Phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc

Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 33 
PHƢƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER PHI TUYẾN RỜI RẠC 
TS. Nguyễn Bá Phi 
Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học xây dựng Miền Trung 
Tóm tắt: Bài viết trình bày một trong những cách đơn giản nhất để d n ra phương 
trình Schrödinger phi tuyến rời rạc – phương trình mô tả gần đúng nhiều quá trình 
vật lý diễn ra trong tự nhiên. Bên cạnh đó, hai trường hợp giới hạn quan trọng của 
phương trình, nó liên quan trực tiếp đến các hệ vật lý cũng được cho thấy. 
Từ khóa: Phương trình phi tuyến tính Schrödinger, hiện tượng định sứ Anderson, 
phi tuyến quang học, sự tự bẫy. 
1. Đặt vấn đề 
 Sự mất trật tự và tính chất phi tuyến là hai đặc trưng quan trọng, xuất hiện hầu hết 
trong các loại vật liệu cũng như trong các hệ vật lý. Trong những năm gần đây, việc 
nghiên cứu sự lan truyền của sóng trong môi trường mất trật tự phi tuyến đã trở thành 
một trong mảng nghiên cứu rất được các nhà khoa học quan tâm, cả về phương diện lý 
thuyết lẫn thực nghiệm. Tuy nhiên, cho đến nay, sự hiểu biết của chúng ta về chủ đề 
mang tính thách thức này vẫn còn mang tính chấp vá, chưa thật sự đầy đủ. 
 Để giải quyết những bài toán liên quan đến ảnh hưởng đồng thời của tính mất trật 
tự và tính phi tuyến lên quá trình lan truyền của sóng trong một môi trường nào đó, 
phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc – là một trong những phương trình mô hình 
động học mạng phi tuyến cơ bản nhất, được cho thấy là một công cụ rất hữu ích. 
Phương trình này thu hút nhiều sự chú ý của các nhà nghiên cứu do tính ứng dụng rỗng 
rãi của nó trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Ví dụ, nó là phương trình mô hình đường bao 
tán sắc thích hợp đối với việc mô tả điện trường trong các ống dẫn sóng [1, 2], sự tự hội 
tụ (self-focusing) và suy yếu của sóng Langmuir trong vật lý plasma [3], hay đối với 
việc mô tả sóng nước trong các đại dương [4]. 
 Về mặt lịch sử, việc nghiên cứu phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc đã có 
từ những năm 50 của thế kỷ trước với mô hình Holstein đối với việc hình thành polaron 
(một giả hạt – liên quan đến tương tác giữa điện tử và nguyên tử trong chất rắn) trong 
các tinh thể phân tử [5, 6]. Những ví dụ quan trọng khác phải kể đến là mô hình 
Davydov đối với sự vận chuyển năng lượng dọc theo các phân tử protein [7] và mô hình 
các ống dẫn sóng phi tuyến liên kết [8-10]. Bên cạnh đó, phương trình Schrödinger phi 
tuyến rời rạc còn đóng vai trò trung tâm trong việc phát triển lý thuyết tổng quát đối với 
các kiểu định xứ có bản chất nội tại được gọi là các “discrete breather”, xảy ra trong các 
hệ dao động phi điều hòa liên kết [11]. Gần đây, sự quan tâm dành cho phương trình 
Schrödinger phi tuyến rời rạc được đẩy lên cao hơn nữa do việc quan sát được bằng 
thực nghiệm hiện tượng định xứ Anderson của ánh sáng trong các mạng quang tử mất 
trật tự [12-14], nơi mà phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc mô tả sự lan truyền 
của ánh sáng trong gần đúng gần trục quang học; của các nguyên tử lạnh trong các 
Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 34 
mạng quang học mất trật tự [15, 16], nơi mà phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc 
được xem là một mô tả gần đúng trường trung bình. 
 Với tầm quan trọng như vậy, tuy nhiên, những tài liệu bằng tiếng Việt liên quan 
đến phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc cũng như ứng dụng của phương trình 
này trong việc giải quyết một số bài toán vật lý hầu như chưa có theo sự hiểu biết của 
tác giả bài viết. Nhằm mục đích giúp cho các bạn đọc quan tâm nói chung cũng như các 
nhà vật lý Việt Nam nói riêng có một tài liệu tiếng Việt liên quan đến vấn đề này để 
tham khảo, tác giả đã mạnh dạn viết bài viết này. 
