
cos sin sin 2 cos 2
4 4
f f ac ac
A
f f ac ac
B
a

   
 

   
 
  
(23) 
Ta đưa vào hàm: 
0 0 sign sin cos cos
2 2 2
sin sin
2
p
p
p
R h a a
p
  
  
 (24) 
với 
1 ( 0)
sign 1 ( 0)
0 ( 0)
x
x x
x

 

 (25) 
Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 N. V. Khang, , T. Q. Chiến, “Dao động tham số của hệ  cản nhớt cấp phân số.” 280 
Từ phương trình (14) tính toán các giá trị trung bình 0 0cos , sinf f 
3
0 0
3 3
0 0
1 3
cos cos ,
2 8
1 3
sin sin ,
4 64
f a ka R
f a h a R
  
  
   
 (26) 
 Thay phương trình (26) vào phương trình (23) và thực hiện một vài phép tính ta tìm 
được các phương trình của xấp xỉ thứ nhất 
2 3
2 2
1
2 2 4 3
2 2
2
3 1
cos2
8 4
sin 2
2
1 3
42
sin 2 cos2
4 2
da
k h a ac
dt
ac
R
d
a k h a
dt a
ac ac
R

  
 
 
 
   
 
 
  
   
  
 (27) 
Trong đó: 
1 0 0
2 0 0
2
cos sin ,
2
cos sin ,
R R R
R R R


 (28) 
Từ phương trình (24) ta tính toán các giá trị trung bình 0 0cos , sinR R 
0
1
cos cos ,
2 2 2
p
p
p
R a
 
 
 (29) 
0 0
2 1
sin sin ,
2 2 2
p
p
p
R h a
 
 
 (30) 
Thế phương trình (29) và (30) vào phương trình (28) ta được: 
1
1 0
1 2
cos sin ,
2 2 2
p
p
p p
R a h
   
 
 (31) 
1
2 0
1 2
cos sin ,
2 2 2
p
p
p p
R a h
  
 (32) 
Thế (31) và (32) vào hệ phương trình (27) ta được: 
 2 3 02 2
1
3 1 2
cos 2
8 4
1
sin 2 cos sin
2 2 2 2
p
p
da
k h a ac h
dt
ac p p
a
 
  
  
     
  
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 281
 2 2 4 32 2
1
0
1 3
42
1
cos 2 cos sin
2 2 2 2
2
sin 2
4
p
p
d
a k h a
dt a
ac p p
a
ac
h
 
   
 
    

   
 
 (33) 
Do đó, trong xấp xỉ thứ nhất, nghiệm riêng của phương trình (1) có dạng: 
 cos
2
x a t 
 
 (34) 
trong đó: ,a  là nghiệm của các phương trình (33). 
Nghiệm dừng của hệ (27) được xác định từ những phương trình sau: 
2 3
0 0 0 0 0 1
2 2
0 0 0 0 0
4 3
0 2
3
sin 2 cos 2
2 4 8
1
cos 2 sin 2
2 4
3
4
c c
a a k h a R
c c
a a a
k h a R
  
   
 
 
  
 
 (35) 
Triệt tiêu pha 0 ở hệ phương trình trên ta được phương trình của biên độ tần số 
 0W , 0a  (36) 
Trong đó: 
2
2
2
0 0 1 22 2
0
2
2
2 2 2
0 2 12 2
0
23 2
W ,
4
3 1
2 0
4 4
a ka R R
a
c
ha R R
a
 
 
 
   
 
  
 
  
 (37) 
Thay 1 2,R R từ phương trình (31) và (32) vào phương trình (37) ta được phương trình 
biên độ - tần số: 
2
2
0
2
2
2 2 2 1
0 0
0
3
cos
4 2
3 4
sin 0
4 2 4
p
p
p
p
p
ka
p c
ha h
a
   
    
 
 
 
 
 
 
 
 (38) 
3. KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH CỦA DAO ĐỘNG DỪNG 
Xét tính ổn định của nghiệm dừng 0 0a của hệ phương trình (27). Thay 
0 0,a a a    vào hệ phương trình (27) với 0 0,a  là nghiệm của hệ phương 
Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 N. V. Khang, , T. Q. Chiến, “Dao động tham số của hệ  cản nhớt cấp phân số.” 282 
trình (35), ta có các phương trình biến phân sau [5, 6]: 
2 2 1
0 02 2
0
2 2 4 3
0 0 2
3
4
2 3
2
2
Rd a
k h a a a
dt a
a k h a R
 
