Phân tích động học và mô phỏng cơ cấu tay máy dạng chuỗi 7 bậc tự do có cấu hình linh hoạt ứng dụng trong lắp ghép cơ khí

 1 
Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc 2015 
Đà Nẵng, 03-05/08/2015 
Phân tích động học và mô phỏng cơ cấu tay máy dạng chuỗi 7 bậc tự do có cấu 
hình linh hoạt ứng dụng trong lắp ghép cơ khí 
Vũ Minh Hùng, Phạm Hồng Quang, Trịnh Quang Trung, Võ Quốc Thắng 
Đại học Dầu khí Việt Nam (PVU), 
 Email liên lạc: hungvm@pvu.edu.vn 
Tóm tắt 
Bài báo này trình bày các phân tích động học thuận, động học ngược và mô phỏng trên phần mềm Matlab cho một cơ 
cấu tay máy dạng chuỗi 7 bậc tự do. Cơ cấu này gồm có 6 khớp quay (theo thứ tự là các khớp 1, 2, 4, 6, 7 và 8) và 2 khớp 
chuyển động tịnh tiến (khớp 3 và 5). Do các khớp quay 2, 4 bị phụ thuộc cơ khí với nhau làm cho hệ chỉ có 7 bậc tự do và 
giúp cho khớp 5 luôn song song với mặt đất. Hai khớp tịnh tiến còn giúp cho cơ cấu tay máy có thể thu nhỏ hoặc phóng to 
cấu hình để tạo ra một không gian làm việc linh hoạt. Động học thuận của tay máy được phân tích dựa vào lý thuyết Denavit-
Hartenberg, trong khi đó động học ngược được tính toán dựa trên một hàm tối ưu để tối thiểu hóa chuyển động của khớp 2 và 
hai khớp tịnh tiến. Phương pháp số Newton Raghson được ứng dụng để giải bài toán tối ưu này. Kết quả mô phỏng trên phần 
mềm Matlab đối với một quỹ đạo của tay máy trong hệ tọa độ Đề các tương ứng với các góc quay và độ dịch chuyển của các 
khớp trong hệ tọa độ suy rộng. Đây là một cơ cấu mới với rất nhiều tiềm năng ứng dụng, đặc biệt trong lắp ghép cơ khí giữa 
hai vật thể bằng phương pháp nhiệt. 
Từ khóa: rôbốt 7 bậc tự do, tay máy 7 bậc tự do, động học ngược, động học robot chuỗi, phương pháp số, inverse 
kinematics, 7-dof robot 
1. Đặt vấn đề 
Hiện nay trong thực tiễn sản xuất có rất nhiều đơn vị thực hiện việc gia công, chế tạo và lắp ghép cơ khí. 
Trong đó, việc hàn ghép các chi tiết kim loại bằng phương pháp nhiệt đang được sử dụng hiệu quả. Phương pháp 
này được thực hiện bằng cách nung nóng các chi tiết kim loại rồi ép chúng vào nhau bằng một lực ép mạnh (thủy 
lực). Tuy nhiên, việc di chuyển chi tiết từ vị trí nung đến vị trí ghép thường tốn thời gian với nhiều công đoạn 
tháo lắp phức tạp dẫn đến làm giảm nhiệt độ của chi tiết và năng suất. Hơn nữa việc gá lắp các chi tiết thiếu 
chính xác có thể dẫn đến lệch tâm và phá hỏng sản phẩm. Để giải quyết vấn đề này, một số tay máy công nghiệp 
đã được ứng dụng và mang lại hiệu quả cao. 
Tuy nhiên các tay máy hiện nay thường chỉ có 4, 5 hoặc 6 bậc tự do dẫn đến cấu hình kém linh hoạt và 
không gian làm việc bị hạn chế. Vì thế tác giả đề xuất một cấu trúc cơ khí 7 bậc tự do có thể thay đổi cấu hình 
một cách linh hoạt hơn, do đó không gian làm việc được mở rộng hơn. Cơ cấu này có thể làm việc như một tay 
máy công nghiệp để gắp chi tiết được nung nóng và gép vào một chi tiết khác với độ chính xác cao và thời gian 
gá lắp nhanh. Ngoài ra cơ cấu này cũng có thể được ứng dụng trong các lĩnh vực công nghiệp khác như đóng tàu, 