 Bố cục của bài viết như sau. Trong mục 1, tác giả đã nêu lên tầm quan trọng của 
phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc cũng như sự cần thiết của bài viết. Nội dung 
chính của bài viết là cách dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc, được trình 
bày trong mục 2. Tiếp theo, hai trường hợp giới hạn quan trọng và một vài ứng dụng 
phương trình này trong việc giải quyết các vấn đề vật lý đã được thực hiện bởi chính tác 
giả của bài viết, được đưa ra trong mục 3. Cuối cùng, một vài kết luận đối với bài viết 
được tóm tắt trong mục 4. 
2. Cách d n ra phƣơng trình Schrödinger phi tuyến rời rạc 
 Việc dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc có thể dựa trên một số 
cách khác nhau. Trong bài viết này, tác giả sẽ theo sát một cách làm có thể nói là đơn 
giản nhất (theo quan điểm của tác giả), nó được đưa ra bởi Alfimov [17] với điểm xuất 
phát là phương trình Schrödinger phi tuyến liên tục có dạng tổng quát: 
2
2
2
( , ) ( , )
( ) ( , ) ( , ) ( , )
 
 
x t x t
i V x x t x t x t
t x
 
    (1) 
 Trong đó ( , )x t là hàm sóng của hệ lượng tử; ( )V x là một hàm thế tuần hoàn với 
chu kỳ L , nghĩa là, ( ) ( ).V x L V x Phương này được cho thấy là rất thích hợp đối với 
việc mô tả quá trình tiến triển của chất cô đặc Bose-Einstein bị giam cầm trong sự có 
mặt của thế quang học. Trong phạm vi này, dấu của  xác định bản chất tương tác giữa 
các nguyên tử. Cụ thể, nếu tương tác là hút thì 1 và tương ứng với cái gọi là tính 
phi tuyến hội tụ (focusing nonlinearity), ngược lại nếu tương tác là đẩy thì 1 và 
tương ứng với cái gọi là tính phi tuyến phân kỳ (defocusing nonlinearity). Những thuật 
ngữ này cũng được sử dụng trong lĩnh vực quang học và các lĩnh vực khác. Để đơn 
giản, chúng ta giới hạn việc dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc chỉ đối 
với trường hợp một chiều. Tuy nhiên, những khái niệm tương tự trong bài viết này cũng 
có thể được tổng quát hóa đối với phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc có số 
chiều lớn hơn một. 
 Trước hết, chúng ta đi khảo sát bài toán trị riêng tuyến tính tương ứng, nghĩa là số 
hạng cuối cùng bên vế phải của phương trình (1) được bỏ qua. Khi đó, phương trình 
Schrödinger không phụ thuộc thời gian tương ứng có dạng: 
2
,
, ,2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) k k k
d x
V x x E k x
dx
 (2) 
Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 35 
 Trong phương trình (2), k, là các hàm Bloch, tức là thõa mãn k, (x) = e
ikx
uk, (x), 
trong đó uk, (x) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ L và là chỉ số ký hiệu các vùng 
năng lượng tương ứng E (k). Vì các vùng năng lượng này là những hàm tuần hoàn 
( 2 / ) ( )E k L E k [18] nên chúng có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier: 
 *
, , , ,
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) , ,
iknL
n n n n
n
E k e      (3) 
trong đó dấu “*” chỉ việc lấy liên hợp phức đối với số hạng chứa nó. Các hệ số Fourier 
,
ˆ
n  trong phương trình (3) được xác định bỡi: 
/L
,
/L
ˆ ( ) .
2
iknL
n
L
E k e dk

 (4) 
 Mặc dù các hàm Bloch vẫn tạo nên một hệ cơ sở trực giao nhưng để thuận lợi hơn 
đối với việc tính toán giải tích, Alfimov đã sử dụng hệ cơ sở tạo bởi các hàm Wannier 
thay vì sử dụng hệ cơ sở được tạo thành từ các hàm Bloch. Chúng ta nhớ lại rằng, hàm 
Wannier với tâm đặt tại vị trí nL ( n là số nguyên) và tương ứng với vùng năng lượng 
 nào đó được định nghĩa: 
/L
,
/L
( ) ( ) .
2
iknL
k
L
w x nL x e dk
 (5) 
Ngược lại, các hàm Bloch được cho bỡi: 
, n,( ) ( )e .
