Giáo trình Toán ứng dụng

TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI 
Hứa Thị An 
Lê Văn Hùng 
GIÁO TRÌNH 
Toán ứng dụng 
(Lưu hành nội bộ) 
Hà Nội năm 2012 
Tuyên bố bản quyền 
Giáo trình này sử dụng làm tài liệu giảng dạy nội bộ trong trường 
cao đẳng nghề Công nghiệp Hà Nội 
Trường Cao đẳng nghề Công nghiệp Hà Nội không sử dụng và 
không cho phép bất kỳ cá nhân hay tổ chức nào sử dụng giáo trình này với 
mục đích kinh doanh. 
Mọi trích dẫn, sử dụng giáo trình này với mục đích khác hay ở nơi 
khác đều phải được sự đồng ý bằng văn bản của trường Cao đẳng nghề 
Công nghiệp Hà Nội 
Chương 1. Quan hệ - Suy luận toán học 
A. Quan hệ hai ngôi 
1. Định nghĩa: Cho X là một tập hợp, ta nói S là một quan hệ hai ngôi trên X 
nếu S là một tập con của tích Descartes 2X . 
Nếu hai phần tử a, b thỏa ( ; )a b S thì ta nói a có quan hệ S với b. Khi đó, thay 
vì viết ( ; )a b S ta có thể viết là aSb. 
2.Ví dụ: 
- Quan hệ chia hết trong tập hợp số tự nhiên. 
- Quan hệ bằng nhau. 
- Quan hệ lớn hơn. 
3. Một số quan hệ thường gặp: 
3.1 Quan hệ tương đương: 
3.1.1 Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập X được gọi là quan hệ tương 
đương nếu nó thỏa các tính chất sau: 
i) Phản xạ: xSx, với mọi x X , 
ii) Đối xứng: Nếu xSy thì ySx, với mọi ,x y X . 
iii) Bắc cầu: Nếu xSy và ySz thì xSz với mọi , ,x y z X . 
Khi trên tập X đã xác định một quan hệ tương đương, khi đó thay vì viết xSy ta 
thường ký hiệu x y . 
3.1.2 Ví dụ: 
- Quan hệ bằng nhau ở các tập hợp số một quan hệ tương đương vì thỏa các 
tính chất phản xạ; đối xứng; bắc cầu. 
- Xét trong quan hệ S xác định bởi 2 2xSy x y x y là một quan hệ 
tương đương. 
- Gọi X là tập các đường thẳng trong mặt phẳng, quan hệ cùng phương của 
hai đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng là quan hệ tương đương. (Chú ý: Hai 
đường thẳng được gọi là cùng phương là hai đường thẳng song song hoặc trùng 
nhau.) 
- Quan hệ vuông góc giữa các đường thẳng trong mặt phẳng không phải là 
quan hệ tương đương vì không thỏa tính phản xạ. 
- Quan hệ chia hết cho trong tập hợp số tự nhiên không phải là quan hệ 
tương đương vì không có tính chất đối xứng. 
- Quan hệ “nguyên tố cùng nhau” trên tập hợp số tự nhiên không là quan 
hệ tương đương vì không có tính chất bắt cầu. Ví dụ (2, 3) = 1; (4, 3) = 1 nhưng 
(4, 2) 1 . 
Cho S là một quan hệ tương đương trên tập X và x X . Ta gọi tập hợp 
( ) { | }S x y X y x  là lớp tương đương của x theo quan hệ tương đương S. Khi 
đó ta có: 
- ( )S x  vì ( )x S x . 
- ( )
x X
S x X
  . 
- ,x y X thì hoặc S(x) = S(y) hoặc ( ) ( )S x S y  . 
Từ tính chất trên ta nhận được một phân hoạch của X qua các lớp tương đương 
S(x). Tập hợp tất cả các lớp tương đương này được ký hiệu là X/S và gọi là tập 
thương của X qua quan hệ tương đương S. 
 3.2 Quan hệ thứ tự: 
3.2.1 Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi S trên tập X được gọi là quan hệ thứ 
tự nếu quan hệ đó có các tính chất: phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng (tức là nếu 
xSy và ySx thì suy ra x = y với mọi ,x y X ). 
Nếu tập X có một quan hệ thứ tự bộ phận S thì ta nói X là một tập được sắp thứ 
tự bởi S. 
Ta thường dùng ký hiệu để chỉ một quan hệ thứ tự bộ phận. 
Với hai phần tử ,x y X , nếu x có quan hệ với y ta viết x y (đọc là “x bé hơn 
hay bằng y”) hoặc viết y x (đọc là “y lớn hơn hay bằng x”). 
Khi x y thì thay cho x y (hay y x ) ta viết x x) và đọc là “x bé 
hơn y” (hay “y lớn hơn x”). 
Quan hệ thứ tự trong X được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần (hay tuyến 
tính) nếu với mọi ,x y X ta đều có x y hoặc y x . 
Một quan hệ thứ tự không toàn phần gọi là quan hệ thứ tự bộ phận (hay từng 
phần). 
3.2.2 Các phần tử đặc biệt. Quan hệ thứ tự tốt. 
Cho X là tập được sắp thứ tự bởi và A là một tập con của X. 
Phần tử a A được gọi là phần tử bé nhất (lớn nhất) của A nếu với mọi x A 
thì a x ( x a ). 