gia công cơ khí, lắp ráp máy móc và vận chuyển sản phẩm. 
Đối với các cơ cấu dư bậc tự do thì động học ngược khó có thể tính được bằng các phương pháp thông 
thường vì số phương trình độc lập ít hơn số ẩn hoặc các phương trình lượng giác quá phức tạp. Vì thế phương 
pháp số thường được dùng để tìm nghiệm cho bài toán dạng này (theo [1-9]). Trong đó, lựa chọn hàm tối ưu là 
một vấn đề quan trọng liên quan đến quỹ đạo chuyển động của cơ cấu và tính tối ưu trong việc sử dụng năng 
lượng. Bài toán động học ngược là một mấu chốt quan trọng để có thể mô phỏng chuyển động vị trí của cơ cấu. 
Do vậy các tác giả đặt trọng tâm vào việc giải bài toán động học ngược và mô phỏng chuyển động của cơ cấu 
trên phần mềm Matlab. 
2. Cơ cấu tay máy dạng chuỗi 7 bậc tự do 
Hình 1 miêu tả một cơ cấu tay máy dạng chuỗi với 6 khớp quay (theo thứ tự là các khớp 1, 2, 4, 6, 7 và 8) 
và 2 khớp chuyển động tịnh tiến (khớp 3 và 5). Do các khớp quay 2, 4 bị phụ thuộc cơ khí với nhau làm cho hệ 
chỉ có 7 bậc tự do và giúp cho khớp 5 luôn song song với mặt đất. Hai khớp tịnh tiến còn giúp cho cơ cấu có thể 
thu nhỏ hoặc phóng to cấu hình để tạo ra một không gian làm việc linh hoạt. Hệ tọa độ của cơ cấu tay máy và 
các khớp cũng được thể hiện trên Hình 1. Khớp 1 chuyển động quanh một trục thẳng đứng 0Z với góc quay 1 , 
trong khi đó khâu 1 ( 1OO ) nghiêng một góc 0 so với hình chiếu của nó xuống mặt phẳng đất. Khớp 2 quay 
quanh trục 1Z với góc quay 2 và khớp 3 dịch chuyển lên xuống dọc theo trục 2Z với độ dịch chuyển 3d . 
Vũ Minh Hùng, Phạm Hồng Quang, Trịnh Quang Trung, Võ Quốc Thắng 2 
Hình 1. Hệ tọa độ của cơ cấu tay máy dạng chuỗi 7 bậc tự do 
Riêng khớp 4 mặc dù vẫn quay quanh trục 3Z với góc quay 5 nhưng bị ràng buộc với khớp 2 sao cho 
2/25 pi  và khớp 5 dịch chuyển ngang theo trục 4Z với độ dịch chuyển 4d . Các khớp 6, 7, 8 lần lượt 
quay quanh các trục tương ứng với góc quay là 876 ,,  .Tên các góc quay được định nghĩa sao cho phù hợp với 
bảng tham số động học DH (Denavit Hartenberg) nên thứ tự có khác nhau. 
3. Phân tích động học thuận 
Tham số động học DH của cơ cấu tay máy 7 bậc tự được miêu tả cụ thể ở Bảng 1. 
Bảng 1. Tham số DH của cơ cấu tay máy 7 bậc tự do 
Khâu ai αi di i Giá trị đầu 
1 a1 (0.22m) 90o d1 (0.420m) 1 90
o 
2 0 -90o 0 
2 0 
3 0 90o d3 (thay đổi được) 0 1.025m 
4 0 0 d4 (thay đổi được) 0 0.5645m 
5 a4 (0.207m) 90o 0 
25 90  
o 90
o 
6 0 -90o 0 
6 0 
7 0 90o 0 
7 0 
8 0 0 d8 (0.018m) 8 0 
 Phân tích động học cơ cấu tay máy dạng chuỗi 7 bậc tự do có cấu hình linh hoạt ứng dụng trong lắp ráp cơ khí 
3 
trong đó, ai là khoảng cách giữa hai trục Z (trục khớp); di là khoảng cách giữa hai trục khâu (trục X); αi là 
góc giữa các trục khớp đo từ trục khâu thứ Zi-1tới Zi theo hướng dương là trục Xi; i là góc giữa hai trục 
khâu từ Xi-1tới Xi theo hướng dương là trục Zi-1. 
Từ đó có thể tìm được ma trận chuyển vị từ trục tọa độ thứ i đến trục tọa độ thứ i-1là: 
1000
cossin0
sincossincoscossin
cossinsinsincoscos
1
iii
iiiiiii
iiiiiii
i
i
d
a
a
A
  