  
 
    
 
    
 (39) 
4 2
02 2
0
2 2
0 1
0
3
22
3 2
4
Rd
k h a a
dt a
k h a R
a
 
  
 
  
  
 
  
 
 (40) 
Phương trình đặc trưng của hệ: 
 2 0Z S  (41) 
Trong đó: 
2 2
0 0 12 2
0
2
0
2 2 2
0
3 1
,
2
W
,
4
Z k h a a R
a
a
S
a

 
 

 

 
 (42) 
với W có dạng phương trình (36). Do đó, điều kiện ổn định của nghiệm dừng là: 
 2 30 0 13 2 0,k h a a R  (43) 
0
W
0
a


 (44) 
Từ các phương trình (31), (32), (43) và (44) ta có điều kiện ổn định của hệ như sau: 
 2 3 10 0
0
3 2 cos sin
2 2
4
0
p
p
p p
k h a a
h
     
 
 (45) 
2 2 2 2
0 0 0
1 2
0 0 02
0 0
3 3
3 cos 2
4 2 4
4 3 4
sin 0
2 2
p
p
p
p
p
ka ka ha
p
h ha h
a a
      
  
  
 (46) 
4. ẢNH HƯỞNG CỦA MA SÁT COULOMB VÀ CẢN NHỚT CẤP PHÂN SỐ ĐẾN 
TÍNH CHẤT DAO ĐỘNG 
Để nghiên cứu ảnh hưởng của ma sát Coulomb và cản nhớt cấp phân số đến tính chất 
dao động của hệ ta tiến hành tính toán với bộ số liệu như sau: 
01, 1, 1, 0.01, 0.5, 0.1, 0.05, 0.0025, 0.05, .
2
p p k h h c    

Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 283
Phương trình vi phân dao động (1) của hệ bây giờ có dạng: 
3 3
1 2
1 0.1 0.05 0.0025sign
0.01 0.05 cos 0
x x x x x x x
D x x t
  
