Giáo trình Đại số

BỘ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG 
HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG 
GIÁO TRÌNH ĐẠI SỐ 
Mã số BAS 1 2 0 1 
KHOA PHỤ TRÁCH: CƠ BẢN 1 
CHỦ BIÊN: PGS.TS. LÊ BÁ LONG 
Hà Nội – Năm 2015 
 3 
LỜI NÓI ĐẦU TÁI BẢN 
Giáo trình này đƣợc bổ sung, sắp xếp và chỉnh sửa lại từ giáo trình Đại số của 
cùng tác giả, xuất bản năm 2008- Nhà xuất bản Bƣu điện. 
Nội dung của giáo trình đƣợc sắp xếp phù hợp với đề cƣơng chi tiết theo hình 
thức đào tạo tín chỉ của Học viện Công nghệ Bƣu chính Viễn thông ban hành năm 
2012. Chƣơng 3 và chƣơng 4 của giáo trình cũ đƣợc gộp lại thành chƣơng 3: Ma 
trận và Định thức. Các nội dung đánh dấu (*) không có trong đề cƣơng mới và 
đƣợc xem là phần đọc thêm. Tác giả đã bổ sung thêm nhiều ví dụ minh họa, hy 
vọng rằng ngƣời đọc sẽ dễ dàng tiếp thu kiến thức hơn. 
Tác giả xin chân thành cám ơn các đồng nghiệp và các thế hệ sinh viên của 
Học viện đã ủng hộ và đóng góp ý kiến để giáo trình đƣợc hoàn chỉnh hơn. 
Trong quá trình biên soạn lại Tác giả đã nhận đƣợc sự động viên, tạo điều 
kiện từ Ban lãnh đạo Học viện, sự hỗ trợ tích cực từ Khoa Cơ bản 1, đặc biệt Bộ 
môn Toán để tác giả hoàn thiện hơn giáo trình của mình. Tác giả xin chân thành 
cám ơn. 
Hà Nội, 2015. 
PGS. TS. Lê Bá Long 
Khoa cơ bản 1 
 Học Viện Công nghệ Bƣu chính Viễn thông 
 5 
LỜI NÓI ĐẦU XUẤT BẢN LẦN 1 
Toán cao cấp A1, A2, A3 là chƣơng trình toán đại cƣơng dành cho sinh viên 
các nhóm ngành toán và nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Nội dung của toán cao 
cấp A1, A3 chủ yếu là phép tính vi tích phân của hàm một hoặc nhiều biến, còn 
toán cao cấp A2 giới thiệu các cấu trúc đại số và đại số tuyến tính. Có khá nhiều 
sách giáo khoa và tài liệu tham khảo viết về các chủ đề này. Tuy nhiên xuất phát từ 
đặc thù ứng dụng toán học đối với ngành điện tử viễn thông và công nghệ thông tin 
và nhu cầu có tài liệu phù hợp với chƣơng trình đào tạo của Học viện Công nghệ 
Bƣu chính Viễn thông nên chúng tôi đã biên soạn giáo trình này. 
Giáo trình đƣợc biên soạn theo chƣơng trình qui định năm 2007 của Học viện 
Công nghệ Bƣu Chính Viễn Thông. Nội dung của cuốn sách đƣợc tổng kết từ bài 
giảng của tác giả trong nhiều năm và có tham khảo các giáo trình của các trƣờng 
đại học kỹ thuật khác. Chính vì thế, giáo trình này cũng có thể dùng làm tài liệu học 
tập, tài liệu tham khảo cho sinh viên của các trƣờng, các ngành đại học và cao đẳng 
kỹ thuật. 
Giáo trình gồm 7 chƣơng: 
Chƣơng I: Lôgich toán học, lý thuyết tập hợp, ánh xạ và các cấu trúc đại số. 
Chƣơng II: Không gian véc tơ. 
Chƣơng III: Ma trận. 
Chƣơng IV: Định thức. 
Chƣơng V: Hệ phƣơng trình tuyến tính 
Chƣơng VI: Ánh xạ tuyến tính. 
Chƣơng VII: Không gian véc tơ Euclide và dạng toàn phƣơng. 
Ngoài vai trò là công cụ cho các ngành khoa học khác, toán học còn đƣợc 
xem là một ngành khoa học có phƣơng pháp tƣ duy lập luận chính xác chặt chẽ. 
Vì vậy việc học toán cũng giúp ta rèn luyện phƣơng pháp tƣ duy. Các phƣơng 
pháp này đã đƣợc giảng dạy và cung cấp từng bƣớc trong quá trình học tập ở phổ 
thông, nhƣng trong chƣơng I các vấn đề này đƣợc hệ thống hoá lại. Nội dung của 
chƣơng I đƣợc xem là cơ sở, ngôn ngữ của toán học hiện đại. Một vài nội dung 
trong chƣơng này đã đƣợc học ở phổ thông nhƣng chỉ với mức độ đơn giản. Các 
cấu trúc đại số thì hoàn toàn mới và khá trừu tƣợng vì vậy đòi hỏi học viên phải 
đọc lại nhiều lần mới tiếp thu đƣợc. 