  
 (1) 
Dựa theo cách chuyển này thì vị trí và hướng của khâu thao tác có thể được xác định từ các thành 
phần của ma trận sau; 
 1000;8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
8
0 qwvuAAAAAAAAAT (2) 
Trong đó  zyxT uuuu ,  zyxT vvvv ,  zyxT wwww là các véc tơ xác định hướng và 
 zyxT qqqq là véc tơ xác định vị trí của khâu thao tác; 
 1 7 8 1 6 7 8 6 8cos sin cos sin sin cos cos cos sinxu          (3) 
 1 7 8 1 6 7 8 6 8sin sin cos cos sin cos cos cos sinyu          (4) 
6 7 8 6 8cos cos cos sin sinzu      (5) 
 1 7 8 1 6 7 8 6 8cos sin sin sin sin cos sin cos cosxv          (6) 
 1 7 8 1 6 7 8 6 8sin sin sin cos sin cos sin cos cosyv          (7) 
6 7 8 6 8cos cos sin sin coszv      (8) 
1 7 1 6 7cos cos sin sin sinxw      (9) 
1 7 1 6 7sin cos cos sin sinyw      (10) 
6 7cos sinzw   (11) 
 1 1 3 2 4 8 7 8 1 6 7cos sin cos sin sin sinxq a d d d d      (12) 
 1 1 3 2 4 8 7 8 1 6 7sin sin cos cos sin sinyq a d d d d      (13) 
1 3 2 4 8 6 7cos cos sinzq d d a d   (14) 
4. Phân tích động học ngược 
Trong vấn đề động học ngược thì vị trí và hướng của khâu thao tác sẽ được cho trước để tính toán vị trí của 
các khớp (góc quay đối với khớp quay và độ dịch chuyển đối với khớp tịnh tiến). Đối với cơ cấu 7 bậc tự do này 
thì các véc tơ chỉ hướng wvu ,, và véc tơ vị trí q của khâu thao tác được cho để tìm năm góc quay 
87621 ,,,,  (do ràng buộc cơ khí nên 25 2/  pi ) và hai khớp tịnh tiến 43, dd . 
Đây là một cơ cấu dư dẫn động 7 bậc tự do nên việc tìm vị trí các khớp bằng phương pháp thông thường là 
rất khó khăn. Giải pháp được đề xuất ở đây là tìm vị trí của một số khớp dựa vào biến đổi phương trình động học 
nếu có thể, sau đó sử dụng phương pháp số với các hàm ràng buộc phù hợp để tìm vị trí các khớp còn lại. 
Đầu tiên vị trí của điểm P (được gọi là điểm tâm cổ tay) có thể được tính như sau, 
   zzyyxxzyxT wdqwdqwdqpppP 888 (15) 
Vũ Minh Hùng, Phạm Hồng Quang, Trịnh Quang Trung, Võ Quốc Thắng 4 
Hình 2. Vị trí điểm P trong mặt phẳng đứng 
Từ Hình 2 ở trên thì góc quay của khớp 1 có thể dễ dàng tìm được như sau: 
 xy pp /tan 11  (16) 
Cũng từ Hình 2 dẫn đến quan hệ 4231 cos addpz  và 4231
22 sin ddapp yx  . Từ đó có thể 
tìm được 3412 /cos dadpz  và 3
22
412 /sin dppda yx 
  . Như vậy góc quay của khớp 2 có thể 
tính được như sau: 
 222 cos,sin2tan  a (17) 
