Giải tích bài toán vòm - công xôn trung tâm trên môi trường Mathcad bằng phương pháp biến phân khi chân đập vòm ngàm cứng vào nền

 143 
GIẢI TÍCH BÀI TOÁN VÒM - CÔNG XÔN TRUNG TÂM 
TRÊN MÔI TRƯỜNG MATHCAD BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN 
KHI CHÂN ĐẬP VÒM NGÀM CỨNG VÀO NỀN. 
 TS. Đào Tuấn Anh 
Tóm tắt: Sự thành công giải tích bài toán ứng suất đập vòm bằng phương pháp vòm - công 
xôn trung tâm trên môi trường Mathcad và so sánh kết quả tính toán với phương pháp phần tử 
hữu hạn(PTHH) như một minh chứng cho thế mạnh của phần mềm này(Mathcad)trong việc 
giải tích các bài toán kỹ thuật cổ điển để hổ trợ các kỹ sư phân tích, kiểm tra kết quả tính toán 
thiết kế các công trình xây dựng nói chung và thuỷ lợi nói riêng bằng các phần mềm thương 
mại mà phần đa trong số họ không kiểm soát được vì không hiểu bản chất nội dung lập trình 
của chúng . 
I. ĐẬP VÒM VÀ CÁC YÊU CẦU BỐ TRÍ 
Đập vòm đã được xây dựng nhiều trên các 
nước phát triển nhưng ở nước ta chỉ có duy 
nhất một đập vòm đang được xây dựng là đập 
vòm Nậm Chiến (cao 135 m) trên suối Nậm 
Chiến ở thượng nguồn sông Đà. Đập này do 
Tổng công ty sông đà thi công nhưng do Cơ 
quan tư vấn nước ngoài thiết kế (Viện thiết kế 
thuỷ công Ucraina). Do vậy việc nghiên cứu 
đập vòm ở Việt Nam đang còn nhiều hạn chế. 
 Đập vòm là một loại đập có kết cấu hết sức 
phức tạp nhằm tạo hình để chuyển tải áp lực 
xô ngang của nước thành các lực nén tác dụng 
dọc theo thân đập do hiệu ứng vòm gây nên. 
Do đó đập vòm có kết cấu vỏ mỏng hình vòm 
cong một chiều theo phương nằm ngang hoặc 
cả hai chiều theo phương ngang và phương 
đứng. Sau khi được chuyển tải qua thân đập 
các lực xô ngang được truyền vào hai bờ, cho 
nên hai vai bờ đập vòm phải vững, thường 
phải là loại đá liền khối cứng chắc, cân xứng 
và không bị gián đoạn hoặc mở rộng đột ngột 
phía hạ lưu. Kết cấu đập vòm cần phải thiết kế 
tương xứng với hình dạng tuyến đập, sao cho 
dưới tác dụng của ngoại lực trong đập vòm chỉ 
chủ yếu tồn tại ứng suất nén. 
Muốn vậy tuyến đập phải đối xứng theo 
phương dòng chảy. Trong thực tế đây là 
điều không thể cho nên thông thường ta phải 
xử lý tuyến đập bằng biện pháp công trình 
sao cho hai bờ vai đập trở nên cân xứng, 
thành tuyến hình chử V, hình thang cân hay 
tuyến chữ U...v.v...
II. PHƯƠNG PHÁP VÒM - CÔNG XÔN 
TRUNG TÂM. 
Có rất nhiều phương pháp tính toán phân 
tích trạng thái ứng suất biến dạng đập vòm. 
Trước đây người ta hay dùng các phương 
pháp giải tích cổ điển, đó là: phương pháp 
ống tròn thành mỏng, phương pháp vòm đơn 
thuần, phương pháp vòm - công xôn trung 
tâm, phương pháp nhiều vòm và công xôn. 
Ngày nay người ta hay dùng lý thuyết đàn hồi 
(lý thuyết vỏ mỏng) trong các phương pháp 
phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân để 
giải bài toán ứng suất biến dạng đập vòm với 
sự trợ giúp các phần mềm tính toán trên máy 
tính điện tử. Thông thường các kỹ sư không 
kiểm soát được các kết quả tính toán theo các 
phần mềm này vì không rõ bản chất nội dung 
lập trình của chúng. 
Các phương pháp trên đều xét theo bài toán 
phẳng, nhưng trong thực tế đập vòm là một 
kết cấu không gian, nghĩa là ngoài phương 