Phần tử a A được gọi là phần tử tối tiểu (tối đại) của A nếu với mọi 
, ,( )x A x a x a a x a x . 
Phần tử 0x X được gọi là cận dưới (cận trên) của A nếu với mọi 
0 0: ( ).a A x a a x 
Quan hệ thứ tự trong X được gọi là một quan hệ thứ tự tốt nếu mọi tập con 
khác rỗng của X đều có phần tử bé nhất. Khi đó, X gọi là được sắp tốt bởi . 
Ví dụ: 
a) Cho X là một tập hợp, trên P(X) ta xét quan hệ bao hàm  . Ta chứng minh 
được đây là một quan hệ thứ tự bộ phận trên P(X). 
Ngoài ra, nếu X chứa ít nhất hai phần tử x y thì quan hệ thứ tự trên không 
phải tuyến tính (hay quan hệ thứ tự toàn phần) vì {x} không so sánh được với {y}. 
b) Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp các số nguyên là một quan hệ 
thứ tự tuyến tính, nhưng không phải quan hệ thứ tự tốt vì không phải mọi tập con 
khác rỗng của đều có phần tử bé nhất. 
Ví dụ: Tập {..., - 2, -1, 0} không có phần tử tối tiểu. 
c) Quan hệ chia hết trên tập hợp số tự nhiên là một quan hệ thứ tự bộ phận, 
nhưng không phải là quan hệ tuyến tính. 
d) Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp số tự nhiên là một quan hệ thứ 
tự tuyến tính, hơn nữa đây còn là một quan hệ thứ tự tốt. Với phần tử bé nhất là 
phần tử 0, nhưng không có phần tử lớn nhất. 
e) Trong tập các số tự nhiên lớn hơn 1, sắp thứ tự theo quan hệ chia hết các 
phần tử tối tiểu là các số nguyên tố. 
3.3 Các nguyên lý tương đương: 
3.3.1 Tiên đề chọn: Với mọi họ không rỗng ( ) IX các tập hợp khác rỗng 
,X I đều có một ánh xạ :
I
f I X 
  sao cho ( )f X với mọi I . 
3.3.2 Nguyên lý sắp tốt: Mọi tập hợp không rỗng đều có thể được sắp tốt (tức 
là tồn tại một quan hệ thứ tự tốt trên tập đó). 
3.3.3 Bổ đề Zorn: Cho X là một tập không rỗng được sắp thứ tự bởi . Nếu 
mọi tập con A của X được sắp toàn phần bởi , đều có cận trên thì X có phần tử 
tối đại. 
B. Suy luận toán học 
I. Mệnh đề 
1. Mệnh đề sơ cấp 
Các phát biểu khẳng định không thể chia nhỏ được và có giá trị hoặc đúng (1, true, 
yes) hoặc sai (0, false, no) được gọi là mệnh đề sơ cấp. Giá trị của mệnh đề sơ cấp 
được gọi là giá trị chân lý. Kí hiệu các mệnh đề sơ cấp bởi các chữ cái X, Y, Z, ... 
Trong bài giảng này để biểu thị giá trị chân lý "đúng", "sai" ta dùng T (true) và F 
(false). 
Ví dụ: 
 "3 là số nguyên tố" là một mệnh đề có giá trị chân lý là T 
 "x chia hết cho 3" không phải là mệnh đề vì nó chỉ trở thành khẳng định 
với x cụ thể hoặc khi thêm các lượng từ với mọi, tồn tại vào trước mệnh 
đề. 
 "Bao giờ cho đến tháng mười" không phải là một mệnh đề vì nó không 
phải là khẳng định. 
2. Mệnh đề, công thức mệnh đề 
Các mệnh đề được thành lập từ các mệnh đề sơ cấp bằng các phép toán mệnh đề. 
a. Phép toán 
Các phép toán : hội (), tuyển (), phủ định (, _), kéo theo ( ) . Bảng chân trị 
X Y X  Y X  Y X X Y 
T T T F F T 
T F F F F F 
F T F F T T 
F F F T T T 
Các phép toán trên tương đương với các liên từ "và", "hoặc", "không", "kéo theo" 
Chú ý bảng chân trị của phép kéo theo qua các câu sau đây : 
 Vì mặt trời mọc ở hướng đông nên trái đất tròn 
 Vì mặt trời mọc ở hướng tây nên trái đất tròn 
 Vì mặt trời mọc ở hướng đông nên trái đất vuông 
 Vì mặt trời mọc ở hướng tây nên trái đất vuông 
Về mặt thực tế khó nói được tính đúng sai của 4 khẳng định dạng trên. Tuy nhiên 
áp dụng hệ toán mệnh đề có thể thấy các câu i. ii. là đúng và câu iii. là sai và đặc 
biệt một câu vô nghĩa như câu iv. lại là đúng. 
b. Công thức mệnh đề 
i. Các giá trị T, F và các mệnh đề sơ cấp : X, Y, Z, ... là các công thức 
mệnh đề 
ii. Nếu A, B, C ... là các công thức mệnh đề thì (A  B), (A  B), (A), (A 
 B) là các công thức mệnh đề. 
Dựa vào định nghĩa trên để nhận biết một công thức. Ví dụ : A  B  A không 
là công thức. Để đơn giản (nếu không nhầm lẫn) có thể bỏ bớt các dấu ngoặc bao 
ngoài. 
Ví dụ : "Nếu anh ta cao kều, đăm chiêu và lặng lẽ thì trời mưa". 