Các chƣơng còn lại của giáo trình là đại số tuyến tính. Kiến thức của các 
chƣơng liên hệ chặt chẽ với nhau, kết quả của chƣơng này là công cụ của chƣơng 
khác. Vì vậy học viên cần thấy đƣợc mối liên hệ giữa các chƣơng. Đặc điểm của 
môn học này là tính khái quát hoá và trừu tƣợng cao. Các khái niệm thƣờng đƣợc 
khái quát hoá từ những kết quả của hình học giải tích ở phổ thông. Khi học ta nên 
liên hệ đến các kết quả đó. 
Giáo trình đƣợc trình bày theo cách thích hợp đối với ngƣời tự học. Trƣớc khi 
nghiên cứu các nội dung chi tiết, ngƣời đọc nên xem phần giới thiệu của mỗi 
 6 
chƣơng cũng nhƣ mục đích của chƣơng để thấy đƣợc mục đích ý nghĩa, yêu cầu 
chính của chƣơng đó. Trong mỗi chƣơng, mỗi nội dung, ngƣời đọc có thể tự đọc và 
hiểu đƣợc cặn kẽ thông qua cách diễn đạt và chứng minh rõ ràng. Đặc biệt bạn đọc 
nên chú ý đến các nhận xét, bình luận để hiểu sâu hơn hoặc mở rộng tổng quát hơn 
các kết quả. Hầu hết các bài toán đƣợc xây dựng theo lƣợc đồ: Đặt bài toán, chứng 
minh sự tồn tại lời giải bằng lý thuyết và cuối cùng nêu thuật toán giải quyết bài 
toán này. Các ví dụ là để minh họa trực tiếp khái niệm, định lý hoặc các thuật toán, 
vì vậy sẽ giúp ngƣời đọc dễ dàng hơn khi tiếp thu bài học. Cuối mỗi chƣơng đều có 
các bài tập sắp xếp từ dễ đến khó. Các bài tập dễ chỉ kiểm tra trực tiếp nội dung vừa 
học còn các bài tập khó đòi hỏi phải sử dụng các kiến thức tổng hợp. 
Một số nội dung của cuốn sách đã đƣợc dạy hoặc dạy một phần ở phổ thông. 
Chẳng hạn giải tích tổ hợp, các đƣờng conic có ở chƣơng trình phổ thông. Tuy 
nhiên ở đây tác giả muốn trình bày lại giải tích tổ hợp theo ngôn ngữ ánh xạ. Minh 
họa ứng dụng chỉ số quán tính của dạng toàn phƣơng để phân loại các đƣờng bậc 2 
trong mặt phẳng và các mặt bậc 2 trong không gian. 
Tuy rằng tác giả đã rất cố gắng, song các thiếu sót còn tồn tại trong giáo trình 
là điều khó tránh khỏi. Tác giả rất mong sự đóng góp ý kiến của bạn bè đồng 
nghiệp, học viên xa gần và xin cám ơn vì điều đó. Tác giả xin chân thành cám ơn 
GS. Đoàn Quỳnh, PGS. TS. Nguyễn Xuân Viên, PGS. TS. Nguyễn Năng Anh, 
Ths.GVC. Nguyễn Tiến Duyên, Ths.GVC. Đỗ Phi Nga đã có những đóng góp và 
động viên quý báu. 
Cuối cùng chúng tôi bày tỏ sự cám ơn đối với Ban Giám đốc Học viện Công 
nghệ Bƣu Chính Viễn Thông, Khoa Cơ bản 1 và bạn bè đồng nghiệp đã khuyến 
khích động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành giáo trình 
này. 
Hà Nội, 2008. 