2
iknL
k
n
L
x w x 
  (6) 
 Tương tự như các hàm Bloch, các hàm Wannier cũng tạo nên một tập hợp các hàm 
trực giao và đầy đủ như sau: 
*
, ,
*
, ,
,
( ) ( ) ,
( ) ( ) ( ).
n n nn
n n
n
w x w x dx
w x w x x x
 


 (7) 
 Từ phương trình (4), nếu chúng ta chọn pha của các hàm Bloch một cách hợp lý 
thì các hàm Wannier là thực và giảm theo hàm mũ khi n [18]. Nếu điều này được 
thực hiện, khi đó chúng ta có được: 
*
, ,( ) ( ).n nw x w x Cốt lõi của việc dẫn ra phương 
trình Schrödinger phi tuyến rời rạc nằm ở việc tách nghiệm của phương trình (1) trong 
cơ sở các hàm Wannier 
, ,
,
( , ) ( ) ( ).n n
n
x t c t w x 
  (8) 
 Thay nghiệm (8) vào phương trình (1) và thực hiện các phép biến đổi đại số ta thu 
được phương trình 
 1 2 3
1 1 1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 1 2 3 1 2 3
, *
, , , , ,
, , , ,
( )
ˆ ,n nn n nn n n n n n
n n n n
dc t
i c c c c W
dt
     (9) 
Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 36 
Trong đó: 1 2 3
1 2 3 1 1 2 2 3 3, , , ,
nn n n
n n n nW w w w w dx 
 (10) 
là các yếu tố ma trận xen phủ. Chúng đối xứng theo tất cả các phép giao hoán đối với 
các nhóm chỉ số ( , 1, 2, 3) và (n, n1, n2, n3). Phương trình (9) có thể được xem là 
dạng vectơ của phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc. 
 Nếu các hệ số Fourier trong (4) giảm đủ nhanh khi n , nghĩa là 1, n,ˆ ˆ| | | |   
với 1n , khi đó các số hạng liên kết từ bậc hai trở đi trong phần tuyến tính của phương 
trình (9) có thể được bỏ qua. Do vậy, mô hình động học chỉ kể đến một mình các tương 
tác lân cận gần nhất được đưa ra. 
 Ngoài ra, vì các hàm Wannier vớin, (x) là định xứ và có tâm đặt tại x nL nên 
chúng ta có thể giả thuyết rằng trong một số trường hợp nào đó, trong số tất cả các hệ số 
1 2 3
1 2 3
nn n n
W thì những hệ số 
1 2 3
1 2 3
nn n n
W với 1 2 3n n n n có ảnh hưởng trội hơn các hệ 
số còn lại. Do vậy, những hệ số 1 2 3
1 2 3
nn n n
W còn lại sẽ được bỏ qua trong phương trình. 
Khi đó, phương trình (9) được viết lại: 
1 2 3 1 2 3
1 2 3
, *
0, , 1, 1, 1, , , ,
, ,
( )
ˆ ˆ ( ) .n nnnnn n n n n n
dc t
i c c c W c c c
dt
    (11) 
 Thêm vào đó, bằng cách giới hạn sự xem xét của chúng ta chỉ đối với một vùng 
năng lượng , phương trình (11) trở thành phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc 
liên kết chặt như sau: 
2,
0, , 1, 1, 1, , ,
( )
ˆ ˆ ( ) .n nnnnn n n n n
dc t
i c c c W c c
dt
    (12) 
 Một trong những điểm thuận lợi của cách dẫn ra phương trình Schrödinger phi 
tuyến rời rạc ở trên là nó cho thấy một cách trực tiếp làm thế nào để tổng quát hóa gần 
đúng một vùng cho các trường hợp phức tạp hơn. Chẳng hạn, khi độ mạnh liên kết giữa 
các vùng năng lượng có thể so sánh được với độ mạnh liên kết trong cùng một vùng, khi 
đó chúng ta cần phải cộng thêm một vài số hạng liên quan đến vùng năng lượng vào 
phương trình (12). Nếu các hệ số Fourier trong phương trình (4) giảm không đủ nhanh 
khi n thì ,ˆn  có giá trị đáng kể đối với 1.n Khi đó, chúng ta phải kể thêm các 
số hạng 2, 3,ˆ ˆ, ,...   vào phương trình (12). 
 Tuy nhiên, vì một số lý do vật lý cụ thể, trong hầu hết các nghiên cứu từ trước cho 
đến nay, một dạng đơn giản hơn đối với phương trình (12) đã được sử dụng: 
2
1 1
( )
( ) ,n n n n n n n
dc t
i c J c c c c
dt
  (13) 
trong đó n là năng lượng tại nút thứ n của mạng, J là tham số nhảy lân cận bậc nhất và 
 là hệ số phi tuyến – đặc trưng cho độ mạnh của tính phi tuyến. 
Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 37 
3. Ứng dụng của phƣơng trình Schrödinger phi tuyến rời rạc 
 Kích thích định xứ và kích thích lan truyền 
 Trong trường hợp năng lượng nút n có phân bố ngẫu nhiên trong một khoảng giá 
trị nào đó thì phương trình (13) thường được sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của tính 
phi tuyến lên hiện tượng định xứ Anderson [19] đối với trường hợp kích thích định xứ. 