Có nhiều cách để biểu diễn câu trên thành một công thức mệnh đề : 
 Nếu đặt X, Y, Z, T tương ứng là các mệnh đề sơ cấp : "Anh ta cao kều"; 
"Anh ta đăm chiêu"; "Anh ta lặng lẽ", "Trời mưa" thì ta có công thức 
mệnh đề là (X  Y  Z) T 
 Nếu đặt A là công thức : "Anh ta cao kều, đăm chiêu" ; B là công thức 
"lặng lẽ" và C là công thức "Trời mưa" thì công thức cho câu trên là (A  
B) C. 
 Đặt A = "Nếu anh ta cao kều, đăm chiêu và lặng lẽ thì trời mưa". Công 
thức là A. 
Như vậy giá trị của một công thức (hoặc của mệnh đề) cũng được tính qua giá trị 
của các công thức thành phần, như A, B, C hoặc A, B, C kết hợp bởi các phép toán 
trên bằng cách lập bảng chân trị. Vì vậy các công thức mệnh đề cũng được xem 
là một mệnh đề. 
3. Tính tương đương của các công thức 
Hai công thức được gọi là tương đương nếu nó bằng nhau với mọi bộ giá trị của 
các mệnh đề sơ cấp tham gia trong công thức (thực chất nó là tương đương lôgic, 
nghĩa là chỉ trùng nhau về mặt giá trị chân lý chứ không trùng nhau hoàn toàn về 
mặt cấu trúc). Kí hiệu A  B để chỉ hai công thức A và B tương đương. 
Để kiểm tra tính tương đương ta lập bảng chân trị. Các phần sau sẽ cho thấy các 
cách khác để kiểm tra tính tương đương (ví dụ dùng các phép biến đổi tương 
đương). 
Ví dụ: lập bảng chân trị cho các công thức tương đương sau : 
i. A B  A  B 
ii. (A  B)  A  B 
iii. A  A 
Bằng cách lập bảng chân trị ta dễ dàng chứng minh được các cặp công thức tương 
đương sau : 
Một số công thức tương đương 
Tên gọi Tương đương 
Luật đồng nhất A  T  A  F  A 
Luật nuốt A  T  T; A  F  F 
Luật luỹ đẳng A  A  A  A  A 
Luật phủ định kép A  A 
Luật hấp thụ A  (A  B)  A; A  (A  B)  A 
Luật giao hoán A  B  B  A; A  B  B  B 
Luật kết hợp (A  B)  C  A  (B  C); (A  B)  C  A  (B  C) 
Luật phân phối A  (B  C)  (A  B)  (A  C); 
A  (B  C)  (A  B)  (A  C) 
Luật De Morgan (A  B)  A  B; (A  B)  A  B 
Các công thức khác A  A  T; A  A  F 
A B  A  B 
Từ bảng các công thức tương đương trên (mà ta có thể xem như các luật) ta có thể 
sử dụng để tìm tương đương rút gọn của các công thức khác. 
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng (A  (A  B))  A  B 
  A  (A  B)) : De Morgan 
  A  (A  B) : De Morgan 
  (A  A)  (A  B) : phân phối 
  F  (A  B) : đồng nhất 
  (A  B) 
Ví dụ 2 : Chứng minh A  (A  B) = A 
  (A  F)  (A  B) : đồng nhất 
  A  (F  B) : phân phối (x + 0y = 
(x+0)(x+y)) 
  A  (B  F) : giao hoán 
  A  F : nuốt 
  A : đồng nhất 
4. Công thức đồng nhất đúng (sai, tiếp liên) 
a. Định nghĩa 
Nếu hoàn toàn đúng (đồng nhất đúng) hoặc hoàn toàn sai (đồng nhất sai) với mọi 
bộ giá trị của các mệnh đề sơ cấp. Trường hợp còn lại gọi là tiếp liên. 
Nếu A là đồng nhất đúng thì A là đồng nhất sai và ngược lại. 
VÝ dô 1 : A  A, A  A, A, là các công thức đồng nhất đúng, đồng nhất sai, 
tiếp liên. 
Để chứng minh A là đồng nhất đúng ta có thể chứng minh bằng nhiều cách : 
 Lập bảng chân trị (trong trường hợp ít mệnh đề sơ cấp) khi đó cột chân trị 
của A hoàn toàn bằng T. 
 Chứng minh A  T bằng các biến đổi tương đương dựa trên bảng các 
công thức tương đương ở trên. 
 Dùng một số cách chứng minh gián tiếp khác như phản chứng. Khi đó ta 
giả thiết có một bộ chân trị của các mệnh đề sơ cấp sao cho A nhận giá trị 
F, từ giả thiết này bằng các lập luận ta dẫn về một khẳng định vô lý hoặc 
mâu thuẫn với các kết quả đã biết. 
Ví dụ: Chứng minh công thức (A  B) (A  B) là đồng nhất đúng. 
