Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn của dãy số - Trần Thị Khiếu

Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông Cơ sở tp. Hồ Chí Minh
Khoa Cơ bản 2 – Bộ môn toán
-----------------------------------------------------------
Giải tích 1
• Giảng viên: Trần Thị Khiếu
• Email: ttkhieu@gmail.com
- Cách tính điểm
+ Chuyên cần : 10% (điểm danh hằng ngày).
+Bài tập : 10% (lên bảng làm bài tập 5 lần).
+Kiểm Tra giữa kỳ: 10% (trắc nghiệm 20 câu).
+Thi cuối kỳ: 70% 
Tài liệu học
- Giáo trình giải tích 1, Học viện Công nghệ Bưu
chính Viễn thông, TS. Vũ Gia Tê (chủ biên), ThS. 
Nguyễn Thị Dung, ThS. Đỗ Phi Nga.
Mục lục
Chương 1: Giới hạn của dãy số.
Chương 2: Hàm số hàm một biến.
Chương 3: Phép tính vi phân hàm một biến số.
Chương 4: Tích phân xác định.
Chương 5: Lý thuyết chuỗi.
Chương 1: Giới hạn của dãy số.
Số thực
Cho  ⊂ ℝ và  ∈ ℝ.  là một cận trên của  trong ℝ nếu
Cho  ⊂ ℝ và  ∈ ℝ.  là một cận dưới của  trong ℝ nếu
,x X x a 
,x X x a 
Giá trị nhỏ nhất của tập các chặn trên (cận trên) của tập hợp
X được gọi là chặn trên nhỏ nhất (cận trên đúng) của X và ký
hiệu là supX, (supremum của X).
Giá trị lớn nhất của tập các chặn dưới (cận dưới) của tập
hợp X được gọi là chặn dưới lớn nhất (cận dưới đúng) của X
và ký hiệu là infX, (infimum của X).
Dãy số thực
------------------------------------------------------------
Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập
số thực R.
Định nghĩa
:u N R 
( )n u n 
Thường dùng ký hiệu: hay đơn giản  1n nu
 nu
được gọi là số hạng thứ  của dãy.0nu
CÁC CÁCH CHO DÃY SỐ
2, 1 /n nu n u n 
2
1 11, 1n n nu u u u 
1/ Dạng liệt kê: 
VD: dãy 1, 2, 3,; dãy 1, 1/2, 1/3,
2/ Dạng tường minh:
{un} cho dạng biểu thức giải tích của biến n.
3/ Dạng quy nạp: 
Số hạng đi sau tính theo các số hạng đi trước
VD:
VD:
1
1 2 11, 1,
2
n n
n
u u
u u u 
Sự hội tụ, sự phân kỳ của dãy số
Dãy được gọi là hội tụ nếu có số  ∈ ℝ để
Dãy số được gọi là hội tụ về  ∈ ℝ nếu
 0 00, nn n n u a   
Ký hiệu: haylim n
n
u a
 nnu a
  
Ngược lại, dãy không hội tụ được gọi là dãy phân kỳ.
 nu lim nn u a 
 nu
Ta nói tiến đến (hoặc: nhận làm giới hạn)
khi và chỉ khi:
 0 00, N nA n n n u A  
Ký hiệu: haylim n
n
u
n
nu
  
Ta nói tiến đến (hoặc: nhận làm giới hạn)
khi và chỉ khi:
 0 00, N nB n n n u B  
Ký hiệu: haylim n
n
u
 n
nu
  
 nu
 nu
Khi dãy có giới hạn là hoặc đều được gọi là phân kỳ. 
Ví dụ: Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng lim 1
1n
n
n 
0 1
1
n
n
 