ngang đập vòm còn làm việc theo phương 
đứng. Phương pháp vòm - công xôn trung tâm 
và phương pháp nhiều vòm và công xôn thực 
chất đều là một phương pháp rầm - vòm, xét 
đập theo bài toán không gian. Để giải bài toán 
này một mặt chia đập theo mặt cắt ngang 
thành các vòm, mặt khác chia nó ra thành các 
công xôn(rầm) gắn chặt vào nền bởi các mặt 
cắt thẳng đứng. Mỗi điểm thân đập đồng thời 
có vị trí trên một vòm và một rầm công son 
 144 
nhất định. Vì vậy biến dạng của điểm ấy dù 
xét theo vòm hay rầm cũng chỉ có một giá trị 
mà thôi. Dựa vào nguyên tắc này người ta 
thiết lập hệ phương trình cân bằng từ các 
phương trình tính toán nội lực của rầm và vòm 
khi các tải trọng tác dụng lên đập được phân 
phối ra cho rầm chịu một phần và vòm chịu 
phần còn lại. Tuỳ theo mức độ chính xác của 
bài toán mà người ta có thể chia đập thành hệ 
thống nhiều vòm và nhiều rầm hoặc thành hệ 
thống nhiều vòm và một rầm tại mặt giữa đập 
(công xôn trung tâm) làm đại diện. Cách chia 
trước dùng cho phương pháp nhiều rầm và 
vòm, thường phải giả thiết trước biểu đồ phân 
phối lực (xem hình 1), sau đó tính toán đi , 
tính toán lại cho đến khi tại các điểm tính 
toán biến vị của vòm và của rầm sai số nhỏ. 
Do vậy khối lượng tính toán lớn. 
Hình 1. Phân phối lực theo phương pháp 
nhiều rầm và vòm. 
 Hình 2. Phân phối lực theo phương pháp 
vòm – công xôn trung tâm 
Cách chia sau áp dụng cho phương pháp 
vòm - công xôn trung tâm và thường được 
ứng dụng nhiều hơn trong việc tính toán thiết 
kế định hình cấu tạo đập vòm. Theo phương 
pháp này tại trọng phân phối theo phương 
đứng tại vị trí có rầm đỉnh làm đại diện, phần 
còn lại theo phương ngang được phân phối 
cho các vòm và thay đổi theo các cao trình 
khác nhau( xem hình 2). 
 Cách tiếp cận để giải bài toán vòm - công 
xôn trung tâm rất khác nhau, từ đó các tác giả 
đưa ra các phương pháp khác nhau để giải bài 
toán. Các phương pháp truyền thống trong 
phạm vi giải bài toán vòm - công xôn trung 
tâm được trình bày trong rất nhiều tài liệu của 
các tác giả khác nhau như G. Ritter, V.P. 
Skrưlnhikovưi, A. Stukki, J. Lombardi, L.A. 
Rozinưi, L.B. Grimze và những người khác[1]. 
Theo Kh.G. Gannhiep phương trình cơ bản 
của bài toán vòm - công xôn trung tâm được 
thiết lập như sau. Xem công xôn trung tâm tựa 
trên các vòm tương tự như rầm trên nền đàn 
hồi chịu ảnh hưởng bởi tính biến dạng của các 
khoanh vòm độc lập, được đặc trưng bởi hệ số 
nền K. Lúc đó phản lực nền đàn hồi chính là 
phần tải trọng mà vòm chịu được xác định 
như sau: 
 pa(y)=K(y)w(y) (1) 
Trong đó w(y) - chuyển vị uốn của công 
xôn trung tâm. Gốc toạ độ được lấy từ đáy 
công xôn trung tâm(nơi tiếp xúc giáp với mặt 
nền) và trục y hướng thẳng đứng lên trên. Lúc 
này tải trọng được phân phối cho công xôn pk 
được xác định như sau: 
pk(y)= p(y) - K(y)w(y) (2) 
Trong đó p(y) - tải trọng toàn phần của pá 
lực nước tác dụng lên vòm và công xôn. 
Hệ số nền K(y) được xác định như sau: 
K(y)=
)(
1
yf a
 (3) 
Với fa(y) là độ võng của vòm nằm ngang 
tại đỉnh dưới tác dụng của tải trọng đơn vị 
phân bố đều. Đối với vòm ngàm cứng hai đầu 
bằng phương pháp tính toán chuyển vị trong 
cơ học kết cấu ta có thể tìm được: 
 )(
)(
)( 0
0
2
 