 Lập bảng chân trị : 
A B A  B A  B (A  B) (A  B) 
T T T T T 
T F F T T 
F T F T T 
F F F F T 
 Biến đổi trực tiếp : (A  B) (A  B)  (A  B)  (A  B)  A  
B  A  B  T 
 Phản chứng : Giả thiết tồn tại một bộ giá trị của A, B sao cho công thức 
trên nhận giá trị của F. Từ bảng chân trị của phép toán X Y (chỉ sai khi 
X đúng và Y sai) ta phải có A  B đúng còn A  B sai. Hai khẳng định 
này là mâu thuẫn nhau do A  B đúng khi và chỉ khi cả A lẫn B đúng còn 
A  B sai khi và chỉ khi cả A lẫn B sai. Do đó công thức trên là đồng nhất 
đúng. 
b. Tính chất 
§Þnh lý 1 : Giả sử A, B là các công thức. A  B khi và chỉ khi A B và 
B A là các đồng nhất đúng. 
Chứng minh  
Định lý này cho thấy mối quan hệ giữa tính tương đương và tính đồng nhất đúng. 
Ví dụ: 
 A  A vì cả A A và A A đều là các đồng nhất đúng. 
 A (B A) là công thức đồng nhất đúng nhưng không thể khẳng định 
A  B A, vì (B A) A chỉ là tiếp liên. 
5. Luật đối ngẫu 
Giả sử A là một công thức chỉ chứa các phép toán , ,  mà không chứa phép 
toán . Trong A đối chỗ vai trò hai phép toán ,  cho nhau và thay giá trị của 
cặp T, F ta được công thức A* gọi là công thức đối ngẫu của A. Từ định nghĩa dễ 
dàng thấy được nếu B là công thức đối ngẫu của A thì A cũng là đối ngẫu của B 
VÝ dô 2 : Đối ngẫu của công thức X  (Y  X) là công thức X  (Y  X) 
Định lý: Cho A(X) và B(X) là các công thức, trong đó X là bộ các mệnh đề 
sơ cấp. Gọi B(X) là công thức đối ngẫu của A(X). Khi đó ta có : 
iv. A(X)  B(X) và B(X) = A(X) 
v. A(X)  B(X) và B(X)  A(X) 
Chứng minh 
Chứng minh theo định nghĩa đệ quy của công thức A dùng luật De Morgan.  
Ví dụ 
Cho A(X, Y, Z) = (X  Y)  (Y  Z) A*(X, Y, Z) = (X  Y)  (Y  
Z) 
ta có : A*((X, Y, Z))  ((X  Y)  (Y  Z) 
 (X  Y)  (Y  Z) (De Morgan) 
 (X  Y)  (Y  Z) 
 A 
Vậy A(X, Y, Z)  A*((X, Y, Z)). 
Định lý : Đối ngẫu của 2 công thức tương đương là 2 công thức tương 
đương. 
Chứng minh 
Qui nạp theo định nghĩa của công thức.  
Ví dụ: A  (A  B)  A Luật hấp thụ 
 A  (A  B)  A cũng đúng và là hấp thụ 
(đối ngẫu của A  (A  B) là A  (A  B), còn đối ngẫu của A là A) 
hoặc các công thức khác như công thức De Morgan, công thức phân phối, kết hợp 
... 
6. Luật thay thế 
Giả sử A là công thức mệnh đề chứa kí hiệu mệnh đề sơ cấp X. Khi đó thay một 
hoặc một số bát kỳ vị trí X trong A bởi một công thức mệnh đề B nào đó ta sẽ 
nhận được công thức mệnh đề mới kí hiệu A(X|B). 
Định lý: Nếu A(X) là đồng nhất đúng thì A(X|B) cũng là đồng nhất đúng với 
mọi công thức B bất kỳ. 
Chứng minh 
Chứng minh theo định nghĩa của công thức đồng nhất đúng.  
Ví dụ: (A  B) A là đồng nhất đúng. Do đó thay A bởi (B  A) ta nhận được 
công thức ((B  A)  B) (B  A) cũng là đồng nhất đúng. 
7. Luật kết luận 
Định lý: Nếu A và A B là các công thức đồng nhất đúng thì B cũng là 
công thức đồng nhất đúng 
Chứng minh bẳng phương pháp Phản chứng.  
II. bài toán thoả được 
Một công thức mệnh đề A gọi là thoả được nếu tồn tại một bộ giá trị của các mệnh 
đề sơ cấp sao cho công thức có giá trị đúng (T). 
Như vậy một công thức A là không thoả được khi nó không phải là đồng nhất sai 
tức A không phải là đồng nhất đúng. Do vậy để giải bài toán thoả được ta đưa về 
xét bài toán đồng nhất đúng. Nếu A không là đồng nhất đúng thì A là thoả được. 
Dễ thấy có tồn tại thuật toán tìm đồng nhất đúng. Ví dụ lập bảng chân trị. Tuy 
nhiên phương pháp này có độ phức tạp lớn (O(2n)). Do vậy ta đưa ra một cách 
khác kiểm tra tính đồng nhất đúng với độ phức tạp bé hơn. 
Giả thiết cần kiểm tra một công thức A là đồng nhất đúng ? Giả sử A 
chứa 64 biến mệnh đề sơ cấp. Nếu làm theo phương pháp liệt kê bảng 
chân trị ta sẽ thu được bảng với 264 dòng. Giả thiết một máy tính kiểm 
tra được giá trị của công thức với tốc độ 1 dòng/giây. Khi đó để kiểm 
tra hết bảng chân trị máy tính phải mất 264 giây. Mỗi năm có 365 x 24 x 
3600 giây < 512 x 32 x 4096 = 29 x 25  ... gian mẫu 
b) Ta có 
c) Từ câu b, ta suy ra 
. 