Do ràng buộc cơ khí để khớp tịnh tiến 4d luôn chuyển động theo phương ngang song song với mặt đất nên 
góc quay của khớp 5, 
25 2/  pi , 14.3 pi (18) 
Tiếp theo nhân hai vế của phương trình (7) với 1cos và phương trình (8) 1sin rồi cộng lại để được quan 
hệ sau: 711 cossincos  yx ww . 
Từ đó tìm được góc quay của khớp 7, 
 117 sincoscos  yx wwa (19) 
Do có hai nghiệm bằng nhau về độ lớn nhưng khác dấu nên việc lựa chọn giá trị nào phụ thuộc vào điều 
kiện đầu và giá trị góc quay trước đó. 
Tương tự cũng từ phương trình (9) và (10) dẫn đến quan hệ sau, 7116 sin/cossinsin  yx ww . 
Mặt khác từ phương trình (11) tìm được, 76 sin/cos  xw . Do vậy góc quay của khớp 6 là, 
 666 cos,sin2tan  a (20) 
Góc quay khớp 8 gắn với khâu thao thác cũng có thể được tính thông qua các phương trình động học ở trên. 
Từ phương trình (3) và (4) dẫn đến 7118 sin/sincoscos  yx uu và từ (6) and (7) dẫn đến 
 7118 sin/sincossin  yx vv . Cuối cùng góc quay của khớp 8 được tính bằng một công thức lượng giác 
đơn giản như sau, 
 888 cos,sin2tan  a (21) 
Như vậy là thông qua biến đổi toán học các phương trình động học, các góc quay 8761 ,,,  có thể 
được xác định. Vị trí của các khớp còn lại, 432 ,, dd có thể tìm được bằng phướng pháp số. Trong rất nhiều 
phương pháp thì phương pháp số Newton Raghson đã được sử dụng phổ biến để tìm nghiệm các phương trình 
phi tuyến. 
 Phân tích động học cơ cấu tay máy dạng chuỗi 7 bậc tự do có cấu hình linh hoạt ứng dụng trong lắp ráp cơ khí 
5 
Vị trí các khớp cần tối ưu, 432 ,, dd được xem xét trong một miền xác định phụ thuộc vào không gian làm 
việc thực tế của cơ cấu tay máy. Ở đây có thể giả sử      max4min44max3min33max2min22 ,,,,, dddddd   , 
trong đó chỉ số min và max thể hiện giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của miền xác định đó. 
Giả sử vị trí ban đầu của các khớp được cho như sau, 404303202 ,, dddd  . Đây là vị trí mà cơ cấu 
tay máy dịch chuyển các bước đầu tiên và hàm tối ưu được định nghĩa sao cho sự dịch chuyển của các khớp 
chính 432 ,, dd là ít nhất. Việc này cũng dẫn đến tiêu hao năng lượng của cơ cấu được tối thiểu hóa. Như vậy 
hàm tối ưu được định nghĩa là, 
 2404
2
303
2
202 ddddf  (22) 
Hàm ràng buộc được lựa chọn sao cho có sự xuất hiện của đầy đủ 3 biến 432 ,, dd và thể hiện được quan 
hệ chính giữa các khớp. Như vậy hàm ràng buộc được lựa chọn như sau, 
22
42312
42311
sin
cos
yx
z
ppddag
paddg