yEe
ryf a với 
0
2
000
2
0
0000
0 sin2cossin
)cos1)(sin()(
 
Trong đó e(y)- chiều dày của vòm tại mặt 
cắt có toạ độ phương đứng y, m. 
0 - bán giá trị góc ở tâm của cung vòm 
này, radian. 
0r - bán kính trung bình của vòm, m. 
E - mô đun đàn hồi của bê tông, KN/m2 
Giá trị w(y) có thể tìm được bằng việc giải 
phương trình vi phân độ uốn của rầm trên nền 
đàn hồi: 
[EI(y)w''(y)]''+K(y)w(y)=p(y) (4) 
 145 
Khai triển thành phần vi phân của phương 
trình (4) ta được: 
)y(p)y(w)y(k)y(w)y(EI
)y(w)y(EI2)y(w)y(EI
''
''''IV
 (4') 
Với EI(y) - độ cứng của công xôn. I(y) mô 
men quán tính của tiết diện công xôn biến đổi 
theo phương toạ độ y. Để giải phương trình 
trên có thể dùng các phương pháp gần đúng, 
phương pháp sai phân, phương pháp biến 
phân..v.v. 
III. DÙNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ 
HỔ TRỢ GIẢI BÀI TOÁN VÒM - CÔNG XÔN 
TRUNG TÂM VÀ CÁC HẠN CHẾ TRƯỚC 
ĐÂY 
 Theo phương pháp biến phân ta xác định 
được các biểu thức biến phân khi cực tiểu thế 
năng hệ thống kết cấu. Hàm thế năng có thể 
viết ở dạng sau: 
  
H H
dyywywyEIdyywyp
0 0
'''' )()()(
2
1)()( 
+  
H
dyywyK
0
0
2 0)()(
2
1 (5) 
H- chiều cao của công xôn trung tâm. 
Đối với các dạng tiếp giáp đập vòm với nền 
khác nhau ta có giá trị hàm thế 0 ban đầu 
khác nhau, với trường hợp tiếp giáp là ngàm 
cứng: 00  
Sử dụng phương pháp biến phân Relaya -Ritxa 
biểu thức tính độ võng của rầm có thể viết: 

n
j
yj yAyw
1
)()( (6) 
Các giá trị Aj có thể tìm ra được từ điều 
kiện cực tiểu hàm thế năng (5) : 
0 

jA
 (7) 
Sử dụng hàm số uốn (6) và phương trình 
(5), biểu thức (7) có thể viết dưới dạng: 
 


nnnnnjjnn
nnjj
paAaAaAaA
paAaAaAaA
......
......
2211
111122111 (8) 
Hay viết một cách khác: 
    jjij pAa (10) 
Đối với công xôn ngàm cứng ta có: 
 



H
i
H H
ij
dyyypp
dyyyyKdyyyyEIa
0
0 0
''''
)()(
)()()()()()(
 (11) 
Các hàm φi(y), biểu thị độ uốn công xôn, 
cần phải thể hiện được đặc trưng làm việc của 
kết cấu.Vì vậy khi lựa chọn số lượng hàm tiêu 
biểu cần phải hiểu được bản chất kết cấu công 
trình, thường chọn từ 2 đến 4 hàm. 
Đối với đập vòm sơ đồ tính toán công xôn 
hợp lý nhất là theo sơ đồ rầm được tách ra từ 
bản. Và tiện lợi nhất là sử dụng hàm cơ bản 
dao động theo phương vuông góc của rầm 
(Vlasov V.Z [2] ). Chú ý khi xem xét bài toán 
dao động tự do của rầm có trọng lượng một 
nhịp có chiều dài H từ phương trình vi phân: 

 4
4
H
IV (12) 
( - là một thông số đặc trưng cho dao 
động riêng của rầm) 
 tích phân chung phương trình vi phân đồng 
nhất (12) có thể viết dưới dạng: 
H
ychC
H
yshC
H
yC
H
yCy  4321 cossin)( (13) 
Từ điều kiện biên ở hai đầu công xôn(y=0 
và y=H) mà ta suy ra được các giá trị iC và 
 , tức là phụ thuộc vào các điều kiện biên mà 
hàm )(y có dạng này hay dạng khác. Đối 
với đập vòm được ngàm cứng với nền, có thể 
sử dụng lời giải của Vlasov V.Z [2]: 
0)(,0)(,0)0(,0)0( '''''' HH 
 Từ đó ta tìm ra được hàm số )(y : 
 )(cossin)(
H
ych
h
y
H
ysh
H
yy   (14) 
 Với: 