Ví dụ 2 
Một công ty cần tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nam và 2 
nữ. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 người là như nhau. Tính xác suất để cả 
hai người trúng tuyển đều là nam. 
Lời giải 
Số trường hợp có thể là . Các trường hợp này là đồng khả năng. Số cách chọn 2 
nam trúng tuyển trong 4 nam là . Vậy xác suất cần tìm là 
. 
Ví dụ 3 
Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối đồng chất, một con màu đỏ và một con 
màu xanh. Tính xác suất để có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm. 
Lời giải 
Ta có 
trong đó là kết quả: “Con xúc xắc màu đỏ xuất hiện mặt chấm, con xúc xắc 
màu xanh xuất hiện mặt chấm”. 
Khi đó . 
Gọi là biến cố: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”. 
Ta có 
Do đó 
2) Các tính chất của xác suất 
Ta có các tính chất sau đây của xác suất: 
 , , . 
 . 
 Nếu , là hai biến cố xung khắc thì 
 Với ba biến cố bất kỳ ta có 
 Nếu ba biến cố đôi một xung khắc, ta có 
 . 
 Nếu thì . 
 Nếu là các biến cố bất kỳ, khi đó ta có 
 Nếu là các biến cố xung khắc từng đôi một, nghĩa là với 
mọi , ta có 
Ví dụ 4 
Một chiếc hộp có 9 thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số 
ghi trên hai thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn. 
Lời giải 
Gọi là biến cố: “Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, là biến cố: “Rút được 
hai thẻ chẵn”. Khi đó là biến cố: “Tích hai số ghi trên hai thẻ là một số 
chẵn”. 
Vì có 4 thẻ chẵn và 5 thẻ lẻ nên 
Mặt khác, vì là hai biến cố xung khắc nên 
Do đó 
Ví dụ 5 
Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 
viên bi. 
a) Tính xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu. 
b) Tính xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu. 
Lời giải 
a) Gọi là biến cố: “Chọn được 2 viên bi xanh”, là biến cố: “Chọn được 2 viên bi 
đỏ”, là biến cố: “Chọn được 2 viên bi vàng” và là biến cố: “Chọn được 2 viên 
bi cùng màu”. Khi đó và các biến cố đôi một xung khắc. 
Ta có 
 Vì ba biến cố đôi một xung khắc nên 
Do đó 
b) Vì là biến cố: “Chọn được 2 viên bi cùng màu” nên là biến cố: “Chọn được 
2 viên bi khác màu”. Vậy 
Ví dụ 6 
Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối đồng chất. Tính xác suất để ít nhất có một 
con xúc sắc ra 3 chấm. 
Lời giải 
Không gian mẫu 
ở đây là kết quả: “Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt chấm, con xúc xắc 
thứ hai xuất hiện mặt chấm và con xúc xắc thứ ba xuất hiện mặt chấm”. 
Gọi là biến cố: “Ít nhất một con xúc sắc ra 3 chấm”. Khi đó là biến cố: “Không 
có con xúc sắc nào ra 3 chấm”, do đó 
Suy ra 
Do đó 
Ví dụ 7 
Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi lấy ngẫu 
nhiên ra 6 chi tiết thì có không quá một chi tiết hỏng. 
Lời giải 
Gọi là biến cố: “Trong 6 chi tiết lấy ra có không quá 1 chi tiết hỏng”, là biến 
cố: “Trong 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng”, là biến cố: “Trong 6 chi 
tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”. Vì biến cố xảy ra khi ít nhất có một trong hai biến 
cố và xảy ra nên . 
Dễ thấy hai biến cố và xung khắc với nhau nên ta có 
Do đó 
Theo định nghĩa xác suất 
Ví dụ 8 
Một người bỏ ngẫu nhiên lá thư vào phong bì đã đề sẵn tên người nhận để gửi 
cho người. Tính xác suất để không có một lá thư nào bỏ đúng phong bì của nó. 
Lời giải 
Gọi là biến cố: “Lá thư thứ bỏ đúng phong bì của nó”, . 
Khi đó là biến cố: “Có ít nhất một lá thư bỏ đúng phong bì của 
nó”. Do đó là biến cố: “Không có một lá thư nào bỏ đúng 
phong bì của nó”. 
Ta có 
Mặt khác 
Xét , khi đó số trường hợp có thể xảy ra khi ta bỏ thư 
vào phong bì là còn số trường hợp thuận lợi cho biến cố là . 
Do đó ta có 
Từ đó 
Chương 3. MA TRẬN 
Trong toán học, một ma trận là bảng chữ nhật chứa dữ liệu (thường là số thực 
hoặc số phức, nhưng có thể là bất kỳ dữ liệu gì) theo hàng và cột. 
Trong đại số tuyến tính, ma trận dùng để lưu trữ các hệ số của hệ phương trình 
tuyến tính và biến đổi tuyến tính. 
Trong lý thuyết đồ thị, ma trận thường dùng để biểu diễn đồ thị (ví dụ: ma trận 
kề), lưu trữ trọng số cho đồ thị có trọng số... 
Trong lập trình, ma trận thường được lưu trữ bằng các mảng hai chiều. 
Ma trận thông dụng nhất là ma trận hai chiều. Tổng quát hóa của khái niệm ma 
trận hai chiều là ma trận khối. Trong lập trình, ma trận khối được lưu trữ bằng các 
mảng nhiều chiều. 