PGS. TS. Lê Bá Long 
Khoa cơ bản 1 
 Học Viện Công nghệ Bƣu chính Viễn thông 
 7 
MỤC LỤC 
MỤC LỤC ............................................................................................................................. 7 
BẢNG TRA CỨU ............................................................................................................... 12 
CHƢƠNG 1 ......................................................................................................................... 17 
MỞ ĐẦU VỀ LÔGICH MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP ................................................................. 17 
ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ .......................................................................... 17 
1.1. SƠ LƢỢC VỀ LÔGICH MỆNH ĐỀ ........................................................................ 18 
1.1.1. Mệnh đề .............................................................................................................. 18 
1.1.2. Các phép liên kết lôgich mệnh đề ....................................................................... 18 
1.1.3. Các tính chất ....................................................................................................... 19 
1.2. TẬP HỢP .................................................................................................................. 20 
1.2.1. Khái niệm tập hợp .............................................................................................. 20 
1.2.2.Biểu diễn tập hợp ................................................................................................. 20 
1.2.3.Các tập hợp số thƣờng gặp .................................................................................. 21 
1.2.4. Tập con ............................................................................................................... 22 
1.2.5. Các phép toán trên các tập hợp ........................................................................... 22 
1.2.6. Lƣợng từ phổ biến và lƣợng từ tồn tại ................................................................ 24 
1.2.7. Phép hợp và giao suy rộng .................................................................................. 25 
1.3. TÍCH DESCARTES VÀ QUAN HỆ ........................................................................ 25 
1.3.1.Tích Descartes của các tập hợp ........................................................................... 25 
1.3.2 Quan hệ hai ngôi* ................................................................................................ 26 
1.3.3 Quan hệ tƣơng đƣơng* ....................................................................................... 27 
1.3.4. Quan hệ thứ tự* .................................................................................................. 27 
1.4. ÁNH XẠ ................................................................................................................... 29 
1.4.1. Định nghĩa và ví dụ ............................................................................................ 29 
1.4.2. Phân loại các ánh xạ ........................................................................................... 31 
1.4.3. Ánh xạ ngƣợc của một song ánh ........................................................................ 33 
1.4.4. Hợp của hai ánh xạ ............................................................................................. 34 
1.4.5. Lực lƣợng của một tập hợp ................................................................................. 34 
1.5. SƠ LƢỢC VỀ PHÉP ĐẾM, GIẢI TÍCH TỔ HỢP- NHỊ THỨC NEWTON* ........ 35 
1.5.1. Sơ lƣợc về phép đếm .......................................................................................... 35 
1.5.2. Hoán vị, phép thế ................................................................................................ 36 
1.5.3. Chỉnh hợp ........................................................................................................... 37 
1.5.4. Tổ hợp ................................................................................................................. 38 
1.5.5. Nhị thức Newton................................................................................................. 40 
1.6. CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ* ..................................................................................... 41 
1.6.1. Luật hợp thành trong .......................................................................................... 41 
1.6.2. Nhóm .................................................................................................................. 42 
1.6.3. Vành .................................................................................................................... 43 
 8 
1.6.4. Trƣờng ................................................................................................................ 45 
1.7. ĐẠI SỐ BOOLE ..................................................................................................... 45 
1.7.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đại số Boole......................................... 45 
1.7.2. Công thức Boole, hàm Boole và nguyên lý đối ngẫu ........................................ 47 
1.7.3. Phƣơng pháp xây dựng hàm Boole trong B2 có giá trị thỏa mãn điều kiện cho 
trƣớc ............................................................................................................................. 49 
1.7.4. Ứng dụng đại số Boole vào mạng chuyển mạch(switching networks) .............. 50 
BÀI TẬP CHƢƠNG 1 .................................................................................................... 53 
CHƢƠNG 2 ........................................................................................................................ 59 
KHÔNG GIAN VÉC TƠ .................................................................................................... 59 
2.1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉC TƠ ................................................................... 60 
2.1.1. Định nghĩavà các ví dụ....................................................................................... 60 
2.1.2. Tính chất ............................................................................................................ 61 
2.2.KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON ................................................................................. 62 
2.2.1. Định nghĩa và ví dụ ............................................................................................ 62 
2.2.2. Không gian con sinh bởi một họ véc tơ ............................................................. 63 
2.2.3. Tổng của một họ không gian véc tơ con ............................................................ 65 
2.3. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH ...................................... 66 
2.4. HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN CÁC VÉC TƠ ................................................. 68 
2.4.1. Hệ con độc lập tuyến tính tối đại ....................................................................... 68 
2.4.2. Hạng của một hệ hữu hạn các véc tơ ................................................................. 69 
2.5. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ ............................................... 70 
BÀI TẬP CHƢƠNG 2 .................................................................................................... 74 
CHƢƠNG 3 ........................................................................................................................ 80 
MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC ............................................................................................ 80 
3.1. KHÁI NIỆM MA TRẬN ........................................................................................ 81 
3.2. CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN ................................................................................ 82 
3.2.1. Phép cộng ma trận .............................................................................................. 82 
3.2.2. Phép nhân một số với ma trận ............................................................................ 82 
3.2.3. Phép nhân ma trận .............................................................................................. 84 
3.2.4. Đa thức ma trận .................................................................................................. 86 
3.2.5. Ma trận chuyển vị .............................................................................................. 86 
3.3.MA TRẬN CỦA MỘT HỆ VÉC TƠ ........................................................................ 87 
3.3.1.Định nghĩa ma trận của một hệ véc tơ ................................................................ 87 
3.3.2. Ma trận chuyển cơ sở ......................................................................................... 88 
3.4. HẠNG CỦA MA TRẬN .......................................................................................... 89 
3.4.1. Định nghĩa và tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi tƣơng đƣơng ............. 89 
3.4.2. Các ma trận tƣơng ứng với các phép biến đổi sơ cấp ........................................ 90 
3.5. KHÁI NIỆM ĐỊNH THỨC ...................................................................................... 91 
3.5.1. Hoán vị và phép thế ............................................................................. ... e e e e e v e e e e
1
1 1 1
1 1 1 1
1
1
0 ...