ch
sh
cos
sin 
 Và  xác định từ điều kiện định thức hệ 
phương trình xác định Ci: 
1cos ch , suy ra 
các nghiệm của  là : 
1 =1.8751; 2 =4.6941; 3 =7.8548; 
4 =10.9955; khi i>4 thì  2
12
4
i
i . 
 Mỗi giá trị của i ta có một hàm số 
)( yi , thông thường để giải bài toán vòm 
công xôn trung tâm người ta lấy 2 giá trị. Sau 
 146 
khi có hàm )( yi ta thay vào (11) để tính toán 
các tích phân jia , và ip , thay vào hệ phương 
trình (8) để giải ra các hệ số jA , từ đó ta theo 
(6) ta xác định được hàm uốn )(yw , tức các 
giá trị độ võng của rầm tại các điểm có toạ độ 
y. Từ đây ta xác định được các nội lực tác 
dụng lên rầm và phần áp lực nước phân bố 
cho vòm , sau đó ta tính toán ứng suất trong 
rầm và nội lực vòm theo phương pháp vòm 
đơn thuần với pá lực nước đã trừ đi phần do 
công xôn chịu. Từ đó ứng suất đập vòm hoàn 
toàn được xác định. 
Điều khó khăn từ trước tới nay khi giải bài 
toán này là ở chỗ các hàm tích phân trong (11) 
không giải tích ra được, phải tính gần đúng và 
sử dụng hệ thống bảng biểu. Phương pháp tra 
bảng đã làm chậm quá trình tính toán và thiếu 
tính tự động trong tính toán, gây khó khăn cho 
việc thiết kế lựa chọn kết cấu đập vòm giữa 
hàng ngàn phương án cấu tạo đập khác nhau. 
Vấn đề này đã hạn chế việc tìm phương án tối 
ưu khi lựa chọn hình dạng đập, đặc biệt khi 
tiêu chí đưa ra được kết hợp cả điều kiện ứng 
suất, điều kiện ổn định và kể cả phải giải bài 
toán ứng suất nhiệt đập vòm để xem xét ảnh 
hưởng của điều kiện nhiệt độ môi trường đến 
phương pháp thi công và ứng xử thân đập 
trong quá trình vận hành. Muốn giải quyết 
điều đó cần phải giải tích được các phương 
trình trong bài toán vòm - công xôn trung tâm 
khi sử dụng phương pháp biến phân, một bài 
toán thường hay sử dụng để phân tích ứng 
suất đập trong giai đoạn thiết kế sơ bộ đập 
vòm để định dạng kết cấu đập. Hiện nay có 
phần mềm Mathcad có thể thể giúp ta giải 
tích bài toán này trên môi trường của nó khi 
viết ra các công thức toán học theo ngôn ngữ 
thông thường. 
IV. GIẢI TÍCH BÀI TOÁN VÒM CÔNG XÔN 
- TRUNG TÂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN 
PHÂN TRÊN MÔI TRƯỜNG MATHCAD 
1) Giới thiệu phần mềm Mathcad. 
C«ng ty Mathsoft Inc. s¶n xuÊt Mathcad 
kh«ng ph¶i kh«ng cã c¬ së khi nãi r»ng s¶n 
phÈm cña hä lµ ph­¬ng tiÖn tÝnh to¸n kü thuËt 
cña c¸c b¸c häc vµ c¸c nhµ chuyªn m«n trªn 
toµn thÕ giíi. Mathcad cã thÓ thay thÕ c¸c 
ch­¬ng tr×nh vi tÝnh kh¸c trong viÖc thùc hiÖn 
c¸c chøc n¨ng tÝnh to¸n phøc t¹p cÇn ®Õn vßng 
lÆp, ph©n nh¸nh, ch­¬ng tr×nh con v.v... Nã cã 
thÓ x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ biÓu thøc d­íi d¹ng 
ký hiÖu to¸n häc th«ng th­êng, tÝnh to¸n vi 
ph©n, tÝch ph©n x¸c ®Þnh vµ kh«ng x¸c ®Þnh 
cña bÊt kú hµm sè phøc t¹p nµo. Gi¶i c¸c 
ph­¬ng tr×nh, hÖ ph­¬ng tr×nh ë c¸c d¹ng phøc 
t¹p kh¸c nhau. Mathcad x©y dùng c¸c ®å thÞ, 
biÓu ®å phô gióp tÝnh to¸n, nhËp c¸c h×nh vÏ 
hai chiÒu, ba chiÒu tõ Autocad vµ tõ chóng t¹o 
ra c¸c c¬ së d÷ liÖu tÝnh to¸n vµ biÓu diÔn kÕt 
qu¶ b»ng ma trËn, ®å thÞ, dùng h×nh.v.v 
Trªn m«i tr­êng Mathcad cã thÓ thµnh lËp s¼n 
c¸c chuæi v¨n b¶n thuyÕt minh xen kÏ víi c¸c 
phÇn tÝnh to¸n víi chÊt l­îng tr×nh bµy cao, cã 
thÓ sö dông nhiÒu lÇn víi kÕt qu¶ tÝnh to¸n 
kh¸c nhau, mçi lÇn in ra trùc tiÕp thµnh hå s¬, 
®¶m b¶o tèc ®é cao trong viÖc hoµn thµnh hå 
s¬ tÝnh to¸n thiÕt kÕ. Nã cã kh¶ n¨ng liªn hÖ 
qua l¹i ®a d¹ng víi c¸c ch­¬ng tr×nh th«ng 
dông kh¸c (Excel, Matlab, Autocad, 
Wordpadv.v..) hoÆc víi nh÷ng d÷ liÖu 
Mathcad qua Internet. 
2) Giải tích bài toán vòm - công xôn trung 
tâm bằng phương pháp biến phân trên môi 
trường Mathcad. 
Trên môi trường Mathcad các phương pháp 
giải tích cổ điển không những giử nguyên tính 
nguyên bản của mình trên trạng thái biểu thị 
toán học cũng như ngôn từ mà còn tăng năng 
lực trong việc giải tích toán học và có thể giải 
các bài toán mà trước đây không giải được 
hoặc giải quá phức tạp với khối lượng bảng 
biểu lớn, không đưa đến dạng nghiệm tổng 
quát ngắn gọn theo công thức để làm tiền đề 
giải một cách tự động các bước tiếp theo( ví 
dụ phương pháp vòm - công xôn trung tâm khi 
áp dụng giải bài toán ứng suất nhiệt đập vòm). 
Các kết quả của phương pháp giải tích cổ điển 
và phương pháp phần tử hữu hạn sẽ được so 
sánh với nhau để bổ trợ cho nhau, quy định 
lẫn nhau nhằm đưa ra kết quả chính xác cuối 
cùng. Do Mathcad có thể giải các phương 
 147 
trình tích phân phức tạp với các hàm tích phân 
không có trong các hàm biến đổi thông 
thường nên ta có thể tận dụng thế mạnh này 
của nó để triển khai giải tích phương trình cơ 
sở (4) qua việc tính toán các giá trị jia , , ip , 
Aj và hàm w(y) tại các biểu thức và hệ biểu 
thức, từ(6) đến (14) trong mục II ở trên. Việc 
tính toán được minh hoạ qua một ví dụ cụ thể 
đó là phân tích ứng suất để lựa chọn cấu tạo 
đập vòm Nậm Ngần trong phương án so sánh 
thiết kế đập đầu mối của công trình thuỷ điện 
Nậm Ngần, tỉnh Hà Giang. Chiều cao đập 
Nậm Ngần 50m, chiều rộng tuyến tại cao trình 
đỉnh đập là 140m, tại đáy là 20m. Trình tự giải 
tích bài toán vòm công xôn trung tâm được 
thể hiện qua từng bước dưới đây. 
l L0 L L0   l  L0 L L0   
2. Chän c¸c hµm biÕn cña ®­êng kÝnh trong, ®­êng kÝnh ngoµi, ®­êng kÝnh gi÷a, to¹ ®é t©m cña ®Ëp vßm .
z H y  e0 8.0 e1 2.0 e e1 e0 e1 1    
Rn
l
2 sin a 
 Rtr Rn e  Ro Rn
e
2
  e  e1 e0 e1 1    
Rn  
L0 L L0  
2 sin a 
 Rtr  Rn  e   Ro  
Rn  Rtr  
2
 
