Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 3: Một số phân phối xác suất thông dụng

a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân
phối nhị thức
Chương 3
MỘT SỐ PHÂN PHỐI
XÁC SUẤT THÔNG
DỤNGI - Phân phối nhị thức
ª Tiến hành n phép thử độc lập.
ª X là số lần A xảy ra trong n phép
thử, thì X là đ.l.n.n rời rạc có thể
nhận các giá trị:
0, 1, 2. . . . , n
X có phân phối nhị thức với các
tham số : n, p.
ª P(A) = p đối với mọi phép thử. 
Đại lượng ngẫu nhiên X có phân
phối nhị thức với các tham số n và
p được ký hiệu là: X  B(n, p).
Thí dụ 1: Xác suất để một máy sản
xuất được sản phẩm loại I là 0,8.
Cho máy sản xuất 5 sản phẩm.
Gọi X là số sản phẩm loại I có
trong 5 sản phẩm do máy sản xuất
thì X  B(5; 0,8).
Thí dụ 2: Xác suất để một xạ thủ
bắn trúng bia trong mỗi lần bắn
như nhau và đều bằng 0,9. Xạ thủ
này bắn 10 viên. Gọi X là số viên
trúng bia của xạ thủ này thì
X  B(10; 0,9).
Thí dụ 3: Có 3 cầu thủ ném bóng
vào rổ (mỗi người ném một quả).
Xác suất ném trúng rổ của cầu thủ
thứ nhất, thứ hai, thứ ba tương
ứng là: 0,9; 0,8; 0,6. Gọi X là số lần
ném trúng rổ của 3 cầu thủ này. X
có phân phối nhị thức hay không?
Khái niệm các phép thử độc lập
1 và 2 là hai phép thử độc lập nếu
như xác suất xảy ra một biến cố
nào đó của phép thử 1 không phụ
thuộc vào kết quả của phép thử 2
và ngược lại.
)n,....,2,1,0x(
qpC)xX(PP xnxxnx
 
(3.1)
b- Công thức tính xác suất
Nếu X  B(n, p)
Thí dụ: X  B(5; 0,8)
0064,0)2,0)(8,0(C)1X(P 415 
00032,0)2,0()0X(P 5 
0512,0)2,0()8,0(C)2X(P 3225 
2048,0)2,0()8,0(C)3X(P 2335 
4096,0)2,0()8,0(C)4X(P 445 
32768,0)8,0()5X(P 5 
P(x X x+h) = P(X = x) + 
P(X = x+ 1) + . . . . + P(X = x+h)
(3.2)
Nếu X  B(n, p), thì:
Trong đó:
P(X=x), P(X=x+1),. . . , P(X=x+h)
được tính theo công thức (3.1)
Thí dụ: X  B(5; 0,8)
P(1 X 3) = P(X = 1)
+ P(X = 2) + P(X = 3)
= 0,0064 + 0,0512 + 0,2048
= 0,2624
c- Các tham số đặc trưng:
Kỳ vọng toán: Nếu X  B(n , p) thì:
E(X) = np
Phương sai: Nếu X  B(n , p) thì:
Var(X) = npq
Giá trị tin chắc nhất:
Nếu X  B(n , p) thì:
np + p - 1 Mod(X) np + p
a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân
phối Poisson
II- Phân phối Poisson
X  B(n, p) nhưng n lớn, p nhỏ (p
< 0,1), np =  không đổi thì ta có
thể coi X có phân phối Poisson với
tham số .
X có phân phối Poisson với tham
số  được ký hiệu là:
X  P()
Thí dụ: Xác suất để một máy sản
xuất ra phế phẩm là 0,001. Cho
máy sản xuất 2000 sản phẩm.
b- Công thức tính xác suất
Gọi X là số phế phẩm có trong
2000 sản phẩm do máy sản xuất
thì X  B(2000; 0,001).
Khi đó ta có thể coi X  P(2)
e - hằng số nêpe:
e = ; e 2,71828
n
n n
1
1Lim 
Nếu X  P() thì:
Pk = P(X = k) = e
-
(k = 0, 1, 2, . . .)

