Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 3: Các quy luật phân phối xác suất thông dụng - Phạm Trí Cao

ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
1
1
CHƯƠNG 3: 
CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI 
XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
Dùng trong Kinh tế
2
Trong cuộc sống có những “điều/ cái” tuân theo một
quy luật nào đó, hoặc không có quy luật. Có quy luật
chúng ta biết, nhưng cũng có quy luật mà chúng ta chưa
biết. Những cái mà ta biết quy luật chỉ chiếm số lượng
nhỏ nhoi so với vô số những cái mà chúng ta chưa biết.
Vậy tình yêu có quy luật không? Người nói có (cho
rằng quy luật muôn đời của tình yêu là giận hờn, đau
khổ, bị ngăn cấm,... rồi mới được hạnh phúc. Y như
phim!), người nói không (cho rằng hể thấy thích nhau,
hợp nhãn..., và còn vì điều gì nữa thì chỉ ctmb, là yêu.
Không cần biết “sẽ ra sao ngày sau”. Thí dụ như cô gái
20 lấy ông già 60, hay chàng trai 26 lấy bà già 62,
hay “chát chít” gặp nhau trên mạng,.... Y như kịch!).
3

 Ở đây ta chỉ nghiên cứu 1 số quy luật phân
phối xác suất thông dụng (được ứng dụng
nhiều trong Kinh tế), và ta có thể định lượng
nó được. Không nghiên cứu về “tình yêu”, và
càng không lý thuyết suông.
4
Các quy luật thông dụng sẽ học:
 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

 Quy luật pp siêu bội

 Quy luật pp nhị thức

 Quy luật pp Poisson
 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục

 Quy luật pp chuẩn (chuẩn tắc)

 Quy luật pp mũ

 Quy luật pp Chi bình phương (không bài tập)

 Quy luật pp Student (không bài tập)
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
2
5

 I) QUY LUẬT PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

 VD:

 Hộp có 10 bi, trong đó có 4 bi T. Lấy ngẫu nhiên 3
bi từ hộp.

 Tính xác suất lấy được 2 bi T?

 Giải:

 Gọi X = số bi T lấy được (trong 3 bi lấy ra).

 P(X=2) = C(2,4)*C(1,6) / C(3,10)

 Nhận xét gì từ thí dụ này?
6

 Tổng quát:

 Ta có 1 tập hợp có N phần tử, trong đó có K phần
tử có tính chất A quan tâm. Lấy ngẫu nhiên n phần
tử từ tập.

 Tính xác suất có k phần tử có tính chất A trong n
phần tử lấy ra?

 Giải:

 Gọi X= số phần tử có tính chất A trong n phần tử
lấy ra.

 P(X=k) = C(k,K)*C(n-k,N-K) / C(n,N)

 Lúc đó X gọi là có quy luật pp siêu bội.
Ký hiệu XH(N,K,n)
7
Sơ đồ 
n k 
N-K 
 A* 
K 
 A 
N 
8

 Tính chất: XH(N,K,n)
 E(X)= np , với p= K/N
 Var(X)= npq (N-n)/(N-1)
(không cần biết bảng ppxs của X)

 (N-n)/(N-1) gọi là hệ số hiệu chỉnh.

 VD: Ở VD trên thì N= 10, K= 4, tính chất A quan tâm là
lấy được bi T. Với n= 3, k= 2. XH(10,4,3).

 Câu hỏi:

 1) Tính số bi T lấy được trung bình?

 2) Tính phương sai của số bi T lấy được?

 Giải:

 1) p= K/N= 4/10

 E(X)= np = 3(4/10) = 12/10

 2) q= 1-p = 6/10

 Var(X) = npq (N-n)/(N-1) = 3(4/10)(6/10) (10-3)/(10-1)
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
3
 VD: Hộp có 5 bi Trắng, 4 bi Vàng, 3 bi Đỏ, 2
bi Cam. Lấy ngẫu nhiên 6 bi từ hộp. Tính xác
suất lấy được 4 bi T?
 HD:
X= số bi T lấy được trong 6 bi lấy ra.
X~H(14,5,6)
P(X=4)= C(4,5).C(2,9) / C(6,14)
9
PHÂN PHỐI SIÊU BỘI VỚI EXCEL
10
CHUYỂN KẾT QUẢ VỀ DẠNG PHÂN SỐ
Chọn các ô cần chuyển. Chuột phải. Chọn Format Cells
11
KẾT QUẢ DẠNG PHÂN SỐ
12
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
4
13
 Vậy quy luật phân phối siêu bội là 1 cái gì đó rất
gần gũi, thân thương với chúng ta. Đó là bài
toán “bốc bi từ hộp”. Ở chương 2, ta chưa biết
quy luật pp siêu bội thì ta vẫn làm “đàng hoàng”
đấy thôi. Tuy nhiên ta thấy nó tuân theo 1 quy
luật ppxs nào đó, và ta cụ thể nó thành quy luật
siêu bội.
 Đó chính là “Hãy đặt tên cho em, hãy cho em
một danh phận” (Thuyết “Chính Danh” của
Khổng Tử).
14
II) QUY LUẬT PP NHỊ THỨC
 VD1:
 Tung 1 con xúc xắc 3 lần.
 Gọi X= số lần xuất hiện mặt 1 trong 3 lần tung
 Lập bảng ppxs cho X?
15
Giải VD1: 
Gọi Ai = bc lần tung thứ i được mặt 1, i= 1,3 
p= P(Ai) = 1/6 , q = 1-p = P(Ai*) = 5/6 
P(X=0) = P(A1*A2*A3*) = P(A1*)P(A2*)P(A3*) 
 = (5/6)(5/6)(5/6) = C(0,3) p0q3-0 
P(X=1) = P(A1)P(A2*)P(A3*)+ P(A1*)P(A2)P(A3*) 
 +P(A1*)P(A2*)P(A3) 
 = (1/6)(5/6)(5/6) + (5/6)(1/6)(5/6) + (5/6)(5/6)(1/6) 
 = 3(1/6)(5/6)(5/6) = C(1,3)p1q3-1 
P(X=2) = P(A1)P(A2)P(A3*)+ P(A1)P(A2*)P(A3) 
 + P(A1*)P(A2)P(A3) 
 = (1/6)(1/6)(5/6)+ (1/6)(5/6)(1/6)+ (5/6)(1/6)(1/6) 
 = 3(1/6)(1/6)(5/6) = C(2,3)p2q3-2 
P(X=3) = P(A1)P(A2)P(A3) 
 = (1/6)(1/6)(1/6) = C(3,3) p3q3-3 
Nhận xét gì? 
16
Nhận xét: 
Ta thấy mỗi lần tung 1 con xúc xắc thì khả năng được mặt 1 
là p= 1/6, khả năng được các mặt còn lại là q= 5/6. 
Ta tung 3 lần con xúc xắc. 
* Muốn cho (X=0) trong 3 lần tung ta chọn ra 0 lần được mặt 
1, tức là chọn C(0,3) lần được mặt 1 trong 3 lần tung. Xác 
suất được mặt 1 trong mỗi lần tung là p. Vậy xs không được 
mặt 1 trong 3 lần tung là P(X=0) = C(0,3) p0q3-0. 
* Muốn cho (X=1) trong 3 lần tung ta chọn ra 1 lần được mặt 
1, có C(1,3) cách chọn. Mỗi cách chọn thì xs được một lần 
mặt 1 trong 3 lần tung là p1q3-1. Vậy P(X=1) = C(1,3) p1q3-1. 
* Tương tự cho (X=2) , (X=3). 
Lúc đó ta nói X có quy luật phân phối nhị thức. 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
5
17
 Nhận xét:
 Phép thử của ta là tung 1 con xúc xắc.
 Ta thấy các lần tung là độc lập nhau, có nghĩa là kết
quả ở các lần tung không ảnh hưởng lẫn nhau.
 Ở mỗi lần tung thì ta quan tâm đến việc có được mặt
1 hay không - biến cố A quan tâm, và xác suất của A
là không đổi qua các lần tung và bằng p.
18
Tổng quát: 
* Ta thực hiện phép thử T n lần, ký hiệu là T1, T2,...Tn. 