, ... ,
, ... ,
, ... ... ...
... ... ... ...
, ... ,
, ... ,
k
k
k
k k k
k k k k
b b
e e e e
b e e e e
v v
e e e e
b e e e e
 . 
Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi v là một tổ hợp tuyến tính của 1,..., ke e . 
Ngƣợc lại, cho 1,..., kb b ; Muốn có đẳng thức thì 1 1 ... k kv x e x e . 
HƢỚNG DẪN BÀI TẬP 
 264 
1 1, , ... ,i i i k k i ib v e x e e x e e b . 
Vì 0kD nên hệ phƣơng trình 
1
, ; 1,...,
k
j j i i
j
x e e b i k
  là hệ Cramer do 
đó tồn tại duy nhất nghiệm. Vậy tồn tại duy nhất v . 
c) Giả sử , là dạng cực của dạng toàn phƣơng xác định có ,i j
n n
A e e
, 
theo b) 1 1
1
( ,..., ); ( ,..., ) , det , ,
n
n n i j j j
j
x x Q x x v v e e v e 
  
  . 
1
, , , 1,...,
n
j j i i i
j
v e e v e x i n 
 0 1 1( ,..., ) 0 , ( ,..., )n nQ x x x x  0 . 
6.30. Giả sử 1,..., ne e là một cơ sở trực chuẩn của V đối với tích vô hƣớng  . 
( , ) 0 ( , ) 0,i j i je e e e i j  . 
( , ) 0 0 ( , ) ( , ) ( , )i j i j i j i j i i j je e e e e e e e e e e e . 
Đặt 1 1( , ) ... ( , )n nk e e e e thì , : ( , ) ( , )u v V u v k u v  . 
6.31. Giả sử 1 1,..., , ,..., ,...,p p p q ne e e e e là một cơ sở để biểu thức toạ độ của Q 
trong cơ sở này có dạng chính tắc: 2 2 2 21 1( ) ... ...p p p qQ v x x x x . 
Đặt  1 1 2 1span ,..., , span ,...,p p p qW e e W e e . 
a) 1, ( ) 0 dimv W v Q v W W W p
  0 0 . 
b) 2, ( ) 0 dimv W v Q v W W W q
  0 0 . 
c) Nếu dim ( , ) , \ : ( ) 0, ( ) 0W Max p q u v W Q u Q v  0 . 
Giả sử ( ) 0, ( ) 0Q u Q v . 
Xét ( ) (1 ) (1 ) , (1 )f t Q tu t v tu t v tu t v 
2 2( ) 2 (1 ) , (1 ) ( )t Q u t t u v t Q v . 
( )f t là hàm số liên tục có 0 0(0) 0, (1) 0 ,0 1f f t t  sao cho 
 0 0 0 0 0( ) (1 ) 0 (1 ) \f t Q t u t v t u t v W 0 . 
 PHỤ LỤC 
265 
PHỤ LỤC 1 
SỐ PHỨC 
Ta biết rằng bình phƣơng của một số thực là không âm, vì vậy trong trƣờng số 
thực phƣơng trình 2 1 0x vô nghiệm. Tuy nhiên nếu ta đƣa vào số ảo i sao cho 
2 1i thì phƣơng trình trên trở thành 2 2x i ( )( ) 0x i x i . Do đó phƣơng 
trình có hai nghiệm x i . Tổng quát hơn ta có thể mở rộng trƣờng số thực lên 
một trƣờng số rộng hơn để mọi phƣơng trình bậc hai đều có nghiệm. 
1.1. Dạng đại số của số phức 
Số phức viết dƣới dạng đại số z a ib , trong đó ,a b  , 
2 1i . 
a đƣợc gọi là phần thực của số phức z , ký hiệu Rea z 
b gọi là phần ảo của số phức z , ký hiệu Imb z . 
Hai số phức 1 1 1z a ib , 2 2 2z a ib bằng nhau đƣợc định nghĩa nhƣ sau: 
1 2
1 2
1 2
a a
z z
b b
 . (7.1) 
Tập hợp các số phức ký hiệu là  . 
1.2. Các phép toán trên số phức 
Cho hai số phức 1 1 1z a ib , 2 2 2z a ib , ta định nghĩa: 
1 2 1 2 1 2: ( ) ( )z z a a i b b (7.2) 
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1: ( ) ( )z z a a b b i a b a b . (7.3) 
Nói cách khác các phép toán cộng và nhân các số phức đƣợc thực hiện giống 
với các phép toán đó đối với số thực. 
Ta có thể chứng minh đƣợc ( , , )  là một trƣờng con của ( , , )  . 
Số phức z a ib đƣợc gọi là số phức liên hợp với số phức z a ib . 
