Bài giảng Quy hoạch thực nghiệm - Chương 7: Qui hoạch Simplex

Chương 7
Qui hoạch Simplex
 Khái niệm chung
 Qui hoạch Simplex Lattice
 Qui hoạch Simplex Centroid
 Tối ưu hóa bằng phương pháp Sequential Simplex
7.1. Khái niệm chung
 Simplex là vùng khảo sát khi các yếu tố khảo sát bị 
ràng buộc bởi các điều kiện:
xi = const.
và xi 0 i = 1, 2, , q
 Simplex thường được sử dụng để khảo sát hỗn hợp với 
yếu tố khảo sát là thành phần các cấu tử. Trong trường 
hợp này các yếu tố không còn mang tính độc lập mà 
phụ thuộc nhau. Thành phần các cấu tử có thể biểu 
diển bằng phần trăm (%) khối lượng hay phân mol.
 Simplex bậc 2 cho hệ 2 cấu tử
 Simple bậc 3 cho hệ 3 cấu tử
 Simplex bậc 4 cho hệ 4 cấu tử
Tính chất của Simplex
 Simplex có tính modul, nghĩa là Simplex bậc cao được 
cấu tạo bởi các simplex bậc thấp. Thí dụ simplex tứ 
diện sẽ bao gồm các simplex tam giác, simplex đoạn 
thẳng và simplex điểm.
 Tổng số các simplex bậc thấp trong simplex bậc cao 
cho bởi công thức sau
là Simplex bậc 1 (1 cấu tử trong hệ q cấu tử)
simplex bậc 1 biểu diển bởi đỉnh của simplex
Tạo độ Simplex
 Điểm biểu diển thành phần 100% của cấu tử nằm ở 
đỉnh simplex
 Điểm biểu diển thành phần 0% của cấu tử nằm ở 
simplex con bậc q-1, đối diện với đỉnh simplex tương 
ứng. Thí dụ với hệ 3 cấu tử điểm biểu diển 100% cấu 
tử nằm ở đỉnh tam giác, điểm biểu diển 0% cấu tử nằm 
ở cạnh đối diện
 Hệ trục tọa độ simplex bậc 3
 Đối với hệ đa cấu tử qui hoạch thí nghiệm cho phép 
giảm thiểu đáng kể khối lượng thí nghiệm vì có thể xác 
định các tính chất của hệ từ các phương trình hồi qui.
 Bề mặt đáp ứng của hệ đa cấu tử rất phức tạp. Scheffe 
đề xuất mô tả tính chất của hỗn hợp theo đa thức rút 
gọn. 
Xét trường hợp hệ 3 cấu tử.
Dạng tổng quát của đa thức:
Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b11x1
2
+ b22x2
2 + b33x3
2
Hệ 3 cấu tử
Dạng tổng quát của đa thức bậc 2:
Y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b12x1x2 + b13x1x3 + b23x2x3 + b11x1
2
+ b22x2
2 + b33x3
2
Vì 1 = x1 + x2 + x3
b0 = b0x1 + b0x2 + b0x3
x1
2 = x1 – x1x2 – x1x3
x2
2 = x2 – x1x2 – x2x3
x3
2 = x3 – x1x3 – x2x3
Thay thế và thu gọn ta được
Y = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 12x1x2 + 13x1x3 + 23x2x3
Với: i = b0 + bi + bii
ij = bij – bii – bji
Tổng quát
 Đa thức bậc 2 cho hệ q cấu tử
 Đa thức bậc 3 cho hệ q cấu tử
 Không đầy đủ:
 Đầy đủ
 
qi qi
jiijii XXXY
1 1

  
qi qji
kj
qkji
iijk
qji
jijiijjiijii XXXXXXXXXXY
1 1 11
)( 
  
qi qji
kj
qkji
iijkjiijii XXXXXXY
1 1 1

 Đa thức bậc 4 cho hệ q cấu tử
 
 
  
qkji qlkji
lkjiijklkjiijkk
qkji qkji
kjiijjkkjiiijk
qji
jijiij
qi qji qji
jijiijjiijii
XXXXXXX
XXXXXXXXXX
XXXXXXXY
1 1
2
1 1
22
1
1 1 1
)(
)(