Mỗi lần thực hiện T ta quan tâm bc A có xảy ra hay không. 
* Các T1, T2,...Tn gọi là dãy phép thử độc lập nếu kết quả 
xảy ra ở các lần thử không ảnh hưởng lẫn nhau. 
* Xác suất p = P(A) là cố định qua các lần thử. 
Gọi: X= số lần biến cố A xảy ra trong n lần thử. 
Thì X có quy luật phân phối nhị thức, ký hiệu XB(n,p). 
Xác suất X nhận giá trị k (có k lần biến cố A xảy ra trong n 
lần thử) là: 
 P(X= k) = C(k,n) pk qn-k , với q = 1-p 
19
VD1: Với VD ở bài trên thì XB(3, 1/6). 
Tính chất: XB(n,p) 
E(X)= np 
Var(X)= npq 
np-q mod(X) np+p 
 (không cần biết bảng pp của X) 
VD1: 
Xác định E(X), var(X), mod(X)? 
Giải VD1: 
XB(3, 1/6) 
E(X)= 3(1/6) = 3/6 , var(X) = 3(1/6)(5/6) 
(3/6)-(5/6) mod(X) (3/6)+(1/6) -2/6 mod(X) 4/6 
 mod(X)= 0 (Lưu ý X có các giá trị 0, 1, 2, 3) 
20
Lưu ý quan trọng: 
Quy luật phân phối nhị thức rất dễ áp dụng! nhưng điều 
khiến cho sinh viên thường làm sai là: 
- Không phân biệt được là các phép thử có độc lập không 
- Không biết P(A) có cố định không. 
VD2: 
Có 3 máy thuộc 3 đời (version) khác nhau. Cho mỗi máy 
sản xuất ra 1 sản phẩm. Tỷ lệ sản phẩm tốt do từng máy 
sản xuất lần lượt là 0,7 ; 0,8 ; 0,9. 
Tính xác suất trong 3 sản phẩm sản xuất ra thì có 2 sản 
phẩm tốt? 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
6
21
Giải VD2: 
Ta không thể áp dụng quy luật pp nhị thức cho bài toán này, tại 
sao? Cmkb! 
Nếu ta không biết quy luật ppxs thì sao, không lẻ botay.com à!? 
Ta hãy trở về một cách làm gần gũi và cơ bản nhất là: đặt biến 
cố, xác định giá trị của X thông qua các biến cố. 
Gọi X= số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm. 
Đặt Ai= bc máy i sản xuất ra sản phẩm tốt. 
P(X=2) = P(A1A2A3*)+P(A1A2*A3)+ P(A1*A2A3) 
= P(A1)P(A2)P(A3*)+ P(A1)P(A2*)P(A3)+P(A1*)P(A2)P(A3) 
= (0,7)(0,8)(0,1) + (0,7)(0,2)(0,9) + (0,3)(0,8)(0,9) 
 VD3:
 Máy tự động sản xuất ra sản phẩm, cứ 10 sản phẩm
đóng thành 1 hộp. Giả sử mỗi hộp có 9 sản phẩm tốt
và 1 sản phẩm xấu. Một khách hàng lấy ngẫu nhiên
10 hộp, kiểm tra mỗi hộp như sau: lấy ngẫu nhiên 3
sản phẩm từ hộp, nếu 3 sản phẩm tốt hết thì mua hộp
đó.
 1) Tính xác suất có 2 hộp được mua?
 2) Tính xác suất có ít nhất 3 hộp được mua?
 3) Tính xác suất có nhiều nhất 3 hộp được mua?
22
 Giải:
 Xác suất để 1 hộp bất kỳ được mua là
 p = C(3,9) / C(3,10) = 84/120 = 0,7
 Gọi X = số hộp được mua trong 10 hộp
 X~B(10 ; 0,7)
 1) P(X=2) = C(2,10)(0,7)2(0,3)8 = 0,0014
 2) P(X>=3) = 1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)] = 0,9984
 3) P(X<=3) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
 = 0,0106
23 24
Bài tập: Trong các ĐLNN sau, ĐL nào có quy luật pp
nhị thức (xác định n, p), ĐL nào không có? Tại sao?
 Tung một đồng xu sấp ngữa 3 lần.
Gọi X= số lần được mặt ngữa.
 Hộp có 4 bi T, 3 bi X. Lấy từ hộp ra 3 bi.
Gọi X= số bi X lấy được. Xét cho 3 cách lấy:

 C1: Lấy ngẫu nhiên 3 bi

 C2: Lấy lần lượt 3 bi

 C3: Lấy có hoàn lại 3 bi
 Một máy sản xuất ra sản phẩm có tỷ lệ phế phẩm là
2%. Cho máy sản xuất ra (lần lượt) 10 sản phẩm.
Gọi X= số phế phẩm có được.
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
7
25
Bài tập (tt): Trong các ĐLNN sau, ĐL nào có quy luật
pp nhị thức (xác định n, p), ĐL nào không có? Tại sao?
 Một xạ thủ bắn 3 phát đạn vào bia. Ở lần bắn sau sẽ
rút kinh nghiệm các lần bắn trước nên xác suất trúng
của từng phát lần lượt là: 0,7 ; 0,8 ; 0,9.
Gọi X= số phát bắn trúng.
 Một người lấy lần lượt 4 vợ. Do rút kinh nghiệm ở các
lần lấy trước nên khả năng ly dị vợ ở các lần lấy lần
lượt là: 0,9 ; 0,8 ; 0,6 ; 0,5.
Gọi X= số lần ly dị vợ.
 Xác suất để một chiếc dù không bung ra khi nhảy dù
là 0,001. Chiếc dù được dùng 3 lần (có thể với 3 người
khác nhau! Hic hic).
Gọi X= số lần dù không bung.
 VD4: Đề thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi. Mỗi câu có 4 cách trả
lời, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Các câu hỏi độc lập với
nhau. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một người đi thi
không học bài nên trả lời các câu hỏi bằng cách “đánh đại”
một câu trả lời.
 1) Tính xác suất để người này được 5 điểm?
 2) Tính xác suất để người này đạt ít nhất 5 điểm?
 Giải:
 Gọi X= số câu trả lời đúng trong 50 câu.
 X~B(50, ¼)
 1) P(X=25) = C(25,50)(1/4)25(3/4)50-25 = 0,00008
 2) P(X>=25) = P(25<=X<=50) = P(X=25)+  +P(X=50)
 = 1-P(0<=X<=24) = 1- 0,99988 = 0,00012
 Dùng EXCEL để tính kết quả, tính tay rất “chua”!
26
 VD5: Đề thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi. Mỗi câu có 4 cách
trả lời, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Các câu hỏi độc
lập với nhau. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một
người trả lời “chắc cú” 10 câu hỏi, các câu hỏi còn lại trả
lời bằng cách “đánh đại” một câu trả lời.
 1) Tính xác suất để người này được 5 điểm?
 2) Tính xác suất để người này đạt ít nhất 5 điểm?
 Giải:
 Gọi X= số câu trả lời đúng trong 40 câu còn lại.
 X~B(40, ¼)
 1) P(X=15) = C(15,40)(1/4)15(3/4)25 = 0,02819
 2) P(X>=15) = 1-P(0<=X<=14) = 1- 0,94556 = 0,05444
27
 VD6: Đề thi trắc nghiệm có 50 câu hỏi. Mỗi câu có 4 cách
trả lời, trong đó chỉ có một đáp án đúng. Các câu hỏi độc
lập với nhau. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một
người trả lời “chắc cú” k câu hỏi (k<25), các câu hỏi còn
lại trả lời bằng cách “đánh đại” một câu trả lời.
 1) Tính xác suất để người này được 5 điểm?
 2) Tính xác suất để người này đạt ít nhất 5 điểm?
 Giải:
 Gọi X là số câu trả lời đúng trong 50-k câu còn lại.
 X~B(50-k, ¼)
 1) P(X= 25-k)
 2) P(X>= 25-k) = 1- P(0 <=X<= 25-k-1)
 Bảng kết quả cho ở 2 bảng sau: 28
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
8
BẢNG KẾT QUẢ VỚI CÁC GIÁ TRỊ CỦA K
29
BẢNG KẾT QUẢ VỚI CÁC GIÁ TRỊ CỦA K
30
 BT1: Hàng trong kho có 10% là phế phẩm. Lấy ngẫu
nhiên có hoàn lại 5 sản phẩm. Tính xác suất trong 5
sản phẩm này có ít nhất 1 phế phẩm.
 BT2: Tỷ lệ 1 loại bệnh hiếm bẩm sinh trong dân số là 0,01. 
Bệnh này cần sự chăm sóc đặc biệt lúc mới sinh. Một bệnh 
viện phụ sản lớn có 200 ca sinh trong 1 tháng cuối năm. Tính 
xác suất để có nhiều hơn 2 trường hợp cần chăm sóc đặc biệt.
 BT3: Một quận có tỷ lệ nữ là 40%. Chọn ngẫu nhiên có hoàn 
lại n người. Tìm n để xác suất chọn được ít nhất 1 người nam 
là 95%?
31 32
 III) QUY LUẬT PHÂN PHỐI POISSON
 VD1:
 Khảo sát số người đến siêu thị trong 1 tháng. Một
tháng có 30 ngày.
 Gọi X= số người đến siêu thị trong 1 ngày.
 Ta thấy: trong 1 ngày có thể có 0, 1, 2, .... đến siêu thị
nên X có các giá trị là 0, 1, 2, ....
 Ta không đoán biết chính xác trong 1 ngày nào đó sẽ
có bao nhiêu người đến. Nhưng ta biết số người trung
bình đến siêu thị trong một ngày là = 600 người (theo
thống kê).
 Lúc đó ta nói X là ĐLNN có quy luật pp Poisson.
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
9
33
 VD2:
 Có một miền A, trong miền A có nhiều vùng A1,
A2,...Bắn 1 phát đạn đại bác vào miền A. ta xét khả
năng có k mảnh đạn rơi vào vào vùng A1.
 Gọi X= số mảnh đạn rơi vào vùng A1.
 Ta thấy số mảnh đạn có thể rơi vào vùng A1 có thể
là 0, 1, 2,...
 Ta biết số mảnh đạn trung bình rơi vào vùng A1 là
= 2,5 (theo thống kê).
 Lúc đó ta nói X là ĐLNN có quy luật phân phối
Poisson. 34
 VD3:
 Xét quảng đường A dài 5 km.
 Gọi X= số ổ voi trên quảng đường này.
 Ta thấy số ổ voi có thể là 0, 1, 2,...
 Ta biết số ổ voi trung bình của quảng đường là =
2,7 (theo thống kê).
 Lúc đó ta nói X là ĐLNN có quy luật phân phối
Poisson.
35
Trong thực tế có nhiều ĐLNN có phân phối Poisson: Số cuộc gọi
đến tổng đài trong 1 ngày, Số người chết trong 1 năm, Số khách
du lịch Nhật đến VN trong 1 tháng,
Số lần chụt chụt nhau trước khi cưới của 1 đôi uyên ương
Lưu ý: Trong thực tế, mặc dù chặn trên của X không biết nhưng
không phải là vô hạn. Thí dụ người ta chỉ có thể chụt nhau 1 tỷ
lũy thừa 1 tỷ lần trong cuộc đời mà thôi!!!
 Tổng quát:
 X là ĐLNN rời rạc có các giá trị là k= 0, 1, 2,... với giá
trị trung bình là , và xác suất tương ứng là:
 P(X=k) = exp(-). k / k!
 Ta nói X có quy luật pp Poisson. Ký hiệu XP().
 Tính chất: XP()
 E(X) = var(X) = 
 -1 mod(X) 
36
Định lý: 
X~B(n,p) 
Nếu n đủ lớn (n + ) và p đủ nhỏ (p 0) sao cho 
np  (hằng số) thì: 
, 0 .(X k)
!
n p
np
kek k n kP C p qn k

