Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê - Chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều. Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên

Chương IV
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 
HAI CHIỀU -
HÀM CỦA CÁC ĐLNN
I- Khái niệm về đại lượng ngẫu
nhiên hai chiều
Những đại lượng ngẫu nhiên mà
các giá trị nó có thể nhận biểu thị
bằng một số được gọi là đại lượng
ngẫu nhiên một chiều.
Ngoài những đại lượng ngẫu nhiên
một chiều, trong thực tế ta còn gặp
những đại lượng ngẫu nhiên mà
các giá trị nó có thể nhận được biểu
thị bằng 2, hoặc 3, . . . , hoặc n số.
Những đại lượng ngẫu nhiên mà
các giá trị nó có thể nhận là những
véc tơ 2 chiều được gọi là đại lượng
ngẫu nhiên 2 chiều.
Tổng quát: Những đại lượng ngẫu
nhiên mà các giá trị nó có thể
nhận là một véc tơ n chiều được
gọi là đại lượng ngẫu nhiên n
chiều.
Ký hiệu đại lượng ngẫu nhiên 2
chiều là (X, Y). Trong đó X và Y
được gọi là các thành phần của
ĐLNN 2 chiều.
Cả hai đại lượng ngẫu nhiên X và
Y được xét một cách đồng thời tạo
nên ĐLNN 2 chiều.
Tương tự n đại lượng ngẫu nhiên
được xét một cách đồng thời tạo
nên đại lượng ngẫu nhiên n chiều
Thí dụ: Khi khảo sát các siêu thị,
nếu ta quan tâm đến doanh số bán
(X1) và lượng vốn (X2) ta sẽ có đại
lượng ngẫu nhiên hai chiều
(X1, X2). Còn nếu quan tâm cả chi
phí quảng cáo (X3) thì ta sẽ có
đ.l.n.n 3 chiều (X1, X2, X3).
Trong thực tế người ta cũng phân
chia đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều
thành hai loại: rời rạc và liên tục.
Các đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều
được gọi là rời rạc nếu các thành
phần của nó là các ĐLNN rời rạc.
Các đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều
được gọi là liên tục nếu các thành
phần của nó là các đại lượng ngẫu
nhiên liên tục.
II- Phân phối xác suất của đại
lượng ngẫu nhiên hai chiều
Đối với đại lượng ngẫu nhiên hai
chiều người ta cũng dùng bảng
phân phối xác suất hoặc hàm
phân phối xác suất hoặc hàm mật
độ xác suất để thiết lập phân phối
xác suất của chúng.
1- Bảng phân phối xác suất của
đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều
Bảng phân phối xác suất của đại
lượng ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc
có dạng:
Y
X
y1 y2
ym
x2
x1
xn
p12p11 p1m
p21 p22 p2m
pn1 pn2 pnm
Trong đó:
xi (i = 1, 2, . . . , n) là các giá trị có
thể nhận của thành phần X
yj (j = 1, 2, . . . , m) là các giá trị
có thể nhận của thành phần Y
pij (i = 1, 2, . . . n; j = 1, 2, . . . , m)
là xác suất để đại lượng ngẫu
nhiên 2 chiều (X, Y) nhận giá trị
(xi, yj)
Ta luôn có: 
n
1i
m
1j
ji
1p
Biết được phân phối xác suất của
đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều ta
có thể tìm được bảng phân phối
xác suất của các thành phần.
Bảng phân phối xác suất của thành
phần X có dạng:
X x1 x2 . . . xn
PX p1 p2 . . . pn