Về mặt thực nghiệm, điều này có thể được thực hiện trong nhiều hệ vật lý khác nhau, 
chẳng hạn như trong sợi quang học, mảng các ống dẫn sóng, tinh thể quang tử, chất cô 
đặc Bose-Einstein, Mặc khác, nếu chúng ta tìm nghiệm dừng của phương trình (13) 
dưới dạng exp( ),n nc iEt chúng ta sẽ rút ra được phương trình: 
2
1 1( ) .n n n n n n nE J        (14) 
 Phương trình này thường được sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng của tính phi 
tuyến lên hiện tượng định xứ Anderson nhưng trong trường hợp kích thích lan truyền. 
Thật thứ vị để nhắc lại rằng nếu  = 0 thì phương trình (14) thu về phương trình mô 
hình Anderson một chiều chuẩn. 
 Ảnh hưởng của tính phi tuyến 
lên hiện tượng định xứ Anderson là 
khác nhau một cách định lượng đối 
với các kích thích hoặc là định xứ 
hoặc là lan truyền. Đối với trường hợp 
trước, sự có mặt của tính phi tuyến 
làm chậm quá trình bắt đầu định xứ. 
Ngược lại, đối với trường hợp sau, 
tính phi tuyến tăng cường vai trò của 
tính mất trật tự đối với hiện tượng 
định xứ Anderson, nghĩa là độ giảm 
theo hàm mũ của hệ số truyền qua 
trong trường hợp này mạnh hơn trong 
trường hợp định xứ Anderson thuần tý 
(khi chưa kể đến tính phi tuyến), ít 
nhất đối với những hệ có kích thước 
không quá lớn [20-22]. 
 Hiện tƣợng tự chặn 
 Phương trình (13) với 0n đối với mọi n sẽ trở thành 
2
1 1
( )
( ) .n n n n n
dc t
i J c c c c
dt
 (15) 
 Phương trình này mô tả rất có hiệu quả ảnh hưởng của các dao động mạng lên 
động học của điện tử trong lĩnh vực vật lý chất rắn. Trong phạm vi động học điện tử - 
Hình 1. Hệ số truyền qua (được lấy trung bình theo các cấu 
hình mất trật tự) là hàm của kích thước hệ được cho thấy đối 
với trường hợp kích thích lan truyền. Kết quả số cho thấy rằng, 
hiện tượng định xứ Anderson được tăng cường trong sự có mặt 
của tính phi tuyến [20]. 
Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 38 
dao động mạng, hiện tượng quan trọng 
nhất gắn với phương trình (15) là hiện 
tượng tự chặn – một bó sóng (hoặc một 
hạt) ban đầu định xứ thì vẫn định xứ 
trong một vùng hữu hạn quanh nút kích 
thích ban đầu trong giới hạn thời gian dài. 
Hiện tượng này xảy ra khi độ mạnh của 
tính phi tuyến vượt quá giá trị giới hạn 
3.5c [23, 24]. 
4. Kết luận 
 Bài viết đã trình bày một trong 
những cách đơn giản nhất để dẫn ra 
phương trình Schrödinger phi tuyến rời 
rạc – phương trình mô tả gần đúng nhiều 
quá trình vật lý diễn ra trong tự nhiên 
cũng như trong các hệ vật lý do con 
người tạo ra. u điểm của cách dẫn ra 
phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc trong bài viết này là khả năng tổng quát hóa 
cách làm này đối với những bài toán phức tạp hơn. Bài viết cũng chứa đựng một vài kết 
quả được xem như là những ví dụ của việc sử dụng phương trình Schrödinger phi tuyến 
rời rạc trong việc nghiên cứu, giải quyết một số bài toán vật lý. Điều này được thực hiện 
bởi chính bản thân tác giả. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] R. Morandotti, H. S. Eisenberg, Y. Silberberg, M. Sorel, and J. S. Aitchison. 2001. 
Self-focusing and defocusing in waveguide arrays, Phys. Rev. Lett. 86, 3296. 
[2] S. Burger, F. S. Cataliotti, C. Fort, P. Maddaloni, F. Minardi, and M. Ingscio. 2002. 
Quasi - 2D Bose - Einstein condensate in an optical lattice, Europhys. Lett. 57, 1. 
[3] V. E. Zakharov. 1972. Collapse of Langmuir waves, Sov. Phys. JETP 35, 908. 