 
Hay nói cách khác: 
B(n,p) P() 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
10
37
Trong máy tính Casio fx-570VN Plus có chức năng
tính hàm exp(x) = ex
 VD1:
 Biết trung bình trong 1 ngày có 600 người đến siêu thị.
 1) Tính xác suất trong ngày 1/1/2012 có 700 người đến
siê ...  Y>=195 X<=5
64
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
17
65
XẤP XỈ NHỊ THỨC QUA CHUẨN
 VD4:
 Sản phẩm do một máy tự động sản xuất ra. Tỷ lệ phế
phẩm do máy sản xuất ra là 0,4. Lấy 100 sản phẩm do
máy sản xuất ra để kiểm tra.
 1) Tính xác suất có 50 phế phẩm (trong 100 sp kiểm
tra)?
 2) Tính xác suất có ít nhất 50 phế phẩm?
 3) Tính xác suất có nhiều nhất 40 phế phẩm?
66
Giải VD4: 
Gọi X = số phế phẩm trong 100 sản phẩm kiểm tra 
X B(100; 0,4) 
Ta thấy n=100 lớn và p=0,4 không quá gần 0 và 1 nên ta xấp xỉ: 
XN(np, npq) = N(100*0,4 , 100*0,4*0,6) 
Vậy XN(40 ; 24) 
1) 
1 50 40
( 50)
24 24
P X 
 = 
1
(2 , 04) 0, 2041 * 0, 0498 0,0102
24
 (tra bảng E) 
2) 
100 40 50 40
(50 ) (12, 25) (2, 04)
24 24
P X    
100
 = 0,5–0,4793 = 0,0207 (tra bảng F) 
3) P(0<=X<=40) 
TÍNH TOÁN TRỰC TIẾP VÀ XẤP XỈ TRÊN EXCEL
67
XẤP XỈ SIÊU BỘI QUA NHỊ THỨC
XẤP XỈ NHỊ THỨC QUA POISSON
 VD5:
 Hộp có 20000 bi, trong đó có 200 bi T. Lấy ngẫu
nhiên 100 bi từ hộp. Tính xác suất lấy được 5 bi T?
 Giải:
 Gọi X= số bi T lấy được trong 100 bi lấy ra
 X~H(20000, 200, 100)
 Do n=100 << N= 20000 nên xấp xỉ X~B(100; 0,01)
 Do n=100 lớn và p=0,01 nhỏ gần 0 nên xấp xỉ
X~P(1)
 P(X=5) = exp(-1).15/ 5! = 0,0031
68
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
18
XẤP XỈ SIÊU BỘI QUA NHỊ THỨC ; XẤP XỈ NHỊ THỨC QUA CHUẨN
VD6: Hộp có 20000 bi, trong đó có 8000 bi T. Lấy ngẫu
nhiên 100 bi từ hộp. Tính xs lấy được ít nhất 50 bi T?
 Giải:
 Gọi X= số bi T lấy được trong 100 bi lấy ra
 X~H(20000, 8000, 100)
 Do n=100 << N= 20000 nên xấp xỉ X~B(100; 0,4)
 Do n=100 lớn và p=0,4 không quá gần 0 và 1 nên xấp
xỉ X~N(40; 24)
69
100 40 50 40
(50 100) (12,25) (2,04)
24 24
P X    
 = 0,5–0,4793 = 0,0207 (tra bảng F) 
VS) PHÂN PHỐI MŨ
 Phân phối Poisson thường dùng để diễn tả số sự kiện xảy ra trong
1 khoảng thời gian, không gian xác định.
 Ví dụ:
 1) Số cuộc gọi điện thoại đến 1 tổng đài trong khoảng thời gian 2
phút.
 2) Số cơn bão đổ bộ vào VN trong 1 năm
 3) Số ổ voi trên quảng đường dài 1 km
 Phân phối mũ thường dùng để diễn tả khoảng thời gian, không
gian xảy ra giữa 2 sự kiện.
 Ví dụ:
 1) Khoảng thời gian giữa 2 cuộc gọi điện thoại đến 1 tổng đài.
 2) Khoảng thời gian giữa 2 cơn bão đổ bộ vào VN
 3) Khoảng cách giữa 2 ổ voi trên 1 quảng đường
70
VS) PHÂN PHỐI MŨ
 Tính chất:
 X có phân phối mũ với giá trị trung bình 
71
Hàm mật độ: 
/1( ) , 0xf x e x