 (23) 
Phương trình Lagrange được định nghĩa dựa trên hàm tối ưu và hàm ràng buộc như sau, 
22
4231242311404
2
303
2
202
2211
sincos yxz ppddapadddddd
ggfL


(24) 
trong đó, 21,  là các nhân tử Lagrange và cũng đóng vai trò là các biến được xem xét. Lấy đạo hàm phương 
trình Lagrange theo năm biến 21432 ,,,,  dd thu được năm hàm phi tuyến sau, 
2322312
2
1 cossin2 

dd
L
f 


 (25) 
22213
3
2 sincos108.22  


 d
d
L
f (26) 
2404
4
3 22  


 dd
d
L
f (27) 
zpadd
L
f 


 4231
1
4 cos

 (28) 
22
4231
2
5 sin yx ppdda
L
f 


 

 (29) 
Lấy đạo của năm hàm phi tuyến 5,...,1, ifi theo năm biến 21432 ,,,,  dd để thu được ma trận đạo hàm 
riêng như sau: 


















































2
5
1
5
5
5
3
5
2
5
2
4
1
4
5
4
3
4
2
4
2
3
1
3
5
3
3
3
2
3
2
2
1
2
5
2
3
2
2
2
2
1
1
1
5
1
3
1
2
1





ff
d
f
d
ff
ff
d
f
d
ff
ff
d
f
d
ff
ff
d
f
d
ff
ff
d
f
d
ff
J (30) 
Như vậy nghiệm tối ưu được tìm như sau; 
Vũ Minh Hùng, Phạm Hồng Quang, Trịnh Quang Trung, Võ Quốc Thắng 6 
niFJXX iii ,...,0,11 (31) 
trong đó, 0 i tương ứng với giá trị ban đầu của các biến, ni tương ứng với giá trị nghiệm tối ưu, 
 Tiiiiii ddX 12111413121  ,  
Tiiiiii ddX 21432  và  
Tiiiiii fffffF 54321 . Giá trị n 
được xác định khi nào nghiệm hội tụ, có nghĩa là sai lệch giữa nghiệm hiện tại và trước đó nhỏ tới mức có thể 
chấp nhận được, cụ thể như sau, 
       kXkXkXk iii 11 /  (32) 
trong đó, 5,...2,1 k là chỉ số đại diện cho các biến 21432 ,,,,  dd và  k là một giá trị được tính để so sánh 
với một giá trị 0 đặt trước. Nghiệm sẽ được xác định khi 0 . 
 Các giá trị ban đầu  TddX 02010403020  thường được chọn sao cho vị trí các khớp 432 ,, dd 
trùng với cấu hình mặc định của cơ cấu tay máy. 
5. Kết quả mô phỏng 
Để kiểm chứng các kết quả phân tích động học ngược ở trên, trước tiên tác giả tạo ra một quỹ đạo trong hệ 
tọa độ không gian Đề các với ba thành phần vị trí và ba góc quay ơ le. Sau đó sử dụng kết quả phân tích động 
học ngược đề tìm tám vị trí của các khớp trong hệ tọa độ suy rộng (hệ tọa độ khớp). Quỹ đạo của cơ cấu tay máy 
trong hệ tọa độ Đề các được hiểu là quỹ đạo của điểm làm việc trên khâu thao tác (end effector) hay còn được 
gọi là tâm kẹp. 
Hình 4 minh họa quỹ đạo chuyển động của tâm kẹp khi đi qua ba vị trí đặc biệt (điểm đầu, điểm cuối và 
điểm giữa được minh họa bằng các hình tròn nhỏ màu hồng). Đây là các vị trí mà tác giả mong muốn tâm kẹp 
trên khâu thao tác đi qua. Các điểm khác nằm trên quỹ đạo này được tính bằng phương pháp nội suy hàm bậc 5. 
Tác giả chọn hàm nội suy bậc 5 để đảm bảo cho chuyển động của cơ cấu tay máy được êm, không bị giật khi 
chuyển hướng vì gia tốc chuyển động của các khớp là hàm bậc 3. Vị trí đầu là cấu hình mặc định của cơ cấu tay 
máy khi không hoạt động, trong khi đó vị trí cuối là lúc vừa hoàn thành xong công đoạn lắp ghép sản phảm. Do 
đó tọa độ và hướng của khâu thao tác ở hai vị trí này sẽ được xác định, còn điểm ở giữa thường được chọn như 
điểm trung bình. 
Như vậy tại mỗi vị trí trên quy đạo chuyển động của tâm kẹp sẽ xác định được một ma trận T ở phương 
trình (2) với các thành phần chỉ hướng là  zyxT uuuu ,  zyxT vvvv ,  zyxT wwww và vị trí là 
 zyxT qqqq . Từ đó có thể tìm góc của các khớp quay ( 87621 ,,,,  , 25 2/  pi ) và độ dịch chuyển 
của các khớp tịnh tiến ( 43, dd ) bằng các phương trình động học ngược đã trình bày ở trên. Kết quả mô phỏng 
được thể hiện ở trên hình 5 với các ghi chú: joint angle 1, joint angle 2, joint displacement 3, joint angle 4, joint 
displacement 5, joint angle 6, joint angle 7 và joint angle 8 tương ứng với 87645321 ,,,,,,,  dd . Kết quả mô 
phỏng chỉ ra rằng khớp 2 ( 2 ) có góc quay nhỏ. Xét về mặt động lực học thì đây là khớp chịu tác dụng của trọng 
lực lớn nhất nên động cơ điện gắn vào điều khiển khớp này sẽ cần một giá trị mô men lớn nhất. Vì thế việc tối 
thiểu hóa chuyển động của khớp 2 sẽ không những tiết kiệm năng lượng mà còn đảm bảo độ an toàn cho cơ cấu 
tay máy. 
Hình 4. Quỹ đạo chuyển động của tâm kẹp trên khâu thao tác trong hệ tọa độ Đề các 