Số phức 
2 2
a ib
a b
 có tính chất 
2 2
1
a ib
a ib
a b
 nên đƣợc gọi là số phức 
nghịch đảo của số phức z a ib , ký hiệu 1z hay 
1
z
 . Vậy 
1
2 2
1 a ib z
z
z zza b
. (7.4) 
Ta định nghĩa: 1 2 1 2 1 2 1 2: ( ) ( ) ( )z z z z a a i b b ; 
1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 2
2 2 2 22 2
1 ( ) ( )
:
z a a b b i a b a b z z
z
z z z za b
. (7.5) 
 PHỤ LỤC 
 266 
1.3. Biểu diễn hình học của số phức 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy . Mỗi điểm M trong mặt 
phẳng hoàn toàn xác định bởi tọa độ ( , )a b của nó. Mặt khác mỗi số phức 
z a ib cũng đƣợc xác định bởi phần thực a và phần ảo b . Vì vậy ta có thể 
đồng nhất số phức z a ib với điểm ( , )M a b . Do đó các số phức đƣợc đồng nhất 
với các điểm của mặt phẳng mà ta gọi là mặt phẳng phức. 
Phép cộng của số phức: 1 2 1 2 1 2: ( ) ( )z z a a i b b tƣơng ứng với phép 
cộng hai véc tơ 1 2OM OM 
  
; 1 1 1 2 2 2( , ), ( , )M a b M a b . 
Hai số phức liên hợp với nhau đối xứng nhau qua trục Ox . 
2 2OM a b 
 
 đƣợc gọi là môđun của số phức z a ib và ta ký hiệu là 
2 2z a b . 
Số đo của góc ( , )Ox OM
 
 xác định sai khác bội số của 2 đƣợc gọi là 
argument của số phức z , ký hiệu Arg z . 
Nếu thì đƣợc gọi là argument chính, ký hiệu arg z . 
 ,argz z là tọa độ cực của M với trục cực Ox . 
Tƣơng ứng giữa tọa độ Descartes và tọa độ cực 
cos
sin
a r
b r
. (7.6) 
Ngƣợc lại 2 2z a b , 
2 2
cos
a
a b
, 
2 2
sin
b
a b
. (7.7) 
Số phức z a ib đƣợc viết lại dạng lƣợng giác 
 cos sinz z i . (7.8) 
Tính chất: 
1) 1 2 1 2z z z z , 1 2 1 2z z z z  , 
1 1
2 2
z z
z z
 ; 
ibaz 
z 
O x
y 
 PHỤ LỤC 
267 
2) Re
2
z z
z
 , Im
2
z z
z
i
 ; z  Rez z z ; 
3) Giả sử 0 1( ) ...
n
np z a a z a z , 1,..., na a  là đa thức với hệ số thực 
(xem Phụ lục 2) thì 0 1( ) ... ( )
n
np z a a z a z p z . Vì vậy nếu 0z là nghiệm 
của phƣơng trình ( ) 0p z thì 0z cũng là nghiệm. 
 ( ), ( )p z q z là hai đa thức với hệ số thực thì 
( ) ( )
( ) ( )
p z p z
q z q z
 . 
4) , 0z z  ; 0 0z z ; 
5) 1 2 1 2z z z z ; 1 2 1 2z z z z ; 1 2 1 2z z z z ; 
6) 
11
2 2
zz
z z
 ; 
2
z zz ; 1z 
1
z
z
 ; 
7) 1 2 1 2Arg( ) Arg Argz z z z ; 
1
1 2
2
Arg Arg Arg
z
z z
z
; 
8) z z ; Arg Argz z . 
Công thức Euler 
 cos sinie i . (7.9) 
Công thức (7.8) đƣợc viết lại 
iz z e gọi là dạng mũ của số phức. 
1.4. Luỹ thừa của số phức - Công thức Moivre 
Cho số phức 
iz z e . Tích n lần ....
n
z z 
 lÇn
 đƣợc gọi là luỹ thừa bậc n của z , 
ký hiệu 
nz . Áp dụng phƣơng pháp quy nạp và các tính chất 5), 7) ở trên ta có 
(cos sin )
nnz z n i n . 
Khi 1z ta có công thức Moivre: 
(cos sin ) (cos sin )ni n i n . (7.10) 
Ví dụ 7.1: Tìm các số thực ,x y thỏa mãn: 
3 ( ) (1 2 )( 2 ) 2i x iy i x y i . 
Khai triển và đồng nhất phần thực phần ảo ta đƣợc: 
2
5 4 1
x y
x y
1
1
x
y
. 
Ví dụ 7.2: Giải hệ phƣơng trình vói ẩn số phức ,z w : 
2 3
3 1 2
z iw
z w i
. 
 PHỤ LỤC 
 268 
Nhân i vào hai vế của phƣơng trình thứ nhất xong cộng vào phƣơng trình thứ 
hai ta đƣợc 
1 5
3 2 13 13
i i
z
i
2 29
13 13
w i
 . 