Xác suất tích lũy: 
o /
0( ) 1
x
P X x e
 
Kỳ vọng: E(X)= µ 
Phương sai: Var(X)= µ2 
VD1:
 Thời gian giữa 2 cuộc gọi điện thoại liên tiếp đến 1 tổng đài cĩ
phân phối mũ, với thời gian trung bình là 1,5 phút.
 1) Tính xác suất thời gian giữa 2 cuộc gọi liên tiếp từ 1,2 phút trở
xuống?
 2) Tính xác suất thời gian giữa 2 cuộc gọi liên tiếp từ 36 giây trở
xuống?
 3) Tính xác suất thời gian giữa 2 cuộc gọi liên tiếp từ 36 giây đến
72 giây?
 4) Tính xác suất thời gian giữa 2 cuộc gọi liên tiếp từ 36 giây trở
lên?
72
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
19
GIẢI VD1
73
Gọi X= thời gian giữa 2 cuộc gọi liên tiếp đến tổng đài 
X cĩ pp mũ với trung bình = 1,5 (phút) 
1) 1,2/1,51,2 1P X e = 0,5507 
2) 0,6/1,50,6 1P X e = 0,3297 
3) 0,6 1,2 P(X 1,2)-P(X 0,6)P X 
4) 0,6 1 ( 0,6)P X P X 
Trong EXCEL: 
LIÊN HỆ GIỮA PHÂN PHỐI POISSON VÀ PHÂN PHỐI MŨ
 Nếu số lần xuất hiện của một biến cố trong một khoảng thời
gian cho trước tuân theo luật phân phối Poisson với kỳ vọng λ,
thì khoảng thời gian giữa hai lần xuất hiện liên tiếp của biến cố
ấy tuân theo luật phân phối mũ với kỳ vọng 1/λ.
74
VD2
 Số xe đến trạm đổ xăng cĩ quy luật pp Poisson, với số xe trung
bình đến trạm là 5 xe/phút.
1) Thời gian trung bình giữa 2 xe đến trạm là bao nhiêu?
2) Tính xác suất thời gian giữa 2 xe đến trạm từ 30 giây trở xuống?
3) Tính xác suất khơng xe nào đến trạm là trong khoảng thời gian 1
phút?
 HD:
1)  = 1/ = 1/5 phút
2) Gọi X= thời gian giữa 2 xe đến trạm (phút)
P(X 0,5) = ?
3) P(X >1) = 0,0067
Cách khác:
Y = số xe đến trạm trong khoảng thời gian 1 phút. Y~P(5 xe/phút)
P(Y=0) = 0,0067
75 76
CÁC ĐỊNH LÝ 
X1 , X2 là 2 đại lượng ngẫu nhiên độc lập 
1) X1  B(n1, p) , X2  B(n2, p) 
 X1+X2  B(n1+n2, p) 
2) X1  P(1) , X2  P(2) 
 X1+X2  P(1+2) 
3) X1  N(1, 21 ) , X2  N(2, 
2
2
 ) 
 X1+X2  N(1+2, 22
2
1
 ) 
4) X1  2(n1) , X2  2(n2) (xem phần sau) 
 X1+X2  2 (n1+n2) 
5) X1  N(0,1) , X2  N(0,1) (xem phần sau) 
 2
2
2
1
XX  2(2) 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
20
 VD1:
 Người thứ nhất tung 1 con xúc xắc 10 lần.
 Người thứ hai tung 1 con xúc xắc 15 lần.
 Gọi X= số lần được mặt 1 trong 25 lần tung
 1) Tính xác suất P(X>=3)?
 2) Xác định E(X), var(X), mod(X)?
77
 Giải:
 Gọi X1= số lần được mặt 1 của người thứ nhất
 X1~B(10; 1/6)
 Gọi X2= số lần được mặt 1 của người thứ hai
 X2~B(15; 1/6)
 Ta có X= X1+X2 ~B(25; 1/6)
 1) P(X>=3) = 1-P(X<=2) = 1-0,1887 = 0,8113
 2) E(X)= 25(1/6) ; var(X)= 25(1/6)(5/6)
 3,33 <= 25/6-(5/6)<= Mod(X) <= 25/6+(1/6) = 4,33
 mod(X) = 4
78
 VD2:
 Một tổng đài điện thoại có 3 nhân viên trực, làm
việc ở 3 line độc lập nhau. Số cuộc gọi đến từng
nhân viên có quy luật phân phối Poisson, với số cuộc
gọi trung bình đến từng nhân viên lần lượt là 2, 4, 5
cuộc/phút.
 1) Tính xác suất trong 1 phút có ít nhất 3 cuộc gọi
đến tổng đài?
 2) Xác định số cuộc gọi tin chắc nhất đến tổng đài
trong 1 phút?
79
 Giải:
 Gọi Xi = số cuộc gọi đến nhân viên thứ i trong 1 phút
 X1~P(2)
 X2~P(4)
 X3~P(5)
 Gọi X = số cuộc gọi đến tổng đài trong 1 phút
 X= X1+X2+X3 ~P(2+4+5) = P(11)
 1) P(X>=3) = 1-P(X<=2) = 1-0,0012 = 0,9988
 2) 11-1 <= mod(X) <= 11 mod(X) = 10 hoặc 11
80
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
21
 VD3:
 Trại gia cầm nuôi gà và vịt.
 Trọng lượng của gà có quy luật phân phối
N(3 kg ; (0,6 kg)2).
 Trọng lượng của vịt có quy luật phân phối
N(2 kg ; (0,5 kg)2).
 Lấy ngẫu nhiên 2 con gà và 3 con vịt của
trại.
 Tính xác suất tổng trọng lượng của 5 con này
nằm trong khoảng (10 ; 16) kg?
81
 Giải:
 Xi = trọng lượng của con gà thứ i. Xi~N(2kg; (0,4 kg)2)
 Yi = trọng lượng của con vịt thứ i. Yi~N(3 kg; (0,5 kg)2)
 X = trọng lượng của 5 con này
 X = X1+X2+Y1+Y2+Y3 ; X~N(12 kg; (1,2124 kg)2)
E(X)= E(X1+X2+Y1+Y2+Y3) = 2E(X1)+3E(Y1)
= 2(3)+3(2) = 12
Var(X) = var(X1+X2+Y1+Y2+Y3) = 2var(X1)+3var(Y1)
= 2(0,6)2+3(0,5)2 = 1,47 = (1,2124)2
 P(10 <X<16) = ([16-12]/ 1,2124) - ([10-12]/ 1,2124)
= (3,30) + (1,65) = 0,4995+0,4505 = 0,95
82
ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
Tổng của n đại lượng ngẫu nhiên:
• độc lập,
• có cùng phân phối xác suất,
• có cùng kỳ vọng và phương sai (hữu hạn)
sẽ xấp xỉ phân phối chuẩn
(thường n >= 30)
83 84
VI)QUY LUẬT PP CHI BÌNH PHƯƠNG 
Giả sử Xi (i =1, .., n) là các ĐLNN độc lập tuân theo quy luật 
phân phối chuẩn tắc N(0,1). Đặt: 
 2 = 
n
i
i
X
1
2 
thì 2 tuân theo quy luật Chi bình phương với n bậc tự do, ký 
hiệu 2 ~ 2(n). 
Hàm mật độ xác suất của ĐLNN 2 xác định bởi: 
0,0
0,2.
1
2.)(
x
x
x
e
n
xCxf 
với : 
2/2).2/(
1
nn
C

 ; 
 