k
k!
Nếu X  P() thì:
P(k X k+h) = Pk+ Pk+1+. . .+Pk+h
(3.9)
Thí dụ: Một máy dệt có 500 ống
sợi. Xác suất để một ống sợi bị đứt
trong khoảng thời gian 1 giờ máy
hoạt động là 0,004. Tìm xác suất
để trong một giờ có không quá 2
ống sợi bị đứt.
Giải: Nếu coi việc quan sát 1 ống
sợi xem có bị đứt hay không trong
khoảng thời gian 1 giờ là một
phép thử thì ta có 500 phép thử
độc lập. Trong mỗi phép thử biến
cố A (ống sợi bị đứt) xảy ra với xác
suất là p = 0,004.
Nếu gọi X là số ống sợi bị đứt
trong khoảng thời gian 1 giờ thì X
~ B(500; 0,004)
Vì n = 500 khá lớn, p = 0,004 rất
nhỏ; np = 500×0,004 = 2 không đổi
nên ta có thể coi X ~ P(2)
Xác suất để có không quá 2 ống
sợi bị đứt trong khoảng thời gian
1 giờ là:
P(0 ≤ X ≤ 2) = P0 + P1 + P2
22
0
0 ee
!0
2
)0X(PP 
22
1
1 e2e
!1
2
)1X(PP 
22
2
2 e2e
!2
2
)2X(PP 
222 e2e2e)2X0(P 
6767,0e5 2 
c- Các tham số đặc trưng:
Có thể chứng minh được rằng: 
Nếu X  P() thì: 
E(X) = Var(X) = 
 1 Mod(X) 
a- Bài toán tổng quát dẫn đến phân
phối siêu bội
Từ một tập hợp gồm N phần tử
(trong đó có M phần tử có tính
chất A) lấy ngẫu nhiên không
hoàn lại ra n phần tử.
III- Phân phối Siêu bội
Gọi X là số phần tử có tính chất A
có trong n phần tử lấy ra, X là đại
lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể
nhận các giá trị trong khoảng [n1,
n2].
n1 = max{0, n-N+M}
n2 = min{n, M}
X có phân phối siêu bội với các
tham số: N, M, n.
Đại lượng ngẫu nhiên X có phân
phối siêu bội với các tham số N, M,
n được ký hiệu là:
X  H(N, M, n)
Thí dụ: Một hộp có 10 sản phẩm
(trong đó có 7 sản phẩm loại A).
Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ
hộp ra 5 sản phẩm. Gọi X là số sản
phẩm loại A có trong 5 sản phẩm
lấy ra. X có phân phối siêu bội với
các giá trị có thể nhận là: 2, 3, 4, 5.
P(X = x) =
(3.12)
n
N
xn
MN
x
M
C
CC 
Max 0, M+n-N x Min n, M
Nếu X  H(N, M, n)
b- Công thức tính xác suất
3- Các tham số đặc trưng 
Nếu X  H (N, M, n) thì:
E(X) = np (với p = )
Var(X) = npq
(với q = 1-p)
M
N
N-n
N-1
Nếu X  H (N, M, n) nhưng n rất
bé so với N thì ta có thể coi X
 B(n, p) với
p =
M
N
Công thức xấp xỉ:
xnxx
nn
N
xn
MN
x
M qpC
C
CC 
Thí dụ: Một lô hàng có 1000 sản
phẩm, trong đó có 800 sản phẩm
loại A và 200 sản phẩm loại B. Lấy
ngẫu nhiên không hoàn lại từ lô
hàng ra 10 sản phẩm để kiểm tra.
Tìm xác suất để có ít nhất 8 sản
phẩm loại A trong 10 sản phẩm lấy
ra kiểm tra ?
Giải:
Gọi X là số sản phẩm loại A có
trong 10 sản phẩm lấy ra kiểm tra.
X  H(1000, 800, 10).
Nhưng vì lấy ít (10) từ một tập hợp
có số phần tử lớn (1000) nên ta có
thể coi X  B(n, p), với n = 10 và p
= 0,8
Xác suất cần tìm là P(X 8).
P(X 8) = P(X = 8) + P(X = 9)
+ P(X = 10) 28810 )2,0()8,0(C
)2,0()8,0(C 9910
10)8,0(
=
+ +
= 0,6778
Hãy tính xác suất trên bằng công
thức của phân phối siêu bội.
a- Định nghĩa:
Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X
nhận giá trị trong khoảng
(  được gọi là có phân phối
chuẩn nếu hàm mật độ xác suất
của nó có dạng:
IV- Phân phối Chuẩn
f(x) =
Nếu tiến hành khảo sát hàm này ta
thấy:
f(x) > 0 ( x)
Khi x thì f(x) .
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 
1
2 
e
(x - )2
2 2
f() =
  2
1
Đồ thị của hàm f(x) có dạng như
hình chuông, đối xứng qua
đường thẳng x = 
b- Các tham số đặc trưng
- Kỳ vọng toán:
Nếu đại lượng ngẫu nhiên X có
phân phối chuẩn với hàm mật độ
như trên thì : E(X) = 
- Phương sai:
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên
phân phối chuẩn với hàm mật độ
như trên thì : Var(X) = 2
Đại lượng ngẫu nhiên X có phân
phối chuẩn với kỳ vọng toán là 
và phương sai là 2 được ký hiệu
là: X  N(  2).
Phân phối chuẩn do nhà toán học
Đức Karl Gauss tìm ra nên còn
gọi là phân phối Gauss.
c- Phân phối chuẩn chính tắc
Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có
phân phối chuẩn với kỳ vọng toán
là  và phương sai là 2. Xét đại
lượng ngẫu nhiên:
Z =