 Việc xác định các hệ số trong phương trình rút gon 
Scheffe rất phức tạp nên để phân tích qui hoạch 
Simplex người ta thường dùng các phần mềm phân 
tích thống kê như JMP, Design Expert, Minitab
 Các phần mềm này hỗ trợ việc tính toán khi có thí 
nghiệm lập để xác định sai số thí nghiệm
 Phần mềm JMP cho thí nghiệm lập toàn bộ qui hoạch
 Phần mềm Design Expert chỉ cho phép qui hoạch thí nghiệm 
lập tại các đỉnh simplex
 Phần mềm MiniTab cho phép người sử dụng chọn các điểm 
làm thí nghiệm lập
7.2. Qui hoạch Simplex Lattice
 Các điểm thí nghiệm phân bố trên khắp simplex (mạng 
simplex)
 Với hệ q cấu tử, mạng simplex bậc m được ký hiệu là 
{q, m}
 Đối với mô hình bậc m, thành phần của mỗi cấu tử sẽ 
có các giá trị như sau
1,...,
2
,
1
,0
mm
xi 
 Thí dụ mạng Simplex {4,2} có các điểm
hay 
 Mạng Simplex {3,3}
Đặc điểm của qui hoạch mạng Simplex
 Số điểm khảo sát trong qui hoạch mạng Simplex 
{q,m} sẽ bằng số hệ số trong đa thức rút gọn Scheffe 
của hệ q cấu tử bậc m. Qui hoạch Scheffe bậc m 
thường được gọi là qui hoạch Scheffe {q,m}. Đây là 
qui hoạch bảo hòa nên không cho phép đánh giá được 
độ tương thích
 Với qui hoạch m < q: các hỗn hợp khảo sát sẽ có tối đa m cấu 
tử, không có hỗn hợp chứa đầy đủ cấu tử
 Với qui hoạch m= q: có một hỗn hợp khảo sát chứa đầy đủ các 
cấu tử
 Với qui hoạch m > q: có trên một hỗn hợp khảo sát chứa đầy 
đủ các cấu tử
 Các loại điểm khảo sát trong qui hoạch mạng Simplex
q m
Hổn hợp
Tổng số
1 2 3 4
3
2
3
4
3
3
3
3
6
9
.
1
3
.
.
.
6
10
15
4
2
3
4
4
4
4
6
12
18
.
4
12
.
.
1
10
20
35
5
2
3
4
5
5
5
10
20
30
.
10
30
.
.
5
15
30
70
6
2
3
4
6
6
6
15
30
45
.
20
60
.
.
15
21
56
126
 Trong bảng qui hoạch trên cho thấy qui hoạch mạng 
Simplex rất ít hỗn hợp có đầy đủ các cấu tử. Các điểm 
khảo sát tập trung vào các simplex bậc thấp.Vì vậy các 
thông tin thu thập được sẽ tập trung ở biên của qui 
hoạch.
 Qui hoạch Scheffe {q,m} thường cải tiến để khắc phục 
tính chất bảo hòa và thông tin tập trung ở biên bằng 
cách tăng cường khảo sát q+1 hỗn hợp đầy đủ cấu tử. 
Một trong các điểm tăng cường là tâm của simplex. 
Các điểm còn lại nằm giữa tâm simplex và đỉnh 
simplex. 
 Qui hoạch Scheffe {3,2} tăng cường
 Qui hoạch {q,2} thêm q+1 độ tự do cho phép đánh giá 
độ tương thích của mô hình
 Việc chọn lựa qui hoạch tùy thuộc mô hình mong 
muốn cho đáp ứng. Xét 2 qui hoạch mạng Simplex 
{3,3} và mạng Simplex tăng cường {3,2}. 
Qui hoạch {3,3} hỗ trợ mô hình có các thừa số
Qui hoạch {3,2} hỗ trợ cho mô hình
 Qui hoạch mạng Simplex {3,3} và mạng Simplex tăng 
cường{3,2}
2.3. Qui hoạch Simplex Centroid
 Đối với hệ q cấu tử chỉ có 1 qui hoạch tâm Simplex
 Qui hoạch bao gồm tất cả các hỗn hợp có thành phần 
nằm ở (trọng) tâm các simplex con trong simplex, bao 
gồm:
 Tất cả các đỉnh simplex biểu diển 1 cấu tử (1,0,0..,0),
 Tất cả các điểm giữa cạnh simplex biểu diển hệ 2 cấu tử 
(1/2,1/2,0,0,,0), 
 Tất cả các điểm giữa cạnh simplex biểu diển hệ 3 cấu tử 
(1/3,1/3,1/3,0,,0), 
 