Ví dụ 7.3: 
a) Quỹ tích các điểm z sao cho 2 3z i là đƣờng tròn tâm 2i bán kính 3. 
b) Quỹ tích các điểm z sao cho 2 3z i z là đƣờng trung trực của đoạn 
thẳng nối hai điểm 3 và 2i . 
c) Quỹ tích các điểm z sao cho 3 3 10z z là đƣờng ellipse có tiêu 
điểm 1 2( 3,0), (3,0)F F độ dài trục lớn 2 10a . 
Ví dụ 7.4: Theo (7.10): 3(cos sin ) (cos3 sin3 )i i . Mặt khác 
3 3 3 2 2(cos sin ) cos sin 3 cos sin 3cos sini i i 
Vậy 
3 2 3
2 3 3
cos3 cos 3cos sin 4cos 3cos
sin3 3cos sin sin 3sin 4sin
. 
Ví dụ 7.5: Tính 
10
1 3i . 
10
10
102 2 20 201 3 2 cos sin 2 cos sin
3 3 3 3
i i i
 10 10 92 2 1 32 cos sin 2 2 1 3
3 3 2 2
i i i
. 
1.5. Căn bậc n của số phức 
Căn bậc n của số phức z là số phức w sao cho nw z . Ký hiệu nw z hay 
1
nw z . 
Cho cos sin iz z i z e . 
*) Nếu 0z thì 0nw z , 1,2,...n . 
**) Nếu 0z . Xét cos sin iw w i w e  thì 
nw z 
2
n
w z
n k 
 2
; 0,1,..., 1
nw z
k k n
n n

. (7.11) 
Vậy có đúng n căn bậc n của z ứng với các giá trị 0,1,..., 1k n . Các căn 
bậc n này là các đỉnh của n giác đều nội tiếp đƣờng tròn tâm O bán kính n z . 
Ví dụ 7.6: Tính căn bậc n của đơn vị. 
 PHỤ LỤC 
269 
Ta có 1 cos0 sin0i . Vậy các căn bậc n của 1 là: 
2
2 2
cos sin
k
i
n
k
k k
i e
n n
 ; 0,1,..., 1.k n (7.12) 
Ví dụ 7.7: Tính 3 2 2i . Ta có 
3 3
2 2 2 2 cos sin
4 4
i i
. 
Vậy 3
1 3 1 3
2 2 2 cos 2 sin 2
3 4 3 4
i k i k
; 
0k : 0 2 cos sin 1
4 4
w i i
 ; 
1k : 1
11 11
2 cos sin
12 12
w i
 ; 
2k : 2
19 19
2 cos sin
12 12
w i
5 5
2 cos sin
12 12
i
. 
0 
1
2 
2 
 PHỤ LỤC 
 270 
PHỤ LỤC 2 
ĐA THỨC 
2.1. Đa thức trên một vành nguyên 
Cho K là một trong các tập số: , , ,K     hay p . 
Với mỗi dãy 0 1( , ,..., ,...)na a a các phân tử na K . Biểu thức 
0 1( ) ...
n
np x a a x a x , 0na 
đƣợc gọi là đa thức bậc n của biến (hay ẩn) x . Các số 0 1, ,..., na a a đƣợc gọi là các 
hệ số của đa thức. 
Nếu 0 1 ... 0na a a thì ta đƣợc các đa thức không, ký hiệu là 0 . Tập 
hợp các đa thức biến x với hệ số thuộc K đƣợc ký hiệu là  K x . 
Cho hai đa thức 
0 1( ) ...
n
np x a a x a x , 0na ; 0 1( ) ...
m
mq x b b x b x , 0mb . 
Hai đa thức ( ), ( )p x q x bằng nhau đƣợc ký hiệu và định nghĩa nhƣ sau: 
0 0
( ) ( )
,..., n n
m n
p x q x
a b a b
. (7.13) 
2.2. Vành đa thức 
Trong tập  K x , giả sử 0 1( ) ...
n
np x a a x a x , 0na ; 
 0 1( ) ...
m
mq x b b x b x , 0mb . 
Ta định nghĩa tổng ( ) ( )p x q x và tích ( ) ( )p x q x của hai đa thức ( )p x , ( )q x 
nhƣ sau: 20 0 1 1 2 2( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ....p x q x a b a b x a b x 
0 1( ) ( ) : ...
n m
n mp x q x c c x c x
 ,
1
k
k j k j
j
c a b 
  , 0,1,...,k n m . (7.14) 
Với quy ƣớc 0ja nếu j n và 0jb nếu j m . 
Ta có thể chứng minh đƣợc   , ,K x  là một vành nguyên. 