 Phân tích động học cơ cấu tay máy dạng chuỗi 7 bậc tự do có cấu hình linh hoạt ứng dụng trong lắp ráp cơ khí 
7 
Hình 5. Vị trí của các khớp quay và khớp tịnh tiến 
Vũ Minh Hùng, Phạm Hồng Quang, Trịnh Quang Trung, Võ Quốc Thắng 8 
6. Kết luận 
Bài báo này đã trình bày một nghiên cứu về cấu trúc tay máy dạng chuỗi 7 bậc tự do có cấu hình linh hoạt. 
Đây là một cơ cấu cơ khí mới với hai khớp chuyển động tịnh tiến và sáu khớp quay nhưng do có ràng buộc cơ 
khí để một phần của tay máy hoạt động song song với mặt đất nên tay máy chỉ có 7 bậc tự do. Với hai khớp 
chuyển động tịnh tiến giúp cho tay máy không những nâng chiều cao dễ dàng mà có thể kéo dài để mở rộng 
cũng như thu hẹp không gian làm việc. Vì thế đây là một cấu hình rất linh hoạt có thể được ứng dụng trong nhiều 
lĩnh vực công nghiệp, đặc biệt là lắp ghép cơ khí bằng phương pháp nhiệt. 
Hơn nữa bài báo đã đưa ra một hàm tối ưu dựa trên việc tối thiểu hóa chuyển động của một khớp quay 
chính (khớp 2) và hai khớp tịnh tiến để giải bài toán động học ngược. Phương pháp số Newton Raphson được sử 
dụng để giải bài toán tối ưu này. Kết quả mô phỏng trên phần mềm Matlab đã chỉ ra rằng tất cả các nghiệm (vị trí 
khớp quay và tịnh tiến) đều không bị gián đoạn, không có bước nhảy và phù hợp với quỹ đạo chuyển động của 
khâu thao tác. Việc tối thiểu hóa chuyển động của khớp 2 và các khớp tịnh tiến giúp cho tay máy tiết kiệm năng 
lượng trong hoạt động và đảm bảo độ an toàn, cứng chắc của cơ cấu. 
Tuy nhiên bài báo này mới chỉ giải quyết được các vấn đề động học thuận và ngược. Một vấn đề quan trọng 
khác là phân tích động lực học để tìm mô men và lực của các khớp, từ đó có căn cứ để lựa chọn động cơ điện 
cho phù hợp và mô phỏng hệ điều khiển. 
Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường Đại học Dầu khí Việt Nam (PVU) trong khuôn khổ đề 
tài mã số GV1512. 
Tài liệu tham khảo 
[1] Sichen Yuan, Haiqing Zhang, Nei Wang and Nan luan, “Motion study of a redundant 7-DOF operation robot”, 
International Conference on Electrical and Control Engineering (ICECE), pp.3056 – 3060, 6-18 Sept. 2011. 
[2] Jayoung Kim, Minyoung Sin and Jihong Lee, “Kinematics analysis and motion planning for a 7-DOF redundant 
industrial robot manipulator”, 11th International Conference on Control, Automation and Systems (ICCAS), pp. 
522 – 527, 26-29 Oct. 2011. 
[3] Klanke, Lebedev, Haschke, Steil, Ritter, “Dynamic Path Planning for a 7-DOF Robot Arm”, IEEE/RSJ 
International Conference on Intelligent Robots and Systems, pp. 3879 – 3884, 9-15 Oct. 2006. 
[4] Kircanski, M.V.; Petrovic, T.M., “Inverse kinematic solution for a 7 DOF robot with minimal computational 
complexity and singularity avoidance”, IEEE International Conference on Robotics and Automation, pp. 2664 - 
2669 vol.3, 9-11 Apr 1991. 
[5] Tie-jun Zhao; Jing Yuan; Ming-yang Zhao; Da-long Tan, “Research on the Kinematics and Dynamics of a 7-DOF 
Arm of Humanoid Robot”, ROBIO '06. IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics, pp. 1553 – 
1558, 17-20 Dec. 2006. 
[6] An, H.H.; Clement, W.I.; Reed, B., “Analytical inverse kinematic solution with self-motion constraint for the 7-
DOF restore robot arm”, IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics (AIM), pp. 
1325 – 1330, 8-11 July 2014. 
[7] Sariyildiz, E.; Ucak, K.; Oke, G.; Temeltas, Hakan; Ohnishi, K., “Support Vector Regression based inverse 
kinematic modeling for a 7-DOF redundant robot arm”, International Symposium on Innovations in Intelligent 
Systems and Applications (INISTA), pp. 1 – 5, 2-4 July 2012. 
[8] Tarokh, M.; Mikyung Kim, “Inverse Kinematics of 7-DOF Robots and Limbs by Decomposition and 
Approximation”, IEEE Transactions on Robotics, pp. 595 – 600, Vol. 23 , No. 3, 2007. 
[9] Trần Hoàng Nam, “Giải bài toán ngược động học, động lực học và điều khiển trượt rôbốt dư dẫn động dựa trên 
thuật toán hiệu chỉnh gia lượng véc tơ tọa độ suy rộng”, Luận án tiến sỹ, Viện Cơ học, 2010.