 Điểm tâm của Simplex biểu diển hệ q cấu tử (1/q, 1/q, , 1/q)
 Số điểm biểu diển của qui hoạch tâm Simplex đầy đủ 
là
 Số điểm khảo sát tăng rất nhanh theo q. Do đó số thí 
nghiệm sẽ rất lớn so với số hệ số của phương trình hồi 
qui cần xác định. Với mô hình bậc 2 cho hệ 6 cấu tử 
theo Scheffe thì có 21 hệ số trong khi qui hoạch tâm 
Simplex đầy đủ có tới 63 điểm. Cũng cần lưu ý các 
thừa số xixj(xi-xj) cũng như thừa số xixj(xi-xj)
2 trong 
mô hình Scheffe bằng zero trong qui hoạch tâm 
Simplex.
 Người ta thường sử dụng mô hình đa thức đặc biệt có 
cùng số hệ số như qui hoạch tâm Simplex.
 Đôi khi người ta sử dụng qui hoạch tâm Simplex từng 
phần ở mức độ p, nghĩa là chỉ triển khai đến tập hợp 
q/p. Thí dụ qui hoạch Simplex tâm {4,2} và {3,3}
  
qi qji
qqkj
qkji
iijkjiijii XXXXXXXXXY
1 1
21...12
1
....... 
So sánh qui hoạch mạng Simplex và tâm Simplex
Lấy trường hợp hệ 3 cấu tử, với 10 thí nghiệm
 Qui hoạch mạng Simplex {3,3}
 Qui hoạch tâm Simplex gồm 3 đỉnh simplex, tâm 
simplex và 3 điểm tăng cường
)0,0,1(
)3/2,0,3/1(
)3/1,0,3/2(
)0,3/1,3/2(
)0,3/2,3/1(
)3/2,3/1,0()3/1,3/2,0( )1,0,0()0,1,0(
)3/1,3/1,3/1(
)5.0,0,5.0(
)0,5.0,5.0(
)1,0,0()5.0,5.0,0(
)5.0,0,5.0(
)0,1,0(
)3/1,3/1,3/1(
)6/1,6/1,3/2(
)3/2,6/1,6/1()6/1,3/2,6/1(
Mô hình
 Qui hoạch mạng Simplex hỗ trợ mô hình
3 thừa số sau cùng cho phép khảo sát dạng bề mặt đáp 
ứng bậc cao hơn 2 của hệ 2 cấu tử 
)()()( 323223313113212112
221123322331132112332211
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxy


 Qui hoạch tâm Simplex hỗ trợ mô hình
Mô hình cho phép khảo sát độ cong của bề mặt đáp 
ứng bên trong tam giác (hỗn hợp có đầy đủ 3 cấu tử). 
Điều này qui hoạch mạng Simplex không làm được 
2
32112333
2
21122332
2
11123
322331132112332211
xxxxxxxxx
xxxxxxxxxy