0
1)( dxxex , > 0. 
Tính chất : 2 ~ 2(n) 
 E(2)= n , var(2)= 2n 
Lưu ý : Đồ thị không có phần âm 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
22
ĐỒ THỊ CỦA PP CHI BÌNH PHƯƠNG VỚI 20 BẬC TỰ DO
85
ĐỒ THỊ CỦA PP CHI BÌNH PHƯƠNG VỚI 50 BẬC TỰ DO
(GẦN GIỐNG ĐỒ THỊ CỦA PHÂN PHỐI CHUẨN)
86
PHÂN PHỐI CHI BÌNH PHƯƠNG VỚI EXCEL
87 88
VII)PHÂN PHỐI T-STUDENT 
Giả sử hai ĐLNN độc lập X có phân phối chuẩn tắc N(0,1) và Y
có phân phối theo quy luật Chi bình phương với n bậc tự do 
2(n). Khi đó : 
nY
Xt
/
có phân phối t-student với n bậc tự do (Degrees of freedom), ký 
hiệu t ~ t(n). Hàm mật độ xác suất của t-student xác định bởi 
biểu thức: 
 2
1
)
2
1.()(
n
n
xCxf Với 
)2/(.
)
2
1(
nn
n
C

 
Tính chất: t ~ t(n) 
-E(t)= 0, var(t)= 
2 n
n 
-Đồ thị phân phối xác suất của t đối xứng qua trục tung. Khi 
bậc tự do n tăng lên thì phân phối t-student xấp xỉ với 
phân phối chuẩn tắc N(0,1). 
Lưu ý : Ta không xét bài tập cho quy luật Student. 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
23
ĐỒ THỊ CỦA PP STUDENT T VỚI BẬC TỰ DO 1
89
ĐỒ THỊ CỦA PP STUDENT T VỚI BẬC TỰ DO 6
(BẬC TỰ DO CÀNG CAO THÌ PP T CÀNG TIỆM CẬN PP CHUẨN TẮC)
90
ĐỒ THỊ CỦA PP STUDENT T VỚI BẬC TỰ DO 30
(PHÂN PHỐI T XẤP XỈ PHÂN PHỐI CHUẨN TẮC)
91
PHÂN PHỐI T VỚI EXCEL
92
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
24
93
IX) CÁC MỨC PHÂN VỊ CỦA Quy Luật PP
 Phân vị mức  , /2 của phân phối chuẩn tắc
 Phân vị mức  , /2 của phân phối Student
 Phân vị mức , /2 của phân phối Chi bình phương
 Giả sử X là 1 phân phối liên tục nào đó.
 u /2 gọi là phân vị mức /2 của X nếu
P(X > u /2) = /2
 u gọi là phân vị mức của X nếu
P(X > u ) = 94
PHÂN VỊ MỨC /2 CỦA PP CHUẨN TẮC
Dùng Casio fx-570 VN Plus để tính phân vị
-z /2 z /2
95
PHÂN VỊ MỨC CỦA PP CHUẨN TẮC
z 
96
PHÂN VỊ MỨC /2 CỦA PP STUDENT T có (n-1) 
bậc tự do
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
25
97
PHÂN VỊ MỨC CỦA PP STUDENT T có (n-1) 
bậc tự do
TÍNH PHÂN VỊ VỚI EXCEL
98
99
PHÂN VỊ MỨC /2 CỦA PP CHI BÌNH PHƯƠNG 
có (n-1) bậc tự do
100
PHÂN VỊ MỨC CỦA PP CHI BÌNH PHƯƠNG 
có (n-1) bậc tự do
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
26
TÍNH PHÂN VỊ VỚI EXCEL
101 102
 X) BÀI TẬP TỔNG HỢP
 Trong thực hành, người ta ít khi xét các quy luật pp
một cách « lẻ loi một mình », người ta thường « hợp
hôn » 2 hoặc 3 quy luật với nhau trong 1 bài toán.
Điều này đòi hỏi người làm phải biết :