I. Một số khái niệm cơ bản 
1. Định nghĩa ma trận 
Ma trận cấp mxn là bảng số thực hình chữ nhật có m dòng và n cột . 
Ký hiệu: 
11 1 1
1
1
... ...
... ...
... ...
j n
i ij in
m mj mn
a a a
a a aA
a a a
  
  
 Trong đó: 
 aij : là một phần tử của ma trận ở dòng thứ i và cột thứ j. 
 aij : có thể là số thực, số phức hay hàm số,... 
 i: chỉ số dòng. 
 j: chỉ số cột. 
 m, n : là các số nguyên dương. 
 mxn: gọi là kích thước của ma trận A. 
 Ta thường dùng các chữ cái A, B, C,... , X, Y, Z để ký hiệu các ma trận. 
Và thương được viết dưới dạng rút gọn: A = (aij)mxn hoặc A = [aij]mxn 
Ví dụ: 
2. Ma trận vuông 
Nếu số dòng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì A được gọi là ma trận 
vuông cấp n. 
 + Nếu m=1: ta có ma trận cột (n dòng, 1 cột) C = (aij)1xn. 
 + Nếu n=1: ta có ma trận dòng (1 cột, n dòng) B = (aij)mx1. 
 + Ma trận không: Ký hiệu là Omxn: gồm toàn số 0. 
, 
Trong ma trận vuông các phần tử: 
 a11, a22, ..., ann thuộc đường chéo chính. 
 a1n, a2(n-1), ..., an1 thuộc đường chéo phụ. 
3. Ma trận tam giác trên 
Là ma trận mà các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính đều bằng 0. 
, 
4. Ma trận tam giác dưới 
Là ma trận mà các phần tử nằm phía trên đường chéo chính đều bằng 0. 
, 
 5. Ma trận đường chéo 
Một ma trận vuông cấp n vừa là tam giác trên vừa là tam giác dưới được gọi là ma 
trận đường chéo. 
, 
6. Ma trận đơn vị 
Nếu các phần tử trên đường chéo đều bằng 1 gọi là ma trận đơn vị cấp n. 
 Ký hiệu: In hoặc I. 
, ; 
7. Ma trận chuyển vị 
Ma trận chuyển vị: Ký hiệu AT. 
 Là ma trận được thành lập từ ma trận ban đầu bằng cách chuyển dòng thành 
cột và ngược lại: 
A = (aij)nxm ® A
T = (aij)mxn 
 => 
II. Các phép toán trên ma trận 
1. Phép cộng và phép trừ hai ma trận 
 Cho hai ma trận A = (aij)mxn và B = (bij)mxn là hai ma trận cùng cấp mxn . Tổng 
của hai ma trận A và B là một ma trận cấp mxn, ta viết: 
C = A +/- B = (cij)mxn với cij = aij +/- bij , i = 1..m; j = 1..n. 
Ví dụ 5: Cho , 
 Ta có: . 
Tính chất: 
 * A+B = B+A. 
 * (A+B)+ C = A+(B+ C). 
 * O+A = A+O = A. 
 * A+(-A) = (-A)+A = O. 
 Trong đó O là ma trận O cấp mxn. 
2. Nhân một số khác 0 với một ma trận 
 Cho số thực k và ma trận A = (aij)mxn. Tích của số thực k với ma trận A là 
một ma trận cấp mxn trong đó các phần tử của ma trận mới bằng tích của số thực k 
với phân tử tương ứng của ma trận A, tức là kA = (kaij)mxn. 
Ví dụ 6: Cho , ta có: . 
Chú ý: 
Nếu a = -1 suy ra (-1).A = (-1).(aij)mxn = -A. Lúc đó (-A) được gọi là ma 
trận đối của của ma trận A. 
 Các tính chất: 
 * a.[A+B] = a.A+a.B 
 * (a+b).A = a.A+b.A. 
 * a.(b.A) = (ab).A. 
 * 1.A = A. 
3. Phép nhân hai ma trận 
Cho ma trận A = (aij)mxn có cấp mxn và ma trận B = (bij)nxp có cấp nxp. Tích 
của hai ma trận A và B là một ma trận cấp mxp, ta viết: 
C = A.B = (cik)mxp với . 
Sơ đồ mô tả phép nhân hai ma trận: 
Dòng i 
 Cột k 
 Ma trận kết quả: Vị trí: 
 C11= dòng 1, cột 1 = tổng (dòng 1 x cột 1) 
 C12= dòng 1, cột 2 = tổng (dòng 1 x cột 2) 
 C13 = dòng 1, cột 3 = tổng (dòng 1 x cột 3) 
 .................................................... 
 C(dòng i, cột j) = tổng (dòng i x cột j) 
 .................................................... 
 C(dòng m, cột n) = tổng (dòng m x cột n) 
 Điều kiện nhân được của hai ma trận: 
 Là số phần tử trên dòng của ma trận A phải bằng số phần tử trên cột của ma 
trận B tương ứng. 
Ví dụ 7: Cho , tính C = A.B 
Ta có: c11 = 1.1 + 0.0 + 1.1 = 2 
 c12 = 1.0 + 0.1 + 1.(-1) = -1 
 c21 = 0.1 + 1.0 + (-).1 = -1 
 c22 = 0.0 + 1.1 + (-1).(-1) = 2 . 
 Tính chất: 
 Cho A, B, C là các ma trận trên trường K: 
 (A+B)C = AC+BC. 