Phân bố thông tin trong vùng khảo sát
 Qui hoạch mạng Simplex cho nhiều thông tin bề mặ 
đáp ứng của hệ 2 cấu tử
 Qui hoạch tâm Simplex phân bố thông tin đều hơn bên 
trong vùng qui hoạch
7.4. Tối ưu hóa bằng Simplex
 Phương pháp Simplex trong tối ưu hóa là một quá 
trình phát triển (Evolutionary Process - EVOP) trong 
đó quá trình lập lại thí nghiệm dựa trên kết quả thí 
nghiệm trước.
 Trong quá trình lập lại tất cả các yếu tố đều thay đổi giá trị
 Không có sự lồng vào nhau của các vòng lập. Điều này đưa tới 
số thí nghiệm tăng chậm theo số yếu tố
 Số thí nghiệm thường bằng 5 – 10 lần số yếu tố
Số yếu tố Squential Simplex Single Factor
2 6 – 12 4 – 9 
4 20 – 30 16 – 81 
8 70 – 100 256 – 6561 
16 120 – 160 60000+
Nguyên tắc tiến hành
 Tất cả các yếu tố thay đổi trong quá trình lập lại
 Điểm có đáp ứng xấu nhất được thay thế bằng điểm 
chiếu trực tiếp theo gradien của bề mặt đáp ứng.
 Có 2 cách tiến hành
 Bước cố định: bước phát triển theo gradien bề mặt đáp ứng 
với khoảng cách cố định. Sử dụng tốt nhất khi cần kiểm soát 
tối đa toàn vùng khảo sát
 Bước thay đổi: Cho phép leo nhanh trên bề mặt đáp ứng. Gần 
vùng cực trị thì thu nhỏ bước.
 Sequential Simplex bước cố định
 Sequential Simplex bước thay đổi
 Simplex bước cố định với độ dài bước khác nhau
Giải thuật simplex bước cố định
1. Sắp các đỉnh của simpplex vào bảng tính theo thứ tự 
giảm dần của đáp ứng. Đặt đỉnh có đáp ứng thấp nhất 
vào cột W
2. Tính và ước lượng R
3. Không bao giờ chuyển cột W sang bảng tính mới. 
Chuyển cột N sang cột W ở bảng tính mới. Trở về 1
 Bảng tính Simplex
Thí dụ khảo sát hệ 2 cấu tử. Xuất phát điểm với 3 thí 
nghiệm cho kết quả như sau
TN X1 X2 Đáp ứng
1 10.00 10.00 1.32
2 39.98 17.76 5.63
3 17.76 39.98 10.47
 Vòng quay #1
 Vòng quay #2
 Vòng quay #3
 Vòng quay #4
 Vòng quay #5
 Vòng quay #6
 Tổng kết
Giải thuật simplex bước thay đổi
1. Sắp các đỉnh của simpplex vào bảng tính theo thứ tự 
giảm dần của đáp ứng. Đặt đỉnh có đáp ứng thấp nhất 
vào cột W
2. Tính và ước lượng R
 Nếu N R P: sử dụng simplex B..NR. Chuyển tới 3
 Nếu R > B, tính E
 Nếu E B: sử dụng simplex B..NE. Chuyển đến 3
 Nếu E < B: sử dụng simplex B..NR. Chuyển đến 3
 Nếu R < N
 Nếu R W: tính CR, dùng simplex R..NCR, chuyển đến 3
 Nếu R < W: tính CW, dùng simplex B..NC
W, chuyển đến 3
3. Không bao giờ chuyển cột W sang bảng tính mới. 
Chuyển cột N sang cột W ở bảng tính mới. Trở về 1
 Bản tính Simplex bước thay đổi
Kết luận
 Phương pháp tối ưu hóa Simplex có thể sử dụng để tối 
ưu nhiều yếu tố, nhằm giảm số thí nghiệm cần thiết
 Giải thuật simplex là một quá trình phát triển dựa trên 
kết quả trước để cải thiện thí nghiện kế tiếp
 Sequential Simplex được sử dụng nhiều trong công 
nghiệp