1
1n
 
1
1n

Chọn số tự nhiên 0
1
1n

Khi đó 0 :| 1| 1
1
n
n
n n u
n
 
 0
1 1
1 1n n
 
lim 1
1n
n
n 
(theo định nghĩa)
Chú ý: Để chứng minh dãy hội tụ về  thông thường
chỉ ra dãy hội tụ về 0 và thỏa mãn điều kiện
 nu
 n
0,n nu a n n  
Dãy số bị chặn
Ta nói dãy bị chặn trên bởi  ∈ ℝ , nếu
, nn N u A 
Ta nói dãy bị chặn dưới bởi B ∈ ℝ , nếu
, nn N u A 
Một dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dãy
bị chặn.
 nu
 nu
Nếu dãy hội tụ đến  thì  là duy nhất.
Định lý 1.1 (tính duy nhất của giới hạn)
:
:
a a n
b b n
n n n u a
n n n u b


   
  
Chứng minh: Giả sử và .
lim
lim
n
n
n
n
u a
u b
a b Đặt
3
a b

Đặt 0 ,Max a bn n n 
n n n na b a u u b u a u b 
2
2 | |
3
a b a b   Mâu thuẫn.
 nu
Tính chất đại số của dãy hội tụ
 3) lim n n
n
u v a b
 4) lim n n
n
u v a b
 
5) lim n
n n
u a
v b 
1) lim | |n
n
u a
 2) lim 0 lim 0n n
n n
u u
Cho , ta có:lim , limn n
n n
u a v b
 0 0: | | 1nn n n u a   Chứng minh 1: Giả sử lim n
n
u a
nu M 
• Nếu dãy hội tụ, thì bị chặn trong tập ℝ.
• Nếu dãy tiến đến +∞ thì bị chặn dưới trong tập ℝ.
• Nếu dãy tiến đến −∞ thì bị chặn trên trong tập ℝ.
Tính bị chặn
1 1na u a 
Đặt: 01 2, ,..., ,1 | |Max nM u u u a 
Chú ý: Tồn tại những dãy bị chặn nhưng không hội tụ
Ví dụ. 
1
( 1)n
n
 nu nu
 nu
 nu
Tính chất về thứ tự và nguyên lý kẹp
Cho 3 dãy thỏa mãn
Nguyên lý kẹp
   , ,n n nu v w 0 0, n n nn n n u v w  
và , khi đó
Giả sử và , khi đó 0 , n nn n u v 
lim limn n
n n
u w a
 lim n
n
v a
lim n
n
u
 lim n
n
v
Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy 2
1
n
n
k
n
u
n k 
  
2
2 2
1
1
11
n n
n
k
n n
u
n n
  
2
1
1
1
n n
n
k
n
n
n
u
nn
  
 lim 1n
n
u
TìmVí dụ.
5
lim
n
nn n 
Dãy đơn điệu
• Ta nói dãy là dãy tăng, nếu nu
1, n nn N u u  
Một dãy tăng hay dãy giảm được gọi chung là dãy
đơn điệu.
• Ta nói dãy là dãy giảm, nếu
1, n nn N u u  
• Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là
tăng (giảm) ngặt.
 nu
Định lý 1.2 (định lý Weierstrass)
Dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
Dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Định lý 1.3
Dãy tăng và không chặn trên thì tiến dần đến +∞.
Dãy giảm và không chặn dưới thì tiến dần đến −∞.
 nu
 nu
1.Xét hiệu số: un+1 – un (so với “0”)
2.Xét thương số: un+1/un (so với “1”)
(dùng cho dãy số dương)
3.Xét đạo hàm của hàm số f(x), với f(n) = un
Phương pháp khảo sát dãy đơn điệu:
Ví dụ: Chứng tỏ dãy 
!
,
2 1 !!
n n
n
u u
n
là dãy hội tụ.
Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này.
1 1 1
2 3 2
n
n
u n
u n
Vậy dãy bị chặn dưới.0 nu 
Vậy dãy giảm.
lim nu a  
1
1 1
lim
2 3 2 3
n n
n
n n
u u a a
n n
  
1
0
2
a a a 
1
2
n
n n
u
u u 
!
lim 0
2 1 !!n
n
n 
Dãy con
Cho dãy  1 2, ,..., ,...n nu u u u 
kỳ nhưng phải luôn theo thứ tự từ trái qua phải.
của nó được lấy từ dãy theo một cách chọn bất nu
Dãy con của dãy là một dãy mà các phần tử 
kn
u nu
(-1) 1 3 1 5 1
-1, , - , , - , ,...
2 8 4 32 142
n
n n
n
u
 