    
 (47) 
Dựa trên phương trình đường cong biên độ tần số (38), ta có các đường cong biên độ 
tần số được biểu diễn trên các hình 1-7. Trong đó, đường nét liền biểu diễn các nghiệm ổn 
định, nét đứt biểu diễn các nghiệm không ổn định và miền gạch chéo là các miền không ổn 
định khi các bất phương trình (45) và (46) không thoả mãn. 
Hình 1. Đường cong biên độ tần số khi 
p thay đổi. 
Hình 2. Đường cong biên độ tần số khi 
p thay đổi. 
Với mỗi một giá trị của  , ta có một phương trình vi phân dao động tương ứng. Áp 
dụng phương pháp số Runge-Kutta, ta tính toán dao động của hệ. Sau đó, xác định được 
các biên độ dao động của hệ trong giai đoạn dao động điều hòa tương ứng với từng giá trị 
của  . Để nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số đạo hàm cấp phân số đối với đường 
cong biên độ tần số, ta chọn 0.5p và cho hệ số p thay đổi, các đường cong biên độ 
tần số được biểu diễn trên hình 1. Nếu hệ số 0.01p và cấp phân số p thay đổi, ta được 
các đường cong biên độ tần số trên hình 2. 
Hình 3. Đường cong biên độ tần số khi 0h 
thay đổi. 
Hình 4. Đường cong biên độ tần số khi 
0.01; 0.5p p 
Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 N. V. Khang, , T. Q. Chiến, “Dao động tham số của hệ  cản nhớt cấp phân số.” 284 
Ta cũng có được các đường cong biên độ tần số trên hình 3 với hệ số ma sát 0h thay 
đổi. Từ các đồ thị trên, ta nhận thấy rằng khi cấp phân số p và hệ số ma sát 0h tăng thì 
biên độ dao động giảm; Hệ số p tăng thì biên độ dao động không tăng nhưng pha dao 
động thay đổi. Trên hình 5 và hình 7 (hai đường cong biên độ tần số tương ứng với hai giá 
trị khác nhau của p ), những chấm tròn là những nghiệm tìm được thông qua phương 
pháp số. Ta có thể thấy rằng có sự phù hợp tốt giữa các kết quả giải tích và kết quả số. 
Hình 5. Đường cong biên độ tần số khi MPS 
0.01; 0.5p p . 
Hình 6. Đường cong biên độ tần số khi 
0; 0.5p p . 
Hình 7. Đường cong biên độ tần số MPS khi 0; 0.5p p . 
5. KẾT LUẬN 
Nhiều hệ động lực được mô tả bởi các phương trình vi phân phi tuyến yếu. Trong bài 
báo này áp dụng phương pháp tiệm cận tính toán dao động cộng hưởng của hệ phi tuyến 
cấp ba có chứa số hạng ma sát Coulomb và cản nhớt cấp phân số. Ưu điểm của phương 
pháp là tính đơn giản, đặc biệt trong việc tính toán các dao động cộng hưởng. 
Sử dụng các phương trình biên độ tần số, các đường cong biên độ tần số được vẽ bằng 
cách sử dụng phần mềm MATLAB, trong đó, những đường nét liền là nghiệm ổn định, 
đường nét đứt là nghiệm không ổn định và miền gạch là những miền không ổn định. Ảnh 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CBES2, 04 - 2018 285
hưởng của các hệ số và cấp của đạo hàm cấp phân số đối với nghiệm cũng được minh hoạ 
thông qua các đường cong biên độ tần số. Do đó, hệ có thể được tối ưu hoá thông qua việc 
chọn các tham số cấp phân số phù hợp. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. Bagley, R.L and Torvik, P.J., “A theoretical Basis for the application of fractional 
calculus to viscoelasticity”, J. of Rheology, Vol. 27 (1983a), pp. 201-210. 
[2]. Bagley, R.L and Torvik, P.J., “Fractional Calculus – A different approach to the 
analysis of viscoelastically damped structures”, AIAA J., Vol. 21 (1983b), No. 5, 
pp. 741 – 748. 
[3]. Baleanu, D., et al. (eds), “Fractional Dynamics and Control”, Springer, New York 
(2012). 
[4]. T.Q.Chiến , “Dao động phi tuyến của hệ Duffing cấp hai và cấp ba có chứa đạo 
hàm cấp phân số”, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội 
(2017). 
[5]. N.V.Dao, “Nonlinear oscillations of higher order systems”, NCSR Vietnam, Hanoi 
(1979). 
[6]. N.V.Dao, “Stability of dynamic systems with examples and solved problems”, VNU 
Publishing House, Hanoi (1998). 
[7]. Diethelm, K., Ford, N. J., “Numerical solution of Bagley Torvik equation”, 
Departments of Mathematics, Manchester Centre for Computational Mathematics, 
Numerical Analysis Reports, No. 378 (2003). 
[8]. Fukunaga, M., Shimizu, N., “Role of Prehistories in the Initial Value Problems of 
Fractional Viscoelastic Equations”, International Journal of Nonlinear Dynamics, 
Vol.38 (2004), No.1-2, pp. 207-220. 
[9]. Fukunaga, M., Shimizu, N., “Analysis of Impulse Response of Gel by Nonlinear 
Fractional Derivative Models”, Proceedings of the ASME 2009 International 