 A(B+C) = AB+AC. 
 (A.B).C = A.(B.C). 
 I.A = A.I = A với I là ma trận đơn vị. 
 (AB)T = BTAT. 
 AB ¹ BA : nghĩa là phép nhân hai ma trận không giao hoán. 
Ví dụ 8: Cho , 
ta có: và 
4. Các phép biến đổi sơ cấp 
 i) Đổi chổ hai dòng (hoặc hai cột) của ma trận. 
 ii) Nhân một dòng (hay một cột) cho một số khác không. 
 iii) Nhân một dòng (hay một cột) một số khác không rồi cộng vào một dòng 
(hay một cột) khác. 
Lưu ý: Phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi ma trận. 
Bài tập. 
1. Cho: 
1 2 3
2 1 4
A
 và 
0 2 1
1 3 4
B
Tính A+B, A-B, 
2. Cho 
2 3 5
4 2 1
A
 và 
2 1 3
3 5 2
B
Tính A+B, A-B, 
Chương 3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH 
I. Số xấp xỉ và sai số 
1. Số xấp xỉ 
Xấp xỉ hàm: khi khảo sát, tính toán trên một hàm f(x) khá phức tạp, ta có thể thay 
hàm f(x) bởi hàm g(x) đơn giản hơn sao cho g(x) ≅ f(x). Việc lựa chọn g(x) được 
gọi là phép xấp xỉ hàm. 
2. Sai số 
Đánh giá sai số : khi giải bài toán bằng phương pháp gần đúng thì sai số xuất hiện 
do sự sai lệch giữa giá trị nhận được với nghiệm thực của bài toán. Vì vậy ta phải 
đánh giá sai số để từ đó chọn ra được phương pháp tối ưu nhất. 
Ta có khái niệm về sai số như sau: 
II. Giải gần đúng các phương trình 
Giới thiệu 
Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 ta tiến hành qua 2 bước: 
- Nghiệm và khoảng phân ly: xét tính chất nghiệm của phương trình, phương trình 
có nghiệm hay không, có bao nhiêu nghiệm, các khoảng chứa nghiệm nếu có. Đối 
với bước này, ta có thể dùng phương pháp đồ thị, kết hợp với các định lý mà toán 
học hỗ trợ. 
- Chính xác hoá nghiệm: thu hẹp dần khoảng chứa nghiệm để hội tụ được đến giá 
trị nghiệm gần đúng với độ chính xác cho phép. Trong bước này ta có thể áp dụng 
một trong các phương pháp: 
+ Phương pháp chia đôi 
+ Phương pháp lặp 
+ Phương pháp tiếp tuyến 
+ Phương pháp dây cung 
1. Nghiệm và khoảng phân ly 
a. Phương pháp đồ thị: 
+ Trường hợp hàm f(x) đơn giản 
- Vẽ đồ thị f(x) 
- Nghiệm phương trình là hoành độ giao điểm của f(x) với trục x, từ đó suy 
ra số nghiệm, khoảng nghiệm. 
+ Trường hợp f(x) phức tạp 
- Biến đổi tương đương f(x)=0 g(x) = h(x) 
- Vẽ đồ thị của g(x), h(x) 
- Hoành độ giao điểm của g(x) và h(x) là nghiệm phương trình, từ đó suy 
ra số nghiệm, khoảng nghiệm. 
b. Định lý 1: 
Giả sử f(x) liên tục trên (a,b) và có f(a)*f(b)<0. Khi đó trên (a,b) tồn tại một số lẻ 
nghiệm thực x ∈ (a,b) của phương trình f(x)=0. Nghiệm là duy nhất nếu f’(x) tồn 
tại và không đổi dấu trên (a,b). 
Từ đồ thị => phương trình có 1 nghiệm x ∈ (1, 2) 
2. Chính xác hóa nghiệm 
2.1. Phương pháp dây cung 
Giả sử [a, b] là khoảng nghiệm phương trình f(x)=0. Gọi A, B là 2 điểm trên đồ 
thị f(x) có hoành độ tương ứng là a, b. Phương trình đường thẳng qua 2 điểm 
A(a,f(a)), B(b, f(b)) có dạng: 
Khi đó, Dây cung AB cắt trục x tại điểm có toạ độ (x1, 0) 
- Nếu f(a)*f(x1) thay b = x1 ta có khoảng nghiệm mới là (a, x1) 
- Nếu f(b)*f(x1) thay a=x1 ta có khoảng nghiệm mới là (x1, b) 
Tiếp tục áp dụng phương pháp dây cung vào khoảng nghiệm mới ta được giá trị 
x2. Lại tiếp tục như thế ta nhận được các giá trị x3, x4,  càng tiến gần với giá trị 
nghiệm phương trình. 
+ Ý nghĩa hình học 
Ví dụ 9. Giải phương trình x3 + x - 5 = 0 bằng phương pháp dây cung 
Giải: 
- Tách nghiệm: Phương trình có 1 nghiệm x∈(1, 2) 
- Chính xác hoá nghiệm: 
 f(1) = -3 0 
2.2 Phương pháp tuyến tính (NewTon) 
Trong mục này, ta xét lại phương trình f(x)=0 . 