m
1j
iji pp
Trong đó:
Từ bảng phân phối xác suất của X
với các công thức ở chương 2 ta có
thể tính được E(X), Var(X),
Mod(X), . . .
Tương tự ta có bảng phân phối
xác suất của thành phần Y có
dạng:
Y y1 y2 . . . ym
PY q1 q2 . . . qm
Trong đó: 
n
1i
ijj pq
Từ bảng phân phối xác suất của Y
ta cũng có thể tính được E(Y),
Var(Y), Mod(Y).
Thí dụ: Cho biết bảng phân phối
xác suất của ĐLNN 2 chiều (X, Y),
trong đó X là doanh thu và Y là chi
phí quảng cáo của các công ty tư
nhân kinh doanh cùng một mặt
hàng như sau: (đơn vị tính của X
và Y đều là triệu đồng/tháng).
X
Y 100 150 200
0
1
2
0,1 0,05 0,05
0,05
0,1
0,2
0,3
0,15
0
Từ bảng phân phối xác suất của
(X, Y) ở trên, ta có:
ª Bảng phân phối xác suất của X:
X 100 150 200
PX 0,15 0,35 0,5
Từ đó ta dễ dàng tính được:
E(X) = 100 0,15 + 150 0,35
+ 200 0,5 = 167,5
Tức doanh thu trung bình của một
công ty tư nhân là 167,5 triệu
đ/tháng.
E(X2) = 1002 0,15 + 1502 0,35
+ 2002 0,5 = 29375
Var(X) = E(X2) E(X)2
= 29375 (167,5)2 = 1318,75
 (X) = 3146,3675,1318 
Tức là mức chênh lệch trung bình
về doanh thu của các công ty vào
khoảng 36,3 triệu đồng/tháng.
ª Bảng phân phối xác suất của Y:
Y 0 1 2
PY 0,2 0,4 0,4
E(Y) = 0 0,2 + 1 0,4 + 2 0,4
= 1,2
Tức chi phí quảng cáo trung bình
của một công ty tư nhân là 1,2
triệu đ/tháng.
Var(Y) = E(Y2) E(Y)2
= 2 (1,2)2 = 0,56
 (Y) = = 0,7483356,0
Tức là mức chênh lệch trung
bình về chi phí quảng cáo của
các công ty vào khoảng 0,748
triệu đồng/tháng.
(đọc giáo trình)
2- Hàm mật độ xác suất của đại
lượng ngẫu nhiên hai chiều liên
tục
(đọc giáo trình)
III- Các tham số đặc trưng của
đại lượng ngẫu nhiên hai chiều
3- Hàm phân phối xác suất của
đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều
Hiệp phương sai của hai đại lượng
ngẫu nhiên X và Y, ký hiệu là:
cov(X, Y), được định nghĩa:
    )Y(EY.)X(EXE)Y,Xcov( 
)Y(E)X(E)XY(E =
1- Hiệp phương sai:
Nếu (X, Y) là đại lượng ngẫu nhiên
2 chiều rời rạc thì:

n
1i
m
1j
ijji )Y(E)X(Epyx)Y,Xcov(
Neáu (X, Y) laø ñaïi löôïng
ngaãu nhieân 2 chieàu lieân tuïc
thì:
 )Y(E)X(Edxdy)y,x(xyf)Y,Xcov(
Nếu X, Y là hai đại lượng ngẫu
nhiên độc lập thì: cov(X, Y) = 0
Nếu cov(X, Y) = 0 thì X và Y không
tương quan, ngược lại, nếu cov(X,
Y) 0 thì X và Y có tương quan,
khi đó X, Y là hai biến ngẫu nhiên
không độc lập.
cov(X, X) = var(X);
cov(X, Y) = cov(Y, X)
2- Hệ số tương quan
Hệ số tương quan, ký hiệu là XY,
được định nghĩa như sau:
YX
XY
)Y,Xcov(

trong đó:
tương ứng là độ lệch
chuẩn của X và Y
YX ;
Có thể chứng minh:
1XY 
 )Y,Xcov(ab2)Yvar(b)Xvar(abYaXvar 22 
IV- Phân phối xác suất có điều
kiện và kỳ vọng toán có điều kiện
Thí dụ: Cho biết bảng phân phối
xác suất của ĐLNN 2 chiều
(X, Y), trong đó X là doanh thu, Y
là chi phí quảng cáo của các công
ty tư nhân.
(đơn vị tính của X & Y là triệu
đồng/tháng). Tìm phân phối xác
suất của X (doanh thu) với điều
kiện Y = 1
Y 100 150 200 PY
0 0,1 0,05 0,05 0,2
1 0,05 0,2 0,15 0,4
2 0 0,1 0,3 0,4
PX 0,15 0,35 0,5 1
X
Các giá trị X có thể nhận: 100; 150; 200
Tính tương tự ta được:
 
125,0
4,0
05,0
)1Y(P
)1Y)(100X(P
)1Y/100X(P
5,0
4,0
2,0
)1Y/150X(P 
375,0
4,0
15,0
)1Y/200X(P 
Vậy phân phối có điều kiện của X
(điều kiện là Y= 1) như sau:
X 100 150 200
PX/Y= 1 0,125 0,5 0,375
Từ bảng phân phối xác suất có điều
kiện ở trên, ta tính được kỳ vọng
toán có điều kiện:
E(X/Y= 1) = 100 0,125 
+ 150 0,5 + 200 0,375 = 162,5
Tức doanh thu trung bình của
những công ty có chi phí quảng
cáo 1 triệu đ/tháng là 162,5 triệu
đồng/tháng.
Tính tương tự ta được:
Phân phối có điều kiện của X (điều
kiện là Y= 2) như sau:
X 150 200
PX/Y= 2 0,25 0,75
E(X/Y= 2) = 150 0,25 + 200 0,75 
= 187,5
Kết quả này cho biết doanh thu trung
bình của những công ty có chi phí
quảng cáo ở mức 2 triệu đ/tháng là
187,5 triệu đồng/tháng.
 Hiệp phương sai của (X, Y):
 
i j
ijji )Y(E).X(Epyxcov(X, Y) =
= 100 0 0,1 + 150 0 0,05 + 
. . . + 200 2 0,3 167,5 1,2 
= 215 201 = 14
 Hệ số tương quan giữa 2 biến X
và Y:
7483,03146,36
14)Y,Xcov(
YX
XY