Design Engineering Technical Conferences, September 2, 2009, San Diego, 
California USA. 
[10]. Fukunaga, M., Shimizu, N., Nasuno, H., “A nonlinear fractional derivative model 
of impulse motion for viscoelastic materials”, Physica Scripta T136 (2009) 014010 
(6pp). 
[11]. Fukunaga, M., Shimizu, N., “Nonlinear fractional derivative models of viscoelastic 
impact dynamics based on Entropy elasticity and generalized Maxwell Law”, 
Journal of Computational and Nonlinear Dynamics, Vol. 6 (2011), pp. 021005(1-6). 
[12]. Gaul, L., Klein, P., Kempfle, S., “Damping description involving fractional 
operators”, Mech. Syst. Signal Process., Vol. 5 (1991), pp.81-88. 
[13]. Gaul, L. and Chen, C.M., “Modeling of viscoelastic elastomer mounts in multibody 
systems”, Advanced multibody system dynamics (1993), pp. 257-276. 
[14]. N.V.Khang, “Bài giảng Động lực học hệ có đạo hàm cấp phân số”, Trường Đại 
học Bách Khoa Hà Nội (2009). 
[15]. N.V.Khang, B.T.Thuy, T.Q.Chien, “Resonance oscillation of third-order forced 
van der Pol system with fractional-order derivative”, ASME Journal of 
Computational and Nonlinear Dynamics, Vol.11 (2016), pp. 041030. 
[16]. N.V.Khang, T.Q.Chien, “Subharmonic resonance of Duffing oscillator with 
fractional-order derivative”, ASME Journal of Computational and Nonlinear 
Dynamics, Vol. 11 (2016), pp. 051018. 
[17]. N.V.Khang, B.T.Thuy, T.Q.Chien, “Calculating resonance oscillation of third 
order Duffing system with fractional order derivative using the asymptotic method”, 
Toán học, Cơ học & Ứng dụng 
 N. V. Khang, , T. Q. Chiến, “Dao động tham số của hệ  cản nhớt cấp phân số.” 286 
Journal of Science & Technology Technical Universities, No. 112 (2016), pp. 065-
069. 
[18]. D.V. Lạc, “Phát triển phương pháp Runge-Kutta-Nystrӧm tính toán dao động của 
cơ hệ có phần tử đàn nhớt cấp phân số”, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại 
học Bách khoa Hà Nội (2016). 
[19]. Miller, K.S. and Ross, B., “An introducation to the Fractional Calculus and 
Fractional Diffenential Equations”, John Wiley & Sons Inc, New York (1993). 
[20]. Mitropolskii, Yu.A and N.V.Dao, “Applied Asymptotic Methods in Nonlinear 
Oscillations”, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht (1997). 
[21]. Oldham, K.B., Spanier, J., “The Fractional Calculus”, Academic, New York 
(1974). 
[22]. Podlubny, I., “Fractional Differential Equations”, Academic Press, San Diego 
(1999). 
[23]. Ross, B., “A brief history and exposition of the fundamental theory of the fractional 
calculus”, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 457 (1975), Springer-Verlag, New 
York, pp. 1-36. 
[24]. B.T. Thuý, “Góp phần nghiên cứu dao động phi tuyến của cơ hệ có đạo hàm cấp 
phân số”, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học 
Quốc gia Hà Nội (2010). 
[25]. B.T. Thuý, “Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân số”, Luận 
án tiến sĩ kỹ thuật, Học viện Khoa khọc và Công nghệ, Viện hàn lâm Khoa học và 
Công nghệ Việt Nam (2017). 
[26]. B.T.Thuy, N.V.Khang, T.Q.Chien, “Nonlinear oscillations in third order 
autonomous Duffing system involving fractional order derivatives”, ICEMA 4, 
Hanoi, August 25-26, 2016. 
ABSTRACT 
PARAMETRIC NONLINEAR OSCILLATION OF THIRD ORDER SYSTEM WITH 
FRACTIONAL DAMPING AND COULOMB FRICTION 
The present study aims to investigate the harmonic resonance of third order 
nonlinear system with fractional damping and Coulomb friction using the 
asymptotic method. The approximately analytical solution for the system is firstly 
determined and the amplitude-frequency equation of the oscillator is established. 
The stability condition of the harmonic solution is then obtained by means of 
Lyapunov theory. Finally, the numerical results are analyzed to show the influences 
of the parameters in the fractional-order derivative on the steady-state amplitude, 
the amplitude-frequency curves and the system stability. 
Keywords: Fractional-order derivative; Parametric oscillation; Asymptotic method, Harmonic resonance; 
Amplitude-frequency curves. 
 Nhận bài ngày 25 tháng 02 năm 2018 
 Hoàn thiện ngày 18 tháng 3 năm2018 
 Chấp nhận đăng ngày 02 tháng 4 năm2018 
Địa chỉ: 1 Trường Đại học Bách khoa Hà Nội; 
 2 Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Mỏ - Địa chất. 
 * Email: khang.nguyenvan2@hust.edu.vn.