 ( ) ( ) max ( ), ( )p x q x p x q x bËc bËc bËc . (7.15) 
 ( ) ( ) ( ) ( )p x q x p x q x bËc bËc bËc . (7.16) 
2.3. Phép chia đa thức - Nghiệm 
Định lý 1: Với hai đa thức bất kỳ ( ), ( )p x q x ; ( ) 0q x đều tồn tại duy nhất hai đa 
thức ( ), ( )s x r x
sao cho ( ) ( ) ( ) ( )p x q x s x r x , trong đó hoặc ( ) 0r x hoặc 
( ) 0r x và ( ) ( )r x q x bËc bËc . 
 PHỤ LỤC 
271 
Ví dụ 7.8: 5 3 2 3 22 3 ( 2 5)(2 4 2 27) 44 135x x x x x x x x . 
Định nghĩa 1: ( )r x đƣợc gọi là dƣ của phép chia ( )p x cho ( )q x . Nếu ( ) 0r x thì 
ta nói ( )p x chia hết cho ( )q x hay ( )q x là ƣớc của ( )p x . 
Định nghĩa 2: Số c K thoả mãn 0 1( ) ... 0
n
np c a a c a c đƣợc gọi là 
nghiệm của đa thức 0 1( ) ...
n
np x a a x a x . 
Định lý 2: Phần dƣ của phép chia ( )p x cho x c là ( )p c . 
Hệ quả 3: c là nghiệm của đa thức ( )p x khi và chỉ khi x c là ƣớc của ( )p x , 
nghĩa là ( ) ( ) ( )kp x x c s x . 
Nếu ( ) ( ) ( )kp x x c s x ( k nguyên, 1k ) và ( ) 0s c thì c đƣợc gọi là 
nghiệm bội k của đa thức ( )p x . 
Định nghĩa 3: Đa thức  ( )p x K x đƣợc gọi là bất khả quy nếu ( ) 1p x bËc và 
nếu ( ) ( ) ( )p x q x s x thì một trong hai đa thức ( )q x , ( )s x là hằng số khác 0 của 
K , nghĩa là ( )p x chỉ chia hết cho ( )kp x , với \ 0k K . 
Chẳng hạn: Mọi đa thức bậc nhất là bất khả quy. Đa thức 2 bËc bất khả quy khi 
và chỉ khi nó vô nghiệm trong K . 
Định lý 4: Mọi đa thức 1 bËc trên trƣờng số phức  đều có nghiệm. 
Hệ quả 5: Mọi đa thức  0 1( ) ...
n
np x a a x a x x  đều có thể phân tích 
thành 1( ) ( )...( )n np x a x x x x , trong đó các số phức kx có thể trùng nhau. 
Hệ quả 6: Mọi đa thức hệ số thực  0 1( ) ...
n
np x a a x a x x  có thể phân 
tích thành tích các đa thức bất khả quy là đa thức bậc nhất hay đa thức bậc 2 có 
biệt thức âm: 1 12 21 1( ) ( 1) ...( ) ( ) ...( )
m sk lk l
n m m sp x a x b x c x b x c x x x x 
với 2 4 0j jb c , 1,...,j m ; 1 12 ... 2 ...m sk k l l n . 
2.4. Ƣớc chung lớn nhất, nguyên tố cùng nhau 
Định nghĩa 4: Nếu hai đa thức ( )p x , ( )q x cùng chia hết cho đa thức ( )d x thì 
( )d x đƣợc gọi là ƣớc chung của ( )p x , ( )q x . Ngoài ra nếu mọi ƣớc của ( )p x , ( )q x 
đều là ƣớc của ( )d x thì ( )d x gọi là ƣớc chung lớn nhất của ( )p x , ( )q x . Ký hiệu: 
 ( ) ( ( ), ( ))d x UCLN p x q x . 
Nếu ( )d x là hằng số khác không thì ( )p x , ( )q x đƣợc gọi là nguyên tố cùng 
nhau. Ký hiệu ( ( ), ( )) 1p x q x . 
Chú ý rằng ( ) ( ( ), ( ))d x UCLN p x q x xác định duy nhất sai khác một hằng số 
khác 0 . Nghĩa là 
( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ))d x UCLN p x q x kd x UCLN p x q x , với \ 0k K . 
 PHỤ LỤC 
 272 
Để tìm ( ( ), ( ))UCLN p x q x ta thực hiện phép chia Euclide nhƣ sau: 
 Giả sử ( ) ( )p x q x bËc bËc
thì 1 1( ) ( ) ( ) ( )p x q x s x r x , 1( ) ( )r x q x bËc bËc . 
 Nếu 1( ) 0r x thì ( ) ( ( ), ( ))q x UCLN p x q x ; 
 Nếu 1( ) 0r x lặp lập quá trình trên đối với ( )q x và 1( )r x 
1 2 2( ) ( ) ( ) ( )q x r x s x r x ; 
 Nếu 2( ) 0r x thì 2 1( ) ( )r x r x 0 bËc bËc . 
 Tiếp tục ... 2 1( ) ( ) ( ) ( )k k k kr x r x s x r x , 
1 1( ) ( ) ( )k k kr x r x s x c . 