az 2.15 z 0.013 z2  xn 100.0 Rn az ( )  Sina i
li
2 Rn i
 
y1 y xtr xn e  x0 xn 0.5 0.5 xtr  ® 2 a
180
 
I. Sè liÖu ®Çu vµo
H 50 1. ChiÒu cao ®Ëp vßm: H m
L 140 2. ChiÒu dµi tuyÕn t¹i cao tr×nh ®Ønh ®Ëp: L,m
L0 20 3. ChiÒu dµi tuyÕn t¹i cao tr×nh ®¸y ®Ëp: 
Eb 2000000 4. M« ®un ®µn håi cña bª t«ng: Eb
T
m2

NL 50 5. Sè líp tÝnh to¸n theo cao tr×nh ®Ëp: NL
b 2.4 6. Träng l­îng riªng cña n­íc vµ bª t«ng: T
m3
 a 
60
180
 7. 1/2 gãc ë t©m
II. Chän cÊu t¹o ®Ëp vßm 
1. ChiÒu dµi tuyÕn t¹i cao tr×nh ®Ønh ®Ëp: l,m
i 0 NL yi i 
y
H
 
5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 250
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
22.5
25
27.5
30
32.5
35
37.5
40
42.5
45
47.5
50
y1
y
xn xtr
f
3. Ph©n tÝch øng suÊt ®Ëp vßm 
1. X¸c ®Þnh c¸c ®¹i l­îng vËt lý ®Æc tr­ng kÕt cÊu ®Ëp:
ai
 a a Sina i  1 cos a 
 a 2 a Sina i cos a  2 Sina i 2 
 fai Roi 2
ai
Eb ei
 kn
1
fa
 I  
e  
3
12
 
.
  