 X
Đại lượng ngẫu nhiên Z nhận giá
trị trong khoảng (  ) được
gọi là có phân phối chuẩn chính
tắc nếu hàm mật độ xác suất của
Z có dạng:
f(z) = 1
2 
e
z2
2
Đồ thị của hàm f(z) cũng có dạng
hình chuông, đối xứng qua trục
tung. (hình vẽ)
Có thể chứng minh được rằng:
Nếu đại lượng ngẫu nhiên Z có
phân phối chuẩn chính tắc thì:
E(Z) = 0 và Var(Z) = 1
ĐLNN Z có phân phối chuẩn
chính tắc được ký hiệu là:
Z  N(0, 1)
d- Công thức tính xác suất:
ª Nếu X  N(, 2) thì :
P(a X b) =  
 x = (Hàm Laplace) f(z)dz
0
x
b -

a -
Trong đó: 
Đồ thị hàm Laplace
Giá trị hàm Laplace
0 x z
f(z)
(x)
Các giá trị của hàm (x) được tính
sẵn ở phụ lục 2. (Lý thuyết xác
suất và thống kê toán).
Chú ý:
(x) là hàm lẻ, do đó:
( x) = (x)
Trong bảng chỉ tính (x) với
x 4, với x > 4 thì hàm (x)
tăng rất chậm và nhận giá trị
rất gần 0,5. Do vậy ta lấy
(x) = 0,5 (x > 4).
(1,96) = 0,475; (2,33) = 0,4901
ª Nếu X  N( 2) thì :
P( ) = 2  X 


Thí dụ: Chiều cao của sinh viên ở
một trường Đại học là đại lượng
ngẫu nhiên phân phối theo qui luật
chuẩn với chiều cao trung bình 
= 160 cm và độ lệch tiêu chuẩn  =
5 cm. Tính tỷ lệ sinh viên có chiều
cao trong khoảng từ 150 cm đến
170 cm.
Giải:
Gọi X là chiều cao của sinh viên
trường này. Theo giả thiết thì: X
 N(160; 52)
Tỷ lệ sinh viên có chiều cao từ 155
đến 165 cm chính là:
P(155 X 165)
Tức tỷ lệ s/v có chiều cao từ 155 cm
đến 165 cm là 68,26%.
Minh họa hình học:
68,26%
X ~ B(n, p) nhưng n lớn, p không
quá gần 0 và không quá gần 1 thì
có thể coi X ~ N(np, npq).
e- Sự hội tụ của phân phối nhị
thức về phân phối chuẩn
Các công thức xấp xỉ:
P(X = x) = pxqn-x f(z)
(công thức địa phương Laplace)
Trong đó: 
z = ; f(z) = 
x
nC
npq
1
npq
npx 
)2/zexp(
2
1 2 
Khi n lớn, xác suất p không quá
gần 0 và không quá gần 1 thì ta có
thể dùng công thức xấp xỉ:
P(x X x+h) (x2) (x1)
(Công thức tích phân Laplace)
(x) =
(Hàm Laplace)
x1 = ; x2 =
X
0
2 dz)2/zexp(
2
1
npq
npx 
npq
nphx 
Thí dụ: Xác suất để một máy sản
xuất được sản phẩm loại A là 0,8.
Tìm xác suất để trong 400 sản
phẩm do máy sản xuất có:
a) 336 sản phẩm loại A
b) Số sản phẩm loại A trong
khoảng (304; 328)
Gọi X là số sản phẩm loại A có
trong 400 sản phẩm do máy sản
xuất. X  B(400, 0,8).
Vì n = 400 khá lớn, p = 0,8 không
quá gần 0 và không quá gần 1,
nên có thể áp dụng công thức địa
phương Laplace.
Giải:
)z(f
2,08,0400
1
)336X(P
 a)
2
2,08,0400
8,0400336
z 
054,0)2(f)z(f 
00675,0
8
054,0
8
)z(f
)336X(P 
b) Ta cần tính P(304 ≤ X ≤ 328)
Áp dụng công thức tích phân
Laplace, ta có:
P(304 ≤ X ≤ 328) (x2) - (x1)
Trong đó:
1
2,08,0400
8,0400328
x
2
2
2,08,0400
8,0400304
x
1
P(304 X 328) (1) - (-2)
= (1) + (2)
= 0,3413 + 0,4772
= 0,8185
TỔNG KẾT CHƯƠNG 3
pp
nhị
thức
pp
Poisson
pp
siêu
bội 
pp
chuẩn 
Bài toán tổng quát ĐN, đồ thị
 Công thức tính xác suất
 Các tham số đặc trưng 
Bài tập chương 3
3.9; 3.22; 3.23; 3.24; 3.25;
3.26; 3.29; 3.30; 3.31; 3.32;
3.38; 3.40.
Hết chương 3