[4] M. Onorato, A. R. Osborne, M. Serio, and S. Bertone. 2001. Freak Waves in 
Random Oceanic Sea States, Phys. Rev. Lett, 86, 5831. 
[5] T. Holstein. 1959. Studies of polaron motion: Part I. The molecular-crystal model, 
Ann. Phys. 8, 325. 
[6] T. Holstein. 1959. Studies of polaron motion: Part II. The “small” polaron, Ann. 
Phys. 8, 343. 
[7] A. Davydov. 1977. Soliton and energy transfer along protein molecules, J. Theor. 
Biol. 66, 379. 
[8] D. Hennig and G. P. Tsironis. 1999. Wave transmission in nonlinear lattices, Phys. 
Rep. 307, 333. 
Hình 2. Sự phụ thuộc của xác suất tìm thấy hạt (hoặc 
bó sóng) ( )oR t tại vị trí kích thích ban đầu theo thời 
gian được cho thấy. Giá trị giới hạn của tham số phi 
tuyến mà trên đó hiện tượng tự chặn xảy ra được xác 
định là 3.5c [24]. 
Thông báo Khoa học và Công nghệ* Số 2-2013 39 
[9] F. Lederer, G. I. Stegeman, D. N. Christodoulides, G. Assanto, M. Segev, and Y. 
Silberberg. 2008. Discrete soliton in optics, Phys. Rep. 463, 1. 
[10] D. N. Christodoulides, F. Lederer, and Y. Silberberg. 2003. Discretizing light 
behavious in linear and nonlinear waveguide lattices, Nature 424, 817. 
[11] S. Flach and C. R. Willis. 1998. Discrete Breathers, Phys. Rep. 295, 181. 
[12] T. Schwatz, G. Bartal, S. Fishman, and M. Segev. 2007. Transport and Anderson 
localization in disordered two-dimensional photonic lattices, Nature 446, 52. 
[13] Y. Lahini, A. Avidan, F. Pozzi, M. Sorel, R. Morandotti, D. N. Christodoulides, 
and Y. Silberberg. 2008. Anderson Localization and Nonlinearity in One-Dimensional 
Discreted Photonic Lattices, Phys. Rev. Lett. 100, 013906. 
[14] Y. Lahini, F. Pozzi, M. Sorel, R. Morandotti, D. N. Christodoulides, and Y. 
Silberberg. 2009. Direct Observation of a Localization Transition in Quasi-Periodic 
Photonic Lattices, Phys. Rev. Lett. 103, 013901. 
[15] J. Billy, V. Josse, Z. Zuo, A. Bernard, B. Hambrecht, P. Lugan, D. Clément, L. 
Sanchez-Palencia, P. Bouyer, and A. Aspect. 2008. Direct observation of Anderson 
localization of matter-waves in a controlled disorder, Nature 453, 891. 
[16] G. Roati, C. D’Errio, L. Fallani, M. Fattori, C. Fort, M. Zaccanti, G. Modugno, M. 
Modugno, and M. Ingucio. 2008. Anderson localization of a non-interacting Bose-
Einstein condensate, Nature 453, 895. 
[17] G. Alfimov, P. G. Kevrekidis, V. V. Konotop, and M. Salerno. 2002. Wannier 
function analysis of the nonlinear Schrodinger equation with a periodic potential, Phys. 
Rev. E 66, 046608. 
[18] W. Kohn. 1959. Analytic Properties of Bloch Waves and Wannier Functions, Phys. 
Rev. 115, 809. 
[19] P. W. Anderson. 1958. Absence of Diffusion in Certain Random Lattices, Phys. 
Rev. 109, 1492. 
[20] B. P. Nguyen, K. Kim, F. Rotermund, and H. Lim. 2011. Enhanced localization of 
waves in one-dimensional random media due to nonlinearity: Fixed input case, Physica 
B 406, 4535. 
[21]. B. P. Nguyen and K. Kim. 2011. Influence of weak nonlinearity on the 1D 
Anderson model with long-range correlated disorder, Eur. Phys. J. B 84, 79. 
[22] B. P. Nguyen and K. Kim. 2012. Anomalously suppressed localization in the two-
channel Anderson model, J. Phys.: Condens. Matter 24, 135303. 
[23] M. Johannson, M. Hornquist, and R. Riklund. 1995. Effects of nonlinearity on the 
time evolution of single-site localized states in periodic and aperiodic discrete systems, 
Phys. Rev. B 52, 231. 
[24] B. P. Nguyen and K. Kim. 2013. Wave packet dynamics in one-dimensional 
nonlinear Schrödinger lattices: Local vs. nonlocal nonlinear effects, J. Kor. Phys. Soc. 
(accepted for publication).