   
Một dãy con là: 
1 1 1
, , ,...
2 4 14
nv
 
 
 
Nếu dãy hội tụ về  ∈ ℝ , thì mọi dãy con của nó
cũng hội tụ về .
Định lý 1.5
 nu
Để dãy hội tụ về  ∈ ℝ điều kiện và đủ là hai dãy
con và cũng hội tụ về .
Hệ quả
 nu
 nu nu
Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn
Ví dụ:
1
2 1
1
3 2
n
n
n
n
2
4 1 4 1 4 2
( 1)
6 2 6 2 6 3
kk
k
k k
u
k k
  
Xét dãy con với chỉ số chẵn: n = 2k
Tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau
2 1
2 1
4 3 4 3 4 2
( 1)
6 5 6 5 6 3
kk
k
k k
u
k k
  
Xét dãy con với chỉ số lẻ: n = 2k + 1
Vậy dãy đã cho không có giới hạn.
Số e
Xét dãy: 
1
1
n
nu
n
Giới hạn của dãy này được ký hiệu là e, và người ta
chứng minh được e là số vô tỷ, 2.718281828...e 
1
lim 1
n
n
e
n 
Một số giới hạn cơ bản
1
1) lim 0, 0 
n n 
1
2) lim 0, 0
lnn n 
1
3) lim 0
nn e 
4) lim 1,
n p
n
n p
  
5) lim 1, 0n
n
a a
6) lim 0
p
nn
n
e 
7) lim 0,| | 1n
n
q q
1
8) lim 1
n
n
e
n 
9) lim 1 ,a
n
a
e a
n 
  
ln
10) lim 0, , 0
p
n
n
p
n 
  
lim 0, 1
nn
n
a
a
  
lim 0, 0
!
n
n
a
a
n 
  1 lim
1 1 lim 0
n
n
n
n
a a
a a
0 lim
0 lim 0
n
n
n
n
12)
11)
ln
13) lim 0, 0
p
n
n
n 
  
Một số giới hạn cơ bản
ln ( !1)p na nn n a   Qui tắc:
Ví dụ.
5ln
lim 0
n
n
n 
100
lim 0
2nn
n
4
lim 0
!
n
n n 
5
4loglim 0
2nn
n
2lim 1n
n
n 
1
lim 0
2
n
n 
2
lim 0
3nn
n
lim 2n
n 
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy
1) Dùng các biến đổi đại số ( nhân lượng liên hiệp, sử
dụng các đẳng thức quen biết, )
2) Dùng định lý kẹp
3) Dùng định lý Weierstrass: chứng tỏ dãy đơn điệu và
bị chặn.
4) Dùng giới hạn của số e.
5) Dùng dãy con để chứng minh không tồn tại.
: lim 1 .
n
a
n
a
a e
n 
  
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy
 2lim 1
n
n n
HD. Nhân lượng liên hiệp
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy
1 1 1
lim ...
1 2 2 3 ( 1)n n n 
    
HD. Phân tích
1 1 1
( 1) 1n n n n
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy
2 3sin cos
lim
n
n n
n 
HD. Sử dụng định lý kẹp
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy
23 12
2
3
lim
5
n
n
n
n
HD. Sử dụng giới hạn của dãy số e.
Ví dụ. Tìm giới hạn của dãy
3 ( 1)
lim
1
n
n
n
n 
HD. Tìm hai dãy con
Tổng cấp số nhân
1 1
2 1 1lim 1 lim
1 1
n q
n
n n
q
q q q
q q
 
 1 10 0
0 0 0
1
lim lim
1 1
n q
n
n n
u q u
u u q u q
q q

1 1 1
lim 1
2 4 2 

nn
11 1 2 1
lim 2
1 1 2 1 1 2
n
n
2 1 3 9
lim ,
3 2 8 32 
S 
n
0
1 3 3 2 8
,
2 2 4 3 21
 q u S 