  Sin   1 cos  
  2  Sin   cos   2 Sin  2 
 fa  Ro  
2   
Eb e  
 kn  
1
fa  
 
2. Chän hµm ®Æc tr­ng cña hµm sè uèn c«ng x«n 1 2 :
1 1.8751 2 4.6941 1
sin 1 sinh 1 
cos 1 cosh 1 
 2
sin 2 sinh 2 
cos 2 cosh 2 
 
1i sin 1  i sinh 1  i 1 cos 1 i cosh 1  i   
2i sin 2  i sinh 2  i 2 cos 2 i cosh 2  i   
f3  2I  2

I  d
d
2
 2   d 2  2   f2  2I  2 d 3  2    2  

I  d
d
 f1  2I  d 4  2   2   I   
f3  21I  2

I  d
d
2
 1   d 2  2   f2  21I  2 d 3  2    1  

I  d
d
 f1  21I  d 4  2   1   I   
f3  12I  2

I  d
d
2
 2   d 2  1   f2  12I  2 d 3  1    2  

I  d
d
 f1  12I  d 4  1   2   I   
x
f3  1I  2

I  d
d
2
 1   d 2  1   f2  1I  2 d 3  1    1  

I  d
d
 f1  1I  d 4  1   1   I   
d 2  2  2

 2  
d
d
2
 d 1  2  

 2  
d
d
 d 3  2 
3

 2  
d
d
3
 d 4  2 
4

 2  
d
d
4
 
d 3  1  3

 1  
d
d
3
 d 2  1  2

 1  
d
d
2
 d 1  1  

 1  
d
d
 d 4  1 
4

 1  
d
d
4
 
3. X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè cña hµm sè uèn A 1 A 2 :
 148 
fk1  
H4 kn   1   1  
Eb
 fk12  
H4 kn   1   2  
Eb
 fk21  
H4 kn   2   1  
Eb
 fk2  
H4 kn   2   2  
Eb
 
a12
0
1
f112I  f212I  f312I  fk12  

d a11
0
1
f11I  f21I  f31I  fk1  

d 
a21
0
1
f121I  f221I  f321I  fk21  

d p  0 H  H  p1 H
4
0
1

p  1  
Eb




d 
a22
0
1
f12I  f22I  f32I  fk2  

d p2 H4
0
1

p  2  
Eb




d 
a11 6.529 103 a12 5.193 103 a21 5.193 103 a22 1.819 104 p1 45.584 p2 52.648 
Given
A1 a11 A2 a12 p1
A1 a21 A2 a22 p2
A1
A2
Find
A1
A2
 A1 6.055 10
3 
 A2 1.165 10
3 
4. X¸c ®Þnh hµm sè uèn c«ng x«n:
w A1 1 A2 2  
0 0.003 0.006 0.009 0.012 0.015
0
10
20
30
40
50
y
w
5. C¸c thµnh phÇn ¸p lùc thuû tÜnh th­îng l­u t¸c dông lªn vßm vµ c«ng x«n ®Ëp: 
pi 0 H yi  pai kni wi pk p pa  
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 500
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
p
pa
pk
y 
6. X¸c ®Þnh øng suÊt trong c«ng x«n do ¸p lùc n­íc vµ träng l­îng b¶n th©n ®Ëp
Ni
i
49
n
2.4 en
 Mi
i
50
n
pkn
n i 0.5  2.4en x0n x0i  
 N50 0 Fe e 
k 1 9 xk i
ei k 5 
8
 kyk i
Ni
Fei
12 xk i Mi
ei 3
  
7. X¸c ®Þnh øng suÊt vßm:
Api
2 Rni sin a 
Roi 2
 a 2
sin a 2
 a
 0.5 sin a  
e
i 2
12
 0.5 sin a 2 a 
 
j 0 4  j j
16
 yei j Roi
sin a 
 a
cos  j 
 
øng suÊt vßm mÆt th­îng l­u
16 
øng suÊt vßm mÆt th­îng l­u
1vj i
Rni Api
cos  j  
ei
6 Api
 yei j
ei 2
pai
 