 Phân biệt các quy luật pp

 Khi nào thì áp dụng các quy luật pp nào được

 và áp dụng như thế nào
 Cuộc « hợp hôn » này có hoàn hảo hay không là do ta
có « khéo tay hay làm » không!
 Hãy làm bài tập nhiều thì bạn sẽ có một «linh cảm
tốt» !!!
103
 VD1:
 Một sọt cam có 1000 trái trong đó có 400 trái hư.
Lấy ngẫu nhiên ra 3 trái.
 1) Tính xác suất lấy được 2 trái hư ?
 2) Tính xác suất lấy được ít nhất 1 trái hư ?
104
Giải VD1: 
Gọi X là số trái hư trong 3 trái lấy ra. 
X  H(1000, 400, 3) 
Ta thấy n = 3 << N = 1000 nên ta xấp xỉ : 
X  B(3; 0,4) 
với p = 400/1000 = 0,4 
1) P(X = 2)= 2 2 10.4 0.63C 0,2880 
2) P(X >= 1) = 1-P(X=0)= 1-0,2160 
 = 0,7840 
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
27
105
 VD2:
 Xác suất để một Ấn công lành nghề sắp lầm một
mẫu tự khi làm sách là 0,002. Tính xác suất để
trong 2000 mẫu tự thì Ấn công sắp lầm:
 1) Đúng 1 mẫu tự
 2) Ít hơn 5 mẫu tự
 3) Không lầm mẫu tự nào.
106
Giải VD2:
Gọi X là số mẫu tự mà ấn công sắp lầm trong 
2000 mẫu tự. 
X B(2000; 0,002) 
n = 2000 khá lớn và p = 0,002 khá bé 
Áp dụng công thức gần đúng theo Poisson 
Ta có : X P(4) với  = np = 2000 0,002 = 4 
1) P(X = 1) = 0733,0
!1
14.4 e 
2) P(0 X 4) = P(X=0)++(X=4)= 0,6288 
3) P(X = 0)= 0,0183 
107
 VD3:
 Ở một tổng đài điện thoại, các cuộc điện thoại gọi đến
xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau và cường độ
trung bình 2 cuộc gọi trong 1 phút . Tìm xác suất để:
 1) Có đúng 5 cuộc điện thoại trong 2 phút
 2) Không có cuộc nào trong khoảng thời gian 30 giây
108
Giải VD3:
 1) X= số cuộc điện thoại xuất hiện trong khoảng thời
gian 2 phút . X ~ P(4)
P(X=5) = e-4 45/5! = 0,1560
 2) X = số cuộc điện thoại xuất hiện trong khoảng thời
gian 30 giây . X ~ P(1)
P (X=0) = e-1 = 0,3679
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
28
 VD4:
 Một trạm rửa xe tự động có cường độ xe đến rửa
trung bình là 2 xe/phút.
 1) Tính xác suất trong 5 phút có 9 xe đến rửa?
 2) Tính xác suất để trong vòng a phút có ít nhất 1 xe
đến rửa? Xác định a để xác suất này >= 0,95?
 3) Nếu trạm chỉ có 4 máy rửa xe tự động thì khả
năng 1 xe đến trạm phải chờ là bao nhiêu? (Giả
thiết mỗi máy có năng suất rửa là 1 xe/phút)
109
 Giải:
 1) X= số xe đến rửa trong thời gian 5 phút.
 X~P(10)
 P(X=9) = e-10.109 / 9! = 0,1251
 2) Y= số xe đến rửa trong thời gian a phút
 Y~P(2a)
 P(Y>=1) = 1-P(Y=0) = 1- e-2a
 P(Y>=1) >= 0,95 1-e-2a >= 0,95
 e-2a = -ln(0,05) / 2 = 1,4979 110
 Giải:
 3) Z= số xe đến rửa trong thời gian 1 phút.
 Z~P(2)
 P(Z>4) = 1-P(Z<=4) = 1-0,9473 = 0,0527
111 112
 VD5:
 Sản phẩm sau khi hoàn tất được đóng thành kiện, mỗi
kiện gồm 10 sản phẩm với tỷ lệ thứ phẩm là 20%.
Trước khi mua hàng, khách hàng muốn kiểm tra bằng
cách từ mỗi kiện chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm.
 1) Tìm luật ppxs của số sp tốt trong 3 sp lấy ra? (xác
định xem 1 hộp có bao nhiêu sp tốt, bao nhiêu sp xấu)
 2) Nếu cả 3 sp được lấy ra đều là sp tốt thì khách
hàng sẽ đồng ý mua kiện hàng đó. Tính xác suất để
khi kiểm tra 100 kiện:
 a) Có đúng 50 kiện hàng được mua.
 b) Có ít nhất 60 kiện được mua.
ThS. Phạm Trí Cao * Chương 3 17-02-2019
29
113
Giải VD5: 
1) X = số sp tốt trong 3 sản phẩm lấy ra. X ~ H(10, 8, 3) 
 p = P(mua kiện hàng) = P(X=3) = 0,4667 
2) Y = số kiện được mua trong 100 kiện 
 Y ~ B (100 ; 0,4667) N(np, npq) = N(46,67 ; 24,8891) 
a) 50 46,671( 50)
24,8891 24,8891
P Y 
 =
1
(0, 67) 0, 2004 * 0, 3187 0,0639
24, 8891
 (tra bảng E) 
b) 
100 46,67 60 46,67
(60 100)
24,8891 24,8891
(10, 69) (2, 67)
P Y  
 
 = 0,5–0,4962 =0,0038 (tra bảng F) 
114
VD6: 
Trọng lượng của 1 loại trái cây có quy luật phân 
phối chuẩn với trọng lượng trung bình là 250g, 
độ lệch chuẩn về trọng lượng là 5g. 
 1) Một người lấy ngẫu nhiên 1 trái từ trong sọt 
trái cây ra. Tính xác suất người này lấy được 
trái loại 1 (Quy ước: trái loại 1 là trái có trọng 
lượng > 260 g ) 
 2) Từ sọt lấy ngẫu nhiên ra 1 trái. Nếu lấy 
được trái loại 1 thì người này sẽ mua sọt đó. 
Người này kiểm tra 100 sọt, tính xác suất mua 
được 6 sọt. 
115Nhận xét câu 2 VD5 và câu 2 VD6, xem có dạng
giống nhau không?
Giải: 
1) X= trọng lượng của loại trái cây này (g) 
X ~ N (250g , (5g)2 ) 
P (X > 260)= 0,5-([260-250]/5) 
 = 0,5–(2) = 0,0228 
2) Y= số sọt được mua. 
 Y ~B (100 ; 0,0228) P (2,28) 
 P(Y=6) = 
!6
628,228,2 e = 0,020 
Mời ghé thăm trang web:
116

 https://sites.google.com/a/ueh.edu.vn/phamtricao/

 https://sites.google.com/site/phamtricao/