= 0,5153
Nếu với mỗi giá trị có thể có của
đại lượng ngẫu nhiên X, qua hàm
f(X), ta xác định được một giá trị
của đại lượng ngẫu nhiên Y thì Y
được gọi là hàm của đại lượng
ngẫu nhiên X:
Y = f(X)
a- Trường hợp X là đại lượng
ngẫu nhiên rời rạc và ứng một
giá trị của X ta có một giá trị
của Y
Thí dụ 1: Đại lượng ngẫu nhiên X
có bảng phân phối xác suất như
sau:
X 2 3 4
P 0,3 0,5 0,2
Tìm phân phối xác suất của Y
Y = 2X + 5
Giải:
Các giá trị mà Y có thể nhận là:
y1 = 2 2 + 5 = 9 
y2 = 3 2 + 5 = 11 
y3 = 4 2 + 5 = 13 
P(Y= 9) = P(X= 2) = 0,3
P(Y= 11) = P(X= 3) = 0,5
P(Y= 13) = P(X= 4) = 0,2
Phân phối xác suất của Y:
Y 9 11 13
P 0,3 0,5 0,2
b- Nếu tương ứng với hai giá trị
của X ta có một giá trị của Y
Tìm phân phối xác suất của Y:
Y = X2 + 3
X -2 1 2
P 0,1 0,4 0,5
Thí dụ 2:
Đại lượng ngẫu nhiên X có bảng
phân phối xác suất như sau:
Khi X = 2 thì Y= ( 2)2 + 3 = 7
Khi X = 1 thì Y= 12 + 3 = 4
Khi X = 2 thì Y= 22 + 3 = 7
Giải:
(Y= 7) = (X= 2)  (X= 2)
P(Y= 7) = P(X= 2) + P(X= 2) = 0,6
P(Y = 4) = P(X = 1) = 0,4
Vậy phân phối xác suất của Y như
sau: 
Y 4 7
P 0,4 0,6
Nếu ứng với mỗi giá trị của ĐLNN
2 chiều (X, Z), qua hàm (X, Z) ta
xác định được một giá trị của Y thì
Y được gọi là hàm của 2 ĐLNN X
và Z.
Y = (X, Z)
Nếu biết được phân phối xác suất
của X và Z, ta có thể tìm được
phân phối xác suất của Y.
Thí dụ: Xác suất để máy thứ nhất sản
xuất được sản phẩm loại A là 0,8; Xác
suất này đối với máy thứ hai là 0, 7;
Cho máy thứ nhất sản suất 3 sản
phẩm và máy thứ hai sản xuất 1 sản
phẩm. Tìm phân phối xác suất của số
sản phẩm loại A có trong 4 sản phẩm
do hai máy sản xuất ?
Gọi X là số sản phẩm loại A có trong
3 sản phẩm do máy thứ nhất sản
xuất. X  B(3; 0,8). Bảng phân phối
xác suất của X như sau:
Giải:
X 0 1 2 3
P 0,008 0,096 0,384 0,512
Gọi Z là số sản phẩm loại A có
trong 1 sản phẩm do máy thứ hai
sản xuất. Z  B(1; 0,7)
Bảng phân phối xác suất của Z
như sau:
Z 0 1
P 0,3 0,7
Gọi Y là số sản phẩm loại A có
trong 4 sản phẩm do hai máy sản
xuất thì:
Y = X + Z
Để tìm các giá trị mà Y có thể
nhận và tính các xác suất tương
ứng ta lập bảng như sau:
X
Z
0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 4
P(Y = 0) = P(X = 0)P(Z = 0) 
= 0,008 * 0,3 = 0,0024
P(Y = 1) = P(X = 0)P(Z = 1)
+ P(X = 1)P(Z = 0)
= 0,008 * 0,7 + 0,096 * 0,3 = 0,0344
P(Y = 2) = 0,384* 0,3 + 0,096 * 0,7
= 0,1824
Tính tương tự, ta được:
P(Y = 3) = 0,384 *0,7 + 0,512 *0,3
= 0,4224
P(Y = 4) = 0,512 * 0,7 = 0,3584
Phân phối xác suất của Y như sau:
Y 0 1 2 3 4
P 0,0024 0,0344 0,1824 0,4224 0,3584
Tổng kết chương 4
ĐLNN 
2 chiều
Hàm của 
các ĐLNN
 ĐN, phân loại.
 Bảng pp xs
 Các tham số
 Khái niệm
 Hàm của 1 ĐLNN
 Hàm của 2 ĐLNN
Bài tập
4.6; 4.8; 4.13; 4.18;
4.19; 4.20;
Hết chương 4