øng suÊt vßm mÆt h¹ l­u
2vj i
Rni Api
cos  j  
ei
6 Api
 yei j
ei 2
pai
 
V. SO SÁNH KẾT QUẢ TÍNH TOÁN BẰNG 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH VÒM CÔNG XÔN 
TRUNG TÂM VỚI PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ 
HỮU HẠN 
Để xem xét độ tin cậy kết quả giải tích bài 
toán vòm công xôn trung tâm chúng ta có thể 
so sánh chúng với kết quả tính toán ứng suất 
vòm và công xôn bằng phương pháp phần tử 
hữu hạn kết hợp biến phân cục bộ với sự trợ 
giúp của chương trình tính ứng suất RAS[3]. 
Chương trình Ras dùng phần tử khối 32 nút, 
có cả mô hình hoá nút liên kết tại nơi tiếp xúc 
các lớp vật liệu, để giải bài toán ứng suất biến 
dạng không gian và hệ số an toàn bền cục bộ. 
 149 
Trong hồ sơ thiết kế kết quả tính toán của hai 
phương pháp đều được dùng đến, trong đó 
phương pháp vòm - công xôn trung tâm dùng để 
chọn cấu tạo đập vòm, còn kết quả tính toán ứng 
suất bằng phương pháp PTHH dùng để kiểm tra 
độ bền đập và phân bố vùng vật liệu. 
1) So sánh kết quả tính toán ứng suất 
công xôn tại mặt cắt rầm đỉnh 
Để thể hiện kết quả cho đơn giản trong 
Mathcad hình dạng đập tại mặt cắt rầm đỉnh 
dùng để biểu thị ứng suất không mô phỏng 
uốn cong như thực tê và kích thước chiều 
ngang khác tỷ lệ so với chiều đứng. Dấu âm 
và phổ màu xanh theo phương pháp PTHH 
biểu thị ứng suất nén, dấu dương và màu vàng 
- ứng suất kéo. 
 Hạ lưu Thượng lưu Thượng lưu Hạ lưu 
a) øng suÊt c«ng x«n (kg/cm2) theo kÕt qu¶ tÝnh to¸n b»ng ph­¬ng ph¸p PTHH 
b) b) øng suÊt c«ng x«n (T/m2) theo kÕt qu¶ kêt hợp với biến phân cục bộ. tÝnh to¸n bằng 
phương pháp Vòm - công xôn trung tâm. 
Hình 3. So sánh kết quả tính toán ứng suất công xôn giữa phương pháp giải tích vòm - công 
xôn trung tâm với phương pháp PTHH kết hợp biến phân cục bộ (RAS). 
Nhìn vào kết quả biểu thị trên hình 4.a) và 
4.b) ta thấy theo kết quả tính toán cả hai 
phương pháp vùng ứng suất nén phân bố là 
chủ yếu tại mặt cắt rầm đỉnh và có giá trị lớn 
nhất khoảng 16kG/cm2 (160T/m2). Theo 
phương pháp giải tích cổ điển Vòm – công 
xôn trung tâm vùng ứng nén lớn nhất phân bố 
ở chân hạ lưu rầm đỉnh, còn theo phương pháp 
PTHH vùng này lại phân bố ở 1/3 chiều cao 
đập tại phía hạ lưu mặt cắt rầm đỉnh. 
Theo kết quả tính toán cả hai phương pháp 
vùng ứng suất kéo phân bố ít, có giá trị lớn 
nhất khoảng 3-5kG/cm2(30-50 T/m2) và đều ở 
mặt thượng lưu mặt cắt rầm đỉnh tại vị trí 1/3 
chiều cao đập vòm. 
Như vậy ta thấy kết quả tính toán của hai 
phương pháp gần như nhau. Tất nhiên phương 
pháp PTHH có sơ đồ tính toán không gian và 
kết quả chính xác hơn, nhưng kết quả của 
phương pháp vòm – công xôn trung tâm phản 
ánh hợp lý so với thực tế hơn. Do vậy khi 
phân bố vùng vật liệu ta phải kết hợp kết quả 
cả hai phương pháp. Vùng ứng suất kéo tại 
mặt cắt rầm đỉnh quá ít và có giá trị bé hơn 
nhiều so với khả năng chịu kéo của vật liệu bê 
tông M200 nên chúng ta không cần để ý tới. 
2) So sánh kết quả tính toán ứng suất vòm 
tại các mặt thượng lưu và hạ lưu đập. 
 150 
Ở đây phổ màu biểu thị kết quả tính toán 
của phương pháp PTHH tương tự như trên, 
còn phổ màu biểu thị trong phương pháp vòm 
– công xôn trung tâm có một ít thay đổi, từ 
màu xanh nước biển đến màu đỏ đều biểu thị 
ứng suất nén. Do tính đối xứng của đập vòm 
nên để đơn giản trên Mathcad biểu thị kết quả 
tại ½ mặt thượng lưu và tại ½ mặt hạ lưu đập. 
Còn theo phương pháp PTHH mặt thượng lưu 
và hạ lưu đập dùng để biểu thị kết quả tính 
toán có gắn cả một phần nền (dễ dàng nhận ra 
đường biên thân đập trên hình vẽ). 