Giả sử rằng ta đã tìm được một khoảng nghiệm (a,b) của phương trình trên là 
khoảng, đồng thời f’( x) và f’’( x) liên tục và không đổi dấu trên đoạn ( a, b) . Khi 
đó, với x0 là xấp xỉ ban đầu được chọn, ta xây dựng dãy theo công 
thức: 
Nhận xét: Nếu như việc tính toán f’(x) tại mỗi điểm quá phức tạp và ta thấy f’(x) 
không 
thay đổi lớn thì ta thay dãy xấp xỉ ở trên như dãy dưới đây, thường được gọi là 
phương pháp Newton cải tiến: 
Định lý 1.3.1 c òn cho thấy phương pháp Newton có tốc độ hội tụ bậc hai. Vì thế, 
nếu phương pháp Newton làm việc thì nó hội tụ đến nghiệmnhanh hơn bất kì 
phương pháp nào khác. 
2.3 
Phương pháp chia đôi 
Giải: 
- Tách nghiệm: phương trình có 1 nghiệm x ∈ (1,2) 
- Chính xác hoá nghiệm: áp dụng phương pháp chia đôi ( f(1) < 0) 
 Bảng kết quả: 
Kết luận: Nghiệm của phương trình: x ≈ 1.386 
2.4 Phương pháp lặp 
- Ý tưởng: 
 - Ý nghĩa hình học 
Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị y=x và y= g(x) là nghiệm phương trình 
Trường 
hợp hình a: 
hội tụ đến nghiệm µ 
Trường hợp hình a: không hội tụ đến nghiệm µ (phân ly nghiệm) 
Sau đây ta xét định lý về điều kiện hôi tụ đến nghiệm sau một quá trình lặp. 
Định lý (điều kiện đủ) 
Giả sử hàm g(x) xác định, khảvi trên khoảng nghiệm [a,b] và mọi giá trịg(x) đều 
thuộc [a,b]. Khi đó nếu ∃q > 0 sao cho trị tuyệt đối của g’(x)≤q<1 ∀x (a,b) thì: 
+ Quá trình lặp hội tụ đến nghiệm không phụthuộc vào x0 ∈[a,b] 
+ Giới hạn limxn = η khi n →∞ là nghiệm duy nhất trên (a, b) 
Lưu ý: 
- Định lý đúng nếu hàm g(x) xác định và khảvi trong (-∞,+∞), trong khi đó điều 
kiện định lý thoả mãn. 
- Trong trường hợp tổng quát, đểnhận được xấp xỉ xn vớI độchính xác εcho trước, 
ta tiến hành phép lặp cho đến khi 2 xấp xỉliên tiếp thoảmãn: 
Bài tập 
1. Tìm nghiệm gần 
đúng các phương trình: 
a. x3 – x + 5 = 0 b. x3 –3x – 1 = 0 c. x3 – 4x – 1= 0 d. x3 + x – 5 = 0 
 bằng phương pháp chia đôi với sai số không quá 10-3. 
2. Tìm nghiệm gần đúng các phương trình: 
a. x3 – x + 5 = 0 b. x3 – x – 1 = 0 c. x3 – 4x – 1= 0 d. x3 + x – 5 = 0 
 bằng phương pháp dây cung với sai số không quá 10-3. 
III. Giải hệ 
phương trình 
đại số tuyến tính 
1. Phát biểu bài toán 
2. Phương pháp Gauss 
- Nội dung phương pháp 
 Ví dụ: Giải hệ phương trình đại số tuyến tính được cho bởi ma trận sau 
IV. Nội suy và phương pháp bình phương cực tiểu 
1. Đa thức nội suy 
a. Đa thức nội suy Lagrange 
b. Đa thức nội suy Lagrange với các mốc cách đều 
c. Nội suy Ayken 
Khi tính giá trịcủa hàm tại một điểm x=c nào đó bất kỳmà không cần phải xác 
định biểu thức của f(x). Khi đó ta có thểáp dụng bảng nội suy Ayken như sau: 
- Xây dựng bảng nội suy 
Ví dụ3.Tính f (3. 5) khi biết f(x) thoảmãn 
d. Nội suy Newton 
d.1 Sai phân 
d.2 Công thức nội suy Newton 
Ví dụ: Xây dựng hàm nội suy Newton thoảmãn: 
e. Phương pháp bình phương cưc tiểu 
Giảsửcó 2 đại lượng (vật lý, hoá học, ) x và y có liên hệphụthuộc nhau theo một 
trong các dạng đã biết sau: 
nhưng chưa xác định được giá trịcủa các tham sốa, b, c. Đểxác định được các tham 
sốnày, ta tìm cách tính một sốcặp giá trịtương ứng (xi,yi), i=1, 2, ,n bằng thực 
nghiệm, sau đó áp dụng phương pháp bình phương bé nhất. 
* Trường hợp: y = ax + b 
Gọi εi sai sốtại các điểm xi: εi= yi- a – bxi. 
Khi đó tổng bình phương các sai số: 
Mục đích của phương pháp này là xác định a, b sao cho S là bé nhất. Như vậy a, b 
là nghiệm hệphương trình: 
Giải hệphương trình ta được: a, b 
Khi đó tổng bình phương các sai số: 
 Các hệsốa, b xác định sao cho S là bé nhất. Nhưvậy a, b, c là nghiệm của 
hệphương trình: 
Giải hệphương trình ta được a, b, c 
Ví dụ: Cho biết các cặp giá trịcủa x và y theo bảng sau: 
Phương pháp bình phương bé nhất: A, B là nghiệm hệphương trình