 1( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ... ( ( ), )kUCLN p x q x UCLN q x r x UCLN r x c . 
 Nếu 0c thì ( ) ( ( ), ( ))kr x UCLN p x q x ; 
 Nếu 0c thì ( ( ), ( )) 1p x q x . 
Định lý 7: 
1) ( ) ( ( ), ( ))d x UCLN p x q x khi và chỉ khi tồn tại các đa thức ( ), ( )u x v x sao 
cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x u x q x v x d x . 
2) ( ( ), ( )) 1p x q x khi và chỉ khi tồn tại các đa thức ( ), ( )u x v x sao cho 
( ) ( ) ( ) ( ) 1p x u x q x v x . 
Định lý 8: 
1) Hai đa thức  ( ), ( )p x q x x  của trƣờng số phức là nguyên tố cùng nhau 
khi và chỉ khi không có nghiệm chung nào. 
2) Hai đa thức  ( ), ( )p x q x x  trên trƣờng số thực nguyên tố cùng nhau 
khi và chỉ khi chúng không có nghiệm thực hay nghiệm phức chung nào. 
Hệ quả 9: ( ), ( )p x q x là hai đa thức trên trƣờng số thực hay số phức thì: 
 ( ), ( ) 1p x q x ( ), ( ) 1m np x q x , với mọi số nguyên dƣơng , .m n 
Nhận xét 7.1: Các đa thức bất khả qui với hệ số ứng với bậc cao nhất bằng 1 
(chẳng hạn: 2 2; , 4 0x c x px q p q ) đóng vai trò nhƣ các số nguyên tố trong 
vành  . Vì vậy ta có thể chuyển một cách tƣơng tự các kết quả trong vành số 
nguyên  sang vành nguyên các đa thức  K x . Chẳng hạn để tìm 
( ) ( ( ), ( ))d x UCLN p x q x ta phân tích ( )p x thành tích các đa thức bất khả qui. Khi 
đó ( )d x bằng tích các đa thức bất khả qui có mặt đồng thời trong ( )p x và ( )q x . 
Ví dụ 7.9: 
33 2 2( ) 2 1 2 3p x x x x x , 
 2 5 2( ) 3 1 2 3q x x x x x 
 2 2( ) 1 2 3d x x x x . 
273 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Đoàn Quỳnh (chủ biên); Đại số tuyến tính và hình học giải tích; ĐHQG-HN. 
[2] Kim Cƣơng; Toán cao cấp - Tập 1- Đại số- NXB ĐH-GDCN, Hà Nội, 1990. 
[3] Lê Đình Thịnh, Phan Văn Hạp, Hoàng Đức Nguyên; Đại số tuyến tính, NXB 
KH-KT, Hà Nội 1998. 
[4] Ngô Thúc Lanh; Đại số tuyến tính, NXB ĐH-THCN, Hà Nội 1970. 
[5] Ngô Việt Trung; Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB ĐHQG Hà Nội 2001. 
[6] Nguyễn Đình Trí (chủ biên); Toán cao cấp tập một; NXB GD 1996. 
[7] Nguyễn Đình Trí (chủ biên); Bài tập toán cao cấp tập một; NXB GD 1997. 
[8] Phan Đình Diệu; Lôgich toán & cơ sở toán học; NXB ĐHQG Hà Nội 2003. 
[9] Trần Văn Hãn; Đại số tuyến tính trong kỹ thuật, NXB ĐH-THCN, Hà Nội 
1978. 
[10] Bellman R. ; Mở đầu lý thuyết ma trận. Bản dịch tiếng Việt: Nguyễn Văn Huệ, 
Hoàng Kiếm, NXB KH&KT Hà Nội 1978. 
[11] B. A. Cadobnitri...; Tuyển tập các bài toán vô địch sinh viên (tiếng Nga) NXB 
ĐH Maxcơva 1987. 
[12] David C. Lay; Linear Algebra and Its Applications, Addison-Wesley-
Puslishing Company, 1997. 
[13] Edwin F. Beckenbach: Toán học hiện đại cho kỹ sƣ, bản dịch tiếng Việt, Hồ 
Thuần, Nguyễn Lâm, Lê Thiệu Phố, Phạm văn Ất, NXB ĐH-THCN, Hà Nội 1978. 
[14] J. M. Monier ; Algèbre 1, 2, bản dịch tiếng Việt NXB GD, 1999. 
[15] Lipshutz S.; Linear Algebra, Mc Graw-Hill, 1987. 
[16] Lipshutz S.; Theory and problems of Linear Algebra, Schaum's Outline Series 
Mc Graw-Hill, 1968. 
[17] Poznyak E. G. & Ilrin V. A.; Linear Algebra, Mir Pub. Moscow 1986. 
[18] ProskuryakovI.U.; Problems in Linear Algebra, Mir Pub. Moscow 1978. 
[19] R. Sikorski; Boolean Algebras, Springer-Verlag 1969.