a) Ứng suất vòm (T/m2) theo kÕt qu¶ tÝnh b) Ứng suất vòm (T/m2) theo kÕt qu¶ 
to¸n bằng phương pháp Vòm - công tÝnh to¸n bằng phương pháp Vòm - công 
xôn trung tâm (tại 1/2mặt thượng lưu đập vòm). xôn trung tâm (tại 1/2mặt hạ lưu đập vòm). 
Thang mÇu biÓu thÞ øng suÊt (kg/cm2) 
c) Ứng suất vòm (kg/cm2) mặt thượng lưu đập d) Ứng suất vòm (kg/m2) mặt hạ lưu đập 
 theo kÕt qu¶ tÝnh to¸n bằng ph­¬ng ph¸p PTHH tÝnh to¸n bằng ph­¬ng ph¸p PTHH 
 kêt hợp với biến phân cục bộ. kêt hợp với biến phân cục bộ. 
Hình 4. So sánh kết quả tính toán ứng suất theo phương vòm giữa phương pháp giải tích vòm - 
công xôn trung tâm với phương pháp PTHH kết hợp biến phân cục bộ (RAS). 
Chúng ta có thể thấy rằng theo kết quả tính 
toán cả hai phương pháp ứng suất vòm (dọc 
thân đập theo phương nằm ngang) tại mặt 
thương lưu, hạ lưu đập đều phân bố và có giá 
trị (đều là ứng suất nén) gần như nhau. Sự 
khác biệt chỉ ở chỗ vùng ứng suất vòm lớn 
nhất theo phương pháp PTHH nằm ở giữa 
đập, còn vùng ứng suất vòm theo phương 
pháp giải tích cổ điển vòm – công xôn trung 
tâm trên cùng một cao trình đều như nhau(ở 
cả hai bên và giữa đập). Điều đó thể hiện đặc 
trưng phương pháp rầm đỉnh (chỉ có một rầm 
tại đỉnh đại diện cho tất cả các rầm). Và đó 
cũng là sai số tính toán do nhược điểm vừa 
nói của phương pháp vòm - công xôn trung 
tâm. 
V. KẾT LUẬN. 
Qua việc khảo sát trạng thái ứng suất đập 
 151 
vòm Nậm Ngần bằng hai phương pháp trên 
chúng ta thấy rằng thân đập có kết cấu mỏng 
mà trong đó chỉ phân bố chủ yếu ứng suất nén 
và có giá trị không lớn. Điều đó khẳng định 
tính ưu việt của phương pháp giải tích cổ điển 
vòm công xôn trung tâm khi dùng nó tính toán 
lựa chọn cấu tạo tối ưu của đập vòm giữa 
hàng ngàn phương án một cách nhanh chóng. 
Từ đây chúng ta cũng thấy được thế mạnh của 
phần mềm Mathcad khi giải tích các bài toán 
kỹ thuật cổ điển trong việc tính toán thiết kế 
công trình thuỷ lợi nói riêng và công trình xây 
dựng nói chung, qua đó hỗ trợ các kỹ sư phân 
tích, kiểm tra kết quả tính toán bằng các phần 
mềm thương mại, để loại trừ các kết quả tính 
toán không hợp lý và phát hiện ra nhầm lẫn dữ 
liệu đầu vào các phần mềm tính toán mà hầu 
như đa số kỹ sư không kiểm soát được do 
không hiểu bản chất nội dung lập trình của các 
phần mềm này. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] M.M. Grisin và những người khác, Đập bê tông (trên nền đá); Nhà xuất bản xây dựng 
Matxcơva, 1975(Tiếng Nga). 
[2] V.Z. Vlasov, N.N. Leonchiep , Rầm, bản và kết cấu ống mỏng trên nền đàn hồi; 
Matxcơva, 1960 (Tiếng Nga). 
[3] Đào Tuấn Anh, Trạng thái ứng suất biến dạng không gian của đập đất có thiết bị chống 
thấm mỏng; Luận án Tiến Sỹ, Trường Đại học tổng hợp xây dựng quốc gia Matxcơva, 2002( 
Tiếng Nga). 
 Abstract: 
ANALYZING THE PROBLEM OF CENTRAL ARCH-CONSOLE 
IN MATHCAD ENVIRONMENT USING METHOD OF VARIATION 
IN CASE OF DAM TOE RIGIDLY RESTRAINED BY THE FOUNDATION 
Dr. Dao Tuan Anh 
 The success in analyzing the problem of arch dam stresses using method of central arch-
console in MathCad environment in comparison with calculated results using Finite Element 
Method (FEM) is considered a proof of the advantage of this software (MathCad) in analyzing 
classically technical problems and assisting analytical engineers, in verifying the design of 
construction works in general and hydraulic works in particular using commercial softwares, 
most of which cannot be controlled as the essence of their programming contents is 
incomprehensible.